Versuch 12 Messung großer Widerstände

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1 Physikalisches Praktikum Versuch 2 Messung großer Widerstände Praktikanten: Johannes Dörr Gruppe: 4 mail@johannesdoerr.de physik.johannesdoerr.de Datum: Katharina Rabe Assistent: Tobias Liese kathinka984@yahoo.de Oliver Schönborn hadesop@gmx.de Einleitung Die Messung großer Widerstände birgt mehrere Probleme in sich. Da man große Spannungen anlegen muss, um überhaupt um einen messbaren Strom zu erhalten, werden erstens größere Abweichungen und Verfälschungen wahrscheinlich (beispielsweise durch Blitzendladungen, die bei großen Strömen durch Ionisierung der Luft auftreten können, aber auch durch die Innenwiderstände der Messgeräte), sogar die Widerstände selbst sind gefährdet. Aufgrund dieser Tatsache bedient man sich einer Methode, die wir im kommenden Versuch näher betrachten werden. Der Versuch besteht aus mehreren Teilen, so finden auch die Bestimmung der Influenzkonstante und die Untersuchung elektrischer Schwingkreise einen Platz.

2 2 Theorie 2. Ohmsches Gesetz und Wheatstonesche Brücke Um den Widerstand eines Materials zu messen, bedient man sich in der Regel des ohmschen Gesetzes: U = R I. () Multimeter beispielsweise leifern bei der Widerstandsmessung eine Ausgangsspannung und messen gleichzeitig den Strom, woraus dann der Wert des Widerstands ermittelt wird. Bei größeren Widerständen muss das Messgerät eine ebenso größere Spannung anlegen, um den fließenden Strom in einem feststellbaren Bereich zu halten. Dies ist jedoch nicht immer möglich. Eine andere Möglichkeit der Wiederstandsmessung bietet die Wheatstonesche Brückenschaltung. Um den Wider- Figure : Wheatstonesche Brückenschaltung stand R X zu ermitteln, werden R, R 2 und R 3 so gewählt, dass keine Spannung U A mehr vorhanden ist. In der Praxis werden R und R 2 durch ein Potentiometer ersetzt, sodass ihre Werte leicht eingestellt werden können. Zumindest vom Spannungsmessgerät werden Störfaktoren wie der Innenwiderstand auf diese Weise abgeschaltet, da nur die Feststellung der Spannung 0V relevant ist. Die Werte der Hilfswiderstände müssen im Gegenzug sehr genau bekannt sein. Der Widerstand R X ergibt sich im ausgeglichenem Zustand U A = 0 dann aus: R X = R 2 R 3 R. (2) Mit demselben Aufbau können Impedanzen, Kapazizäten und Induktivitäten bestimmt werden. 2.2 Widerstandsmessung per Kondensatorentladung Ein aufgeladener Kondensator kann über einen Widerstand wieder entladen werden. Wie lange es dauert, bis die gesamte Ladung des Kondenstators abgeflossen ist, hängt von der Größe des Widerstandswertes ab. Der zeitliche Verlauf der Entladung lässt sich mathematisch ausdrücken durch: [ Q(t) = Q 0 exp ] RC t. (3) Hierbei ist C die Kapazität des Kondensators und Q 0 die Anfangsladung. Sind sie bekannt, so kann hiermit ebenfalls der Widerstand R bestimmt werden. Zu Messen ist dazu die Ladung Q(t) an zwei verschiedenen Zeitpunkten t und t 2. Dann ergibt sich: [ ] Q(t ) t2 t = exp Q(t 2 ) RC (4) R = t 2 t C ln ). (5) ( Q(t) Q(t 2) 2

