Venustransit 2004, Berechnung der Astronomischen Einheit aus der Transitdauer an zwei verschiedenen Orten

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1 Venustransit 2004, Berechnung der Astronomischen Einheit aus der Transitdauer an zwei verschiedenen Orten Fredi Messmer, Rütistrasse 14, CH8134 Adliswil 27. April Einführung 1.1 Halley's Methode, wie er sie in seiner Dissertation beschrieben hat Für einen Punkt auf der Erdachse ist die Transitdauer unabhängig von der Sonnenparallaxe und lässt sich allein mit Hilfe der Keplerschen Gesetze berechnen. Umgekehrt kann aus dieser Transitdauer die Sonnenparallaxe und damit die Astronomische Einheit AE) nicht berechnet werden. Für einen Punkt auf der Erdoberäche dagegen ist die Transitdauer von der Sonnenparallaxe abhängig. Halley hat in seiner Abhandlung [11] den Transit unter anderem für die Gangesmündung berechnet nach dem Verfahren, das allgemein für Sonnennsternisse angewandt wurde, unter Annahme einer Sonnenparallaxe von 12,5". Aus der Dierenz zwischen Berechnung und Messung der Transitdauer lässt sich die Sonnenparallaxe korrigieren, wobei im Prinzip die Beobachtung an einem einzigen Ort genügt, wenn die scheinbaren Durchmesser von Sonne und Venus, sowie die geographische Länge des Beobachtungsortes, sehr genau bekannt sind. Die Uhr soll die wahre Ortszeit anzeigen, muss aber nicht mit irgendeiner entfernten Uhr synchron gehen. Um die Genauigkeit zu erhöhen, schlug er vor, den Transit auch im Nelson's Harbour in der Hudson Bay zu beobachten. Dort erfolge der zweite Kontakt kurz vor Sonnenuntergang, und der dritte nach Sonnenaufgang. Am Ganges wird die Transitdauer wegen der Erdrehung gegenüber der geozentrischen Transitdauer verkürzt. Auf der Nachtseite, in der Hudson Bay, bewegt sich der Beobachter gegenläug, und die Transitdauer wird verlängert. Er errechnete daraus eine Dierenz der Transitzeiten von 17 Minuten. Leider hat Halley ungenaue Tabellen verwendet, und in seiner graschen Lösung die Inklination der Venusbahn vom Winkel zwischen Erdachse und der Achse der Ekliptik subtrahiert, statt addiert. Der dritte Kontakt in der Hudson Bay erfolgte dann schon vor Sonnenaufgang. Diese Messung war also nicht durchführbar. Wie James Ferguson [7] berichtet, wurde der Transit von 1761 an vielen Orten der Erde beobachtet. "James Short hat mit enormem Aufwand aus den besten Beobachtungen, die in England und anderswo gemacht wurden, die Parallaxe zu 8".52 berechnet zur Zeit des Transits". Die AE betrug somit 95'173'127 englische Meilen oder 153'165'592 km. Sein Bericht dazu steht in den Philosophical Transactions of the Royal Society for the year Halley's Methode Im letzten Satz seiner Dissertation erwähnt Halley eine Methode, die "bei einer anderen Gelegenheit erkärt werden soll". 1

