Formelsammlung Stahlbau

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1 Formelsammlung Stahlbau 1 Literaturverzeichnis [1] R. Kindmann, Stahlbau Teil : Stabilität und Theorie.Ordnung, Berlin: Ernst & Sohn, 008. [] Stuttgart, Hochschule für Technik, Skript Stahlbau, Stuttgart, 013. [3] C. Petersen, Statik und Stabilität der Baukonstruktionen,.Auflage, Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn, 198. [4] Deutsches Institut für Normung, DIN EN , Berlin: Beuth Verlag, Dezember 010. [5] Typisierte Verbindungen im Stahlhochbau, Stahlbau-Verlags-GmbH, [6] Deutsches Institut für Normung, DIN EN , Berlin : Beuth Verlag, Dezember 010. [7] Deutsches Institut für Normung; DIN EN , Ergänzende Regeln für kaltgeformte Bauteile und Bleche, Berlin: Beuth Verlag, Dezember 010. [8] Deutsches Institut für Normung, DIN EN , Berlin : Beuth Verlag, Dezember 010. [9] K.-J. Schneider und A. Goris, Bautabellen für Ingenieure - 0.Auflage, Werner Verlag, 01. [10] P.-I. G. Wagenknecht, Stahlbau Praxis nach Eurocode 3 Band, Beuth Verlag, 011. [11] C. Petersen, Stahlbau, Wiesbaden: Springer Vieweg, 013. [1] Deutsches Institut für Normung, DIN EN , Berlin: Beuth Verlag, Januar 011. [13] KIT Stahl und Leichtbau Versuchsanstalt für Stahl, Holz und Steine, Vorlesung Masterstudiengang, Karlsruhe, 013. Einwirkungskombinationen (vereinfacht).1 Grundkombination: E d = γ G G k + γ Q Q k,1 + γ Q Ψ 0,i Q k,i γ G : [ ] = 1,35 γ Q : [ ] = 1,5 Ψ 0,i : [ ] siehe Tabelle.1.1 Tabelle mit Kombinationsbeiwerten DIN EN 1990/NA Einwirkung: Ψ 0 Ψ 1 Ψ Nutzlast Kategorie A,B: (Wohn-, Aufenthalts-,Büroräume) Kategorie C,D: (Versammlungsräume, Verkaufsräume) Kategorie E: (Lagerräume) 0,7 0,7 1,0 0,5 0,7 0,9 0,3 0,6 0,8 Verkehrslast Kategorie F: (Fahrzeuggewicht F 30 KN) Kategorie G: (Fahrzeuggewicht 30 KN F 160 KN) Kategorie H: (Dächer) 0,7 0,7 0 0,7 0,5 0 0,6 0,3 0 Windlasten 0,6 0, 0 Schneelasten Orte bis zu NN +1000: Orte über NN +1000: 0,5 0,7 0, 0,5 0 0, Sonstige veränderliche Einwirkungen 0,8 0,7 0,5 Seite 1

2 3 Gebrauchstauglichkeitsnachweis 3.1 Durchbiegungsnachweis Vorhandene Durchbiegung Durchbiegungsformeln siehe z.b. Schneider 4.5 ff. Bei Veränderlichen Durchbiegung einzeln ausrechnen Kombinationen bilden 1,0 f g,k + 1,0 f q,1k + 1,0 Ψ 0,i f q,ik 3.1. Zulässige Durchbiegung Deckenträger und Unterzüge mit l > 5,0m: zul f l/300 Deckenträger und Unterzüge mit l < 5,0m: kein Nachweis erforderlich. Kragträger zul f l k /00 Pfetten, Wandriegel und Giebelwandstützen: zul f = l/00 l50 4 Ermittlung der Querschnittsklasse 4.1 Hinweise: Die Querschnitte von Stahlprofilen werden in 4 Querschnittsklassen eingeteilt. Rein auf Zug beanspruchte Querschnitte oder Querschnittsteile, werden zu keiner Querschnittsklasse zugeordnet. Mit der Querschnittsklasse für reine Druckbeanspruchung liegt man auf der sicheren Seite. Querschnittsklassen, die die Anforderungen der Klasse 3 nicht erfüllen, sollen in die Querschnittsklasse 4 eingestuft werden. Ein Querschnitt wird durch die höchste Klasse seiner druckbeanspruchten Querschnittsteile klassifiziert. 4. Walzprofile Walzprofile, reine Biegung oder reiner Druck siehe Kap ff. (Schneider Bautabellen) 4.3 Allgemein Vorgehen: 1. Materialparameter: ε = 35. Einstufung der Querschnittsteile (Z.B. Steg, Flansch) siehe Anhang f y f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) Seite

3 5 Zugkraftbeanspruchung 5.1 allgemeine Querschnitte s. DIN EN ; 6..3() N t,rd = min N pl,rd = A f y γ M0 N u,rd = 0,9 A net f u γ M A: [cm²] Bruttoquerschnittsfläche f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) γ M0: Teilsicherheitsbeiwert = 1,0 γ M: Teilsicherheitsbeiwert = 1,5 A net: [cm²] Nettoquerschnittsfläche 5. Winkel mit einschenkligem Anschluss: 1 Schraube: N u,rd =,0 e - 0,5 d 0 t f u γ M Schrauben: N u,rd = β A net f u γ M 3 Schrauben: N u,rd = β 3 A net f u γ M e : [cm] Randabstand = a w 1 d 0: [cm] Lochdurchmesser = d + d d: [cm] Nennlochspiel, siehe 0 t: [cm] Blechdicke f u: [KN/cm²] Zugfestigkeit S35: f u = 36 S355: f u = 49 S460: f u = 54 S75: f u = 43 S40: f u = 5 (Werte für t 40mm) γ M: Teilsicherheitsbeiwert = 1,5 A net: [cm²] Nettoquerschnittsfläche des Winkelprofils = A d 0 t Bei ungleichschenkligem Winkel mit Anschluss des kleineren Schenkels, ist A net die Nettofläche eines entsprechenden gleichschenkligen Winkelprofils mit einer Schenkellänge gleich der kleineren Schenkellänge. β : [ ] p 1,5 d 0: β = 0,4 0,3,5 d 0 < p 1 < 5,0 d 0: β = 0,4 + (p1,5 d0) p 1 5,0 d 0: β = 0,7 β 3: [ ] p 1,5 d 0: β 3 = 0,5,5 d 0 < p 1 < 5,0 d 0: β 3 = 0,5 + p 1 5,0 d 0: β 3 = 0,7 p 1: [cm] Lochabstand in Kraftrichtung,5 d 0 0,,5 d 0 (p1,5 d0) Seite 3

4 6 Druck-, Querkraft- und Biegebeanspruchung (ohne Knickgefahr) nach DIN EN Elastische Bemessung (für Querschnitte der Klasse 3 bzw. 1 und ) Querschnittsnachweis mit Spannungen: Grenzspannungen σ R,d = f y γ M0 f y τ R,d = 3 γ M0 [KN/cm²] [KN/cm²] Normalspannung: σ x,ed = N A + M y,ed 100 [KN/cm²] W el,y Schubspannung: allgemein: τ Ed = V z,ed S y I y t [KN/cm²] Vereinfachung für I-förmige Träger: τ m,ed = V z,ed A w f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) γ M0: Teilsicherheitsbeiwert = 1,0 W el,y [cm³] elastisches Widerstandsmoment S y: [cm³] maximales statisches Flächenmoment = A i z i z i:[cm] Abstand zwischen S ges und S i I y: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment des Gesamtquerschnitts t: [cm] Blechdicke am Nachweispunkt A w: [cm²] Fläche des Stegbleches, siehe Anhang Hinweis: nur falls A f /A w 0, Vergleichsspannung: Wenn σ x,ed σ R,d 0,5 oder τ Ed τ R,d 0,5 keine Vergleichsspannung (σ v,ed ) sonst für einfache Biegung: σ v,ed = σ x,ed + 3 τ Ed [KN/cm²] σ x,ed: [KN/cm²] vorh. Normalspannung σ R,d: [KN/cm²] Grenznormalspannung, siehe oben τ Ed: [KN/cm²] vorh. Schubspannung τ R,d: [KN/cm²] Grenzschubspannung, siehe oben σ v: [KN/cm²] Vergleichsspannung Hinweis: Normalerweise wird der Vergleichsspannungsnachweis an der Stelle 1 (Ende des Steges, Beginn der Ausrundung) geführt, da dort gleichzeitig große Normal- und Schubspannungen auftreten. Auf der sicheren Seite kann aber auch mit den maximalen Spannungen (σ x,ed, τ Ed) gerechnet werden Nachweise: σ d σ R,d 1 τ d τ R,d 1 σ v σ R,d 1 S y1 = S y t w d²/8 σ 1 = (M y,ed / I y) (d/) τ 1 = V z,ed S 1 / (I y t w) σ d: σ R,d: τ d: τ R,d: σ v: vorh. Normalspannung siehe oben vorh. Schubspannung siehe oben Vergleichsspannung Seite 4

