Vorlesungsunterlagen. Operations Research: lineare und nicht-lineare Programmierung. Teil 1 HS Dr. Simon Peter

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1 Institut für Umweltentscheidungen IED Agecon-Group Dr. Simon Peter Vorlesungsunterlagen Operations Research: lineare und nicht-lineare Programmierung Teil HS 04 Dr. Simon Peter

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4 ½º¾º ÇʹÈÊÇËË Ì ÁÄ ½ ÎÇÆ Ê ÈÊÇ Ä ÅÁÆÌÁ Áà ÌÁÇÆ ÁË ÍÅ ÅÇÄÄ Operations Research: Warum? Kernaufgabe Modellgestütztes Vorbereiten von Entscheidungen zur Gestaltung und Steuerung soziotechnischer Systeme Multidisziplinäres Arbeiten Mathematik / Statistik: Modelle und algorithmische Methoden Informatik: Daten, Informations- und Wissensverarbeitung, Kommunikation Betriebs- & Produktionswissenschaften: Organisation, Prozessgestaltung und -steuerung Intelligenz im Entscheidungsprozess algorithmische Kompetenz: Entscheidungsspielraum Modellbildungskompetenz: Gestaltungsspielraum systemische Kompetenz: Problemwahrnehmung Ð ÙÒ ½º½ ÃÓÑÔ Ø ÒÞ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÏĐÖ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÁÒØ ÐÐ ÒÞ ÚÓÖÒÑÐ Ñ Ö Ö Å ØÑ Ø ÙÒ ØÓÖ Ø Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÛØ Ö ÒØÛ ÐØ Û Ö Ø Ö Ù Ù ÚÓÒ ÅÓÐÐ Ò Ö Ò ÒÒÙÖÑĐ ÌĐ Ø Ø Û Á Ò Ò Ñ ÓÐÒÒ Ù ÞÒ ÑĐÓ Ø º ÒØ ÙÒÒ ÒÒ ÒØ Ñ ÐÙ ØÐÖ Ò Ê ÙÑ Ø ØØ ÓÒÖÒ ÞÐ Ò Ù Î Ö ÖÙÒ Ö Ä ¹ ØÙÒ Đ Ø Ò Ö ÇÖÒ Ø ÓÒ º ÒØ ÙÒ ÙÒØ Ö ØĐÙØÞ Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÑÒ ÌÐ ÓÞ ÓØÒ Ò ËÝ Ø Ñ ÍÒØ ÖÒÑÙÒ ÙÒ ÑĐÙ Ò ÒØ ÔÖ Ò Ò Ñ ÍÑÐ Ù Ú Ö Ø Ò¹ Ò Û ÖÒº ÁÒ ÓÒÖ ÓÐÐ Ò Ö ÖØ ËÝ Ø Ñ Ò Ò ÒÖÙÒ ÔÖÓÞ ÒÒ ÖÐ Ö ÇÖÒ ¹ Ø ÓÒ Û ÖÒº Å Ø Ñ Ö «Ý Ø Ñ ÃÓÑÔ Ø ÒÞ ÑĐÓ Ø Ò Đ Ø Ò ÙÑ ÖÒ ÈÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ö ÄĐÓ ÙÒÒ Ñ ÖĐÓ Ö Ò Ù ÑÑ ÒÒ Ö ÍÒØ ÖÒÑÙÒ ÞÙ Ú Ö Ø Ò ÙÒ Ò ÓÒÖ ÞÙ Ú ÖÑÒ ÄĐÓ ÙÒÒ ÚÓÒ ÙØ ÞÙ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÚÓÒ ÑÓÖÒ Û ÖÒº ½º¾ Ö ÇʹÈÖÓÞ ÌÐ ½ ÎÓÒ Ö ÈÖÓ Ð Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÞÙÑ ÅÓÐÐ ÔÖØ Çʹ Ö Ø Ö ÓÖÖØ Ò ÎÐÞÐ ÚÓÒ Ø Ú ØĐ Ø Òº ÑØ Ø Ö Ø Ú ØĐ Ø Ò ÙÒ Ö Ù ÑÑ Ò ÔÐ Û ÖÒ Đ Ù Ð ÈÖÓ Ð ÑÐĐÓ ÙÒ ÔÖÓÞ Þ Ò Øº Ö Ó Ø Ù ÒØ ÙÒ ÔÖÓÞ Ò ÒÒØ ÐĐ Ø Ò Ù Ò ÒÖ ÓÐÒ ÙÒ ÒÒ ÒÖ ÖÒ È Ò

5 à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÄ ÁÌÍÆ ÐÖÒº Â Ö È Ò Ø ÒĐÙÒ ÐØÚÓÐÐ ÙÑ Ñ ÒÞ ÐÒ Ò ØÖØ Ø ÙÒ ÙØÖØ ÞÙ Û ÖÒº Ò º ½º¾µ È Ö ÈÖÓ Ð Ñ ÖÒÒÙÒ ÙÒ ÃÓÒÞ ÔØÙ Ð ÖÙÒ Ô Û ÖÙÑ µ Ò ÐÝ ÙÒ ÅÓÐÐÐ ÙÒ Ô Û µ Û ÖØÙÒ ¹ ÙÒ Ù ÛÐÔ Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Û µ Ä ÖÒ¹ ÙÒ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ô Û Ö µ Intelligence Warum? Problemwahrnehmung Diagnose Zielbildung Konzeptualisierung II: Konzeptuelles Modell Feedback Modell-Bildung Design & Analysis Was? Gestaltungsraum Effektivität I: Realität, Problematik C Validierung III: Wissenschaftliches Modell Learning Wer? Intervention Veränderung Verbesserung Implementation IV: Lösungskonzept Modell-Lösung Choice Wie? Entscheidungsspielraum Ð ÙÒ ½º¾ ÈÖÓ Ð ÑÐĐÓ ÙÒ ÔÖÓÞ ÁÑ ÐÐÑÒ Ò ÎÓÖÒ ÑÓÐÐ ËÝ Ø Ñ ÒÒÖ Ò Ø Ö Ò º ½º¾ ÞÞÖØ ÈÖÓ Ð ÑÐĐÓ¹ ÙÒ ÔÖÓÞ ÒÙÖ Ò Ö ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò ÙÑ ÒÖ Ò È ÒÑÓÐÐ ĐÙÖ ÓÖÒ ØÓÖ ÙÒ Ñ Ø Ó Ø ÐØÙÒ ÙÒ ÛÐÙÒ ÚÓÒ ÈÖÓ Ø Òº ½º¾º½ ÈÖÓ Ð Ñ ÖÒÒÙÒ ÙÒ ¹ÒÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ò ØÛ ÙÖÙ ËÙØ Ú º Ë Ò Ò Ö ÓØ Ú Ò Ï ÐØ ÒØ Ò ÚÓÖÒ¹ Ò º ÎÐÑÖ ÒØ Ø Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÙÖ ÒÚÙ ÐÐ ÏÖÒÑÙÒ Ô Ö ĐÓÒÐ ÈÖÓ Ð ¹ Ñ Ø ÖÙÒ ÙØ Ú ÑÔ Ò ÙÒ ÙÒ Ï ÖØÙÒ º ÔÐ Û Ø Ö Ø ÓÒ ÒÒØ Íѹ Û ÐØÛÙ Ø Ò ÞÙ ĐÙ ÖØ Û Ö ÚÓÒ ÍÑÛ ÐØÔÖÓ Ð Ñ Ò ÔÖ Ò Û Ö ÑÔ ÒÒ ÙØ ÍÑÛ ÐØÐ ØÙÒ Ð ÐÐ ØÐ ÈÖÓ Ð Ñº ÀĐ Ù Ò Û Ö Ö ÒØ Ò Ö Ä ÙÒ Ö ÈÖÓ Ð Ñ Ö ÞÙ ÖÒÒ Ò ÙÒ ÞÙ ÖØÙÐÖ Òº Ç Ø ÒÑ Ò Û Ö ÒÙÖ ËÝÑÔØÓÑ Ö Ò µ ÛÖ ÙÒ Ø ÑĐÙ Ñ ÞÙ Ò Ö ØÖ Ò ÈÖÓ Ð ÑÙÖ ÚÓÖÞÙ Ö ÒÒº Ï Ö ÓÐÖÒ Ö Ù ÈÖÓ Ð Ñ Û ÖÒ ÙØ Ú Ò ÓÖ Ò Òص ÙÒ ÒÙÖ ÞÙ

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7 à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÄ ÁÌÍÆ ½º¾º Ò ÐÝ Ö Ð ÙÒ ØÐÙÒ Ö ÒØ ÙÒ Ö Ø ÖÒ ÍÑ ÒØ ÙÒÒ ÒÒ ÖÐ ÓÞ ÓØÒ Ö ËÝ Ø Ñ ÙÖØÐ Ò ÞÙ ĐÓÒÒ Ò Û Ö Ñ Ò Ù Ö Ò ØÖ ÞÙÖ Ð Ö ĐÙÐÐÙÒ Ò ÙÒØ Ö ÙÒº Ñ Ø Ø Ò ÛØ Ö ÓÒ Ø ØÙÖ Ò Å Ö Ñ Ð ÓÐÖ ËÝ Ø Ñ Ò ÔÖÓÒ Ð Ù ÖØÙÒ º Ø ÚÓÒ Ù ÞÙÒ ÓÞ ÓØÒ ËÝ Ø Ñ Ð Ò ÓÐÒº ÂÓ Ò Ð Ñ ÐÐÑÒ Ò ÒØ ÖØÐ ÒÖÐØ ÙÒ Ñ Ø ÓØ Ú ÚÓÖÒÒº Ë Ð Ø Û ÒÒ Ð ÖØÐÚÓÖÐÒ Ò ÞÙÑ Ø Ó ÐÐÑÒ ÓÖÑÙÐÖØ ĐÙÖ Ò Î Ö Ð ÙÒØ Ö Ð Ö ÄĐÓ ÙÒ Û ÒØ Ù ÖÒº ÑĐÙ Ò Ð Ò Ð ÔÖĐ Þ ÓÖÑÙÐÖØ Û ÖÒ Ñ Ù ÑÑ ÒÒ Ñ Ø Ñ ÞÙ ÙÒØ Ö Ù¹ ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ú Ö ÓÐ Ø Û ÖÒº Ë ÖÒ Ù Ñ ÔÖĐ Ñ Ø Ñ ÈÖÓ Ð Ñ ØÞ Ö ÙÖ Ù ÓÒ Ò Ñ Ø Å Ø Ö Ø ÖÒ Ñ ËÙ Ý Ø Ñ ÙÒ Ñ Ø Ù Ò Ø ÒÒº Æ ØĐÙÖÐ Û Ö Ù Ö ÅÓÐÐÙ Ö Ò Ò Ò Ò ÙÙÒÒ ÙÒ Ï ÖØÙÒÒ Ò Ö ÒÒº ÒØ Ø Ò ÑØ Ø Ö Ð Ñ Û Ö ÔÖĐÙ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Ú ÙÒ ÙÒ Ö ÒÖ Ö ¹ ÔÖĐ ÒØÖ Ò ÒÙÖ Ô Ö ĐÓÒÐ Ò ÎÓÖØÐ Ò Ö ÁÒØ Ö Ò ÖÙÔÔ º ÐØ ÒÙÒ Ð ÞÙ ÓÖ Ò Ò Ò ÑĐÓ Ð Ø ÚÓÐÐ ØĐ Ò Ð Ý Ø Ñ ÞÙ ÒØÛ ÐÒ ÙÒ Ú ÖÒ Ð ÃÖ Ø ÖÒ ÖÞÙÐØ Ò Û Ð Ö ĐÙÐÐÙÒ ÞÙ Ñ Ò Øº Ñ Ø Ø Ó Ø Ò Ð Ò ÛÖ Ö ÈÖÓÞ Ú Ö ÙÒÒ Ò Ú ÖÒ Ð ØÐÙÒ Ö Ø ÑĐÓ Ð Ø Û ÒÒ ÃÓÒ ÕÙ ÒÞ Ò ÙØÐ ÛÓÖÒ Ò º º Ó Ø Ö Ø Ò Ñ Ö Ø ÅÓÐÐÖÒÙÒÒ ÚÓÖÐÒº ½º¾º Ò ÐÝ ÙÒ ÒØÛÐÙÒ ÔÖÓ ÒÓ Ò Ö ÍÑÛ ÐØ ÃÒ ÓÞ ÓØÒ ËÝ Ø Ñ ÒØÛ ÐØ ÙØÓÒÓѺ ÎÐÑÖ Ø ÚÓÒ Ò ĐÙ Ò Ö Íѹ Û ÐØ Đ Ò º ÐØ ĐÙÖ ÓÞ ÓØÒ ËÝ Ø Ñ Ð ÒÞ ÙÒ Ù ĐÙÖ ËÙ Ý Ø Ñº ĐÙÖ ÑÓÐÐ ØĐÙØÞØ ÒØ ÙÒ ÚÓÖÖØÙÒ Ø Ö ÓÖÖÐ ÑĐÓ Ð Ò ÒØÛÐÙÒÒ Ö ËÝ Ø ÑÙÑÛ ÐØ Ñ ØÒÞÙÞÒº ÞÙ ĐÓÖØ ÞÙÒĐ Ø Ö Û Ð ÌÐ Ö ËÝ Ø ÑÙѹ Û ÐØ Ö Ð Ú ÒØ ĐÙÖ ÞÙ ÙÒØ Ö ÙÒ ËÙ Ý Ø Ñ ÙÒ ÞÙÖ ÄĐÓ ÙÒ Ò Ø Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò º ĐÓÒÒ Ò ÙÒØ Ö Ð Ø Ö ÖØ Ò Ë ĐÓÒÒ Ò Ù ØÞÑĐ Ö Ø ÈÖ ÙÒ Æ¹ Ö Ñ ÒÒµ ÞÒ Ù «ÙÒ ÑĐ Ö Ø Ù Ò ÒÞÑĐ Ö Ø Ù ÃÓ Ø Ò ÒØÛÐÙÒÒ Ù ËØ Ù Ö Ò Đ ØÞ Ù ØÞ ÙÒ Î ÖÓÖ ÒÙÒÒ Ù ØÒ ÁÒÒÓÚ Ø ÓÒ Ò Ù ÅÓØÖ Ò ÙÒ ÚÐ ÒÖ º ĐÙÖ Ð Ö Ð Ú ÒØ ÖÒÒØ Ò ÌÐ Ò ÒØÛÐÙÒ ÑĐÓ Ð Ø Ò Ù ÞÙÞÒ ÔÐ Û ÙÒØ Ö Î ÖÛ Ò ÙÒ Ø Ø Ø Ö ÈÖÓ ÒÓ Ú Ö Ö Òº ÀĐ Ù Ó Ø ÒØ ÒÙÖ ÙÑ Ù ÙÒ Ø ÖÒÙÒ¹ Ò ÓÒÖÒ ÙÑ Ò ÜÔÐÓÖ ØÓÖ Ö ÓÖ ÙÒ ÑĐÓ Ð Ö Ù ĐÙÒ Ø º Ö ËÞ Ò Ö Ó¹ÌÒ Û ÖÒ ÔÐ Û ÑĐÓ Ð ÒØÛÐÙÒ Ú ÖÐĐ Ù ÙÖ ÔÐØ ÙÒ Ù Ö ØÖ Ð Ò ÃÓÒ¹ ÕÙ ÒÞ Ò Ò ÙÒØ Ö Ù Øº  ÖÙÒ Ð ÒÖ ÙÒ Ò Ö Ï Ö ÙÒ Ð ÒÖ Ø Ö Ò Ø ÐØÙÒ ¹ ÓÖ ËØ Ù ÖÙÒ ÒØ ÙÒ ĐÙÖ Ò ÓÞ ÓØÒ ËÝ Ø Ñ Ø ØÓ ÖĐÓ Ö Ø ÙØÙÒ Ö ÒØÛÐÙÒ Ö ËÝ Ø ¹ ÑÙÑÛ ÐØ ÞÙ ÓÑÑغ Ê Ó Ö ÒØ ÙÒ ÒÒ Ñ Ò ÙÖ Ò ÇʹËØÙ ÒØ Ø Ò ÒÙÖ ÙØÐ Ö Ù Ö Ø Ò ØÐÛ ÓÖ ÕÙ ÒØ ÞÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Û ÐØ ÍÒ¹ Ø Ö ØĐÙØÞÙÒ ĐÙÖ ÒØ ÙÒ Ò ÙÒ º ½º¾º ÒØÛÙÖ ÚÓÒ ÒØ ÙÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Ò ÙÒÚ ÖÞØÖ ÉÙ Ð ØĐ Ø Ñ Ö Ñ Ð ÙØ Ö ÈÐ ÒÙÒ Ø ÒÒ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Òº ÒØ Ò ÙØ Ø ÒÒ ÓÒ Ö Ø Ù ÛÐ ÙÒØ Ö Ú Ö Ò Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Òº Ø Đ ÐÐ Ò Ò Ò Ú Ö Ò Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÒØ ÜÔÐ Þ Ø Ò ÒÒØ ÞÙÛ ÖÒ Ö ÙÒ ÓÒÖÒ Ò ÓÔØ Ñ Ð Òع ÙÒ ÙÖ ÅÓÐÐÖÒÙÒÒ Ø ÑÑØ Û Ö º ÀĐ Ù Ó Ð Ò Ñ Ø ÅÓÐÐ Ò ÒÙÖ ÚÓÖÒ Ò ÅĐÓ Ð Ø Ò Û ÖØ Òº ÏĐÖ Ò Ñ Ö Ø Ò ÐÐ Å Ò Ö Ú Ö ĐÙ Ö Ò ÐØ ÖÒ ¹ Ø Ú Ò ÑÔÐ Þ Ø ÖÒ Û Ö Ø Ñ Ð ØÞØ Ö Ò ÐÐ ÜÔÐ Þ Øº Ò ÎÓÖÒ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ú Ö ĐÙ Ö Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Ö Ö Ø Ø Û ÖÒ ÑĐÙ Òº Ö ÒØÛÙÖ ÚÓÒ ÄĐÓ ÙÒ ¹Î ÖÒØ Ò Ø Ò ÖØ Ú Ö ÈÖÓÞ ÃÖØ Ú ØĐ Ø Ø Đ Ø Ò Ö È Ö ÓÒ ÚÓÒ Ò Ò ËÞÛĐ ÒÒ Ó Ø Ù ÖĐÙÖ Ò Ö ÖÙÒÒ Ö Ò µ ÞÙ ÐĐÓ Ò ÙÒ Ñ Ø