2 In "Splendour of the Heavens", [12] Vol. II, Seite 451 ist folgende Methode, die sich wesentlich von der in Halley's Dissertation beschriebenen unterscheidet, als Halley's Methode erwähnt: Zwei Beobachter an verschiedenen Orten messen die Zeiten des zweiten und des dritten Kontaktes. Die Trajektorien der Venus auf der Sonnen werden durch Sehnen ersetzt, die aus der Transitdauer berechnet werden. Der Abstand der beiden Sehnen auf der Sonnenscheibe ergibt die Parallaxe. Von der Parallaxe, der Distanz der Beobachter, und dem Distanzverhältnis ErdeSonne zu VenusSonne wird die Distanz ErdeSonne berechnet. Korrekturen wegen der Erdrotation sind noch erforderlich. 1.3 Unser Verfahren Ueber die soeben beschriebene Halley-Methode haben wir nichts gefunden. Unser Ziel war es,diese Methode anhand der bekannten Prinzipien zu entwickeln. Die Berechnung der AE wird in "Venustransit 2004" von Prof. Dr. Heinz Blatter und Reny Montandon [1], sowie in "Venustransit 2004: Bestimmung der Sonnenparallaxe" von Blatter-Messmer- Hauswirth [2] eingehend diskutiert. Der Vorteil unserer Methode ist, dass die Uhren an verschiedenen Beobachtungsorten nicht exakt synchron gehen müssen, und die Längengrade nicht auf die Minute genau bekannt sein müssen; der Nachteil, dass die exakte Messung der Kontaktzeiten erfahrungsgemäss sehr schwierig ist. Mehr Erfolg verspricht ein modernes Fit-Verfahren, das Dr. Roland Brodbeck in astro!nfo [5] und im Orion [8] beschreibt, das mit Messungen des Abstandes der Venusmitte zur Sonnenmitte arbeitet. Aber auch die Messung des Abstandes von zwei Punkten, die man eigentlich nicht sieht, stellt einige Ansprüche an Amateure. Unsere professionellen Vorgänger haben das im 19. Jahrhundert mit speziell dafür gebauten Heliometern gemacht, wie sie Andreas Verdun in seinem ausgezeichnten Orion-Artikel beschreibt [6]. Mit den heutigen Megapixel CCD Chips, die für Amateure durchaus erschwinglich sind, und kalibrierter Optik anhand eines Gitternetzes dürfte man eine recht gute Messgenauigkeit erreichen. Heinz Blatter und ich verstehen unser Projekt als Nachvollzug der Ermittlung der AE aus der Transitdauer an zwei Orten mit grosser Nord-Süd-Entfernung und beschränken uns ausschliesslich darauf. Die Berechnung von Beispielen mit Daten, die wir mit Calsky [9] berechnet haben, zeigt dass mit Benutzung einiger zusätzlicher Näherungen, die in [1] und [2] noch nicht erwähnt sind, eine rechnerische Genauigkeit von besser als einem Prozent erreicht werden kann. Im folgenden wird die Berechnung Schritt für Schritt dargestellt. Die ausführliche Herleitung der benutzten Gleichungen folgt im Abschnitt 9, soweit sie nicht schon in Heinz Blatter's Arbeiten [1] [2] enthalten ist. 2 Ortsvektoren und Basislinien Die Basislinien zwischen den Beobachtungsorten P im Norden) und Q im Süden) werden je für die Zeit des zweiten und des dritten Kontaktes berechnet. Den ersten und den vierten Kontakt könnte man problemlos berücksichtigen. Ich verzichte aber darauf, weil der erste Kontakt wahrscheinlich recht schwierig zu beobachten ist. Im folgenden gilt Index 2 für die Zeit des 2. Kontaktes, Index p für den Beobachtungsort P, desgleichen sinngemäss Index 3 und Index q. Zuerst berechnen wir den Abstand H des Beobachtungsortes vom Meridian der Sonne d.h., von der x-achse des Koordinatensystems Abbildung 1, entsprechend dem Stundenwinkel der Sonne am Beobachtungsort P, mit gleichem Vorzeichen, dem Bezugssinn entsprechend zunehmend nach Osten. H p2 = t p2 M, H p3 = t p3 M 1) H q2 = t q2 M, H q3 = t q3 M 2) 2