5 6. Plastische Bemessung - QK 1 oder (EC3) Hinweis: Querschnitte der Klasse 3 und 4 dürfen nicht nach der Plastizitätstheorie bemessen werden 6..1 Grenzschnittgrößen: doppeltsymmetrische I-Profile: plastische Schnittgrößen siehe Schneider 8. ff. geschweißte Profile: N pl,rd = A f y γ M0 V pl,z,rd = A vz f y 3 γ M0 Streckgrenze in allen Querschnittsteilen identisch: Spannungsnulllinie läuft durch Flächenhalbierende (siehe Beispiel im Anhang) A: [cm²] Querschnittsfläche A vz: [cm²] wirksame Schubfläche, siehe Anhang gewalzte I-Profile: siehe Anhang geschweißte I-Profile: A vz = η h w t w (η = 1,0) f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) γ M0: [ ] 1,0 M pl,y,rd = (S y,o + S y,u ) f y γ M0 = W pl,y f y γ M0 0,01 [KNm] unterschiedliche Streckgrenze in den Querschnittsteilen: Spannungsnulllinie läuft nicht durch Flächenhalbierende. (siehe Beispiel im Anhang) S y,0: [cm³] statisches Moment = Σ (A i z i) M pl,y,rd = siehe Beispiel im Anhang Hinweise: Bei reiner Momentenbeanspruchung eines Querschnitts aus einem Material, läuft die Spannungsnulllinie nicht durch den Schwerpunkt, sondern durch die Flächenhalbierende. Generell gilt, dass das plastische Grenzmoment durch die Summenbildung aller Momente um die Spannungsnulllinie ermittelt werden kann. Mit der Bedingung, dass die Druckkräfte gleich den Zugkräften sein müssen kann die genaue Lage der Spannungsnulllinie ermittelt werden. (siehe Beispiel) 6.. Überprüfen ob Interaktion zwischen M und Q erfordelich V z,ed V pl,z,rd 0,5 keine Interaktion zwischen Moment und Querkraft erforderlich. Weiter mit 6..4 V z,ed V pl,z,rd > 0,5 Interaktion zwischen Moment und Querkraft erforderlich. Weiter mit Interaktion zwischen M und Q Hinweis: gilt für I-Profile, Hohl- und Kastenquerschnitte und rechteckige Vollquerschnitte ρ = V z,ed V pl,z,rd ρ 1,0 N V,Rd = N pl,rd (1 α V,z ρ) Walzprofile: M V,y,Rd = (1 ρ k My ) M pl,y,rd [KNm] Doppeltsymmetrische I-Profile: M V,y,Rd = W pl,y - ρ A V,z f y [KNm] 4 t w γ M0 ρ: Beiwert k My: siehe Schneider Bautabelle ff. α V,z : = A V,z/A A V,z: [cm²] wirksame Schubfläche in z-richtung gewalzte Profile: siehe Schneider Bautabelle ff. geschweißte Profile: A V,z = A b t f, bzw. A V,z = d t w A: [cm²] gesamte Querschnittsfläche t w:[cm] Stegbreite W Pl,y: [cm³] plastisches Widerstandsmoment, = S y,o + S y,u f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) γ M0: [ ] 1,0 Seite 5

6 6..4 Überprüfen ob Interaktion zwischen M und N erforderlich Doppeltsymmetrische I-Profile: N Ed min 0,5 N pl,rd * 1 h w t w f y (1 ρ) γ M0 *, keine Interaktion erf.: M N y,rd * 3 = M pl,y,rd [KNm] N Ed > min 0,5 N pl,rd * 1 h w t w f y (1 ρ) γ M0 * Interaktion erforderlich, weiter mit 6..5 * 1 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen Biegung und Querkraft (V z,ed > 0,5 V pl,z,rd) gilt: N pl,rd = N V,Rd * wenn die Interaktion zwischen Biegung und Querkraft nicht berücksichtigt werden muss (V z,ed 0,5 V pl,z,rd) gilt: ρ = 0 * 3 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und V (V z,ed > 0,5 V pl,z,rd) gilt: M N,y,Rd = M VN,y,Rd * 5 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und V (V z,ed > 0,5 V pl,z,rd) gilt: M pl,y,rd = M N,y,Rd Hohl- und Kastenquerschnitte: Interaktion erforderlich, weiter mit Rechteckige Vollquerschnitte: Interaktion erforderlich M N,Rd = M pl,rd 1 - N Ed [KNm] N pl,rd 6..5 Interaktion zwischen M und N N Ed: einwirkende Normalkraft N pl,rd: Normalkraft im vollplastischen Zustand, siehe oben N V,Rd: abgeminderte Normalkraft im vollplastischen Zustand, siehe oben M pl,y,rd [KNm] Moment im vollplastischen Zustand, siehe oben A: [cm²] gesamte Querschnittsfläche A red: [cm²] A A V,z ρ A V,z: [cm²] wirksame Schubfläche in z-richtung Walzprofile: siehe Schneider Bautabelle ff. t w:[cm] Stegbreite h w: [cm] Höhe des Stegblechs = d b: [cm] Breite des Querschnitts t f: [cm] Flanschdicke ρ: [ ] siehe oben f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) γ M0: [ ] 1,0 M N,y,Rd * 1 = M pl,y,rd * mit: n = N Ed N pl,rd 1 - n 1-0,5 a [KNm] [ ] a = min A * 4 - b t f A * 4 [ ] 0,5 [ ] a: [ ] bei Hohl- und Kastenquerschnitten ist a = a w M pl,y,rd [KNm] Moment im vollplastischen Zustand A: [cm²] gesamte Querschnittsfläche t f: [cm] Flanschdicke * 1 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und V (V z,ed > 0,5 V pl,z,rd) gilt: M N,y,Rd = M VN,y,Rd * bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und V (V z,ed > 0,5 V pl,z,rd) gilt: M pl,y,rd = M N,y,Rd * 3 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen Biegung und Querkraft (V z,ed > 0,5 V pl,z,rd) gilt: N pl,rd = N V,Rd * 4 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und V (V z,ed > 0,5 V pl,z,rd) gilt: A = A red 6..6 Nachweise: V z,ed V pl,z,rd 1,0 N Ed N pl,rd 1,0 M y,ed M y,rd 1,0 * 4 * 5 * 6 * 4 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und V gilt: M y,rd = M V,y,Rd * 5 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M und N gilt: M y,rd = M N,y,Rd * 6 bei Berücksichtigung der Interaktion zwischen M, V und N gilt: M y,rd = M VN,y,Rd Seite 6

7 7 Druckkraftbeanspruchung - Knicken: 7.1 Hinweise Wenn ein Moment rechtwinklig zu dem untersuchten Knickstab wirkt, ist das Biegedrillknicken i.d.r maßgebend! Der Nachweis erfolgt nach dem Ersatzstabverfahren. 7. Knicklängen: Knicken in z-richtung: L cr,y = β l 1 Knicken in y-richtung: L cr,z = β l 7.3 Trägheitsradius: gewalzte Stahlprofile: siehe Schneider Bautabellen ff. allgemein: β: [ ] Knicklängenbeiwert, siehe Anhang i z = I z A [cm] und i y = I y A [cm] 7.4 bezogener Schlankheitsgrad: QK1, QK und QK3: λ z = L cr,z i z λ 1 QK4: QK1, QK und QK3: λ y = L cr,y i y λ 1 QK4: 7.5 Abminderungsfaktor χ: λ 0,: χ = 1,0 1 λ > 0,: χ = 1,0 Φ+ Φ - λ 7.6 Nachweis: N Ed χ N pl,rd 1,0 [ ] λ z = L cr,z i z λ 1 A eff A [ ] [ ] λ y = L cr,y i y λ 1 A eff A [ ] Hinweis: für die Profile in den Schneider Bautabellen ist der Faktor γ M1 in N pl,rd nicht berücksichtigt! L cr,y : [cm] siehe oben L cr,z: [cm] siehe oben i y: [cm] siehe oben i z: [cm] siehe oben λ 1: Materialbeiwert S35: λ 1 = 93,9 S75: λ 1 = 86,8 S355: λ 1 = 76,4 S40: λ 1 = 70, S460: λ 1 = 67,1 Φ: [ ] Faktor Φ = 0,5 1+ α λ - 0, + λ α: [ ] Beiwert Knicklinie a 0: α = 0,13 Knicklinie a: α = 0,1 Knicklinie b: α = 0,34 Knicklinie c: α = 0,49 Knicklinie d: α = 0,76 Hinweis: Zuordnung zur Knickspannungslinie siehe Tabelle 6. im Anhang N Ed: einwirkende Normalkraft N pl,rd : plastische Grenznormalkraft QK1 QK3: N pl,rd = A f y γ M1 QK4: N pl,rd = A eff f y γ M1 γ M1: [ ] Sicherheitsbeiwert = 1,10 Seite 7

