Spieltheoretische Methoden in der Logik

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1 Spieltheoretische Methoden in der Logik Markus Lohrey Universität Leipzig Sommersemester 2008 Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

2 0. Allgemeines Überblick: 1 Motivation 2 Erreichbarkeitsspiele Modallogik, Logik 1.Stufe 3 Paritätsspiele modaler µ-kalkül Literatur: Grädel, Thomas, Wilke. Automata, Logics, and Infinite Games: A Guide to Current Research. Lecture Notes in Computer Science 2500, Springer 2002 Stirling. Modal and Temporal Properties of Processes, Springer 2001 Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

3 Model-Checking Motivation Das Model-Checking Problem für eine Logik L (z. B. Prädikatenlogik oder Modallogik): EINGABE: Eine endliche Struktur A (z. B. ein Graph) und eine Formel ϕ L FRAGE: Gilt ϕ in A, kurz A = ϕ? Beispiel: ϕ = x y z : E(x, y) E(y, z) E(x, z) Dies ist eine Formel der Prädikatenlogik (= Logik 1.Stufe), die in einer Struktur A = (V,E) (ein gerichteter Graph) genau dann gilt, wenn die Kantenrelation E transitiv ist. Model-Checking hat vielerlei Anwendungen in der Informatik: Automatische Verifikation von Software- und Hardwaresystemen Datenbanktheorie Künstliche Intelligenz Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

4 Motivation Model-Checking und Spiele Unser Ansatz zur Lösung des Model-Checking Problems: Konstruiere aus A, ϕ eine Spielarena G(A, ϕ) in der zwei Spieler Adam und Eve gegeneinander spielen. Eve versucht zu zeigen, dass A = ϕ gilt. Adam versucht zu zeigen, dass A = ϕ gilt. G(A, ϕ) wird so konstruiert, dass gilt: A = ϕ Eve hat eine Gewinnstrategie im Spiel G(A, ϕ) Viele Fragen müssen noch geklärt werden: Welche Strukturen A betrachten wir? Welche Logiken L betrachten wir? Wie sieht die Spielarena G(A, ϕ) aus? Was bedeutet Eve eine Gewinnstrategie in G(A, ϕ)? Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

5 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Überblick In diesem Abschnitt werden wir eine spezielle Klasse von Spielen einführen, sogenannte Erreichbarkeitsspiele. Diese werden wir benutzen, um das Model-Checking Problem für zwei Logiken zu lösen: Modallogik Logik 1.Stufe (= Prädikatenlogik, siehe Vorlesung Logik im 1. Semester) Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

6 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Kripkestrukturen Eine Kripkestruktur ist ein Tupel wobei gilt: K = (V,Σ, σ, Π, π) V ist eine beliebige Menge (Menge der Welten/Zustände/Knoten) Σ und Π sind endliche Mengen (Kantenmarkierungen und Knotenmarkierungen) σ : Σ 2 V V, σ(a) ist die Menge der a-markierten Kanten. π : Π 2 V, π(p) ist die Menge der a-markierten Knoten. Falls V endlich ist, ist K eine endliche Kripkestruktur. Elemente aus Σ (bzw. Π) werden auch als Aktionen (bzw. Propositionen) bezeichnet. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

7 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Kripkestrukturen Beispiel: Die endliche Kripkestruktur mit K = ({0, 1, 2, 3}, {a, b}, σ, {p, q}, π) σ(a) = {(0, 1), (2, 3), (3, 0)}, σ(b) = {(0, 2), (1, 3), (3, 0), (3, 3)} und π(p) = {0}, π(q) = {0, 1, 3} kann wie folgt graphisch dargestellt werden: p, q 0 b a q 2 a, b 1 Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188 a b q 3 b

8 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Syntax und Semantik der Modallogik Seien Σ und Π endliche Mengen von Kantenmarkierungen bzw. Knotenmarkierungen. Die Menge aller Formeln der Modallogik über Σ und Π (kurz ML(Σ, Π)) ist die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften: Π ML(Σ, Π) (alle Propositionen sind Formeln) Wenn ϕ, ψ ML(Σ, Π), dann auch ϕ, ϕ ψ, ϕ ψ ML(Σ, Π). Wenn ϕ ML(Σ, Π) und a Σ, dann auch a ϕ, [a]ϕ ML(Σ, Π). Sei nun K = (V,Σ, σ, Π, π) eine Kripkestruktur. Wir ordnen jeder Formel ϕ ML(Σ, Π) induktiv eine Teilmenge [[ϕ]] K V zu. Für p Π ist [[p]] K = π(p) [[ ϕ]] K = V \ [[ϕ]] K [[ϕ ψ]] K = [[ϕ]] K [[ψ]] K, [[ϕ ψ]] K = [[ϕ]] K [[ψ]] K [[ a ϕ]] K = {v V u V : (v, u) σ(a) u [[ϕ]] K } [[[a]ϕ]] K = {v V u V : (v, u) σ(a) u [[ϕ]] K } Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

9 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Syntax und Semantik der Modallogik Für einen Knoten v V der Kripkestruktur K und eine Formel ϕ ML(Σ, Π) definieren wir: (K, v) = ϕ v [[ϕ]] K Beispiel: Sei K wieder die folgende Kripkestruktur 2 b a q p, q a, b 0 3 b a b q 1 gegeben. Dann gilt z. B. (K, 0) = p a b ( p [b]q) Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

10 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Erreichbarkeitsspiele Eine Spielarena ist ein Tupel G = (S,, ρ), wobei S eine beliebige Menge ist, S S eine Menge von Kanten ist, und ρ : S {Adam, Eve} jedem Knoten einen Spieler zuordnet. Für s S sei N G (s) = {t S s t}. Definiere Adam = Eve und Eve = Adam. Für x {Adam, Eve} sei S x = {s S ρ(s) = x} die Menge aller Spielpositionen, wo Spieler x ziehen muss. Idee: Wenn die aktuelle Spielposition s S ist, dann muss der Spieler ρ(s) ziehen, indem er eine Position t N G (s) auswählt. Die neue Spielposition ist dann t. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

11 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Erreichbarkeitsspiele Sei G = (S,, ρ) eine Spielarena. Ein Spiel in G ist ein maximaler Pfad im Graphen (S, ), d.h. es ist entweder ein unendlicher Pfad s = [s 0 s 1 s 2 ] mit s 0, s 1,... V oder ein endlicher Pfad s = [s 0 s 1 s n ] mit n 0, s 1,...,s n V und N G (s n ) = (s n ist eine Sackgasse). Im ersten Fall sprechen wir von einem unendlichem Spiel im zweiten Fall von einem endlichem Spiel. In beiden Fällen beginnt das Spiel s bei s 0. Spieler x {Adam, Eve} gewinnt das Spiel s genau dann, wenn s endlich ist (sei s = [s 0 s 1 s n ]) und ρ(s n ) = x. Intuitiv: Move or lose Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

12 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Erreichbarkeitsspiele Eine Strategie für Spieler x {Adam, Eve} ist eine Abbildung τ : S x {s S N G (s) } S, so dass s τ(s) für alle s S x {s S N G (s) }. Ein Spiel s ist konform mit der Strategie τ für Spieler x, falls gilt: s = [s 0 s 1 s 2 ] und i 0 : s i S x s i+1 = τ(s i ) oder s = [s 0 s 1... s n ] und 0 i < n : s i S x s i+1 = τ(s i ). Alternative Definition: Definiere die Spielarena G τ = (S, {(s, τ(s)) s dom(τ)} {(s, t) s S x, s t}, ρ) Dann ist s konform zu τ genau dann, wenn s ein Spiel in G τ ist. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