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9 à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÄ ÁÌÍÆ UMWELTZUSTÄNDE U U U3... A E E E 3 AKTIONEN A A3 E Ð ÙÒ ½º ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ Ü ÁÒ Ö Ð ÖØ Ò ÓÖÑ Û Ö ÚÓÒ ÙØÐ ØÖ ÒÒØ Ò ÍÑÛ ÐØ ÒØÛÐÙÒÒ Ù ÒÒº ÀĐ Ù ÒÐØ Ó ÙÑ Ò ÃÓÒØ ÒÙÙÑ Ð Ó ÚÓÒ ÙÒØ Ö Ð ÒØ Ò Ú Ò Ù ÔÖĐÙÒÒ ÒÞ ÐÒ Ö Ï ÖØ Þº º ÈÖ ÒØÛÐÙÒÒµº ÒÞ Ð Ø Ò Ö Ñ ØÑ Ø Ò ÅÓÐÐÐ ÙÒ Û ÖÒ ÔĐ Ø Ö Ñ Ù ÑÑ ÒÒ Ñ Ø Ö Ð ÒÖ Ò ÇÔØ ÑÖÙÒ ÔÖÓÒ ÙÒ ÒÒ ÚÓÒ ÐÐ ÔÐ Ò Đ٠غ ½º¾º Ø Ò¹ ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ Ò Ñ ÒØ Ò ÙÑÒ Ö Ø Ò ÙÒ ÚÐ Ø Ø Ò ÌĐ Ø Ø Ð Ñ ÊÑ Ò ÇʹÈÖÓÞ ÐØ Ö ÑØ Ö Ö Ø Òº Ø Ö ÙÑ «ÙÒ Ö Ø Ò ÙÑ ÇÖÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ Ø Ò ÙÒ ÙÑ ÉÙ Ð ØĐ Ø ÙÖØÐÙÒ ÚÓÒ Ø Òº Ñ Ø ÞÙ ÑÑ Ò Đ ÒÒÒ Ø Ú ØĐ Ø Ò Ø Ò Ñ ÒÒ ÞÙ ÞÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Øº Ö Ø Ò «ÙÒ Ø ÞÙ ÙÒØ Ö Ò Ó ÚÓÖÒÒ Ø Ò Ú ÒØÙ ÐÐ Ò Ò Ù Ò ¹ Ø ÔÙÒ Ø Ò ÓÖ Ò Øµ Ú ÖÛ ÒØ Û ÖÒ ĐÓÒÒ Ò ÓÖ Ó Ò Ø Ò Ö Ø Û ÖÒ ÑĐÙ Òº ÁÒ Ò Đ ÐÐ Ò Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø¹Ã ÒÒØÒ ÙÒ ÖÐĐ Ð ÞÙÑ ÒÞ ÔÒ ÚÓÒ Ø ÒÒÒ Ö Ê ÓÖÒ Ø ÓÒ Ö Ø Ò ØÖÙ ØÙÖ ÓÖ Ö ÞÙÑ Ù Ù Ò Ù Ö Ø Ò Đ ØÞ º ÒÑ Ð Û Ö Ñ Ò ĐÙÖÐ Ò Ó Ö Ò Ò Ù Ö Ø Ò Ñ ÊÑ Ò Ö ÚÓÖÒÒ Ò Î ÚÓÖÒÓÑÑ Ò Û ÖÒ ÒÒ ÙÒ Û Ð ÛØ Ö Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ñ Ø Ò Ø Ò ÒÒÚÓÐÐ ÛĐ Ö Òº ÙÑ ÒÖ Ò Û ÖÒ Ó Ø ÙÖ ÅÓÐÐÖÒÙÒÒ ÛÖÙÑ Ø Ò ÖÞ Ù Ø Û Ð ÒÒ ÖÐ Ö Î ÛØ Ö Ù ÖØ Ø Û ÖÒ ÓÐÐ Òº Ñ Ø ÓÑÑØ Ö ÓÖĐ ÐØ Ò ÁÒØÖ Ø ÓÒ Ö Çʹ ÒÛ Ò ÙÒ Ò ØÖ Ð ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Þ ÒØÖ Ð ÙØÙÒ ÞÙº Ï Ö Ú ÖÒÐĐ Ø Ó Ø Ö ÖÓ ÒÑ Ò ĐÙÖ Ò ÍÒØ ÖÐØ Ö ÒÛ Ò ÙÒ ÓÖ Ø Ò Û Ö º º Ä Ò Ù Ö ÙÒ Ñ Ø Ö ÆÙØÞ Ò ÈÖÓ Ø Û Ö Ö ÙÖÞ Òº ÁÒ Ñ Ù ÑÑ ÒÒ ÔÖØ Ñ Ò Ù ÚÓÒ ÁÒ ÐÐĐÓ ÙÒÒ º ÑĐÓÒ Ñ ÊÑ Ò Ö ÒÚÙ ÐÐ Ò Î ÒÓ Ú ÖØÖ ØÖ Ò Ù ÙÒØ Ö¹ ÒÑ Ò ÛØ Ö Ò Ø Ñ Ø Ò ÊÒÐÐ ÚÓÖÒº Ò ÛØ Ö Ö ÔØ Û ÐÖ ÞÙÒÑ Ò Ò ÙØÙÒ Û ÒÒØ Ø Î ÖÛ Ò ÙÒ ÜØ ÖÒ Ö Ø Ò¹ ÕÙ ÐÐ Òº Å Ø Å ØØ ÐÒ Ö ÙØ Ò ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ØÒ Ø Ð Ø ÑĐÓ Ð Ø ÒÒÒ Û Ðع ÛØ ÒÞÙÞ ÔÒº ÞÙÒÑ Ò Î Ö ĐÙ Ö Ø ÜØ ÖÒ Ö Ø Ò «Ø Ò Ù ÈÖÓ Ð Ñ ÏĐÖ Ò Ñ Ò Ø ÒÕÙ Ð ØĐ Ø ÒØ ÖÒ Ú ÖÛ ÐØ Ø Ö Ø Ò ÒÓ ÙØ ÙÖØÐ Ò ÒÒ Ø ĐÙÖ ÜØ ÖÒ Ò Ø Ò ÛÖ Öº ÍÒÒ Ù ÁÒÔÙØ¹Ø Ò ĐÙ Ö Ò Ò ØĐÙÖÐ ÞÙ ÙÒÒ Ù Ò ÅÓÐÐ Ö Ò Òº ½º¾º Ù ÑÑ Ò ÔÐ ÙĐÙ ÖØ Ò ÌĐ Ø Ø Ò Ò ÒÐØÐ Ø Ö Ú ÖÒ ØÞغ Å Ò ÒÒ ÔÐ Û ÒØ Ò ÅÓÐÐ ÒØÛ ÖÒ Ó Ò ÔÓØ ÒØÐÐ Î Ö ĐÙ Ö Ø ÙÒ ÉÙ Ð ØĐ Ø Ö Ø Ò ÞÙ ÒÒ Òº ÒÖ Ö Ø ÒÒ Ñ Ò ÉÙ Ð ØĐ Ø Ö Ø Ò ÒÙÖ ÙÖØÐ Ò Û ÒÒ Ñ Ò Û Û Ð Ø Ò ĐÙÖÙÔØ ĐÙÖ Ò ÅÓÐÐ

10 ½º º ÇʹÈÊÇËË Ì ÁÄ ¾ Å ÌÀ Å ÌÁË À ÇÈ Ê ÌÁÇÆ Æ Å ÅÇÄÄ ÒĐÓØØ Û ÖÒº ÖÒ Ö ÒÒ Ñ Ò ÒØ ÙÒ Ö Ø ÖÒ ÒØ ÒĐÙÐØ ØÐ Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ö ÃÓÒ ÕÙ ÒÞ Ò ÒÓ ÒØ Ñ ÅÓÐÐ ØÙ ÖØ Ø Øº Å Ò Ø Ö Ù ÞĐÐØ Ò Ø Ú ØĐ Ø Ò ÒØ Ð ÞØÐ Ù Ò ÒÖ ÓÐÒ ÞÙ Ú Ö Ø Ò Ò ÓÒÖÒ Ð Ô Ö ÐÐ Ð ÙÒ ÞØÐ ĐÙÖÐ ÔÔ Ò ÙÖ ÞÙ ĐÙ Ö Ò ÌĐ Ø Ø Òº Ö ØÞØ ÖÒ ÌÐ ÇʹÈÖÓÞ Ö ÓÖÖØ ÚÐ Ø Đ Ø Ò ÙÒ Ò ØÙ Ø Ú Ò Ò ØÞ ÙÒØ Ö Ð Ö À Ð Ñ ØØ Ð ÙÒ ÁÒ ØÖÙÑ ÒØ º ½º ½º º½ ÇʹÈÖÓÞ ÌÐ ¾ Å ØÑ Ø ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ñ ÅÓÐÐ Ù ÛÐ ÙÒ»ÓÖ ÒØÛÙÖ ÚÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÙÖ ÙÖĐÙ ÖÙÒ Ö Ñ ØÑ Ø Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ñ ÅÓÐÐ ÒĐÓØØ Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ê Ò¹ Ú Ö Ö Òµº À ÒÐØ ÙÑ Ò ËØ ÒÖ ÑÓÐÐ ÒÒ Ò Ñ Ø Ò Ù ËØ ÒÖÐ ÓÖ Ø Ñ Ò Ú Ö ĐÙ Öº Ë Ö ÙÒ ÒÒ ÖÐ ÇʹÈÖÓÞ ÒÙÖ Ù ÛĐÐØ ÞÙ Û ÖÒº ÔÐ Ò Ø¹ Û Ð ÒÖ ÈÖÓ Ö ÑÑÖÙÒ Æ ØÞÛ Ö Ù Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÝÒ Ñ ÇÔØ ÑÖÙÒ Øº Û Ð Û Ö Ñ ÊÑ Ò Ö ÄÖÚ Ö Ò Ø ÐØÙÒ ÒĐ Ö ÒÒ ÒÐ ÖÒ Òº ÀĐ Ù Ú Ö Ù Ø Ñ Ò Ö ÅÓÐÐ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÓÐ ËØÖÙ ØÙÖ Ò ÞÙ ÒØÛ ÖÒ ĐÙÖ ËØ ÒÖÐ ÓÖ Ø Ñ Ò Ò ØÞØ Û ÖÒ ĐÓÒÒ Òº Ö ÒØÛÙÖ Ò Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ò ÓÒÖ ÖØ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÓÑÒ ØÓÖ Ö ÖØ Ò Öغ ÎÓÒ ÓÑÒ ØÓÖ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÔÖØ Ñ Ò ÑÑ Ö ÒÒ Û ÒÒ Ù Ò Ö Å Ò ÚÓÒ ÃÓÑÒ Ø ÓÒ Ò ÒÞ ÐÒ ÃÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ù Þ Ò Ø Û ÖÒ ÓÐÐ Òº ÒÒØÐ ÛĐ Ø Ò¹ ÞÐ ÒÓÖ ÒÙÒÒ ÚÓÒ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ñ Ø Ò º º ÜÔÓÒ ÒØÐÐ Ò Òº ĐÙÖ ÖÓ Ò Ø Ù Ñ ØØ Ð ËÙÔ ÖÓÑÔÙØ Ö ÒØ ÑĐÓ Ð ÑĐÓ Ð ÃÓÑÒ Ø ÓÒ ÙÖ ÞÙÖÒ Òº ÔÐ Ö ÖØ Ö ÈÖÓ¹ Ð Ñ ÒØ Ø Ò ÙÒØ Ö ÒÖ Ñ Ö Ë ÙÐ ØÙÒÒÔÐ ÒÙÒ Ö Å Ò ÒÐÙÒ ÔÐ ÒÙÒ Ö È Ö ÓÒ ÐÒ ØÞÔÐ ÒÙÒ Ö ÊÒ ÓÐÔÐ ÒÙÒ ÚÓÒ ÄÖ ÖØ Ò Øº ĐÙÖ ÓÑÒ ØÓÖ ÈÖÓ Ð Ñ Ö ÖØ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÈÖ ÒÞ ÔÒ ÞÛ Ö ĐÙÖ Ò ÈÖÓ Ð ÑØÝÔ ÒÛ ÒÒ Ð Ò Ö ÒÙÖ Ú ÖÒÞ ÐØ Ù ÐØ ÙÒ ÚÐ Ø Ò ØÞÖ Ð ÓÖ Ø Ñ Òº ÎÐÑÖ ÑĐÙ Ò Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÒØÛÓÖÒ Û ÖÒº ÒÐØ Đ Ù ÙÑ ÓÒ ÒÒØ ÙÖ Ø Î Ö Ö Ò ÞÛ Ö Ù Ø ÓÔØ Ñ Ð ÄĐÓ ÙÒ ÒØ Ö ÒØÖ Ò ĐÙÖ Ö Ñ Ø Ú Ö Đ ÐØÒ ÑĐ ÐÒ Ñ Ê Ò Ù Û Ò ÙØ ÄĐÓ ÙÒÒ ÒÒº À ÙØ Û ÖÒ Ö ÖØ ÈÖ ÒÞ ÔÒ ÒÒ ÖÐ Ö ÜÔ ÖØ Ò Ý Ø Ñ ÖÐ ÖØ ÙÖÙÒ Ö ÈÖÓ Ð Ñ Ö ÖÙÒ Ò ÜÔ ÖØ Ò Ú Ö Ù Ø Ñ Ò ÐÐÑÒ ÄĐÓ ÙÒ ØÖ ØÒ ÞÙ ÒØÒ ÙÒ Ñ ØØ Ð Ê ÐÒ ÓÖ ÒÖ Ò Ï Ò ¹ Ö Ø ÐÐÙÒÒµ ÞÙ ÖÒº ½º º¾ ÒØÛÙÖ Ö Î¹ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÐÐ ĐÙÖ Ù Ø ÐÐØ Ò ÅÓÐÐ ËØ ÒÖÐ ÓÖ Ø Ñ Ò Ú Ö ĐÙ Ö Ò ÒÒ Ñ Ò Đ Ù Ù ËØ ÒÖ ¹ ιÈÖÓ Ö ÑÑ ÞÙÖĐÙÖÒº ÐØ Ò ÓÒÖ ĐÙÖ Ð ÒÖ ÈÖÓ Ö ÑÑÖÙÒ Æ ØÞ¹ ÔÐ ÒØÒ ĐÙÖ Ù ÛĐÐØ ÅÓÐÐ Ù Ö Ö ÔÒØÓÖ ÓÛ ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ º ÌÖÓØÞÑ Û Ö Ñ Ò ÒØ ÖÙÑ ÖÙÑ ÓÑÑ Ò Ë Ò ØØ Ø ÐÐ ÒÔÖÓ Ð Ñ ÙÖ ÞÙ ÐĐÓ Ò ÁÒØÖ Ø ÓÒ Ò ÚÓ¹ ÖÒÒ ØÖ Ð ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÞÙ ÔÖĐÙÒ ÙÒ Ò ÒÐÐ ÒØ ÔÖ Ò Å Ò¹ ÖÙÒÒ ÚÓÖÞÙÒÑ Òº ÌĐ Ø Ø Ú ÖÐ Ò Ø ÛÖÙÑ Ú ÖØ Ø ÁÒ ÓÖÑ ØÒÒØÒ ÓÒÖ Ù Ñ ÒØÛÙÖ Ö Å Ò ¹Å Ò Ë Ò ØØ Ø ÐÐ º Ï ÖÒ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ö Ø ÐÐØ Ó Ø ÒĐÙØÞÐ Ò Ò Ö ÓÖÑ ÞÙ Ó ÙÑ ÒØÖ Ò Ù ÒÖ È Ö ÓÒ Ò ÄÓ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ú Ö Ø Ò ĐÓÒÒ Òº ÐØ Ñ ÓÒÖ Ò ĐÙÖ

