Numerische Integration

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1 Numerische Integration Nikola Isenhardt Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 00/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: Mein Referat beschäftigt sich mit dem Thema der numerischen Integration. Wie der Name schon andeutet, ist dies ein Teilgebiet der numerischen Mathematik und bedeutet wörtlich übersetzt: Zahlenmäÿige Wiederherstellung eines Ganzen. Die Aufgabe der numerischen Integration ist es unter anderem, Integrale zu berechnen, welche mit den traditionellen Verfahren nicht berechnet werden können. Wir werden die vier grundlegenden Methoden kennenlernen, auf denen später komplexere Verfahren der numerischen Integration aufbauen: Die Rechteckmethode, die Trapezregel, die Tangentenregel und die Simpson-Regel. Nach Anwendung in einem Beispiel werden wir die Fehler unserer Berechnungsformen auch mathematisch abschätzen und durch die Vorstellung von ein paar ergänzenden Formeln zur Newton-Cotes-Formel gelangen, die die Struktur der Regeln aufgreift und in einer allgemeinen Form darstellt. Ein kleinerer Ausblick soll anschlieÿend die Gröÿe des Gebiets zeigen, welches mein Vortrag behandelt. Im Zeitalter der Computer und des Internets bekommen die hier vorgestellten Verfahren natürlich eine ganz andere Bedeutung. Wenn also vielleicht nach dem Lesen dieses Aufsatzes der Eindruck entsteht, dass die numerischen Methoden zur Berechnung eines Integrals sehr arbeitsaufwändig sind, ist es wichtig, sich vor Augen zu halten, dass es heutzutage durch Computer sehr viel einfacher ist, auf die Art und Weise, die hier beschrieben wird, Berechnungen durchzuführen. Gerade deshalb ist dieses Thema sehr aktuell. Abbildung 0.: Integral

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung Quadraturformeln. Rechteckregel Trapezregel Tangentenregel Simpson-Regel Beispiel Fehlerabschätzung. Rechtecksregel Trapezregel Simpson-Regel Weitere Quadraturformeln 0 4. Newtonsche -tel-regel Milne-Regel Weddle-Regel Newton-Cotes-Formel 0 6 Ausblick 6. Gauÿformeln Rombergintegration Resümee Anhang Abbildungsverzeichnis 0. Integral Rechteckverfahren Trapezverfahren Simpson-Regel Tabellenverzeichnis Stützwerte und -punkte der Kurve f(x) = im Intervall [, ] x Zwischenwerte und -punkte des Intervalls [, ] der Kurve f(x) =.. 7 x Auistung der Newton-Cotes-Formeln für n=0,...,

3 Einleitung Oftmals stehen wir vor dem Problem, dass wir ein bestimmtes Integral b f(x)dx nicht a mit dem Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung auswerten können, da uns die Stammfunktion fehlt oder die betrachtete Kurve aus Messungen entstanden ist und wir somit keine explizite Funktion f(x) gegeben haben. Wir suchen also Verfahren zur Annäherung des Integrals, welche uns einen möglichst kleinen Fehler liefern. Quadraturformeln Diese Berechnungsformeln nennt man Quadraturformeln und werden im Folgenden vorgestellt. Hierbei geht man so vor: Zunächst teilen wir unseren Flächeninhalt in n Streifen der Länge h = b a. Die jeweiligen Werte dazu auf der x-achse nennen n wir Stützstellen x 0 = a, x = a + h,..., x n = b, die dazugehörigen Punkte auf der Funktion Stützpunkte f 0, f,..., f n. Es bleibt nun also, die Flächeninhalte der Streifen J ν = +h f(x)dx zu berechnen und diese aufzusummieren. So gelangen wir an unseren angenäherten Integralwert J.. Rechteckregel Die naheliegendste Methode, einen solchen Streifen anzunähern, ist das Rechteck mit Flächeninhalt hf ν zu betrachten. Diese Methode stammt unmittelbar von der Integraldenition (Obersumme und Untersumme). Es ist klar, dass bei einer steigenden Funktion der angenäherte Flächeninhalt kleiner als das Integral und bei einer fallenden Funktion gröÿer als das Integral ist. Abbildung.: Rechteckverfahren Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist oensichtlich: J ν f ν h Und alle n Rechtecke aufsummiert ergeben: J h(f 0 + f f n )