3 Abbildung 1: Sonnenorientiertes Kartesisches Koordinatensystem und Ort des Beobachters P. t p2,..., t q3 = Wahre Ortszeit der Kontakte, M = Wahrer Mittag = 11:59:05. Wir arbeiten mit der Ortszeit und brauchen keine synchronen Uhren, und die geographische Länge erscheint auch nicht in unseren Gleichungen: Die Synchronisierung der Uhren geschieht mit Hilfe der Sonne über den wahren Mittag, und die Dierenz der geographischen Längen ergibt sich aus der Dierenz der Stundenwinkel H p, H q, abgesehen davon, dass die Kontakte an verschiedenen Orten nicht gleichzeitig erfolgen. Will man mit UT arbeiten, so muss man die Zeitkorrektur λ t λ Wahren Mittag subtrahieren. λ = geographische Länge des Beobachtungsortes, positiv nach Osten, t λ = Zeitkorrektur, + 4 Minuten pro Grad östlicher Länge. von den Kontaktzeiten und dem Die Ortsvektoren der Beobachtungsorte berechnen wir mit Berücksichtigung der geozentrischen Breite: φ = φ sin 2φ sin 4φ 3) und der Erdabplattung: R = R cos 2φ cos 4φ) 4) φ = Geographische Breite, φ = Geozentrische Breite des Beobachtungsortes, R = Aequatorradius der Erde, R = Abstand des Beobachtungsortes vom Erdmittelpunkt. Siehe auch Handbuch für Sternfreunde [10] Ortsvektoren der Beobachtungsorte: cos φ p cos H p2 P 2 = R p cos φ p sin H p2 sin φ p, Analog für den 3. Kontakt. Q2 = R q cos φ q cos H q2 cos φ q sin H q2 sin φ q 5) Die Transit-Trajektorien sind im allgemeinen gekrümmt, weil der Abstand des Beobachters von der Ekliptik wegen der Erdrotation während des Transits variiert, und zwar umso stärker, je näher 3

4 der Beobachter dem Aequator ist. Das Band der gekrümmten Trajektorien in Funktion der Zeit) entspricht der Zentralprojektion der Basislinie auf die Sonne durch den Venusmittelpunkt, und ist etwa mittags am breitesten. Die gemittelte Basislinie: Q2 ) P 2 + Q3 ) P 3 B m = 6) 2 ist die Mittellinie des Trapezes, das durch die Basislinie je zu Beginn und Ende des Transits aufgespannt wird. Ihre Projektion passt wohl am besten in das Band der beiden Transitsehnen. Siehe auch Abbildung 3. Abbildung 2: Sonnenorientiertes Kartesisches Koordinatensystem und die Normale zur Ekliptikebene. 3 Einheitsvektoren Normalvektor zur Ekliptik: Sichtlinie Erde-Sonne: e = sin ɛ sin α sin ɛ cos α cos ɛ s = cos δ 0 sin δ 7) 8) Knotenlinie der Venusbahnebene: Der Einheitsvektor k der Knotenlinie steht senkrecht auf dem Normalvektor zur Ekliptik und bildet den Winkel κ mit dem Vektor der Sichtlinie Erde-Sonne. k s = cos κ, k e = 0, k k = 1 9) 4

5 κ = Dierenz der ekliptischen Längen der Sonne zur Halbzeit des Transits und des aufsteigenden Knotens der Venusbahn. Normalvektor zur Venusbahnebene: Der Normalvektor p zur Venusbahnebene steht senkrecht auf dem Vektor der Knotenlinie und bildet den Winkel i mit dem Normalvektor zur Ekliptik und ist ein Einheitsvektor. p e = cos i, p k = 0, p p = 1 10) 4 Distanzverhältnisse und Winkelgeschwindigkeiten Weil wir die AE und somit die Distanzen im Sonnensystem als unbekannt voraussetzen, arbeite ich soweit möglich nur mit Distanzverhältnissen. Bei der Rotationsgeschwindigkeit der Erde lässt sich die Distanz ErdeSonne jedoch nicht aus den Gleichungen eliminieren. Für Kepler-Bahnen verwende ich hier die Bezeichnungen aus [2], d für Distanz, Index s für die Sonne, Index v für die Venus und Index e für die Erde. Für