11 ½¼ à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÄ ÁÌÍÆ ÓÒ ÒÒØ ÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Û Ð Ó Ø Ù ÐÒ Ø È Ö Ñ Ø ÖĐ ÒÖÙÒÒ ÙÒÚÓÖÖ Ò Ö Ö Ò ÁÒ Ñ ÐÐ ÑÙ Ñ Ò ÛÙ Ø Ò Ö ÈÖÓ Ö ÑÑ ÒØÛÐÙÒ Ù Û Ò ĐÙÖ Ð Ó¹ Ö Ø Ñ Ò ¾¼± ÙÒ Ò Ö ĐÙÖ Ø ÒÚ ÖÛ ÐØÙÒ ÙÒ Ë Ò ØØ Ø ÐÐ ÒÓÖÒ Ø ÓÒ ¼± ØÖĐغ ½º º ÅÓÐÐÖÒÙÒÒ Ö ÍÑÒ Ñ Ø Ñ ØÑ Ø Ò ÅÓÐÐ Ò Û Ö ÒÒÖ Ñ Ã Ô Ø Ð ¾ ÒÐغ Ò Ö ËØ ÐÐ ØÓÒØ Ú ÖÒÒ ÅÓÐÐÖÒÙÒÒ ÖØ Ò Ö ÒØÛÐÙÒ Ô Ù ĐÙ ÖØ Û ÖÒ ÓÐÐØ Ò ÙÑ ÅÓÐй ÙÒ Ò ÐÝ Ô Ò ÓÖÑ ØÓÖ Ö ÞÙ ÙÖÖ ÒÒ ÖÛ ÖØÙÒ¹ Ò ÞÙ ÐĐ Ö Ò ÙÒ Ò ÓÒÖ Ñ Ë ÒÒ Ò ÔØ Ú Ò ÒØÛÙÖ Ò Ù Ò ÓÖÖÙÒÒ Ò ÒÛ Ò ÙÒ Ó ØÛ Ö ÞÙ Ø ÐÐ Òº Ë ÐÒ ÓÑ Ø Ò ÅÓØÓÖ ĐÙÖ Ò ÒÒÓÚ Ø Ú ÈÖÓ Ø Ö Øº ½º ÇʹÈÖÓÞ ÌÐ ĐÍÖØÖÙÒ Ö Ñ ÅÓÐÐ ÙÒÒ Ò Ö Ò ½º º½ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Æ Ò ÓÖÑ Ð Ò Ø Ú ØĐ Ø Ò ÞÛØ Ò ÌÐ ÇʹÈÖÓÞ ÓÐ Ø Ñ Ö ØØ Ò ÌÐ ÒÙÒÑÖ ÛÖ ÞÙ ÒÑ Ù ÖÐ ÈÖÓ Ð Ñ ÙÒ ÓÞ ÓØÒ ËÝ Ø Ñº ÅÓÐÐ Ö Ò Ò Ñ ÈÖ ÒÞ Ô ÓÖÑ Ð ÒØÛÓÖØ Ò Ù ÓÖÑ Ð Ö Òº Ë ÑĐÙ Ò Ð Ó ÙÖ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ò Ö ÊÐ ØĐ Ø ÛÖ Ñ Ø Ä Ò ĐÙÐÐØ Û ÖÒº Ö Ø Ö ÙÖ Û Ö Ö ÒØÐ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ¹ ÊĐÙ Ù Ò ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ø Ò ÌÐ ÚÓÐÐ ÙÖĐÙ ÖÖº ÅÓÖÒ Ù ÖĐÙ Ø ÓÐÐ Ñ ØØ Ð Ö ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ò Ä ÖÒ¹ ÙÒ Î ÖĐ ÒÖÙÒ ÔÖÓÞ Ñ ÖÐ Ò ËÝ Ø Ñ Ò ØÓ Ò ÙÒ Ò Ö ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÒÐØ Ú ÖÛ Ö ÐØ Û ÖÒº Ï ÖØ Ò ÒÖ Ò ÇÖØ Ò ÖÛĐÒØ Ð Ò ÒØ ÐÐ ĐÙÖ ÈÐ ÒÙÒ ÙÒ ÒØ ÙÒ ¹ Đ ÐÐÙÒ Ö Ð Ò ÔØ Ò Ö ÖÓÖÓ Ò ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ò ÅÓÐÐÖÒÙÒ ÙÒØ ÖÞÒº Ð Ø ÑÑ Ö Ö ÓÖÖÐ ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒÒ ÙÖ ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÞÙ Ú ÖÚÓÐÐ ØĐ ÒÒ ÅÓÐÐ Ò Ò ÞÙÖ ÍÒØ Ö ØĐÙØÞÙÒ Ö ÁÒØÙ Ø ÓÒ ÙÒ ÞÙÖ ĐÓÖÖÙÒ ÈÖÓ Ð ÑÚ Ö ØĐ Ò ¹ Ò ÒÑ Ò Ý Ø Ñ Ø ÒÖ Ø Ñ ÅÓÐÐ Ù Ù ÙÒ Ö ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö ÅÓÐÐ Ö Ò ÓÖÖØ Û Ö º ½º º¾ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ò Þ ÔØÖØ ÅÓÐÐ Û Ö ÛĐÓ ÒÐ ÑÔÐ Ñ ÒØÖ Ò Ð Òº À Ò ØÐ Ö ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÞÛ Ë ØÙ Ø ÓÒ Ò ÞÙ ÙÒØ Ö Ò ÒĐ ÑÐ Ö ÐÑĐ Ù ØÖ Ø Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÙÒ ÒÑ Ð ÈÖÓ Ð Ñ º ÒÑ Ð Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò Þº º ËØ Ò ÓÖØ ÒØ ÙÒÒµ Ö Ù Ø Ñ ÐÐÑÒ Ò ÒÙÖ Ò ÒÞ ÒØ ÙÒ ÚÓÖÖØ Ø ÞÙ Û ÖÒº Æ ÐÙ ÙÒ ÊÐ ÖÙÒ Ö ÒØ ÙÒ Û Ö ÅÓÐÐ ĐÙÖ ĐÙ ÒÒ Ñ Ò ÛÓÐÐ Ñ Ø Ñ ÔĐ Ø Ö ÃÓÒØÖÓÐÐÖÒÙÒÒ ÙÖĐÙ Ö Òº Ñ Ø ¹ Ò Ð ÙÒ ÛÖ Ö ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñ ÒĐÙÖ Þº º ÈÐ ÒÙÒ ÈÖÓ Ù Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ µº ĐÙÖ Ö ÖØ ÈÖÓ Ð Ñ Û Ö Ñ Ò ÅÓÐÐ ÑÔÐ Ñ ÒØÖ Ò ÞÙ Ò Ò ÖÞØ Ò Ù Ö «ÑĐÓ Ð Øº ÙØ Ø Ñ Ò ÅÓÐÐØ Ò ÓÒØ ÒÙÖÐ Ú ÖÛ ÐØ Ø ÙÒ ØÙ Ð ÖØ ÒÛ Ò ÙÒ Ý Ø Ñ ÙÒØ ÖÐØ Ò ÙÒ Ô Ø Û Ö ÙÒ Ö Ò Ö ÅÓÐÐÖÒÙÒÒ ÖÞØ ÛØ ÖÚ Ö Ö Ø Ø Û ÖÒ ÙÒ Ò ÒØ ÙÒ ÔÖÓÞ Ò Ò ĐÓÒÒ Òº ËÓÐ ÅÓ¹ ÐÐ Ñ Ø Ö Ò Î¹ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ö ÓÖÖÒ Ò Ø Ø È Ñ Ë ÒÒ Ò Ö ØÙ Ð ÖÙÒ Ö Ø Ò Ú ÒØÙ ÐÐ Ö ËÓ ØÛ Ö Øº Ö Ó ÙÑ ÒØ Ø ÓÒ ÓÑÑØ Ò Þ ÒØÖ Ð ÙØÙÒ ÞÙ ÑĐÙ Ò Ó ÓÐ ËÝ Ø Ñ ÚÓÒ ÙÒØ Ö Ð Ò È Ö ÓÒ Ò Û ÖØ Ø Û ÖÒº Ö ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ù Ø Ò ØØ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ø Ú ØĐ Ø ÒĐÙÖ Ö Ø ÐØ Ø ÐРȹ Ò ÇʹÈÖÓÞ ÑÙ Ó Ø Ø Ö ÒÛ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ñ Ù ÐØ Ò Û ÖÒº Ç Ø Ø

12 ½º º ÇʹÈÊÇËË Ì ÁÄ Đ ÍÊÌÊÍÆ Ê ÍÆÆ Æ Ê ÆÁËË ½½ Ñ Ø ÓÖÒ ØÓÖ Ò Î ÖĐ ÒÖÙÒÒ Ú Ö ÙÒÒ Û Ð ÓÖĐ ÐØ ÔÐ ÒØ ÙÒ ÛÖÒÓÑÑ Ò Û ÖÒ ÑĐÙ Òº ÇÖÒ Ø ÓÒ Ò Ò ØÖĐ ÙÒ Ñ Ò ÒĐÓØØ Ò Å Ò Ò Ö ÙÑ Û ¹ ÙÒ ÖØÙÒÒ ÞÙ Đ ÒÖÒ ½º º Ù ÑÑ Ò ÔÐ ÐÐ Ö ÌÐ ÇʹÈÖÓÞ Ò Ò ÐÖ Ï ĐÙÖ Ò Ö ÓÐ ÚÓÒ ÙØÙÒ º ÍÒÞÙÐĐ Ò Ð ¹ Ø Ò Ñ Ö Ø Ò ÌÐ ĐÓÒÒ Ò ÞÙ ĐÙ Ö Ò Ð ÈÖÓ Ð Ñ ÐĐÓ Ø Û Ö ĐÙ Ö Ò Ò Đ Ù Ö Çʹ Ð Öµº Ð Ö ÑÞÛØ Ò ÌÐ ĐÓÒÒ Ò ÞÙ Ð Ò Û ÖØÙÒÒ ĐÙ Ö Òº ÁÒ ÓÒÖ ÔÐØ Ö ÒÙÑ Ö ÆÞÒÞ Ò Þ ÒØÖ Ð ÊÓÐÐ ÎÐ Î Ö Ö Ò ØÞ Ò Ò Ò Ñ Ø Ö ÈÖÓ¹ Ð Ñ ÖĐÓ ÜÔÓÒ ÒØÐÐ Û ÒÒ Ê Ò Ù Û Ò º Á Ø Ñ Ò Ö Ö ÒØ ÛÙ Ø Ó ĐÓÒÒ Ò Ö ÔÖØ Ò ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÒÞ ÔØÐ Ä Ù ÞØ Ò ÒØ Ø Ò Û ÒÓØÛ ÒÖ¹ Û ÞÙ Ò Ö ÐÒÙÒ ÅÓÐÐ ĐÙ Ö Ò Û Ö Ò Î ÖÒÐĐ ÙÒ Ö ØØ Ò ÌÐ ÒÒ ÞÙÖ ÓÐ Ò ÑØ Ö Ø Ò Å Ö ÓÐ Û Ö ÛÐ Þ ÔØ ÒÞ Ðغ ĐÍ Ö Ò Ù Ñ ÅÓÐÐÖ Ò ÐØ ËÑ ÐÐ ÙØÙÐ

13 ½¾ à ÈÁÌ Ä ½º ÁÆÄ ÁÌÍÆ

14 Ã Ô Ø Ð ¾ ÅÓÐÐÐ ÙÒ Ñ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ¾º½ ÅÓÐÐ ÙÒ ÊÐ ØĐ Ø Ç Ñ Ò Ò ÒÞÐÐ Ë ØÙ Ø ÓÒ Ò Ö ÖÑ ÒÒ Ö Ö Ð ÒÞ ÙÖØÐØ Ò Ï ÖØ ÚÓÒ ĐÙØ ÖÒ Ò ÑÓÒ ØĐ Ö Ò Ò Ø Ò Ñ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ø ÐÐÑ Ò ÙÑ Ò Ä Ö Ø Ò ÞÙ ÐØ Ò Ø ÑÑØ Ò ÒÑ Ò Ò ÓØ ĐÙÖ ÈØ Ò ÀÓØ Ð Ù Ö Ø Ø ÓÖ Ò Ó Ø Ò ĐÙÒ Ø Ø Ò ĐÙØ Ö Ù ÚÓÒ Ö Ö ÞÙÑ Î Ö Ö ÙÖ ÖÒ Ø ÑÑ Ö Ö Ø Ø Ñ Ò Ñ Ø Ò Ö ØÖØ ÓÒ Û Ö Ð Ò ÈÖÓÞ Ò Ñ ÅÓÐк ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ĐØØ Ñ Ø ÅĐÓ Ð Ø Ò ÒØ ÙÒÒ Ò ÍÒØ ÖÒÑÙÒ¹ Ò ØÖÓ«Ò Û ÖÒ ÙÖ ÅÓÐÐ ÞÙ ÙÒØ Ö ØĐÙØÞ Òº Ö Ø Ò ÖØ Ò ÖÙÒ Đ ØÞÐ ĐÍÖÐÙÒÒ ÞÙÑ Î Ö Đ ÐØÒ ÅÓÐÐ ÙÒ ÊÐ ØĐ Ø ÒÞÙ Ø ÐÐ Òº ÈÐÓ ÓÔ Ò ÐÙÒÒ ÞÙ ¹ Ñ ÌÑ Ò ÚÓÒ ÖÙÒ Ö Ö ËØ ÚÐ Ú ÖĐÓ«ÒØÐØ ÛÓÖÒ Ò Ø ÒÒ Ù ĐÙ ÖÙÒÒ Ò Ö ÚÓÖÛÒ Ñ Ø Ñ ÔÖØ Ò ÍÑÒ Ñ Ø ÅÓÐÐ Òº Ñ ÅÓÐÐ ÞÙ ÖÙÒ ÐÒ Ù Ø Ò Ò ÞÙ ÖÒ Ë Ø Ñ Ò Ò Ñ È Đ ÒÓÑ Ò ÒĐÙÖ Ø ÐÐØ Û Ð ÖØ ÞÙ ÙÒØ Ö ÙÒ ÞÙ ÓÑÔÐ Ü ÞÙ ĐÖÐ ÓÖ ÞÙ Ó Ø ÔÐ Ø Ó Ð Ø Ñ Ò Ñ Ø Ò Ö ÆÐ ÙÒ Ò Ñ ÅÓÐÐ Û Ð Ò Ò Ò Þ Ò¹ ØÖ Ð Ò ÔØ Ò Ñ ÞÙ ÙÒØ Ö ÙÒÒ Ò Ø Ò Ð Ø Ö Ò À ÒÙÒ ÒÖ ÐÐ Ö ÙÒ Û Ò Ö ĐÖÐ Ø ÅÓÐÐ Ù Þ Ù ÅÓÐÙÐ ÖÑÓÐÐ Ä Ò ÖØ Ñ ØÑ Ø ÅÓÐÐ ÍÒØ ÖÒÑ Ò ÑÓÐÐ Ù Ñ ÓÑÔÙØ Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÑÓÐеµº ÁÒ Ñ ÐÐ Û Ö ¹ Ñ Ø Ò Ä ÖÒÞÛ ĐÙÖ Ò ÞÙ ÙÒØ Ö ÙÒÒ Ò Ø Ò Ú Ö ÓРغ Ò ÅÓÐÐ Ò ÑÒ Ñ Ò Á Ð ÖÙÒ ÓÖ ØÖØ ÓÒ Ò ÌÐ Ö ÊÐ ØĐ Ø ÙÒÚÓÐÐ ØĐ Ò Ö Ø ÐÐÙÒ ÖÐ Ò È Đ ÒÓÑ Ò ÁÑ Ø Ø ÓÒ Ö ÊÐ ØĐ Øµº Ñ Ø Ò ÅÓÐÐ Ò Ö ØÞ ØĐÙ ĐÙÖ ÊÐ ØĐ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØÖÐÓÖ ĐÙÖ Ò Ò ÐÝØ Ö ÛÓÑ Ø Ð ÞØ ÑÔÐ ÞÖØ Û Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙÖĐÙ ÖØ ÙÒ ÓÑ Ø Ö Ò Ò ÅÓÐÐ Ø ÐÐØ Û ÖÒ Ò ÅÓÐÐ Û Ö Û ÒØÐ ÙÖ Û ØÞÙÒ ÔÖĐغ Ò ÅÓÐÐ ÖÖ Ø Ò ÚÓÐÐ Ï Ö ÙÒ ÒÑ ÐÐ Ù Ö Ï ÒØÐ ÛÐ Ò Û Ö ĐÒ¹ Ð Ò Ö Ã Ö ØÙÖµº Ñ Ø Ð Ø ÑÑ Ö Ò Û Ö ØÐÐÖÙÒ Ö ĐÙ Ö Û ÐÖ ÙÖ Ò Û Ö Ñ ÅÓÐÐ ÒØ Ö Ø ÙÒ Ö ÐĐ ÖØ Û ÖÒ Û Ðк ÁÑ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö Û ÖÒ ÅÓÐÐ ÙÔØ ĐÐ ÞÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Û ÒÒÙÒ ĐÙÖ ÃÓÒ ¹ ÕÙ ÒÞ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ò Ò ØÞغ Ñ Ø Ò Ò ÇÊßÅÓÐÐ Ö ÒØ ÙÒ ÙÒØ Ö ØĐÙØÞÙÒ ÙÒ ÈÐ ÒÙÒ º Ë Ö ØØ ÞÙÑ Ù Ù Ò Ö ÖØ Ò ÅÓÐÐ ÅÓÐÐÖÙÒ µ ĐÙÖ Ò Ò ÈÖÓ Ð Ñ ØÙ Ø ÓÒ Ò ½µ ÙÖÙÒ ÚÓÒ Ö ÖÙÒ ÙÒ Ó ØÙÒÒ Ò ÔØ ÙÒ Ö Ø ÐÐÙÒÒ ØÐ Ò Û Ð ĐÙÖ ÚÓÖÐÒ ÈÖÓ Ð Ñ ØÙ Ø ÓÒ ÛØ Ò ÅÓÐÐÞÛµº ½

