M22. Viskosität II. Die folgenden Ausführungen setzen immer laminare Strömungsverhältnisse voraus.

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1 M Viskosität II In vielen Fällen wird bei Betrachtungen zur Mechanik vorausgesetzt, dass eibungseffekte vernachlässigbar sind. In diesem Versuch spielt aber die eibung in Flüssigkeiten die zentrale olle: Es soll die Viskosität einer Flüssigkeit aus der konstanten Fallgeschwindigkeit einer Kugel bestimmt werden. Weiterhin wird die r 4 -Abhängigkeit des Volumenstromes bei Kapillaren experimentell verifiziert. 1. Theoretische Grundlagen 1.1 Laminare Strömung Bewegt sich eine Flüssigkeit an der Oberfläche eines festen Körpers vorbei, so hängt die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit vom Abstand zu dieser Oberfläche ab. Unmittelbar an der Grenzfläche haftet eine dünne Flüssigkeitsschicht, die Strömungsgeschwindigkeit ist dort also null. Weiter von der Grenzfläche entfernte Flüssigkeitsschichten besitzen eine von null verschiedene Geschwindigkeit. Bei hinreichend kleinen Strömungsgeschwindigkeiten gleiten benachbarte Flüssigkeitsschichten mit leicht unterschiedlicher Geschwindigkeit aneinander vorbei, ohne ineinander zu verwirbeln. Eine solche Strömungsform heißt laminar. Die folgenden Ausführungen setzen immer laminare Strömungsverhältnisse voraus. 1. Definition der dynamischen Viskosität Bei der Bewegung eines Körpers durch eine Flüssigkeit oder ein Gas wirkt auf den Körper eine eibungskraft, die der Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist. Ihr Betrag hängt von der Geschwindigkeit, der Geometrie des Körpers und der inneren eibung des Mediums ab. Betrachtet man beispielsweise eine ebene Platte, die parallel zur Plattenebene in x-ichtung durch eine Flüssigkeit bewegt wird, so haftet die unmittelbar anliegende Flüssigkeitsschicht an ihr und bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit v. Flüssigkeitsschichten in größerem Abstand haben eine geringere Geschwindigkeit. Es entsteht ein Geschwindigkeitsgefälle in y-ichtung, also senkrecht zur Bewegungsrichtung (Bild 1). Die eibungskraft F, die auf die Platte wirkt, ist Bild 1: Geschwindigkeitsgefälle in einem viskosen Medium proportional zur Berührungsfläche A und zu dem Geschwindigkeitsgefälle dv/dy an der Plattenoberfläche. F η A dv dy (1) Darin ist η eine Materialkonstante, die als dynamische Viskosität oder Zähigkeit der umgebenden Flüssigkeit bezeichnet wird. Ihre Einheit ist [η] kg s -1 m -1 (Eine in der Literatur noch häufig zu findende ältere Einheit ist 1Poise 1g s -1 cm -1 0,1kg s -1 m -1 ). Das Verhältnis von dynamischer Viskosität zur Dichte ρ bezeichnet man als kinematische Viskosität ν ν η ρ () 014

2 Ihre Einheit ist [ν] m s -1 (Früher verwendete Einheit ist das Stokes [ν] St 1cm s m s -1 ) Die Viskosität einer Flüssigkeit nimmt mit wachsender Temperatur T ab. Meist gilt mit guter Näherung η b T ( T ) a e (3) wobei a und b empirisch zu bestimmende Konstanten sind. 1.3 Das Stokessche Gesetz Verwendet man statt der Platte eine Kugel mit adius r, die man mit konstanter Geschwindigkeit v durch eine viskose Flüssigkeit bewegt, so ist die eibungskraft, die auf die Kugel wirkt (Stokessches Gesetz): F 6π η r v (4) Fällt die Kugel unter dem Einfluss ihrer Gewichtskraft durch die Flüssigkeit, so verschwindet nach hinreichend langer Zeit mit v konst. die Summe aus Gewichtskraft, Auftriebskraft und Stokesscher eibungskraft: ( ρ ρ ) 3 6 π η r v + 4 3π r g Fl K 0 (5) (ρ: Dichte der Flüssigkeit bzw. der Kugel) Mit Gleichung (5) wird die Viskosität der Flüssigkeit ermittelt: ( ρ ) r g K ρ Fl η 9v Die Fallgeschwindigkeit v wird dabei aus der Fallstrecke s und der Fallzeit t ermittelt: η r g ( ρ ρ ) K 9s Fl t (6) (7) Notwendige Korrekturen Gleichung (4) ist in der Praxis zu korrigieren, da die Annahme einer unendlich ausgedehnten Flüssigkeit unrealistisch ist und die Geschwindigkeitsverteilung der Flüssigkeitsteilchen relativ zur Kugeloberfläche von den endlichen Abmessungen der Flüssigkeit beeinflusst wird. So gilt für die Bewegung der Kugel längs der Achse eines unendlich langen Flüssigkeitszylinders mit dem adius Z r F1 6π η r v 1+, 4 Z (8) Gleichung (7) erhält damit die Form η ( ρ ρ ) g t 1 9 s r 1+, 4 K Fl r Z (9) Berücksichtigt man die endliche Länge L des Flüssigkeitszylinders, so kommen weitere Korrekturen von der Größenordnung r / L hinzu - -

3 1.4 Das Gesetz von Hagen-Poiseuille Die Flüssigkeitsströmung in einem ohr wird durch eine Druckdifferenz zwischen den beiden ohrenden verursacht. Der Verlauf der Kennlinie im Volumenstromstärke Druck Diagramm wird durch die Eigenschaften der Flüssigkeit und durch die geometrischen Abmessungen des ohres bestimmt. Die Strömung ist bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten laminar und wird bei großen Geschwindigkeiten turbulent (Abknicken der Kennlinie). In einem ohr haftet die Flüssigkeit an der Wand und fließt in der Mitte am schnellsten. Diese Betrachtungen führen ebenfalls zu Gleichung(1), wenn es sich um eine Newtonsche Flüssigkeit handelt. Bei dieser ist die Schubspannung proportional zum entstehenden Geschwindigkeitsgefälle entsprechend Gleichung (1). Wie Bild zeigt, tritt bei Wasser leicht Turbulenz auf, während Glycerin eine ideale Newtonsche Flüssigkeit ist. Wegen seiner großen Viskosität (η 1,5N s m - bei 0 C) ist die Volumenstromstärke jedoch sehr klein. Für die Messung wird daher ein Glycerin-Wasser-Gemisch benutzt. Bild : Prinzipieller Kennlinienverlauf Gesucht wird der Volumenstrom V/ t durch eine öhre der Länge l, an deren beiden Enden die Drücke p 1 bzw. p herrschen. Dazu wird in der öhre ein axialer Flüssigkeitsfaden mit dem adius r betrachtet. Aufgrund der Druckdifferenz wirkt auf ihn die Kraft F ( p p ) π. (10) 1 1 r Weiterhin wirkt nach Gleichung (1) auf die Mantelfläche des Fadens die eibungskraft dv F η π r l (11) dr Bei stationärer Strömung verschwindet die Summe der beiden Kräfte und es ergibt sich Bild 3: Laminare ohrströmung dv η l ( p1 p )r (1) dr Man erhält v(r) durch Integration über r, wobei die andbedingung v 0 für r i zu berücksichtigen ist. Das Ergebnis der Integration ist: v( r) ( p p )( r ) 1 i 4η l Eine stationäre laminare Strömung in einer öhre besitzt also ein parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil (Bild ). (13) - 3 -

