Ereignisse mit den logischen Prädikaten und oder nicht weder noch

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1 STOCHASTIK Teil 4 Logik Teil 1 Datei SOD Drucken nur von der athematik-cd möglich anuskript F. uckel Juni 2000 Internatsgymnasium Schloß Torgelow

2 Stochastik 4 Logik 1 1 reignisse mit den logischen Prädikaten und oder nicht weder noch it den vier in der Überschrift genannten Wörtern kann man Aussagen verknüpfen und so neue Aussagen bilden. eziehen sich diese Aussagen auf reignisse, zu denen man die Wahrscheinlichkeit berechnen soll, dann entstehen schnell sprachlich nur schwer verständliche Konstruktionen, die nur mit den itteln der Logik bzw. engenlehre auflösbar werden. Das wichtige Hilfsmittel dazu ist das sogenannte Carnaugh-Diagramm (gelesen Karnaff-Diagramm) Dieses stellt die Grundmenge als echteck dar, die horizontal und vertikal in Komplementärmengen zerteilt wird. eispiel 1: In einer Schulklasse mit Kindern befinden sich 16 Jungen und 8 ädchen. Unter diesen Kindern sind bereits 15 aucher, 6 davon sind ädchen. (1) (2) (3) (4) Zu einer Schnittmenge A J Die erste Zerlegung in Komplementärmengen ist ädchen Jungen ( J ), die zweite aucher ichtraucher. ( ). Damit entstehen vier Felder, die im Grunde Schnittmengen sind: (1): rauchende ädchen, (2) rauchende Jungen, (3) nicht rauchende ädchen und (4) nicht rauchende Jungen. 1. Schnittmengen gehören die lemente, die zu A und zu gehören (1) ist die Schnittmenge (ihre lemente=kinder sind ädchen und aucher) (2) ist die Schnittmenge J (ihre lemente sind Jungen, die rauchen) (3) ist die Schnittmenge (ihre Kinder sind nichtrauchende ädchen) (4) ist die Schnittmenge J (ihre Kinder sind Jungen, die ichtraucher sind). s gibt unterschiedliche eschreibungen der lemente einer Schnittmenge. Im Grunde steckt jedoch grundsätzlich das Wort und in der eschreibung. Wir können jetzt in dieses Diagramm die gegebenen Anzahlen eintragen (grün) J s dann eine leichte Kopfrechnung, die fehlenden Anzahlen (blau) zu (1) (2) ermitteln: Wenn 6 ädchen zu den auchern gehören, dann 2 zu den ichtrauchern, und die restlichen 9 (3) (4) aucher müssen Jungs sein, also bleiben 7 männliche ichtraucher übrig Aufgabe: Zu jeder dieser 8 Zahlen kann man (bezogen auf die Grundmenge aus Kindern) eine Wahrscheinlichkeit berechnen. Führe das durch!

3 Stochastik 4 Logik 1 2 P() = 8 1 = 3 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein beliebiges Kind dieser Klasse ein ädchen ist P(J) = = 3 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein beliebiges Kind dieser Klasse ein Junge ist. Achtung: Da und J Komplementärmengen bilden gilt: 1. und J bilden zusammen die ganze Grundmenge 2. und J haben keine gemeinsamen lemente, d.h. ihre Schnittmenge J ist leer. Daher gilt: Z() + Z(J) = Z(G) (Z=Anzahl der lemente) denn =. Also gilt für die zugehörenden Wahrscheinlichkeiten: P() + P(J) = 1. an hat daher bei Komplementärmengen stets die einfachere erechnungsmöglichkeit über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: P(J) = 1 P(). (Das Gegenereignis zu x ist ein Junge lautet x ist kein Junge bzw. x ist ein ädchen.) 15 5 P() = = ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein beliebiges Kind dieser 8 Klasse ein aucher ist. 5 3 P() = 1 P() = 1 = P( ) = = ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein beliebiges Kind dieser 4 Klasse ein ädchen ist, das ab und zu raucht. 2 1 P( ) = = ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein beliebiges Kind dieser 12 Klasse ein ädchen ist, das ichtraucher ist 1 3 Achtung: Falsch wäre hier die echnung P( ) = 1 P( ) = 1 =, denn 4 4 die engen und sind keine Komplementärmengen, da sie zusammen nicht die ganze Klasse ergeben, sondern nur die Teilmenge der ädchen. Ja, und dann bleiben noch die Wahrscheinlichkeiten 9 3 P(J ) = = ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein beliebiges Kind dieser 8 Klasse ein Junge ist, der ab und zu raucht. 7 P(J ) = ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein beliebiges Kind dieser Klasse ein Junge ist, der ichtraucher ist. Übrigens ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der vier Schnittmengen wieder 1, denn sie bilden zusammen wieder die Grundmenge und haben paarweise leere Schnittmengen.

