Grundlagen und Spitzfindigkeiten der Investitionsrechnung Skript geschrieben von Dr.-Ing. Olaf Kintzel,

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1 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ½ ¹ ½ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð Grundlagen und Spitzfindigkeiten der Investitionsrechnung Skript geschrieben von Dr.-Ing. Olaf Kintzel, Juli 2014 ½ Ò ÖÙÒ Im Folgenden soll ein spezielles Teilgebiet der Ökonomik vorgestellt werden, die Investitionsrechnung. In der Investitionsrechnung geht es im Prinzip um Vorteilhaftigkeitsentscheidungen. Der Erfolg einer Entscheidung soll ex ante oder ex post beurteilt werden. Dazu müssen die einzelnen Erfolgstreiber separiert werden. Wie die Auflösung gewählt wird, bleibt damit dem einzelnen Auswerter überlassen. Diese Auflösung wird in der Zahl der unabhängigen Alternativen deutlich. Als Beispiel sei ein Mietshaus genannt. Wird dies als eine Alternative gesehen oder jede Wohnung für sich als eigene Alternative? Angenommen eine Wohnung wäre unrentabel. Lohnt sich dann eine Quersubventionierung? Solche und ähnliche Fragen sollte sich ein Ökonom stellen. Neben den rein monetären Faktoren sind natürlich auch qualitative Aspekte von Bedeutung. In der Regel kommt es auch immer auf den guten Willen des Auswerters oder Entscheiders an. Er muss die Regeln kennen, aber nicht stur anwenden. Wer die Regeln der Investitionsrechnung beherrscht, kann seine Planungen auf eine solide Basis stellen. Ein Vergleichsmaßstab wird durch den Zins eingeführt, der einen wichtigen Bestandteil der Investitionsrechnung ausmacht. Wozu eigentlich eine Diskontierung? Ist das nicht nur akademisch? Nun, angenommen, jemand legt Geld auf der Bank an und steht vor der Frage eine Investition durchzuführen, die vollkommen isoliert ausführbar ist und keinerlei vertikale oder horizontale Komplementäreffekte habe. Dann wäre er schlecht beraten sein, die Investition durchzuführen, wenn er weniger Rendite machen würde als der ihm gebotene Habenzins. Dann sollte er lieber das Geld sparen und zur Bank tragen. Oder er finanziert das alles mit einem Kredit. Macht er weniger Rendite als die Sollzinsen, wäre er ebenso schlecht beraten, die Investition in Angriff zu nehmen. Die entsprechenden endogenen Grenzzinssätze ergeben sich dabei immer individuell aus der vorhandenen Finanzierungsstruktur des Investors. Ist damit überhaupt ein moralischer Aspekt verbunden? Im Islam ist der Zins als solcher ein wenig verpönt. Doch Zinsen sind nichts anderes als Opportunitätskosten. Wirklich nur im Scherz: Muss ein Scheich, um einen bestimmten Kredit zu bekommen, mit seiner Karawane 200 km in die nächstgrößere Stadt ziehen, um dort den hiesigen Finanzberater zu treffen und muss er diesen auch noch bestechen, um einen bestimmten Kredit zu bekommen (was ihm vielleicht keinen Platz im Paradies garantiert), dann sind dies seine individuellen Transaktionskosten, also praktisch gesehen seine individuellen Zinsen, unabhängig davon, ob sich seine Bank entscheidet offiziell Zinsen zu verlangen oder nicht. Der endogene

2 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ½ ¹ ¾ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð Grenzzinsfuß ergibt sich für den Scheich dann aus seinen eigenen proportionalen Transaktionskosten. Damit wird klar, Zinsen, die so wichtig für unsere heutige Gesellschaft sind, implizieren keine moralische Wertung. Im Gegenteil, keiner ist allwissend und kann wissen, welche Geschäftsidee erfolgversprechend ist oder nicht. Die Bank finanziert aber in der Regel auch solche Unternehmen, die in 2 Jahren insolvent sind. Das ist ihr Risiko und will es vergütet wissen. Also muss es diese Transaktionskosten an ihre Kunden weitergeben, um existieren zu können. Das sind die Zinsen. Ohne auf der Makroebene Schulden zu machen, könnte jedoch keiner auf der Mikroebene eine riskante Geschäftsidee verfolgen. Also gehört der Zins zu unserem Leben. Allein der marktwirtschaftliche Rahmen könnte zu Kritik Anlass geben und die Frage, ob unablässiges Wachstum, um Zinsen zu bedienen, ethisch vertretbar oder überhaupt technisch machbar ist. Die Theorie der Investitionsrechnung ist fester Bestandteil der Curricalae von ökonomischen Bildungsreinrichtungen wie Universitäten oder Fachhochschulen. Leider liegen die Informationen meist in einer Form vor, die nicht immer dem Denkprozess des Lesers entsprechen müssen wie z.b. auch des gegenwärtigen Autors dieses Skriptes (Es sei hervorgehoben, dass es sich um ein Skript bzw. in weiten Teilen um eine originäre Arbeit handelt, d.h. viele Inhalte sind in dieser Form noch nicht veröffentlicht worden). Will man daher sich die Dinge zu Eigen machen, kommt man nicht umhin neben dem üblichen klausurrelevanten Lernstoff sich das Gebiet alternativ über geeignete Sekundärliteratur zu erschließen. Dabei stellt man fest, dass Autoren individuelle Schwerpunkte legen und bestimmte Teile ohne Details nur übergehen, die aber in der Praxis von großer Bedeutung sind, dafür aber andere Anteile, besonders diejenigen ihrer spezifischen Forschungsvorlieben breit erörtern. Einige pflegen einen verständlichen Erzählstil, andere verstecken sich hinter ihren kryptischen Formeln. Auch der Autor dieses Skriptes hat bestimmte Vorlieben und auch Ergebnisse eigener Forschung oder Lernbemühungen, die für Andere von Interesse sein könnten. Teilweise soll gerade dort, wo einige Autoren nicht weiter gehen, in die Tiefe und Breite gegangen werden, um für die Praxis Möglichkeiten und Mittel zur Verfügung zu stellen, den Stoff nicht nur zu verstehen, sondern auch anwenden zu können. Wie gesagt, war es notwendig auf einer Reihe von Lehrbüchern aufzubauen. Es seien genannt: Kruschwitz (2007b), Kruschwitz (2011) Hering (2008) Hax (1985) Kruschwitz (2007a), Kruschwitz u. Husmann (2012) Franke u. Hax (2009) Perridon u. a. (2012) Ross u. a. (2013), Brealey u. a. (2013)

3 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ½ ¹ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð Bitz (2011), Hering (2011) Gemäß den Gepflogenheiten ordentlicher wissenschaftlicher Literaturarbeit wurden die entsprechenden Stellen deutlich gekennzeichnet sowie Zitate eingefügt, sollten Anleihen diesen Werken entstammen. Die Theorie wurde entsprechend des Erkenntnisfortschritts des gegenwärtigen Autors zusammengeschrieben, wobei manche Themen umfassender als andere behandelt werden, je nach Laune, Zeitrahmen und Interesse des Autors. Zur Art und Weise der Darstellung sei vorausgeschickt, dass die mathematischen Methoden intuitiv angewendet werden und teils eine Komponentenschreibweise frei mit einer kompakteren Matrizendarstellung verquickt wurden. Spezielle Kenntnisse der grundlegenden Mathematik werden also vorausgesetzt. So wird zum Beispiel die Beziehung p n entweder einmal als Vektor- oder Matrizenprodukt oder auch in Komponentenschreibweise p j n j geschrieben, wobei die sogenannte Einstein- Summationskonvention angewendet wird, die besagt, dass die Indizes j über die Anzahl an Komponenten laufen und die einzelnen Werte aufaddiert werden. Im Prinzip gilt also pn = p j n j = p 1 n 1 + p 2 n 2 + p 3 n 3, so weit die Vektoren oder Matrizen p und n jeweils drei Komponenten besitzen. Auf diese Weise gelingt es, die schwerfällige Summenbildung in den Ausdrücken zu vermeiden und man erkennt mit etwas Übung sehr schnell den Aussagegehalt einer Formel (Ich hoffe, der Leser ist erfreut über diesen bescheidenen Fortschritt in der Darstellung). Bis auf bestimmte Ausnahmen wurden die Beispiele komplett eigenständig mit Zahlen unterlegt. Was die Notationen angeht, hat der Autor sich an die Kurseinheiten der Fernuniversität Hagen gehalten, da dieses Skript speziell für diese Zielgruppe erarbeitet und geschrieben wurde (siehe Bitz (2011), Hering (2011)). Für eine vertiefte Einarbeitung wäre ein Blick in die aktuellen Lehrbücher von Prof. Hering (Hering (2008), Hering (2014)) oder Prof. Bitz sicher enorm förderlich. Manchmal wechseln die Notationen, so dass auch deutlich wird, von welcher Schule der Autor am dominantesten geprägt wurde (Manche sagen überspitzt, dass ein Großteil der Innovationen z.b. in der Mathematik einfach in der Wahl neuer Notationen begründet liegt, die es erlauben Dinge einfacher oder klarer zu sehen). Da viele Teile originär oder alternativ hergeleitet worden, scheut der Autor sich nicht, Wissen in neuer Verpackung kund zu tun, da der Autor der Ansicht ist, dass Wissen universell ist und nicht verheimlicht oder vereinnahmt werden sollte, solange wissenschaftlich gesehen alles korrekt läuft. Ein Copyright auf einen Geistesblitz wird ganz ordentlich durch Zitate deutlich. Der Autor hat sich die Rosinen herausgepickt, die für ihn am vorteilhaftesten zum Verständnis beigetragen haben und will seine Erkenntnisse weitergeben.