8 8 Druckkraftbeanspruchung - Drillknicken 8.1 Hinweise: Nachweis muss nur für Querschnitte mit geringer Steifigkeit gegen verdrehen geführt werden. (z.b. Winkel- Kreuz- und T-Profil) Die Steifigkeit gegen verdrehen ist von der Torsionssteifigkeit GI T und der Wölbsteifigkeit EI abhängig. Bei der Auswahl der Knicklinie ist das Ausweichen senkrecht zur Achse z-z zu wählen 8. Drehradius des Querschnitts: c = I ω+ 0,039 l I T I Z [cm] 8.3 polarer Trägheitsradius, bezogen auf den Schwerpunkt: i p = i y + i z [cm] I: [cm 6 ] Wölbflächenmoment. Grades Schneider Bautabelle 8.3 l: [cm] Abstand der Gabellager I T: [cm 4 ]Torsionsflächenmoment. Grades Schneider Bautabelle 8.3 I Z: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment. Grades Schneider Bautabelle!! Bei Winkelprofil durch I η ersetzen!! i y : [cm²] Trägheitsradius bezogen auf Hauptachse Y!! bei Winkelprofil durch i η zu ersetzen!! i z : [cm²] Trägheitsradius bezogen auf Hauptachse Z!! bei Winkelprofil durch i ζ zu ersetzen!! 8.4 polarer Trägheitsradius, bezogen auf den Schubmittelpunkt: i M = i p + z M [cm] i p : [cm²] polarer Trägheitsradius (siehe oben) z M: [cm] Abstand zwischen Schwerpunkt und Schubmittelpunkt 8.5 Schlankheitsgrad: QK1, QK, QK3: λ T = β l i z QK4: λ T = β l i z c + i M 1+ c 1-4 c² i p 1 c² + i M λ 1 c + i M 1+ c 1-4 c² i p 1 A eff c² + i M λ 1 A β: Knicklängenbeiwert (siehe Eulerfälle) l: [cm] Knicklänge i z : [cm²] Trägheitsradius bezogen auf Hauptachse Z!! bei Winkelprofil durch i ζ zu ersetzen!! c: [cm] Drehradius des Querschnitts (siehe oben) i M : [cm] polarer Trägheitsradius (siehe oben) i p: [cm] polarer Trägheitsradius, siehe oben λ 1: Materialbeiwert S35: λ 1 = 93,9 S75: λ 1 = 86,8 S355: λ 1 = 76,4 S40: λ 1 = 70, S460: λ 1 = 67,1 8.6 Abminderungsfaktor χ: λ 0,: χ = 1,0 1 λ > 0,: χ = 1,0 Φ+ Φ - λ 8.7 Nachweis: N Ed χ N pl,rd 1,0 Hinweis: für die Profile in den Schneider Bautabellen ist der Faktor γ M1 in N pl,rd nicht berücksichtigt! Φ: [ ] Faktor Φ = 0,5 1+ α λ - 0, + λ α: [ ] Beiwert Knicklinie a 0: α = 0,13 Knicklinie a: α = 0,1 Knicklinie b: α = 0,34 Knicklinie c: α = 0,49 Knicklinie d: α = 0,76 Hinweis: Zuordnung zur Knickspannungslinie siehe Tabelle 6. im Anhang N Ed: einwirkende Normalkraft N pl,rd : plastische Grenznormalkraft QK1 QK3: N pl,rd = A f y γ M1 QK4: N pl,rd = A eff f y γ M1 γ M1: [ ] Sicherheitsbeiwert = 1,10 Seite 8

9 9 Biegedrillknicken (nur Biegemoment) 9.1 Hinweise: Eine gute Herleitung der Formeln ist in dem Buch Stahlbau-Praxis nach EC3, Wagenknecht gegeben. Das folgende Verfahren gilt nur für I-Profile. 9. ideale Vezweigungslast: N cr,z = π E I z l 9.3 Torsionsflächenmoment. Grades: l I T,ges = I T + c ϑ,k π G [cm4 ] Hinweis: I T kann durch die Berücksichtigung einer elastischen Drehfeder (z.b. durch Anschluss eines Trapezprofilbleches) erhöht werden. 9.4 Drehradius des Querschnitts: c = I ω+ 0,039 l I T,ges I Z [cm] E: [KN/cm²] Elastizitätsmodul = l: [cm] Abstand der Gabellager I Z: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment. Grades Schneider Bautabelle ff. I T: [cm 4 ]Torsionsflächenmoment. Grades des Trägerprofils siehe Schneider Bautabelle ff. c ϑ,k: [cm 6 ] vorhandene Drehfeder siehe NW ausreichender Drehbettung l: [cm] Abstand der Gabellager G: [KN/cm ] Schubmodul = 8100 I: [cm 6 ] Wölbflächenmoment. Grades siehe Schneider Bautabelle ff. l: [cm] Abstand der Gabellager I T,ges: [cm 4 ] Torsionsflächenmoment. Grades siehe oben I Z: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment. Grades siehe Schneider Bautabelle ff. 9.5 Ermittlung des idealen Biegedrillknickmomentes M cr : Hinweise: Die Berechnung von M cr ist im EC3 nicht geregelt. (vgl. DIN EN ) M cr kann der Literatur entnommen werden, oder mit Hilfe von Programmen ermittelt werden. Für doppeltsymmetrische I-Profile können die folgenden Formeln verwendet werden. Schneller und exakter rechnet in der Regel die EDV! Einfeldträger (nur für doppeltsymmetrische I-Querschnitte) M cr = ζ N cr,z c + 0,5 z p + 0,5 z p 0,01 [KNm] ζ: [ ] Momentenbeiwert, siehe oben N cr,z: ideale Verzweigungslast, siehe oben c: [cm] Drehradius des Querschnitts, siehe oben z p: [cm] Abstand vom Kraftangriffspunkt zum Schwerpunkt z p < 0 wenn Kraft oberhalb des Schwerpunkts angreift z p = 0 wenn Einfluss direkter Belastung vernachlässigbar z p > 0 wenn Kraft unterhalb des Schwerpunkts angreift Momentenverlauf Beiwert ζ 1,0 1,1 1,35 1,77 0,77 Ψ 1,35 Seite 9

10 9.5. Allgemeiner Fall (nur für doppeltsymmetrische I-Querschnitte) M cr = M cr,y0 max M y M y0 mit: [KNm] M cr,y0 = ζ 0 N cr,z c + ζ 0 0,4 z p + ζ 0 0,4 z p 0,01 [KNm] Hinweise: Das gesamte Vorgehen für Träger mit Randmomenten wurde aus dem Buch Stahlbau Teil : Stabilität und Theorie.Ordnung von Rolf Kindmann übernommen. Es wird wie folgt vorgegangen: Aufteilung des Durchlaufträgers in Einfeldträger mit Randmomenten. Vgl. Bild 6.10 Bei mehreren Feldern muss für jedes Feld ein eigener Momentenbeiwert ermittelt werden. Der kleinste Wert ist maßgebend, da dieser das kleinste Biegedrillknickmoment liefert. Für einen Einfeldträger gilt: M yb = M ya = 1,1 Dieser Momentenbeiwert entspricht dem ζ-wert von oben. M y0: [KNm] = q z l 8 max M y: [KNm] maximales Feld- bzw. Stützmoment ζ 0: [ ] Momentenbeiwert, siehe Tabelle 6. N cr,z: ideale Verzweigungslast, siehe oben c: [cm] Drehradius des Querschnitts, siehe oben z p: [cm] Abstand vom Kraftangriffspunkt zum Schwerpunkt z p < 0 wenn Kraft oberhalb des Schwerpunkts angreift z p = 0 wenn Einfluss direkter Belastung vernachlässigbar z p > 0 wenn Kraft unterhalb des Schwerpunkts angreift Abbildung 1: Momentenbeiwerte ζ 0 [1] Abbildung : Beidseitig gabelgelagerter Träger mit Randmomenten und Gleichstreckenlast [1] 9.6 BDK-Schlankheit: λ LT = W y f y M cr W y: [cm³] QK1 und QK: W y = W pl,y QK3: W y = W el,y QK4: W y = W eff,y f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) Seite 10

