( ' - δh int = vo-vo. 7.4 Die V-A - Theorie der schwachen Wechselwirkung. j ey(x)yuy(x) Vr(x) =Y(r)y,,Y(,r, = i i = Wy'l = yr yoi= yrdy

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Jasmin Kramer
vor 7 Jahren
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1 7.4 Die V-A - Theorie der schwachen Wechselwirkung Zur Erinnerung: Elektromagnetische Wechselwirkung Kopplung des Photons an den e.m. Vektorstrom: δh int = ey(x)yuy(x) {9 j ey(x)yuy(x) Vektorstxnt Phobnf eld Vektorstrom:.=... (Vo=VY.W=rYtfY=YiY Vr(x) =Y(r)y,,Y(,r, = i i = Wy'l = yr yoi= yrdy ( ' - "Dichte" "Stromdichte' Verhalten unter Raumspiegelungen (Parität): vo-vo v--n Vektor *=i Vektor (polarer Vektor)

2 7.4.1 Der Axialvektorstrom Definition des Axialvektorstroms: srrom:,qp =rtrtysv mit der Dirac-Matrix : {yu, yt} = * Tt Ts + TsTt, = 0 /o o I o\ iry5 =itotrl,/,= [? 3 3 A I \o l o o/ Axialvektorstrom und Spin-Dichte: A-{";:yly5y(r) =wi(x)yoly5y(r) =v (.) ( 3 S ) (? ;).=wi(r)li)*,", Verhalten unter Raumspiegelungen (Parität): Spin Axialvektor + Axialvektor Spin/ Drehimpuls <+ Pseudovektor (Axialvektor) Vektorstrom V - W y. Y t ' u ^ t p ' Axialvektorstrom Au =Yyuy5Y Dichte: Pseudoskalare Dichte: Ao - -Ao Stromdichte: Spindichte: A - A Vo ---+ Vo i --- -i

3 Zur Interpretation von γ 5 : betrachte masseloses Dirac-Teilchen YsY(x) ='.(# (E = p ) χ Y(.r) σ p e i p t e i p x p χ σ p -- u (*'f =ffin( p χ χ χ )"-,,,r^ σ p σ p p N p χ linkshiindig: Eigenwert von y5 ist -l rechtshiindig: Eigenwert von y5 ist +1 #r ).r Chi ral itzit = Helizitait 6. t ) = - = 6. p Inl Masselose Dirac-Teilchen besitzen definierte Chiralität: Spin linkshändig Impuls left - handed right - handed Projektoren für rechts- oder linkshändige Spin-1/2-Teilchen: 1 I eo=)q+r,) P v = ; ( l - T) mit ei,o = Pt.n /.. Spin rechtshändig l[,"irtr = LJ,y1r1 lpl IsVr-.n = TVl,n Impuls

4 7.4.2 Schwache Wechselwirkung der Leptonen W - Boson e-,p-,t-!*,f*,t- Dabei Pr= * g Wi Q.,vt Ansatz für schwache Wechselwirkung mit geladenen Strömen: - l rweak = 1 - y, ftlrrr+wi,+tf δh W int = - t r v o ' W.. l ) r t r l Projektor auf linkshiindige Zustdnde der Chiralitat -l (Pi= pt, universelle schwache Kopplungskonstante (analog der elektrischen Ladung e) Feld der Wt-Bosonen (analog Au fi.ir Photonen) Dirac-Spinoren der Leptonenfelder (/ = (V., Vr,,V-,)r,... ) Empirische Tatsache: Schwache Wechselwirkung nur mit linkshändigen Leptonen (rechtshändigen Antileptonen)

5 Analysiere Prozess der schwachen Wechselwirkung: Masse des W Bosons: M W = 80.4 GeV.. r n = -+ lr*,,ru γ µ +,(e)l,*r*"' I 4 u 4 v o d l i y n t : "'\\ q' - Nt-vt ''F 2 lnrk, )ru+ γ ν ur bei Impulsüberträgen q 2 << M 2 W : 4-Fermion-Kontaktwechselwirkung L eff int = =., - y,)q - #(ruru, Qtu v)vt) mit der Fermi - Kopplungskonstante G p = ' 5 o 2 v - 6 8Ml* = I s GeV-z = lo-5. Mi2 { = : - ( v e r g r e i c h e, * = : ) 4x 29.6 \ r ', 137 )

6 7.5 Anwendungen der V-A - Theorie Myonzerfall p-(p) Matrixelement: n f Ge / a y L e- (p') i"(k') l.t, :p=(mv,o) e- '. p' = (E',F') /'llz-achse v *:k=(a,i) D":k'=1a',t) n(qy,,(r - T)u(p) u(p')tq - T)v(k') ) Linkshändige Spinoren für ν µ, e ; rechtshändiger Spinor für ν e zum Beispiel: u(k) = N σ ˆk ft=h(x3:nf) / cos 0 e{o sin 9\ = 6 ' K = (eiosing -cosl ) t. = (""?l;lf *) X -= / -e-a sin I \ (,or! ' ) '