4 Stochastik 4 Logik Vereinigungsmengen Zu einer Vereinigungsmenge A gehören genau die lemente, die zu A oder zu gehören. Jetzt kommt das Wort oder ins Spiel. Dieses bereitet in der deutschen Sprache immer wieder Probleme, weil es zweierlei edeutungen hat. Dem lateinischen vel entspricht das Oder, das drei Fälle umfaßt. An unserem eispiel sieht das so aus: Wir suchen ein Kind, das raucht oder ein ädchen ist. Dieses Kind gehört den Felder (1) oder (2) an, weil dort aucher sind, und es gehört den Feldern (1) und (3) an, weil dies die Felder der ädchen sind. (1) (2) (3) (4) J Also gehören zur enge folgende 3 Fälle: (3): ädchen, die nicht rauchen, (2): aucher, die keine ädchen sind (1): Kinder die ächen und aucher sind. Weil eben der 3. Fall dazugehört, spricht man hier vom einschließenden Oder. an erkennt die edeutung dieses einschließenden Oder auch am eispiel der edarfshaltestelle für einen us. Der Fahrer hat für eine edarfshaltestelle folgende Fahranweisung: Halte, wenn jemand einsteigen oder aussteigen will Und er wird in drei Fällen anhalten: 1. Im us sitzt eine Person, die aussteigen will, die Haltestelle ist aber leer. 2. An der Haltestelle steht jemand, der mitfahren möchte, im us möchte aber niemand aussteigen. 3. in Fahrgast will aussteigen, ein anderer wartet darauf, einsteigen zu können. un aber kennt die deutsche Sprache noch das ausschließende Oder, es ist die Kurzform des entweder oder und entspricht dem lateinischen aut. eispiel: in Schüler kann den Schulweg per ad oder us zurücklegen. ei seiner Antwort auf die Frage, wie er zu Schule kommt, Ich fahre mit dem ad oder mit dem us, wird niemand so interpretieren, daß er gleichzeitig mit ad und us fährt. Hier liegt das ausschließende Oder vor, das man eindeutiger so formuliert: Ich fahre entweder mit dem us oder mit dem ad zur Schule. Auf unser eispiel angewandt: Die Aufgabe it welcher Wahrscheinlichkeit ist ein beliebiges Kind entweder ädchen oder aucher bezieht sich nun wirklich nur auf die Felder (2) und (3), denn entweder oder schließt die Schnittmenge aus. s gibt auch ein mengentheoretisches Zeichen für die zugehörende enge, es ist das große griechische Delta : und man nennt diese enge die symmetrische Differenz. Dieser ame wird später erklärt. Aufgabe: erechne nun diese Wahrscheinlichkeiten: P( ), P( ), P(J ), P(J ), P(J ),: P( ).

5 Stochastik 4 Logik 1 4 Lösung: P( ) = = ; P( ) = = P(J ) = =, P(J ) = = ; P( J) = = = 1; P( ) = 1 Jetzt gibt es einige Zusammenhänge, die wir entdecken müssen. eginnen wir mit der Art, wie die erste dieser vier dieser Wahrscheinlichkeiten offenbar berechnet worden ist. Die enge besteht aus den drei Feldern (1), (2) und (3). Also umfaßt diese enge Z( ) = = 17 der Kinder. Auf diese Zahl kommen wir auch so: Z( ) = Z() + Z() Z( ) = = 17 Wir addieren die Anzahlen von und (dann haben wir aber die Schnittmenge (1) doppelt gerechnet, weil sie einmal über und einmal über erfaßt worden sind) und subtrahieren die Anzahl der Kinder in der Schnittmenge einmal wieder heraus. Für die Wahrscheinlichkeit sieht dieser Weg so aus: Z() + Z() Z( ) Z() Z() Z( ) P( ) = = + + = P() + P() P( ) Z(G) Z(G) Z(G) Z(G) (1) (2) P( ) = 6 J P(J ) = 9 P() = 15 (3) (4) 7 P( ) = P(J ) = 2 P() = 9 Demnach ist: P() = 16 P(J) = 8 P( ) = P() + P() P( ) = + = P( ) = P() + P() P( ) = + = P(J ) = P(J) + P() P(J ) = + = P(J ) = P(J) + P() P(J ) = + = Ganz allgemein gilt: ur wenn P(A ) 0 P(A ) = P(A) + P() P(A ) (1) =, weil A { } = ist, gilt P(A ) = P(A) + P() (2)