4 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ½ ¹ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò 1 Einführung 1 2 Statische Methoden Die Kostenvergleichsrechnung ½ 2.2 Gewinnvergleichsrechnung Rentabilitätsrechnung Amortisationsrechnung ( Payoff method ) Grundlagen der Finanzmathematik Die Aufzinsung Die Abzinsung ½¼ 3.3 Der Rentenbarwert (nachschüssig) ½¼ 3.4 Die Annuität (nachschüssig) ½½ 3.5 Einige Anwendungen ½ 3.6 Unterjährliche Verzinsungen ¾¼ 3.7 Eine verallgemeinerte Annuitätenformel ¾ 4 Übergreifende Methoden Die konvexe Optimierung ¾ Einführung ¾ Die nichtlineare Optimierung ¾ Das Dualitätstheorem in der konvexen Optimierung.... ¼ Anwendung auf den Spezialfall der linearen Optimierung. ¼ 4.2 Nutzenfunktionen und Konsumentscheidungen ¾ 5 Investitionstheorie (dynamische Methoden) unter Sicherheit periodisch, x Investitionsprojekte per., x Finanzierungs- und Investitionsprojekte ¾ 5.3 Der allgemeine mehrperiodische Fall Wahlentscheidungen zwischen Investitionsprojekten Der vollständige Finanzplan (VOFI) Das Preinreich-Lücke-Theorem ¼ 5.6 Die Arbitragetheorie (Theorie der Arbitragefreiheit) ¾ 5.7 Berücksichtigung von Steuern Die Einkommenssteuer Die Körperschaftssteuer Die Gewerbesteuer Die allgemeine Veranlagungssimulation ½¼¼ Einige grundlegende Betrachtungen ½¼¾

5 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ½ ¹ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð Das klassische Standardmodell ½¼ Erweiterungen des Standardmodells ½¼ Anwendung des Standardmodells im Fall Kauf oder Leasing½¼ Das Standardmodell mit Unternehmens- und Privatsphäre ½½½ 5.8 Auswirkungen von Inflation ½¾¼ 5.9 Die Investitionsdauerentscheidung ½¾ Das Nutzungsdauerproblem ½¾ Das Problem der Entscheidung über eine Ersatzinvestition ½¾ Entscheidungen unter Kostenerwägungen ½¾ 5.10 Investitionsprogrammentscheidungen ½ Vermögensmaximierung ½ Einkommensmaximierung ½ ¼ Das Simplex-Verfahren ½ Konvexe Optimierung bei Vermögensmaximierung.... ½ ¼ Konvexe Optimierung bei Endwertmaximierung..... ½ Konvexe Optimierung bei Einkommensmaximierung... ½ ½ Die primale und die duale Entartung ½ Berücksichtigung zusätzlicher Nebenbedingungen.... ½ Die Nebenbedingung der Ganzzahligkeit ½ Nichtlineare Optimierung ½ ¼

6 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¾ ¹ ½ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð ¾ ËØ Ø Å Ø Ó Ò Statische Methoden zeichnen sich dadurch aus, dass man sich schnell einen Überblick über die Kosten- und Gewinnstruktur verschaffen kann, ohne zu viele Informationen im Vorfeld generieren zu müssen. Dabei wird eine repräsentative Periode zu Grunde gelegt und sämtliche Daten als Durchnschittskosten bzw. -erlöse bezogen auf diese repräsentative Periode ermittelt. Dazu werden die erwarteten Größe entweder direkt geschätzt (was der einfachste Weg wäre) oder die erwarteten Periodengrößen in Durchschnittsgrößen umgewandelt (was am Aufwand gesehen den dynamischen Methoden schon gefährlich nahe kommt). Zu den statischen Methoden gehören die: ¾º½ 1. Kostenvergleichsrechnung 2. Gewinnvergleichsrechnung 3. Renditevergleichsrechnung 4. Amortisationsrechnung ÃÓ Ø ÒÚ Ö Ð Ö ÒÙÒ Zu den Kosten können zählen: Personalkosten Löhne und Gehälter sowie Lohnnebenkosten (Sozialbeiträge) Materialkosten Energiekosten Werkzeugkosten Raumkosten Instandhaltungs- und Reparaturkosten Betriebsstoffkosten Diese können in fixe und variable Kosten unterteilt werden. Hinzu kommen kalkulatorische Kosten wie kalkulatorische Abschreibungen und kalkulatorische Zinsen. Die Kapitalkosten (Zinsen auf das durchschnittlich gebundene Kapital) werden vereinfachend auf die durchschnittliche Kapitalbindung bezogen. Bei kontinuierlicher Kapitalbindung wird zu Beginn I 0 verausgabt, das

7 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¾ ¹ ¾ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð bis zu null kontinuierlich abnimmt. D.h. die kontinuierliche Kapitalbindung ergibt sich zu: I 0 2 bzw. unter Einrechnung des Resterlöswertes (I 0 L T ) +L T. 2 Unter Einbeziehung eines Resterlöswertes bleibt L T über die Perioden konstant und mindert die gesamten AusgabenI 0 zu Beginn der Periode, so dass nuri 0 L T effektiv übrig bleibt. Der konstante Wert L T wird dann en bloc addiert. Folglich ergeben sich die Kapitalkosten bei kontinuierlicher Amortisation bei einem Kapitalkostensatz vonizu: i I 0 2 bzw. unter Einrechnung des Resterlöswertes i I 0 +L T. 2 Wäre eine periodenweise Tilgung berücksichtigt, so ist insgesamt mehr Kapital gebunden, da nur ein Anteil je Periode getilgt wird (Perridon u. a. (2012), S. 36). ÜberT Perioden bleibt der Anteil I 0 + T 1 T I T I 0 = T (T +1) 2T gebunden, der durchschnittlich zu einer Kapitalbindung von: (T +1) T 2 I 0 I 0 bzw. bei einem Resterlöswert zu (T +1) T 2 (I 0 L T )+L T führt. Auch dieser Betrag wird mit dem Kapitalkostensatz i multipliziert. Im Limit T ergibt sich wieder der kontinuierliche Fall. Für die Ermittlung der kalkulatorischen Abschreibungen werden die tatsächlichen Wertverläufe und erwarteten Nutzungsdauern, Resterlöswerte und Wiederbeschaffungswerte berücksichtigt unabhängig von den Größen der pagatorischen Buchhaltung. Im einfachsten Fall wird die Anfangsausgabe durch die Nutzungsdauer geteilt, d.h. I 0 T. Wesentlich sind alle Kosten, die sich ergeben, falls die Investition durchgeführt wird. Eine Schlüsselung von Gemeinkosten ist aber ebenso wenig nötig wie eine Berücksichtigung von sunk costs, also von Kosten, die ohnehin anfallen, unabhängig davon, ob die Investition durchgeführt wird oder nicht. Es wird immer der Datenkranz bei Durchführung der Investition im Vergleich zur Situation ohne die Durchführung der Investition betrachtet. Man unterscheidet Kosten pro Zeiteinheit und Kosten pro Leistungseinheit. Sind die entsprechenden Investitionen funktionsgleich (wie die Anlagen A und B im