3 Dies funktioniert jedoch nur bei großen Widerständen gut, da sonst die Entladung zu schnell verläuft und somit schwer messbar ist. Beachtet werden muss auch der Widerstand des Isolationsmediums des Kondensator, der nur im Idealfall einen unendlichen Wert annimmt. Bestimmen lässt sich dieser mit demselben Aufbau, nur ohne externen Widerstand. Man beobachtet dabei, wie der Kondensator von selbst Ladung verliert, und ermittelt daraus seinen Widerstand, der von späteren Messungen, die ja immer der Gesamtwiderstand (Parallelschaltung vom Insolationsund Außenwiderstand) errechnen, im Kehrwert subtrahiert wird. 2.3 Analoger Stromintegrator Bleibt zu lösen, wie die Ladung, die den Kondensator verlässt, gemessen werden kann. In Versuch wurde das Ballistische Galvanometer behandelt. An seinem Ausschlag kann abgelesen werden, wie stark der Stromstoß war, der durch das Galvanometer geflossen ist. Für eine noch präzisere Messung eignet sich ein Stromintegrator. Er besteht neben Widerstand und Kondensator aus einem Operationsverstärker. Ein Operationsverstärker misst die Spannung an zwei Eingängen U und U + und gibt deren Differenz verstärkt am Ausgang aus. Es handelt sich hierbei um ein sehr universelles Bauteil, das in verschiedensten Schaltungen zum Einsatz kommt und abhängig davon verschiedene Funktionsweisen aufweist. Eine wichtige Verschaltungsart ist hierbei die Rückkopplung, sie kommt auch bei dem Stromintegrator zum Einsatz. Figure 2: Grundschaltung des Operationsverstärkers Abbildung 2 zeigt die Grundschaltung eines Operationsverstärkers. Gehen wir zunächst davon aus, dass beide Eingänge + und Massepotential haben, also auch U E = 0. Dann ist auch die Ausgangsspannung U A = 0. Wird nun an U E eine positive Spannung angelegt, so ist ab jetzt eine Potentialdifferenz zwischen den beiden Eingängen vorhanden, weshalb U A schlagartig, man denke an die hohe Verstärkung, positiv steigt. Sie schießt über den Wert von U E hinaus, allerdings ist U A mit dem Eingang gekoppelt, weshalb nun eine umgekehrte Potentialdifferenz an den Eingängen vorliegt. U A wird also wieder negativ, und der Vorgang würde sich theoretisch mit einer sehr hohen Frequenz wiederholen, wäre die Anstiegsgeschwindigkeit des Ausgangs nicht begrenzt. Da sie dies jedoch ist, pendelt sich U A auf einen Wert ein, der bei der Eingansspannung liegt. Bei dieser Schaltung hat der Operationsverstärker also eine Verstärkung von. Wie aus dem oben beschriebenem Vorgang auch klar wird, wirkt der eine Eingang des OPs invertierend und wird aus diesem Grund mit gekennzeichnet. Legt man an ihn ein Potential an, während + auf Masse liegt, so wird es am Ausgang mit umkehrtem Vorzeichen verstärkt ausgegeben. Beim normalen Eingang + bleibt das Vorzeichen hingegen unverändert. Das Verfahren der Rückkopplung ist, wie man sieht, bestens geeignet, um die sehr hohe Verstärkung, die bei einem idealen OP bei unendlich liegt, zu bändigen. Neben den Ein- und Ausgängen besitzt ein Operationsverstärker zwei Eingänge für die Versorgungsspannung. Dass die Verstärkung nur bei einem idealen OP gegen unendlich geht, liegt natürlich auch darin begründet, dass die Versorgungsspannung begrenzt ist. Einen linearen Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung findet man nur in einem bestimmten Bereich, andernfalls liegt U A auf Versorgungspotential oder Masse. Somit eignen sich Operationsverstärker auch für binäre Operationen. Ein Stromintegrator lässt sich nun so konstruieren, wie in Abbildung 3 gezeigt. Der nicht-invertierende Eingang ist auf Masse gelegt, sodass die Potentialdifferenz an den Eingängen dem eigentlichen Potential am invertierenden 3

