Bauelemente der Optoelektronik Lichterzeugung und Photovoltaik

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1 Bauelemente der Optoelektronik Lichterzeugung und Photovoltaik Lösungen zur Übungseinheit Photometrische Größen c Frank Demaria, DVI erzeugt am 11. November Fahrradbeleuchtung (a) LUX, lx (korrekte Schreibweise nach SI) 1 lx=1 lm m 2 Einheit der Beleuchtungsstärke (illuminance), aber auch sinnvoll und gebräuchlich für die spezifische Lichtausstrahlung (luminous emittance, Displays, OLEDs). Geht aus der radiometrischen Größe Bestrahlungsstärke [W m 2 ] (irradiance) beziehungsweise der spezifischen Ausstrahlung (radiant exitance) hervor. Die Beleuchtungsstärke in lx erhält man aus dem Quotienten der Lichtstärke einer Lichtquelle in cd und dem Quadrat der Entfernung in m. E v = I v sr. (1) r2 Eine gewisse Inkonstistenz ergibt sich aus der dimensionslosen Einheit steradiant (sr) für den Raumwinkel, weshalb beim Rechnen mit Einheiten besondere Vorsicht geboten ist. Dies ist in (1) durch die formale Multiplikation mit sr berücksichtigt. (b) Laut der technische Anweisung TA23 als Zusatz zum 67 StVZO (Straßenverkehrszulassungsordnung) wird die Abstrahlcharakteristik eines Scheinwerfers für Fahrräder über die Beleuchtungsstärke geprüft, die auf einem Messschirm in 1 m Entfernung hervorgerufen wird. Unter anderem muss die maximale Beleuchtungsstärke auf einer horizontalen Verbindungslinie zum Scheinwerfer liegen und minimal 1 lx betragen, für Scheinwerfer mit einem Lichtstrom Φ v < 42 lm. Solche mit einem Lichtstrom Φ v > 42 lm müssen dort mindestens eine Beleuchtungsstärke von 2 lx erzeugen. Wird der Scheinwerfer als punktförmige Strahlquelle angenähert ergibt sich mit I v = E v r 2 sr = 1 lm 12 m 2 m 2 sr = 1 cd eine Abschätzung für die hierfür notwendige Lichtstärke. (c) Da die Abstrahlcharakteristik I v (θ) nicht bekannt ist, lässt sich nichts konkretes über den Lichtstrom sagen. 1

2 2. Glühlampe Hinweis: ein interaktives Applet zur Visualisierung der Größen findet sich unter fotometrie applet.html Wir betrachten die Strahlquelle als punktförmig. Dies ist näherungweise gewährleistet, so lange der Abstand r größer ist als die 1-fache größte Ausdehnung der Quelle. Die Glühlampe hat einen Lichtstrom Φ v = 123 lm = 123 cd sr. (a) Die Lichtausbeute η v ist der Quotient aus Lichtstrom Φ v und aufgenommener elektrischer Leistung P el. η v = Φ v 123 lm = 17.6 lm/w. P el 7 W (b) Die Lichtstärke I v (θ, ϕ) ist der differenzielle Lichtstrom pro Raumwinkelelement, dieser ist im Allgemeinen richtungsabhängig. Für einen isotropen Strahler gilt I v (θ, ϕ) = dφ v(θ, ϕ) dω. I v = Φ v Ω = Φ v 4π sr Die Lichtstärke ist unabhängig vom Abstand! = 123 lm 4π sr 97.9 cd. (c) Wir beschränken uns auf den Fall, dass das Licht senkrecht auf die beschienene Fläche fällt (cos α = 1). Die Beleuchtungsstärke E v ist der differenzielle Lichtstrom dφ v pro differenzielles Flächenelement des Empfängers da e. Wegen da e = dω r 2 hängt die Beleuchtungsstärke quadratisch vom Abstand ab. Im anisotropen Fall gilt E v (r) = dφ v da e = dφ v dω r 2 = I v r 2 sr. E v (r, θ, ϕ) = I v(θ, ϕ) r 2 (d) Es kann näherungsweise angenommen werden, dass der Abstand zur Strahlquelle und damit die Beleuchtungsstärke E v über die gesamte Papierfläche konstant ist. sr. E v = 97.9 cd sr m lx. 2