15 ½ à ÈÁÌ Ä ¾º ÅÇÄÄ ÁÄ ÍÆ ÁÅ ÇÈ Ê ÌÁÇÆË Ê ËÊ À ¾µ ÛØ Ø Ò Þ ÙÒÒ ÞÛ Ò Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÜÔÐ Þ Ø Ù Ø ÐÐ Ò ÅÓÐÐ ØÖÙ ØÙÖµ ÙÒ µ ÀÝÔÓØ Ò ĐÙÖ Æ ØÙÖ Ö Þ ÙÒÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÅÓÐÐ ÓÖÑÙÐÖÙÒ µº Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Þ ÙÒÒ Û Ð Ó Ø Ò Ñ ØÑ Ø Ö ÓÖÑ Ò Ø Ù ÖĐÙÒ Ð Ò ÙÒ Ö ÓÑÑØ Ò Ñ ØÑ Ø Ò ÅÓÐÐ Ò ÙÒ Ö Ò ÄĐÓ ÙÒ Ù Ñ ÓÑÔÙØ Ö Ò Ù Þ Ò Ø ÙØÙÒ ÞÙº ÁÒ Ö Ò Ø ÒÒ º¾º½ Ø Ù ÑÑ Ò ÔÐ ÞÛ Ò ÅÓÐÐ ÙÒ ÊÐ ØĐ Ø ÒÓ Ñ Ð Ñ Ø Ö Ø ÐÐغ Strukturen und Daten Beobachtung Erfahrung Realität Analysen Massnahmen Modell Erkenntnis Entscheidung Ð ÙÒ ¾º½ Ù ÑÑ Ò ÔÐ ÞÛ Ò ÅÓÐÐ ÙÒ ÊÐ ØĐ Ø ÛØ Ø Ò ÉÙ Ð ØĐ Ø Ñ Ö Ñ Ð Ò ÙØ Ò ÅÓÐÐ Ò Ê Ð Ú ÒÞ ÙÒ ĐÙÐØ Ø Î Ð ØĐ Øµº ÏĐÖ Ò Ê Ð Ú ÒÞ Ù ÅÓÐÐÞÛ ØÞÙÒ Þ Ø Ò ÒØ ÒÒ ÒØ Ö ¹ Ö ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÐÐ Ò ÙÒØ Ö Ù Ø Û ÖÒµ «Ø ĐÙÐØ Ø Î ÖØÖ Ù Ò ĐÙÖ ÒØ ÖÔÖ ØÖ ÒÒµ ÅÓÐÐß Ö Ò º ÅÓÐÐÖ Ò Ø Ö Ð ÈÖÓÞ ÞÙ Ú Ö Ø Ò Ò Ö Ø ÓÐÐ Ò ÖØ Ò Ö Ò ÖÒÒØ ÙÒ ÒÖ Ö Ø Ú ÖØÖ Ù Ò ÚÓÐÐ ÒØÛÓÖØ Ø Û ÖÒº Æ ØĐÙÖÐ Ø Ö ĐÙÐØ Ø Ø Ø ÒØ ÓÐÙØ ÞÙ Ú Ö Ø Ò Ö ÙÑ Î ÖØÖ Ù Ò ÞÙ «Ò ÓÐÐØ Ò Ñ Ò Ø Ò ÓÐÒ Ö Ò ÙÒØ Ö Ù Ø Û ÖÒ µ Ö Ø ÅÓÐÐ ÓÖÖØ ÙÒ Ð Ö ÒÒØ Ò Ì Ø Ò ÙÒ ÈÖÓ Ð Ñ ØÙ Ø ÓÒ Ò µ Đ ÒÖØ Ñ Ò ÛØ Ø Ò ÅÓÐÐ ÖĐÓ Ò ÐÒ ÒÒ Ê ÙÐØ Ø ÓÒ Ø ÒØ µ Ä Ò ËÔ ÞÐ Đ ÐÐ ÒÐÒ Ö Ò Ö Ò ÚÓÖ Ù Ø Û ÖÒ ĐÓÒÒ Ò Úµ Ä Ò ÞÙÒÒØ Ò Ï Ö ÙÒÒ Ö Ò ÍÖ Ò ÞÙÓÖ Ò Ò ÙÒ ÒØ ÖÔÖ ØÖ Ò Ï º ºÇº ÖÛĐÒØ Ð Ò ÒØ ÐÐ ĐÙÖ ÈÐ ÒÙÒ ÙÒ ÒØ ÙÒ Đ ÐÐÙÒ Ö Ð Ò ÔØ ÙÒ Ö Ò Ö ÖÓÖÓ Ò ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ò ÅÓÐÐ Ò ÐÝ ÙÒØ ÖÞÒº Ð Ø Ö ÓÖ¹ ÖÐ ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒÒ ÙÖ ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÞÙ Ú ÖÚÓÐÐ ØĐ ÒÒ ÅÓÐÐ Ò Ò ÞÙÖ ÍÒØ Ö ØĐÙØÞÙÒ Ö ÁÒØÙ Ø ÓÒ ÙÒ ÞÙÖ ĐÓÖÖÙÒ ÈÖÓ Ð ÑÚ Ö ØĐ Ò Ò ÒÑ Ò Ý Ø Ñ Ø ÒÖ Ø Ñ ÅÓÐÐ Ù Ù ÙÒ Ö ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ö ÅÓÐÐ Ö Ò ĐÓÖÖØ Û Ö º ÁÑÔÐ Þ Ø Ø Ñ Ø Ø ÅÓÐÐ Ö Ö Æ ØÙÖ Ò Ö ÒÞØ Ò º Ø Ö Ø Ñ ¹ Ö ÒÞÙÒ Ñ ÅÓÐÐÙ Ð Ö ÞÙ ÚÓÐÐÞÒº ÐØ Ò ÓÒÖ ĐÙÖ Ñ Ø Ö ÔÐ Ò Ö Ò ÌĐ Ø Ø ÒÖÒÒ ÍÒ Ö Ø Òº Î ÖÒÐĐ ÙÒ ÚÓÒ ĐÍÖÐÙÒÒ ÞÙÖ Ö ÙÒ ÚÓÒ ÍÒÛ Ø Ò Ø Ò ÖÓÒ µ ÃÖ ÒØ ÚÓÒ ÈÐ Ò ÖÒ Û Ð ÞÙ ÚĐÓÐÐ Ð Ò Ë ÐĐÙ Ò Ú ÖÐØ Ò ÒÒº ÍÒ Ö Ø Ò ĐÙÖ ĐÓ ÓÒÓÑ ØÒ ÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÖĐÓ Ò Û Ð Ñ Ò ÓÖ Û Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ö Ò Ð Ò ÓÑÔÐ ÞÖ Ò ÞÛ Ö Ò ÅÓÐÐÙ Ö Ñ ÐÐÑÒ Ò ÒÒ Ï Û ÖĐÙ Ø Ò Ð Òº Ë ÛÖ Ö Ø ÍÒØ ÖÒÒ Ù Ò ĐÙÖ ÞÙ ĐÙÒ Ø Î ÖÐØ Ò ÚÓÒ È Ö ÓÒ Ò Ö ÍÑÛ ÐØ Ù Ûº ÞÙ Ñ Òº Ö Ó ÍÒ Ö ¹ Ø Ò Ø Ø Ø Ö Ò Ð Ò ÓÖ ÒØ Ø ÚÓÒ ÙÒ Đ Ö Ö Æ ØÙÖ ÒØ Ò Ø Ñ Ò Ñ Ø Ò Ò Ø Ë Ò Ø Ú ØĐ Ø Ò ÐÝ Ø Ò Ö ÛØ Ø Òµ Å Ø ÓÒ ÙÑ Ù Û Ö¹ ÙÒÒ ÙÒ Ö Ö ÖĐÓ Ò ÑÓÐÐÑĐ ÞÙ ÙÒØ Ö ÙÒº ÖÙÒØ Ö Ú Ö ØØ Ñ ÒÒØ Ò ËÝ Ø ÑÚ ÖÐØ Ò Î ÖØ ÓÒ Ò Ö È Ö Ñ Ø Ö Ò Ñ ÒÖ Ò ÞÙ ÙÒØ Ö ÙÒ ÓÒÖÒ

16 ¾º¾º Å ÌÀ Å ÌÁË À ÅÇÄÄ ÁÅ ÇÈ Ê ÌÁÇÆË Ê ËÊ À ½ Ø ÑÑÙÒ Ö Î ÖÐØ Ò Đ ÒÖÙÒÒ ËÝ Ø Ñ Ð ÞØ Ö Î ÖØ ÓÒ ÑÖ Ö Ö È Ö Ñ ¹ Ø Ö ÔÐ Û Ñ Ø À Ð Ò Ö ÅÓÒØ ¹ÖÐÓ¹Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÖ ÙÖÙÒ Ú Ö Ò Ö ËÞ Ò ÖÒ ÐØ ÖÒ Ø ÚÔÐ ÒÙÒ µº ÚÓÖ Ñ Ò Ñ Ø Ö ÒØÛÐÙÒ Ò ÓÑÔÙØ Ö ØĐÙØÞØ Ò Ñ ØÑ Ø Ò ÅÓÐÐ ÒÒØ Ø Ö Ø Ñ ÓÐÒ Ö Ò ÞÙ Ø ÐÐ Ò ½µ Ë Ò Î Ö Ð Ò Û Ð Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒ ÒÒ ÓÐÐ Ò Ø Ù Ö¹ ÙÒ Ñ Ö ¾µ Ü ØÖØ ÖØ Ò Ø Ò Ù Û ÐÖ ÒĐÓØØ Ò Ø Ò Ò ÒÖ ÓÖÑ Ù ¹ ÖØ Ø Û ÖÒ ĐÓÒÒ Ò µ Á Ø ÞÙ ÙÒØ Ö ÙÒ ÈÖÓ Ð Ñ ÛÓ Ð ÒÖØ Ò ÙØ Ø ÐÐØ Ö Ø ÖØ Ò ÛØ ¹ Ö Ø Ò ØÐ Ö ÒØÛÓÖص ÙÒ Ø Ò ÞÙÚ ÖÐĐ ÖĐÙÒ ĐÙÖ ÛÑĐ Ø Ò Ñ ØÑ Ø Ò ÅÓÐÐ ÅÓÐÐÞÛµ µ Ä Ò ĐÙÖ ÍÒ Ö Ø Ò Ö ÞÙ ÖÙÒÐÒÒ Ø Ò Ø Ø Ø Ö Ð Ú ÒØ Ù ¹ Ò Ñ Ò Ò ÒÒÚÓÐÐ ËÞ Ò ÖÒ ÓÖÑÙÐÖÖ ÃĐÓÒÒ Ò Ö Ò ÑØ Ø ÔÓ Ø Ú ÒØÛÓÖØ Ø Û ÖÒ Ó Ò Ò Ò ĐÙÖ Ò Ò Ö Óй ÖÒ ÅÓÐÐÒ ØÞ ÖØ ÖÓ º ÂÓ ÑÙ Ñ Ò ÑÑ Ö Ñ Ð Ö Ò Ò ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ò ÐÝ Ò Ò Ö Ñ Ù Ö ÖĐ Ò Ø Ò Ò ÐÐ ÔØ Ñ Ñ ØÑ Ø Ò ÅÓÐÐ Ö Ø Û ÖÒ ÙÒ ĐÙÖ Ò ÙØ ÒØ ÙÒ ÑÖ Ð Ð Ö Ö Ñ ØÑ Ø Å Ø ÓÒ ÒĐÓØØ Û Ö¹ Òº ¾º¾ Å ØÑ Ø ÅÓÐÐ Ñ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÖÙÒ Ð Ò ĐÙÖ Ñ ØÑ Ø ÅÓÐÐ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö Ø Ö Ö «Ö ÒØ ÙÒ ÛÓÖÙÒØ Ö Û Ö Ò ÛÙ Ø ÏÐÒ ÐÙÒ Ú Ö Ø Ò ÛÓÐÐ Òº Ñ Ø Ø ÑÔÐ Þ Ø Ù Ø ÒØ ÙÒÒ ÑÑ Ö ÚÓÒ È Ö ÓÒ Ò ØÖÓ«Ò Û ÖÒ ÔÐ Û ÓÑÔÙØ Ö ÒØ ÛÙ Ø ÒÐÒ ĐÓÒÒ Òº  ÏÐÒ ÐÙÒ ØÞØ Ù Ò Ö ÎÐÞÐ Ú Ö Ò Ö Ð Ñ ÒØ ÞÙ ÑÑ Ò ÞÙÑ ÌÐ Ò Ù Ö ÞÙÑ ÌÐ ÙÒÒ Ù Ö Ò º Ä ØÞØ Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ö ÒØ ÙÒ ÞÙ ÖĐÙ ¹ Ø ÒÒ Ø ÒÖÑ Ò Ö ÛĐÖ Ò Ï ÖØ ÓÑÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ö Ò Ù Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ð ÒØ ÙÒ ¹µ ÐØ ÖÒ Ø Ú Þ Ò Ø Û Ö º Ù Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÑ Ò Û Ö ÒÒ Ò ÞÛº Ò ÌÐÑ Òµ Ù ÛĐÐØ Ð Ò Ø ĐÙÖ ÖÖÒ Ö Ð Ò Ò Û Ö º Å Ø Ö Ð Ù ÖØÙÒ Ø Ò ÛØ Ö ÓÒ Ø ØÙÖ Ò Å Ö Ñ Ð ÚÓÒ ÒØ ÙÒÒ Ò ÔÖÓÒº ÍÒØ Ö Ò Ñ Ð Ø Ò ÒÞÙ ØÖ ÒÖ Ù Ø Ò ÞÙ Ú Ö Ø Ò Ö ÖÛ ÐÐ ¹ Þº º ÖÛĐÙÒ Ø Ö ¹ Û ÒÒ ¹ ÓÖ ÙÒ ÖÛ ÐÐ ¹ Þº º Ä ÕÙ ØĐ Ø ¹ Ú Ö ÓÐ Ø Û Ö º Ñ Ø ĐÙÖÙÔØ Ò ÒØ ÙÒ ÒÓØÛ Ò¹ Û Ö ÑÙ ÞÙÒĐ Ø Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÍÒÒ ÚÓÖÒÒ Ò Û Ð Ð Û ÙÒ ÞÛ Ò Ø Ø ĐÐ Ñ ÙÒ ÖÛĐÙÒ Ø Ñ Ù Ø Ò Ö ÐĐ ÖØ Û ÖÒ ÒÒº ÒÒ Ö ÒÞÙ ØÖ ÒÒ ÞÙ ĐÙÒ Ø Ò Ù ØĐ Ò ¹ Ö Ð ¹ Û Ö ÒÒ ÒÙÒ Ö Ú Ö Ò Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÔÖĐ٠غ ÞÙ Ø Ò ÎÓÖ Ù Ö ÞÙ ÖÛ ÖØ ÒÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÛ Ö ÙÒÒ Ù Ð Ö ÓÖÖк ÙÑ ÒØ Ò Ò Ð Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ĐÙÖ Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÙÒ Ø Ò ÒÓØÛ Ò Ñ ÒØ ÙÒ ÔÖÓÞ Ö Ö Ø Ø Û ÖÒº ÒÖ Ò ÙÒ ÖÒÒ Ò ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÈÖÓ Ð Ñ ÒØ Ø ÓÒµ ËÙÒ Ò ÒØ ÙÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÄĐÓ ÙÒ Ö ÙÑ µ ÁÒ ÓÖÑ ØÓÖ ÙÒ ÖÙÒ Ö ÒØ ÙÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Ï Ö ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò» ÃÓÒ ÕÙ Ò¹ Þ Òµ ÖÑ ØØÐÙÒ Ö ÐÛ Ö Ñ Ø Ö ÒØ ÙÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Ä ØÙÒ ÔÖÓ Ðµ Ò Ð ÒØ ÙÒ Ù Ûеº

17 ½ à ÈÁÌ Ä ¾º ÅÇÄÄ ÁÄ ÍÆ ÁÅ ÇÈ Ê ÌÁÇÆË Ê ËÊ À ÁÑ ÓÐÒÒ ÓÐÐ Ò ÅÓÐÐ ÚÓÖ Ø ÐÐØ Û ÖÒ Ñ Ø Ö Ò À Ð Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÛ ÖØÙÒ ÙÖĐÙ Ö Ò ÐĐ Ø Ð Ñ ÒØ ÅÓÐÐ Û ÖÒ Û ÇØ Ò Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÛ ÖØÙÒ Þ Ò Ø º º Ò Ð Ñ ÒØ Û ÖÒ ÒØ ÙÒ ÞÐ ÒÖ Û ÖÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÍÑÛ ÐØÞÙ ØĐ Ò Ù Ûº Ò ÒÒغ ÙÖ ÓÖÑ Ð¹ÐÓ Þ ÙÒÒ ÞÛ Ò Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ù Ö Å Ò Ò ËØÖÙ ØÙÖ Òº Ö ÞÙ ÞÙÑ ÖÐ Ò ÒØ ÙÒ ÔÖÓÞ Û Ö ÒÙÒ Ó Ö Ø ÐÐØ Ð Ñ ÒØ ÙÒ ËØÖÙ ¹ ØÙÖ Ò ÅÓÐÐ Ð ÇØ Ò Ö ÖÐ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÛ ÖØÙÒ ÒØ ÖÔÖ ØÖØ Û ÖÒ º ¾º¾µ Reale Alternativenbewertung Modell - Entscheidungsziele - Alternativen Interpretation - Datenrahmen - Bewertungsvorgehen Modell-Lösung Lösungsmethode Ð ÙÒ ¾º¾ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÛ ÖØÙÒ ÅÓÐÐ ÅÓÐÐ ÙÒ Ò ÄĐÓ ÙÒ Û ÖÒ Ñ ÒØ ÒØ ÖÔÖ ØÖØ ÛĐÖ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÚÓÑ ÅÓÐÐ ÞÙÖ ÄĐÓ ÙÒ Ñ Ø Å Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Þº ºµ ÙÖĐÙ ÖØ Û Ö º Ñ Ø Ø Ð Ö Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐØ Ö ÄĐÓ ÙÒ ÙÖ ÒÒ Ò ÅÓÐÐ Ö ÒÞØ Û Ö ÒØ Ò ÁÒ ÓÖÑ ¹ Ø ÓÒ Ú Ö Ö ØÙÒ Ø Øغ ÉÙ ÒØ Ø Ø Ú ÅÓÐÐ Ð Ò Ò ÙÒØ Ö Ð Ò Ø ÔÙÒ Ø Ò Ð ÞÖ Òº Ò Ù Ö ÒØÒ ÃÓÑÔÐ Ü ØĐ Ø ÞÓÒ ÍÒØ ÖØÐÙÒ Ø Ò Ö ÓÐÒÒ º ¾º ÒØÐØ Òº Ñ Ò ÓÒ Û Ò Î Ö Ð ¾¼µ ÚÐ Î Ö Ð Î Ö Ð ÒØÝÔ ÓÒØ ÒÙÖÐ Ñ Øµ ÒÞÞÐ Ö Ö ÍÒÛ Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÔÖÓÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð Þ ÙÒÒ Ð ÒÖ ÒØÐ ÒÖ Ø Ø Ø ÝÒ Ñ Ð ÙÒ ¾º ÃÐ ÞÖÙÒ ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ö ÅÓÐÐ ÁÑ ÈÖÓ Ð ÑÖ ÙÑ Ð Ø Ò ÅÓÐÐ µ Ò Ø Ò ÓÑ Ø ÖØ ¾ ¾ ÅĐÓ Ð Ø Ò Û Ð ÙÖ ÙÒØ Ö Ð Ë ÛÖ Ø Ö ÙÒØ Ö Òº ÛÖ Ø Ò ÙÒ ÐÖ Ò ÖÐ Ò Ò¹ ÙÒ ØÙ Ø ÓÒ Ò Đ Ù ÒÞÙØÖ «ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÖØ Ö ÖØ ÙÖ ÚÐ Î Ö Ð ÒÞ ÓÖ ÓÒØ ÒÙÖе Ñ Ø ÒØÐ ÒÖ Ò Þ ÙÒÒ ÓÖ ÍÒÛ Ø ÙÒ Ò ÐÐ Ö Î ÖĐ ÒÖÙÒ Ñ ØÐ Ù º Â Ò ÖØ Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÛ ÖØÙÒ ÜÔÐ Þ Ø ÓÖ ÑÔÐ Þ Øµ ÙÒØ Ö Ø Ñ Ò ÞÙÑ ÖÑ Ø¹ ØÐÙÒ ÑÓÐÐ ÚÓÒ ÇÔØ Ñ ÐÑÓÐÐ Òº ÖØ Ö Ø ÚÓÒ ÖÑ ØØÐÙÒ ÑÓÐÐ Ò ØØ Ö Ò Ð ØÖĐ Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú ÖØ ÖÒ Ø Û ÖÒº ËÓÑ Ø Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÑ Ò ÜÔÐ Þ Ø Ò ÙÒ Ò Ðº ¹ Ö ÙÒ Ö ÅÓÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ö ÓÐ Ø ÙÖ ÐÓ ËÝÑ ÓÐ ÖÙÒ ÓÖ ËÝ Ø Ñ ÚÓÒ Ø ÑÑÙÒ ¹ Ð ÙÒÒº ÁÑ Ð ØÞØ Ö Ò ÐÐ Ø Ò Ù Ø Ò Đ ÒÒ Î Ö Ð Ò ĐÙÖ Ð ÛĐÖ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÙÒ Ö Ø ÒÖÑ Ò ÙÖ È Ö Ñ Ø Ö Ö Ø ÐÐØ Û ÖÒ Â Ï ÖØ ÓÑÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ù Ö Ò È Ö Ñ Ø Ö Ø Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÛÓ ĐÙÖ ÒÞ ÐÒ ÑÖÛ ÖØ ÖÛ ÖØÙÒÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÛ Ö ÙÒÒµ Ø Ò ĐÓÒÒ Òº ÌÖ ØØ ÒÙÖ Ò ÐÚ Ö Ð Ù Ó Û Ö ÚÓÒ ÒÒ Ñ ÐÐ ÑÖ Ö Ö ÚÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ò ÖÑ ØØÐÙÒ ÑÓÐÐ Ò ÔÖÓÒº