4 . Trapezregel Eine etwas genauere Methode, den Streifenächeninhalt anzunähern, ist die Trapezregel. Man verbindet hierbei den ersten mit dem zweiten Stützpunkt unseres Streifen- Intervalls. Auch hier ist zu beachten, dass bei einer konvexen Kurve der berechnete Wert über dem Integralwert und bei einer konkaven Kurve unter dem Integralwert liegen wird. Abbildung.: Trapezverfahren Der Flächeninhalt eines Trapezes ist ebenfalls leicht zu berechnen. (Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes: h(a + b), wobei a und b die Seitenlängen der parallelen Seiten sind): J ν h(f ν + f ν+ ) Wir summieren nun erneut alle n angenäherten Streifen auf und erhalten: J h(f + f f n ) + h (f 0 + f n ) (da bis auf f 0 und f n alle Werte zweimal vorkommen). Tangentenregel Noch exakter wird unsere Annäherung, wenn wir das Trapez nicht mit einer Geraden zwischen unseren Stützpunkten bilden, sondern die Tangente, die den Punkt durchläuft, der zum Stützwert + h gehört, als vierte Seite nehmen. Hier ist der Flächeninhalt bei konvexer Kurve zu klein und bei konkaver Kurve zu groÿ. Die Berechnung der Teilintegrale ist wieder sehr einfach: Und Aufsummieren liefert: J ν hf ν+ J h(f + f f n )

5 .4 Simpson-Regel Die nächste Idee, um den Fehler unserer Berechnung noch mehr zu verringern, ist mit einer Parabel, also einer Funktion zweiten Grades, unsere Funktion und danach durch Integration auch unseren Flächeninhalt anzunähern. Wie wir im Vortrag über Interpolation erfahren haben, hat Newton eine Formel zur Approximation einer Funktion mit drei Stützstellen, die sogenannte Interpolationsformel, erfunden. Der Astronom Johannes Kepler hat diese Formel nun verwendet, um ein Verfahren zur Berechnung eines Doppelstreifens herauszunden, die wiederrum Simpson dann zu einer Regel umfunktionierte, um einen beliebigen Flächeninhalt, solange er in eine gerade Anzahl von Streifen unterteilt war, zu berechnen. Hierbei ist nun n = m. Abbildung.: Simpson-Regel Die Newtonsche Interpolationsformel N(x) = y 0 + n k= k y 0 k!h k (x x 0)(x x )... (x x n ) mit den Stützstellen, + = + h und + = + h eingesetzt, ergibt: y = f ν }{{} T eil + (x ) f ν+ f ν h } {{ } T eil Und sieht integriert folgendermaÿen aus: +h ydx = hf }{{} ν + h(f ν+ f ν ) }{{} T eil + (x )(x h) f ν+ f ν+ + f ν } {{ h } T eil + T eil h h (f ν+ f ν+ + f ν ) } {{} T eil 5

6 = h(f ν + f ν+ f ν + 6 f ν+ f ν+ + 6 f ν) = h( 6 f ν + f ν+ + 6 f ν+) = 6 h(f ν + 4f ν+ + f ν+ ) = h (f ν + 4f ν+ + f ν+ ) = h (f ν + 4f ν+ + f ν+ ) (Die Integration der drei obigen Terme bendet sich als Nebenrechnung im Anhang.) Der berechnete Flächeninhalt ist also: J ν h (f ν + 4f ν+ + f ν+ ) Da wir nun wieder n = m dieser Intervallächeninhalte aufsummieren, müssen wir beachten, dass jeweils wieder der erste und letzte Stützpunkt nur einmal benötigt wird, die jeweils ungeraden Werte viermal und die restlichen zweimal. Die Simpson-Formel lautet folglich: J 4 h(f + f f m ) + h(f + f f m ) + h(f 0 + f m ) Nun wollen wir anhand eines Beispiels prüfen, welche Regel den kleinsten Fehler erzeugt:.5 Beispiel Wir wollen mit einem numerische Verfahren das Integral dx berechnen. Dafür teilen x wir das Integral in zehn gleichgroÿe Streifen der Länge h = und berechnen unseren Flächeninhalt mit der Trapez- und Tangentenformel, sowie anschlieÿend mit der 0 Simpson-Formel. Hierbei sind die Stützwerte und Stützpunkte gegeben durch: 6