8 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¾ ¹ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð folgenden Beispiel), d.h. haben sie den selben Absatz und die selbe Nutzungsdauer, so führen beide Maße zu einer vergleichbaren Vorteilhaftigkeitsaussage. Sonst wären nur Stückkosten entscheidungsrelevant. Es werden die folgenden Projekte angenommen: ÒÐ Å Ü Ñ Ð Ã Ô Þ ØØ» ½ ¼¼¼ ËØ º ½ ¼¼¼ ËØ º ½½ ¼¼ ËØ º ØÞ ÔÖÓ Â Ö ½¼ ¼¼ ËØ º ½¼ ¼¼ ËØ º ¼¼¼ ËØ º Ò ÙÒ Û ÖØ ½¼¼ ¼¼¼º¼¼ ½¾¼ ¼¼¼º¼¼ ¼¼¼º¼¼ ÆÙØÞÙÒ Ù Ö T º¼¼ º¼¼ ¾º¼¼ Ö Ø ÐÑÒ¹ÃÓ Ø Ò» ½ ¼¼¼º¼¼ ½ ¼¼¼º¼ ½ ¼¼º¼¼ È Ö ÓÒ Ð Ó Ø Ò» ¾¼ ¼¼¼º¼¼ ½ ¼¼¼º¼¼ ¾½ ¼¼¼º¼¼ Å Ø Ö Ð Ó Ø Ò» ¼¼¼º¼¼ ¼¼¼º¼¼ ¼¼¼º¼¼ Ò Ö Ó Ø Ò» ¼¼º¼¼ ½ ¾¼¼º¼¼ ½ ¼¼¼º¼¼ ËÓÒ Ø ÐÑ ¹ÃÓ Ø Ò» ½ ¾¼¼º¼¼ ½ ¼¼¼º¼¼ ¼¼º¼¼ Î Ö Ù ÔÖ»ËØ º º¼¼ º ¼ º¼¼ Ì ÐÐ ½ Ô Ð Ø Ò ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ò ÙÒ ÐÑ Ð ØÙÒ Ñ Ò Ò¹ Ò ÙÞ ÖØ ¹ Ò µ ÐÑÒ Ð ØÙÒ Ñ Ò ÒÒ ÙØÖ Ð ¹ÙÒ Ò µ Es wird die einfache Abschreibung (I 0 geteilt durch T ) und eine kontinuierliche Amortisation bei einem Kapitalkostensatz von i = 10% gewählt. Zunächst werden alle leistungsmengenabhängigen Kosten addiert (variable Kosten) und die fixen Kosten ermittelt (also die Summe aller leistungsmengenunabhängigen Kosten). Daraus ergeben sich die Ergebnisse in Tabelle 2. Im Vergleich der funktionsglei- ÒÐ Å Ü Ñ Ð Ã Ô Þ ØØ» ½ ¼¼¼ ËØ º ½ ¼¼¼ ËØ º ½½ ¼¼ ËØ º ØÞ ÔÖÓ Â Ö ½¼ ¼¼ ËØ º ½¼ ¼¼ ËØ º ¼¼¼ ËØ º Ö ÙÒ ¾ ¼¼¼º¼¼ ¼ ¼¼¼º¼¼ ½ ¼¼º¼¼ Ã Ô Ø Ð Ó Ø Ò ¼¼¼º¼¼ ¼¼¼º¼¼ ½ ¼º¼¼ Ö Ø ÐÑÒ¹ÃÓ Ø Ò» ½ ¼¼¼º¼¼ ½ ¼¼¼º¼ ½ ¼¼º¼¼ ÐÑ ¹ÃÓ Ø Ò» ¾ ¼¼¼º¼¼ ¾ ¾¼¼º¼¼ ¾ ¼¼º¼¼ ÃÓ Ø Ò» ¼¼¼º¼¼ ½ ¾¼¼º¼¼ ¼º¼¼ ÃÓ Ø Ò»ËØ º ¾ º º ½ Ì ÐÐ ¾ ÃÓ Ø Ò ØÖÙ ØÙÖ Ò Ö ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ò ÙÒ chen Anlagen A und B führen sowohl die Kosten/a und Kosten/Stck. zur selben Entscheidung (A ist besser!), während bei unterschiedlicher Lebensdauer und variierendem Absatz natürlich nur die Kosten/Stck. entscheidungsrelevant sind (C

9 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¾ ¹ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð ist besser als A und B)!. Um die kritische Menge als sogenannten Break-Even- Point zu ermitteln, bei der die Gesamtkosten aus der Summe der variablen (lmi- Kosten geteilt durch Absatz mal x) und fixen Kosten (Summe aus lmn-kosten, der Kapitalbindung und der Abschreibung) gleich sind, wird einfach ein einfacher Dreisatz angewendet. Im Vergleich der Anlagen A und B ergibt sich z.b.: GE GE x = GE GE x x = Stck Die Anlage B hat die geringeren variablen Kosten und wäre ab einer Ausbringung von x > Stck. günstiger als Anlage A. Die GE als fixe Kosten der Anlage A ergeben sich z.b. aus: (Abschreibung) (Kapitalbindung) (direkte lmn-kosten). ¾º¾ Û ÒÒÚ Ö Ð Ö ÒÙÒ Sind verschiedene Erlössituationen gegeben (verschiedene Verkaufspreise oder Absatzmengen), so werden den ermittelten Kosten die zu erreichenden Erlöse gegenüber gestellt. ÒÐ Å Ü Ñ Ð Ã Ô Þ ØØ» ½ ¼¼¼ ËØ º ½ ¼¼¼ ËØ º ½½ ¼¼ ËØ º ØÞ ÔÖÓ Â Ö ½¼ ¼¼ ËØ º ½¼ ¼¼ ËØ º ¼¼¼ ËØ º Î Ö Ù ÔÖ»ËØ º º¼¼ º ¼ º¼¼ ÃÓ Ø Ò» ¼¼¼º¼¼ ½ ¾¼¼º¼¼ ¼º¼¼ Öл ¼¼º¼¼ ¾ ¼º¼¼ ¼¼¼º¼¼ Û ÒÒ» ½ ¼¼º¼¼ ¼ ¼º¼¼ ½ ¼º¼¼ Ì ÐÐ Û ÒÒ ØÖÙ ØÙÖ Ò Ö ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ò ÙÒ Eine Gewinnvergleichsrechnung ist aber nur dann unproblematisch, wenn es sich um Investitionen mit gleicher Nutzungsdauer und gleichem Kapitaleinsatz handelt. Sonst sind Fehlentscheidungen möglich. So generiert Anlage A gegenüber Anlage C den höheren Gewinn/a. Der Gesamtgewinn als Summe über die Nutzungsdauer ist ebenso größer: GE*4= GE> GE*2= GE Darin ist aber noch nicht eingerechnet, dass für das Projekt C knapp nur ein Drittel von Projekt A investiert werden müsste. Wird der Kapitaleinsatz mitberücksich-