4 Figure 3: Stromintegrator Eingang entspricht. Diese wird negativ verstärkt, was zu einer Aufladung des Kondensators führt. Diese führt, obwohl wir U E zunächst als konstant annehmen, zu einer Erhöhung des Potentials am invertierenden Eingang, sodass die Ausgangsspannung weiter steigt. Dies entspricht mathematisch der Integration eines konstanten Wertes über die Zeit. Wir betrachten dies nun quantitativ. Als I R bezeichnen wir den Strom durch den Widerstand, als I C den durch den Kondensator. Da die Eingangswiderstände von Operationsversärkern sehr hoch und vernachlässigbar sind, gilt nach der Kirchhoffschen Regel am nicht-invertierenden Eingang: Für I C gilt: Mit I R = U E /R ergibt sich dann: I R + I C = 0. (6) I C = Q = C U A. (7) du A = RC U E (8) U A = RC t t 0 t U E dt = I R dt. (9) C t 0 Die Ausgangsspannung ist also proportional zum Zeitintegral des Stroms, der über R fließt. 2.4 R-L-C-Parallelkreise Im Folgenden werden wir uns mit der Parallelschaltung von Kondensator und Spule mit ohmschen Widerstand (R-L-C-Kreise) beschäftigen, die an einen Impulsgenerator angeschlossen ist. Sie spielt in der Technik eine große Rolle, ebenso in unserem Versuch. Ein R-C-L-Kreis ist mit einem mechanischen Schwinger vergleichbar. In ihm sind Kondensator und Spule parallel geschaltet, den ohmschen Widerstand wollen wir zunächst ignorieren. Legt man an die Schaltung kurzzeitig eine Spannung an, so läd sich der Kondensator auf, während durch die Spule auf Grund der starken Selbstinduktion kaum Strom fließen kann. Der Strom durch die Spule wird jedoch immer stärker und entläd schließlich den Kondensator. Befindet sich keine Ladung mehr auf ihm, kann wiederum wegen der Selbstinduktion der Strom nicht schlagartig auf null absinken, weshalb der Kondensator nun umgekehrt aufgeladen wird. Nun beginnt dieser Vorgang von vorn. Mit zugeschaltetem ohmschen Widerstand wird der Vorgang zu einer gedämpften Schwingung. Die dadurch entstehenden Verluste kann man durch kontinuierliche Spannungsimpulse ausgleichen, die natürlich die passende Frequenz haben müssen. Diese Schaltung nennt man in der Technik Sperrkreis, denn mit ihr kann eine bestimmte Frequenz aus einem Signal gefiltert werden, nämlich die, bei der der Schaltkreis schwingt. Der ganze in die Schaltung eingeflossene Strom ist dann in dem Kreisstrom zwischen Spule und Kondensator gefangen und kann die Schaltung somit nicht verlassen, der Stromfluss ist für diese Frequenz also unterbrochen. 4

5 Mathematisch ergibt sich eine zum mechanischen Fall ähnliche Differentialgleichung. Da es sich um eine Parallelschaltung handelt, gilt laut der Maschenregel nach einem Spannungsimpuls: Dies lässt sich auch schreiben als: U C + U L + U R = 0 (0) Q C + L Q + R Q = 0. () mit β = R 2L, ω 0 = wobei ω 2 = ω 2 0 β 2. LC. Diese Gleichung wird gelöst durch: Q + 2β Q + ω 2 0Q = 0, (2) Q(t) = Q 0 e βt cos ωt, (3) Wie bei mechanischen Schwingungen ist β der Abklingkoeffizient, aus dem sich mit der Periodendauer T das logarithmische Dekrement ergibt: Λ = β T. (4) 2.5 Hoch- und Tiefpass Ein Hochpass lässt hohe Frequenzen passieren. Er besteht aus einem Kondensator, der zwar für einen Gleichstrom einen unendlich großen Widerstand hat, sich bei einer Wechselspannung jedoch schnell auf- und wieder entläd und somit kein Hindernis darstellt. Je kleiner die Frequenz ist, desto größer muss die Kapazität des Kondensators sein, da über einen längeren Zeitraum der Strom auf den Kondensator fließt. Kann dieser nämlich dabei nicht die ganze Ladung aufnehmen, ist der Kondensator auch für den Wechselstrom ein Hindernis. Mit einer Spule lässt sich ein Tiefpass realisieren. Für einen Gleichstrom ist sie abgesehen vom ohmschen Widerstand kein Hindernis. Bei einem Wechselstrom hingegen wird permanent ein Magnetfeld erzeugt, das einer Änderung des Stromflusses entgegenwirkt. Dieser Effekt wird Selbstinduktion genannt. Er wird mitzunehmender Frequenz stärker, weshalb eine Spule also hohe Frequenzen schlecht, niedrige jedoch sehr gut passieren lässt. Ein Bandpass ist eine Reihenschaltung von Kondensator und Spule und kombiniert Hoch- und Tiefpass. Durch ihn kann nur ein bestimmer Frequenzbereich passieren, da größere und kleinere Bereiche von Spule bzw. Kondensator blockiert werden. 3 Durchführung. Eichung: Kalibrieren Sie das Ladungsmessgerät (Stromintegrator) in Amperesekunden mit Hilfe von Eichgenerator und Oszilloskop durch mindestens 5 verschiedene Messungen (5 verschiedene Zeiten). 2. Entladung: Der Plattenkondensator wird mit Hilfe der Wippe zuerst auf 220V (Schutzwiderstand) aufgeladen und dann sofort durch den Messkreis entladen (t = 0s). Ladung Q 0 (0) notieren! Die Messung sollte 5 Mal durchgeführt werden. Parallel zum Plattenkondensator wird der unbekannte Widerstand R X geschaltet, der Kondensator aufgeladen und dann jeweils nach bestimmte Zeiten t über das Ladungsmessgerät entladen (d.h. nach jeder Messung bitte neu aufladen!). Man messe die nach der Zeit t auf dem Kondensator verbliebene Ladung Q(t). Mindestens 0 Messpunkte sind nötig. Zur Bestimmung des Isolationswiderstandes R Iso wird Messung 2b ohne den unbekannten Widerstand wiederholt, mindestens 5 Messpunkte. Dabei ist auch t = 0 ein Messpunkt. 5