7 x 0 =, 0 f 0 = x =, f = 0, x =, f = 0, x =, f = 0, 769 x 4 =, 4 f 4 = 0, 749 x 5 =, 5 f 5 = 0, x 6 =, 6 f 6 = 0, 65 x 7 =, 7 f 7 = 0, 54 x =, f = 0, x 9 =, 9 f 9 = 0, 56 x 0 =, 0 f 0 = 0, 5 Tabelle : Stützwerte und -punkte der Kurve f(x) = x im Intervall [, ] Die Trapezformel ergibt: dx 0, x Für die Tangentenregel benötigen auÿerdem wir die Stützwerte: x 0 + h =, 05 f = 0, 95 x + h =, 5 f = 0, 6957 x + h =, 5 f 5 = 0, x + h =, 5 f 7 = 0, x 4 + h =, 45 f 9 = 0, 6966 x 5 + h =, 55 f = 0, 6456 x 6 + h =, 65 f = 0, x 7 + h =, 75 f 5 = 0, 574 x + h =, 5 f 7 = 0, x 9 + h =, 95 f 9 = 0, 5 Tabelle : Zwischenwerte und -punkte des Intervalls [, ] der Kurve f(x) = x Eingesetzt in die Formel ergeben sie dies: dx 0, 694. x Die Simpson-Regel erzielt bei Verwendung der gleichen Anzahl von Stützstellen das genaueste Resultat mit: Tatsächlich ist dx 0, 695. x dx = log 0, 6947, der Fehler der Simpson-Regel ist also schon x bei Verwendung von 0 Stützwerten mit 0, deutlich geringer als die Fehler von Trapez- und Tangentenverfahren: 0, 0006 und 0,

8 Fehlerabschätzung Nun wollen wir den Fehler mathematisch bestimmen.. Rechtecksregel Der Fehler oder Rest eines Integralstreifens ist oensichtlich: R(h) = h 0 f(x)dx hf(0) Wenn man nun die Funktionen in ihrem Verlauf kennt, ist es recht einfach, den Fehler abzuschätzen. Sei also nun unsere Funktion f stetig dierenzierbar: R (h) = f(h) f(0) R (h) = f (h) Nun können wir eine obere Schranke M nden, die immer gröÿer als unser f (h) ist. Zum Beispiel M = sup f (t) mit t [0, h]. R (h) M R (h) M h R(h) M h Folglich ist eine Fehlerabschätzung bei der Rechteckregel: R(h) M h Der Fehler ist demnach noch ziemlich groÿ, da h eine zwei im Exponenten hat und somit nur verhältnismäÿig langsam kleiner werden kann.. Trapezregel Auch bei der Fehlerabschätzung der Trapezregel gehen wir ähnlich vor. Die Formel lautet: h 0 f(x)dx (f(0) + f(h))h Wir gehen diesmal davon aus, dass f zweimal stetig dierenzierbar ist, das heiÿt der Fehler ist: R(h) = h 0 f(x)dx (f(0) + f(h))h R (h) = f(h) f(0) ( (f (h)h + f(h)) = f(h) (f(0) + f(h)) h f (h) = f(h) f(0) h f (h) R (h) = f (h) (f (h) + hf (h)) = f (h) f (h) h f (h)) = h f (h)

9 Auch hier nden wir eine obere Schranke M, sodass diese immer gröÿer als unser f (h) ist. Sei also zum Beispiel M = sup f (t) mit t [0, h]. f (h) M R (h) = h f (h) hm R (h) 4 h M R(h) h M Die Fehlerabschätzung bei der Trapezregel lautet folglich: R(h) h M.. Simpson-Regel Als letztes betrachten wir den Fehler, der bei Anwendung der Simpson-Regel entsteht. Hier soll unsere Funktion f dreimal stetig dierenzierbar sein. Es gilt: R(h) = n n f(x)dx h (f( h) + 4f(0) + f(h)) R (h) = f(h) + f( h) (f( h) + h( f ( h)) 4f(0) (f(h) + hf (h)) = f(h) + f( h) f( h) + hf ( h) 4f(0) f(h) hf (h) = f(h) + f( h) h ( f ( h) + f (h)) 4 f(0) R (h) = f (h) f ( h) ( f ( h) + hf ( h)) (f (h) + hf (h)) = f (h) f ( h) h (f ( h) + f (h)) R (h) = f ( h) + f (h) (f ( h) hf ( h)) (f (h) + hf (h)) = f ( h) f ( h) h ( f ( h) + f (h)) = h ( f ( h) + f (h)) Sei hier nun analog M = sup f (t) mit t [ h, h] unsere obere Schranke. R (h) hm R (h) h M R (h) 9 h M R(h) 6 h4 M Die Abschätzung unseres Fehlers bei der Simpson-Regel ist demnach: R(h) 6 h4 M. Wenn man nun diese für ein Teilintervall abgeschätzten Fehler aufsummiert, gelangen wir an den gesuchten Fehler für unser Integral. Auÿerdem schreiben wir nun wieder für h = (b a) : n Fehler Rechteckregel : M h n = b am n Fehler Trapezregel : M h n = (b a) n M Fehler Tangentenregel : 4 M h n = (b a) 4n M Fehler Simpson-Regel : 6 M h 4 n = (b a)4 6n M Diese Übersicht der Fehlerabschätzungen zeigt uns, dass alle Fehler, sobald n 9

