Grundrisse Mathematik

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1 Karl-Martin Sedlmeier Grundrisse Mathematik zur Vorbereitung auf den Beruf 5. Auflage Bestellnummer 0383S

2 Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt? Dann senden Sie eine an Autoren und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung. Bildquellenverzeichnis Cover: Andres Rodriguez Innenteil: Cornelia Kurtz, Boppard: S. 24, 29 Fotolia Deutschland, S. 6 rechts (fotoperle), 13 unten (livestockimages), 15 (Christopher Dodge), 40 (akf), 43 (AKhodi) MEV Verlag GmbH, Augsburg: S. 5 oben, 6 links, 13 oben, 50, 72 Bildungsverlag EINS GmbH Hansestraße 115, Köln ISBN Copyright 2012: Bildungsverlag EINS GmbH, Köln Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung überspielt oder eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Mathematik 1.1 Wozu dient die Mathematik? Zahlen und Zahlendarstellungen Grundrechenarten 2.1 Addition (Zusammenzählen) Subtraktion (Abziehen) Multiplikation (Malnehmen) Division (Teilen) Punkt-vor-Strich-Regel Klammerregel Übungsaufgaben Rechnen mit dem Taschenrechner 3.1 Funktionen des Taschenrechners Grundrechenarten Übungsaufgaben Rechnen mit Brüchen 4.1 Arten von Brüchen Erweitern und Kürzen Umwandeln von gemischten Zahlen in unechte Brüche und umgekehrt Addition und Subtraktion von Brüchen Multiplikation von Brüchen Division von Brüchen Umwandlung der Bruchschreibweise in die Dezimalschreibweise und umgekehrt Übungsaufgaben Gleichungen 5.1 Umformen durch Addition und Subtraktion Umformen durch Multiplikation oder Division Umstellen von Formeln Übungsaufgaben Dreisatzrechnen 6.1 Dreisatz mit geradem Verhältnis Dreisatz mit umgekehrtem Verhältnis Übungsaufgaben Prozentrechnen 7.1 Prozentsatz, Prozentwert, Grundwert Säulen- und Kreisdiagramm Promillerechnen Übungsaufgaben Zinsrechnen 8.1 Zinsen, Zinssatz, Kapital Zinsen, Zeit, Guthaben und Kredit Übungsaufgaben Längen 9.1 Längenmaße und ihre Umrechnung Berechnung des Umfanges Übungsaufgaben Flächen 10.1 Flächenmaße und ihre Umrechnung Berechnung von Flächeninhalten Berechnung von Oberflächen Berechnung von zusammengesetzten Flächen Übungsaufgaben Rauminhalte 11.1 Raummaße und ihre Umrechnung Berechnung regelmäßiger Körper Übungsaufgaben Gesamtaufgabe Zusatzaufgaben 1 Grundrechenarten Rechnen mit Brüchen Gleichungen Dreisatzrechnen Prozentrechnen Zinsrechnen Längen Rauminhalte Bildungsverlag EINS GmbH 3

4 Einführung in die Mathematik Wozu dient die Mathematik? Die Mathematik spielt im Alltagsleben eine große Rolle. Alles, was konstruiert wird, muss zuvor berechnet werden. Ein Schreiner, der einen Schrank baut, muss genau die Maße nehmen und Berechnungen aufstellen. Überall stoßen wir auf Zahlen: in den Fahrplänen der Verkehrsbetriebe, in den Tabellen der Fußballligen, auf Preisschildern, auf der Lohnabrechnung, dem Steuerbescheid des Finanzamtes, auf der Getränkekarte in der Disco, in Prospekten für Motorräder, Zahlen und Zahlendarstellungen Mit Zahlen werden Werte oder Mengen angegeben. Werte oder Mengen können sich z. B. auf den Treibstoffverbrauch eines Autos beziehen (7,5 Liter auf 100 Kilometer). Wenn Sie jemanden fragen, was sein Moped wert ist, nennt er Ihnen eine Zahl (z. B EUR). Als Symbole dienen die arabischen Ziffern: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Das Zahlensystem heißt wegen der zehn grundlegenden Zahlensymbole auch Dezimalsystem (dezimal, lat.: auf die Zahl 10 bezogen). Die Zahl und der Wert einer Zahl lassen sich anhand eines Zahlenstrahles veranschaulichen. Jeder Punkt entspricht einer ganz bestimmten Zahl Vom Nullpunkt aus trägt man die positiven Zahlen nach rechts und die negativen Zahlen nach links auf Beispiel Temperaturskala: Tragen Sie die momentane Innen- und Außentemperatur ein. 30 Bildungsverlag EINS GmbH 5