13 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Berechnung der Gewinnpositionen für Eve Sei s S eine Spielposition in G = (S,, ρ) und sei τ eine Strategie für Spieler x {Adam, Eve}. τ ist eine Gewinnstrategie für Spieler x auf s (in G) genau dann, wenn x jedes mit τ konforme und bei s beginnende Spiel in G gewinnt. Beachte: Insbesondere kann in G τ kein unendliches Spiel in s beginnen, falls τ eine Gewinnstrategie für x auf s ist. Die Gewinnmenge für Spieler x {Adam, Eve} ist Satz 1 W G x = {s S Gewinnstrategie für x auf s}. Für eine gegebene Spielarena G = (V,, ρ) kann WEve G in Polynomialzeit berechnet werden. Bei geeigneter Repräsentation des Graphen (V, ) (Adjazenzlisten für (V, ) und (V, 1 )) kann man WEve G in Zeit O( V + ) berechnen. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

14 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Berechnung der Gewinnpositionen für Eve Zunächst ein Beispiel: Sei G die folgende Spielarena (grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten gehören Adam): Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

15 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Berechnung der Gewinnpositionen für Eve Zunächst ein Beispiel: Sei G die folgende Spielarena (grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten gehören Adam): Eine Gewinnstrategie für Eve im Knoten 0: Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

16 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Berechnung der Gewinnpositionen für Eve Zunächst ein Beispiel: Sei G die folgende Spielarena (grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten gehören Adam): Keine Gewinnstrategie für Eve im Knoten 0: Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

17 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Berechnung der Gewinnpositionen für Eve Beweis von Satz 1: Wir berechnen WEve G mit dem folgenden Algorithmus: winning-region(g = (S,, ρ)) W := for all s S Eve mit N G (s) do τ(s) := t mit t N G (s) beliebig endfor repeat U 1 := {s S \ W ρ(s) = Eve und N G (s) W } U 2 := {s S \ W ρ(s) = Adam und N G (s) W } W := W U 1 U 2 forall s U 1 do τ(s) := t, wobei t N G (s) W beliebig ist. until U 1 U 2 = return W und τ Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

18 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Berechnung der Gewinnpositionen für Eve Sei W, τ die Ausgabe von winning-region. Sei W i (i 1) der Wert der Variablen W nach dem i-ten Durchlauf durch die repeat-until-schleife, sei W 0 =. W = i 0 W i Wir zeigen folgende drei Behauptungen: (B1) winning-region arbeitet in Polynomialzeit. (B2) Für alle s W ist τ eine Gewinnstrategie für Eve in G, s. Insbesondere: W W G Eve. (B3) W G Eve W Beweis von (B1): Die repeat-until-schleife kann höchstens S mal durchlaufen werden. Ein Durchlauf durch die repeat-until Schleife benötigt höchstens Schritte. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

19 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Berechnung der Gewinnpositionen für Eve Beweis von (B2): Für s W sei rank(s) die eindeutige Zahl i 1 mit s W i \ W i 1. Wir zeigen durch Induktion über rank(s) 1, dass τ eine Gewinnstrategie für Eve auf s ist. Sei s W mit rank(s) = i und sei τ eine Gewinnstrategie für Eve auf allen t W mit rank(t) < i. 1. Fall: ρ(s) = Eve und N G (s) W i 1. Sei t N G (s) W i 1 die Position mit τ (s) = t. Es gilt rank(t) i 1. Induktion Eve gewinnt jedes bei t beginnende und mit τ konforme Spiel. Eve gewinnt auch jedes bei s beginnende und mit τ konforme Spiel. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

20 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Berechnung der Gewinnpositionen für Eve 2. Fall: ρ(s) = Adam und N G (s) W i 1. Induktion Eve gewinnt jedes bei einer Position aus N G (s) beginnende und mit τ konforme Spiel. Eve gewinnt auch jedes bei s beginnende und mit τ konforme Spiel. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

21 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Berechnung der Gewinnpositionen für Eve Beweis von (B3): WEve G W Sei s WEve G und fixiere eine Gewinnstrategie τ für Eve auf s. Sei R = {t V Pfad von s nach t in G τ}. In G τ kann kein unendlicher Pfad im Knoten s beginnen. Also können wir für alle t R definieren: rank (t) = max. Länge eines bei t beginnenden Pfades in G τ Durch Induktion über rank (t) 1 zeigen wir t R : t W. Sei t R und gelte u W für alle u R mit rank (u) < rank (t). Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

22 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Berechnung der Gewinnpositionen für Eve 1. Fall: ρ(t) = Eve Dann gilt rank (τ(t)) < rank (t). Nach Induktion gilt also τ(t) W, d.h. N G (t) W. Dies impliziert t W. 2. Fall: ρ(t) = Adam. Dann gilt rank (u) < rank (t) für alle u N G (t). Nach Induktion gilt also N G (t) W. Dies impliziert t W. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

23 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Fakten über Erreichbarkeitsspiele Korollar 1 aus Satz 1 Sei G = (S,, ρ) ein Spielarena für ein Erreichbarkeitsspiel. Dann existiert eine Strategie τ für Eve mit: s W Eve G : τ ist eine Gewinnstrategie für Eve auf s. Beweis: Wähle für τ die Strategie τ aus Behauptung (B2). Korollar 2 aus Satz 1 Sei G = (S,, ρ) ein Spielarena für ein Erreichbarkeitsspiel und sei s S. 1 Wenn ρ(s) = Adam dann (N G (s) W Eve G 2 Wenn ρ(s) = Eve dann (N G (s) W Eve G Beweis: Folgt aus W Eve G = W. s WG Eve). s WG Eve). Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

24 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Erreichbarkeitsspiele und Modallogik Sei K = (V,Σ, σ, Π, π) eine Kripkestruktur, v V und ϕ ML(Σ, Π). Wir konstruieren nun eine endliche Spielarena G(K, ϕ) und eine Spielposition u, so dass gilt: (K, v) = ϕ u W Eve G(K,ϕ) Wie können o.b.d.a. davon ausgehen, dass in ϕ das Negationszeichen nur direkt vor Propositionen p Π steht, da folgende Äquivalenzen gelten: (ψ θ) ψ θ (ψ θ) ψ θ a ψ [a] ψ [a]ψ a ψ Hierbei bedeutet ψ θ, dass [[ψ]] K = [[θ]] K für jede Kripkestruktur K. Die Menge sub(ϕ) aller Teilformeln von ϕ ist induktiv wie folgt definiert: sub(p) = {p} und sub( p) = { p} für p Π sub(ψ θ) = {ψ θ} sub(ψ) sub(θ) für {, } sub( a ψ) = { a ψ} sub(ψ) für a Σ sub([a]ψ) = {[a]ψ} sub(ψ) für a Σ Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