18 ¾º¾º Å ÌÀ Å ÌÁË À ÅÇÄÄ ÁÅ ÇÈ Ê ÌÁÇÆË Ê ËÊ À ½ ÁÒØ Ö ÒØ Ò Ò ÖÑ ØØÐÙÒ ÑÓÐÐ ÖÒ Ð Ñ ÐÑ Øº Ö ÒÞ ÐÒ Ð ØÖ ÐĐ Ø ÒÒ Ð ÜÔÐ Þ Ø µ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÒÖ ÒÒ È Ö Ñ Ø ÖÒ ÖÒ Þ ½ Ô µ Ø Þ Ö Ù Ø Ð ØÖ ½ Ô Ò Ò Ù Ö ÙÒ ÙÒÒ Ù Ö È Ö Ñ Ø Ö ÙÒ Ø ÐÐØ Î Ö ÒĐÙÔ ÙÒ ÞÛ Ò ½ Ô Öº ÒÒØ ÔÐ ĐÙÖ Ò ÖÑ ØØÐÙÒ ÑÓÐÐ Ò ÃÓ Ø ÒÐ ÙÐ Ø ÓÒ Ò Ö ß Ú Òß Ò ÐÝ Ò ÙÒ ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ ÖÒÙÒÒº ÙÖ ÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ö Ã Ô Ø ÐÛ ÖØ ÓÖÑ Ð Ö Ù Ö «Òº Ö Ã ¹ Ô Ø ÐÛ ÖØ Ò Ö ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÐĐ Ø ÙÖ ÓÐÒ Ð ÙÒ Ø ÑÑ Ò Ò Þ ¼ ¼ Í ½ µ Ä ½ µ Ò Ø Ò È Ö Ñ Ø Ö ĐÙÖ ÒÒÑ Ò ÙÒ Í ĐÙÖ Ù Ò ÞÙÑ ØÔÙÒ Ø Ñ Ø ¼ Ò Ä ĐÙÖ Ò Ä ÕÙ Ø ÓÒ ÖÐĐÓ ĐÙÖ Ò «ÙÒ Ù Ò Ò ĐÙÖ ÒÞÐ Ö ¹ ØÖØ Ø Ò È Ö ÓÒ ĐÙÖ Ò Ã Ð ÙÐ Ø ÓÒ Þ Ò Ù ÙÒ Þ ¼ ĐÙÖ Ù Ø Î Ö Ð Ò Ã Ô Ø ÐÛ Öغ Ù Ò ÔÙÒ Ø ÓÑÔÐ Ü Ò ÖÑ ØØÐÙÒ ÑÓÐÐ Ò Ø ÒÐÐ Ò Ò Ð ÜÔÐ Þ Ø Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÑ Òº ÙÒĐ Ø Ø Ï Ö Ñ Ø Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ØÐ Ö ÐÚ Ö Ð ÜÔÐ Þ Ø ÞÙ ÖÑ ØØ ÐÒº ÙÖ Î Ö Ò ÙÐÙÒ Ö Ö ÙÐØÖ ÒÒ ÃÓÒ ÕÙ ÒÞ Ò Ò Ò Ú Ö Ò Ö Ø ÐÐÙÒÒ ÚÓÒ Ò Ò ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ Ü Ã Ô Ø Ð ½µ Ñ Ú Ö ÖØ Ø Ò Ø º ¾º µº ÐØ ÖÒ Ø Ú ÃÓÒ ÕÙ ÒÞ ½ ¾ Ò ½ ½½ ½¾ ½Ò º º º º Рн о ÐÒ Ð ÙÒ ¾º ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ Ü Ù ÑÑ Ò Ò Ö Ø ĐÙÖ ÖÑ ØØÐÙÒ ÑÓÐÐ ÓÐÒ Ñ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ Datenrahmen (unbeeinflussbare Grössen) p Alternative x (beeinflussbare Grössen) Modell: f(x, p) k k kn (Konsequenzen) Ð ÙÒ ¾º ËÑ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ ÖÑ ØØÐÙÒ ÑÓÐÐ Ò ÏĐÖ Ò ÖÑ ØØÐÙÒ ÑÓÐÐ Ò Ð ØÖĐ Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú ÜÔÐ Þ Ø ÖÒ Ø Û ÖÒ Ò ÇÔØ Ñ ÐÑÓÐÐ Ò º ¾º µ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÛ Ö ÙÒÒ ÑÔÐ Þ Ø Ö Ø Ö ÙÒ Ö ÅÓÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ö ÓÐ Ø ÙÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Þ ÙÒ Ö ß Ò Ð Ò ÓÖ ÙÒ Ò Ð Ò ß ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÑ Ò ÙÒ Û Ò Ø Ò Ò Ö ÐÚ Ö Ð Ò Ö Ø ÐÐغ ÖĐÙÖ Ò Ù ĐÓÒÒ Ò ÛØ Ö ËØÖÙ ØÙÖ Ò Ò Ê Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ò ÓÒ ÒÒØ Ê ØÖØ ÓÒ Òº ÑÑĐ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÙÒ Đ Ò Î Ö Ð Ò ÙÒ Ö ĐÙÖ ÑØ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒÑ Ò Ò ØÐ Ø ÒÖÑ Ò Ø Ò ÓÖÑ ÚÓÒ ËØÖÙ ØÙÖ È Ö Ñ Ø ÖÒ ÙÒ ÃÓÒ Ø ÒØ Ò Ò ÅÓÐÐ Òº

19 ½ à ÈÁÌ Ä ¾º ÅÇÄÄ ÁÄ ÍÆ ÁÅ ÇÈ Ê ÌÁÇÆË Ê ËÊ À Datenrahmen (p) Konsequenzenrahmen x* "beste" Alternative k, f max (min) Zielfunktion Ð ÙÒ ¾º ËÑ Ø Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ ÇÔØ Ñ ÐÑÓÐÐ Ò Î Ö Ð Ø Ñ Ò Ò Ñ Ø Ò Ö Ø ÐÐÙÒÒ ÚÓÒ ÇÔØ Ñ Ð¹ ÙÒ ÖÑ ØØÐÙÒ ÑÓÐÐ Ò º ¾º Ñ Ø º ¾º µ Ó ÖÒÒØ Ñ Ò ÙÒØ Ö Ð Ù ÖØÙÒ Ö Ò ÅÓÐÐØÝÔ Ò ÏĐÖ Ò ÖÑ ØØÐÙÒ ÑÓÐÐ ÃÓÒ ÕÙ ÒÞ Ò Ò Ö Ò Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø ÑÑ Ò Û ÖÒ ÇÔØ Ñ ÐÑÓÐÐ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÙÖÙÒ Ö ÖÛĐÙÒ Ø Ò ÃÓÒ ÕÙ ÒÞ Ò ÖÒ Øº Ñ ØÑ Ø ËØÖÙ ØÙÖ ÚÓÒ ÇÔØ Ñ ÐÑÓÐÐ Ò ÐĐ Ø ÓÖÑ Ð ÓÐÒÖÑ Ò ÖÒ Ü ½ Ü Ò µ Å Ü Ü ½ Ü Ò µ ¼ ½ Û ÖÒ ½ ÙÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú Ü ½ Ü Ò µ ÒÒÓÑÑ Ò º º ÐØ ÖÒ Ø Ú ÐĐ Ø ÙÖ Ò ÚÓÒ Ò Ï ÖØ Ò ÑÓÐÐÑĐ ÖÒº ĐÍ Ð Ø ĐÙÖ Þ ÒÙÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÛĐÖ Ò Ö Ê Ø Ð Æ ÒÒ ÙÒÒ ¹ Þ Ò Ø Û Ö º ÁÒ ÓÖ Ò Ø ÓÒ ÛÙÖ Ù ÖÑ ß Ù ÖĐÙÒÒ Ö ĐÍÖ ØÐ Ø ß Ù ÜÔÐ Þ Ø Ò Ö È Ö Ñ Ø Ö ÛÖÙÑ Ò Ø ÒÖÑ Ò Ö Ò Ú ÖÞØ Øº ÆÙÒÑÖ Ø ÐÐØ Ö Ó Ó ÒÖØ Ò ÇÔØ Ñ ÐÑÓÐÐ Ò Ö ÐÐ ÐĐÓ Ö Ò º Ñ ÐÐÑÒ Ò ÈÖÓ ÖÑ Ø ÓÒ Ò Ò ÜØÖ ÑÛ ÖØ ÒØ Ö ÒØÖ Ò ĐÓÒÒ Ò Ø ÔÖĐ Þ Ö Ò Ò Ñ ÇÔØ ÑÖÙÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÞÙ Ö Òº ĐÙ ÖØ ÞÙ ÇÔØ Ñ ÐÑÓÐÐ Ò Đ ÒØ ÚÓÒ ÚÓ¹ ÖÒÒ Ò ÄĐÓ ÙÒ Ñ Ø ÓÒ Ð ÞÖØ Û ÖÒ ÛØ Ø ÒØÐÙÒ Ø Ò Ð ÒÖ ÙÒ ÒØÐ ÒÖ ÇÔØ Ñ ÐÑÓÐÐ ÛÓ Ù Ö Ø Ö Ò Ò Ò ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Þ ÙÒÒ Ð ÒÖ Ò ÒÙÒ ÒĐ Ö ÒÒÒ Û ÖÒ ÓÐк

20 Kapitel 3 Einführung in die lineare Programmierung 3.. Einleitung Die Lineare Programmierung ist ein mathematisches Verfahren zur Optimierung einer linearen Zielfunktion unter linearen Restriktionen. Dieses Verfahren kann z.b. angewendet werden, um die Produktion eines landwirtschaftlichen Betriebes zu optimieren. Zu diesem Zweck muss das für die Produktion relevante betriebliche Geschehen in einem Modell, dem sogenannten Linearen Programmierungsmodell, zusammengefasst werden. Hierbei würde die Zielfunktion z.b. die Differenz zwischen Leistung und variablen Kosten darstellen, die im Rahmen der Produktion maximiert werden soll. Die linearen Restriktionen müssten die Produktionsmöglichkeiten des Betriebes widerspiegeln. Dazu gehören z.b. das verfügbare Land, die in einer bestimmten Periode verfügbaren Arbeitsstunden, die Kapazität der Stallungen, die Fruchtfolgebedingungen, etcetera. Die mathematische Lösung eines solchen Produktionsmodelles würde dann im Detail den Umfang der Produktion, die Art und Höhe des Faktoreinsatzes und den aus der Produktion erzielten Gewinn angeben. Im folgenden wird die Methode der Linearen Programmierung näher erläutert. Zuerst wird anhand eines einfachen Beispiels gezeigt, wie man ein Lineares Programmierungsmodell aufzustellen hat. Mit diesem Modell lassen sich alle wesentlichen Begriffe der Linearen Programmierung leicht erklären. Das Produktionsbeispiel ist so einfach gehalten, dass es möglich ist, das Modell mit Hilfe einer Graphik zu interpretieren und die optimale Lösung graphisch zu ermitteln. Im Anschluss daran werden Probleme der Dualität und der Faktorbewertung behandelt. Diese spielen eine grosse Rolle bei der Entscheidung über eine allfällige Ausdehnung der Produktionskapazität oder über die Intensivierung eines Betriebszweiges. Das vereinfachte Produktionsproblem als Beispiel für eine Produktionsplanung mit Linearer Programmierung lässt sich folgendermassen darstellen: Ein landwirtschaftlicher Betrieb verfügt über 0 ha Land und 3600 Arbeitsstunden pro Jahr, aufgeteilt in Perioden von 88 und 33 Stunden. Auf dem verfügbaren Boden kann der Betriebsleiter nur drei Produkte, Kartoffeln, Brotgetreide und Futtergetreide herstellen. Bei der Produktion hat er die Fruchtfolge zu beachten. Diese lautet: Höchstens 60% der genutzten Fläche darf mit Getreide bebaut werden. Die Aufteilung in Brot- und Futtergetreide ist nicht beschränkt. Bezüglich des Arbeitsaufwandes wird davon ausgegangen, dass in der ersten Periode für Kartoffeln 0 Std/ha und für Brot- und Futtergetreide Std/ha benötigt werden. Für die 9

21 zweite Periode werden für Kartoffeln 3 Std/ha, für Brotgetreide 8 Std/ha und für Futtergetreide 0 Std/ha veranschlagt. Als Erfolgsgrösse wurde der Deckungsbeitrag (Leistung minus variable Kosten) ausgewählt, der durch die Produktionsplanung maximieren soll. Im Einzelnen beträgt der Deckungsbeitrag für Kartoffeln Fr. '375,--/ha, (75 dt x 45 Fr./dt) Brotgetreide Fr ,--/ha, (60 dt x 95 Fr. /dt) Futtergetreide Fr /ha, (60 dt x 70 Fr. / dt Fr. AP) Die wichtigsten produktionstechnischen Daten sind in der folgenden Tabelle festgehalten: Tabelle : Daten des Produktionsbeispieles Anbaufläche Kartoffeln Brotgetreide Futtergetreide Limite ha X X X 3 Arbeitsaufwand (Std/ha).Periode 0 88.Periode Land (ha) 0 Deckungsbeitrag (Fr./ha) Ziel der Produktion ist es, bei der vorgegebenen Technologie mit Hilfe der fixen Produktionsfaktoren Land und Arbeit jene Anbauflächen für Kartoffeln, Brot- und Futtergetreide zu finden, die einen maximalen Deckungsbeitrag liefern. Dieser Betrag dient zur Deckung der fixen Kosten für Land und Arbeit. Es sei ausdrücklich betont, dass das Ziel dieser Vorlesungsunterlage darin vorerst besteht, nur das Wesen der Linearen Programmierung verständlich zu machen. Später werden wir uns in speziellen Vorlesungsunterlagen mit den wesentlichen mathematischen Grundlagen und mit den Problemen der praktischen Anwendung der Linearen Programmierung in der landwirtschaftlichen Betriebsplanung auseinandersetzen. Bevor mit dem Aufstellen eines linearen Produktionsmodelles begonnen wird, soll noch die ökonomisch sehr wichtige Frage der Zielsetzung diskutiert werden. Es ist festzulegen, anhand welcher Grösse der Betriebserfolg zu messen ist. Trotz verschiedenartiger Ansichten in der Praxis lässt sich diese Frage vom ökonomischen Standpunkt aus klar und einfach beantworten. Vor Beginn jeder Planung kann eindeutig festgestellt werden, welche physischen Mengen von den einzelnen Produktionsmitteln im Betrieb vorhanden sind. Diese Produktionsmittel werden in der ökonomischen Theorie Fixfaktoren genannt. Fixfaktoren zeichnen sich dadurch aus, dass für sie Kosten aufgebracht werden müssen, unabhängig davon, ob und wieviel der Betrieb von den einzelnen Produkten produziert. Fixkosten (fremde Strukturkosten) sind also produktions- oder mengenunabhängig. Wurde z.b. in einer Vorperiode eine Siloanlage erstellt, so sind in der Planungsperiode für den Fixfaktor Silo gewisse Kosten (Abschreibung) aufzubringen, 0

22 unabhängig davon, ob in der nächsten Periode das Silo für die Produktion benötigt wird oder nicht. Als Resultat dieser Ueberlegung soll folgendes festgehalten werden: Die für den Planungszeitraum fest vorgegebenen Produktionsmittel heissen Fixfaktoren. Die dazugehörigen Fixkosten sind produktionsunabhängig. Sie sind in jedem Falle aufzubringen, auch dann, wenn der Fixfaktor nicht mehr für die Produktion benötigt wird. Es ist daher unzulässig, zum Zwecke der Produktionsplanung die Fixfaktoren nach irgendeinem Schlüssel auf die Produkte aufzuteilen. Neben den Fixfaktoren müssen für die Produktion normalerweise weitere Produktionsmittel zugekauft werden. Art und Umfang dieser zugekauften Faktoren hängen natürlich von Art und Umfang der beabsichtigten Produktion ab. In der Oekonomie bezeichnet man die speziell für eine gewisse Produktion zugekauften Produktionsmittel als variable Faktoren. Im Gegensatz zu den Fixfaktoren sind die variablen Faktoren produktionsabhängig. Die ihnen zugeordneten Kosten, die sogenannten variablen Kosten (Direktkosten), werden mit steigender Produktionsintensität zunehmen. In vielen Fällen wird es möglich sein, die variablen Faktoren direkt den einzelnen Produkten zuzuordnen. Zusammenfassend soll bezüglich der variablen Faktoren und der variablen Kosten folgendes festgehalten werden: Diejenigen Produktionsmittel, welche produktions- oder mengenabhängig sind, werden variable Faktoren genannt. Die ihnen zugeordneten Kosten heissen variable Kosten. In vielen Fällen ist es möglich, die variablen Kosten (ohne eine willkürliche Aufteilung vorzunehmen) direkt den Produkten, durch die sie verursacht werden, zuzuordnen. Bei der Berechnung des Betriebserfolges steht den Kosten die Leistung gegenüber. Als Mass für den Betriebserfolg wird in der ökonomischen Theorie die Differenz zwischen Leistung und Kosten, d.h. der Gewinn, ausgewählt. Führt man die Abkürzungen G = Gewinn L = Leistung vk = variable Kosten C = Fixkosten D = Deckungsbeitrag ein, so lässt sich die allgemeine Zielsetzung einer Betriebsplanung schreiben als: oder mit: auch: G = L - vk - C == Maximum D = L - vk G = D - C == Maximum

23 Der hier eingeführte Deckungsbeitrag D stellt also die Differenz zwischen Leistung minus variable Kosten dar. Die Bezeichnung Deckungsbeitrag ist sehr gut gewählt, denn der so erhaltene Differenzbetrag soll einen Beitrag an die Deckung der fixen Kosten leisten. Der Deckungsbeitrag zeichnet sich ferner dadurch aus, dass alle in ihm enthaltenen Grössen, die Leistung l und die variablen Kosten vk, mengenabhängig sind. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass mit einer Maximierung des Deckungsbeitrages auch stets eine Maximierung des Gewinnes verbunden ist. Die letzte der angegebenen Formeln bestätigt diese Aussage. Da die Fixkosten C eine mengenunabhängige, also stets konstante Grösse darstellen, hat mit einem maximalen Wert des Deckungsbeitrages D auch der Gewinn G ein Maximum erreicht. Das Ziel der Betriebsplanung wird es also sein, die Produktionsmengen und den Faktoreinsatz so zu bestimmen, dass der Deckungsbeitrag maximiert wird. Da die Fixkosten C mengenunabhängig sind, können sie bei der Ermittlung der optimalen Produktions- und Faktormengen weggelassen werden. Die Fixkosten treten erst dann wieder in Erscheinung, wenn es gilt, den Betriebsgewinn G zu berechnen. Zusammenfassend kann festgehalten werden: Ziel der Produktionsplanung eines landwirtschaftlichen Betriebes ist es, die zu erzeugenden Produktmengen und den Faktoreinsatz so zu bestimmen, dass der Deckungsbeitrag maximal wird. Die Fixfaktoren werden in Form der vorgegebenen Produktionskapazität in das Betriebsplanungsmodell eingehen. Zum Zweck der Bestimmung der optimalen Produktionsmengen spielen die Kosten der Fixfaktoren keine Rolle. Es wäre daher falsch, die Fixkosten auf die einzelnen Produkte aufzuteilen. Die Fixkosten werden erst nach der Produktionsplanung berücksichtigt, indem man aus der Differenz zwischen dem Deckungsbeitrag und den Fixkosten den Betriebsgewinn berechnet. Nach diesen grundsätzlichen ökonomischen Feststellungen über die Zielsetzung für eine Produktionsplanung soll nun im nächsten Abschnitt anhand eines einfachen Beispieles die Arbeitsweise der Linearen Programmierung als Planungsmethode erklärt werden.