elliptische Bahnen hänge ich den jeweiligen Indices noch einen Index e an. Zur Zeit des Venustransits betragen die Distanzverhältnisse: d ese = d vs d es, d d vse vse d = ese 11) d eve 1 d ese Von der Erde aus gesehen, beträgt die scheinbare mittlere Winkelgeschwindigkeit der Venus für den Beobachter P [ ) 2 ω p = k 1 dvse 2π des e d eve d ese T e ) 2 dvs p T v ] P3 ) P 2 s + t p3 t p2 ) d ese [ /s] 12) für den Beobachter Q [ ) 2 ω q = k 1 dvse 2π des e d eve d ese T e ) 2 dvs p T v ] Q3 ) Q 2 s + t q3 t q2 ) d ese [ /s] 13) T v und T e sind die siderischen Umlaufszeiten von Venus und Erde k 1 = Bogensekunden/Radian = 206' Transit-Sehnen In Abbildung 3 sind Abstand und Neigung der Transitsehnen stark übertrieben. Die Länge von β liegt etwa zwischen 15 und 30 Bogensekunden. Die Neigung zwischen den Sehnen beträgt im extremsten Beispiel Tiksi-Prätoria) Die Höhe der gekrümmten Trajektorie über der Sehne beträgt maximal etwa 1% der Sehnenlänge. Die Transitsehnen aa = ω p t p, bb = ω q t q 14) werden in der Sonnenscheibe senkrecht auf den axialen Vektoren ω der scheinbaren Winkelgeschwindigkeit der Venus errichtet. Daraus erhalten wir die Vektoren β des "kleinsten" Winkelabstandes Venus-Sonne: β = β p β q = ω ) p aa R ω p 2 2 ω )2 q bb R 2 ω q 2 15) 2 5

6 R ist der Sonnenradius, vermindert um den Venusradius, für elliptische Bahnen. β ist die Dierenz der Vektoren β, die bis zu Faktor 50 grösser sind als β. Diese Dierenz ist auch die kritische Grösse unserer Rechenmethode! β p und β q sind die aus den Transitzeiten errechneten Distanzen der Transitsehnen vom Sonnenmittelpunkt. β wäre idealerweise die Zentralprojektion der Basislinie durch den Venusmittelpunkt auf die Sonne. Wegen der Erdrotation sind aber die Trajektorien im allgemeinen gekrümmt, und die scheinbare Geschwindigkeit der Venus ist bei Sonnenaufgang kleiner, als mittags. Die errechneten Vektoren β werden also nicht zur Zeit der kleinsten Winkeldistanz und auch nicht gleichzeitig "gesehen". Zum Beispiel sieht Zimmerwald die kleinste Winkeldistanz gut 47 Sekunden nach der Halbzeit des Transits. Am Aequator, im Meridian von Zimmerwald, dauert es noch etwa 20 Sekunden länger. Abbildung 3: Transitsehnen und Vektoren der scheinbaren Venusbewegung. 6 Astronomische Einheit Wir projizieren den Vektor der gemittelten Basislinie B m und den Vektor des Abstandes β auf den gemittelten Einheitsvektor der scheinbaren Venusbewegung: p s = ω p + ω q ω p + ω q, B = B m p s, β = β p s 16) Die Astronomische Einheit entspricht nicht absolut exakt) der mittleren Distanz Erde-Sonne: AE = d es = B β d eve d es d ese 17) Die Herleitung dieser Gleichung und die besonderen Schwierigkeiten mit der Geometrie der Parallaxen haben Heinz Blatter und Reny Montandon im Orion-Artikel [1] behandelt. Sie werden im Abschnitt 9 noch einmal ausführlich dargestellt, mit Berücksichtigung der hier verwendeten Bezeichnungen. 6