25 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Erreichbarkeitsspiele und Modallogik Schließlich können wir die Spielarena G(K, ϕ) = (S,, ρ) wie folgt definieren: S = V sub(ϕ) (beachte: V war die Knotenmenge von K) und ρ sind wie folgt definiert: v, ψ θ v, θ v, ψ v, ψ θ v, θ v, ψ v, a ψ u, ψ (v, u) σ(a) v, [a]ψ u, ψ (v, u) σ(a) ρ(v, ψ θ) = Adam ρ(v, ψ θ) = Eve ρ(v, [a]ψ) = Adam ρ(v, a ψ) = Eve ρ(v, p) = Adam für v π(p) ρ(v, p) = Eve für v π(p) ρ(v, p) = Adam für v π(p) ρ(v, p) = Eve für v π(p) Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

26 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Erreichbarkeitsspiele und Modallogik Intuition: Eve will von einer Position (v, ϕ) aus zeigen, dass (K, v) = ϕ gilt. Adam will von einer Position (v, ϕ) aus zeigen, dass (K, v) = ϕ gilt. Hieraus ergibt sich die Definition der Spielarena G(K, ϕ) auf natürliche Weise. Z. B.: (v, a ψ) (u, ψ) für alle u V mit (v, u) σ(a), denn um (K, v) = a ψ zu zeigen (Eves Ziel) muss man einen Knoten u V mit (v, u) σ(a) finden, für den (K, u) = ψ gilt. ρ(v, p) = Adam, falls v π(p), denn letzteres impliziert (K, v) = p. Also sollte Eve an der Position (v, p) gewinnen. Dies ist auch der Fall, denn Positionen (v, p) (ebenso wie (v, p)) sind Sackgassen. Da in der Position (v, p) Adam ziehen soll, gewinnt Eve. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

27 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Erreichbarkeitsspiele und Modallogik Beispiel: Sei K die Kripkestruktur p a q a 0 1 Sei ϕ = a [b](p q). Dann sieht die Spielarena G(K, ϕ) wie folgt aus (grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten gehören Adam) b b 0, a [b](p q) 1, a [b](p q) 0, [b](p q) 1, [b](p q) 0, p q 1, p q 0, p 0, q 1, p 1, q Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

28 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Erreichbarkeitsspiele und Modallogik Satz 2 Sei K = (V, Σ, σ, Π, π) eine Kripkestruktur und ϕ ML(Σ, Π). Dann gilt für alle v V und alle ψ sub(ϕ): (K, v) = ψ (v, ψ) W Eve G(K,ϕ) Beweis: Wir beweisen den Satz durch Induktion über den Aufbau der Formel ψ. Sei G = G(K, ϕ) = (V sub(ϕ),, ρ). Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

29 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Erreichbarkeitsspiele und Modallogik 1. Fall: ψ = p Π. Dann gilt (K, v) = p v π(p) ρ(v, p) = Adam (v, p) WG(K,ϕ) Eve Für die letzte Äquivalenz beachte, dass (v, p) eine Sackgasse in G ist. 2. Fall: ψ = p für ein p Π. Dann gilt (K, v) = p v π(p) ρ(v, p) = Adam (v, p) WG(K,ϕ) Eve Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

30 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Erreichbarkeitsspiele und Modallogik 3. Fall: ψ = ψ 1 ψ 2. Dann gilt (K, v) = ψ i {1, 2} : (K, v) = ψ i IH Kor Fall: ψ = ψ 1 ψ 2. Dann gilt i {1, 2} : (v, ψ i ) W Eve G(K,ϕ) (v, ψ) W Eve G(K,ϕ) (K, v) = ψ i {1, 2} : (K, v) = ψ i IH Kor. 2 i {1, 2} : (v, ψ i ) W Eve G(K,ϕ) (v, ψ) W Eve G(K,ϕ) Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

31 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Erreichbarkeitsspiele und Modallogik 5. Fall: ψ = a θ. Dann gilt (K, v) = ψ (v, u) σ(a) : (K, u) = θ IH Kor Fall: ψ = [a]θ. Dann gilt (v, u) σ(a) : (u, θ) W Eve G(K,ϕ) (v, ψ) W Eve G(K,ϕ) (K, v) = ψ (v, u) σ(a) : (K, u) = θ IH Kor. 2 (v, u) σ(a) : (u, θ) W Eve G(K,ϕ) (v, ψ) W Eve G(K,ϕ) Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

32 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Model-Checking Modallogik Satz 3 Für eine gegebene Kripkestruktur K = (V,Σ, σ, Π, π), v V und ϕ ML(Σ, Π) können wir in Zeit O( V 2 ϕ ) entscheiden, ob (K, v) = ϕ gilt. Beweis: (1) Konstruiere die Spielarena G = G(K, ϕ) Beachte: G hat nur V ϕ Knoten und höchstens V 2 ϕ viele Kanten. (2) Berechne W = WG Eve und teste, ob (v, ϕ) W gilt. Nach Satz 1 können wir W in Zeit O( V 2 ϕ ) berechnen. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

33 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Logik 1. Stufe: Syntax Logik 1. Stufe (= Prädikatenlogik) wurde in der Vorlesung Logik im 1. Semester behandelt. Eine Signatur ist ein Paar S = (R, arity) wobei gilt: R ist eine endliche Menge von Relationssymbolen. arity : R N ist eine Funktion, die jedem Relationssymbol r R seine Stelligkeit arity(r) zuordnet. Sei X im folgenden eine abzählbar-unendliche Menge von Variablen. Variablen werden wir im folgenden mit x, y, z, x, x 0,... bezeichnen. Die Menge FO(S) aller Formeln der Logik 1. Stufe (über der Signatur S) ist die kleinste Menge mit: Wenn r R, arity(r) = n und x 1,...,x n X, dann r(x 1,...,x n ) FO(S). Wenn ϕ, ψ FO(S), dann auch ϕ, ϕ ψ, ϕ ψ FO(S). Wenn ϕ FO(S) und x X, dann auch x ϕ, x ϕ FO(S). Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

34 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Logik 1. Stufe: Syntax Beachte: Im Gegensatz zur Vorlesung Logik erlauben wir keine Funktionssymbole. Für das Model-Checking Problem für Logik 1. Stufe ist dies keine Einschränkung, da eine Funktion f : A n A durch die Relation {(a, a) A n+1 f (a) = a} ersetzt werden kann. Die Menge der freien Variablen free(ϕ) X einer Formel ϕ FO(S) ist induktiv wie folgt definiert: free(r(x 1,...,x n )) = {x 1,...,x n } free( ϕ) = free(ϕ), free(ϕ ψ) = free(ϕ ψ) = free(ϕ) free(ψ). free( x ϕ) = free( x ϕ) = free(ϕ) \ {x}. Ein Formel ϕ FO(S) ist ein Satz, falls free(ϕ) = gilt. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

35 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Logik 1. Stufe: Semantik Eine Struktur über der Signatur S = (R, arity) ist ein Tripel A = (A, I S, I X ), wobei gilt: A ist eine beliebige Menge (das Universum der Struktur). I S ist eine Funktion, die jedem Relationssymbol r R eine arity(r)-stellige Relation I S (r) A arity(r) zuordnet. I X : X A ist eine partielle Funktion, ihr Definitionsbereich sei dom(i X ). Für eine Formel ϕ FO(S) und eine Struktur A = (A, I S, I X ) über der Signatur S mit dom(i X ) = free(ϕ) schreiben wir A = ϕ genau dann, wenn einer der folgenden Fälle gilt: ϕ = r(x 1,...,x n ) und (I X (x 1 ),...,I X (x n )) I S (r). ϕ = ψ und A = ψ. ϕ = ψ θ und (A = ψ und A = θ). ϕ = ψ θ und (A = ψ oder A = θ). ϕ = x ψ und es gibt ein a A mit (A, I S, I X {(x, a)}) = ψ ϕ = x ψ und für alle a A gilt (A, I S, I X {(x, a)}) = ψ. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