6 3. Schwingkreise (RC und RLC): Messung des Spannungsverlaufs U(t) am Kondensator (Plattenkondensator) bei Aufladung mit dem Impulsgenerator. Benutzen Sie bitte hierfür das bereitstehende Digital-Oszilloskop mit Drucker. Impulsgenerator allein (zur Kontrolle). Impulsgenerator mit Plattenkondensator. Plattenkondensator mit 2M Ω Widerstand parallel. Plattenkondensator mit unbekanntem R X parallel. Plattenkondensator mit Drosselspule parallel. Plattenkondensator mit Luftspule parallel. Kommerzieller Kondensator mit 2M Ω Widerstand parallel. 4. Messen Sie bitte den Ohmschen Widerstand R L von Drosselspule, Luftspule, 2MΩ Widerstand R 2, Plattenkondensator R Cpl und den unbekannten Widerstand R X mit einem Multimeter und notieren sie diese. Notieren Sie die Daten der Luftspule. 5. Messen Sie die Kapazität des Plattenkondensators C P l und des Folienkondensators C F mit dem Multimeter. 4 Auswertung 4. Bestimmung der Eichkonstante (.) Figure 4: Lineare Regression zur Bestimmung der Eichkonstante 6

7 Der angezeigte Wert x des Stromintegrators ist proportional Ladung, die durch ihn fließt. Q = G x. (5) Bei der Eichung wird für ein bestimmtes Zeitintervall t eine konstate Spannung U angelegt. Ist R ν der Einganswiderstand, dann ergibt sich die Ladung Q aus: Q = U R ν t. (6) Wir tragen nun Q gegen x auf (Abbildung 4) und erhalten mit linearer Regression die Eichkonstante: G = 0,4(2) nc/skt Im weiteren Verlauf der Auswertung wird Q immer anhand dieser Konstanten aus dem Ablesewert des Stromintegrators berechnet. 4.2 Bestimmung von ɛ 0 (2.) Nach Kirchhoff gilt für die Kapazität des Kondensators mit n Platten, dem Plattenradius r und dem Plattenabstand d: [ ( ( ) )] πr 2 6πr C n = (n ) ɛ 0 ɛ r d + r ln. (7) d Mit C = Q/U und der Näherung ɛ r = folgt dann: ɛ 0 = U (n ) [ πr 2 d Q + r (ln ( 6πr d ) )]. (8) Mit dem Mittelwert der gemessenen Ladungen (Q =,0(2) 0 7 C bei U = 220V ) erhalten wir einen Wert von: ɛ =,4(2) 0 2 AsV m Der Wert ist leider viel zu klein, trotz langer Fehlersuche konnten wir keinen Grund hierfür finden. 4.3 Bestimmung von R x und dem Isolationswiderstands (3.) Zunächst bestimmen wir den Isolationswiderstand des Kondensators. Die Ladung auf dem Kondensator der Kapazität C nimmt bei der Entladung (in diesem Fall über den Isolationswiderstand R iso ) logarithmisch ab: ( Q(t) = Q(0) exp t ). (9) R iso C Tragen wir den Logarithmus von Q gegen die Zeit t auf (Abbildung 5), so erhalten wir durch lineare Regression die Steigung m, für die gilt: m = R iso C. (20) Mit dem oben berechneten Wert für die Kapazität C erhalten wir für R iso einen Wert von: R iso = 2,(2) 0 2 Ω 7

