Übungen zur Physik II SS 2004 Blatt 01

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1 Universität egensburg D egensburg Naturwissenschaftliche Fakultät II Physik Universitätsstrasse 31 Prof. Dr. Max Maier Telefon (0941) Florian Klappenberger Telefax (0941) Übungen zur Physik II SS 2004 Blatt 01 Aufgabe 1: Elektrodynamik und Gravitation Das Coulomb-Gesetz F C = 1 für die Kraft, die zwei geladene Teilchen r 2 aufeinander ausüben, hat formal die gleiche Struktur wie das Gravitationsgesetz F G = γ m1m 2. Worin liegt der qualitative Unterschied beider Kräfte? r 2 a) Berechnen Sie die elektrostatische Kraft und die Gravitationskraft, die zwei Elektronen im Abstand 1 cm aufeinander ausüben. 4πɛ 0 q 1q 2 b) Welche Masse müssten die Elektronen haben, damit die Gravitationskraft zwischen ihnen betragsmäßig gleich der elektrostatischen Abstoßung wäre? Zahlenwerte: m e =9, kg; 4πɛ 0 = Nm 2 C 2 ; e = 1, C; γ =6, m 3 kg 1 s 2. Aufgabe 2: Elektrische Feldstärke Gegeben sind drei Punktladungen q 1 =2µC, q 2 =1µC und q 3 = 4 µc anden Orten P 1 = (3, 1), P 2 = (-1, 2) und P 3 = (1, 0). a) Konstruieren Sie den Feldstärkevektor E im Punkt P 4 = (2, 3) in einer Skizze! b) Welche Größe und ichtung besitzt das elektrische Feld E im Punkt P 4 = (2, 3)? Alle Orte sind in m angegeben. Aufgabe 3: Vektorrechnung Gegeben sind folgende drei Vektoren in kartesischen Koordinaten: a = (4, 3, 0), b = (0, 4, 1) und c = (1, 0, 0). 1

2 a) Berechnen Sie folgende Ausdrücke: a + b a= a a b a b (a b) c a (a b) a (a + b) b) Bestimmen Sie e a, den Einheitsvektor in ichtung a sowie γ, den Winkel zwischen a und b. Hausaufgabe : Drei Punktladungen a) Welche Kraft wirkt auf jede der drei Ladungen in der oben gezeichneten Ladungsanordnung? Unter welchen Bedingungen verschwindet die Kraft auf eine der Ladungen q 1 bzw. q 2?Wiehängt diese Bedingung vom Abstand d zwischen den Ladungen ab? b) Wie groß ist die Arbeit, die man aufwenden muss, um die Ladung q 2 unendlich weit von den beiden übrigen Ladungen zu entfernen? 2

3 Universität egensburg D egensburg Naturwissenschaftliche Fakultät II Physik Universitätsstraße 31 Prof. Dr. Max Maier Telefon (0941) Manfred König Telefax (0941) Übungen zur Physik II SS 2004 Blatt 2 Aufgabe 1: Ladung eines ings Ein ing mit adius trage eine homogene positive Linienladungsdichte λ. Betrachten Sie analog zu nebenstehender Abbildung einen beliebigen Punkt P in der ingebene innerhalb des ings. a) Wie ist das Verhältnis der Ladungen q 1 und q 2 der gekennzeichneten (kleinen) ingabschnitte mit den Bogenlängen s 1 und s 2? Welche der beiden Ladungen erzeugt ein stärkeres elektrisches Feld im Punkt P? b) In welche ichtungen zeigen die beiden Felder im Punkt P? In welche ichtung weist dort das gesamte elektrische Feld? c) Beantworten Sie nun dieselben Fragen für den Fall, dass der Punkt P innerhalb einer Kugelschale mit homogener positiver Flächenladungsdichte σ liegt und s 1 und s 2 (kleine) Flächenelemente sind. Aufgabe 2: Verschieben einer Punktladung Die Punktladung q 2 befinde sich am Ort 1 (0,y 1 ) im Feld der Punktladung q 1 am Ort (0,0). Die Ladung q 2 werde einmal entlang der Strecke k 1 und einmal längs des Halbkreisbogens k 2 zum Ort 2 (0,y 2 ) verschoben. Gesucht ist jeweils der Betrag r r r r r r der geleisteten Arbeit q2 E( ) d. Das Integral E( ) d k k stellt ein Kurvenintegral dar, das man löst, indem man die Kurve k in Parameterdarstellung angibt und über den Parameter t integriert. Die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt M = (0,m) und dem adius in Parameterform lautet: x = cos(t), y = m + sin(t); a) Zeigen Sie, dass diese Gleichungen einen Kreis beschreiben und bestimmen Sie und m für den Halbkreis k 2. b) Bestimmen Sie das Kurvenintegral über den Weg k 2. Drücken Sie dazu dx und dy durch dt aus und geben Sie den Wert der oberen und unteren Grenze t 1 und t 2 an. c) Zeigen Sie durch echnung, dass die Arbeit A unabhängig von der Wahl des Weges ist.