11 9.7 Abminderungsfaktor: I-Querschnitte, gewalzt & gleichartig geschweißt: χ LT = min 1 Φ LT + Φ LT 0,75 λ LT 1 λ LT 1,0 mit: Φ LT = 0,5 1+ α LT λ LT - 0,4+ 0,75 λ LT Hinweis: Nach DIN EN / () kann χ LT weiter abgemindert werden allgemein: λ LT 0,4 χ LT = 1,0 (Stab ist gedrungen und eine Biegedrillknickuntersuchung ist nicht erf.) λ LT : siehe oben Φ LT : siehe unten α LT: [ ] Beiwert Knicklinie a 0: α = 0,13 Knicklinie a: α = 0,1 Knicklinie b: α = 0,34 Knicklinie c: α = 0,49 Knicklinie d: α = 0,76 Zuordnung der Knicklinie: gewalztes I-Profil: h/b,0 KL b h/b >,0 KL c geschweißtes I-Profil: h/b,0 KL c h/b >,0 KL d λ LT > 0,4 χ LT = 1 Φ LT + Φ LT - λ LT χ LT 1,0 Φ LT = 0,5 1+ α LT λ LT - 0,+ λ LT 9.8 Bemessungswert der Beansprucharkeit: M b,rd = χ LT W y f y 1 γ [KNm] W y: [cm³] QK1 und QK: W y = W pl,y QK3: W 100 y = W el,y M1 QK4: W y = W eff,y W pl,y: [cm³] plastisches Widerstandsmoment W pl,y = S y,o + S y,u (bestimmen der NL siehe Beispiele) W el,y: [cm³] elastisches Widerstandsmoment siehe Schneider Bautabelle ff. f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) γ M1: [ ] Sicherheitsbeiwert = 1,1 9.9 Nachweis: M y,ed M b,rd 1,0 M y,ed: [KNm] M b,rd: [KNm] Bemessungswert des einwirkenden Biegemomentes Bemessungswert der Beanspruchbarkeit siehe oben Seite 11

12 10 Biegedrillknicken (einachsige Biegung + Normalkraft) 10.1 Knicklängen: Knicken in y-richtung: L cr,z = β l 1 Knicken in z-richtung: L cr,y = β l 10. Trägheitsradius: gewalzte Stahlprofile: siehe Schneider Bautabellen ff. β: [ ] Knickbeiwert siehe Schneider Bautabellen allgemein: i z = I z A [cm] und i y = I y A [cm] 10.3 bezogener Schlankheitsgrad: Knicken in y-richtung: QK1, QK und QK3: λ z = L cr,z i z λ 1 QK4: [ ] λ z = L cr,z i z λ 1 A eff A [ ] L cr,z: [m] siehe oben i z: [cm] siehe oben λ 1: Materialbeiwert S35: λ 1 = 93,9 S75: λ 1 = 86,8 S355: λ 1 = 76,4 S40: λ 1 = 70, S460: λ 1 = 67, Knicken in z-richtung: QK1, QK und QK3: λ y = L cr,y i y λ 1 QK4: 10.4 Abminderungsfaktor χ: Knicken in y-richtung: λ 0,: χ z = 1,0 λ > 0,: χ z = 1,0 Φ z + Φ z - λ z Knicken in z-richtung: λ 0,: χ y = 1,0 λ > 0,: χ y = 1,0 Φ y + Φ y - λ y 10.5 ideale Vezweigungslast: N cr,z = π E I z l 1 1 [ ] λ y = L cr,y i y λ 1 A eff A [ ] 10.6 Torsionsflächenmoment. Grades: l I T,ges = I T + c ϑ,k π G [cm4 ] Hinweis: I T kann durch die Berücksichtigung einer elastischen Drehfeder (z.b. durch Anschluss eines Trapezprofilbleches) erhöht werden. L cr,y : [m] siehe oben i y: [cm] siehe oben λ 1: Materialbeiwert S35: λ 1 = 93,9 S75: λ 1 = 86,8 S355: λ 1 = 76,4 S40: λ 1 = 70, S460: λ 1 = 67,1 Φ: [ ] Faktor Φ z = 0,5 1+ α λ z - 0, + λ z α: [ ] Beiwert Knicklinie a 0: α = 0,13 Knicklinie a: α = 0,1 Knicklinie b: α = 0,34 Knicklinie c: α = 0,49 Knicklinie d: α = 0,76 Hinweis: Zuordnung zur Knickspannungslinie siehe Tabelle 6. im Anhang Φ: [ ] Faktor Φ y = 0,5 1+ α λ y - 0, + λ y α: [ ] Beiwert Knicklinie a 0: α = 0,13 Knicklinie a: α = 0,1 Knicklinie b: α = 0,34 Knicklinie c: α = 0,49 Knicklinie d: α = 0,76 Hinweis: Zuordnung zur Knickspannungslinie siehe Tabelle 6. im Anhang E: [KN/cm²] Elastizitätsmodul = l: [cm] Abstand der Gabellager I Z: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment. Grades Schneider Bautabelle ff. I T: [cm 4 ]Torsionsflächenmoment. Grades des Trägerprofils siehe Schneider Bautabelle ff. c ϑ,k: [cm 6 ] vorhandene Drehfeder siehe NW ausreichender Drehbettung l: [cm] Abstand der Gabellager G: [KN/cm ] Schubmodul = Seite 1

13 10.7 Drehradius des Querschnitts: c = I ω+ 0,039 l I T,ges I Z [cm] 10.8 Ermittlung des idealen Biegedrillknickmomentes M cr : Hinweise: Die Berechnung von M cr ist im EC3 nicht geregelt. (vgl. DIN EN ) M cr kann der Literatur entnommen werden, oder mit Hilfe von Programmen ermittelt werden. Für doppeltsymmetrische I-Profile kann die folgende Formel verwendet werden. Bei Träger unter Gleichstreckenlast und Randmomenten EDV M cr = ζ N cr,z c + 0,5 z p + 0,5 z p 0,01 [KNm] I: [cm 6 ] Wölbflächenmoment. Grades siehe Schneider Bautabelle ff. l: [cm] Abstand der Gabellager I T,ges: [cm 4 ] Torsionsflächenmoment. Grades siehe oben I Z: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment. Grades siehe Schneider Bautabelle ff. ζ: [ ] Momentenbeiwert, siehe oben N cr,z: ideale Verzweigungslast, siehe oben c: [cm] Drehradius des Querschnitts, siehe oben z p: [cm] Abstand vom Kraftangriffspunkt zum Schwerpunkt z p < 0 wenn Kraft oberhalb des Schwerpunkts angreift z p = 0 wenn Einfluss direkter Belastung vernachlässigbar z p > 0 wenn Kraft unterhalb des Schwerpunkts angreift Momentenverlauf Beiwert ζ 1,0 1,1 1,35 1,77 0,77 Ψ 10.9 BDK-Schlankheit: λ LT = W y f y M cr Abminderungsfaktor: I-Querschnitte, gewalzt & gleichartig geschweißt: χ LT = min 1 Φ LT + Φ LT 0,75 λ LT 1 λ LT 1,0 mit: Φ LT = 0,5 1+ α LT λ LT - 0,4+ 0,75 λ LT Hinweis: Nach DIN EN / () kann χ LT weiter abgemindert werden allgemein: λ LT 0,4 χ LT = 1,0 (Stab ist gedrungen und eine Biegedrillknickuntersuchung ist nicht erf.) W y: [cm³] QK1 und QK: W y = W pl,y QK3: W y = W el,y QK4: W y = W eff,y f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) M cr: [KNm] siehe oben λ LT : siehe oben Φ LT : siehe unten 1,35 α LT: [ ] Beiwert Knicklinie a: α = 0,1 Knicklinie b: α = 0,34 Knicklinie c: α = 0,49 Knicklinie d: α = 0,76 Zuordnung der Knicklinie: gewalztes I-Profil: h/b,0 KL b h/b >,0 KL c geschweißtes I-Profil: h/b,0 KL c h/b >,0 KL d λ LT > 0,4 χ LT = 1 Φ LT + Φ LT - λ LT χ LT 1,0 Φ LT = 0,5 1+ α LT λ LT - 0,+ λ LT Seite 13