5 1 Einführung in die Mathematik Während der Mensch in der Lage ist, komplexe Zahlen, Wörter und Realbilder aufzunehmen und zu verarbeiten, selbstständig Gedanken zu formen und sich auszudrücken, kann der Computer lediglich zwei Zustände unterscheiden: 0 = Aus; es fließt kein Strom. 1 = Ein; es fließt Strom. Diese kleinste Informationseinheit wird ein Bit genannt. Um alle Buchstaben, Ziffern und Sonderzeichen darzustellen, benötigt man 8 Bit. Damit der Computer die Daten lesen und verarbeiten kann, müssen die Zeichen und Zahlen codiert (Binärcode) werden. Der ASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange) ist der internationale Code bei den Personalcomputern (siehe rechts): für Buchstaben A: für Ziffer 7: Stellen Sie Ihren Namen verschlüsselt im ASCII-Code dar. Binär- Dezimal- Zei- Binär- Dezimal- Zei- Code Code chen Code Code chen V W X Y Z [ / ] : ; a « b c » d ? e Ø f A g B h C i D j E k F l G m H n I o J p K q L r M s N t O u P v Q w R x S y T z U Ihr Name: 2 Grundrechenarten 2.1 Addition (Zusammenzählen) Rechenart Zeichen Bezeichnung der Bezeichnung des Elemente Ergebnisses Addition + 1. und 2. Summand Summe + = plus + = 1. Aufgabe a) 0,2 + 0,03 = b) 0,5 + 0,04 = c) 0, ,26 = d) 1,25 + 0,85 = e) 1,6 + 0,62 = f) 1,73 + 0,84 = g) 3,8 + 1,22 = h) 18,35 + 5,79 = i) 9, ,33 = 6 Bildungsverlag EINS GmbH

6 Grundrechenarten 2 2. Aufgabe Für die einzelnen Räume (24,3 m 2, 31,7m 2, 16,14 m 2, 9,36 m 2 ) eines Neubaus be nötigen Sie Fußbodenbretter. Wie viele Quadratmeter bestellen Sie? 2.2 Subtraktion (Abziehen) Rechenart Zeichen Bezeichnung der Bezeichnung des Elemente Ergebnisses Subtraktion 1. Minuend Differenz 2. Subtrahend = minus = 3. Aufgabe a) = d) ,60 = g) 135,40 42,30 = b) = e) 86 34,20 = h) 220,60 190,40 = c) = f) 72 60,35 = i) 182,80 94,10 = 4. Aufgabe Von Ihrem Sparkonto, auf dem 1 920,00 EUR stehen, heben Sie im Laufe der Zeit ab: 120,00 EUR; 378,00 EUR; 85,60 EUR; 358,70 EUR. Welcher Betrag bleibt auf dem Konto? 2.3 Multiplikation (Malnehmen) Rechenart Zeichen Bezeichnung der Bezeichnung des Elemente Ergebnisses Multiplikation 1. und 2. Faktor Produkt = mal = 5. Aufgabe a) 8 6 = d) 13 9 = g) = b) 7 8 = e) 7 16 = h) = c) 9 7 = f) 5 27 = i) = 6. Aufgabe Der Treppenanstrich in zwei Häusern mit fünf Etagen soll erneuert werden. Wie viele Stufen müssen gestrichen werden, wenn zu jeder Etage 18 Stufen gehören? Bildungsverlag EINS GmbH 7

7 2 Grundrechenarten 2.4 Division (Teilen) Rechenart Zeichen Bezeichnung der Bezeichnung des Elemente Ergebnisses Division : 1. Divident, 2. Divisor Quotient : = geteilt durch : = 7. Aufgabe Prüfen Sie folgende Zahlen auf ihre Teilbarkeit durch 2, 3, 4, 5, 9, 10: a) durch b) durch c) durch d) durch e) durch f) durch 8. Aufgabe Der Omnibus für die Lehrfahrt einer Berufsschulklasse mit 22 Schülern kostet 286,00 EUR. Wie viel muss jeder Schüler bezahlen? 2.5 Punkt-vor-Strich-Regel Punktrechnung kommt vor Strichrechnung. + : =? + = 9. Aufgabe Welche Masse haben die Stahlteile? =? 10. Aufgabe Vom Sägewerk wurden Bretter mit folgenden Breiten geliefert: 3 Stück je 22 cm, 2 Stück je 27 cm, 10 Stück je 16 cm und 4 Stück je 25 cm. Berechnen Sie die gesamte Breite der Bretter. 8 Bildungsverlag EINS GmbH