4 Hausaufgabe: Elektrisches Dipolmoment a) Skizzieren Sie die Dipolmomente der folgenden vier Ladungsverteilungen und geben Sie jeweils den Betrag und die ichtung des gesamten Dipolmoments an. b) Wie groß ist in einem homogenen elektrischen Feld die gesamte Kraft und das gesamte Drehmoment auf die Ladungsverteilung IV?

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9 Universität egensburg D egensburg Naturwissenschaftliche Fakultät II Physik Universitätsstrasse 31 Prof. Dr. Max Maier Telefon (0941) Markus Limmer Telefax (0941) Übungen zur Physik II SS 2004 Blatt 5 Aufgabe 1: Ein Isolator wird fallengelassen Ein Plattenkondensator (mit Platten, die b = 20cm breit und L = 50cm lang sind, und im Abstand d = 1mm gehalten werden) ist senkrecht so wie in der Abbildung gezeigt aufgestellt. Die Spannung U zwischen beiden Platten wird konstant gehalten. Nun wird ein Isolator von unten in den Kondensator hineingehalten. Dieser besitzt eine Masse von m = 200g und hat eine Dielektrizitätskonstante von ɛ = 10. Wie groß muß für x = 15cm die Spannung gewählt werden, damit der Isolator nicht zu Boden fällt? Die Beschleunigung an der Erdoberfläche beträgt g = 9, 81ms 2 und die Dielektrizitätskonstante des Vakuums ist ɛ 0 = 8, N 1 m 2 C 2. Anleitung: Berechnen Sie zunächst die Kapazität C(x) und anschließend die von der Batterie zu- bzw. abgeführte Energie W B (x). Daraus erhält man die elektrische Kraft mittels F = dw B(x) dx. d b L x 1

10 Aufgabe 2: Polarisation Ein vereinfachtes Atommodell besteht aus einer negativ geladenen Kugelschale (Gesamtladung -q) der Masse m s, die durch eine Feder mit der Federkostanten k an einen Atomkern der Masse m k m s und der Ladung +q gebunden ist, wobei bei Abwesenheit eines elektrischen Feldes das Dipolmoment verschwindet. Zeigen Sie, dass unter dem Einfluß eines räumlich konstanten elektrischen Feldes E(t) = E 0 cos(ωt) das Atom ein Dipolmoment p(t) = ɛ 0 α(ω) E 0 cos(ωt) entwickelt und berechnen Sie insbesondere die Polarisierbarkeit α(ω)! Skizzieren Sie α(ω)! Aufgabe 3: Drehmoment und potentielle Energie bei Dipolen im E-Feld Ein Dipol mit Dipolmoment p = 0.5e 1nm befinde sich in einem homogenen elektrischen Feld der Stärke E = V. Berechnen Sie den Betrag des Drehmoments, das der m Dipol erfährt und seine potentielle Energie, falls er a) parallel zum Feld ausgerichtet ist, b) senkrecht zum Feld steht, c) einen Winkel von θ = 30 mit dem Feld einschließt. Hausaufgabe: Plattenkondensator mit inhomogenem Dielektrikum Ein Plattenkondesator (Plattenfläche F, Plattenabstand d) sei ganz mit einem inhomogenen Dielektrikum gefüllt. Die Dielektrizitätskonstante läßt sich beschreiben durch ɛ = ɛ + az. Dabei steht die z-achse senkrecht auf den Kondensatorplatten. Berechnen Sie die Kapazität C des Plattenkondensators. Zahlenwerte: F=10cm 2, d=2 mm, ɛ = 5, a=5cm 1 2