10 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¾ ¹ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð tigt, so folgt vielmehr: GE < GE* 100 = GE! 35 Dies ist natürlich nur unter der Annahme sinnvoll, dass der Gesamtabsatz im knapp dreifach durchgeführten Projekt C überhaupt erreichbar ist (Solche Bedingungen können als Restriktionen in Simultanansätzen, die bei den dynamischen Verfahren Anwendung finden, Berücksichtigung finden!). Diese Fragen und auch die Frage, wie mit Kapitaleinsatzdifferenzen umgegangen werden soll (in die Kasse legen?) sind relevant und führen dazu, statische Verfahren wegen dieser Vereinfachungen gegenüber den dynamischen Verfahren als nachteilig zu beurteilen. Solche zeitbezogenen Finanzierungsentscheidungen werden bei der Berücksichtigung von Durchschnittswerten nämlich komplett vernachlässigt. ¾º Ê ÒØ Ð ØØ Ö ÒÙÒ Um das oben angesprochene Problem der Nichtberücksichtigung der Höhe der Kapitalbindung zu lösen, gibt es die Rentabilitätsrechnung, bei der der Gewinn auf das eingesetzte Kapital bezogen wird. Als Divisor (Nenner) in der Formel können entweder die anfänglich eingesetzten Mittel oder das durchschnittlich gebundene Kapital, siehe vor, verwendet werden. Für ersteren Fall resultiert die Formel: ROI = Periodengewinn (GE/ZE) anfänglich eingesetztes Kapital (GE) ÒÐ Ò ÙÒ Û ÖØ ½¼¼ ¼¼¼º¼¼ ½¾¼ ¼¼¼º¼¼ ¼¼¼º¼¼ Ã Ô Ø Ð Ó Ø Ò ¼¼¼º¼¼ ¼¼¼º¼¼ ½ ¼º¼¼ Û ÒÒ» Ò ½ ¼¼º¼¼ ¼ ¼º¼¼ ½ ¼º¼¼ Û ÒÒ» Ú ½ ¼¼º¼¼ ½ ¼ ¼º¼¼ ½ ¾¼¼º¼¼ ÊÇÁ Ò ½ º ± º ± º ± ÊÇÁ Ú ½ º ± ½¼º ± º ± Ì ÐÐ Ê ÒØ Ð ØØ ÒÒÞ ÖÒ Ö ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ò ÙÒ Bei der Verwendung des durchschnittlich gebundenen Kapitals im Nenner stellt sich hingegen immer die Frage, ob zwischenzeitlich durch Amortisation freigesetztes Kapital sofort zinsbringend reinvestiert werden kann (Perridon u. a. (2012), S. 41).

11 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¾ ¹ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð Man kann die Netto- und Bruttorendite unterscheiden. Bei der Bruttorendite werden die Kapitalkosten (Zinsen auf das durchschnittlich gebundene Kapital) nicht vom Umsatz abgezogen, so dass es sich um eine Gewinngröße vor kalkulatorischen Zinsen handelt. Die Bruttorendite hat den Vorteil, dass sie sich direkt mit dem kalkulatorischen Zinssatz vergleichen lässt als die von Investoren geforderte Mindestverzinsung, die allen Anspruchsgruppen, auch den Kreditoren, zusteht. Folglich ist ein Projekt nur dann wertbringend, wenn die Bruttorendite den kalkulatorischen Zinssatz übersteigt, während die Nettorendite die Eigenrendite angibt (Perridon u. a. (2012), S. 42). Die verschiedenen Rentabilitätskennziffern sind in der Tabelle aufgeführt. Problematisch sind jedoch auch hier unterschiedliche Nutzungsdauern, die einen korrekten Vergleich nicht ermöglichen. Implizit wird nämlich bei verschiedenen Lebensdauern angenommen, dass sich Kapitaleinsatzdifferenzen zur entsprechenden ROI verzinsen lassen würden im Vergleich zum längerlebigen Investitionsobjekt (Perridon u. a. (2012), S. 43). Diese Methode ist daher nur dann vollkommen unproblematisch, wenn die Nutzungsdauern der miteinander zu vergleichenden Investitionen übereinstimmen. Bei gleichem Kapitaleinsatz im Nenner, kann statt der Rentabilität gleich der erwirtschaftete Gewinn betrachtet werden. ¾º ÑÓÖØ Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ È ÝÓ Ñ Ø Ó µ Die Amortisationsrechnung oder auch Kapitalrückfluss-, Payoff - oder Payback - Methode fragt, wie lange es dauert, bis die eingesetzten liquiden Mittel an die Investoren zurückgeflossen sind. Dabei werden anstatt von buchhalterischen Größen, wie zuvor, nun Zahlungsströme berücksichtigt und Quasi-Sicherheit angenommen, d.h. ein mögliches (Vorhersage-)Risiko wird ausgeblendet. Am vorteilhaftesten ist das Projekt mit der kürzesten Amortisationsdauer. Die Rückflüsse können wie bei der Rentabilitätsrechnung vor oder nach Kapitalkosten angesetzt werden. Die Größe nach Kapitalkosten ist aussagefähiger, da sie die Finanzierungsmaßnahmen mit berücksichtigt (Perridon u. a. (2012), S. 43). Um aus den Gewinngrößen Zahlungsströme zu generieren wird vereinfachend die indirekte Methode angewendet, indem zahlungsunwirksame Kosten wie Abschreibungsbeträge auf den Gewinn aufgeschlagen werden. Soll der Fall -vor Kapitalkostenbetrachtet werden, so wird vom Gewinn -vor Zinsen- ausgegangen (siehe Tabelle 4), so dass sich allgemein das Schema Gewinn (entweder vor oder nach Zinsen) + Abschreibung = Rückfluss (Cashflow) ergibt. Man kann die Durchschnittsmethode und die Totalrechnung (oder auch Kumulationsrechnung) unterscheiden. Bei der Durchschnittsrechnung wird einfach

12 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¾ ¹ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð der Quotient aus der Investitionsauszahlung und dem durchschnittlichen Rückfluss gebildet. Es sei angemerkt, dass die Methode -nach Kapitalkosten- insofern problematisch ist, als dass nach der Durchschnittsmethode die Rückflüsse als einheitlich je Periode angenommen werden, die Kapitalkosten jedoch einen fallenden Verlauf haben (Perridon u. a. (2012), S. 44). ÒÐ Ò ÙÒ Û ÖØ ½¼¼ ¼¼¼º¼¼ ½¾¼ ¼¼¼º¼¼ ¼¼¼º¼¼ ÓÛ Ò ¼¼º¼¼ ¼ ¼º¼¼ ¼ ¼º¼¼ ÓÛ Ú ¼¼º¼¼ ¼ ¼º¼¼ ¾ ¼¼º¼¼ ÑÓÖغ Ò ¾º º¾ ½º½ ÑÓÖغ Ú ¾º¾ ¾º ½º¼ Ì ÐÐ ÑÓÖØ Ø ÓÒ Ù ÖÒ Ö ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ò ÙÒ Â Ö ½ ¾ ØÞÞ Ð Ò ¼¼ ËØ º ½¼ ¼¼ ËØ º ½¾ ¼¼ ËØ º ½¾ ¼¼ ËØ º ÍÑ ØÞ ÖÐ ¼¼ ¼¼ ¼¼ ¼¼ ¹ Ù Þ ÐÙÒ Ò ÐÑ ½ ¾ ¼¼¼ ¹ Ù Þº ÐÑÒµ ¼¼¼ ¼¼ ¼¼ ¼ Ê Ù Ú ¾ ½ ¼¼ ½ ÙÑÙÐ ÖØ Ú ¾ ½ ¼ ¼ ½¾ ½ ¼¼½ Ò Ò ½¼ ¼¼¼ ¾ ¼ Ê Ù Ò ½ ½ ½ ¾ ½ ÙÑÙÐ ÖØ Ò ½ ½ ½ ½¼¼ ¼ ½ Ì ÐÐ ØÐ Ö Î ÖÐ Ù Ö Ò¹ ÙÒ Ù Þ ÐÙÒ Ò Ö ÈÖÓ Ø Bei der Totalrechnung oder der Kumulationsrechnung werden die Rückflüsse pro Periode getrennt berücksichtigt, indem die zeitlichen Verläufe der Ein- und Auszahlungen genauer ermittelt werden, z.b. unter Annahme unterschiedlicher Absatzmengen oder Verkaufspreise bei der Ermittlung der Umsatzeinzahlungen oder aber auch mit Schätzung unterschiedlicher Auszahlungen je Periode (siehe Tabelle 6), deren Durchschnitt ja bekannt ist (siehe Tabelle 1). Dies sei anhand des Projektes A vorgeführt (Die leistungsabhängigen (lmi-) Kosten wurden einfach im Verhältnis der Stck.-Zahlen (nach dem Durchschnitt Stck.) umgerechnet. Sonstige Kosten (lmn), die hinzu kommen, wurden geschätzt). Die Zinsen ermitteln sich entsprechend auf den Restwert startend von der Anfangsauszahlung