14 10.11 Bemessungswerte der Beanspruchbarkeit: QK1 und QK: N b,y,rd = χ y A f y γ M1 N b,z,rd = χ z A f y γ M1 M b,rd = χ LT W pl,y f y γ M1 [KNm] QK3: N b,y,rd = χ y A f y γ M1 N b,z,rd = χ z A f y γ M1 M b,rd = χ LT W el,y f y γ M1 [KNm] 10.1 Interaktionsbeiwerte: Interaktionsbeiwert k yy : QK 1 und k yy = min QK3: k yy = min C my 1+ λ y - 0, C my 1+ 0,8 C my 1+ 0,6 λ y C my 1+ 0,6 N Ed N b,y,rd! [ ] N Ed N b,y,rd! [ ] N Ed N b,y,rd! [ ] N Ed N b,y,rd! [ ] Interaktionsbeiwert k zy : QK 1 und W pl,y: [cm³] plastisches Widerstandsmoment W pl,y = S y,o + S y,u (bestimmen der NL siehe Beispiele) W el,y: [cm³] elastisches Widerstandsmoment siehe Schneider Bautabelle ff. f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) γ M1: [ ] Sicherheitsbeiwert = 1,1 C my: [ ] äquivalenter Momentenbeiwert siehe Anhang Tabelle B3 λ y : [ ] Schlankheit siehe oben N Ed: einwirkende Normalkraft N b,y,rd: [KN ] Bemessungswert der Normalkraft siehe oben für " $ 0,4 gilt: k zy = max 1-1- Für " $ < 0,4 gilt: 0,1 λ z C mlt - 0,5 N Ed N b,z,rd! 0,1 C mlt - 0,5 N Ed N b,z,rd! k zy = min 0,6 + " $ 1 - QK3: k zy = max ,1 λ z C mlt - 0,5 N Ed N b,z,rd 0,05 λ z C mlt - 0,5 N Ed N b,z,rd! 0,05 C mlt - 0,5 N Ed N b,z,rd! Nachweise: N Ed + k N yy M y,ed+ M y,ed 1,0 b,y,rd M b,rd N Ed N b,z,rd + k zy M y,ed+ M y,ed M b,rd 1,0 Seite 14

15 11 St. Venantsche Torsion 11.1 Einwirkung 11. Torsionsstreckenmoment Vertikalkraft außerhalb des Schubmittelpunktes: m T = q T e m [KNm/m] Hinweise: Bei symmetrischen Profilen liegt der Schubmittelpunkt auf der Symmetrieachse. Bei Doppelsymmetrischen Profilen liegt der Schubmittelpunkt im Schwerpunkt Torsionsmoment Einfeldträger: M T = m t L [KNm] Hinweise: Die Querkraftanalogie kann bei der Ermittlung des Torsionsmomentenverlaufs helfen Torsionsflächenmomente Dünnwandige Rechteckquerschnitte (h/t 10): I T = α h t³ [cm 4 ] q Ed: [KN/m] Vertikalbelastung e m: [m] Abstand zwischen Schubmittelpunkt und Kraftangriffspunkt der Vertikalkraft. siehe Formelsammlung Schubmittelpunktberechnung L: [m] Trägerlänge h/t 1,0,0 3,0 6,0 10 α 0,14 0,9 0,36 0,99 0,313 1/ Kreisquerschnitte: I T = π (R4 r 4 ) [cm 4 ] Dickwandige Rechteckquerschnitte (h/t < 10): Schubspannung kann direkt berechnet werden Dünnwandige, offene Profile (L,C,T,I-Profile) I T = 1 η n t 3 i 3 i=1 h i [cm 4 ] R: [cm] Außenradius r: [cm] Innenradius (= 0 bei Vollquerschnitt) t i: [cm] Blechdicke eines einzelnen Blechstreifens h i: [cm] Länge eines einzelnen Blechstreifens η: [cm] Korrekturfaktor bei Walzprofilen zur Berücksichtigung der Ausrundungsradien. Kein Walzprofil: η = 1, Dünnwandige, geschlossene einzellige Querschnitte (Hohlprofil) Blechdicke konstant: I T = 4 A m [cm 4 ] s i i t i A m: [cm²] Fläche, die von der Mittellinie der Wandung eingeschlossen ist Kreis: A m = π r m² t i: [cm] Dicke des Querschnitts an der betrachteten Stelle s i: [cm] Länge eines Umfangabschnittes Kreis: s = π r m Seite 15

16 Dünnwandige, geschlossenen mehrzellige Querschnitte I T = M T G ϑ ' [cm 4 ] ϑ durch lösen des folgenden LGS: (Beispielhaft für ein Kasten mit 3 Zellen) ds b -) ds Zelle1 t(s) a 0 - G A t(s) m,1 ' b -) ds ds -) ds T d - G A, 1 0 a t(s) Zelle c t(s) t(s) m, T 0 -. = - & d 0 -) ds ds - G A + T 3 0. c t(s) Zelle3 t(s) m,3 ϑ ' M T 100 % A m,1 A m, A m,3 0 * Alternativ: Für jede Zelle die folgende Gleichung aufstellen und nach ϕ 1, ϕ, ϕ 3 auflösen: (Hinweis: k = 1,,3 bzw. die Nummer der betrachteten Zelle) B A t(s) - ϕ k-1 ds + ϕ k ds k t(s) D C t(s) ϕ k+1 ds = A m,k I T = A m,k ϕ k [cm 4 ] T k = M T I T ϕ k [KN/cm] n: [ ] Anzahl der Zellen ds : [ ] Ringintegral der Zelle 1 = Summe der einzelnen Blechlängen die an die Zelle 1 grenzen, geteilt durch deren Breite. Zelle1 t(s) ds Zelle t(s) ds Zelle3 t(s) b -) ds a t(s) d -) ds c t(s) : [ ] Ringintegral der Zelle = Summe der einzelnen Blechlängen die an die Zelle grenzen, geteilt durch deren Breite. : [ ] Ringintegral der Zelle 3 = Summe der einzelnen Blechlängen die an die Zelle 3 grenzen, geteilt durch deren Breite. : [ ] Blechlänge der Wandung die an die Zelle 1 und grenzt geteilt durch deren Breite. -) ds : [ ] Blechlänge der Wandung die an die Zelle und 3 grenzt geteilt durch deren Breite. -) ds G: [KN/cm²] Schubmodul. G = 8100 A m,1: [cm²] Fläche, die von der Mittellinie der Zellenwandung 1 eingeschlossen ist. A m,: [cm²] Fläche, die von der Mittellinie der Zellenwandung eingeschlossen ist. A m,3: [cm²] Fläche, die von der Mittellinie der Zellenwandung 3 eingeschlossen ist. b a t(s) d c t(s) = - s 1- t 1- = - s -3 t -3 Seite 16

17 11.5 Maximale Schubspannung infolge Torsion Dünnwandiger Rechteckquerschnitt (h/t 10): T τ max = M T 100 t [KN/cm²] I T M T: [KNm] Bemessungswert des Torsionsmomentes Kreisquerschnitte T τ max = M T 100 t [KN/cm²] t: [cm] bei Vollkreisquerschnitten: t = r I T Dickwandiger Rechteckquerschnitt (h/t < 10): T τ max = M T 100 [KN/cm²] β h t M T: [KNm] Bemessungswert des Torsionsmomentes Dünnwandige, offene Profile (L,C,T,I-Profile) T τ max = M T 100 t [KN/cm²] I T Dünnwandige, geschlossene Querschnitte (Hohlprofil) T τ max = M T 100 A m t min [KN/cm²] Mehrzelliger Hohlkasten τ T = T t i [KN/cm²] 11.6 Maximale Schubspannung infolge Querkraft τ V max = V z S y,max I y t [KN/cm²] 11.7 Maximale Schubspannung T V τ max = τ max + τ max [KN/cm²] t: [cm] Blechdicke Hinweis: Wenn maximale Schubspannung infolge M T und V berechnet werden soll: t = Blechdicke an der Stelle mit der maximalen Schubspannung infolge V M T: [KNm] Bemessungswert des Torsionsmomentes T: Schubfluss siehe oben t i: [cm] Blechdicke an der betrachteten Stelle V z: Einwirkende Querkraft S y,max: [cm³] größtes statisches Moment (auf Höhe der Schwerachse) siehe Formelsammlung Schubmittelpunktberechnung t: [cm] Profildicke an der Stelle s 11.8 Ermittlung der Verdrehung infolge der Torsionsmomentenbeanspruchung ϑ = ) M T M 1 dx = ) M G I T G I T 100 M dx [rad] T umrechnen in Grad: ϑ = 360 π ϑ [ ] G: [KN/cm²] Schubmodul. Für Stahl: G = 8100 I T: [cm 4 ] Torsionsflächenmoment, siehe oben M T: [KNm] Bemessungswert des Torsionsmomentes M : [ ] Momentenverlauf infolge der Einheitsverdrehung 1 L: [cm] Länge über die integriert wird. Vorgehen: 1. Aufbringen einer virtuellen Verdrehung der Größe 1. Vorhandenen Torsionsmomentenverlauf mit dem virtuellen Momentenverlauf koppeln. Seite 17