11 Universität egensburg D egensburg Naturwissenschaftliche Fakultät II Physik Universitätsstraße 31 Prof. Dr. Max Maier Telefon (0941) Dr. Christof Gattringer Telefax (0941) Übungen zur Physik II SS 2004 Blatt 6 Aufgabe 1: Kirchhoffsche egeln Gegeben sei das folgende Netzwerk: 3 U 2 I 2 2 I 3 U 1 I 1 1 Dabei ist: U 1 =3V,U 2 =6V, 1 =10Ω, 2 = 20 Ω und 3 = 15 Ω. Bestimmen Sie die Stromstärken I 1,I 2 und I 3, sowie die Spannung U 3 am Widerstand 3. Aufgabe 2: Elektrolyse Eine Metallkugel mit adius = 1 cm soll in einer Kupfervitriollösung (Cu SO 4 ) verkupfert werden. Die molare Masse von Kupfer ist M =63, 54 g, seine Dichte beträgt ρ =8, 93 g/cm 3. a) Welche Elektrode muss an der Kugel angelegt werden? b) Wieviel Kupfer wird nach dem Faradayschen Gesetz in einer Minute abgeschieden, wenn ein Strom von I = 1A fließt? c) Wie lange muß der Galvanisierungsprozess laufen, damit eine Kupferschicht von d =0, 1mmStärke abgeschieden wird? 1

12 Hausaufgabe: Kombination von Widerständen Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand für folgende Anordnungen von Einzelwiderständen: a) b) c) 35 Ω 40 Ω 30 Ω 50 Ω 20 Ω 25 Ω 40 Ω 45 Ω 25 Ω 20 Ω 45 Ω 50 Ω 2

13 Universität egensburg D egensburg Naturwissenschaftliche FakultätII Physik Universitätsstraße 31 Prof. Dr. Max Maier Telefon (0941) Manfred König Telefax (0941) Übungen zur Physik II SS 2004 Blatt 07 Aufgabe 1: otierende geladene Scheibe Eine dünne Scheibe vom adius aus nichtleitendem Material wird mit einer homogenen Flächenladungsdichte σ belegt. Anschließend wird sie in konstante Drehbewegung versetzt (Winkelgeschwindigkeit ω, die Drehachse steht senkrecht zur Scheibenebene und geht durch den Scheibenmittelpunkt). a) Berechnen Sie das Magnetfeld B, das die Scheibe an ihrem Mittelpunkt erzeugt. (Tip: Magnetfeld im Mittelpunkt eines Kreisstromes I: B = µ 0 ) 2r I b) Wie groß ist das magnetische Dipolmoment m der Scheibe? Nun wird ein Magnetfeld B 0, angelegt, das mit ω den Winkel Φ einschließt. c) Geben Sie den Betrag des Drehmoments M an, das auf die rotierende Scheibe ausgeübt wird. d) Benennen Sie den Typ von Bewegung, welche die Scheibe ausführt, wenn die Drehachse eine freie Achse ist. (Begründung!) Aufgabe 2: Glühlampe Eine Glühlampe ist über zwei Kupferdrähte (Gesamtlänge l = 10 m ; Durchmesser d =0, 7 mm) mit einer Gleichspannungsquelle verbunden. Zur Zeit t =0wirddie Spannungsquelle eingeschaltet, so dass ein Strom von I = 1 A fließt. Die Dichte von Kupfer beträgt ρ =8, 92g/cm 3 und die Ladungsträgerdichte n = m 3. Ein Kupferatom hat die Masse m Cu = 105, kg, ein Elektron hat die Masse m e =9, kg. a) Auf wie viele Kupferatome N Cu kommt im Mittel ein Ladungsträger? b) Berechnen Sie die Zeit t, nach der das erste Elektron aus der Spannungsquelle durch den Glühfaden der Lampe fließt. c) Welche Zeit T muss der Strom fließen, bis M e = 1 Gramm Elektronen durch den Querschnitt des Drahtes gewandert ist? 1

14 Hausaufgabe: Nickelgalvanik Ein Zylinder von D =12cm Durchmesser und L =60cm Länge soll in einem Nickelsalzbad galvanisch mit einer d = 0, 1 mm dicken Nickelschicht überzogen werden. Die Stromdichte soll j M = 0, 25 A/cm 2 nicht übersteigen, damit die Schicht gleichmäßig wird. a) Welcher Maximalstrom I M ist möglich? b) Wie groß ist das elektrochemische Äquivalent A für Nickelionen? c) Welche Zeit t muss der Zylinder im Bad bleiben, wenn der Strom I M fließt? Zahlenwerte: Avogadro-Konstante N A =6, , mol Masse eines Nickelions m Ni 2+ =97, kg, Elementarladung e =1, C, Dichte von Nickel ρ Ni =8, 7 g/cm 3 2