24 3.. Beispiel für ein Lineares Programmierungsmodell Der Ansatz eines Linearen Programmierungsmodelles wird anhand eines Demonstrationsbeispieles erläutert. Es wird mit Absicht ein Demonstrationsbeispiel und nicht ein Anwendungsbeispiel herausgegriffen. Der letztere Fall würde ein Modell mit einer grösseren Anzahl von Variablen und Restriktionen bedingen, was zu einem erhöhten Arbeitsaufwand führen würde, ohne dass dadurch mehr an Klarheit bezüglich der wesentlichen Eigenschaften der Linearen Programmierung gewonnen werden könnte. Das Demonstrationsbeispiel wird so klein gehalten, dass eine graphische Darstellung und Lösung des Modelles möglich wird. Das ausgewählte Produktionsproblem lässt sich folgendermassen darstellen: Ein landwirtschaftlicher Betrieb verfügt über 0 ha Land und 3600 Arbeitsstunden pro Jahr, aufgeteilt in Perioden von 88 und 33 Stunden. Auf dem verfügbaren Boden kann der Betriebsleiter nur die drei Produkte Kartoffeln, Brot- und Futtergetreide herstellen. Bei der Produktion ist nur eine Fruchtfolgerestriktion zu beachten: Höchstens 60% der genutzten Fläche darf mit Getreide bebaut werden. Auf dieser maximalen Getreidefläche kann Brot- und Futtergetreide in einem frei wählbaren Verhältnis angebaut werden. In der ersten Periode betrage der Arbeitsaufwand für Kartoffeln 0 Std/ha, für Brot- und Futtergetreide jeweils Std/ha. In der zweiten Periode werden für Kartoffeln 3 Std/ha, für Brotgetreide 8 Std/ha und für Futtergetreide 0 Std/ha benötigt. Neben den hier vorgegebenen fixen Produktionsfaktoren Land und Arbeitskräfte wird als einziger variabler Produktionsfaktor noch das Saatgut herangezogen: Für den Anbau von Kartoffeln werden 5 dt/ha und für Getreide dt/ha benötigt. Der Hektarertrag für Kartoffeln beläuft sich auf 300 dt bzw. 6 dt für Getreide, so dass der Netto-Hektarertrag für Kartoffeln 75 dt und der für Getreide 60 dt beträgt. Nimmt man noch an, dass der Produzent die Kartoffeln für Fr. 45.-/dt, das Brotgetreide für Fr. 95.-/dt und das Futtergetreide für Fr. 70.-/dt, zuzüglich einer Anbauprämie von Fr / ha verkaufen kann, so erhält man als Deckungsbeitrag pro Hektar für Kartoffeln Fr /ha (75 dt x 45 Fr./dt), für Brotgetreide Fr. 5'700.-/ha (60 dt x 95 Fr./dt) und für Futtergetreide Fr. 5'00.-/ha (60 dt x 70 Fr./dt Fr AP). Ziel der Produktion ist es, bei der vorgegebenen Technologie mit Hilfe der fixen Produktionsfaktoren Land und Arbeit jene Anbauflächen für Kartoffeln, Brot- und Futtergetreide zu finden, die einen maximalen Deckungsbeitrag liefern. Dieser Betrag dient zur Deckung der fixen Kosten für Land und Arbeit. 3

25 Aufgrund der oben gegebenen Daten soll nun ein Programmierungsmodell aufgestellt werden. Bedeuten - x die gesuchte Anbaufläche für Kartoffeln, - x die gesuchte Anbaufläche für Brotgetreide und - x 3 die gesuchte Anbaufläche für Futtergetreide, so lässt sich folgende Zielfunktion formulieren: () Z = 375 x x x 3 == max Der Deckungsbeitrag Z setzt sich also zusammen aus den Deckungsbeiträgen, die man von Kartoffeln, Brotgetreide und Futtergetreide erhält. Da x ha mit Kartoffeln bepflanzt werden und man pro Hektar Kartoffeln Fr liefert, ist der Deckungsbeitrag (in Fr.) für Kartoffeln 375 x. Entsprechend erhält man den Deckungsbeitrag für die gesamte Brot- und Futtergetreideproduktion. Die Gleichung () besagt also, dass der Deckungsbeitrag für Kartoffeln (375 x ), plus der Deckungsbeitrag für Brotgetreide (5700 x ), plus der Deckungsbeitrag für Futtergetreide (500 x 3 ) ein Maximum werden soll. Die Werte für die Variablen x bis x 3 in der Zielfunktion müssen so bestimmt werden, dass sie den verfügbaren fixen Faktoren und der Fruchtfolgebedingung genügen. Diese Produktionsbedingungen werden mathematisch in den sogenannten Restriktionen zusammengefasst. Die Restriktion () gibt Auskunft über die verfügbare Menge an Land und über die Verwendung des Landes: () Land: x + x + x 3 <= 0 Die linke Seite zeigt die Verwendung des verfügbaren Landes an. Gemäss Restriktion werden x ha mit Kartoffeln, x ha mit Brotgetreide und x 3 ha mit Futtergetreide angebaut. Die gesamte angebaute Fläche muss, gemäss Restriktion (), kleiner oder gleich 0 ha, d.h. also kleiner oder gleich der verfügbaren Menge an Land sein. Die Formulierung mit Hilfe des Ungleichheitszeichens (<0) ist wichtig, da bei optimaler Produktion die verfügbare Faktorkapazität eventuell nicht voll ausgelastet werden muss. Analog lassen sich für den Fixfaktor Arbeit in der. und. Periode die Restriktionen (3) und (4) zusammenstellen: (3) 0 x + x + x 3 <= 88 (4) 3 x + 8 x + 0 x 3 <= 33 Danach gilt für den Arbeitsaufwand jeder Periode: Der Arbeitsaufwand für die Produktion (linke Seite der Ungleichung) muss kleiner oder gleich (<=) der verfügbaren Arbeitskapazität (rechte Seite der Ungleichung) sein. Für die. Periode setzt sich der benötigte Arbeitsaufwand zusammen aus dem Arbeitsaufwand 4

26 0 x für Kartoffeln (0 Std. Arbeitsaufwand je ha Kartoffelanbaufläche mal Anzahl Hektaren x der Hektaren Kartoffelanbaufläche) + x für Brotgetreide ( Std. Arbeitsaufwand je ha Brotgetreidefläche mal Anzahl Hektaren x Brotgetreidefläche) + x 3 für Futtergetreide ( Std. Arbeitsaufwand je ha Futtergetreidefläche mal Anzahl Hektaren x 3 Futtergetreidefläche). In der. Periode muss diese Summe kleiner oder gleich (<=) der maximal verfügbaren Arbeitskapazität von 88 Std. sein. Analog muss für die. Periode in der Restriktion (4) der Arbeitbedarf dem Arbeitsangebot gegenübergestellt werden. Die mathematische Formulierung der Fruchtfolgebedingung ist in der Restriktion (5) zusammengefasst. (5) Fruchtfolge: -6 x + 4 x + 4 x 3 <= 0 Das Zustandekommen dieser Restriktion ist etwas komplizierter. Zur Erklärung wird von der ursprünglichen Formulierung ausgegangen: Höchstens 60 Prozent der genutzten Gesamtfläche darf mit Getreide bebaut werden. D.h. die Getreidefläche (x + x 3 ) muss kleiner oder gleich <=) 60 Prozent (Faktor 0.6) der angebauten Gesamtfläche, also der Kartoffel- und der Getreidefläche zusammen, (x + x + x 3 ) sein. Es gilt also: x + x 3 <= 0.6 (x + x + x 3 ) oder auf die Standardform (alle Variablen auf der linken Seite) gebracht x x x 3 <= 0 Durch Multiplikation der Ungleichung mit 0 erhält man die Restriktion (5). Die Restriktionen () bis (5) erfassen die vorgegebenen Produktionszusammenhänge. Zur Uebersicht sollen diese Daten noch einmal in Tabelle zusammengestellt werden. Es ist für die spätere Darstellung bequemer, mit ganzzahligen Koeffizienten zu arbeiten. 5

27 Tab. : Daten des Produktionsbeispieles Aktivität Kartoffeln Brotgetreide Futtergetreide Limit (Einheit: ha) x x x 3 Arbeitsaufwand. Periode (Std/ha) Periode (Std/ha) Bodennutzung Land, ha 0 Fruchtfolge ha Erträge Hektareretrag dt/ha Saatgut dt/ha 5 -- Nettohektarertrag dt/ha Absatz Verkaufspreis Fr./dt Anbauprämie Fr./ha Deckungsbeitrag Fr./ha Aus Gründen einer korrekten mathematischen Formulierung werden noch drei weitere Restriktionen, die sogenannten Nichtnegativitätsbedingungen, (6) bis (8), hinzugefügt. (6) x >= 0 (7) x >= 0 (8) x 3 >= 0 Sachlich gesehen enthalten die Nichtnegativitätsbedingungen die triviale Aussage, dass keine negativen Mengen produziert werden können. In mathematisch konzentrierter Form lautet das obige Produktionsproblem also folgendermassen: Bestimme die Werte der Variablen x, x und x3 so, dass die Zielfunktion () D =375 x x x 3 ===>Max unter den Restriktionen () x + x + x 3 <= 0 (3) 0 x + x + x 3 <= 88 (4) 3 x + 8 x + 0 x 3 <= 33 (5) -3 x + x + x 3 <= 0 und den Nichtnegativitätsbedingungen (6) x >= 0 (7) x >= 0 (8) x 3 >= 0 maximiert wird. In den Relationen () und () bis (8) ist das oben formulierte Produktionsproblem in Form eines Linearen Programmierungsmodelles zusammengestellt. Damit wurde die hier vorgegebene und bewusst vereinfachte Produktionssituation in ein mathematisches Modell transformiert. Die 6

28 Lösung eines solchen mathematischen Modelles ist Aufgabe des Mathematikers. Hierfür hat er eine Reihe von Lösungsverfahren entwickelt und auf den elektronischen Rechenanlagen programmiert. Als Lösungsverfahren für ein solches Lineares Programmierungsmodell soll die Simplex-Methode erwähnt werden, die 945 von G.B. Dantzig entwickelt wurde. Im Simplexschema sind alle Angaben enthalten, die dem Computer zur Lösung des LP-Modelles eingegeben werden müssen. Vielfach werden auch landwirtschaftliche Produktionsmodelle nicht zuerst in der Form von Ungleichungen, sondern sofort als Matrixschema aufgestellt. Als Beispiel hierfür soll auch das bereits behandelte Demonstrationsbeispiel für eine Produktionsplanung in dieser Form dargestellt werden. Tab. 3: Matrix- oder Simplexschema des Demonstrationsbeispieles) Aktivitäten Dimensiogetreidgetreide Kartoffeln Brot- Futter- Zeichen RHS Anbauflächen ha x x x 3 Deckungsbeitrag Fr./ha Max Land ha <= 0 Arbeit. Periode Std./ha 0 <= 88 Arbeit. Periode Std./ha <= 33 Fruchtfolge - -3 <= 0 Nach der Formulierung eines allgemeinen Programmierungsmodelles wird der Ansatz und das Lösungsprinzip der Linearen Programmierung anhand des Demonstrationsbeispieles graphisch erläutert. 7

29 3.3 Graphische Darstellung und graphische Lösung des Beispieles In der nachfolgenden Abbildung (vgl. Abb.) ist jeweils auf der Abszisse die Variable x (Anbaufläche für Kartoffeln) und auf der Ordinate die Variable x (Anbaufläche für Brotgetreide) aufgetragen. Alle () bis (8) stellen den zulässigen Bereich dar (gerasterter Bereich in Abb. ). Dieser zulässige Bereich besteht aus allen Wertekombinationen der Variablen x und x, die alle Restriktionen erfüllen. Wie sieht die graphische Darstellung des zulässigen Bereiches für die Restriktionen aus? Als erstes soll geprüft werden, welchen zulässigen Bereich die beiden Nichtnegativitätsbedingungen x >= 0 und x >= 0 besitzen. Dazu ist zu fragen, welche Kombinationen von x und x diese beiden Ungleichungen erfüllen. Man sieht sofort, dass alle Punkte des positiven Quadranten dieser Anforderung genügen. Als nächstes wird die Restriktion für Land x + x <= 0 eingezeichnet. Streicht man in Gedanken das Ungleichheitszeichen, so stellt die zugehörige Gleichung x + x = 0 eine Gerade dar, welche die Abszisse und die Ordinate in den Werten 0 schneidet. Alle Punkte, die auf dieser Geraden liegen, erfüllen die Landrestriktion strikt, d.h. in Form einer Gleichung. Welche Kombinationen von x und x erfüllen die Restriktion auch als Ungleichung? Es sind dies alle Punkte, die unterhalb der Land-Geraden liegen. Zur Probe wählt man z.b. den Koordinatenursprung x = 0 und x = 0. Setzt man diese Werte in die Land-Restriktion ein, so erhält man die Ungleichung 0 <= 0, d.h. der Koordinatenursprung erfüllt die Restriktion. Das Beispiel wurde so konstruiert, dass (obwohl 3 Variablen vorhanden sind) eine graphische, - dimensionale Darstellung möglich ist. Man kann den Daten des Simplextableaus entnehmen, dass in der optimalen Lösung kein Futtergetreide angebaut wird, d.h. x 3 = 0 ist. Das Futtergetreide kann nämlich nicht mit dem Brotgetreide konkurrieren. Einmal ist der Deckungsbeitrag pro ha für Futtergetreide (500 Fr.) kleiner als der für Brotgetreide (5700 Fr.) und zum anderen ist bei gleicher Belastung der Land-, der Fruchtfolge- und der Arbeitsrestriktion für die Periode der Arbeitsbedarf in der. Periode für Futtergetreide (0 Std./ha) höher als der für Brotgetreide (8 Std./ha). In ähnlicher Weise werden die Restriktionen für die Arbeit und für die Fruchtfolge in die Graphik eingetragen und überprüft, wo ihr zulässiger Bereich liegt. Es lässt sich leicht durch Ausprobieren zeigen, dass der in der Abbildung gerasterte Bereich der zulässige Bereich für alle Restriktionen ist. Wählt man also eine beliebige Kombination von x und x aus diesem zulässigen Bereich, so hat man die Gewissheit, dass alle Restriktionen erfüllt werden. Unter allen diesen Wertekombinationen von x und x soll man nun diejenige suchen, für die der Deckungsbeitrag () maximal ist. Wenn nicht ausdrücklich erwähnt, wird im folgenden die Variable x 3 stets gleich Null gesetzt. Vergleiche Begründung im übernächsten Abschnitt. 8

30 Um diese optimale Kombination von x und x zu finden, zeichnet man zuerst einmal eine beliebige Iso-Deckungsbeitragslinie, z.b. die Linie für den Deckungsbeitrag Z 0 = 3'750 Fr.. Diese Iso-Deckungsbeitragslinie schneidet die Abszisse im Punkt x = 0 und die Ordinate im Punkt x =.7. Alle Wertekombinationen x und x, die auf dieser Geraden liegen, liefern nun genau einen Deckungsbeitrag von 3'750 Fr.. Ist der Deckungsbeitrag von 3'750 Fr. bereits optimal? Man erkennt sofort, dass dies nicht der Fall ist, denn würde man ceteris paribus statt 0 ha Kartoffeln oder ha Kartoffeln anbauen, so würde man den Deckungsbeitrag erhöhen, ohne eine der Restriktionen zu verletzten. Zeichnet man z.b. eine Iso-Deckungsbeitragslinie für x =, x = 0, d.h. mit dem Wert Z = = 48'500 in die Graphik ein, so sieht man, dass diese zweite Iso- Deckungsbeitragslinie parallel zur ersten nach rechts verschoben ist. Auch auf dieser Iso- Deckungsbeitragslinie gibt es wieder eine Reihe von Werte-Kombinationen (x, x ), die alle Restriktionen erfüllen. Und zwar sind es diejenigen Werte-Kombinationen, die sowohl im zulässigen Bereich als auch auf der Geraden Z = 48'500 liegen. Abb. : Graphische Darstellung des Demonstrationsbeispieles Wie man leicht erkennen kann, liefert auch diese zweite Iso-Deckungsbeitragslinie noch nicht die optimale Lösung. Je weiter die Iso-Deckungsbeitragslinie parallel nach rechts verschoben wird, umso grössere Deckungsbeiträge wird man erhalten. Wie weit lässt sich nun aber diese Gerade parallel nach rechts verschieben? Die Antwort lautet: Gerade so weit, bis sie den zulässigen Bereich noch an irgendeinem Eckpunkt berührt (Basislösung). In obigem Beispiel führt das zur 9