7 7 Praktische Anwendung 7.1 Parameter Alle für die Berechnungen benötigten astronomischen Daten und deren Herkunft sind in Tabelle 1 aufgeführt, wobei ich nach Möglichkeit "öentlich zugängliche" Quellen benutzt habe. Eigentlich mogeln wir hier: Alle Parameter waren zu Halleys Zeiten zwar schon bekannt, aber nicht mit der heutigen Genauigkeit. Man könnte natürlich historische Parameter verwenden. 7.2 Erste Berechnung unter Verwendung historischer Werte Wie schon in Abschnitt 4 erwähnt, lässt sich die Astronomische Einheit d es, die wir ja berechnen wollen, aus der Gleichung 39) nicht eliminieren. Eine erste Berechnung können wir zum Beispiel unter Verwendung folgender historischer Werte durchführen: 138'400'000 km, Cassini und Richer '200'000 km, Lacaille Iteration Das Resultat aus der ersten Näherung kann nun zur Iteration verwendet werden. Die Funktion x i+1 = f x i ) konvergiert nach meiner Erfahrung mit den Beispielen monoton. Die Grenze x = 1 km wurde nach 5 bis 15 Iterationen erreicht. 7.4 Beispiele Die Tabelle 3 zeigt die Resultate der gerechneten Beispiele. Es fällt auf, dass eine starke Neigung der Basislinie zur Erdachse die Genauigkeit beeinträchtigt. 7.5 Einuss der Näherungen Die einzelnen Näherungen beeinussen die Resultate etwa wie folgt: Erdrotation: 5-10% bei Basislinien ungefähr parallel zur Erdachse, sonst 30-50% und mehr Elliptische Bahnen: 4% Inklination der Venusbahnebene: 4% Abstand der Knotenlinie von der Sichtlinie Erde-Sonne: 1% Erdabplattung und geozentrische Breite: 0.6% 7.6 Messfehler bei den Kontaktzeiten Ein Messfehler von 7 Sekunden bei der einen Kontaktzeit ergibt einen Fehler von 1% im Resultat. Sind beide Kontaktzeiten 7 Sekunden zu gross oder zu klein, kompensieren sich die Fehler bis auf etwa 0.08%. 8 Hinweis Die Beispiele habe ich mit Excel 97 gerechnet. Die Tabelle "Venustransit" für die Berechnung, sowie die Arbeitsmappe "Beobachter" mit den Daten der "Beobachter" sind in Astroinfo [5] verfügbar. Die "Beobachterdaten" können von einer Tabelle aus der Arbeitsmappe "Beobachter" in die Tabelle "Venustransit" hineinkopiert werden. Hinweise zum Gebrauch sind am Fuss der Tabellen enthalten. 7

8 9 Herleitung der Gleichungen 9.1 Knotenlinie Zur Zeit des Transits liegt die Knotenlinie der Venusbahnebene nicht exakt auf der Sichtlinie Erde- Sonne, weil die Venus etwa 1,2 Tage vor dem Transit durch den Knoten geht. Der Einheitsvektor der Knotenlinie steht senkrecht auf dem Normalvektor zur Ekliptik und bildet den Winkel κ mit dem Vektor der Sichtlinie Erde-Sonne. k e = 0, k s = cos κ, k 2 x + k 2 y + k 2 z = 1 18) κ = λ Sonne λ Knotenlinie = 1, 1807 beim Transit k x e x + k y e y + k z e z = 0, k x = k ye y + k z e z e x 19) k x s x + k y s y + k z s z = cos κ, k y s y = cos κ k x s x k z s z 20) k ye y + k z e z s x + k y s y + k z s z = cos κ 21) e x ) ) e y e z k y s y s x +k z s z s x = cos κ 22) e x e x }{{}}{{} =A =B = k y A + k z B = cos κ, k y = cos κ k zb A k 2 x + k 2 y + k 2 z = 1 = k 2 y k 2 z k 2 y k 2 x = k2 ye 2 y + k 2 ze 2 z + 2k y k z e y e z e 2 x 23) 24) k 2 y = cos2 κ + k 2 zb 2 2k z B cos κ A 2 25) 1 + e2 y e 2 x ) } {{ } =C +k 2 z e 2 y e 2 x + k 2 z e 2 z e 2 x ) 1 + e2 z e 2 x }{{} =D + 2k y k z e y e z e 2 x + k 2 y + k 2 z = 1 26) +k y k z 2 e ye z e 2 = 1 27) x }{{} =E k 2 yc + k 2 zd + k y k z E 1 = 0 28) cos 2 κ + kzb 2 2 2k z B cos κ A 2 C + kzd 2 + cos κ k zb k z E 1 = 0 29) A D + B2 C A 2 BE ) E + k z A A 2BC ) A 2 cos κ + C cos2 κ A 2 1 = 0 30) Da A 0, können wir diese Gleichung mit A 2 multiplizieren k 2 z A 2 D + B 2 C ABE ) + k z AE 2BC) cos κ + C cos 2 κ A 2 = 0 31) M = A 2 D + B 2 C ABE, N = AE 2BC) cos κ, P = C cos 2 κ A 2 32) k z = N N 2 4MP 2M, k y = cos κ k zb A, k x = k ye y + k z e z e x 33) Der Orientierung von κ entsprechend gilt der Nebenwert der quadratischen Gleichung, also das Minuszeichen vor der Wurzel. 8