36 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Logik 1. Stufe: Model-Checking Die Struktur A = (A, I S, I X ) ist endlich, falls A eine endliche Menge ist. Falls dom(i X ) = gilt, identifizieren wir die Struktur (A, I S, I X ) mit (A, I S ). Das Model-Checking-Problem für FO(S): EINGABE: Eine endliche Struktur A = (A, I S ) und ein Satz ϕ FO(S). FRAGE: Gilt A = ϕ? Wir werden das Model-Checking-Problem für FO(S) wieder mittels eines Erreichbarkeitsspiels lösen. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

37 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Logik 1. Stufe und Erreichbarkeitsspiele Sei A = (A, I S ) eine endliche Struktur und ϕ FO(S). O.B.d.A. kommt in ϕ die Negation nur direkt vor atomaren Formeln vor. Wir definieren eine Spielarena wie folgt: G(A, ϕ) = (S,, ρ) S = {(I, ψ) ψ sub(ϕ), I : free(ψ) A} ist wie folgt definiert: I, ψ θ I free(θ), θ I free(ψ), ψ I, ψ θ I free(θ), θ I free(ψ), ψ I, x ψ I {(x, a)}, ψ a A I, x ψ I {(x, a)}, ψ a A Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

38 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Logik 1. Stufe und Erreichbarkeitsspiele ρ ist wie folgt definiert ρ(i, ψ θ) = Eve ρ(i, ψ θ) = Adam ρ(i, x ψ) = Eve ρ(i, x ψ) = Adam { ρ(i, r(x 1,...,x n )) = Eve Adam { ρ(i, r(x 1,...,x n )) = Eve Adam für (I(x 1 ),...,I(x n )) I S (r) für (I(x 1 ),...,I(x n )) I S (r) für (I(x 1 ),...,I(x n )) I S (r) für (I(x 1 ),...,I(x n )) I S (r) Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

39 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Logik 1. Stufe und Erreichbarkeitsspiele Satz 4 Sei A = (A, I S ) eine endliche Struktur und ϕ FO(S). Dann gilt für alle ψ sub(ϕ) und I : free(ψ) A: (A, I S, I) = ψ (I, ψ) W Eve G(A,ϕ) Beweis: Analog zum Beweis von Satz 2 für Modallogik (Übung). Folgt aus Satz 4, dass das Model-Checking-Problem für FO(S) in Polynomialzeit gelöst werden kann? Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

40 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Logik 1. Stufe und Erreichbarkeitsspiele Satz 4 Sei A = (A, I S ) eine endliche Struktur und ϕ FO(S). Dann gilt für alle ψ sub(ϕ) und I : free(ψ) A: (A, I S, I) = ψ (I, ψ) W Eve G(A,ϕ) Beweis: Analog zum Beweis von Satz 2 für Modallogik (Übung). Folgt aus Satz 4, dass das Model-Checking-Problem für FO(S) in Polynomialzeit gelöst werden kann? Nein! Das Problem ist, dass die Spielarena G(A, ϕ) nicht polynomiell in der Größe von ϕ beschränkt ist: Die Menge der Spielpositionen von G(A, ϕ) ist S = {(I, ψ) ψ sub(ϕ), I : free(ψ) A}. S = ψ sub(ϕ) A free(ψ). Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

41 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Komplexität von Model-Checking für FO Bemerkung: In der Tat ist das Model-Checking Problem für FO(S) PSPACE-vollständig (insbesondere also NP-hart), weshalb es wohl keinen Polynomialzeitalgorithmus für das Problem gibt. Wir können jedoch Fragemente von FO(S) definieren, für das Model-Checking Problem in Polynomialzeit entschieden werden kann. Für ϕ FO(S) definiere die Weite von ϕ Satz 5 width(ϕ) = max{ free(ψ) ψ sub(ϕ)}. Das Model-Checking Problem für FO(S) kann in Zeit O( ϕ A width(ϕ) ) gelöst werden. Allgemeiner: Für eine gegebene Formel ϕ FO(S) und eine Struktur A = (A, I S, I X ) mit dom(i X ) = free(ϕ) können wir in Zeit O( ϕ A width(ϕ) ) entscheiden, ob A = ϕ gilt? Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

42 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Komplexität von Model-Checking für FO Beweis: (1) Konstruiere die Spielarena G = G(A, ϕ) Beachte: G hat höchsten A width(ϕ) ϕ viele Knoten und nur O( A width(ϕ) ϕ ) viele Kanten. (2) Berechne W = WG Eve und teste, ob (v, ϕ) W gilt. Nach Satz 1 können wir W in Zeit O( A width(ϕ) ϕ ) berechnen. Korollar aus Satz 5 Sei w 0 eine feste Konstante. Das Model-Checking Problem, eingeschränkt auf FO(S)-Formeln der Weite w, kann in Polynomialzeit gelöst werden. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

43 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Modallogik FO Sei K = (V,Σ, σ, Π, π) eine Kripkestruktur, o.b.d.a. Σ Π =. Definiere die Signatur S K = (Σ Π, arity), wobei arity(a) = 2 für alle a Σ und arity(p) = 1 für alle p Π. Dann können wir K mit der Struktur A K = (V,σ π) über S K identifizieren. Wir definieren nun für jede modallogische Formel ϕ ML(Σ, Π) eine Formel ϕ f FO(S K ) induktiv. Seien x 0, y 0 X zwei ausgezeichnete Variablen. p f = p(x 0 ) für p Π. ( ϕ) f = ϕ f, (ϕ ψ) f = ϕ f ψ f, (ϕ ψ) f = ϕ f ψ f ( a ϕ) f = y 0 (a(x 0, y 0 ) (ϕ f )[x 0 y 0 ]) ([a]ϕ) f = y 0 (a(x 0, y 0 ) (ϕ f )[x 0 y 0 ]) Hierbei entsteht ψ[x 0 y 0 ] aus ψ, indem jedes freie Vorkommen von x 0 in ψ durch y 0 ersetzt wird. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

44 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Modallogik FO Beachte: Für jede Formel ϕ ML(Σ, Π) gilt free(ϕ f ) = {x 0 } und width(ϕ f ) 2. Lemma 1 Für jede Kripkestruktur K = (V, Σ, σ, Π, π), jeden Knoten v V und jede Formel ϕ ML(Σ, Π) gilt: (K, v) = ϕ (A K, x 0 v) = ϕ f Aus Lemma 1 sowie Satz 5 folgt Satz 3: Für eine gegebene Kripkestruktur K = (V,Σ, σ, Π, π), v V und ϕ ML(Σ, Π) können wir in Zeit O( V 2 ϕ ) entscheiden, ob (K, v) = ϕ gilt. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

45 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Kleine Modelle in der Modallogik Eine Fomel ϕ ML(Σ, Π) ist erfüllbar, falls eine Kripkestruktur K = (V,Σ, σ, Π, π) und v V mit (K, v) = ϕ existieren. Satz 6 (small model property für Modallogik) Sei ϕ ML(Σ, Π) erfüllbar. Dann existiert eine Kripkestruktur K = (V,Σ, σ, Π, π) und v V mit (K, v) = ϕ V 2 ϕ Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