15 Universität egensburg D egensburg Naturwissenschaftliche Fakultät II Physik Universitätsstrasse 31 Prof. Dr. Max Maier Telefon (0941) Markus Limmer Telefax (0941) Übungen zur Physik II SS 2004 Blatt 8 Aufgabe 1: Achterbahn der Elektronen Aus dem Kontakt A treten Elektronen der Masse m mit der Geschwindigkeit v senkrecht in eine dünne Ladungsträgerschicht ein. Diese Elektronen können am Detektor B registriert werden, falls sie dorthin gelangen. Man darf annehmen, daß die Elektronen auf ihrem Weg nicht gestreut und an der Grenzfläche des Films verlustfrei reflektiert werden. a) In welche ichtung muß ein homogenes Magnetfeld angelegt werden (aus der Zeichnungsebene heraus oder hinein?), damit die Elektronen von Kontakt A zum Detektor B gelangen können? b) Geben Sie alle möglichen Magnetfeldwerte Bi foc an, für die Elektronen vom Punkt A auf den Detektor B treffen! Fährt man das Magnetfeld langsam hoch, registriert man also eine eihe aufeinander folgender Maxima in der Anzahl der registrierten Elektronen. Sind diese Maxima gleich hoch? c) Man kann dieses Experiment auch mit positiv geladenen Löchern in GaAs durchführen: Die effektive Masse dieser Defektelektronen ist m = 0, 51 m e, der Abstand der Kontakte betrage a = 1 µm und Bi foc = 0, 1 T. Die Bahn der Löcher zwischen Kontakt und Detektor sei dabei ein Halbkreis. Wie groß ist die kinetische Energie der Löcher? 1

16 Aufgabe 2: Die Helmholtz-Spule Oft müssen Experimente durchgeführt werden, bei denen das Erdmagnetfeld störend wirken könnte. Zur Abschirmung muß man das Erdmagnetfeld durch ein möglichst homogenes, entgegengesetztes Magnetfeld kompensieren. Solche Magnetfelder können mit sog. Helmholtz-Spulen erzeugt werden, die vereinfacht dargestellt folgendermaßen konstruiert sind: Zwei gleich große Drahtringe aus Kupfer mit adius werden koaxial in einem Abstand d gegenübergestellt. Durch beide Drähte fließt ein Strom I gleicher Stärke, so wie in der Skizze gezeigt. Berechnen Sie das Magnetfeld B auf der z-achse zwischen den Spulen. Bei welchem axialen Abstand d der inge, treten in der Mitte zwischen den Spulen die geringsten Inhomogenitäten auf? Hinweis: Verwenden Sie das Biot-Savart-Gesetz und fordern Sie, daß die ersten beiden Ableitungen von B nach z in der Mitte zwischen den beiden Spulen verschwinden! [Falls die Zeit knapp wird, verwenden Sie den Ausdruck für das Magnetfeld, der in der Vorlesung berechnet wurde.] 2

17 Hausaufgabe: Elektronen auf der schiefen Bahn Ein Elektronenstrahl bewegt sich entlang der x-achse. Jedes Elektron hat eine kinetische Energie von W i e = 10 ev. Im Bereich zwischen x = 0 cm und x = 5 cm befindet sich ein elektrisches Feld der Stärke E = 100 V/m, das in die negative y-ichtung zeigt. a) Welche Zeit T befinden sich die Elektronen im elektrischen Feld? Berechnen Sie die Geschwindigkeit v und die kinetische Energie W f e der Elektronen beim Verlasssen des Feldes! b) An der Stelle x = L = 1 m ist ein Leuchtschirm aufgestellt (siehe Abb.). Berechnen Sie die Koordinaten (x A, y A, z A ) des Auftreffpunktes der Elektronen auf dem Schirm! c) Dem elektrischen Feld E wird nun zusätzlich ein magnetisches Feld B auf der Strecke s zwischen x = 0 cm und x = 5 cm überlagert. Welche ichtung und welchen Betrag muß das Magnetfeld haben, damit der Elektronenstrahl den Schirm wieder im Mittelpunkt (also bei (1 m, 0, 0)) trifft? 3