9 9.2 Normalvektor zur Venusbahnebene Der Normalvektor zur Venusbahnebene steht senkrecht auf dem Vektor der Knotenlinie und bildet den Winkel i mit dem Normalvektor zur Ekliptik und ist ein Einheitsvektor. p k = 0, p e = cos i, p 2 x + p 2 y + p 2 z = 1 34) Die Gleichungen haben exakt dieselbe Form, wie die Gleichungen für die Knotenlinie. Wir brauchen also nur k durch p, e durch k, s durch e, cos κ durch cos i zu ersetzen. Auch hier gilt der Nebenwert der quadratischen Gleichung. 9.3 Transitgeschwindigkeit Abbildung 4: Winkelgeschwindigkeit der scheinbaren Venusbewegung. Für elliptische Bahnen gilt in guter Näherung der Flächensatz, hier in allgemeiner Form: v r = v e r e, v = ω r, ω r 2 = ω e re 2, = ω e = r2 re 2 ω. 35) v ist die momentane Bahngeschwindigkeit, r der Radiusvektor und ω die Winkelgeschwindigkeit. Index e gilt für elliptische Bahnen. Die siderische Winkelgeschwindigkeit der Venus um die Sonne beträgt mit Gleichung 35): ω v = dvs ) 2 2π T v p [ s 1 ] 36) und jene der Erde: ω e = des d ese ) 2 2π T e e [ s 1 ] 37) Der Beobachter in P bewegt sich während des Transits auf seinem Breitenkreis von P 2 nach P 3. Also variiert sein Abstand von der Ekliptik-Ebene, wodurch die Transitlinie der Venus auf der Sonne eine gekrümmte Bahn beschreibt. Weil unsere Rechenmethode diese Trajektorie durch eine Sehne ersetzt, die von der Venus mit einer konstanten mittleren Geschwindigkeit durchlaufen wird, sollte die Bewegung unseres Beobachters im gleichen Sinn auf die Sonne abgebildet werden. Wir ersetzen also den Weg von P 2 nach P 3 durch eine Sehne. Dies ist rechnerisch sehr einfach und dürfte eine relativ gute Näherung sein. Somit beträgt die mittlere Geschwindigkeit des Beobachters relativ zum Erdmittelpunkt: v rp = P 3 P 2 t 3 t 2 [km/s] 38) 9

10 P 2, P 3 sind die geozentrischen Ortsvektoren der Beobachtungsorte zur Zeit des 2. und 3. Kontaktes. Entsprechendes gilt für den südlichen Beobachter Q. Von der Sonne aus gesehen, beträgt die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation: ω rp = v P3 rp s ) P 2 s [ = s 1 ] 39) d ese t 3 t 2 ) d ese Heliozentrisch gesehen, beträgt die scheinbare Winkelgeschwindigkeit der Venus relativ zum Beobachter P: ω = ω v ω e ω rp 40) Geozentrisch, vom Beobachter in P gesehen, ändert der Bezugssinn, und wir erhalten, entsprechend den Distanzverhältnissen: ω p = d eve ω = d eve ω e ω v + ω rp ) [ s 1 ] 41) oder ausgeschrieben: [ ) 2 ω p = k 1 dvse 2π des e d eve d ese T e ) 2 dvs p T v ] P3 ) P 2 s + t p3 t p2 ) d ese [ /s] 42) Analog wird ω q für den Beobachter in Q berechnet. Für Kreisbahnen wird = d vs, und d ese = d es, womit sich Gleichung 42) reduziert zu: ω p = k 1 dvs 2π e p ) P3 ) P 2 s + 43) d ev T e T v t p3 t p2 ) d ese 9.4 Astronomische Einheit Abbildung 5: Winkelverhältnisse bei der Messung der Parallaxen beim Venustransit Die Abbildung 5 zeigt die Geometrie einer momentanen Beobachtung der Venus vor der Sonne. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Zeichnung eine Projektion auf die Ebene durch den Sonnenmittelpunkt, senkrecht zur Sichtlinie Erde-Sonne, des Sonnenorientierten Koordinatensystems darstellt. Wie schon im Abschnitt 6 erwähnt, haben sich Heinz Blatter und Reny Montandon im Orion- Artikel [1] mit den besonderen Schwierigkeiten und der Geometrie des Transits befasst. 10