3 (e) r = Iv sr E v 97.9 cd sr m 2 1 lm.99 m. (f) Welcher Raumwinkel entspricht einem Kreissegment mit einem Winkel von 2θ = 3? dω = sin θ dθ dφ Ω = θ dω = 2π Ω = 2π(1 cos θ) sin θ dθ = 2π [ cos θ ] θ φ dω Für den beleuchteten Raumwinkel erhält man Ω = 4π 2π(1 cos θ) Ω = 2π(1 + cos θ) = 2π(1 + cos 15 ) 2π θ 2θ und damit I v = Φ v Ω = 123 lm 2π(1 + cos 15 ) sr 99.6 cd. (g) Die spezifische Lichtausstrahlung folgt aus der Beleuchtungsstärke durch Multiplikaion mit dem Reflexionsgrad. M v = ρ v E v = lm m 2 = 34.8 lm m 2. (h) Es muss unterschieden werden, zwischen dem Lichtstrom der Lampe Φ v und dem vom Papier diffus reflektierten Lichtstrom Φ v. Letzterer ergibt sich aus der spezifischen Lichtausstrahlung durch Integration über die gesamte Papierfläche, Φ v = M v da s. A s Bei konstanter Lichtausstrahlung erhält man Φ v = M v A s. Da nunmehr das Papier als Licht aussendende Fläche zu betrachten ist, ist dessen Sendefläche A s entsprechend indiziert. Das Format A besitzt eine Fläche von 1 m 2. Das Format A5 besitzt die Fläche von 1/2 5 m 2 = 1/32 m 2. Damit ergibt sich der gesuchte Lichtstrom zu Φ v = 34.8 lm m m2 = 1.9 lm. 3

4 (i) Vorbetrachtung Das Blatt Papier ist ein Lambert-Strahler mit einer Lichtstärke I v (θ), die gemäß I v (θ) = I cos θ (2) in den gesamten Halbraum abstrahlt. Der dadurch erzeugte Lichtstrom Φ v ergibt sich durch Integration über den Halbraum. Φ v = Ω I cos θdω = 2πI π/2 [ cos θ sin θdθ = πi sin 2 θ ] π/2 = πi Ein Lambert-Strahler erzeugt im Halbraum den Lichtstrom Damit kann (2) modifiziert werden zum Zusammenhang zwischen Lichtstärke und Lichtstrom Φ v = πi. (3) I v (θ) = Φ v π cos θ. (4) Im vorliegenden Fall erhält man aus (3) die senkrecht abgestrahlte Lichtstärke I = Φ v π =.346 cd damit beschreibt (2) die winkelabhängige Lichtstärke. Die Leuchtdichte L v ergibt sich aus der Lichtstärke durch Differenzieren nach dem perspektivischen Flächenelement da s cos θ L v = di v da s cos θ = dφ v πda s. Im speziellen Fall der homogenen Ausleuchtung, die auch hier näherungsweise gegeben ist, gilt woraus man durch Einsetzen erhält Zum Vergleich: L v = L v = Φ v πa s = I A s,.346 cd 1 32 m2 = 11.1 cd m 2. 4

5 L v [cd/m 2 ] Blatt Papier, 7 W Halogenlampe, 1.5 m Abstand (Aufgabe 2i) 11 Handelsübliche LC-Displays 1 55 Handelsübliche Plasma-TV 2 15 Sonne am Horizont Sonne am Mittagshimmel Tabelle 1: Beispiele für Leuchtdichten. 3. LEDs (a) λ a = 58 nm gelb λ b = 45 nm blau (violett?) (b) Allgemeine Vorbetrachtung I v : Lichtstärke, (photometrische Größe, Helligkeit ) I r : Strahlstärke, (radiometrische Größe) Zusammenhang X v = K m 78 nm 38 nm V (λ) X r (λ) dλ mit X r = X r (λ) dλ (5) K m : Photometrisches Strahlungsäquivalent (Tag/Nacht) Xr (λ): Spektrale Verteilungsfunktion der radiometrischen Größe X r V (λ) : Helligkeitsempfindlichkeitsfunktion des CIE Normbeobachters (siehe Abb. 2) Sonderfall Monochromasie bei der Wellenlänge λ Xr (λ) = δ(λ λ )X r Mit (5) und X v = K m δ(λ λ )V (λ)x r dλ erhält man die zugeordnete photometrische Größe durch einfache Multiplikation gemäß X v = K m V (λ ) X r. (6) 5

