1. Auszug: Numerische Differentiation

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1 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV II: Signalanalyse 1 (7) 1. Auszug: Numerische Differentiation 1.1 Zweck des Verfahrens Die Differentiation lässt sich geometrisch als Steigungsbestimmung beschreiben. Zu jeder Stelle auf der x- Achse eines Linien-Diagramms soll die Steigung einer Kurve bestimmt werden. Die Differentiation wird auch Ableitung oder Derivation genannt. Viele physikalische Größen lassen sich durch Differentiation einer anderen physikalischen Größe ermitteln. Häufig ist die Zeit die zugehörige Variable. Dann spricht man von der Differentiation (oder Ableitung) nach der Zeit. Beispiele: Beschleunigung aus Geschwindigkeit(Zeit) Geschwindigkeit aus Weg(Zeit) Durchfluss aus Volumen(Zeit) Leistung aus Arbeit(Zeit) Temperaturkoeffizient aus Widerstand(Temperatur) Weitere Beispiele für die Anwendung der Differentiation aus dem Bereich der Chemie sind das Auffinden des Neutralisationspunktes bei einer potentiometrischen Titration oder die Zerlegung eines Gebirges aus überlagerten Peaks bei der Spektroskopie in Einzelpeaks (Derivationsspektroskopie). In der Computer-Messtechnik liegen die Daten in digitaler (numerischer) Form vor. Statt stetiger Funktionen ist die zu integrierende Funktion nur als begrenzte Anzahl von Abtastpunkten verfügbar. Daher wird die Differentiation hier nicht analytisch (mit Formeln für die Funktionen) behandelt, sondern numerisch, d.h. mit Zahlen oder Zahlenreihen und Regeln zur Berechnung dieser Zahlen. 1.2 Steigung in einem Punkt Das einfachste Verfahren, das Sehnenverfahren, berechnet die Steigung aus jeweils zwei Punkten, die dem gerade interssierenden Punkt benachbart sind, also der Vorgänger und der Nachfolger. Steigung m i = y x = y i 1 y i 1 x i 1 x i 1 Für die Randpunkte des Datensatzes müssen die Berechnungsformeln entsprechend abgeändert werden, da die erforderlichen Datenpunkte fehlen oder es wird an diesen Stellen keine Berechnung durchgeführt. Die Steigung an der Stelle x=4 beträgt damit m=-0,25. Es gibt noch weitere Berechnungsmöglichkeiten für die Steigung in einem Punkt. Man kann weitere Nachbarpunkte in die Berechnung einbeziehen, eine Interpolations- oder Ausgleichfunktion dazu bestimmen und dann von dieser Funktion den Funktionswert an der Berechnungsstelle verwenden. Diese Rechenverfahren werden verwendet, wenn die Datenpunkte weit auseinander liegen und nur geringes Rauschen überlagert ist. Bei der Auswertung von Labordaten ist dies meist nicht erforderlich, wenn bei der Organisation der Messung bereits auf eine dichte Punktefolge und die Vermeidung von Rauschen geachtet wird. auszug_diff_int.odt Nov Seite 1 von 7

2 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV II: Signalanalyse 2 (7) 1.3 Numerische Ableitungsfunktion Stellt man alle berechneten Steigungen über den zugehörigen x-werten grafisch dar, erhält man das Diagramm der Ableitungsfunktion. Beim Vergleich mit analytisch ermittelten Ableitungsfunktionen können sich wegen der Abtastung und dem gewählten Rechenverfahren Unterschiede ergeben. Dies gilt besonders in der Nähe von Unstetigkeitsstellen oder Stellen mit oszillatorischem (schwingendem) Verhalten. Abschnitte mit konstanter Steigung ergeben beim Differenzieren konstante Werte. Aus einem Dreiecksignal wird ein Rechtecksignal. Durch das Rechenverfahren, das über drei Punkte geht, werden allerdings die Übergänge verschmiert. Je dichter jedoch die Datenpunkte liegen (hohe Abtastrate), desto schärfer erscheinen auch die Übergänge. Das Rauschen (zufällige Schwankungen) im Signal wird bei der Differentiation noch verstärkt. Daher kann es sinnvoll sein, das Signal vor der Differentiation zu glätten. Weiter Beispiele zur Differentiation: diffbeispiele.xls auszug_diff_int.odt Nov Seite 2 von 7