6 Stochastik 4 Logik 1 5 eispiele für den Spezialfall (2) sind die schon erwähnten Zusammenhänge P( J) = P() + P(J) = + = = 1; und P( ) = P() + P() = + = 1 Den nächsten wichtigen Zusammenhang stelle ich zuerst einmal optisch dar: J J Aus dieser Grafik wird klar, daß zu jeder solchen Vereinigungsmenge eine rgänzungsmenge gehört, die aus einer Schnittmenge gehört. Hier haben wir folgende eziehung entdeckt: [ ] [ ] J = G (3) Für die Wahrscheinlichkeiten bedeutet dies. P( ) + P(J ) = 1 also können wir daraus folgern: P( ) 1 P(J ) = (4) Das ist nun eine weitere öglichkeit, wie man die Wahrscheinlichkeit eines reignisses berechnen kann, das zu einer Vereinigungsmenge gehört: Wenn uns zunächst benannt ist, daß es unter Kindern 7 nicht rauchende Jungs gibt, dann können wir in einer Zeile berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, daß ein beliebiges dieser Kinder ädchen ist oder raucht: P( ) = 1 P(J ) = 1 = = Wir wollen diese eziehungen (3) und (4) an einem allgemeinen Carnaugh- Diagramm studieren: A A Aufgabe: otiere alle vier Vereinigungsmengen, die man aus A, A, und bilden kann und stelle einen Zusammenhang zu einer komplementären Schnittmenge her. Wie lautet die erechnungsformel für die zugehörende Wahrscheinlichkeit?

7 Stochastik 4 Logik 1 6 A A = G 2. A A = G 3. A A = G 4. A [ A ] = G 1: [ ] also P(A ) = 1 P(A ) also P(A ) = 1 P(A ) also P(A ) = 1 P(A ) also P(A ) = 1 P(A ) un sehen diese Formeln zugegebenermaßen schrecklich aus und niemand kann sie sich merken. Jedoch die erste davon sollte man sich vom Prinzip her einprägen: Inhaltlich bedeutet dies: [ ] A A = G Die Vereinigungsmenge zweier Teilmengen hat als Komplementärmenge die Schnittmenge der einzelnen Komplementärmengen. Und die Abbildung macht das noch klarer: Die Vereinigungsmenge besteht aus zwei sich überlappenden echtecken, zusammen drei Felder. Da fehlt dann gerade noch eines zur Grundmenge, und das ist die Komplementärmenge. Und alles folgt dem immer wieder angewandten Prinzip: Ist die erechnung der Wahrscheinlichkeit eines reignisses zu kompliziert, versuche es über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, das durch die Komplementärmenge dargestellt wird. eispiel 2: Der Jahrgang der Kursstufe 1 am Internatsgymnasium Schloss Torgelow umfaßt 34 Schülerinnen und Schüler. in Schüler berichtet, daß insgesamt 18 Schüler die beiden Leistungskurse nglisch besuchen, 15 die beiden LKs athe, und daß er noch wisse, daß es nur vier Schüler gäbe, die weder einen LK nglisch noch einen LK athematik besuchen. a) Wieviele Schüler besuchen den LK athematik und wie viele besuchen sowohl LK athe wie LK nglisch? b) it welcher Wahrscheinlichkeit besucht ein Schüler dieses Jahrgangs einen LK athe aber keinen LK nglisch, sowohl LK nglisch wie auch LK athe, einen LK nglisch aber keinen LK athe? Lösung: Wir füllen ein Carnaugh-Diagramm aus. Das Feld (4) enthält, und das sind die Schüler, die weder LK noch (1) (2) LK belegt haben. Ihre Komplementärmenge ist wie oben besprochen die Vereinigungsmenge. Sie (3) 15 (4) 4 enthält somit die restlichen 34 4 = 30 Schüler. 18 davon besuchen einen LK, also 12 keinen LK, also Z( )=12 (Feld 2)