46 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Kleine Modelle in der Modallogik Beweis: Sei ϕ ML(Σ, Π) erfüllbar. Also existiert eine Kripkestruktur K = (V, Σ, σ, Π, π) und v V mit (K, v) = ϕ. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf V durch: x y ψ sub(ϕ) : (K, x) = ψ (K, y) = ψ [x] = {y V x y} ist die x enthaltende Äquivalenzklasse. V = {[x] x V } ist die Menge aller Äquivalenzklassen. Nun definieren wir die Kripkestruktur K = (V, Σ, σ, Π, π ), wobei σ (a) = {([x], [y]) (u, v) σ(a) : u x, v y} für a Σ π (p) = {[x] u π(p) : u x} für p Π Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

47 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Kleine Modelle in der Modallogik (A) V 2 ϕ Definiere eine Abbildung f : V 2 sub(ϕ) durch f (x) = {ψ sub(ϕ) (K, x) = ψ}. Dann gilt für alle x, y V: V = f (V) 2 sub(ϕ) 2 ϕ [x] = [y] f (x) = f (y) Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

48 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Kleine Modelle in der Modallogik (B) (K, [v]) = ϕ. Wir zeigen die folgende allgemeinere Aussage durch Induktion über den Aufbau der Formel ψ sub(ϕ): x V : (K, x) = ψ (K, [x]) = ψ Wegen (K, v) = ϕ folgt hieraus (K, [v]) = ϕ. 1.Fall. ψ = p Π: Es gilt (K, x) = p x π(p) [x] π (p) (K, [x]) = p Zu (*): Es gilt offensichtlich x π(p) [x] π (p). Andererseits: [x] π (p) y π(p) : x y x π(p) Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

49 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Kleine Modelle in der Modallogik 2.Fall. ψ = θ: Es gilt (K, x) = θ (K, x) = θ IH (K, [x]) = θ (K, [x]) = θ 3.Fall. ψ = ψ 1 ψ 2 : Es gilt (K, x) = ψ 1 ψ 2 (K, x) = ψ 1 und (K, x) = ψ 2 IH (K, [x]) = ψ 1 und (K, [x]) = ψ 2 (K, [x]) = ψ 1 ψ 2 Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

50 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Kleine Modelle in der Modallogik 4.Fall. ψ = a θ. Gelte zunächst (K, x) = a θ. y V : (x, y) σ(a), (K, y) = θ. IH (K, [y]) = θ (x, y) σ(a) ([x], [y]) σ (a) (K, [x]) = a θ Gelte nun (K, [x]) = a θ [y] V : ([x], [y]) σ (a), (K, [y]) = θ. IH (K, y) = θ ([x], [y]) σ (a) (u, v) σ(a) : x u, y v y v (K, v) = θ (K, u) = a θ x u (K, x) = a θ Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

51 Erreichbarkeitsspiele Modallogik und Logik 1.Stufe Erfüllbarkeit für Modallogik Korollar aus Satz 6 Es ist entscheidbar, ob eine gegebene Formel ϕ ML(Σ, Π) erfüllbar ist. Beweis: Da Σ und Π endlich sind gibt es nur endlich viele Kripkestrukturen K = (V,Σ, σ, Π, π) mit V 2 ϕ. Für jedes solche K und alle v V testen wir, ob (K, v) = ϕ gilt. Bekommen wir dabei einen Treffer, so ist ϕ erfüllbar, ansonsten ist ϕ nach Satz 6 nicht erfüllbar. Bemerkungen: Der im obigen Beweis skizzierte Algorithmus ist nicht sehr effizient. Es wurde gezeigt, dass das Erfüllbarkeitsproblem für Modallogik PSPACE-vollständig ist. Das Erfüllbarkeitsproblem für Logik 1. Stufe ist sogar unentscheidbar. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

52 Überblick In diesem Abschnitt werden wir unendliche Spiele (insbesondere Paritätsspiele) untersuchen. Diese werden wir benutzen, um das Model-Checking Problem für den modalen µ-kalkül zu lösen. Der modale µ-kalkül ist eine ausdrucksstarke Logik, in der z. B. Eigenschaften wie Ein Knoten, wo die Proposition p gilt, ist erreichbar. ausgedrückt werden können. Eigenschaften dieser Art lassen sich nicht in Logik 1. Stufe ausdrücken. Formal: Es gibt keine Formel ϕ(x) FO({r, p}, arity) (mit arity(r) = 2, arity(p) = 1), so dass für jede Struktur (A, I S, I X ) über der Signatur ({r, p}, arity) mit dom(i X ) = {x} gilt: (A, I S, I X ) = ϕ(x) b I S (p) : (I X (x), b) I S (r) Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

53 Unendliche Spiele Wiederholung: Eine Spielarena ist ein Tripel G = (S,, ρ), wobei S S und ρ : S {Adam, Eve}. Beachte: S muss nicht endlich sein. Ein Spiel in G ist ein maximaler Pfad im Graphen (S, ). Ein Spiel kann unendlich sein oder endlich sein und in einer Sackgasse enden. Bei Erreichbarkeitsspielen gab es für ein unendliches Spiel s 0 s 1 s 2 keinen Gewinner. Dies soll sich jetzt ändern. Für eine Menge A bezeichnet A ω = {a 1 a 2 a 3 i 1 : a i A} die Menge aller unendlichen Wörter über A. Eine Gewinnbedingung für die Spielarena G = (S,, ρ) ist eine Teilmenge L S ω. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

54 Unendliche Spiele Sei G = (S,, ρ) eine Spielarena und L S ω eine Gewinnbedingung. Sei s ein Spiel in G. Eve gewinnt das Spiel s, falls einer der beiden folgenden Fälle gilt: s = s 0 s 1 s n (das Spiel ist endlich) und ρ(s n ) = Adam. s = s 0 s 1 s 2 (das Spiel ist unendlich) und s L. Adam gewinnt das Spiel s, falls Eve das Spiel s nicht gewinnt. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

55 Unendliche Spiele Problem: Wie soll die Gewinnbedingung L S ω spezifiziert werden? Eine gefärbte Spielarena ist ein Tupel G = (S,, ρ, χ) wobei (S,, ρ) eine Spielarena wie bisher ist, und χ : S C eine Funktion von S in eine endliche Menge von Farben C ist. Für eine Menge L C ω sei χ 1 (L) = {s 0 s 1 s 2 χ(s 0 )χ(s 1 )χ(s 2 ) L} S ω. Wir spezifizieren eine Gewinnbedingung durch eine Menge L C ω. Die zugehörige Gewinnbedingung ist dann χ 1 (L). Teilmengen von C ω werden durch verschiedene Bedingungen definiert, siehe nächste Folie. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

56 Unendliche Spiele Für ein Wort c = c 0 c 1 c 2 C ω ist Inf(c) = {c es existieren unendlich viele i mit c i = c} C die Menge aller Farben, die unendlich oft in c vorkommen. Eine Mullerbedingung ist eine Teilmenge M 2 C. zugehörige Gewinnbedingung: χ 1 ({c C ω Inf(c) M}) Wir nennen (S,, ρ, χ, M) auch eine Mullerspielarena. Eine Büchibedingung ist eine Teilmenge B C. zugehörige Gewinnbedingung: χ 1 ({c C ω Inf(c) B }) Wir nennen (S,, ρ, χ, B) auch eine Büchispielarena. Paritätsbedingung: Hier setzen wir lediglich voraus, dass C N gilt. zugehörige Gewinnbedingung: χ 1 ({c C ω max(inf(c)) gerade }) Wir nennen (S,, ρ, χ) auch eine Paritätsspielarena. Die Farben in C werden auch Prioritäten genannt. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

