Die Bernoulli-Polynome

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1 Die Bernoulli-Polynome Lena Gerig Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 28/9, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob Bernoulli

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Die Familie Bernoulli Jakob I. Bernoulli Andere wichtige Vertreter der Familie Bernoulli Johann I. Bernoulli Daniel Bernoulli Denition 5 4 Bezüge und Anwendungen Bezug zur Riemannschen ζ-funktion Anwendung in der Eulerschen Summenformel Resümee 1 Abbildungsverzeichnis 2.1 Jakob Bernoulli Johann Bernoulli Daniel Bernoulli Skizze einer Kurve f(x) zum Vergleich Integral - Summe

3 1 Einleitung Die Bernoulli-Polynome sind ein wirklich interessantes und sehr groÿes Thema der Mathematik. Zunächst lässt der Name Bernoulli-Polynome vermuten, dass es sich um ein begrenztes und eher unbedeutendes Gebiet der Mathematik handelt; je mehr ich jedoch in die Materie einstieg, umso mehr stellte ich fest, dass sie weite Teile der Mathematik beeinussen und Anwendung darin nden. So zum Beispiel in der Zahlentheorie, in der niten Dierenzialrechnung, der Kombinatorik und anderen Gebieten. Zu dem Themengebiet Bernoulli-Polynome gehören gleichzeitig auch die Bernoulli-Zahlen, da die beiden sehr eng zusammenhängen. Häug werden die Bernoulli-Polynome über die Zahlen deniert, manchmal aber auch andersherum. Ich habe mich entschieden, mit den Polynomen einzusteigen, weil dies meiner Meinung nach der schönere und verständlichere Weg ist. 2 Die Familie Bernoulli Die Familie Bernoulli war eine sehr wichtige Mathematiker- und Physikerfamilie mit zahlreichen berühmten Vertretern. Zu den für die Mathematik wichtigsten und interessantesten gehören vor allem Johann I., Jakob I. und Daniel I. Bernoulli. Die Brüder Johann und Jakob lebten unter anderem zur gleichen Zeit wie Gottfried Wilhelm Leibniz, Sir Isaac Newton und Guillaume François Antoine de l Hospital. Ursprünglich lebten die Bernoullis in den Niederlanden, aufgrund von Verfolgung siedelten sie aber über Deutschland in die Schweiz und blieben dann letztendlich in Basel. 2.1 Jakob I. Bernoulli Abbildung 2.1: Jakob Bernoulli Jakob I. Bernoulli lebte von Er war einer der bedeutendsten Mathematiker des 17.Jahrhunderts. Zunächst studierte er Philosophie und Theologie, da sein Vater verhindern wollte, dass er in die Mathematik geht. Nach und nach widmete er sich immer mehr seiner wahren Liebe, der Mathematik und Astronomie, und brachte sich seine mathematischen Kenntnisse groÿteils selbst bei. Im Jahre 1687 wurde er zum Professor für Mathematik an der Universität Basel ernannt. Jakob Bernoulli befasste sich hauptsächlich mit der Dierenzial- und Integralrechnung, sowie der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Er formulierte das Gesetz der groÿen Zahlen, welches grundlegend 3

4 in der Stochastik und Statistik verwendet wird. Des Weiteren trug er wesentlich zur Verbreitung und Entwicklung der Innitesimalrechnung bei. Eines der wohl bekanntesten seiner Resultate ist die Bernoullische Ungleichung, welche allen Mathematik-, Physik- und Informatikstudenten bekannt sein müsste. Es handelt sich hierbei um eine einfache aber sehr wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt: für x R, x 1 und n N gilt: (1 + x) n 1 + nx. Jakob Bernoullis Arbeiten über die Bernoulli-Polynome und -Zahlen erschienen zum ersten Mal 1713 in seinem wohl bedeutendsten Werk Ars Conjectandi, welches von der Wahrscheinlichkeitsrechnung handelt. Jakob Bernoulli befand sich sein Leben lang in einer Art Wettstreit mit seinem Bruder Johann. Damals war es unter Mathematikern üblich, sich gegenseitig Aufgaben in Zeitschriften zu stellen. So löste Jakob ein Problem, das Johann ein Jahr zuvor gestellt hatte und stellte im Gegenzug ein neues Problem in eine Zeitschrift. Johann lieÿ sich davon provozieren und gab bereits nach drei Tagen eine Lösung dafür ab, welche aber falsch war. Als Jakob daraufhin sagte, er wäre auch nie davon ausgegangen, dass sein Bruder dies lösen könne, kam es zum Höhepunkt des Streites. 2.2 Andere wichtige Vertreter der Familie Bernoulli Johann I. Bernoulli Abbildung 2.2: Johann Bernoulli Johann I. Bernoulli ( ) war der jüngere Bruder von Jakob erhielt er seine Professur an der Universität Groningen. Auch Johann beschäftigte sich ausführlich mit der Innitesimalrechnung, wo vor allem Reihen, Dierenzialgleichungen und Kurven aus Sicht von geometrischen und mechanischen Fragestellungen zu seinen Spezialgebieten gehörten. Insbesondere interessierte er sich für die Arbeiten und Theorien von Leibniz und Newton. Von Johann stammt insbesondere der Begri Integral. 4