10 geht, im Unendlichen verschwinden. Jedoch wird auch klar, dass der Fehler der Simpson- Regel viel schneller klein wird, als beispielsweise der Fehler der Rechteckregel. Bei der Rechteckregel muss man, um den Fehler um eine Dezimalstelle zu verringern, n verzehnfachen. Bei der Simpson-Regel hingegen nimmt der Fehler proportional zu n ab, was zeigt, dass diese deutlich exakter ist. 4 Weitere Quadraturformeln Es gibt natürlich auÿer diesen vier vorgestellten Verfahren weitere Formeln, mit denen man den Flächeninhalt unseres Integrals annähern kann. 4. Newtonsche -tel-regel Newton zum Beispiel beschrieb eine Methode zur Berechnung von drei Integralstreifen. Da die Simpson-Regel ja nur im Fall n = m verwendet werden kann, ist diese sehr nützlich. 4. Milne-Regel 0 hf(x)dx h (f(0) + f(h) + f(h) + f(h)) Zur Berechnung von vier solcher Streifen hat Milne diese Formel aufgestellt: h 0 f(x)dx h Weddle-Regel ( 7f(0) + f ( ) h + f 4 ( ) h + f ( ) ) h + f(h) 4 Und im Fall n = 6, also sechs unserer Teilintervalle, gibt es folgende Formel: h f(x)dx h (f(0) + 6f ( ) ( h f h ) +7f ( ) ( h + 7f h ) ( + 6f 5h ) 6 + 4f(h)) 0 Wenn man die Formeln nebeneinander betrachtet, lässt sich eine gewisse Regelmäÿigkeit feststellen. Geht man nun davon aus, dass die Berechnung des Integrals unter der Verwendung von mehr Stützstellen die Verbesserung unseres Fehlers bringt, (wie bei der Simpson-Regel herausgefunden), so gelangt man zu der Newton-Cotes-Formel: 5 Newton-Cotes-Formel b a f(x)dx n j=0 g (n) j f(a + jh) Wir sehen, dass für n = 0,..., 6 diese Formel unter Verwendung bestimmter Koezienten gerade unsere Verfahren darstellt. 0

11 n Name Koezienten g j Fehlerabschätzung 0 Rechteckregel M h Trapezregel Simpson-Regel Newtonsche -tel-regel 4 Milne-Regel Weddle-Regel 4 40 M h 4 9 M 4 90 h M 4 0 h M h M h M h9 Tabelle : Auistung der Newton-Cotes-Formeln für n=0,...,6 Nun könnte man vermuten, dass der Fehler für immer gröÿer werdende n letztendlich verschwindet, jedoch treten dann negative Gewichte auf, und unsere Approximation mit der Newton-Cotes-Formel wird numerisch unbrauchbar, da durch die negativen Gewichte die Gefahr der Auslöschung von Gleitkommastellen besteht und die Verfahren damit instabil werden. 6 Ausblick Jetzt soll ein kleiner Ausblick auf weitere numerische Berechnungsverfahren gegeben werden, durch zwei hier kurz vorgestellte Methoden: 6. Gauÿformeln Bisher haben wir stets mit n Teilintegralen Polynome integriert, deren Grad höchstens n war. Mit den Gauÿformeln ist es möglich unter Verwendung von n + Stüztstellen Polynome bis zum Grad n + zu integrieren. b a f(x)w(x)dx n w j f(x j ) j=0 Hierbei ist w(x) die sogenannte Gewichtsfunktion, die im Intervall von a bis b stets positiv ist. Diese Formeln sind eine weitere Verbesserung bezogen auf den Wunsch, das optimale Verhältnis zwischen Aufwand und Fehler bei der numerischen Berechnung eines Integrals zu bekommen.