57 Unendliche Spiele Beispiel (von R. Mazala, aus Grädel, Thomas, Wilke. Automata, Logics, and Infinite Games, LNCS 2500, Springer 2002): Betrachte folgende gefärbte Spielarena G, wobei C = {1, 2, 3, 4}. Die Farbe χ(s) einer Spielposition s steht neben s als Markierung. Grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten gehören Adam. 1 s 0 s s 2 3 s 3 2 s 4 4 s 5 s 6 2 Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

58 Unendliche Spiele Beispiel (Fortsetzung) Ist die Gewinnbedingung durch die Mullerbedingung {{1, 2}, {1, 2, 3, 4}} gegeben, so gewinnt Eve das Spiel s 6 s 3 s 2 s 4 s 6 s 5 (s 2 s 4 ) ω, während Adam das Spiel (s 2 s 4 s 6 s 5 ) ω gewinnt. Ist die Gewinnbedingung durch die Büchibedingung {1} gegeben, so gewinnt Eve das Spiel (s 2 s 4 s 6 s 3 ) ω. Ist die Gewinnbedingung schließlich durch die Paritätsbedingung gegeben, so gewinnt Eve das Spiel (s 2 s 4 s 6 s 5 ) ω, während Adam das Spiel (s 2 s 4 s 6 s 3 ) ω gewinnt. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

59 Unendliche Spiele Für unendliche Spiele müssen wir den Begriff einer Strategie neu definieren. Sei G = (S,, ρ) eine Spielarena und L S ω eine Gewinnbedingung. Für x {Adam, Eve} sei S x = {s S ρ(s) = x} die Menge aller Knoten, wo Spieler x ziehen muss. Sei s = s 0 s 1 s 2 (bzw. s = s 0 s 1 s 2 s n ) ein Spiel in G. Ein Präfix von s ist eine Folge s 0 s 1 s m mit m N (bzw. 0 m n). Sei τ : S S x S eine partielle Abbildung und sei s 0 s 1 s m Präfix eines Spiels in G. Dann ist s 0 s 1 s m konform mit τ, falls gilt: i {0,...,m 1} : s i S x = s i+1 = τ(s 0 s 1 s i ) Ein Spiel s ist konform mit τ, falls jeder Präfix von s konform mit τ ist. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

60 Unendliche Spiele Eine Strategie für Spieler x ist eine partielle Abbildung τ : S S x S mit folgender Eigenschaft: Für alle s 0 s 1 s m 1 S und s m S x, so dass s 0 s 1 s m Präfix eines Spiels in G ist, s 0 s 1 s m konform mit τ ist, und N G (s m ) (s m ist keine Sackgasse), gilt s 0 s 1 s m dom(τ) und s m τ(s 0 s 1 s m ). Die Strategie τ für Spieler x ist eine Gewinnstrategie für x auf U S genau dann, wenn x jedes mit τ konforme und bei einer Position aus U beginnende Spiel gewinnt. Spieler x gewinnt auf U S, falls x eine Gewinnstrategie auf U S hat. Falls U = {s} gilt, sagen wir auch, dass x auf s (in der Arena G) gewinnt. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

61 Unendliche Spiele Beispiel: Sei wieder folgende gefärbte Spielarena gegeben. s 0 s s 2 3 s 3 2 s 4 4 s 5 2 s 6 Die Gewinnbedingung sei durch die Mullerbedingung {{1, 2}, {1, 2, 3, 4}} gegeben. Eine Gewinnstrategie für Eve auf {s 2, s 3, s 4, s 5, s 6 } ist: s 4 falls w S s 2 s 3 falls w S s 5 (s 2 s 4 ) + s 6 τ(w) = s 5 falls w S s 3 (s 2 s 4 ) + s 6 (S \ {s 3, s 5 }) s 6 s 2 falls w S s 5 Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

62 Büchi, Parität Muller Eine Büchibedingung B C kann offensichtlich mit der Mullerbedingung M = {F C F B } identifiziert werden (beide liefern die gleiche Gewinnbedingung). Analog kann eine durch χ : S N (mit f (S) endlich) gegebene Paritätsbedingung mit der Mullerbedingung identifiziert werden. M = {F C max(f) gerade } Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

63 Muller Parität Die Paritätsbedingung erscheint zunächst recht speziell, sie ist jedoch in der Tat sehr mächtig: Satz 7 Sei G = (S,, ρ, χ, M) eine Mullerspielarena. Dann existiert eine Paritätsspielarena G = (S,, ρ, χ ) und eine Abbildung f : S S so dass für alle s S gilt: Eve gewinnt auf s in G Eve gewinnt auf f (s) in G. Falls S endlich ist, ist auch S endlich. Beweis: Für ein Wort w = a 1 a 2 a n bezeichnet alph(w) = {a 1, a 2,...,a n } die Menge aller Symbole, die in w vorkommen. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

64 Muller Parität Sei C die Farbenmenge von G, d. h. χ : S C und M 2 C. Sei # C und sei C = {x#y x, y C, c C : xy c 1, y 1} Die Menge der Spielpositionen von G ist S = {(s, x#y) S C y endet mit χ(s) }. Sei ρ (s, x#y) = ρ(s) für alle (s, x#y) S C. Definiere die update-funktion µ : S C wie folgt: x # y χ(s) falls χ(s) alph(x y). µ(s, x#y) = x 1 # x 2 y χ(s) falls x = x 1 χ(s)x 2. x y 1 # y 2 χ(s) falls y = y 1 χ(s)y 2. Die Kantenrelation von G ist dann: = { ( (s, x#y), (t, µ(t, x#y)) ) s t, (s, x#y) S }. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

65 Muller Parität Die Färbungsfunktion χ : S N der Paritätsspielarena G ist { χ 2 y 1 if alph(y) M (s, x#y) = 2 y if alph(y) M Beachte: χ (S ) {0,..., C }. Damit ist die Paritätsspielarena G = (S,, ρ, χ ) definiert. Schließlich sei f : S S definiert durch f (s) = (s, #χ(s)) für alle s S. Bemerkung: Die in der C -Komponente berechnete Datenstruktur ist auch als LAR (least appearance record) bekannt, und geht auf Büchi zurück. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

66 Muller Parität Beispiel: Sei G die folgende Mullerspielarena, wobei die Mullerbedingung M = {{b}} ist. a a b s 0 s 1 s 2 Dann sieht die Paritätsspielarena G wie folgt aus: 1 s 0, #a 1 s 1, #a 3 s 2, #ab 2 s 2, a#b 3 s 1, #ba s 0, b#a 1 s 1, b#a 1 s 0, #ba 3 s 2, #b 2 Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

67 Muller Parität Sei s = s 0 s 1 s 2 ein unendliches Spiel in G. Definiere das folgende in f (s 0 ) beginnende unendliche Spiel in G : f (s) = (s 0, q 0 )(s 1, q 1 )(s 2, q 2 ), wobei q 0 = #χ(s 0 ) (d.h. (s 0, q 0 ) = f (s 0 )) und q i+1 = µ(s i+1, q i ) für i 1 Umgekehrt: Ist s = (s 0, q 0 )(s 1, q 1 )(s 2, q 2 ) ein in (s 0, q 0 ) = f (s 0 ) beginnendes unendliches Spiel in G, so ist s := s 0 s 1 s 2 ein unendliches Spiel in G mit f (s) = s. Eine analoge Korrespondenz gilt auch für endliche Spiele. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