18 1 Wölbkrafttorsion 1.1 Vorgehen: 1.) Integrationsweg s festlegen (vom frei gewählten Nullpunkt zu den Enden hin) bei Achsensymmetrischen Querschnitten am besten auf Symmetrieachse legen ω A0 = 0 Wenn Schubmittelpunkt und Schwerpunkt zusammenfallen: ω S = ω M.) Ermittlung der r t -Flächen 3.) Ermittlung der Einheitsverwölbung 4.) Ermittlung des Wölbwiderstandes I ω,m 5.) Ermittlung der Wölbnormalspannungen 1. Ermittlung der r t -Flächen: r t ist der Abstand zwischen der Tangenten an den Querschnitt und dem Drehpunkt A (z.b. S oder M) r t ist positiv, wenn die Tangente an den Querschnitt (bzw. Richtung des Integrationsweges) im Uhrzeigersinn um die x-achse dreht. Beispiel: 1.3 Einheitsverwölbung ω A : ω A = ω A + ω A0 [cm²] Abbildung 3: r t-verlauf Beispiel: ω A = ) r t ds = Flächeninhalt des r t -Verlaufs Für den Verlauf der Einheitsverwölbung ω A müssen die r t- Flächen beginnend am Nullpunkt mit einer virtuellen Größe 1 über die jeweilige Länge gekoppelt werden. Integrationskonstante: ω A0 = - 1 ) ω A A A da = - t (Flächeninhalt des ω A Verlaufs) A Hinweise: ω A0 = 0, wenn: - achsensymmetrischer Querschnitt - Drillachse auf Symmetrieachse - Nullpunkt der Integration im Schnittpunkt von Symmetrieachse und Profilmittellinie. ω A0 entspricht dem Flächeninhalt des ω A Verlaufes bei konstanter Blechdicke kann das t aus dem Integral herausgezogen werden. 1.4 Einheitsverwölbung ω B : ω B = ω A (y B y A ) z + (z B z A ) y + ω 0 [cm²] 1.5 Wölbwiderstandsmoment: I ω,m = t ) ω M A ds [cm 6 ] Hinweis: Das Wölbwiderstandsmoment kann durch die Kopplung der Einheitsverwölbung mit sich selber ermittelt werden. Abbildung 4: Einheitsverwölbung ω M ω A (1) = 1,0 1,96 5,0 = +9,8 cm² ω A () = 9,8-1,0,15,5 +,5 = +, ω A (3) =, - 1,0 7,5 3,0 = -0,3 ω A: [cm²] Verwölbung bezogen auf den Punkt A ω B: [cm²] Verwölbung bezogen auf den Punkt B ω M: [cm²] Verwölbung bezogen auf den Momentanpol ω 0: [cm²] = - 1 ) ω A A A da = - t (Flächeninhalt des ωa Verlaufs) A y B - y A: [cm] Abstand zwischen Punkt A und Punkt B in y-richtung z B - z A: [cm] Abstand zwischen Punkt A und Punkt B in z-richtung z: [cm] Stelle in z-richtung an der die Einheitsverwölbung berechnet wird. y: [cm] Stelle in y-richtung an der die Einheitsverwölbung berechnet wird. Beispiel: (Blechdicke t = mm) I ω,m = [ 1 9,8² 5, (9,8 9,8 +,,) /,5² +,5² (9,8, +, 9,8) /,5² +,5² (-0,3)² 3,0 + 1,² 3, (-0,3), 3,0 + 1, (-0,3) 3,0 ] 0, x 6 6 = 70,7 cm 6 Seite 18

19 1.6 Abklingfaktor: λ = G I T E I ω,m [1/cm] 1.7 Grenzfälle λ L reine St. Venantsche Torsion I ω,m 0 λ L 0 reine Wölbkrafttorsion G I T 0 λ L < 0,5 reine Wölbkrafttorsion 0,5 < λ L < 10 gemischte Torsion λ L > 10 reine St. Venantsche Torsion G: [KN/cm²] Schubmodul = 8100 I T: [cm 4 ] Torsionsflächenmoment, siehe oben E: [KN/cm²] E-Modul von Stahl = 1000 I ω,m: [cm6] Wölbwiderstand, siehe oben L: [m] Trägerlänge 1.8 Primäres Torsionsmoment MTP Einfeldträger mit Gabellagerung M TP = m T λ λ Maximales M TP (x = L): M TP,max = m T cosh 0λ x1 - cosh λ (L - x) L - x+ [KNcm] sinh (λ L) λ - L λ + cosh 0λ L1-1 sinh (λ L) [KNcm] 1.9 Sekundäres Torsionsmoment Einfeldträger mit Gabellagerung M TS = - m T λ cosh 0λ x1 - cosh (λ L-x) [KNcm] sinh ( λ L) Maximales M TS (x=l): M TS = - m T λ 0λ L1-1 cosh [KNcm] sinh (λ L) 1.10 Wölbmoment Einfeldträger mit Gabellagerung M ω = - m T sinh 0λ x1 + sinh (λ L - x) 0λ1-1+ [KNcm²] Maximales M ω : (x = L/) sinh (λ L) m T: [KNm/m] einwirkendes Torsionsmoment x: [cm] Stelle an der das Moment gesucht ist. λ: [1/cm] Abklinkfaktor L: [cm] Trägerlänge m T: [KNm/m] einwirkendes Torsionsmoment x: [cm] Stelle an der das Moment gesucht ist. λ: [1/cm] Abklinkfaktor L: [cm] Trägerlänge m T: [KNm/m] einwirkendes Torsionsmoment x: [cm] Stelle an der das Moment gesucht ist. λ: [1/cm] Abklinkfaktor L: [cm] Trägerlänge max. M ω = - m T sinh (λ 0,5 L 0λ1-1+ [KNcm²] 1.11 Trägerverdrehung ϑ = λ m T G I T (λ) (L x - x ) - 1+ sinh (λ L) sinh (λ x) + sinh (λ (L x)) sinh (λ L)! [rad] m T: [KNm/m] einwirkendes Torsionsmoment x: [cm] Stelle an der die Verdrehung gesucht ist. λ: [1/cm] Abklinkfaktor L: [cm] Trägerlänge maximale Verdrehung: ϑ max = m T λ G I T (λ) 8 L - 1+ sinh (λ 0,5 L) sinh (λ L)! [rad] ϑ = 360 ϑ π [ ] 1.1 Wölbnormalspannungen: σ ω = M ω,m I ω,m ω M [KN/cm ] M ω,m: [KNcm²] Wölbmoment I ω,m: [cm 6 ] Wölbwiderstandsmoment, siehe oben Seite 19

20 13 Plattenbeulen Nachweis Querschnitte der Klasse Plattenbeulen bei Längsspannungen - Nachweis der wirksamen Fläche Randspannung σ xo = N Ed + M Ed 100 z mo [KN/cm²] A I y σ xu = N Ed + M Ed 100 z A I mu [KN/cm²] y τ = V z A Steg [KN/cm²] z mu: [cm] Nachweis Stegblech Abstand zwischen Schwerpunkt und Oberkante des unteren Gurtblechs z mo: [cm] Nachweis Stegblech Abstand zwischen Schwerpunkt und Unterkante des oberen Gurtblechs A Steg: [cm²] = h ges 0,5 t 1 0,5 t Abbildung 5: Beulfeld [] Randspannungsverhältnis bezogen auf größte Druckspannung Ψ = σ xu σ xo Hinweis: Druckspannungen sind positiv! die Spannungen sind vorzeichengerecht einzusetzen! Seitenverhältnis α = a b [ ] a: [cm] Länge des untersuchten Feldes = Abstand der Schotte b: [cm] Breite des untersuchten Feldes = h Steg Beulwert k σ Beidseitig gestützte Querschnittsteile (z.b. Stege) ψ = 1,0 0 < ψ < 1,0 0-1,0 < ψ < 0-1,0-3,0 < ψ < -1,0 k σ = 4,0 8, 1,05 + ψ Einseitig gestützt, größte Druckspannung am freien Ende 7,81 7,81 6,9 ψ + 9,78 ψ² 3,9 5,98 (1 + ψ )² ψ = 1,0 0-1,0-3,0 ψ 1,0 k σ = 0,43 0,57 0,85 0,57 0,1 ψ + 0,07 ψ² Einseitig gestützt, größte Druckspannung am gestützten Ende ψ = 1,0 0 < ψ < 1,0 0-1,0 < ψ < 0-1 k σ = 0,43 0,578 ψ + 0,34 Hinweis: Alternativ kann der Beulwert aus Abbildung 68: Beulwerte im Anhang abgelesen werden Bezugsspannung σ e = 1, t b [KN/cm²] Kritische Beulspannung σ cr,p = k σ σ e [KN/cm²] 1,70 1,70 5 ψ + 17,1 ψ² 3,8 t: [cm] Blechdicke (Stegdicke bei I-Querschnitt der Klasse 4) b: [cm] Breite des untersuchten Beulfeldes Steghöhe d bei I-Querschnitt der Klasse 4 Flanschachsenabstand bei Kastenprofil Gurtbreite bei Trapezprofil Seite 0