6 Spektrale Augenempfindlichkeit.87.8 Nacht Tag V (λ) V(λ).8 Scotoptisch Photoptisch Wavelength / nm Abbildung 1: Relative spektrale Hellempfindlichkeiten für die gegebenen Wellenlängen λ a = 58nm und λ b = 45 nm bei Tag und Nacht. Aus dem Diagramm in Abbildung 2 erhält man die verschiedenen Werte der Hellempflindlichkeit. Tabelle 2 gibt eine Übersicht über die daraus berechneten Lichtstärken bei senkrechter Abstrahlung wieder. Bei Tag erscheint die gelbe Leuchtdiode 5 mal heller, währen bei Nacht die blaue Leuchtdiode ca. 3.8 mal heller strahlt! (c) Analog zur Leuchtdichte in Aufgabe 1 (g) lässt sich die Strahlstärke des Lambert-Strahlers über den Halbraum integrieren P r = = Halbr. 2π = 2π π/2 π/2 = πi r dp r dω dω = I r (θ, φ)dω I r (θ) sin θ dθ dφ = 2π π/2 I r (θ) sin θ dθ I r cos θ sin θ dθ = πi r [ sin 2 θ ] π/2 Die vom Lambert-Strahler in den Halbraum abgestrahlte Leistung beträgt P r = πi r. 6

7 λ a =58 nm λ b =45 nm K m (lm/w) Tag: V Nacht: V I r.3 mw/sr 1.3 mw/sr Tag: I v.18 cd.36 cd Nacht: I v.62 cd.233 cd Tabelle 2: Aus Abbildung 2 extrahierte Augenempfindlichkeitswerte, gegebene Strahlstärken und daraus mit (6) berechnete Lichtstärken bei senkrechter Abstrahlung (θ = ). Damit erhält man mit den Strahldichten aus Tabelle 2 P r,a = π.3 mw/sr.94 mw P r,b = π 1.3 mw/sr 4.8 mw (d) Analog zu (c) gilt: Der vom Lambert-Strahler in den Halbraum emittierte Lichtstrom beträgt Φ v = πi v. Mit den Leuchtdichten I v aus Tabelle 2 ergeben sich folgende Lichtströme: (e) λ a =58 nm λ b =45 nm Tag: Φ v.565 lm.113 lm Nacht: Φ v.195 lm.732 lm η v = Φ v P el Da die elektrische Leistungsaufnahme P el nicht gegeben ist, kann η v nicht berechnet werden. (f) Die Strahl- bzw. Leuchtdichte (L r bzw. L v ) ist die vom projezierten Flächenelement da cos θ in den Raumwinkel dω abgestrahlte Strahl bzw. Lichtstärke (di r bzw. di v ) Annahme: Homogene Abstrahlung di(θ) da L(θ) = I(θ) = konstant = A 7 di(θ) da cos θ. (7) = I cos θ A

8 Daraus folgt mit (7) L(θ) = I A. (8) Die Strahl- beziehungsweise Leuchtdichte des Lambert-Strahlers ist vom Betrachtungswinkel unabhängig. Mit (8), A = cm 2 und den Werten von I r, I v und I v aus Tabelle 2 erhält man die folgenden Strahldichten, sowie die Leuchtdichten am Tag und bei Nacht. Zum Vergleich siehe Tabelle 1 λ a =58 nm λ b =45 nm L r [W/(sr cm 2 )] Tag: L v [cd/m 2 ] Nacht: L v [cd/m 2 ]