11 Für den Beobachter in P "zeichnet" die Venus ihre Transitbahn durch den Punkt P' auf der Sonnenoberäche. Würden wir in guter Näherung) die Sonne durch einen Projektionsschirm durch die Sonnenmitte S ersetzen, ginge die Transitbahn durch den Punkt P. Der Beobachter P sieht die Distanz Venus-Sonnenmitte SP unter dem Winkel β p. Der Beobachter Q sieht die Distanz Venus-Sonnenmitte SQ unter dem Winkel β q. Ein "beliebter" Trugschluss ist es, den Winkel α v als Dierenz der Winkel β p β q zu betrachten. Der Winkel α v entspricht der Dierenz der Winkel γ p γ q, jedoch nicht der Dierenz der Winkel β p β q, weil SP und SQ aus verschiedenen Perspektiven betrachtet werden! Die Winkel γ dienen zur Illustration dieses Sachverhalts und haben für uns sonst keine Bedeutung. Wir kennen nur die Winkel β. Die Astronomische Einheit können wir in guter Näherung berechnen aus der Beziehung: Aus den Dreiecken α s = Dreieck PQV: α v + ɛ p β p + ɛ q + β q = 180 Dreieck PQS: α s + ɛ p + ɛ q = 180 erhalten wir mit der Dierenz der beiden Gleichungen: B d ese 44) α v α s β p + β q = 0, = α v α s = β p β q = β 45) Die Parallaxe α v ist in guter Näherung: Daraus folgt mit Gleichung 44: α v = B d eve 46) α v = α s d ese d eve 47) α v in Gleichung 45 eingesetzt, ergibt: ) dese α s 1 = α s = β = α s = β d eve 48) d eve d eve und mit d ese = B α s aus Gleichung 44: Somit wird die Astronomische Einheit: d ese = B β d eve 49) AE = d es = B β d eve d es d ese 50) 11

12 Dank. Meine Berechnungen, sowie der vorliegende Artikel, beruhen im Wesentlichen auf den Arbeiten von Prof. Dr. Heinz Blatter [1] [2]. Er hat mir auch die Abbildungen 1 und 2 zur Verfügung gestellt. Die Weiterentwicklung der Methode und die Verbesserung der Näherungen sind das Resultat interessanter, oft stundenlanger Diskussionen. Auch während seines Aufenthaltes in Japan haben wir via Internet regen Gedankenaustausch gepegt. Für all dies, sowie für viele nützliche Hinweise zum Umgang mit LATEX möchte ich mich bei Heinz Blatter recht herzlich bedanken. Tabelle 1: Venustransit: Werte und Herkunft der benutzten Parameter Sonne Siderische Umlaufszeit d SH 2002, S. 40 Rektaszension h CalSKY, für , 08:22 UT Deklination CalSKY, für , 08:22 UT Schiefe der Ekliptik 23:26:26 ' " CalSKY, für , 08:22 UT Ekliptische Länge CalSKY, für , 08:22 UT Wahrer Mittag 11:59:05 h:m:s CalSKY, für Mittlerer scheinbarer Radius " r s Herder, S. 243 Massgebender Radius " r s r v r Sonne r V enus für innere Kontakte für elliptische Bahnen " r se r ve r s es/ese) r ve Venus Siderische Umlaufszeit d Herder, S. 250 Inklination CalSKY, für , 08:22 UT Knotenlänge CalSKY, für , 08:22 UT Mittlerer scheinbarer Radius " r v k /2ev/es) ) für elliptische Bahnen r ve r v es/ese)1 vs/es)1 vse/ese)/ Erdradius Aequator) 6' km Herder, S. 250 