31 Geraden Z opt, die den zulässigen Bereich im Schnittpunkt der beiden Restriktionen Fläche und Arbeitsperiode berührt. Um die Koordinaten dieses Punktes zu bestimmen, muss man das Gleichungssystem x + x = 0 3 x + 8 x = 33 lösen. Wie man sich leicht überzeugen kann, lautet die Lösung 3 x = 3.859, x = oder gerundet Unter den vorgegebenen Restriktionen wird der Unternehmer im Optimum also ca. 4 ha Kartoffeln und 6 ha Weizen anbauen. Durch Einsetzen dieser Werte in die Zielfunktion () sieht man, dass dieser Anbau zu einem Deckungsbeitrag von Z opt = Fr.. Im Falle des Demonstrationsbeispieles ist es gelungen, das Lineare Programmierungsmodell graphisch darzustellen und zu lösen. Solange das Modell nur zweidimensional ist, d.h. solange nur zwei Produkte erzeugt werden, lässt sich eine Lösung immer auf diese bequeme Art ermitteln. Da bei den Anwendungen im Bereich der Produktionsplanung normalerweise aber mehr als zwei Produkte erzeugt werden sollen, muss man zur Lösung praktischer Produktionsprobleme andere numerische Verfahren zu Hilfe ziehen. Diese numerischen Verfahren, z.b. das Simplex- Verfahren wurden auf Computern programmiert. Zur Lösung wird man also die entsprechenden Daten des Modelles in den Computer eingeben und die numerische Berechnung der optimalen Lösung dem Computer überlassen.. 3 Die genauen Werte werden für eine spätere An alyse (vgl. Abschnitt IV) benötigt. 30

32 3.4 Bewertung der Fix-Faktoren Einer der Vorteile der Linearen Programmierung ist es, dass man mit ihrer Hilfe eine gewinnorientierte Bewertung der Fixfaktoren des Produktionsbetriebes durchführen kann. Den Schlüssel dazu bildet die Dualität der Linearen Programmierung. Bezeichnet man den Modellansatz für eine Gewinnmaximierung als Primärproblem, so existiert dazu stets ein sogenanntes Dualproblem, aus dessen optimaler Lösung man die Bewertung der Fixfaktoren des Primärproblems entnehmen kann. Die Probleme der Dualität, d.h. des Zusammenhanges zwischen Primär- und Dualproblem, werden später im Rahmen des Operations Research behandelt. Hier soll das Problem der Bewertung anhand des Demonstrationsbeispieles aus Abschnitt II graphisch und rechnerisch erläutert werden. Die optimale Lösung des Produktionsbeispieles lautet: Bei optimaler Produktion werden x = ha mit Kartoffeln und x = 6.4 ha mit Brotgetreide angebaut. Diese Produktion führte zu einem Deckungsbeitrag von Z opt = Franken. Bezüglich der Bewertung der Produktionsmittel stellen sich hier zwei Fragen:. Wie gross ist der Wert einer zusätzlichen Hektare Land bzw. einer zusätzlichen Arbeitsstunde in Periode bzw. Periode? Lohnt es sich, eine zusätzliche Hektar Land hinzuzupachten oder sich über gelegentliche Arbeitskräfte in einer Periode zusätzliche Arbeitszeitkapazität zu verschaffen? Bis zu welchem Pachtzins wäre die Zupacht für den Betrieb interessant? Und bis zu welchem Stundenlohn ist der Einsatz gelegentlicher Arbeitskräfte in den einzelnen Perioden rentabel? Aus den Fragestellungen ist zu ersehen, dass es sich hier um ein gewinnorientiertes Bewertungsproblem im Hinblick auf eine Erweiterung der Produktionskapazität (Investition) handelt.. Bei der bisherigen optimalen Produktion wurde mit Hilfe der fixen Faktoren Land und Arbeit der Deckungsbeitrag Z opt erzielt. Welchen Beitrag haben die einzelnen Fixfaktoren (0 ha Land und 88 bzw. 33 Arbeitsstunden in der Periode bzw. in der Periode ) zu diesem Deckungsbeitrag geleistet? Konkreter ausgedrückt: Welchen Anteil des Deckungsbeitrages haben wir dem Boden und welche Anteile der Arbeit zuzuordnen? Dabei ist zu beachten, dass die Arbeit der Periode und nicht gleich bewertet werden muss. 3

33 In dieser Fragestellung handelt es sich bei dem Bewertungsproblem um ein Zuordnungsproblem, das die Aufteilung der Deckungsbeiträge auf die einzelnen Fixfaktoren festlegen soll. Es wird sich herausstellen, dass die Bewertung der Fixfaktoren für beide Fragestellungen nach denselben Gesichtspunkten erfolgen kann. Das Vorgehen wird am Beispiel der Produktionsfaktoren Arbeit und Boden ausführlich dargestellt. Als erstes soll die Fragestellung am Beispiel der Arbeit in der Periode erläutert werden. Wieviel ist eine zusätzliche Arbeitsstunde in dieser Periode wert? Um dieses zu ermitteln, könnte man - ceteris paribus - eine neue Produktionsplanung mit 34 statt 33 verfügbaren Arbeitsstunden in Periode durchführen 4. Die Differenz der Deckungsbeiträge zwischen der neuen und der alten Optimallösung gibt dann den Zuwachs des Deckungsbeitrages für die 00 zusätzlichen Arbeitsstunden der Periode an. 5 Die Abb. zeigt die graphische Lösung. Man erhält sie, indem man gegenüber Abb. die Restriktion Arbeit in Periode parallel um 00 Einheiten nach rechts verschiebt. Diese Verschiebung erweitert den zulässigen Bereich. Das neue Optimum liegt wieder auf dem Schnittpunkt der Restriktionen für Land und für Arbeit Periode (Restriktion a). Die Werte der neuen optimalen Lösung (Punkt ) werden also aus den folgenden Gleichungen berechnet: x + x = 0 3 x + 8 x = 34 4 Der Zuwachs des Deckungsbeitrages (allerdings auf nur eine Arbeitseinheit bezogen) wird Schattenpreis der Arbeit genannt. 5 Gesucht ist zwar der Wert nur einer zusätzlichen Arbeitsstunde, aber die gleiche Analyse wird für 00 zusätzliche Arbeitsstunden durchgeführt, weil diese grössere Veränderung eine übersichtlichere graphische Darstellung ermöglicht. 3

34 Abb. : Graphische Darstellung des Schattenpreises für Arbeit Die neue optimale Lösung 6 ist x A = ; x A = und als neuen Deckungsbeitrag erhält man Z Opt = 375. x A x A = 09' Ein Vergleich von Z OPTA mit Z opt führt zur folgenden Erhöhung des ursprünglichen Dekkungsbeitrages infolge von 00 zusätzlichen Arbeitsstunden: Z OptA = 09' Z opt = 06'508.8 Opt = Der hochgestellte Index A bei den Variablen x und x soll anzeigen, dass es sich um die optimale Lösung des um 00 Arbeitsstunden erweiterten Produktionsmodelles handelt. 33

35 Erhöht man den fixen Faktor Arbeit in der Periode um nur eine Stunde, so erhält man einen y A A n/h In der Fachterminologie ausgedrückt heisst das: Der Schattenpreis für Arbeit (y A ) in der Periode ist Man beachte, dass der Schattenpreis bereits eine komplette optimale Anpassung der Produktion (neue optimale Werte für x und x ) an die veränderten Produktionsverhältnisse (mehr verfügbare Arbeit in der Periode ) beinhaltet. Natürlich lässt sich der Gewinn nicht beliebig lange durch eine Erhöhung der verfügbaren Arbeit in der Periode steigern. Wie aus der Abb. ersichtlich ist (Punkt D), gilt die obige Aussage über die Höhe des Schattenpreises nur bis zur Grenze von 460 Arbeitsstunden. Eine weitere gewinnbringende Substitution des Brotgetreides durch Kartoffeln ist jetzt nicht mehr möglich, weil die Kartoffelfläche bereits dem gesamten verfügbaren Land von 0 ha entspricht. Nach diesen Erläuterungen ist es leicht einzusehen, dass der Schattenpreis für die Arbeit in der Periode den Wert null annimmt. Nach Abbildung ist in der optimalen Lösung des Ausgangsproblemes die verfügbare Arbeitszeit für die Periode von 88 Stunden nicht ausgenutzt. Eine zusätzlich verfügbare Arbeitsstunde in Periode würde den Deckungsbeitrag = 0). Im Gegenteil, man könnte in Periode noch 0.45 Arbeitsstunden gewinnbringend ausserhalb des Betriebs einsetzen. Die Graphik zeigt nämlich, dass eine Parallelverschiebung dieser Arbeitsrestriktion um 0.45 Arbeitseinheiten nach links möglich ist, weil die optimale Produktion in der Periode nur Arbeitsstunden benötigt. Die Ueberkapazität der Arbeit (bezogen auf die optimale Lösung) wird Schlupf (slack) genannt. Ist also der Wert der Schlupfvariablen positiv, dann muss der Schattenpreis des Faktors null sein. Eine Erweiterung nicht genutzter Kapazität ist trivialerweise nicht gewinnerhöhend. Analog zum Faktor Arbeit kann auch der Boden bewertet werden. Die Abbildung 3 zeigt die graphische Lösung. Man erhält sie, wenn man gegenüber der Abb. die Restriktion von Land durch Parallelverschiebung um eine Flächeneinheit nach rechts ändert. Für die Produktion ständen dann statt 0 ha Land zur Verfügung. Der Punkt B wird durch den Schnittpunkt der Arbeitsrestriktion in der Periode und der neuen Landgeraden bestimmt. Die Lösung der beiden Gleichungen x + x = 3 x + 8 x = 33 ergibt die Werte x B = ; x B = 7.5 Der hochgestellte Index B soll anzeigen, dass es sich hier um eine Lösung nach Erhöhung des Faktors Boden um ha handelt. Als neuen Deckungsbeitrag erhält man 34

36 Z OptB = 375. xa(b,) xa(b,) = 648. Beim Vergleich der Deckungsbeiträge ZOptB und Zopt ergibt Z OptB = '648. Z opt = 06'508.8 B = Durch die Vermehrung des Fixfaktors Boden um eine Einheit könnte, falls kein weiterer Fixfaktor (d.h. hier, auch nicht die Arbeit in Periode ) begrenzend wäre, der Deckungsbeitrag um ca. Fr erhöht werden. Man sagt, der Schattenpreis y B für den Faktor Boden beträgt y B = Franken. Die Aussage, dass der Schattenpreis für Boden (Zuwachs des Deckungsbeitrages pro Einheit Land) ca. 540 Fr. beträgt, ist zwar richtig, aber eine ganze zusätzliche Hektare könnte mit der jetzigen Faktorausstattung nicht bewirtschaftet werden. Wie die Abb. 3 zeigt, liegt der berechnete Punkt B ausserhalb des zulässigen Bereiches. Die Restriktion für Arbeit in der Periode ist in Punkt B um.5 Std verletzt ( = 89.5). Die Arbeitskapazität von 88 Std. gestattet es nur, 0.99 ha (also 0.99 statt ha zusätzlich) zu bewirtschaften. Die restlichen 0.0 ha müssten, falls ha zugepachtet wird (ohne auch gleichzeitig die Arbeitskapazität in Periode zu erhöhen), ungenutzt bleiben. Obwohl der Schattenpreis für Boden 540 Fr. beträgt, könnte - wegen der dann neu auftretenden Kapazitätsbegrenzung - mit einer zusätzlichen Hektare Land der Deckungsbeitrag nicht ganz auf 06' = '648. Fr. (Z B ) erhöht werden. Bei der Interpretation des Schattenpreises ist also stets auf mögliche neue Engpässe zu achten (Aenderung der Struktur der optimalen Basislösung). Mit Hilfe des Schattenpreises kann man leicht entscheiden, ob eine Veränderung der Betriebsfläche rentabel ist. Der Gewinn G B, der durch eine zusätzliche Einheit des Faktors Boden erzielt werden kann, lässt sich ausdrücken durch die Gleichung: G B = Schattenpreis - Marktpreis. Eine Vermehrung des Fixfaktors Boden ist natürlich nur dann interessant, wenn G B >= 0 7 Dieser Wert hat einen Abrundungsfehler. Die später besprochene Computerlösung liefert den Wert

37 d.h. wenn durch die Vermehrung des Faktors ein Gewinn erzielt werden kann. Würde im obigen Beispiel der jährliche Pachtpreis pro ha Land z.b Fr. betragen, dann könnte durch die Zupacht von 0,99 ha Land ein Gewinnzuwachs von ca. G B = ( ) = Fr. erreicht werden. Abb. 3: Graphische Darstellung des Schattenpreises für Boden Die erste Frage, die sich bei der Bewertung der Fixfaktoren Boden und Arbeit ergab, wurde durch die obigen Rechnungen beantwortet. Die berechneten Werte für die Schattenpreise für Boden und Arbeit erlauben es, auch die zweite Frage nach dem Beitrag der Fixfaktoren zum Deckungsbeitrag zu klären. Ordnet man z.b. dem Boden seinen Schattenpreis als Wert zu, so repräsentieren die 0 ha Land einen Wert W B von W B = = Franken 36

38 Analog kann man für den Faktor Arbeit der Periode berechnen, dass die 333 verfügbaren Arbeitsstunden einen Wert W A von repräsentieren. W A = = Franken Allgemein lautet das Zuordnungsprinzip: Wert des Faktors = Schattenpreis des Faktors mal Faktorkapazität (RHS) Daraus folgt, dass der Schattenpreis für Arbeit in der Periode ist null. Folglich liefert auch die Bewertung der gesamten Arbeitsstunden dieser Periode den Betrag null, obwohl ein Teil der Arbeitsstunden für die Produktion benötigt werden 8. Gemäss Dualitätstheorie 9 gilt: Im Optimum entspricht der Deckungsbeitrag dem Wert aller voll ausgelasteten Fixfaktoren. Diese Aussage soll anhand der berechneten Zahlenwerte des Beispieles bestätigt werden. Es soll sein W A + W B = Z opt d.h. es muss gelten '83. = (Z opt = 06'508.8) Die obige Aussage ist also (abgesehen von einem kleinen Abrundungsfehler) richtig. Die prozentualen Anteile der Fixfaktorwerte am Deckungsbeitrag Z opt lassen sich folgendermassen berechnen. Man erhält für die Arbeit der Periode für den Boden 03'83. : 06'67. = oder 50.5%, : 06'67. = oder 49.75%. Man kann also sagen, dass der Wert der Arbeit in der Periode einen Anteil von 50.5% und der Wert des Bodens einen Anteil von 49.75% am Deckungsbeitrag haben. Dies bedeutet aber - von den Rundungsfehlern abgesehen - eine volle Ausschöpfung des erwirtschafteten Deckungsbeitrages. 8 Hier ist die Grenze einer Faktorbewertung mittels ihrer Schattenpreise deutlich erkennbar. 9 Die Dualitätstheorie wird später im Rahmen der Dualität näher behandelt. 37

39 Das Resultat dieser Zuordnung des Deckungsbeitrages als Wert für die Fixfaktoren entspricht der Aussage der ökonomischen Theorie, dass bei vollständiger Konkurrenz und optimaler Produktion die Fixfaktoren so zu bewerten sind, dass durch die Summe aller "Fixfaktorwerte" der Wert des Deckungsbeitrages voll ausgeschöpft wird. Unter der Voraussetzung der vollständigen Konkurrenz wird kein Gewinn erzielt. Das beschriebene Bewertungsverfahren für die Fixfaktoren durch ihren Schattenpreis lässt sich leider nicht zu einer steuerlichen oder vermögensmässigen Bewertung eines Landwirtschaftsbetriebes heranziehen. Dies wird verständlich, wenn man berücksichtigt, dass. der Schattenpreis als "Wertzuwachs des Deckungsbeitrages infolge der Kapazitätserhöhung eines Faktors um eine Einheit" definiert ist und. es durchaus möglich ist, dass bei der optimalen Produktion eine Faktorkapazität nicht voll ausgenützt ist, d.h. die zugehörige Schlupfvariable 0 positiv ist. Damit wird der Schattenpreis und auch der Wert des Faktors gleich null. Vom gewinnorientierten Standpunkt ist diese Bewertung völlig korrekt, doch für eine vermögensmässige Bewertung ist ein derartiges Vorgehen offensichtlich unbrauchbar. Trotzdem gehört der Schattenpreis zu den wichtigsten Resultaten der Produktionsplanung mittels Linearer Programmierung, weil er wichtige Hinweise auf die Rentabilität von "Kapazitätserweiterungen bei Fixfaktoren" liefert. Die wichtigsten Resultate dieses Abschnittes sollen noch kurz zusammengefasst werden:. Zu jeder optimalen Lösung eines Linearen Programmierungsmodelles liefert der Computer-Output für alle Fixfaktoren die zugehörigen Schattenpreise. Diese geben an, um wieviel Einheiten sich der Deckungsbeitrag erhöhen würde, wenn (ceteris paribus) für die Produktion vom betreffenden Faktor noch eine zusätzliche Einheit voll eingesetzt werden kann. Ist der Marktpreis des Faktors kleiner als sein Schattenpreis, so ermöglicht der Zukauf dieses Faktors eine gewinnbringende Produktionserweiterung.. Die gewinnorientierte Bewertung der Fixfaktoren mittels ihrer Schattenpreise lässt sich nicht für eine vermögensmässige Bewertung eines landwirtschaftlichen Betriebs heranziehen. In den vorangegangenen Abschnitten wurde anhand eines stark vereinfachten Beispieles das Vorgehen und der Aussagewert einer Produktionsplanung mit Linearer Programmierung erläutert. In der Vorlesungsunterlage "Einführung in den Solver von Microsoft Excel" wird an demselben Demonstrationsbeispiel gezeigt werden, wie ein Lineares Programmierungsmodell in den Computer eingegeben wird, welche Resultate die Computerlösung liefert und wie diese zu interpretieren sind. 0Die Differenz Faktorkapazität minus Faktorbeanspruchung wird als Wert der Schlupfvariablen eines Faktors bezeichnet. 38