4 Der Volumenstrom über den gesamten Querschnitt der öhre beträgt V t r 0 ( p p ) 4 π i 1 π r v( r) dr. (14) 8η l Die Gleichung (11) wird als Hagen-Poiseuillesches Gesetz bezeichnet. Von besonderer praktischer Bedeutung für die Dimensionierung von ohrquerschnitten ist darin die Abhängigkeit des Volumenstroms von der 4ten Potenz des adius der öhre. 1.5 Die eynoldsche Zahl Ob die Strömung einer Flüssigkeit laminar ist oder ob es zu Wirbelbildungen (turbulente Strömung) kommt, hängt von dem Verhältnis zwischen den Trägheitskräften der strömenden Flüssigkeit und den eibungskräften ab. Bei einer Kapillare wird dieses Verhältnis beschrieben durch die eynoldsche Zahl e v e ρ r. (15) η Der Volumenstrom V / t ist durch die Strömungsgeschwindigkeit v bestimmt: ΔV Δt Die nach v aufgelöste Gleichung (16) in (15) eingesetzt ergibt: r π v. (16) ρ ΔV e. (17) η r π Δt Für kleine eynoldszahlen sind die Trägheitskräfte der strömenden Flüssigkeitsteilchen klein gegen die eibungskräfte, und die Strömung ist laminar. Empirisch stellt man fest, dass in öhren der Umschlag zur turbulenten Strömung meist bei einem kritischen Wert krit 1000 bis 000 geschieht. Dieser Umschlag in eine turbulente Strömung macht sich makroskopisch durch eine Vergrößerung des Strömungswiderstandes bemerkbar. 1.6 Der Strömungswiderstand Bei Transportprozessen( Strömungen ) wird eine Größe X transportiert, wobei der Transport durch die räumliche Änderung einer Größe Y bewirkt wird. Vielfach gilt dx dt X ~ Y. Durch Einführung eine Proportionalitätsfaktors Λ 1/ erhält man X 1 Λ Y Y. (18) Λ nennt man Leitfähigkeit, Widerstand

5 1.6.1 Beispiele solcher Transportprozesse: Beim elektrischen Strom fließt eine Ladungsmenge Q, angetrieben durch einen Spannungsunterschied ΔU. Dann gilt: 1 Q I U el U (19a) I Bei der Wärmeleitung fließt eine Wärmeenergie ΔQ therm, angetrieben durch einen Temperaturunterschied ΔT. Es gilt Q therm A λ T L T therm therm T Q (19b) therm Der Wärmeleitungswiderstand therm berechnet sich gemäß therm L λ A aus der Länge L des Wärmeleiters, der Wärmeleitfähigkeit λ, und der Querschnittsfläche A. Analog definiert man den Strömungswiderstand einer Flüssigkeitsströmung Str p V 8η l π 4 i. (0) Gewöhnlich hat ein Transportwiderstand die Form ρ L / A. Dabei ist ρ der spezifische Widerstand, eine Materialkonstante, L die Länge der Transportstrecke und A die Querschnittfläche des Transportes. Zu den Beispielen: Der elektrische Widerstand eines Drahtes berechnet sich gemäß l Draht ρ elektr A (ρ elekt : spezifischer elektrischer Widerstand, l: Drahtlänge, A: Drahtquerschnittsfläche). Der Wärmewiderstand eines Stabes ergibt sich aus L 1 L therm ρtherm A λ A (L: Stablänge, A: Querschnittsfläche, λ: Wärmeleitfähigkeit) Der Strömungswiderstand einer Flüssigkeitsströmung kann analog beschrieben werden mit: Str 8η l π i i ρ Str l. (1) A Prinzipiell funktioniert der Transportmechanismus analog zum Strom- bzw. Wärmefluss, allerdings ist der spezifische Strömungswiderstand nicht nur von der Viskosität η, sonder auch vom Innenradius i der Kapillare abhängig. Die Ursache dafür liegt darin, dass bei einer Flüssigkeitsströmung die Strömungsgeschwindigkeit über dem adius variabel ist (in der Mitte maximal). Beim elektrischen Strom fließen die Elektronen überall gleich schnell, auch Wärme wird überall gleich schnell transportiert