Bogensekunden pro Radian 206' "/rad k /π Distanzverhältnisse für mittlere Entfernungen Venus-Sonne : Erde-Sonne vs/es Herder, S. 250 Venus-Sonne : Erde-Venus vs/ev vs/es)/1 vs/es) für elliptische Bahnen Ellipse : Kreis, Erde-Sonne ese/es CalSKY, für , 08:22 UT Ellipse : Kreis, Venus-Sonne vse/vs Arbeitspapier Venus-Sonne : Erde-Sonne vse/ese vs/es) vse/vs)/ese/es) Venus-Sonne : Erde-Venus vse/eve vse/ese)/1 vse/ese) CalSKY: Astronomische Online Software, Arnold Barmettler, 2002, SH: Sternenhimmel, Hans Roth Herder: Lexikon der Astronomie 1990, Band

13 Tabelle 2: Koordinaten und Kontaktzeiten der Beobachtungsorte Ort Breite Länge Kontakt Kontakt Riad 24:39:00 N 46:46:00 E 5:37: :04:00.7 Antananarivo 18:52:00 S 47:30:00 E 5:35: :08:01.4 Kottamia 29:55:54 N 31:49:30 E 5:38: :04:36.2 Pretoria 25:45:00 S 28:12:00 E 5:36: :10:02.9 Zimmerwald 46:52:42 N 7:28:00 E 5:39: :04:18.9 Pretoria 25:45:00 S 28:12:00 E 5:36: :10:02.9 Murmansk 68:59:00 N 33:08:00 E 5:37: :01:30.5 Pretoria 25:45:00 S 28:12:00 E 5:36: :10:02.9 Longyearbyen 78:12:00 N 15:40:00 E 5:37: :01:20.5 Pretoria 25:45:00 S 28:12:00 E 5:36: :10:02.9 Zimmerwald 46:52:42 N 7:28:00 E 5:39: :04:18.9 Yaounde 3:51:00 N 11:31:00 E 5:39: :08:39.6 Tiksi 71:40:00 N 128:45:00 E 5:34: :59:33.0 Pretoria 25:45:00 S 28:12:00 E 5:36: :10:02.9 Nuuk 64:15:00 N 51:35:00 W 5:38: :03:21.7 Pretoria 25:45:00 S 28:12:00 E 5:36: :10:02.9 Die Kontaktzeiten wurden mit CalSKY gerechnet Tabelle 3: Resultate der berechneten Beispiele Basis zum Ort β β projizierte Winkel zur Astronomische heutigen Länge Erdachse Einheit Wert ' ) ) km) ) km) Riad 10: ' '581' % Antananarivo 10:15.7 Kottamia 10: ' '630' % Pretoria 10:15.4 Zimmerwald 10: ' '900' % Pretoria 10:15.4 Murmansk 10: ' '241' % Pretoria 10:15.4 Longyearbyen 10: ' '391' % Pretoria 10:15.4 Zimmerwald 10: ' '743' % Yaounde 10:26.7 Tiksi 10: ' '578' % Pretoria 10:15.4 Nuuk 10: ' '887' % Pretoria 10:15.5 Mittelwert 10: ' '244' % Heutiger Wert 149'597'870 13

14 Literatur [1] Blatter, H. und Montandon, R.O., Venustransit 2004, Orion 307, 2001, S.4, Errata in Orion 311, 2002, S.11, sowie Internet: [2] Blatter, H., Messmer, F., Hauswirth, R., Bestimmung der Sonnenparallaxe, Oktober 2002, Internet: [3] Roth, Hans: Der Sternenhimmel, Birkhäuser, 2000, Kosmos, 2002 [4] Lexikon der Astronomie, Herder, 1989 [5] Internetauftritt in astroinfo zum Thema Venus 2004, [6] Andreas Verdun: Beispiele aus der Geschichte der Positions-Astronomie, Orion 310, 3/2002, S. 10 [7] Ferguson James: Astronomy explained on Sir Isaac Newton's principles,...,to which are added, a plain method of nding the distances of all the planets... London printed for A. Millar, 1764 [8] Roland Brodbeck: Bestimmung der Astronomischen Einheit AE anhand des Venustransits Orion 312, 5/2002, S. 4, sowie Internet: [9] Barmettler Arnold: Astronomische Online Software CalSKY, 2002 Internet: [10] Roth, Günter Dietmar: Handbuch für Sternfreunde Springer-Verlag, 3. Auage 1981 [11] Halley, Edmond: A new Method of determining the Parallax of the Sun Philosophical Transactions of the Royal Society, Vol XXIX 1716) [12] T. E. R. Phillips, F.R.A.S. and W.H. Steavenson, F.R.A.S.: Splendour of the Heavens Robert M. McBride & Company New York