13 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¾ ¹ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð minus den kumulierten Rückflüssen mit einem Kalkulationszinssatz von 10%. Es wird hier angenommen, dass die Einnahmen vorrangig zur Rückzahlung des eingesetzten Kapitals verwendet werden. Überschüsse entstehen also erst dann, wenn das eingesetzte Kapital voll zurückgezahlt ist (Perridon u. a. (2012), S. 45). Die Amortisationsdauer vz ergibt sich dann zu 2.56a, wobei die Dezimalzahl nach dem Komma über eine Interpolation gewonnen wurde: (gebundenes Kapital [Anfangsauszahlung minus kumulierte Rückflüsse vz] im zweiten Jahr/Rückfluss vz im dritten Jahr)) = / a. Die Amortisationsdauer nz lautet entsprechend 2.99a. Die Amortisationsdauer führt dann nicht zur besten Alternative, wenn nach der Amortisationsdauer eines eigentlichen unvorteilhaften Projektes größere Rückflüsse zu erwarten sind, die die Rückflüsse der anderen Projekte übersteigen. Ganz allgemein problematisch bei der Verwendung von Durchschnittsgrößen ist die unberücksichtigte zeitliche Struktur der cash flows. So könnte es zwei Projekte geben (Kruschwitz (2007b), S. 42): Â Ö ½ ¾ ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ ¼ ¼ ¼ ¼ ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ ¼ ¼ ¼ ¼ Ì ÐÐ Î Ö Ò ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ Ø Ñ ÙÖ Ò ØØ Ð º Offenbar haben beide Investitionsprojekte die gleichen Durchschnittswerte. Allerdings darf erwartet werden, dass Investition B vorgezogen wird, da die höheren Einnahmen eher erfolgen als bei Investition A. Diese Geldzeitpräferenz wird aber nur konsistent bei den dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung berücksichtigt. Amortisationsrechnungen nehmen insofern eine Sonderstellung ein, als dass sie zu den Sensitivitätsanalysen gehören und versuchen der Unsicherheit des Investors auf ihre Weise Rechnung zu tragen. Amortisationsrechnungen sollten im Rahmen von Investitionsentscheidungen nur als Hilfs- und Ergänzungsrechnungen angesehen werden (Kruschwitz (2007b), S. 43). Es lässt sich damit zum Beispiel überschlagsweise ermitteln, wann die aufgenommenen Kredite aus den jeweiligen Überschüssen termingerecht getilgt werden können, und welche Mittel darüber hinaus für andere Verwendungszwecke verbleiben.

14 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð Vorteile der statischen Methoden sind deren einfache Handhabung und der geringe Aufwand bei der Beschaffung von zukunftsbezogenen Daten (z.b. Absatzerwartungen, Preiserwartungen, Erwartungen über zukünftige Betriebsauszahlungen) (Kruschwitz (2007b), S. 43). Meist wird aber nur das erste Jahr nach der Anschaffung detailliert betrachtet und angenommen, dass für die restliche Nutzungsdauer die gleichen Verhältnisse herrschen. So bleiben Instandhaltungsaufwendungen oder steigende Personal- oder Stoffkosten meist unberücksichtigt. Gerade erstere können mit Alter und Beanspruchung der Aggregate von Jahr zu Jahr ungleichmäßig zunehmen. Korrekter wäre es daher, zunächst die Jahreswerte gesondert zu analysieren (Perridon u. a. (2012), S. 48) und erst dann den Durchschnitt zu bilden. ÖÙÒ Ð Ò Ö Ò ÒÞÑ Ø Ñ Ø Die Zinsrechnung bildet einen wichtigen Stützpfeiler der Finanzmathematik. Ohne die grundlegenden Formeln zur Berechnung von Barwerten, Renten oder Annuitäten kommt die Investitionsrechnung nicht aus. Im Folgenden werden verschiedene Fragestellungen betrachtet und gelöst. º½ Ù Þ Ò ÙÒ C 0 C T 0 1 T Um einen Betrag von t = 0 zu t = T zu transferieren, erfolgt eine Aufzinsung. Den Betrag zu t = 0 nennt man Barwert und denjenigen zum Ende der Perioden t = T Endwert. Die Frage, die sich stellt, lautet also: Wie groß ist der Endwert C T in T Jahren, wenn der Barwert zu Beginn der PeriodeC 0 ausmacht? Lösung: Um von t = 0 zu t = 1 zu kommen, wird C 0 mit dem Zinsfaktor q = (1 + r) multipliziert.r ist der Zinssatz. Dies wirdt -mal wiederholt. Somit folgt:

15 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ½¼ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð C 1 = C 0 q C 2 = C 1 q = C 0 q 2. C T = C T 1 q = C 0 q T º¾ Þ Ò ÙÒ C 0 C T 0 1 T Hier wird die umgekehrte Frage gestellt. Wie groß ist der Barwert C 0, wenn der Endwert zum Ende der PeriodeT C T ausmacht? Lösung: Wie man sich leicht klar macht, handelt es sich hierbei um die Umkehrung der Fragestellung. Dabei wird mit dem Zinsfaktor q = (1 + r) abgezinst. Der Zinsfaktor steht nun also im Nenner. C T = C T 1 q C T 1 = C T q 1 C T 2 = C T 1 q 1 = C T q 2. C 0 = C 1 q 1 = C T q T º Ö Ê ÒØ Ò ÖÛ ÖØ Ò µ C 0 C C C C T-1 T Wie groß ist der Barwert, wenn in jeder Periode nachschüssig ein einheitlicher Betrag ausgezahlt wird?

16 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ½½ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð Lösung: Hier handelt es sich um die Summe der einzelnen Barwerte einzelner Beträge C zu bestimmten äquidistanten Zeitpunktent. C 0 = T Cq t t=1 Wird diese Summe ausgeschrieben, so erkennt man, dass es sich um eine geometrische Reihe handelt, für die es einen definierten Ausdruck gibt. (q 1 +q 2 + +q T ) = q T (1+q + +q T 1 ) = q T (1 qt ) (1 q) = (q T 1) = (1 q T ) = RBF (1 q) r Dieser Ausdruck wird auch als Rentenbarwertfaktor RBF bezeichnet. Für den Fall T wird RBF = 1. Der Rentenbarwertfaktor wird umso mehr 1 gleichen, je r r größert und je höher der Zinssatz ist, da dann der Wert q T gegen null läuft. Um den Rentenbarwert zu bestimmen, reicht es meist aus, den Rentenbarwert für eine unendliche Reihe zu kennen. Dieser ist RBF = 1. Will man nämlich den r Barwert für eine Rente von 1 bist bestimmen, reicht es aus, die Barwerte zweier unendlicher Reihen voneinander abzuziehen (vgl. Brealey u. a. (2013), S. 27). Die erste Reihe läuft von1bis unendlich und die zweite vont+1 bis unendlich. Deren Differenz ergibt genau die gesuchte Reihe. Wie bekannt kann man eine Reihe ab t > 0 auf den Zeitpunktt = 0 vorziehen, indem man mit dem Zinsfaktor abzinst. Da die Rente nachschüssig gezahlt wird, ist der Startpunkt immer eine Periode vor der ersten Zahlung. Wird also eine unendliche Rente ab T + 1 betrachtet, so startet diese in t = T und ist mitq T abzuzinsen. Also folgt für deren Differenz: RBF = 1 r (1 1 q T) Diese Formel ist intuitiver und lässt sich schneller herleiten als jene über die geometrische Reihe. º ÒÒÙ ØØ Ò µ Wie groß ist die gleichbleibende Annuität (engl.: annuity ) C in den Zeitpunkten t, wenn der Barwert zu Beginn der Periode C 0 lautet? Lösung: Hier handelt es sich um die Umkehraufgabe der Rentenrechnung. Folglich gilt:

17 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ½¾ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð C 0 C C C C T-1 T C = (1 q) (q T 1) C 0 Diese Formel lässt sich auch formal bestätigen, wenn wir wiederum die geometrische Reihe ausschreiben. Hier ist es von Vorteil, den Endwert zu bestimmen, also es wird die folgende Frage gestellt: C T = T Cq T t t=1 = C(q T 1 +q T 2 + +q 0 ) = C(1+q + +q T 1 ) = C (1 qt ) (1 q) C = (1 q) (1 q T ) C T = (1 q) (1 q T ) qt C 0 Die intuitive Anwendung ist hier nicht ganz klar. Hier empfiehlt sich die Herleitung ANF = RBF 1 über den Kehrwert des Rentenbarwertes. ANF wird als Annuitätenfaktor bezeichnet. Für RBF = 1 oder ANF = r handelt es sich um eine r unendliche Rente (engl.: perpetuity ), die sich nie verbraucht, da gerade so viel entnommen wird wie jährlich an Zinsen anfällt. Die einfachen Zinsen (engl: simple interest ) je Periode ergeben sich einfach überz = C 0 (q 1) = C 0 r mal Anzahl der PeriodenT. Entscheidenden Einfluss an allen Zinsen Z Σ = q T 1 haben aber die Zinseszinsen (engl.: compound interest ). Wie man anhand der Abbildung 1 (zweiter Plot) sehen kann, nimmt der Anteil der Zinseszinsen logarithmisch zu. Für q = 1.15 sind bereits nach nur 5 Jahren knapp ein Drittel aller Zinsen nur Zinseszinsen. Der Zuwachs des Kapitals ist rasant (exponentiell). So ist das Anfangskapital bei nur q = 1.15 bereits schon nach 5 Jahren auf knapp das Doppelte angewachsen. Werden die Zinsen unterjährlich verzinst (siehe Kapitel 3.6), so wird die geometrische Verzinsung angewendet, d.h. r ist der Jahreszins und z.b. für eine quartalsweise Verzinsung wird ein Kapital im ersten Quartal bis zum Ende des Jahres mit dem Zinsfaktor (1+ r 4 )4 verzinst (mit dem (engl.) quarterly compounded interest rater (n = 4), analog bei dem (engl.) semi-annually compounded interest rate r (n = 2) oder die einfache jährliche Verzinsung mit dem (engl.) annually compounded interest

18 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ½ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð rate r (n = 1)) (vgl. Ross u. a. (2013), S ). Für eine stetige Verzinsung wird der Grenzwert für n Perioden je Jahr betrachtet: Es ergibt sich die Euler-Funktione rt (mit dem (engl.) continuously compounded interest rate r ). In[44]:= ClearAll Zuwachs, relanteil, q ; Zuwachs q_, T_ : q ^T; Plot 2, Zuwachs q, t. q 1.05, Zuwachs q, t. q 1.10, Zuwachs q, t. q 1.15, t, 0, 20, PlotRange 0, 4 relanteil q_, T_ : q ^T 1 q 1 T q ^T 1 ; Plot 1, relanteil q, t. q 1.05, relanteil q, t. q 1.10, relanteil q, t. q 1.15, t, 0, 20, PlotRange 0, Out[46]= Out[48]= Ð ÙÒ ½ Ò ØÞ r = 5% ÖÓص r = 10% Ð µ r = 15% Ö Òµµ Ñ Î Ö Ð º Ö Ø Ö ÈÐÓØ Î ÖÞ Ò ÙÒ Ñ Ø Ò Þ Ò Ò ÞÛ Ø Ö ÈÐÓØ Ö Ð Ø Ú Ö ÒØ Ð Ö Ò Þ Ò Ò Ò ÐÐ Ò Ò Ò Å Ø Ñ Ø µ º Ò ÒÛ Ò ÙÒ Ò Der Barwertfaktor ρ t, um eine Zahlung von t auf t = 0 vorzuziehen, lässt sich sehr einfach über den Zinsfaktor bestimmen: ρ t = q t

19 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ½ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð Wird also eine Zahlungsreihe (100.0, 210.0, 320.0, 400.0) auf t = 0 abgezinst (engl.: present value ), so ergibt sich: C 0 = q q q 3 = 100.0ρ ρ ρ ρ 3 Dabei istρ 0 klarer Weise immer 1.0. Sind die einzelnen Zinssätze verschieden, so ergibt sich der Barwertfaktor über das Produkt sämtlicher Zinsfaktoren: ρ t = t i=1 q 1 i Angenommen, der Zinssatz laute 10% für zwei Perioden, 15% für die folgenden 4 Perioden und 12% für die letzten 4 Perioden, so ermitteln sich beispielsweiseρ 4 und ρ 7 als: ρ 4 = = undρ 7 = = Die einzelnenr i = q i 1 zu den verschiedenenq i werden auch als Terminzinssätze (engl.: forward rate ) bezeichnet. Um einen äquivalenten Kassazinssatz (engl.: spot rate ) zu bestimmen, kann man nun mit Hilfe des Barwertes die Gleichung ρ t = (1+r 0,t ) t aufmachen, d.h. es wird t-mal mit einem einheitlichen Zinssatz von t bis t = 0 abgezinst. So lautet der äquivalente Kassazinssatz zu ρ 7 gleich: r 0,7 = 7 1 ρ 7 1 = Man sollte unterscheiden: Wird der Bezugspunkt geändert, z.b. von t = 0 (Kapitalwert) zu t = T (Endwert), so erfolgt eine komplette Aufzinsung des gesamten Betrags um q T, bzw. um das Produkt der einzelnen Terminzinsfaktoren, z.b. C T = q T C 0. Es kann aber auch sein, dass der Cashflow um einen bestimmten Zeitabschnitt vor- oder nachverlagert wird. Hier wird der Bezugspunkt beibehalten, z.b. t = 0 odert = T. Aber bei Annäherung an den Nullpunktt = 0 fällt der gesamte Betrag frühzeitiger an und ist mehr wert. Dies wird analog unter Anwendung des Zinsfaktorsq rechnerisch berücksichtigt, z.b. indem bei einem Wechsel von t = T zu t = 0 der gesamte Zahlungsstrom mit q T aufgebläht wird. Bei wechselnden Terminzinsfaktoren ist ein einheitlicher Faktor nicht sinnvoll. Hier sollte periodenindividuell vorgegangen werden. Frage 1: Wieviel muss ein Sparer in t = 0 anlegen, damit er bis t = 10 einen Betrag

20 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ½ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð von e ansammeln kann? Sei ein einheitlicher Zinssatz von r = 10% gegeben, so ermittelt sich der Zinsfaktor zu q = (1+r) = 1.1. Um einen Betrag von t = 0 auf t = 10 zu bringen, wird mit dem Faktorq 10 aufgezinst. Also folgt: C 10 = = C 0 q 10 woraus sich offenbarc 0 = = ergibt. Sind die Zinssätze entsprechend wie oben im Beispiel angegeben, so folgt: C 10 = = C C 0 = Frage 2: Eine Lotterie lobt einen Gewinn von e aus, der zu gleichen Raten von in den folgenden 10 Jahren jeweils zum Ende des Jahres ausgezahlt wird. Wie groß ist der Barwert? Es handelt sich hier um eine Rente von100000e für 10 Jahre. Sei der Zinssatz zu r = 10% gegeben. Dann lässt sich der Barwert ermitteln zu C 0 = ( ) = Dieser Wert lässt sich auch nachprüfen, wenn man die jeweiligen Barwertfaktoren ermittelt: ρ 0 = 1.0 ρ 1 = = ρ 2 = = ρ 3 = = ρ 4 = = ρ 5 = = ρ 6 = = ρ 7 = = ρ 8 = = ρ 9 = = ρ 10 = =

21 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ½ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð Die Summe 10 ρ i ergibt sich zu und entspricht damit exakt i=1 dem Rentenbarwert. Frage 3: Die umgekehrte Fragestellung könnte lauten: Der Betrag e soll in 10 gleichbleibenden Raten abgestottert werden. Wie groß ist eine Rate? Hier ergibt sich der Rentenbarwertfaktor wie zuvor zu Damit lautet die Beziehung: = C RBF C = = Angenommen, die Summe werde über ein Bankkonto abgerechnet. Man kann nun den Zins- und den Tilgungsanteil in jeder Periode bestimmen. Dazu wird zunächst das Endkapital int = n berechnet. Es beträgt: C 1 = C 0 q C C 2 = C 0 q 2 C q C. C n = C 0 q n C(1+q + +q n 1 ) = C 0 q n C (1 qn ) (1 q) C n ist also gleich dem aufgezinsten Grundkapital minus den aufgezinsten Annuitäten. Mit Hilfe des Annuitätenfaktors kann man C zu (1 q) (q T 1) C 0 ermitteln, so dass folgt: C n = C 0 q n (1 q n ) C 0 (q T 1) = C (q n q T 1) 0 (q T 1) als Kapital zum Ende der Periode t = n. Wird zum Beispiel n = T eingesetzt, so folgtc T = 0 wie gefordert. Fürn = 0 ergibt sichc 0 wie gefordert. Allgemein lassen sich die Zinsen in der folgenden Periode berechnen zu: Z n+1 = C n (q 1) In der folgenden Periode enthält die Annuität die Zinsen Z n+1 auf das Kapital, die beglichen werden müssen, um die Bank zu befriedigen, und den