5 Abbildung 2.3: Daniel Bernoulli Daniel Bernoulli Daniel Bernoulli ( ) war der Sohn von Johann und damit ein Nee von Jakob Bernoulli. Er wuchs bereits im Umfeld von vielen groÿen Mathematikern auf und daher ist es nicht verwunderlich, dass auch er eine groÿe Leidenschaft für dieses Fachgebiet in sich entdeckte. Er studierte Philosophie, Logik, Medizin und Mathematik (unter anderem in Heidelberg) und erhielt Professuren in den Bereichen Anatomie, Botanik und Physik. Sein wichtigstes Werk war die Hydrodynamik, welches einen Meilenstein in der Theorie des Flieÿverhaltens von Flüssigkeiten darstellt. 3 Denition Jakob Bernoulli konstruierte die Polynome, die ich hier im Folgenden behandeln möchte, ähnlich wie die Polynome (x ξ)n P n (x) = n! in der Taylorreihe. Hier ist mit x die Stützstelle und mit ξ der zugehörige Parameter festgelegt, des weiteren gilt n 1. Wir stellen fest, dass für diese Polynome gilt P n+1 = P n und P n (ξ) =. Wir könnten die Taylorpolynome P n auch über diese Eigenschaft eindeutig denieren, wenn wir ein Anfangselement P festgelegt haben. Um auf die Folge der Bernoulli-Polynome zu kommen, betrachtet man nun ausschlieÿlich das Intervall [, 1]. Die Folge der Bernoulli-Polynome ϕ n (x) wird nun deniert durch die rekursiven Relationen ϕ n(x) = ϕ n 1 (x), ϕ (x) = 1, 1 ϕ n dx = für n > Der Unterschied zwischen ϕ n und P n besteht im Verschwinden des Mittelwertes statt des Verschwindens an der oberen Intervallgrenze. 5

6 Durch die rekursiven Relationen ergeben sich die ersten Bernoulli-Polynome durch einfache Berechnung: ϕ (x) = 1 ϕ 1 (x) = x 1 2 ϕ 2 (x) = 1 2 x2 1 2 x ϕ 3 (x) = 1 6 x3 1 4 x x ϕ 4 (x) = 1 24 x x x Die Polynome ϕ n (x) können für alle x als stetige periodische Funktionen ψ n (x) fortgesetzt werden, da ϕ n (1) ϕ n () = 1 ϕ n(t)dt = für n > 1. Für n = 1 erhält man allerdings die Funktion ψ 1 (x), welche als Fouriersche Reihe dargestellt werden kann (die Fourierschen Reihen wurden bekanntlicherweise in einem anderen Vortag dieses Proseminars ausführlich behandelt). Die Darstellung sieht dann wie folgt aus: ψ 1 (x) = 1 2πx sin 4πx sin 6πx (sin ) π Hierbei handelt es sich (im Gegensatz zu den Funktionen, die man für n > 1 erhält) um eine unstetige Funktion. Durch schrittweise Integration erhält man: für gerade n: für ungerade n: ψ n (t) = ( 1) n (2π) n ψ n (t) = ( 1) n (2π) n cos 2πkt k n sin 2πkt k n Nun wählt man t = und deniert die Zahlen b n := ψ n () 6