12 6. Rombergintegration Ein noch genaueres Verfahren, das ich auühren möchte, ist die Rombergintegration. Dabei macht man Folgendes: Man geht von der Trapezregel aus und berechnet das Trapez mit zwei Stützpunkten. Dann halbiert man h und hat zwei Trapeze, die man berechnet. Natürlich ist der Wert nun schon genauer. Anschlieÿend halbiert man h erneut. Durch Iteration dieses Verfahrens gelangt man an eine Folge von Werten, die graphisch gesehen eine Kurve darstellen. Man kann diese Werte nicht bis zuletzt ausrechnen, da irgendwann h zu klein wird. Wir können jedoch die Kurve weiter verfolgen und ohne explizite Berechnung der vorigen Werte an den gesuchten Wert gelangen. Dies nennt man Extrapolation. Eine genauere Darstellung des Rombergverfahrens und der Extrapolation würde den Rahmen dieses Aufsatzes jedoch sprengen. 7 Resümee Die Problematik, in welcher Form man an die numerische Berechnung von Integralen herangeht, beschäftigt Mathematiker immer wieder. Ob man in die Qualität oder die Quantität der Verfahren investieren soll, ist umstritten und es werden stets Ansätze für beide Schwerpunkte gesucht. Fest steht jedoch, die in diesem Aufsatz vorgestellten Methoden sind die Grundlegenden. Und wir kommen, genau wie wir nicht auf die numerische Integration verzichten können, nicht um die Verwendung dieser Verfahren herum, da es jede Menge von Funktionen gibt, deren Stammfunktion uns schlichtweg unbekannt sind. Abschlieÿend möchte ich noch anmerken, dass es für mich persönlich sehr aufschlussreich war, zu sehen, dass, so komplex auch die Arbeitsweise unserer Computer sein mag, doch hinter all dem vielen und schnellen Rechnen ein solides und verständliches Vorgehen steckt, welches man ohne Probleme (wie wir an unserem Beispiel gesehen haben) bis zu einem gewissen Punkt auch von Hand ausführen könnte. Literatur Courant, R.: Vorlesungen über Dierential- und Integralrechnung. Springer Verlag. (S.0-0) Kaballo, W.: Einführung in die Analysis, Bd.. Spektrum Akademischer Verlag. (S.45-5) (Stand: 05..0) (Stand: 05..0) Duden, Die deutsche Rechtschreibung. Bibliographisches Institut F. A. Brockhaus AG

13 Abbildungen: Abbildung 0.: Abbildung.: Abbildung.: Abbildung.: Tabellen: Anhang Tabelle : Courant, R.: Vorlesungen über Dierential- und Integralrechnung. Springer Verlag. (S. 05) Tabelle : Courant, R.: Vorlesungen über Dierential- und Integralrechnung. Springer Verlag. (S. 06) Tabelle : (S. 0) Integration des Terms y = f ν }{{} T eil + (x ) f ν+ f ν h } {{ } T eil + (x )(x h) f ν+ f ν+ + f ν } {{ h } T eil Teil : Teil : xν+ xν+ f ν dx = [f ν x] xν+h = f ν + f ν h f ν = f ν h (x ) f ν+ f ν dx = f ν+ f xν+ ν (x ) h h Betrachte nur den hinteren Teil: = xν+ (x ) [ ( ] xν+h x x) = (( ( + h) ( + h))) ( x ν) = ( + h + h x ν h ) ( ) = ( + h + ) = h

14 Teil : f ν+ f xν+ ν (x ) = h(f ν+ f ν ) h xν+h (x )(x h) = f ν+ f ν+ + f ν h Betrachte erneut nur den hinteren Teil: xν+h xν+h f ν+ f ν+ + f ν dx h (x )(x h)dx (x )(x h)dx = = xν+h (x x + x ν hx + h)dx [ x x + x νx x h + hx ] xν+h = ( + h) ( + h) + x ν( + h) ( + h) h + h( + h) x ν x ν + x ν h + x νh = ( + h)(x ν + 4 h + 4h ) (x ν + 4h + 4h ) + x ν + hx ν h( + 4 h + 4h ) +x νh + h ( x ν + h) = (x ν + hx ν + 4x νh + h + 4 h + h ) (x ν + 4hx ν + 4h ) + x ν + hx ν h h h + x νh + h x ν h = (x ν + 6hx ν + h + h ) hx ν 4h h x ν = h h f ν+ f ν+ + f ν h xν+h (x )(x h)dx = f ν+ f ν+ + f ν ( h h h ) = h (f ν+ f ν+ + f ν ) 4

15 Integriert sieht er also folgendermaÿen aus: +h + T eil ydx = hf }{{} ν + h(f ν+ f ν ) }{{} T eil h h (f ν+ f ν+ + f ν ) } {{} T eil 5