22 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ½ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð Tilgungsanteil, der danach noch übrig bleibt. Somit lautet der Tilgungsanteil in der darauf folgenden Periode: T n+1 = C Z n+1 = (1 q) (q T 1) C (q n q T 1) 0 C 0 (q 1) (q T 1) (q 1) = C 0 (q T 1) ( qn q T (q 1) ) = C 0 (q T 1) qn Man erkennt, dass die Tilgung bei einer Ratenzahlung mit gleichen Raten und einem einheitlichen Zinssatz rekursiv ermittelt werden kann, da: T n+1 = C 0 (q 1) (q T 1) qn 1 q = T n q = T 1 q n Der Tilgungsanteil nimmt somit exponentiell von Periode zu Periode mit dem Zinsfaktor q zu. In der ersten Periode sind die Zinsen klarer Weise Z 1 = C 0 (q 1) und damit die Tilgung gleich T 1 = C C 0 (q 1) = C 0 ( (1 q) (q T 1) (q 1)) = C (q 1) 0 (q T 1) Will man nun die Summe aller Zinsen errechnen, so ergibt sich: Z Σ = T Z t = T C t 1 (q 1) t=1 t=1 = T (q t 1 q T 1) C 0 (q 1) t=1 (q T 1) (q T (q 0 +q + +q T 1 ) T) = C 0 (q 1) (q T 1) C 0 ) = (q T 1) (q T(1 qt (q 1) T (q 1)) (1 q) T (q 1) = C 0 (q T 1) C 0 = T ANFC 0 C 0 = T C C 0 Demzufolge ermitteln sich die gesamten Zinsen als Differenz zwischen den Nominalbeträgen der Annuitäten und dem Grundkapital wie gefordert. Folglich sollte sich die Summe der Tilgungen auch exakt zuc 0 ergeben, was im Folgenden kurz nachgewiesen werden soll:

23 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ½ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð T Σ = T t=1 C 0 (q 1) (q T 1) qt 1 = C 0(q 1) (q T 1) (q0 +q + +q T 1 ) = C 0(q 1)(q T 1) (q T 1)(q 1) = C 0 Frage 4: In welchem Jahr ist ein Geldbetrag C 0, der gleichmäßig in T Jahren mit q = 1.1 abgezahlt wird, zur Hälfte getilgt? T Σ=xC0 = n t=1 C 0 (q 1) (q T 1) qt 1 = C 0 x (q 1)(q0 +q + +q n 1 ) = x (q T 1) (qn 1) (q T 1) = x qn = x(q T 1)+1 n = ln(x(qt 1)+1) ln(q) n(t = 10;x = 0.5) = = ln(xqt +(1 x)) ln(q) Frage 5: Eine Variante von Frage 4: In welchem Jahr ist der Kreditstand aus Frage 4 gleich der Hälfte des AusgangsbetragsC 0? C n = (...((C 0 q C)q C)q C = C 0 q n C(1+q + +q n 1 ) = C 0 q n C (1 qn ) (1 q) = C 0q n q T (1 q n ) C 0 (1 q T ) Daraus ergibt sich schließlich: q n qt (1 q n ) = x (1 q T ) q n (1 q T ) q T (1 q n ) = x(1 q T ) q n q T = x(1 q T ) q n = x(1 q T )+q T n = ln(x+(1 x)qt ) ln(q) = xc 0 Wie man sieht, steht im Zähler ein Wert, der sich mit Hilfe von Wichtungsfaktoren aus den Größen q T und1ergibt. Für den betrachteten Fallx = 0.5 sind beide Wichtungsfaktoren gleich 0.5, so dass beide Fragestellungen zum

24 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ½ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð gleichen Ergebnis führen. Beide Fragestellungen führen mithin auf: n = ln(1 2 (1+qT )) ln(q) Es handelt sich in der Klammer im Zähler praktisch gesehen um den Durchschnittswert der Werte zum Beginn und zum Ende der Perioden. Im Einzelnen sei dies fürc = ausführlich numerisch verifiziert. C 0 = C 1 = C = C 2 = C = C 3 = C = C 4 = C = C 5 = C = C 6 = C = C 7 = C = Durch eine lineare Interpolation kannn = ermittelt werden. Man kann die Zinsen auch intuitiver berechnen, indem man jeweils die Zinsen auf das Grundkapital und die Zinsen auf die einzelnen Annuitäten addiert. Die Zinsen aus dem Grundkapital lauten: Z C0 n = C 0 (q n 1) Die Zinsen aus dem Annuitätenanteil ergibt sich aus der aufgezinsten Summe der Annuitäten abzüglich der blanken Summe der Annuitätenbeträge: Z C n = C(qn 1) (q 1) Cn Die Summe der Zinsen zum Zeitpunkt t = n lassen sich demnach alternativ ermitteln gemäß der Berechnungsvorschrift als Differenz der Zinsen auf das Grundkapital und auf die Annuitäten: Z Σn = Z C0 n Z C n = Cn+C 0 (q n 1) C(qn 1) (q 1) = Cn C 0 (q n 1) (q T 1) Daraus folgt für die Summe der Tilgungen bis zum Zeitpunktt = n gerade: T Σn = C 0 (q n 1) (q T 1)

25 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ¾¼ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð º ÍÒØ Ö ÖÐ Î ÖÞ Ò ÙÒ Ò Werden innerhalb eines Jahres Ein- oder Auszahlungen getätigt, so verzinsen sich die Beträge nicht mehr voll. Es können drei verschiedene Verzinsungsmodelle unterschieden werden. Die Periode werde dabei in n äquidistante Teilabschnitte zerlegt. Die einfachste Variante ist die arithmetische Aufzinsung, bei der der Zinssatz als Bruchteil des Anteils der verbleibenden Teilperioden zu allen Teilperioden n ermittelt wird. Da diese Variante arithmetisch und nicht exponentiell ist, ist diese Variante eine sehr grobe Näherung und beinhaltet natürlich auch keine Zinseszinsen. In der diskreten Variante wird bis zum Endzeitpunkt mit dem Zinsfuß r verzinst, wobei als Exponent der verbleibende Zeitbruchteil zu verwenden ist, der kleiner als eins ist. Demgegenüber steht die geometrische unterjährliche Zinsabrechnung, die exponentiell mit dem Zinssatz r über die Anzahl an Teilperioden n bis zum Ende des Jahres wiederaufzinst. Diese Möglichkeit rechnet sämtliche Zinseszinsen mit. Wird die Anzahl an Teilperioden immer weiter erhöht, ergibt sich im Grenzwert die stetige Euler-Funktion. Es existieren damit also die folgenden Möglichkeiten: (n ist die Anzahl an Perioden innerhalb des Jahres und t n Bruchteil des Jahres von Beginn an gerechnet). ist der entsprechende a) arithmetisch(1+(1 t n )r) b) diskret(1+r) 1 t n c) geometrisch, (Euler-Funktion bei Stetigkeit)(1+ r n )n t Es ist klar, dass die geometrische unterjährliche Aufzinsung gegenüber der arithmetischen Lösung die Zinsen etwas überschätzt auf Grund des geometrischen Effekts der Wiederverzinsung, so dass der äquivalente arithmetische Zinssatz, der eine formale Gleichheit zwischen beiden Varianten liefern würde, desto größer zu wählen ist, je größer die Anzahl an Teilperioden bis zum Jahresende sind. Lediglich im letzten Teilabschnitt stimmen beide Größen überein, da: (1+(1 n 1 n )r arithm.) = (1+ rgeom. n ) 1 = (1+ r n ). Es gilt also immer: r arithm. r geom.. Anders ist es bei der diskreten Aufzinsung. Hier gilt formale Gleichheit nur am Periodenanfang, also für eine volle Periode, während sonst für den äquivalenten Zinssatzr arithm. r diskr. gilt, also die bruchteilhafte Aufzinsung ist gegenüber der diskreten Aufzinsung etwas im Vorteil (betragsmäßig gesehen).