21 Kritische Knickspannung Unausgesteiftes Beulfeld σ cr,c = 1, t a [KN/cm²] t: [cm] Blechdicke (Stegdicke bei I-Querschnitt der Klasse 4) a: [cm] Länge des untersuchten Beulfeldes (z.b. Abstand der Querschotte) Ausgesteiftes Beulfeld σ cr,c = π E I sl,1 [KN/cm²] A sl,1: [cm²] Bruttoquerschnittsfläche des Ersatzdruckstabes nach Bild A1 im Anhang A sl,1 a I sl,1: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment des Bruttoquerschnitts des Ersatzdruckstabes nach Bild A1 im Anhang für Knicken quer zur Blechebene. a: [cm] Länge des untersuchten Beulfeldes (z.b. Abstand der Querschotte) E: [KN/cm²] E-Modul von Stahl = Beulschlankheit λ p = f y σ cr,p [ ] Knickschlankheit λ c = f y σ cr,c [ ] Abminderungsfaktor für Beulen Beidseitig gestützte Querschnittsteile (z.b. Stege) λ p 0,5 + 0,085-0,055 ψ ρ = 1,0 λ p > 0,5 + 0,085-0,055 ψ ρ = min f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) σ cr,p: [KN/cm²] kritische Beulspannung, siehe oben f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) σ cr,c: [KN/cm²] kritische Knickspannung, siehe oben λ p - 0,055 (3 + ψ) λ p 1, Einseitig gestützte Querschnittsteile (z.b. Flansch) λ p 0,748 ρ = 1,0 λ p > 0,748 ρ = min λ p - 0,188 λ p 1, Abminderungsfaktor für Knicken λ c 0,: χ c = 1,0 1 λ c > 0,: χ c = 1,0 Φ+ Φ - λ c Endgültiger Abminderungsfaktor ρ c = (ρ χ c ) ξ ( ξ) + χ c [ ] Hinweis: Interaktion zwischen ρ und χ c Φ: [ ] Faktor Φ = 0,5 1+ 0,1 λ c - 0, + λ c λ p : [ ] Beulschlankheit, siehe oben Ψ: [ ] Randspannungsverhältnis, siehe oben λ p : [ ] Beulschlankheit, siehe oben ξ: [ ] Beiwert = (σ cr,p/σ cr,c) 1 jedoch 0 ξ 1 σ cr,p: [KN/cm²] elastische Plattenbeulspannung, siehe oben σ cr,c: [KN/cm²] elastische Knickspannung, siehe oben Seite 1

22 Effektive Querschnittsgrößen zweiseitig gestützt Abbildung 6: Zweiseitg gestützte druckbeanspruchte Querschnittsteile [4] Hinweise: Bevor die effektiven Querschnittswerte eines zweiseitig gestützten Querschnittsteils (z.b. Steg) berechnet werden, muss überprüft werden ob eventuell auch andere Querschnittsteile (z.b. Flansche) Ausfallflächen besitzen! Tipp: am besten den Querschnitt mit den dazugehörigen Ausfallflächen skizzieren und erst dann die effektiven Querschnittsgrößen ermitteln. Fall 1: (ggf. sind noch andere Querschnittsteile zu berücksichtigen!) A c,eff = ρ c A c [cm²] W eff = I eff z max [cm³] Fall : (ggf. sind noch andere Querschnittsteile zu berücksichtigen!) A c,eff = b e1 t + b e t [cm²] W eff = I eff z max [cm³] Fall 3: (ggf. sind noch andere Querschnittsteile zu berücksichtigen!) b c = z G (- t f ) [cm] b t = b b c [cm] A c,eff = b e1 t + b e t + b t t [cm²] W eff = I eff z max [cm³] ρ c: [ ] Endgültiger Abminderungsfaktor, siehe oben A c: [cm²] wirklich vorhandene Fläche A c,eff: [cm²] Gesamtquerschnittsfläche abzüglich der Ausfallflächen. A c,eff = Ac - A I eff: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment des wirskamen Querschnittes. z max: [cm] Abstand zwischen Schwerelinie des wirksamen Querschnittes und Blechrand. z G: [cm] Lage der Schwerelinie des Bruttoquerschnitts. z G = A i z i A ges z G : [cm] Lage der Schwerelinie des wirksamen Querschnitts. z G = A i,eff z i,eff A eff Seite

23 Effektive Querschnittsgrößen einseitig gestützt Abbildung 7: Einseitig gestützte druckbeanspruchte Querschnittsteile [4] A c,eff = b eff t [cm²] W eff = I eff z max [cm³] Nachweis η 1 = N Ed fy A eff γ M0 + MEd NEd en fy W eff 1,0 γ M0 N Ed: Bemessungswert der einwirkenden Normalkraft M Ed: [KNm] Bemessungswert des einwirkenden Biegemomentes e N: [cm] Abstand zwischen Schwerelinie des Bruttoquerschnitts und Schwerelinie des wirksamen Querschnitts. e N = z G - z G z G: [cm] Lage der Schwerelinie des Bruttoquerschnitts. z G = A i z i A ges z G : [cm] Lage der Schwerelinie des wirksamen Querschnitts. z G = A i,eff z i,eff A eff f y: [KN/cm²] Streckgrenze S35: f y = 3,5 S355: f y = 35,5 S75: f y = 7,5 S450: f y = 44,0 (Werte für t 40mm) A eff: [cm²] wirksame Querschnittsfläche, siehe oben W eff: [cm³] wirksames Widerstandsmoment, siehe oben γ M0: [ ] Sicherheitsbeiwert = 1,0 Seite 3

24 14 Schubbeulen 14.1 Prüfen ob Nachweis erforderlich ist Nicht ausgesteiftes Stegblech: h w > 7 t η ϵ Nachweis erforderlich Ausgesteiftes Stegblech: h w: [cm] Steghöhe. h w = h t f η: [ ] 1, für S35 S460 1,0 für > S460 ϵ: [ ] Faktor. ϵ = 35 f y h w t > 31 η ϵ /k τ Nachweis erforderlich 14. Schubbeulwerte Blechfeld ohne oder > Längssteifen, die durch starre Quersteifen begrenzt sind a h w 1 k τ = 5,34 + 4,00 h w a + k τsl [ ] a h w < 1 k τ = 4,00 + 5,34 h w a + k τsl [ ] h w: [cm] Steghöhe. h w = h t f a: [cm] Abstand der starren Quersteifen. I sl: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment einer Längssteife um die z-z-achse (siehe Bild). Bei Stegblechen mit Steifen ist I sl die Summe der Steifigkeiten. t: [cm] Dicke des Stegblechs mit: keine Längssteife: k τsl = 0 > Längssteifen: k τsl = max 9 h 4 w a I sl 3 t 3 h w [ ] Abbildung 8: Stegblech mit Längssteifen [4],1 t 3 I sl h w [ ] 14.. Blechfeld mit einer oder zwei Längssteifen und α = a/h w 3 a h w 1 k τ = 5,34 + 4,00 h w a + k τsl [ ] a h w < 1 k τ = 4,00 + 5,34 h w a + k τsl [ ] h w: [cm] Steghöhe. h w = h t f a: [cm] Abstand der starren Quersteifen. I sl: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment einer Längssteife um die z-z-achse (siehe Bild). Bei Stegblechen mit Steifen ist I sl die Summe der Steifigkeiten. t: [cm] Dicke des Stegblechs mit: k τsl = max 9 h 4 w a I sl 3 t 3 h w [ ],1 t 3 I sl h w [ ] Blechfeld mit einer oder zwei Längssteifen und α = a/h w < 3 k τ = 4,1 + 6,3+0,18 I sl 14.3 Bezugsspannung σ e = 1, t b t 3 hw α +, I sl t 3 h w 3 [KN/cm²] [ ] h w: [cm] Steghöhe. h w = h t f a: [cm] Abstand der starren Quersteifen. I sl: [cm 4 ] Flächenträgheitsmoment einer Längssteife um die z-z-achse (siehe Bild). Bei Stegblechen mit Steifen ist I sl die Summe der Steifigkeiten. t: [cm] Dicke des Stegblechs t: [cm] Blechdicke (Stegdicke bei I-Querschnitt der Klasse 4) b: [cm] Breite des untersuchten Beulfeldes (Steghöhe bei I-Querschnitt der Klasse 4) 14.4 Kritische Schubbeulspannung τ cr = k τ σ e [KN/cm²] Seite 4

25 14.5 Schubbeulschlankheit λ w = 0,76 f yw τ cr [ ] f yw: [KN/cm²] Streckgrenze des Steges 14.6 Anteil Schubtragfähigkeit des Steges Abbildung 9: Beitrag des Steges χ w zur Schubbeanspruchbarkeit [4] η: [ ] 1, für S35 S460 1,0 für > S Beanspruchbarkeit V bw,rd = χ w f yw h w t 3 γ M1 η: [ ] 1, für S35 S460 1,0 für > S460 V bf,rd = 0 (sichere Seite) V b,rd = min V bw,rd + V bf,rd η f yw h w t 3 γ M Nachweis η 3 = V Ed V b,rd 1,0 V Ed: Bemessungswert der einwirkenden Schubkraft aus Querkraft und Torsion. Seite 5