8 Stochastik 4 Logik 1 7 Folglich besuchen = 3 die Leistungskurse und. Und damit weiß man dann auch noch, daß 18 3 = 15 Schüler zwar einen LK nglisch besuchen, sich aber nicht für einen LK athe angemeldet haben. benso folgt, daß 16 Schülerinnen nichts von einem LK nglisch halten! s ist jetzt leicht, die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen: 3 15 P( ) =, P( ) =, P( ) = Schwer verständliche sprachlich-logische Formulierungen: it den Verknüpfungen und, oder und der Verneinung lassen sich reignisse oder Aussagen formulieren, die man fast nicht mehr verstehen kann. eginnen wir mit einer einfacheren Frage: 34 (a) it welcher Wahrscheinlichkeit besucht ein Schüler der Klasse keinen Leistungskurs nglisch und keinen Leistungskurs athematik? Hier kann man noch klar kommen, wenn man erkennt, daß dies eigentlich die Formulierung weder LK noch LK ist. Dieses und beschreibt eine Schnittmenge so daß die engenschreibweise für dieses reignis ist, es handelt sich klar um das Feld mit der ummer (4). Da (4) aber auch die Komplementärmenge zu den Feldern (1) und (2) und (3) ist, also (1) (2) zu, kann man schreiben: 3 (3) (4) = Die rechts stehende enge ist nun immer noch das Feld (4), die eschreibung wird aber ziemlich abenteuerlich. Wir müssen die Vereinigung verneinen, etwa so: Welche Schüler haben nicht die Leistungskurse oder? (b) ichtig fies ist die Frage: it welcher Wahrscheinlichkeit besucht ein Schüler nicht den LK oder nicht den LK athe. Wenn man raten soll, welche Felder zu dem gefragten reignis gehören, macht man schnell Fehler, weil eine Verneinung zusammen mit einer Oder-Verknüpfung kaum mehr überschaubar ist. Die Lösung wird kinderleicht, wenn man mengentheoretisch vorgeht. Die Oder-Verknüpfung gehört zur Vereinigungsmenge. Wer wird vereinigt: Die enge der Schüler, die nicht in den nglisch-leistungskursen sitzen, also die enge und die enge der Schüler, die nicht im athe-lk sitzen:. Unsere reignismenge ist also, also die schraffierte enge.

9 Stochastik 4 Logik 1 8 ntnimmt man die Zahlen dem mittleren Diagramm von Seite 7, dann erhält 31 man P( ) = 34 Diese rot schraffierte enge erhält man aber auch als Komplementärmenge zum blauen Feld (1). Dieses repräsentiert die Schnittmenge. Ihre Komplementärmenge ist, und dann sind wir wieder bei der rot schraffierten Drei-Felder-enge. Zunächst die Formulierung, die zu gehört: Das sind die Schüler, die nicht zugleich die Leistungskurse nglisch und athe belegt haben. Hier nochmals die beiden Formulierungen nebeneinander: in Schüler besucht nicht den LK oder nicht den LK athe. in Schüler hat nicht zugleich die LKs nglisch und athe belegt In der engenschreibweise: = Die Umwandlung von Verknüpfungen von Komplementärmengen regeln die beiden de-organschen egeln: A = A A = A Das Komplement einer Vereinigungsmenge ist somit die Schnittmenge der inzelkomplemente, und die Komplementärmenge einer Schnitt menge ist gleich der Vereinigungsmenge der inzelkomplimente. in nettes eispiel dazu ist folgende Geschichte: Josephine und Theobald lieben sich. r fragt, welche lumen denn ihr Herz erfreuen würde. it einem coolen Augenaufschlag sagt sie: Ich mag keine roten lumen oder keine osen. un grübelt Theobald, ob er ihr wohl rote osen bringen darf! Die Lösung mengentheoretisch: s sei die enge der roten lumen und die enge der osen. Dann sind in keine roten lumen und in keine osen. Die Verknüpfung durch oder läßt eine Vereinigungsmenge entstehen:. Im Carnaugh-Diagramm ist diese Vereinigungsmenge rot schraffiert. Alle lumen daraus erfeuen Josy*s Herz. icht aber die roten osen, denn die gehören zur Schnittmenge, die blau eingefärbt ist. Die 2. De-organsche egel hätte auch geholfen: = zeigt, daß gerade die Schnittmenge nicht erwünscht ist, also die roten osen.