26 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ¾½ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð Beispiel: Zum Zinssatz von r = 10% wird zur Hälfte des Jahres ein Betrag von 1 000e angelegt. Dieser verzinst sich bis zum Ende des Jahres zu: a) C 1 = 1000e(1+0.05) = e b) C 1 = 1000e(1+0.1) 0.5 = e c) C 1 = 1000e( )1 = e Die Ergebnisse unterscheiden sich nur marginal. Man erkennt aber, dass die diskrete Aufzinsung schwächer ist als die arithmetische und in diesem Fall die arithmetische und geometrische Aufzinsung gleich sind, da nur jeweils ein Teilabschnitt bis zum Periodenende betrachtet wurde und in diesem Fall der oben beschriebene Sonderfall eintritt. Annahme b) wird in der Literatur häufig bevorzugt. Die Variante c) ist die Lösung einer exakten (stetigen) Integration, wennn. Um zu verstehen, wie sich die einzelnen Annahmen auf den Endwert zut = 1 auswirken und sich für verschiedene n entwickeln, sei im Folgenden eine geschlossene Lösung gesucht für n unterjährliche Zahlungen in der Höhe von A. (Dabei wird angenommen, dass auch zum Ende des Jahres ein Betrag hinzukommt, der folglich nicht verzinst wird). Annahme a) n A(1+(1 t )r) = A(1+r)+A(1+(1 1 )r)+ +A(1+0)) n n t=0 Annahme b) = A(n+1)+A(r +r r n + +r r n n ) = A(n+1)+A(r(n+1) ( n)r n ) = A(n+1)+A(r(n+1) r(n(n+1)) ) 2n = A(n+1)+A r(n+1)n 2n = A(n+1)(1+ r 2 ) n A(1+r) 1 t n = A(1+r) 1 +A(1+r) 1 1 n + +A(1+r) 1 n n t=0 = A(1+r)((1+r) 0 n +(1+r) 1 n + +(1+r) n n ) = Aq(q 0 1 n (q 1 1 n 1) n +q n + +q n ) = Aq (q 1 n 1)

27 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ¾¾ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð Annahme c) n A(1+ r n )n t = A(1+ r n )n +A(1+ r n )n 1 + +A(1+ r n )0 t=0 = A(q n +q n 1 + +q 0 ) = A (1 qn+1 ) = A (1 (1+ r n )n+1 ) (1 q) (1 (1+ r)) = A (1 (1+ r n )n+1 ) r n n Um den Grenzfall für n bei gleichbleibenden Zahlungen zu untersuchen, wird A = 1 n gesetzt. Annahme a) 1 lim n n (n+1)(1+ r 2 ) = (1+ r 2 ) Annahme b) lim q 1 (q 1 1 n 1) = limqx (q (1+x) 1) = q lim n n (q 1 n 1) x 0 (q x 1) x 0 Annahme c) 1(1 (1+ r n lim )n+1 ) n n r n = qlim x 0 1 ln(q)q x(1 q 1 ) = = lim n (1 (1+ r n )n+1 ) r = er 1 r x (q x 1) lim q(q 1) q ln(q) = x 0 (1 q (1+x) ) (q 1) ln(q) = lim n ((1+ r n )n+1 1) r Die Lösung zu Annahme c) lässt sich sehr leicht aus Annahme b) herleiten, indem einfach q = e r gesetzt wird. Das heißt, dass zwar geometrisch aufgezinst wird, aber nicht stetig, sondern in Bezug auf diskrete Zeitpunkte (gemäß den verschiedenen Zahlungszeitpunkten). Im Limit führen beide Methoden auf das selbe Ergebnis, wenn die Zahlungszeitpunkte immer enger liegen. Wenn nun für verschiedene n diese Funktionen ausgewertet werden, so folgt für r = 0.1 (ohne die letzte unverzinste Zahlung ist entsprechend 1 n abzuziehen): Annahme n = 1 n = 2 n = 4 n = 5 n = 10 n a) b) c) Hier erkennt man wieder sehr schön den oben angesprochenen Effekt, dass die

28 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ¾ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð geometrische Aufzinsung am stärksten ist und die arithmetische in der Mitte liegt. Wird die Anfangszahlung zu Beginn der Periode weggelassen, so folgt: a) n A(1+(1 t)r) = A(n+1)(1+ r n 1 ) A(1+r) = A(n+ r) n 2 2 b) t=1 n t=1 n A(1+r) 1 t (q 1 1 n 1) n = Aq (q 1 n 1) Aq = Aq n 1 n (q 1 1) (q 1 n 1) c) A(1+ r n )n t = A ((1+ r n )n+1 1) r A(1+ r n )n = A ((1+ r n )n 1) r t=1 n n Wird die Restzahlung zum Ende der Periode abgezogen, dann gilt entsprechend: a) n 1 t=0 n 1 b) t=0 n 1 c) t=0 A(1+(1 t)r) = A(n+1)(1+ r n+1 ) A = A(n+ r) n 2 2 A(1+r) 1 t (q 1 1 n 1) n = Aq (q 1 n 1) A(1+ r n )n t = A ((1+ r n )n+1 1) r n A = Aq (q 1 1) (q 1 n 1) A = A(1+ r n )((1+ r n )n 1) r n Die Exponentialfunktion wird im Rahmen des Abzinsungsfaktors verwendet, wenn eine stetige Betrachtung erfolgt, also: T C t q t t=0 T t=0 C(t)e rt dt, wobei (1+i) t = e rt r = ln(1+i). e -rt C dt t t Ð ÙÒ ¾ ËØ Ø Î ÖÞ Ò ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÁÒØ Ò ØØ C Wie in Abbildung 2 sichtbar, ist der einzelne Beitrag eines infinitesimal großen Kästchen der HöheC entlang der Zeitachse gleichcdte r t für einen bestimmten Zeitpunkt t. Erfolgt eine Integration für t in den Grenzen t [0,T], so lässt sich das folgende Integral finden:

29 ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ö ÒÙÒ ¹ ¾ ÂÙÐ ¾¼½ Öº ÇÐ Ã ÒØÞ Ð C 0 = T 0 Ce rt dt = C r e rt T 0 = C r (1 e rt ) Zum Vergleich mit dem analytisch gefundenen Ergebnis von vorhin, sei der Endwert C 1 berechnet: C 1 = C 0 e r = C r (er 1) Das Ergebnis fürc 0 lässt sich auch mit Hilfe des intuitiven Vorgehens aus Kapitel 3.3 gewinnen, wobei nun der stetige Zinssatz im Nenner zu stehen hat und anstatt einer Abzinsung mitq T eine stetige Abzinsung mite rt erfolgt: C 0 = C 1 r (1 1 e rt) Auf dem Finanzmarkt existieren alle oben betrachteten Methoden nebeneinander. Je nach Finanzprodukt oder Aufgabe werden diese spezifisch angewendet (Deutsch (2008), S ). Zusammenfassend unterscheidet man: geometrische Aufzinsung: Bei der geometrischen Aufzinsung (1 + r n )n t wird innerhalb eines Jahres mit dem Zins r in n t Perioden aufgezinst n (fiktive Entnahme des Geldes nach einer Periode und Wiederverzinsung für eine weitere Periode usw., bis zum Schluss des Jahres). Für eine monatliche Verzinsung ist z.b. n = 12. r ist der äquivalente Jahreszins. stetige Aufzinsunge r(t t) : Bei der stetigen Verzinsung wird nun so gerechnet, als würde nach einer infinitesimal kleinen Zeitperiode der aufgelaufene Zins ausgezahlt und mitsamt dem Kapital erneut angelegt. diskrete Aufzinsung (1 + r) T t : Ist die Zinsperiode T t länger als die Einheit, in der der Zinssatz quotiert ist, also z.b. T t = 3 Jahre und der Zinssatz r pro Jahr, dann gilt C T = C t (1 + r) T t (vorher auch für unterjährliche Verzinsung angewendet, wenn T t ein Bruchteil von eins ist). einfache Aufzinsung (1 + r(t t)): Wenn pro Zeiteinheit (z.b. pro Tag, pro Monat) der Zinssatzr vereinbart wurde, und die Zinsperiode übert t Zeiteinheiten geht, dann sind am Ende(T t) mal r Zinsen zu zahlen, also C T = C t (1+r(T t)). Die einfache Verzinsung wird für ZinsperiodenT t von einem Jahr oder weniger verwendet (vorher arithmetische Verzinsung genannt).