26 14.9 Interaktion zwischen Schub, Biegemoment und Normalkraft Überprüfen ob Interaktion erforderlich ist η 3 = V Ed V b,rd 0,5 Interaktion nicht erforderlich η 3 = V Ed V b,rd > 0,5 Interaktion erforderlich, weiter mit Bemessungswert M f,rd Vorgehen: 1.) Lage der plastischen Nulllinie ermitteln..) Momentenbeanspruchbarkeit über Kraft x Hebelarm ermitteln. (vgl. Beispiele) Bemessungswert Mpl,Rd: Vorgehen: 1.) Lage der plastischen Nulllinie ermitteln..) Momentenbeanspruchbarkeit über Kraft x Hebelarm ermitteln. (vgl. Beispiele) M f,rd: [KNm] Bemessungswert der plastischen Momentenbeanspruchbarkeit des Querschnitts, der nur mit der effektiven Querschnittsfläche der Flansche berechnet wird. M pl,rd: [KNm] Bemessungswert der plastischen Momentenbeanspruchbarkeit des Querschnitts, der mit der effektiven Querschnittsfläche der Flansche und der vollen Querschnittsfläche des Steges berechnet wird Ausnutzungsgrad η 1 η 1 = max M Ed M pl,rd [ ] M f,rd M pl,rd [ ] Nachweis Interaktion M f,rd: [KNm] Bemessungswert der plastischen Momentenbeanspruchbarkeit des Querschnitts, der nur mit der effektiven Querschnittsfläche der Flansche berechnet wird. M pl,rd: [KNm] Bemessungswert der plastischen Momentenbeanspruchbarkeit des Querschnitts, der mit der effektiven Querschnittsfläche der Flansche und der vollen Querschnittsfläche des Steges berechnet wird. η M f,rd M pl,rd η 3-1 1,0 Seite 6

27 15 Schraubenverbindungen 15.1 Hinweise: Eine plastische Berechnung ist nur möglich wenn für alle Schrauben die Bedingung F v,rd F b,rd erfüllt ist. 15. Beanspruchbarkeit auf Abscheren: (EC3) F v,rd siehe Schneider 8.50 Tafel 8.50c alternativ mit Fomel: F v,rd = A α v f u,b γ M F V,Rd: Grenzabscherkraft A: [cm²] Schaftquerschnittsfläche siehe unten Scherfuge im Gewinde Spannungsquerschnittsfläche A s bei Passschrauben muss die Scherfuge im Schaft liegen α v: [ ] Scherfuge im Schaft: α v = 0,6 für Schrauben 4.6, 5.6, 8.8, 10.9 Scherfuge im Gewinde: α v = 0,6 für Schrauben 4.6, 5.6, 8.8 Scherfuge im Gewinde: α v = 0,5 für Schrauben 10.9 f u,b: [KN/cm²] Zugfestigkeit der Schraube (ultimate tensile strenght) γ M : Teilsicherheitsbeiwert = 1,5 Schraubengröße M1 M16 M0 M M4 M7 M30 M36 A (rohe Schraube) 1,13,01 3,14 3,80 4,5 5,73 7,07 10,18 A (Passschraube) 1,33,7 3,46 4,15 4,91 6,16 7,55 10,75 A s 0,843 1,57,45 3,03 3,53 4,59 5,61 8,17 Hinweis: der Spannungsquerschnitt A s für Regelgewinde ist in der DIN 13-8 angegeben Lange Anschlüsse Wenn L j > 15 d Abschertragfähigkeit F v,rd aller Verbindungsmittel muss mit β Lf abgemindert werden! β Lf = 1 - L j- 15 d 00 d [ ] und 0,75 β Lf 1,0 L j: [mm] Abstand zwischen den Achsen des ersten und letzten Verbindungsmittels d: [mm] Durchmesser der Schraube 15.3 Beanspruchbarkeit auf Zug: F t,rd siehe Schneider 8.51 Tafel 8.51a 15.4 Beanspruchbarkeit auf Zug + Abscheren: Hinweis: Bei gleichzeitiger Beanspruchung müssen zunächst die jeweiligen Einzelnachweise geführt werden und dann der folgende Interaktionsnachweis: F t,ed = N x n F v,ed = V S,d n Abbildung 10: Lange Anschlüsse [5] N x: Zugkraft V S,d: Abscherkraft n : Anzahl der Schrauben (nach DIN 18800max. 8 Schrauben anrechenbar!!) Nachweis: F v,ed F t,ed + 1,0 F v,rd 1,4 F t,rd Seite 7

28 15.5 Beanspruchbarkeit auf Lochleibung Ermittlung der Beiwerte: Lochabstand maßgebend (Innenschraube): p α b = min 1-0,5 k 1 = min 3 d 0 1,4 p d 0-1,7 f ub f u,5 1,0 Randabstand maßgebend (Randschraube): e α b = min 1 k 3 d 1 = min 0,8 e d 0-1,7 f ub f u 1,4 p d 0-1,7 1,0,5 Hinweise: Die Beiwerte müssen jeweils für die Innenschraube und die Randschraube ermittelt werden. Maßgebend ist am Ende die kleinere Grenzlochleibungskraft. Wenn quer zur Kraftrichtung nur eine Schraubenreihe vorhanden ist, dann können direkt die Beiwerte für die Randschraube ermittelt werden. Bei Anschlüssen in denen die Schrauben in x- und in z-richtung beansprucht werden, kann der Nachweis der Lochleibungstragfähigkeit getrennt für die Kraftkomponenten parallel und senkrecht zum Rand nachgewiesen werden. Die Kraftrichtung wird also einmal horizontal und einmal vertikal angenommen. Bei der Ermittlung der Beiwerte berücksichtigt der untere Wert die Abstände für die maximale Beanspruchbarkeit. Bei Beanspruchung in nur einer Richtung und mit ausreichend großen Abständen in Querrichtung beträgt k 1 =, Grenzlochleibungskraft einer Schraube: F b,rd = k 1 α b t d f u γ M [kn] Abbildung 11: Definition Randschraube/Innenschraube p 1: [mm] Lochabstand in Kraftrichtung, siehe oben p : [mm] Lochabstand quer zur Kraftrichtung, siehe oben e 1: [mm] Randabstand in Kraftrichtung e : [mm] Randabstand quer zur Kraftrichtung d 0: [mm] Lochdurchmesser = d + d f ub: [KN/cm²] charakteristische Zugfestigkeit von Schrauben, 4.6: f ub = : f ub = : f ub = : f ub = 100 f u: [KN/cm²] charakteristische Zugfestigkeit, S35: f u = 36, S355: f u = 49 k 1: [ ] Beiwert zur Lochleibungskraft quer zur Kraftrichtung α b: [ ] Beiwert zur Lochleibungskraft in Kraftrichtung t: [cm] minimale Dicke des Bleches d: [cm] Schaftdurchmesser f u: [kn/cm²] charakteristische Zugfestigkeit S35: f u = 36 kn/cm² S355: f u = 49 kn/cm² γ M: [ ] = 1,5 Seite 8

29 15.6 Konstruktive Gestaltung - Nach DIN EN Nennlochspiel s. DIN EN 1090-; Tabelle 11 Schraubengröße M1 M16 M0 M M4 M7 M30 M36 d [mm] Das Nennlochspiel von Passschrauben beträgt: d 0,3mm Bei Türmen und Masten ist das Nennlochspiel um 0,5mm zu reduzieren Rand- und Lochabstände: Minimum Abstand für maximale Beanspruchbarkeit Größtmöglicher Abstand e 1 (Randabstand in Kraftrichtung) 1, d 0 (,1 d 0 ) 3,0 d 0 4 t + 40mm e (Randabstand quer zur Kraftrichtung) 1, d 0 (1,5 d 0 ) 1,5 d 0 4 t + 40mm p 1 (Lochabstand in Kraftrichtung), d 0 (,85 d 0 ) 3,75 d 0 min {14 t ; 00mm} p (Lochabstand quer zur Kraftrichtung) d 0: [mm] Lochdurchmesser = d + d d: [mm] siehe oben t: [mm] Dicke des dünnsten außen liegenden Bleches,4 d 0 (3,0 d 0 ) 3,0 d 0 min {14 t ; 00mm} Abbildung 1: Defintition der Abstände Hinweis: Die Verwendung der eingeklammerten Mindestwerte ergibt Beiwerte k1 =,5 und αb = 0,7 Seite 9