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20 Universität egensburg D egensburg Naturwissenschaftliche Fakultät II Physik Universitätsstrasse 31 Prof. Dr. Max Maier Telefon (0941) Florian Klappenberger Telefax (0941) Übungen zur Physik II SS 2004 Blatt 10 Aufgabe 1: Paralleler Schwingkreis Für den Strom I in einem seriellen LC-Schwingkreis gilt folgende Differentialgleichung: Ï + I L + 1 LC I =0. Im hier gezeigten parallelen Schwingkreis ist das Dämpfungsglied der Widerstand, der jetzt parallel statt seriell zur LC-Kombination geschaltet ist. C ' L a) Bestimmen Sie die entsprechende Differentialgleichung für die Spannung U dieses Parallelschwingkreises und den Strom I durch den Widerstand. b) Für welches sind die Gleichungen für die Ströme I und I formal identisch? c) Was bedeutet kleine Dämpfung beim Parallelschwingkreis für den Widerstand? Machen Sie einen Lösungsansatz ähnlich dem für den Serienschwingkreis und geben Sie die Lösung für kleine Dämpfung an. Verwenden Sie die Anfangsbedingungen U(t =0)=U 0 und du dt =0. t=0 1

21 Aufgabe2:GekoppelteSchwingkreise Zwei Schwingkreise (linke Skizze) mit gleich großen Widerständen + und Induktivitäten L seien durch eine gemeinsame Kapazität C und durch einen gemeinsamen Widerstand = /2 gekoppelt. I 1 I 2 L C' C C I C' ' L L a) Finden Sie durch Anwendung der Kirchhoffschen egeln die beiden gekoppelten Differentialgleichungen für die Teilladungen Q 1 und Q 2 des Kondensators, die mit den Strömen I 1 (linke Masche) und I 2 (rechte Masche) verknüpft sind. b) Die beiden Fundamentalschwingungen I + und I erhält man durch Addition und Subtraktion der beiden Differentialgleichungen. Stellen Sie die resultierenden Gleichungen auf und überlegen Sie sich, wie Sie diese lösen könnten. c) Wodurch unterscheiden sich die gekoppelten Schwingkreise der linken und der rechten Abbildung für den Fall, dass die Kopplung gegen Null geht, d. h. links 0 und C und rechts C. Hausaufgabe: Hoch- und Tiefpass Die in den Abbildungen dargestellten Wechselstromschaltungen werden als Hoch- bzw. Tiefpassfilter verwendet. Eine Spannungsquelle erzeuge zwischen den Eingangskontakten (in der Zeichnung links) eine Wechselspannung mit der Amplitude U und der Kreisfrequenz ω. L C U, C U a L U, U a a) Berechnen Sie die Amplituden der an C und L abfallenden Wechselspannungen U C und U L aus den Wechselstromwiderständen in Abhängigkeit von ω und U. b) Welche Spannungsverhältnisse U a /U ergeben sich für die Grenzfälle ω ω 0 = LC 1 und ω ω0? c) Skizzieren Sie für den Tiefpass und für den Hochpass die Spannungsamplitude U a als Funktion von ω. 2