10 Stochastik 4 Logik 1 9 eispiel 3: it welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl durch 20 und durch 5 teilbar? Die Grundmenge sei G = { 1; 2 ; 3 ; } Hier genügt ein gewöhnliches engendiagramm, auch Carnaugh-Diagramm genannt: F Z Und es liegt eine esonderheit vor: s sei Z die enge der durch 20 teilbaren Zahlen und F die enge aller Fünferzahlen. Dann ist Z eine Teilmenge von F. Die engenschreibweise dazu ist Z F Unser eispiel bezieht sich nun auf die Schnittmenge Z F. Da Z eine Teilmenge von F ist, liegen alle gemeinsamen lemente von Z und F natürlich in Z, d.h. es gilt: 5 Also ist P(Z F) = P(Z) =. Wenn Z 100 F dann Z F= Z Ausblick auf bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Frage in eispiel 3 wird jetzt so verändert: it welcher Wahrscheinlichkeit ist eine durch 20 teilbare Zahl auch durch 5 teilbar? Jetzt wird vorausgesetzt, daß man eine mit Sicherheit durch 20 teilbare Zahl nimmt und will nun wissen, ob sie auch durch 5 teilbar ist. Die klarere Formulierung lautet vielleicht: it welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl durch 5 teilbar, wenn sie durch 20 teilbar ist? Die Wahrscheinlichkeit dafür ist eins, denn es ist sicher, daß jeder durch 20 teilbare Zahl auch durch 5 teilbar ist! Wir lernen aus diesem eispiel, daß die Gefahr groß ist, durch sprachliche Irritation auf einen falschen Lösungsweg zu gelangen! edingte Wahrscheinlichkeiten werden in einer anderen Datei behandelt. Sie dazu: edingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängige reignisse Die erechnung der Und-reignisse bei unabhängigen reignissen wird dort behandelt.

11 Stochastik 4 Logik 1 10 Aufgabe 1 In einer Los-Urne befinden sich gleich viele rote wie blaue Lose. in Viertel davon sind Gewinne. s ist bekannt, daß 80 blaue Lose ieten sind und 30 rote sind Gewinne. Lösung: a) Wie viele Lose enthält die Urne, wie viele davon sind blau und wie viele sind rot? Wie viele blaue Gewinnlose gibt es und wie viele rote ieten? b) it welcher Wahrscheinlichkeit entnimmt man aus der vollen Urne beim blinden Ziehen eines Loses (A) ein blaues Gewinnlos, () weder einen Gewinn noch ein blaues Los, (C) entweder eine iete oder ein rotes Los, (D) ein rotes Los oder einen Gewinn, () kein blaues Gewinnlos. G 30 1 x 4 Das Carnaugh-Diagramm zeigt die in der Aufgabe vorgegebene Situation. un geht es darum, die beiden noch leeren Felder zu füllen und x zu berechnen. 80 x 2 x 2 3 x 4 x a) Das Feld oben links stellt die Schnittmenge G dar. Sein Inhalt y berechnet sich x einerseits aus y = 80, andererseits aus 2 1 y = x 30. Da beide Terme dieselbe Zahl 4 x 1 bedeuten, gilt 80 = x d.h. x = 50 bzw. x = In der Urne befanden sich also 200 Lose, davon waren 100 blau, 100 rot, 50 Gewinne und 150 ieten. laue Gewinnlose gab es y = = 20 und die Zahl der roten ieten war = 70. b) Die Wahrscheinlichkeit für ein blaues 20 1 Gewinnlos ist P(A) = = G für weder einen Gewinn noch ein 70 7 blaues Los : P() = G = = für entweder eine iete noch ein rotes Los : P(C) = P( ) = = für ein rotes Los oder einen Gewinn P(D) = P( G) = = und für kein blaues Gewinnlos : P( G) = 1 P( G) = 1 =

12 Stochastik 4 Logik 1 11 Aufgabe 2 In einer Schulklasse wurde eine Statistik erfaßt. an stellte fest, daß 60% der Schüler ädchen sind, ein Drittel davon hatte als 2. Fremdsprache Latein. 30% der Schüler waren Jungs mit Französisch als 2. Fremdsprache. erechne die relativen Häufigkeiten der folgenden erkmale: A: x lernt Latein : x lernt Französisch und ist männlich C: x ist weiblich und lernt Französisch D: x ist männlich oder lernt Latein : x ist entweder ein ädchen oder x lernt Latein. Anleitung: Fülle zunächst ein Carnaugh-Diagramm aus. L 1 0,6 3 = 0,2 J 0,1 0,3 Lösung: Im Carnaugh-Diagramm sind die gegebenen Zahlen grün unterlegt. Daraus kann man Schritt für Schritt die restlichen ableiten. Daraus ergeben sich folgende relativen Häufigkeiten: F 0,4 0,3 0,7 h(a) = 0,3, h() = 0,3, h(c) = 0,4, 0,6 0,4 h(d) = 0,4+0,7-0,3=0,8, h() = 0,4 + 0,1 = 0,5.