6 . Versuch.1 Versuchvorbereitung Aufgabe: Zwei ungeeichte Pyknometer haben eine Leermasse von m 1 35,6g und m 3,3g. Das erste Pyknometer ist mit destilliertem Wasser gefüllt (ϑ 4 C) und hat nun eine Masse von m 1 98,8g. Das Zweite Pyknometer ist mit einer anderen Flüssigkeit gefüllt und hat eine Gesamtmasse von m 8,4g. Welche Dichte hat die unbekannte Flüssigkeit?. Versuchsdurchführung..1 Verwendete Geräte Kugelfallmethode: Fallröhre ( Z (,0 ± 0,)mm) gefüllt mit Glycerin (ρ Gl 1,6g cm -3 ), Haltemagnet mit Kern, Fallkugel, Auslösetaster, digitales Zeitmessgerät, Messschieber. Ausflussversuch: Vorratsgefäß, Magnetventil als Absperrhahn, Kapillarröhrchen unterschiedlichen Innendurchmessers aber gleicher Länge l 50mm, Messgefäß, Stativ mit unterschiedlichen eingestellten Höhenhalterungen, Stoppuhr, Waage.. Versuchshinweise Aufgabe 1: Bestimmung der Viskosität von Glycerin mit der Kugelfall-Methode a) Dichtebestimmung der Fallkugel: Bestimmen Sie folgende Parameter der Stahlkugel: Durchmesser mit dem Messschieber, Masse mit der OHAUS-Waage. b) Dichtebestimmung Glycerin mit Pyknometer: Am Versuchsplatz stehen zwei Pyknometer für die Untersuchung bereit. Befüllen Sie das Pyknometer 1 mit destillierten Wasser (blasenfrei). Das Pyknometer ist bereits mit Glycerin befüllt. Bestimmen Sie die beiden Massen der befüllten Pyknometer. Die jeweiligen Leermassen der Pyknometer sind gegeben (am Versuchsplatz). Ermitteln Sie die Temperatur des Glycerins. Die Dichte von Wasser entnehmen Sie in Abhängigkeit von der Temperatur aus der beiliegenden Tabelle. c) Fallmessung (siehe Bild 4): Vorbereitung Bild 4: Versuchsaufbau Aufgabe 1 Schalten Sie die Ausgangsspannung von 1V am Netzgerät ein. Hängen Sie die Stahlkugel an den Eisenkern (b). Positionieren Sie den Haltemagneten mit der Stahlkugel so über der Flüssigkeitssäule, dass die Stahlkugel mittig zur Zylinderachse angeordnet ist und vollständig in die Flüssigkeit eintaucht. Messen Sie den Abstand s der Fallhöhe zwischen Kugelunterkante und Markierung (c)

7 Durchführung: Stellen Sie das Zählgerät (Messbereich ms wählen) mit Taste 0 auf Null. Betätigen Sie den Morsetaster und beobachten Sie die fallende Kugel. Lassen Sie den Morsetaster erst dann wieder los, wenn die Kugel die Markierung (c) erreicht hat. Lesen Sie die Fallzeit t am Zählgerät ab und notieren Sie das Ergebnis. Wiederholen Sie diese Messung 5-mal. Ziehen Sie die Kugel mit Hilfe des bereitliegenden Magnete-Paares (rote Markierung nach außen) wieder an die Ausgangsposition des Eisenkerns zurück. Aufgabe : Messung der Volumenstromstärke V in Abhängigkeit von der Druckdifferenz für Kapillarrohre mit verschiedenen Durchmessern Der Versuch ist nach Bild aufgebaut. Sie benutzen als Flüssigkeit ein Wasser-Glycerin-Gemisch (ρ 1,146g cm -3 bei ϑ 5 C). Bestimmen Sie die Volumenstromstärke für vier verschiedene Höhen des Vorratsgefäßes durch Wägung der in einer bestimmten Zeit ausgelaufenen Flüssigkeitsmenge, die in dem Messgefäß gesammelt wird (pro Kapillare ein Messgefäß). Messung: Hängen Sie zu erst den Vorratsbehälter an die Messstelle 1 