7 Daraus ergibt sich unmittelbar: b n = für ungerades n = 3, 5,... b n = ( 1) n (2π) n für gerades n = 2, 4,... k n Jakob Bernoulli wandelte diese eben erhaltenen Zahlen noch um und legte die Darstellung B m = ( 1) m 1 (2m)!b 2m fest. Diese neu eingeführten Zahlen nennen wir Bernoulli-Zahlen. Man erhält für die ersten Bernoullischen Zahlen: B 1 = 1 6, B 2 = 1 3, B 3 = 1 42, B 4 = 1 3, B 5 = 5 66, B 6 = , B 7 = 7 6,... Hierzu gibt es zu sagen, dass die Bernoullischen Zahlen auf sehr unterschiedliche Weisen deniert sind. Diese hier aufgeführte ist nur eine unter vielen, die sich aber bei Verwendung dieser Einführung über die oben genannten Bernoullischen Polynome anbietet. 4 Bezüge und Anwendungen 4.1 Bezug zur Riemannschen ζ-funktion Zur Erinnerung: Die Riemannsche ζ-funktion lautet: 1 ζ(s) := (s > 1) n s Sie kann um jeden Punkt s > 1 in eine Potenzreihe entwickelt werden und konvergiert für s > 1 absolut, dies ist z.b. in Harro Heusers Lehrbuch der Analysis, S. 559f oder Richard Courants Vorlesungen über Dierential- und Integralrechnung, S. 368f ausführlicher erläutert. Nun setzt man in b n = ( 1) n (2π) n 2n anstelle von n ein, man verwendet also nur gerade natürliche Zahlen. Für ungerade n gibt es bis heute keine Lösung des Problems. Diese neu erhaltene Formel stellt man nun um und erhält folgende Form: 1 k = 2n ( 1)n 1 (2π) 2n 1 2 b 2n Dies ist eine explizite Darstellung der ζ-funktion für gerade s = 2n. Aufbauend auf diese Funktion erhält man einige sehr bemerkenswerte Formeln. 1 k n 7

8 für n = 1 : für n = 2: 1 k = π k 4 = π Anwendung in der Eulerschen Summenformel Zunächst ein kurzer historischer Abriss: Leonhard Euler war ein Schüler von Johann Bernoulli, und gleichzeitig ein guter Freund von dessen Sohn Daniel. Auÿerdem wurde er schon in jungen Jahren regelmäÿig von Jakob Bernoulli zu ihm nach Hause eingeladen und hatte dort die Erlaubnis, sich alle Bücher und ähnliches anzuschauen, die er möchte. Daraus lässt sich schlieÿen, dass Jakob wohl schon sehr früh bemerkt hatte, dass Leonhard Euler groÿe mathematische Fähigkeiten und Begabungen hat und deshalb auch sein Interesse fördern wollte. Die Ableitung der Eulerschen Summenformel zur Integration steht in einem engen Zusammenhang mit der der Taylorschen Formel. Daher möchte ich im Folgenden einige Abschnitte miteinander vergleichen. Bei der Taylorschen Formel wurde das Intervall [x, ξ] betrachtet und die Polynome (x ξ) n verwendet, wobei x die Stützstelle und ξ der Parameter ist. n! Statt dessen nimmt man für die Eulersche Integrationsformel das Intervall [, 1] und die periodischen Fortsetzungen der Bernoulli-Polynome ψ n (x). Als Ausgangslage nimmt man nun (anstatt f(1) f() = 1 f (t)dt): 1 f(t)dt = 1 f(t)d(t ) = f(t)ψ (t)dt Dies wählt man so, um später eine gröÿere Symmetrie bei den Werten die wir ableiten zu erreichen. Dies soll nun integriert werden, um die Abweichung zwischen dem Integral einer Kurve und einer Summe, zu erhalten. Dies wird mit Hilfe der untenstehenden Skizze vielleicht ein wenig deutlicher. Ziel der Eulerschen Summenformel ist es, den Wert eines Integrals mittels Summation über die Stützstellen f(k) =: f k (mit k N, k [a, b]) zu appoximieren. Hierfür verwendet man nun die Produktintegration und erhält zunächst für das Intervall [, 1] die Form (f + f 1 ) = f(t)dt + f (t)ψ 1 (t)dt (durch die Verwendung der Periodizität von ψ n (x) und da ψ 1 () = 1 und ψ 2 1(1) = 1) 2 Diesen hier erhaltenen Ausdruck kann man nun erweitern auf ein ganzzahliges Intervall [a, b] und erhält dafür f a + f a f b 1 = b f(x)dx 1 2 (f b f a ) + b a a f (x)ψ 1 (x)dx ( ) 8