3 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV II: Signalanalyse 3 (7) Ermitteln Sie die Stellen mit der Steigung null und näherungsweise den höchsten und den niedrigsten Wert der Steigung. Zeichnen Sie den Verlauf der Steigungsfunktion ins jeweilige Diagramm. Welche Funktion ergibt nach der Differenzierung die im vierten Diagramm dargestellte Parabel? auszug_diff_int.odt Nov Seite 3 von 7

4 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV II: Signalanalyse 4 (7) 2. Auszug: Numerische Integration 2.1 Zweck des Verfahrens Die Integration läßt sich geometrisch als Flächenbestimmung beschreiben. Manchmal wird die Integration daher auch Quadratur genannt. Wegen der Anschaulichkeit werden hier die Begriffe aus der Geometrie verwendet (z.b. Fläche statt Integral). Zwischen zwei Grenzen a und b auf der x-achse eines Linien-xy- Diagramms soll die Fläche zwischen der Kurve und der x-achse bestimmt werden. Viele physikalische Größen lassen sich durch Integration über den Verlauf einer anderen physikalischen Größe ermitteln. Beispiele: Geschwindigkeit aus Beschleunigung(Zeit) Weg aus Geschwindigkeit(Zeit) Volumen aus Durchfluß(Zeit) Arbeit aus Leistung(Zeit) Leistung aus Intensität(Wellenlänge) Wahrscheinlichkeit aus Dichte (beliebige Größe) In der Computer-Meßtechnik liegen die Daten in digitaler Form vor. Statt stetiger Funktionen ist die zu integrierende Funktion nur als begrenzte Anzahl von Abtastpunkten verfügbar. Daher wird die Integration hier nicht analytisch (mit Formeln für die Funktionen) behandelt, sondern numerisch, d.h. mit Zahlen oder Zahlenreihen und Regeln zur Berechnung dieser Zahlen. 2.2 Trapez-Verfahren Da es bei den digitalisierten Daten keine Information über Zwischenwerte zwischen den Abtastpunkten gibt, muß man Annahmen über den Signalverlauf zwischen den Abtastpunkten machen (Interpolation). Da bei verschiedenen Signalen verschiedene Annahmen sinnvoll sein können, gibt es eine Vielzahl verschiedener Integrationsverfahren. Im allgemeinen werden aber die Unterschiede zwischen den Verfahren umso kleiner, je dichter die Abtastpunkte beieinander liegen. Ein einfacher Ansatz, der in den meisten Programmen zur Auswertung von Messdaten eingesetzt wird, interpoliert linear. Damit läßt sich die Fläche in einem Abtastintervall als Trapez beschreiben (Trapez-Verfahren). Bei der Integration ist normalerweise a kleiner als b. Flächen unterhalb der x-achse zählen dann negativ. Beim Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses. Die Rechenverfahren vereinfachen sich, wenn die Abtaststellen äquidistant (mit gleichem Abstand) sind. Dies ist im Folgenden ohne Beschränkung der Allgemeinheit vorausgesetzt. 2.3 Rechenverfahren für das bestimmte Integral Von einem bestimmten Integral spricht man, wenn man durch Einsetzen von zugehörigen Zahlenwerten auch einen Zahlenwert als Ergebnis erhält (beim unbestimmten Integral erhält man eine Funktion). Beim bestimmten Integral sind neben den Abtast-Funktionswerten auch die unter Grenze a und die obere Grenze b festgelegt. Sie sollen bei den hier betrachteten Verfahren mit Abtaststellen (Stützstellen) zusammenfallen. Das Ergebnis der Integration ist ein einzelner Zahlenwert. Er stellt entweder den Integralwert über ein Abtastintervall dar oder ist durch Summation entstanden. Die Integrationskonstante ist hier immer Null. Die Verfahren können auch bei unterschiedlich grossen Teilintervallen angewendet werden. Verwendet man jedoch Intervalle einheitlicher Breite x, lassen sich einfachere Formeln angeben. Die Integration läßt sich leicht in einer Tabellenkalkulation realisieren. Es lassen sich die Teilintegrale in einer Formel berechnen und aufsummieren. Man erhält so bereits die Stützwerte der (numerischen) Stammfunktion. Eine Funktionsgleichung der Stammfunktion läßt sich normalerweise nicht angeben. Bei der "Trapez-Regel" wird angenommen, daß zwischen den Abtastpunkten linear interpoliert werden kann (geradlinige Verbindung). Zwischen je zwei Abtastpunkten ist dann eine Trapezfläche zu berechnen. Alle diese Teilergebnisse müssen schrittweise zum Gesamtwert addiert werden. Formel für die i-te Trapez-Teilfläche bei Intervallbreite x= x i x i-1 A i = y y i 1 i x 2 i x i 1 für i=0; 1; 2;... (n-1); Integrationskonstante A 0 auszug_diff_int.odt Nov Seite 4 von 7