68 Muller Parität Sei im folgenden s = s 0 s 1 s 2 ein unendliches Spiel in G, f (s) = (s 0, x 0 #y 0 )(s 1, x 1 #y 1 )(s 2, x 2 #y 2 ) und F = Inf(χ(s)). Behauptung 1: j 0 i > j : y i F ( y i F ) Es existieren 0 k < j, so dass: {χ(s k ), χ(s k+1 ), χ(s k+2 ),...} = F (1) {χ(s k ), χ(s k+1 ), χ(s k+2 ),..., χ(s j )} = F (2) Angenommen es gibt i > j und c C \ F mit c alph(y i ), d.h. x i # y i = x i # u c v. 1.Fall: v = ε, d.h. x i # y i = x i # u c. χ(s i ) = c F Widerspruch zu (1) wegen i j k. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

69 Muller Parität 2.Fall: v ε, d.h. x i # y i = x i # u c w c mit c = χ(s i ) F. Wähle ein maximales l N mit k l i 1 (beachte: i 1 j wegen i > j) χ(s l ) = c (existiert wegen (2)) x l #y l ist von der Form c c x i #y i ist von der Form c # c Dies beweist Behauptung 1. Sei j im folgenden die Zahl aus Behauptung 1. Widerspruch! Behauptung 2: Es gibt viele i mit alph(y i ) = F. Sei l j beliebig. F alph(x l y l ) (wegen (2)). Sei c F, so dass in x l #y l keine Farbe c F links von c steht. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

70 Muller Parität Wähle i > l minimal mit χ(s i ) = c (muss existieren). alph(y i ) = F Dies beweist Behauptung 2. Behauptung 3: Eve gewinnt das unendliche Spiel s in G genau dann, wenn Eve das unendliche Spiel f (s) in G gewinnt. = : Angenommen Eve gewinnt das Spiel s in G. Sei Inf(χ(s)) = F. Dann gilt: F M j i > j : alph(y i ) F und es existieren viele i mit alph(y i ) = F. Mit n = F folgt: j i > j : χ (s i, x i #y i ) 2n und χ (s i, x i #y i ) = 2n für viele i. Eve gewinnt das unendliche Spiel f (s). Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

71 Muller Parität =: Angenommen Eve gewinnt das Spiel s in G nicht. Sei Inf(χ(s)) = F. Dann gilt: F M j i > j : alph(y i ) F und es existieren viele i mit alph(y i ) = F. Mit n = F folgt: j i > j : χ (s i, x i #y i ) 2n 1 und es existieren viele i mit χ (s i, x i #y i ) = 2n 1. Eve gewinnt das unendliche Spiel f (s) nicht. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

72 Muller Parität Wesentlich einfacher kann man auch zeigen: Eve gewinnt ein endliches Spiel s in G genau dann, wenn Eve das endliche Spiel f (s) in G gewinnt. Hieraus ergibt sich: Eve gewinnt auf s in G genau dann, wenn Eve auf f (s) in G gewinnt. Denn: Eine Gewinnstrategie für Eve auf s in der Mullerspielarena G liefert eine Gewinnstrategie für Eve auf f (s) in G wie folgt: Zieht Eve in G zum Zeitpunkt t von von s 1 nach s 2 und ist (s 1, x#y) die Position in G zum Zeitpunkt t, so zieht Eve in G von (s 1, x#y) nach (s 2, µ(s 2, x#y)). Eine Gewinnstrategie für Eve auf f (s) in der Paritätsspielarena G liefert eine Gewinnstrategie für Eve auf s in G wie folgt: Zieht Eve in G zum Zeitpunkt t in G von (s 1, x#y) nach (s 2, µ(s 2, x#y)), so zieht Eve in G zum Zeitpunkt t von s 1 nach s 2. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

73 Gedächtnislose Strategien Sei G = (S,, ρ) wieder eine Spielarena und L S ω eine Gewinnbedingung. Wir machen im Weiteren die Einschränkung, dass G keine Sackgassen hat: s S : N G (s). Dies ist jedoch bei den von uns betrachteten Gewinnbedingungen keine wirkliche Einschränkung, siehe Aufgabe 3 auf dem Übungsblatt 2. Eine gedächtnislose Strategie für Spieler x ist eine Abbildung τ : S x S, so dass s τ(s) für alle s S x. Die gedächtnislose Strategie τ : S x S kann offensichtlich mit der Strategie τ : S S x S mit τ (ws) = τ(s) identifiziert werden. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

74 Gedächtnislose Strategien Für x {Adam, Eve} sei WG x (τ) = {s S τ ist eine Gewinnstrategie für x auf s}. Lemma 2 (Strategievereinheitlichung) Sei G = (S,, ρ) eine Arena. Angenommen die Gewinnbedingung L S ω erfüllt folgende Bedingung: u, v S w S ω : uw L vw L. Dann existiert für jeden Spieler x eine gedächtnislose Strategie τ mit W x G (τ) = {W x G (τ ) τ ist eine gedächtnislose Strategie für Spieler x}. Beachte: {W x G (τ ) τ ist eine gedächtnislose Strategie für Spieler x} ist die Menge aller Positionen, wo Spieler x gedächtnislos gewinnen kann. Für den Beweis von Lemma 2 benötigen wir einige mathematische Grundlagen zu Ordinalzahlen. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

75 Ordinalzahlen Definition (Wohlordnung) Eine Relation M M auf einer Menge M wird als lineare Ordnung bezeichnet, wenn gilt: 1 a M : a a (Reflexivität) 2 a, b, c M : (a b b c) = a c (Transitivität) 3 a, b M : (a b b a) = a = b (Antisymmetrie) 4 a, b M : a b b a (Linearität) Falls a b und a b, dann schreiben wir a < b. Eine lineare Ordnung auf einer Menge M ist eine Wohlordnung, wenn es keine unendliche Folge < a 2 < a 1 < a 0 mit a 0, a 1,... M gibt. Alternativ: Jede nicht-leere Teilmenge A M hat ein bezüglich kleinstes Element. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

76 Ordinalzahlen Beispiele: auf Z bzw. auf Q +, R + sind lineare Ordnungen, aber keine Wohlordnungen. eingeschränkt auf eine beliebige Teilmengen von N ist eine Wohlordung. auf N {ω} ist eine Wohlordung. Wenn wir Worte in {a, b} nach der Länge, und gleichlange Worte lexikographisch ordnen, dann erhalten wir eine Wohlordnung von {a, b} : ε < a < b < aa < ab < ba < bb < aaa < Die Struktur dieser Ordnung entspricht auf N. Die lexikographische Ordnung auf {a, b} ist eine lineare Ordnung, aber keine Wohlordnung wegen < a 3 b < aab < ab < b. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

77 Ordinalzahlen Beispiele: Betrachten nun die lexikographische Ordnung auf der Menge a + b + : a < a 2 < a 3 < < b < b 2 Dies ist eine Wohlordnung, welche anders strukturiert als (N, ) ist: Zu dem Wort b gibt es unendlich viele kleinere Worte, während es in (N, ) zu jeder Zahl nur endlich viele kleinere Zahlen gibt. Diese Ordnung ist auch anders strukturiert als (N ω, ), weil es kein größtes Element gibt. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