9 Dies könnte an folgender Skizze etwas klarer werden: Abbildung 4.1: Skizze einer Kurve f(x) zum Vergleich Integral - Summe Der Flächeninhalt unter der Kurve f(x) (im Intervall [a, b]) wird durch das Integral b f(x)dx angegeben, die Flächeninhalte der Rechtecke unter der Kurve durch a f a + f a f b 1 und 1(f 2 b f a ) + b f (x)ψ a 1 (x)dx ist die Dierenz zwischen den beiden Flächeninhalten, die es nun zu verringern gilt. Hierfür vermehrt man nun aber nicht die Anzahl der Stützstellen, und damit der Rechtecke in [a, b], wie das meist üblich ist, sondern man versucht die Dierenz durch horizontale Variationen zu verringern, um die Flächeninhalte anzupassen. Bei der oben dargestellten Form ( ) handelt es sich bereits um die einfachste Darstellung der Eulerschen Summenformel. Um diese eben erwähnte Dierenz zu verringern, wiederholt man die Produktintegration noch mehrere Male und kommt schlieÿlich auf die allgemeine Form der Eulerschen Summenformel. Sei f a := f(a) und f b := f(b): b 1 m=a f m = b a f(x)dx 1 k [f(b) f(a)] + 2 R k kann hier folgendermaÿen ausgedrückt werden: R k = b a f (2k) (x)ψ 2k (x)dx b 2n [f (2n 1) (b) f (2n 1) (a)] + R k Dieser Rest kann nun für k gegen laufen, muss aber nicht. Wenn R k geht, so konvergiert die Reihe k b 2n [f (2n 1) (b) f (2n 1) (a)] ( ) 9

10 Dies kann hilfreich sein, um bestimmte Funktionen in Reihen zu entwickeln, oder auch um die Summen einiger unendlicher Reihen in geschlossener Form darzustellen. Wenn R k nicht gegen konvergiert, so konvergiert auch die Reihe ( ) im Allgemeinen nicht. Allerdings kann es trotzdem sein, dass sie für hinreichend kleine k gegen geht und erst über diese hinaus wieder wächst. Dann kann man zumindest näherungsweise exakte Werte erreichen, wobei der Fehler sehr gering gehalten werden kann. Häug ist eine solche Näherung schon ausreichend. So kann man zum Beispiel die Funktion f(x) = e zx im Intervall [, 1] betrachten: f = 1 Für z < 2π geht f(x)dx 1 k 2 (f(1) f()) + b 2n [f (2n 1) (1) f (2n 1) ()] + R k 1 = ez 1 z 1 = ez 1 z 1 2 (ez 1) + R k = k b 2n z 2n 1 (e z 1) + R k [1 1 k 2 z + b 2n z 2n ] + R k 1 z 2k e zx ψ 2k (x)dx gegen. Damit erhält man für k und z < 2π die Taylor-Entwicklung für 5 Resümee z e z 1 = z + b 2n z 2n z e z 1 Beim Recherchieren für mein Referat las ich häug, dass es sich bei Jakob Bernoulli um einen ausgesprochen groÿen und wichtigen Mathematiker handle; dass er viele Bereiche der Mathematik durch seine Arbeiten vorangebacht hat und uns den Weg zur heute bekannten Mathematik geebnet hat. Anfangs noch sehr skeptisch merkte ich im Laufe der Zeit, dass es sich hier in keinster Weise um Übertreibungen handelt. Ich begann seine Arbeiten zu verstehen und mir wurde bewusst um welch groÿe Meilensteine es sich damals handelte. Dinge die wir heute als ganz selbstverständlich hinnehmen waren zu Bernoullis Zeiten wahnsinnig überraschend und alles andere als normal, wie zum Beispiel die Konvergenz der heute als ζ-funktion bekannten Reihe. Jakob Bernoulli trug einen wesentlichen Teil zu dieser Erkenntnis bei. 1

11 Literatur [1] Courant, Richard, Vorlesungen über Dierential und Integralrechnung I, Berlin Heidelberg New York, [2] Heuser, Harro, Lehrbuch der Analysis I, Stuttgart Leipzig, 1998 [3] Kaballo, Winfried, Einführung in die Analysis I, Heidelberg Berlin Oxford, 1996 [4] http.:\\ [5] http.:\\ [6] dilcher/bernoulli.html Abbildungsverzeichnis Abb. 2.1: Jakob I. Bernoulli Abb. 2.2: Abb. 2.3: lammert/419/gallery.html Abb. 4.1: Eigenproduktion 11