Befestigen Sie die erste Kapillare am Austrittsschlauch mit einer Schlauchschelle und schieben Sie die befestigte Kapillare in den dafür vorgesehenen Kapillarhalter. Stellen Sie das Messgefäß (Glycerin) unter die Kapillare und befüllen Sie den Schlauch, so dass keine Luftblasen mehr vorhanden sind. Der Absperrhahn ist als Magnetventil ausgeführt und wird über einen Schalter betätigt. Benutzen Sie danach die untere Schlauchklemme. Ermitteln Sie die Schwerpunkthöhe h der Flüssigkeitssäule des Vorratsbehälter h ( hoben hunten ) + hunten hkap 3 4. Bild : Versuchsaufbau Aufgabe Bestimmen Sie zuerst die Leermasse des Messgefäßes 1. Lösen Sie die untere Schlauchklemme und betätigen Sie das Magnetventil. Lassen Sie nun das Glycerin gemäß der Vorgabe (am Versuchsplatz) über den Schlauch und der Kapillare in das Messgefäß ab. Bestimmen Sie erneut die Masse des Messgefäßes. Wiederholen Sie den Messvorgang für die anderen 3 Messstellen. Benutzen Sie für den Umbau der Messstellen die untere Schlauchklemme. Wiederholen Sie den Messvorgang für die anderen 3 Kapillaren. Benutzen Sie für das auswechseln der Kapillaren die untere Schlauchklemme

8 .3 Versuchsauswertung Aufgabe 1: Bestimmung der Viskosität von Glycerin mit der Kugelfall-Methode Bestimmen Sie die Viskosität von Glycerin unter Verwendung des Mittelwertes der Zeitmessung nach der Gleichung (7). Führen Sie eine Korrektur des Ergebnisses nach der Gleichung (9) durch. Bestimmen Sie die Messunsicherheit (absolut und relativ) durch eine Fehlerrechnung. Diskutieren Sie die Ergebnisse im Vergleich mit dem Tabellenwert: (η 1,480kg m -1 s -1 für ϑ 0 C) Aufgabe : Messung der Volumenstromstärke V in Abhängigkeit von der Druckdifferenz für Kapillarrohre mit verschiedenen Durchmessern Bestimmen Sie das Flüssigkeitsvolumen aus der Wägung der durchflossenen Menge und der gegebenen Dichte des verwendeten Gemisches. Stellen Sie die Messwerte in einem Diagramm V f ( h) mit dem Kapillarinnendurchmesser als Parameter graphisch dar. Bestimmen Sie die Volumenstromstärke V aus der durchflossenen Masse, der gegebenen Flüssigkeitsdichte und der verwendeten Zeit. Berechnen Sie zunächst den Strömungswiderstand und dann die Viskosität unter Verwendung der Anstiege des linearen Bereiches aus den erstellten Diagrammen. Die zur Berechnung der Zähigkeit benötigten Druckdifferenz über der Kapillare ergibt sich aus p ρ g h Fl Stellen Sie nach Gleichung (0) den Strömungswiderstand (Mittelwert für jede Kapillare) über den Innenradius der Kapillare in einem Diagramm (doppelt-logarithmisch) der Funktion Str f ( r i ) graphisch dar. Stellen Sie aus dem Anstieg des Graphen den funktionalen Zusammenhang her. Vergleichen Sie den ermittelten mit dem theoretisch erwarteten Wert und diskutieren Sie die Abweichungen. Schätzen Sie die Messunsicherheit unter Verwendung des ersten erstellten Diagramms ab. Diskutieren Sie die Ergebnisse in Bezug auf laminare bzw. turbulente Strömung (eynolds- Zahlen!). 3. Ergänzungen ϑ ρ ϑ ρ ϑ ρ ϑ ρ C g/cm 3 C g/cm 3 C g/cm 3 C g/cm 3 0 0, , , , , , , ,9806 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9857 Tabelle 1: Abhängigkeit der Dichte ρ des Wassers von der Wassertemperatur ϑ ()