22 ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ê Ò ÙÖ ¹ ¼ Ê Ò ÙÖ Æ ØÙÖÛ Ò ØÐ ÙÐØĐ Ø ÁÁ ¹È Ý ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ØÖ ½ ÈÖÓ º Öº Å Ü Å Ö Ì Ð ÓÒ ¼ ½µ ¾½¼ ÌÓ È ÙÐ Ì Ð Ü ¼ ½µ ¾ ĐÍ ÙÒ Ò ÞÙÖ È Ý ÁÁ ËË ¾¼¼ Ð ØØ ½½ Ù ½ ËÔÙÐ Ñ Ø Ò ÖÒ Ò Ö Ò ĐÓÖÑ Ò ØĐÙ Ö ÄĐ Ò Ð Ñ Ø Ö Ð ¹ Ø Ú Ö È ÖÑ Ð ØĐ Ø Ø ÚÓÒ Ò Ö Ê Ò ÔÙÐ Ñ Ø Æ Ï Ò ÙÒ Ò ÙÑ ÐÓ Òº Ö Ê Ò Ð Ø Ò Ò ÄÙ Ø Ô ÐØ Ö Ö Ø º ÁÒ Ö Ê Ò ÔÙÐ Ø Ö ËØÖÓÑ Áº µ Ö Ò Ò Ë Ò ØÖ Å Ò Ø Ð Ñ ÄÙ Ø Ô ÐØ Ò Đ Ò Ø ÚÓÒ º µ Ï ÖÓ ÑÙ ÛĐ ÐØ Û Ö Ò ÙÑ Ñ ÄÙ Ø Ô ÐØ Ò Ð ÚÓÒ ¼ ÌÞÙ ÖÞ Ù Ò µ Ö Ò Ò Ë ĐÙÖ Đ ÐÐ «µ Ð µ Ð Ð Ð ÒÛ ÖØ ½¼¼¼ Ð ¼ ½Ñ Á ¼ Æ ¾¼¼¼ ¼ ½¼ Î ½ Ñ ½ Ù ¾ È Ö Ñ Ò Ø Ì ÖÑÓÑ Ø Ö ÙÖ Å ÙÒ ÚÓÒ Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ñ Å ÐÐ ÐÚ Ò Ö ÒÒ ÓÐ Ò Ì ÖÑÓÑ Ø Ö ÒÙØÞØ Û Ö Ò Ô Ö Ñ Ò Ø Ë ÐÞ ÖÑ Ò ÙÑÒ ØÖ Ø ÅÆµ ĐÙÐÐØ Ò Ã ÖÒ Ò Ö Ð Ò Ò ËÔÙÐ ÄĐ Ò Ð ¾Ñ ÙÖ Ñ Ö ½Ñ Ï Ò ÙÒ Þ Ð Æ ½¼¼µÚÓÐÐ ØĐ Ò Ù º Ô Ö Ñ Ò Ø ËÙ Þ ÔØ Ð ØĐ Ø Ë ÐÞ ÒÒ ÒĐ ÖÙÒ Û Ñ Ø ÑÃ Ì Ò Ò Û Ö Ò Ì Ò ÑÃµº ËÔÙÐ Ð Ø ÞÙ ÑÑ Ò Ñ Ø Ò Ñ ÃÓÒ Ò ØÓÖ Ö Ã Ô Þ ØĐ Ø ½¼¼ Ò Ò Ò Ë Û Ò Ö º Ê ÓÒ ÒÞ Ö ÕÙ ÒÞ Ë Û Ò Ö ÒÒ ÓÑ Ø ÞÙÖ Å ÙÒ Ö Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ú ÖÛ Ò Ø Û Ö Òº

23 À ÒÛ ÙÖ Ö ÒÙÒ Ö Ë Ð Ø Ò Ù Ø Ú ØĐ Ø Ú ÖÛ Ò Ñ Ò ÒĐ ÖÙÒ Û ÓÖÑ Ð ĐÙÖ Ò Ð Ò ËÔÙÐ º µ Ï ÖÓ Ø Ö Ð Ø Ú Ñ Ò Ø È ÖÑ Ð ØĐ Ø ÅÆ¹Ã ÖÒ Ò Đ Ò Ø ÚÓÒ Ö Ì ÑÔ Ö ØÙÖ µ Ò Ë Ê ÓÒ ÒÞ Ö ÕÙ ÒÞ Ë Û Ò Ö Ò Đ Ò Ø ÚÓÒ Ö Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Òº Ï Ð Ò Ï ÖØ Ø ÒĐ ÖÙÒ Û ÑÑ ÖØ ÑÔ Ö ØÙÖ µ ÍÑ ÑÔ Ò Ð Ø Ì ÖÑÓÑ Ø Ö ÒÞÙ Ò ØÖ Ø Ò Û Ö Ö Ð Ø Ú Ö ¹ ÕÙ ÒÞĐ Ò ÖÙÒ ÚÓÒ Ò Ö Ì ÑÔ Ö ØÙÖĐ Ò ÖÙÒ Ì Ì Ú ÖÙÖ Ø Û Ö º Ï ÖÓ Ø ÑÔ Ò Ð Ø ¼ ÑÃ ÙÒ ½ Ã ĐÙÖ Û Ð Ò Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ø Ì ÖÑÓÑ Ø Ö Ð Ó ÓÒ Ö Ò Ø