8 Figure 5: Logarithmus der Ladung in Abhängigkeit von der Zeit. Entladung nur über den Isolationswiderstand Figure 6: Logarithmus der Ladung in Abhängigkeit von der Zeit. Entladung mit unbekanntem Widerstand R x 8

9 Die Berechnung von R x verläuft analog. Abbildung 6 zeigt die zugehörige Regression. Bei der Messung entläd sich der Kondensator sowohl über R x als auch über R iso. Wir errechnen deshalb zunächst den Gesamtwert dieser beiden Widerstände und subtrahieren schließlich: Dann ergibt sich für den unbekannten Widerstand ein Wert von: R x = R ges R iso. (2) R x =,6(7) 0 0 Ω Wir können die Ergebnisse leider nicht mit direkt gemessenen Werten vergleichen, da die vorhandenen Messgeräte dermaßen große Widerstände nicht ermitteln konnten. 4.4 Spannungsverläufe im Schwingkreis (4.) Zunächst müssen wir anmerken, dass unser Oszilloskop vorzeichenverkehrt angeschlossen war, weshalb die Spannungsverläufe an einer horizontalen Achse gespiegelt werden müssen. Die Ausdrucke der Messungen mit dem Oszilloskop befinden sich im Anhang. Ausdruck (a) und (a2) zeigen die Spannungsimpulse des Impulsgenerators ohne zusätzlichen Kondensator oder Spule. Bei Ausdruck (b) wurde der Plattenkondensator hinzugeschaltet, weshalb die Spannung nach dem Ende des Spannungsimpulses nur langsam abfällt. In Ausdruck (c) wurde der Widerstand R 2 parallel zum Kondensator geschaltet, weshalb sich dieser nach dem Impuls schneller entläd. Die Größe des Widerstands wurde in Ausdruck (d) erhöht (R x ), weshalb sich der Kondensator langsamer entläd und lange vor einer vollständigen Entladung wieder erneut aufgeladen wird. Bei Ausdruck (e), (f) und (f2) sind Kondensator und Drosselspule bzw. Luftspule parallel geschaltet. Man sieht eine abklingende Wechselspannung nach dem Impuls eintreten, da Spule und Kondensator einen Schwingkreis bilden. Auf Grund der ohmschen Widerstände der Spulen nimmt die Amplitude ab. Ausdruck (g) ist wieder ähnlich zu (c), es handelt sich dort um einen kommerziellen Kondensator. 4.5 Spannungsverläufe im Schwingkreis (5.) Da die Kapazität eine Konstante ist, gilt mit (9) ebenso: ( U(t) = U(0) exp t ) R iso C. (22) Wir tragen die Spannung von (b) und (c) logarithmisch gegen die Zeit auf (Abbildung 7) und bestimmen die Steigungen, für die gilt: m b = (23) R ges C m c = R Oszi C. (24) Mit R ges = R oszi + R Z, dabei ist R Z der Zusatzwiderstand parallel zum Kondensator, setzten wir nun über C gleich: Damit erhalten wir einen Wert von: = m c R ges (25) m b R ( Oszi ) m b R Oszi + R Z R Oszi = (26) m c R Oszi = (m c m b ) R m m b (27) 9