40 3.5 Schattenpreis und Grenzverluste Schattenpreis (einer Restriktion) Allg. Definition Die Aenderung des otimalen Zielfunktionswertes als Folge einer (daten ceteris paribus) Erhöhung der RHS um eine Einheit wird Schattenpreis genannt. Aussagen über den Schattenpreis beziehen sich immer auf die optimale Lösung. Der Schattenpreis ist stets auf eine RHS-Einheit bezogen, auch wenn diese nicht voll ausgeschöpft werden kann. Beispiele. Im 3-dim. Beispiel würde eine zusätzliche Arbeitsstunde in Periode den Dekkungsbeitrag um 3.35 Fr. erhöhen. Es könnten (ceteris paribus) noch weitere Arbeitsstunden eingesetzt werden, ohne das bei anderen Restiktionen Engpässe sichtbar werden.. Beim Zupacht von einer Hektare Land, könnten nur 0,99 ha bearbeitet werden. Mehr Land kann nicht bebaut werden, da sonst die Arbeit in Periode nicht ausreichen (neuer Engpass) würde. Trotzdem wird der Schattenpreis für Land mit 5'39.3 Fr. angegeben, d.h. die Angabe des Schattenpreises ist auf die Erhöhung der Zielfunktion pro Hektar bezogen. Da nur 0,99 ha angepflanzt werden können, beträgt die effektive Erhöhung des Deckungsbeitrages nur (0,99*5'39.3 = Fr). Besonderheit Ist im Optimum eine Restriktion nicht voll ausgenutzt (schlaff erfüllt), so ist ihr Schattenpreis stets gleich null. Beispiel Im 3-dim. Beispiel ist der Schattenpreis für Arbeit in der Periode gleich null, weil im Optimum die vorgegebene Arbeitskapazität von 88 Stunden nicht voll ausgenutzt wurde (schlaff erfüllte Restriktion). Anwendung Der Schattenpreis liefert Hinweise, unter welchen Bedingungen eine effektive RHS-Erhöhung den Gewinn verbessern kann. Eine Erhöhung des Wertes der RHS ist (im Falle einer Maximierung) vorteilhaft, wenn die Kosten der RHS-Erhöhung kleiner als der Schattenpreis sind. Beispiel 39

41 Im 3-dim. Beispiel lohnt es sich, Land zu pachten, sobald der Pachtpreis 5'39.30 Fr. unterschreitet. Grenzverlust (einer Variablen) Definition Wird der Wert einer Variablen, die in der optimalen Lösung null ist, (in Abweichung vom Optimum!) gleich gesetzt, so reduziert sich (bei einer Maximierung) der Zielfunktionswert. Der Grenzverlust für die Variable gibt die Höhe dieser Zielfunktionsreduktion an. Beispiel In der optimalen Lösung des 3-dim. Beispiels ist die Futtergetreidefläche gleich null. Würde man (in Abweichung vom Optimum) dennoch den Anbau von ha Futtergetreide erzwingen, so würde sich (nach optimaler Anpassung der übrigen Produktion) der Deckungsbeitrag um den Grenzverlust (563 Fr.) reduzieren. Anwendung Der Grenzverlust gibt an, um wieviel der Zielfunktionskoeffizient (der zugehörigen Variablen) mindestens erhöht werden müsste, damit die Variable (in der optimalen Lösung) einen positiven Wert erhalten könnte. Beispiel Wenn im 3-dim. Beispiel der Zielfunktionskoeffizient für Futtergetreide von 500 Fr. um den Grenzverlust (563 Fr.), d.h. auf mindestens ( =) 5763 Fr., erhöht würde, dann würde Futtergetreide mit einem positiven Wert in der optimale Lösung auftreten. 40

42 Kapitel 4 Simplex Methode Inhalt Kapitel 4: - Algebraischer Überblick über die Simplex-Methode - Tableau Form - Aufstellen des Initial-Simplex-Tableaus - Verbessern der Lösung - Berechnung des nächsten Tableaus - Spezialfälle Die Methode der graphischen Lösung kann für Probleme der linearen Programmierung (LP) mit zwei Entscheidungsvariablen eingesetzt werden. Allerdings sind die meisten Probleme der linearen Programmierung zu komplex, um sie graphisch lösen zu können. Eine algebraische Methode muss angewandt werden. Die am weitesten verbreitete Methode um lineare Probleme algebraisch zu lösen ist die Simplex Methode. Im allgemeinen Fall haben wir n Variablen und m Restriktionen, wobei n > m ist. Auf dieser Methode basierende Computerprogramme können lineare Probleme mit Tausenden von Variablen und Restriktionen lösen. Der Solver von EXCEL ist ein solches Programm. 4. Algebraische Übersicht der Simplex Methode. Betrachte das selbe Problem wie in Abschnitt 3.3. MAX 375X 5700 X ST X X 0 0X X 88 3X 8 X X 0.4X 0 X, X 0 Schritte bis zur Simplex-Anwendung:. Problem als LP formulieren. In Standard-Form bringen 3. In Tableau-Form bringen 4. Simplex-Methode durchführen Bevor wir die Simplex Methode einsetzen können, müssen wir das Problem in Standartform bringen. D.h. Ungleichungen in Gleichungen umwandeln indem wir Schlupf- und Überschussvariablen einführen. In unserem Beispiel haben wir 6 Variablen (inkl. Schlupf) und 4 Restriktionen. MAX 375X 5700 X 0S 0S 0S 3 0S 4 Gleichung _( 4.) _ Zielfunkti on ST X X S 0 0X X S 88 3X 8 X S X 0.4X S 4 0 X, X,S,S,S 3,S 4 0 Gleichung _(4.) _ Land Gleichung _(4.3) _ Zeit _ Period Gleichung _(4.4) _ Zeit _ Period Gleichung _(4.5) _ Fruchtfo lg e Gleichung _(4.6) _ Nichtnegativität Die Gleichungen (4.) bis (4.5) bilden zusammen ein System von gleichzeitig ablaufenden linearen Gleichungen mit sechs Variablen. Somit gilt n=6, m=4. Wann immer gilt n > m können wir eine unendlich grosse Anzahl von Lösungen erwarten. Die Simplex Methode kann als algebraische Methode betrachtet werden, um die beste Lösung eines solchen Gleichungssystems zu finden. Die beste Lösung zu obigem System sind die Lösungen zu (4.) bis (4.5) welche (4.) maximieren und die Nichtnegativitätsbedingung (4.6) erfüllen. 4

43 Da die Restriktionsgleichungen mehr Variablen (6) als Gleichungen (4) haben, findet die Simplex Methode die Lösungen zu diesen Gleichungen in dem sie zwei Variablenwerte als 0 definiert und dann die Werte der restlichen Variablen berechnet. Wenn wir zum Beispiel X 0 und S 3 0 einsetzen, ergibt sich folgendes Gleichungssystem. X S = 0 X S = 88 8X = 33 X S 4 = 0 Durch lösen des obigen Systems erhalten wir: X 84, S 64, S 3576, S Diese Lösung wird Basislösung genannt. (Merke: Diese Lösung ist unzulässig (not feasible), da die Nichtnegativitätsrestriktion der Schlupfvariablen verletzt wird). Allgemein: eine BASISLÖSUNG enthält m Variablen grösser/gleich null und n - m Variablen gleich 0. In unserem Beispiel hat die Basislösung vier Variablen welche grösser/gleich 0 sind und Variablen welche gleich 0 sind. Das bedeutet, dass wir n - m Variablen gleich 0 setzen können und es bleiben nur noch m Restriktionen mit m Variablen zu lösen. Eine ZULÄSSIGE BASISLÖSUNG erfüllt die Nichtnegativitätsrestriktion. Zulässige Basislösungen entsprechen den extremen Punkten der Graphik (also den Eckpunkten der zulässigen Region). 4. Aufstellen des Initial Simplex Tableaus Schreibt man ein LP mit ausschliesslich kleiner/gleich Restriktionen in Standartform, ist es leicht eine zulässige Lösung zu finden. Wir setzten die Entscheidungsvariablen einfach gleich null und lösen nach den Schlupfvariablen auf. Damit nehmen die Schlupfvariablen die Rechte Hand Seite -Werte (RHS) der Restriktionsgleichungen an. Es ist möglich eine initiale zulässige Basislösung zufinden, wenn folgendes zutrifft. Für alle Restriktionsgleichungen gilt: Ein Koeffizient der m Basisvariablen der jeweiligen Restriktionsgleichung muss sein, und die Koeffizienten der restlichen Basisvariablen in der selben Gleichung müssen 0 sein. Der Koeffizient jeder Basisvariable darf in nur einer Gleichung sein. RHS der Restriktionsgleichungen dürfen nicht negativ sein. Wenn die obigen Punkte zutreffen, ist das LP in Tableauform. Die Standartform des Ausgangsbeispieles ist schon in Tableauform. Tatsächlich ist die Standartform eines LP mit ausschliesslich kleiner/gleich Restriktionen auch gleich die Tableauform. Aus der Tableauform des LP erhalten wir eine initiale zulässige Basislösung, die wir als Ausgangspunkt der Simplex Methode einsetzen können. Diese Initiallösung kann in Form eines Tableaus, dem Initial Simplex Tableau dargestellt werden. Ein Teil des Initial Simplex Tableaus ist eine Tafel, welche alle Koeffizienten des linearen Programms in Tableauform aufzeigt. 4

44 Allgemeine Notation: c j Zielfunktionskoeffizient der Variablen j b j RHS-Wert der Restriktion j a ij Koeffizient in Verbindung mit Variable j in Restriktion i Die Standartform eines allgemeinen LP lautet: Max j c j X j ST a ij X j b i i,..., m X j 0 j,..., n Bem.: Alle Nebenbedingungen als =- Nebenbedingungen geschrieben einfügen von Schlupf-oder Überschuss-Variablen Das Initialtableau lautet, c c. c n a a a n b a a a n b Bem.: wir haben m Nebenbedingungen und n Variablen, wobei normalerweise gilt: n>m a m a m a mn b m oder, C Zeile A Matrix B Spalte Bem.: Eine Basis-Lösung hat m Variablen >= 0 und n-m Variablen =0 Bem.: Eine Basis-Variable hat ein (wet?) von + in nur einer der Nebenbedingungen und 0 in allen anderen. Das Initialtableau für unser Beispiel kann jetzt erstellt werden: X X S S S 3 S b i Eine Basisvariable hat einen Einheitsvektor (oder eine Einheitsspalte). Die Zeile in welcher nur eine steht, ergibt den Wert der Basisvariablen in der b-spalte. Die zulässige Basislösung des obigen Tableaus ist: Basisvariablen: S = 0, S = 88, S 3 = 33, S 4 = 0 Nicht-Basisvariablen: X = X = 0 Zielfunktion: D = 0 43

45 4.3 Die Lösung verbessern Die Lösung, welche aus dem Initialtableau gezogen werden kann, stellt einen extremen Punkt der zulässigen Region dar und bezieht sich auf den Ausgangspunkt im Graph. Wir müssen eine bessere Lösung finden, indem wir die Basisvariablen ändern. j soll der Index der j-ten Variablen sein. Z j C j Z j = Abnahme des Zielfunktionswertes, wenn eine Einheit der j-ten Variablen in die Basis gebracht wird. = Nettoveränderung des Zielfunktionswertes, wenn eine Einheit der j-ten Variablen in die Basis gebracht wird. Die C j Z j -Werte der Variablen bilden die netto Bewertungszeile im Tableau. Wenn X =, dann nimmt S um ab; S nimmt um 0 ab; S 3 nimmt um 3 ab; S 4 nimmt um 0.6 zu. Eine Abnahme um von S kostet 0 0. Eine Abnahme um 0 von S kostet Ähnliches gilt für S 3 und S 4. Eine Änderung hat keinen Einfluss auf den Zielfunktionswert. Es sollen nun zwei neue Spalten und zwei neue Zeilen in das Tableau eingeführt werden um die Berechnungen zu vereinfachen: X X S S S 3 S 4 Basis C B b i S S S S Z j C j -Z j Die Basisspalte zeigt die momentanen Basisvariablen, während die Spalte C B die jeweiligen Zielfunktionskoeffizienten für jede der Basisvariablen zeigt. Um die Werte der Z j -Zeile zu berechnen bilden wir die Summe der Produkte aus der Multiplikation der Elemente aus der C B -Spalte mit den entsprechenden Elementen in der j-ten Spalte der A-Matrix. Die Zeile C j Z j sagt aus, dass wenn eine Einheit von X in die Basis gebracht wird, der Zielfunktionswert um 375 zunimmt. Wenn eine Einheit von X in die Basis gebracht wird, wird der Zielfunktionswert um zunehmen. Es ist also profitabler X in die Basis zu bringen. Welche Variable soll die Basis verlassen? S, S, S 3 oder S 4? Mit anderen Worten müssen wir in der A-Matrix eine Zeile finden, in welche X eingefügt werden kann und das entsprechende S verschwindet. Welche Variable sollte in die Basis gebracht werden? Welche Variable sollte diebasis verlassen? Wenn X eingeführt wird und S verschwindet: X = 0 Wenn X eingeführt wird und S verschwindet: 0X = 88, also X = 8.8 Wenn X eingeführt wird und S 3 verschwindet: 3X = 33, also X = Es soll die Zeile mit dem Minimalen Wert für X gewählt werden,warum? 44

46 Wir müssen jene Zeile mit dem kleinsten Wert für X wählen, denn sonst könnten einige Restriktionen verletzt werden. Mit anderen Worten: Wähle den tiefsten Wert, oder wähle das Minimum aus b i /a ij. In unserem Beispiel wird S 3 ersetzt. Damit haben wir die erste Iteration abgeschlossen und sind von einer Basislösung zu einer anderen gekommen. Regeln: Die Nicht-Basisvariable mit dem grössten C j - Z j,-wert kommt in die Basis Die Basisvariable mit dem kleinsten b i /a ij -Wert verlässt die Basis. (Hinweis: Nur Zeilen mit positiven X i -Koeffizienten betrachten) Die Endform des Initial Tableaus und entsprechenden Iterationen sind unten angegeben. Die Zeilenoperationen die benutzt wurden um von einem Tableau zum nächsten zu kommen werden auf der folgenden Seite detailliert wiedergegeben. Initial Tableau X X S S S 3 S 4 Basis C B b i b i /a ij S S S S Z j C j -Z j Um zum neuen Tableau zu kommen müssen wir Zeilenoperationen durchführen, die auf eine Einheitsspalte abzielen, damit X eingeführt werden kann. Erste Iteration X X S S S 3 S 4 Basis C B b i b i /a ij S S X S Z j C j -Z j Im neuen Tableau brauchen wir eine Einheitsspalte für X. 45

47 Zweite Iteration / End-Tableau X X S S S3 S4 Basis C B b i X S X S Z j C j -Z j Jetzt sind alle C j Z j kleiner/gleich 0 und damit haben wir das End-Tableau. Zusammenfassung der Simplex-Schritte:. Problem formulieren. In Standartform fassen 3. Mit dem Initial Tableau beginnen. Bei einem MAX Problem mit Restriktionen besteht die Basis aus den Schlupfvariablen. 4. Berechne Z j für jede Variable (also die Abnahme des Zielfunktionswertes welche aus der Einführung einer Einheit der Variable aus der j-ten Spalte in die Basis entsteht) 5. Berechne C j - Z j. Die Variable mit dem grössten (positiven) Wert aus C j Z j sollte in die Basis kommen. 6. Berechne für jede Zeile i die b i /a ij -Rate für alle a ij > 0. Die Basisvariable des entsprechenden b i /a ij -Minimums sollte aus der Basis entfernt werden. 7. Erstelle ein neues Tableau. Die Basisvariablen sollten eine Einheitsspalte haben. Um das Tableau füllen zu können, kann man jede Zeile mit einer Zahl (nicht null) multiplizieren und durch Addition oder Subtraktion eines mehrfachen einer anderen Zeile ersetzen. Beispiel einer Produktion Gegeben sei eine Firma, welche zwei Produkte herstellt. A und B. Sie benötigt dazu drei Arten von Ressourcen. Eine Einheit A bringt eine Gewinn von 3$ und benötigt Einheit der Ressource und 3 Einheiten der Ressource 3. Eine Einheit B bringt einen Gewinn von 5$ und benötigt je Einheiten der Ressourcen und 3. Es stehen 4 Einheiten der Ressource, Einheiten der Ressource und 8 Einheiten der Ressource 3 zur Verfügung. Formuliere daraus ein lineares Programm welches den Gewinn maximiert. Als erstes müssen wir die Entscheidungsvariablen definieren: X = Anzahl herzustellende Produkte A X = Anzahl herzustellende Produkte B 46

48 Formulierung: Standartform: MAX 3X 5 X 3X 5 X 0S 0S 0S 3 ST X 4 X 3X X 8 X, X 0 X S 4 X S 3X X S 3 8 X, X 0 S,S,S 3 >= 0; Initial Tableau X X S S S 3 Basis C B b i b i /a ij S S S Z j C j - Z j Die Variable X hat den höchstenc j Z j -Wert. Also sollte sie in die Basis kommen. Zeile hat die tiefste b i / a ij -Rate. Also sollte S die Basis verlassen. Im neuen Tableau sollte X eine Einheitsspalte mit einer in Zeile haben. Neue Zeile = (Alte Zeile ) / Neue Zeile = Alte Zeile um eine in der X -Spalte zu erhalten es hat bereits eine 0 in der X -Spalte Neue Zeile 3 = Alte Zeile 3 *(Neue Zeile ) = Alte Zeile 3 Alte Zeile Nach einer Iteration erhalten wir das neue Tableau: X X S S S 3 Basis C B b i b i /a ij S X / 0 6 S Z j / 0 30 C j - Z j / 0 47