5 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV II: Signalanalyse 5 (7) Wenn alle einzelnen Trapezflächen berechnet sind, kann man sie zur Gesamtfläche, dem Integral aufsummieren. Für viele Anwendungen ist es aber interessant, zu sehen, wie sich der Integralwert verändert, wenn man Schritt für Schritt die einzelnen Trapezflächen addiert. Man erhält dabei wieder eine Funktion, die hier beim numerischen Rechnen Summenfunktion genannt wird (beim symbolischen Rechnen erhält man eine Stammfunktion). Anschaulich kann man dies dardurch beschreiben, dass man das Schaubild im zudeckt und langsam von der unteren Grenze bis zur oberen Grenze wieder aufdeckt. Man sieht immer mehr von der Fläche. Die Summenfunktion beschreibt diese sichtbare Flächenänderung. Zu beachten ist noch, dass Flächen unterhalb der x-achse bei positiver Integrationsrichtung negativ zählen (im Gegensatz zur Geometrie). Vertauscht man die Integrationsgrenzen wechseln die Vorzeichen der Flächen. Aus der Summenkurve läßt sich ablesen, dass die Fläche des ersten Peaks einen Wert von 5,01 erreicht. Nach dem zweiten Peak hat die Summenkurve einen Wert von 7,52. Der zweite Peak hat also eine Fläche von 2,51. Flächenvergleiche müssen häufig bei der Auswertung von Spektrogrammen und Chromatogrammen durchgeführt werden. auszug_diff_int.odt Nov Seite 5 von 7

6 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV II: Signalanalyse 6 (7) 2.4 Beispiele Die Cosinusfunktion ergibt bei der Integration eine Sinusfunktion. Die Sinus-Funktion ist von einem Rauschsignal überlagert. Die Integration wird bei periodischen (harmonischen) Signalen auch zum Glätten verwendet. Aus einem periodischen Rechtecksignal wird durch die Integration ein Dreieckssignal. Weitere Beispiele finden sich in der Mappe intbeispiele.xls auszug_diff_int.odt Nov Seite 6 von 7

7 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV II: Signalanalyse 7 (7) Bestimmen Sie jeweils (Bild 1-3) den Verlauf der Integralfunktion. Bestimmen Sie aus der Integral-Kurve (Bild 4) das Verhältnis der Flächen von Peak 1 zu Peak 2. auszug_diff_int.odt Nov Seite 7 von 7