10 Figure 7: Logarithmus der Spannung in Abhängigkeit von der Zeit. R Oszi = 4,8(6) 0 6 Ω Aus (24) errechnen wir die Kapazität des Kondensators und erhalten: Damit erhalten wir einen Wert von: C =,(8) 0 6 F Dies enspricht leider nicht dem gemessenen Wert von C = 3,27nF. 4.6 Bestimmung von R x (6. und 8.) Um nun die Größe des unbekannten Widerstands zu errechnen, verwenden wir wieder: m d = R ges C, (28) wobei sich diesmal der Widerstand R ges aus den parallel geschalteten R x und R Oszi zusammensetzt. Die zugehörige Regression ist in Abbildung 8 zu sehen. Als Wert für C verwenden wir den direkt gemessenen (C = 3,27nF ), da wir ihn für wesentlich genauer, als den oben berechneten. Für R x ergibt sich: Als Ergebnis erhalten wir: R Oszi R x = m d C R Oszi +. (29) R x = 4,8(6) 0 6 Ω Dieser Wert liegt in einer ganz anderen Größenordnung als der aus Auswertungsteil 3. Da wir mit dem Multimeter den Widerstand nicht direkt messen konnten, wissen wir nicht, welcher der Werte dem wirklichen näher kommt. 0

11 Figure 8: Logarithmus der Spannung in Abhängigkeit von der Zeit. 4.7 Bestimmung von R x (7.) Figure 9: Logarithmus der Spannung in Abhängigkeit von der Zeit. Abbildung 9 zeigt den Logarithmus der Spannung in Abhängigkeit von der Zeit von Messung (e) und (f2). Wir bestimmen aus der Regression das logarithmische Dekrement unter Einbeziehung der Periodendauer T : Λ = m T. (30)

12 Es gilt: L = C Λ e = 0,35(4) Λ f2 = 0,27(2) In einem Schwingkreis gilt für das logarithmische Dekrement: ω0 2 + = β2 C T 2 4π 2 + Λ 2. (3) Λ = R 2L T. (32) Dabei ist R der ohmsche Widerstand, bestehend aus dem der Spule und dem des Oszilloskops (in Parallelschaltung), und L ist die Induktivität der Spule. Mit (3) können wir nun auf L schließen, und danach mit (32) den Widerstand R berechnen. Unter Berücksichtigung des bereits bekannten R Oszi erhalten wir für Messung (e): Für die Messung (f2) ergibt sich: L = 2(2) H R L = 6673(50) Ω L = 0,075(8) H R L = 202(7) Ω Bei der Drosselspule (e) weicht der Widerstandswert sehr stark von dem direkt gemessenen ab (732%). Die Abweichung bei der Luftspule beträgt 07%. Die Differenzen der Ergebnisse sind also bei beiden Spulen sehr groß. Bei der Drosselspule tritt der Effekt der Selbstinduktion auf Grund des Eisenkerns verstärkt auf, da bei der Messung mit dem Multimeter jedoch keine Spannungsänderungen stattfinden und der Effekt demnach nicht vorhanden ist, ist die Abweichung zwischen beiden Werten besonders groß. 4.8 Kapazität des kommerziellen Kondensators (9.) Mit m g = R ges C (33) bestimmen wir die Kapazität des kommerziellen Kondensators. R ges =,52(38)MΩ setzt sich aus R Oszi und dem parallel geschalteten Zusatzwiderstand R Z = 2MΩ zusammen. Die Regression ist in Abbildung 0 dargestellt. Wir erhalten: C = 2,5(7) F Von dem gemessenen Wert hat dies eine Abweichung von 38%. 4.9 Induktivität der Luftspule (.) Die Induktivität einer Spule lässt sich mit L = µ 0 A n2 l berechnen, wobei A die Querschnittsfläche und n die Windungszahl ist. d = 0,05m und der Länge l =,0m ergibt sich ein Wert von: (34) Mit n = 2800, dem Durchmesser L = 0,09 H Im Vergleich mit der oben ermittelten Induktivität ergibt sich dafür eine Abweichung von 8%. Leider konnten wir in diesem Versuch selten so geringe Abweichungen feststellen. 2

13 5 Diskussion Figure 0: Logarithmus der Spannung in Abhängigkeit von der Zeit. Die Auswertung zu diesem Versuch bleibt und als sehr aufwändig in Erinnerung und mal wieder fragt man sich, ob etwas weniger nicht mehr gewesen wäre. Leider wurde unsere Mühle nicht durch gute Ergebnisse belohnt, woran dies lag, können wir schlecht sagen. Der Stromintegrator sollte eigentlich sehr genaue Ergebnisse liefern, dafür ist die grafische Auswertung der Ausdrucke nicht unbedingt präzise, doch auch hier haben wir uns Mühe gegeben. Auf jeden Fall ist die Theorie zu diesem Versuch interessant. 3