78 Ordinalzahlen Zwei wohlgeordnete Mengen (M 1, 1 ) und (M 2, 2 ) werden als isomorph bezeichnet, wenn es eine bijektive Abbildung h : M 1 M 2 gibt, so dass für alle a, b M 1 gilt: a 1 b h(a) 2 h(b). Definition (Ordinalzahlen) Eine Ordinalzahl ist eine Isomorphieklasse wohlgeordneter Mengen. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

79 Ordinalzahlen Es sei ξ = (M, ) eine Ordinalzahl und a M. Es sei ξ <a = (M, ) <a := ({x M x < a}, ). Dann ist ξ <a wiederum eine Ordinalzahl. Eine Ordinalzahl ξ ist echtes Anfangsstück von ξ, wenn es ein a M gibt, so dass ξ und ξ <a isomorph sind. Notation: ξ ξ Die Notation ξ ξ bedeutet, dass ξ ξ gilt oder ξ und ξ isomorph sind. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

80 Ordinalzahlen Eigenschaften von bzw. : Es gibt keine Folge ξ 2 ξ 1 ξ 0 von Ordinalzahlen. Es gibt keine Ordinalzahl ξ mit ξ ξ. Die Relationen und sind transitiv, ist reflexiv. Die Relation ist antisymmetrisch. Seien hierzu ξ 1 und ξ 2 zwei Ordinalzahlen mit ξ 1 ξ 2 und ξ 2 ξ 1. Wenn ξ 1 ξ 2, dann gilt ξ 1 ξ 2 und ξ 2 ξ 1 und damit ξ 1 ξ 1. Widerspruch! Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

81 Ordinalzahlen Die Relation ist linear. Seien hierzu ξ 1 = (M 1, 1 ) und ξ 2 = (M 2, 2 ) wieder zwei Ordinalzahlen. Wir definieren eine Relation f M 1 M 2 durch: (a 1, a 2 ) f genau dann, wenn (M 1, 1 ) <a1 und (M 2, 2 ) <a2 isomorph sind. Eigenschaften von f : (a 1, a 2 ), (b 1, b 2 ) f = (a 1 = b 1 a 2 = b 2 ) d.h. f ist eine partielle Injektion. (a 1, a 2 ), (b 1, b 2 ) f = (a 1 < 1 b 1 a 2 < 2 b 2 ) d.h. (dom(f ), 1 ) und (ran(f ), 2 ) sind isomorph (via f ). Angenommen es gilt M 1 \ dom(f ) M 2 \ ran(f ). Sei a 1 = min(m 1 \ dom(f )) und a 2 = min(m 2 \ ran(f )). (existieren, da (M 1, 1 ) und (M 2, 2 ) Wohlordnungen sind). Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

82 Ordinalzahlen dom(f ) = {x M 1 x < a 1 } und ran(f ) = {x M 2 x < a 2 }. (M 1, 1 ) <a1 und (M 2, 2 ) <a2 sind isomorph. (a 1, a 2 ) f. Widerspruch! Also gilt M 1 = dom(f ) oder M 2 = ran(f ). 1.Fall: dom(f ) = M 1 und ran(f ) = M 2. Dann gilt ξ 1 = ξ 2. 2.Fall: M 1 \ dom(f ) und ran(f ) = M 2. Sei a 1 = min(m 1 \ dom(f )). (M 1, 1 ) <a1 und (M 2, 2 ) sind isomorph. ξ 2 ξ 1. 3.Fall: M 2 \ ran(f ) und dom(f ) = M 1. ξ 1 ξ 2 (folgt analog). Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

83 Ordinalzahlen Für jede Ordinalzahl ξ = (M, ) ist somit ({χ χ ξ}, ) eine Wohlordnung. Es ist sogar die gleiche Wohlordnung: ξ = ({χ χ ξ}, ). Definiere hierzu die Abbildung f : M {χ χ ξ} durch f (a) = (M, ) <a = ξ <a ξ. Dies ist ein Isomorphismus zwischen ξ = (M, ) und ({χ χ ξ}, ). In Worten: Jede Ordinalzahl kann mit der Menge aller echt kleineren Ordinalzahlen identifiziert werden. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

84 Ordinalzahlen Ein Paradoxon: A) Es gibt keine größte Ordinalzahl, weil man zu jeder Ordinalzahl durch Anhängen eines größten Elements eine größere Ordinalzahl konstruieren kann. B) Es sei O die Menge aller Ordinalzahlen. Dann ist (O, ) eine Ordinalzahl. Nun sei ξ = (M, ) eine beliebige Ordinalzahl. Es gilt ξ O. Dann sind ξ und (O, ) ξ isomorph durch die Abbildung h : M O mit h(a) := ξ <a für alle a M. Damit ist jede Ordinalzahl ξ ein echtes Anfangstück von (O, ), d.h. (O, ) ist die größte Ordinalzahl. Wo ist der Fehler? Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

85 Ordinalzahlen Es gibt drei Arten von Ordinalzahlen: 1 Die Ordinalzahl über der leeren Menge (, ). 2 Ordinalzahlen, die ein größtes Element besitzen. Diese werden als Nachfolgerordinale bezeichnet. 3 Nichtleere Ordinalzahlen, die kein größtes Element besitzen. Diese werden als Limesordinalzahlen bezeichnet. Zu jedem n N notieren wir mit n die Ordinalzahl ( {1, 2,...,n}, ), insbesondere sei 0 die Ordinalzahl (, ). Zu jedem Ordinal ξ notieren wir mit ξ + 1 die Ordinalzahl, die durch Anhängen eines neuen größten Elements an ξ entsteht. Es gilt ξ ξ + 1 und es gibt kein Ordinal ξ mit ξ ξ ξ + 1. Ein Ordinal ξ ist ein Nachfolgerordinal, genau dann, wenn ein Ordinal ξ mit ξ = ξ + 1 existiert. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

86 Ordinalzahlen Ein kleines Anfangsstück der Ordinalzahlen lautet: ω ω + 1 ω + 2 ω + ω = ω 2 ω ω ω 3 ω ω = ω 2 ω 3 ω ω ω ωω ω 1, hierbei ist ω 1 das kleinste nicht abzählbare Ordinal. Wohlordnungsprinzip Jede Menge M kann wohlgeordnet werden, d.h. es existiert eine Wohlordnung auf M. Das Wohlordnungsprinzip ist zum Auswahlaxiom der Mengenlehre äquivalent. Es ist nicht-konstruktiv, z. B. kann niemand eine Wohlordnung der reellen Zahlen konstruktiv angeben. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188

87 Ordinalzahlen Prinzip der transfiniten Induktion Sei (M, ) eine Wohlordnung und sei A M eine Teilmenge mit min(m) A x M : ( y < x : y A) = x A Dann gilt A = M. Alternative Formulierung: Sei P eine Aussage (über Ordinale). Angenommen P gilt für das leere Ordinal 0 und für jedes Ordinal ξ gilt: wenn P für alle χ ξ gilt, dann gilt P auch für ξ. Dann gilt P für jedes Ordinal. Mit transfiniter Induktion kann man Aussagen für beliebige wohlgeordnete Mengen beweisen. Markus Lohrey (Universität Leipzig) Spieltheoretische Methoden in der Logik SS / 188