7 zurück zum Matrixelement: *,, = - T)u(p). u(p)t(t - f;u1t'; v(k ) = #oft)yuq bzgl. z-achse bzgl. z-achse Quadriertes Matrixelement nach Spin-Mittelung: I f, M 1,1: = 32 Girtfio)' (mt, - 2r;. 1J wobei verwendet wurde (mit näherungsweise masselosen Neutrinos und Elektron):..4, 4aE, si'f :!! - Z@E,(l-cos g,*) = 2k. p, = (k+ p,)t = Q) - k,). = m?*-zmra, /. Phasenraum: d3ft dtp' di k',a.4 c(4), t,.,. - p' - k - k') (2tr)32a(2Tr)32E' 12r,132a'12n;46(4)1p... nach Integration über Winkel: 1. _,. 3zT(dE'da'

8 Differentielle Zerfallsbreite: d2f ci =, ltrtu - 2a' \ *, * fi"'ua)' Energie des elektronischen Antineutrinos: untere Grenze für 0u, =, : m*(m*-2a') = 4E'@ = 4E'Qnr,- E' =+ '' = - E? obere Grenze für 0r, = 0 :!-t-g'.r' Energiespektrum des Elektrons beim Myonzerfall:,+ d f f., d 2 l - r n u G 2 o. -,., l= = ld.:o'- =_*(L)-(3m,,-4E') P '?-u' de' I da'de' IZrJ

9 Energiespektrum der Elektronen beim Myonzerfall,+ d f f., d 2 l - r n u G 2 o. -,., l= = ld.:o'- =_*(L)-(3m,,-4E') P '?-u' de' I da'de' IZrJ... + Korrekturen N o l O X U rtl 5 x ro s 0 Impuls p [MeV/c]

10 Zerfallsbreite des Myons nach nochmaliger Integration: Glnl f(p- - e-v"v*) = = Q.r97' 10-6 s)-1 u=e= \ ;;# (... + Korrekturen) Ergebnis: mit der Myonmasse m µ = ± MeV und der gemessenen Lebensdauer τ µ = ( ± ) 10 6 s folgt die Fermi - Kopplungskonstante: G F = ( ± ) 10 5 GeV 2

11 7.5.2 Berechnung des R-Verhältnisses beim Pion-Zerfall R _ f(n e u.) f(n- --+ p-ur) d 1 n-tp+ft) w- / > - - l i l l l l l l l l l l l l { starke WW Vektor- und Axialvektor-Ströme der Quarks: V \ v$u(x) = Y.,(,{)y''Y.r(x) alirt.rl =v,(if Es gilt: (0llzlu(x)]n-(q)l = 0 (wg. Parität) " \ schwache WW e-(p) t,(k) t'ya(x) Matrixelement des Axialvektor-Stroms (0lA[u(x)ln-(q)) = rv5f ^qp Pion-Zerfallskonstante f π = 92.4 MeV

12 Matrixelemente für die Zerfälle π µ + ν µ und π e + ν e l A* ---J\ (..-i T- a ν l MMn x Grf n(pt' + kl') try(p)yr(1 - fi ys)v,(ft) x / \ x u{p)l '-\{z yup, (1- ys) + y,rkl' (l - ys) lr"(k) = mut(p)(i - Ts)v"(k) v ν :,z / =tttt, aus Dirac-Gl. =n\=o Quadriertes Matrixelement nach Spin-Summation: \ ,, 7 ) - ) \ ) lm tl- r nq P ' k = ttli -r \t4l,,!_y, ) = S P i n t ' t - I v,ri E,(Et* E,) =,nf,e,m Energie- und Impulserhaltung: t lful = 1-F"l = -Eu mt n"*{4*7;;=eu+ - F m;"mt ) m

13 Phasenraum:.t ffiffief'ri)adta)1p Irl +nzar.l OU O' t66t*" d3p dik t.t ffiffief'ri)adta)1p - P - E{P) - E"(P)) = - k) = r pt EtEu _ lf"l Eu.--l.--z I t t T - r t t Q - - 4tt EyEu pmn 4ttntn 4xmn R - r r r l es folgt: f(n ---[us) x,"1{*?^ - *tf rne\m+ I - 2,. ' I nrj)\ R = ( mpvn; ', - '"?t) / P = 1.28' I}-a Experimenteller Wert: (1.230 ± 0.004) 10 4 Entscheidend: nur links-händige Leptonen und rechts-händige Antileptonen koppeln an das W-Boson! t von R t 0.23) Ohne diese Einschränkung wäre nis Rp6nr.,raum = 0"?^ - nlltpn?^ - *'*) = 2.34 Bei Leptonen mit Masse gilt: Chiralität = / Helizität Anteil positiver Helizität eines links-händigen Leptons ist prop. zu 1 - ) r l - Y Q ^rr-c2ei I -8,- = =l-.=l-- t : - t ). - 4 ) tnr" q

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