8 Grundrechenarten Klammerregel Den Wert in der Klammer zuerst ausrechnen. 11. Aufgabe Berechnen Sie: = 3 (6 + 4) = ( + : ) =? Punkt vor Strich ( + ) = 12. Aufgabe a) 3 (24 + 4) : 4 = b) ( : 8) 3 = c) 4 (15 + 3) = d) 2 (24 + 4) : 7 = 2.7 Übungsaufgaben (Lösen Sie bitte ohne Taschenrechner!) 13. Aufgabe Berechnen Sie: a) = b) = c) = d) 97,5 + 29, = e) 143,7 + 37,8 + 0,9 = f) 63, ,4 + 0,8 = g) 29,24 + 8,11 + 0,78 = h) 99, , ,55 = i) 83,09 + 7, ,19 = 14. Aufgabe Ein Facharbeiter erhält im Monat folgenden Lohn: Grundlohn für Arbeitsstunden: 1 720,00 EUR, Urlaubsgeld: 185,00 EUR und Lohn für Überstunden: 202,50 EUR. Berechnen Sie den Bruttomonatslohn. 15. Aufgabe Ein Berufspilot legt in einer Woche folgende Strecken mit dem Flugzeug zurück: 563 km, km, 994 km, km und 479 km. Ermitteln Sie die wöchentlich geflogenen Gesamtkilometer. Bildungsverlag EINS GmbH 9

9 2 Grundrechenarten 16. Aufgabe a) 47 m 2 15 m 2 = b) 83,00 EUR 43,00 EUR = c) 90 kg 53 kg = d) 10,4 m 4,3 m = e) 29,6 cm 13,5 cm = f) 280,5 km 46,6 km = g) 4,75 EUR 1,35 EUR = h) 19,34 m 17,54 m = i) 37,20 EUR 18,70 EUR = 17. Aufgabe Von einer Rolle Draht, auf der noch 50 m aufgewickelt sind, werden nacheinander 6,40 m, 7,80 m und 2,60 m abgewickelt und abgeschnitten. Berechnen Sie den Rest. 18. Aufgabe In einer Brauerei werden aus einem l Lagertank folgende Einzelmengen entnommen: 389 l, 902 l, l und l. Wie viele Liter Bier befinden sich noch im Tank? 19. Aufgabe a) = b) 8 15 = c) 23 4 = d) 2,25 EUR 3 = e) 4,30 EUR 4 = f) 12,50 EUR 6 = g) 125 m 2,5 = h) 28 m 1,5 = i) 78 m 3 = 20. Aufgabe Das menschliche Haar wächst an einem Tag etwa 0,34 mm. Welche Länge erreicht das Haar in einem Monat (30 Tage), in einem Jahr und in fünf Jahren? a) b) c) 21. Aufgabe In einer Tischlerei sind zwei Auszubildende im ersten, einer im zweiten und zwei im dritten Ausbildungsjahr. a) Wie hoch ist die Ausbildungsbeihilfe pro Lehrling in einem Jahr, wenn im 1. Ausbildungsjahr 320,00 EUR im 2. Ausbildungsjahr 415,00 EUR im 3. Ausbildungsjahr 560,00 EUR monatlich bezahlt werden? b) Welche Summe zahlt der Betrieb insgesamt in einem Jahr an Ausbildungsbeihilfen? 10 Bildungsverlag EINS GmbH

10 Grundrechenarten Aufgabe In einer Kleiderfabrik werden für zehn Jacken 18,80 m Stoff verbraucht. Wie viel Stoff benötigt man für eine Jacke? 23. Aufgabe a) 28 : 4 = b) 72 : 9 = c) 36 : 6 = d) 42 : 7 = e) 24 : 8 = f) 45 : 5 = g) 81 : 9 = h) 27 : 3 = i) 54 : 9 = 24. Aufgabe 12 m 3 Eiche wiegen 8,4 t. Wie viele Tonnen wiegt dann ein Kubikmeter Eiche? 25. Aufgabe a) = b) (2 + 3) 4 = c) = d) 4 (6 + 8) = e) = f) 3 (9 + 2) 3 = g) = h) 28 (3 + 7) 5 = i) : 7 = j) ( ) : 7 = k) : 6 = l) (120 4) 12 : 6 = 26. Aufgabe a) (26 18) (8 + 4) + 24 = b) 2 (24 + 4) : 7 = c) 6 (3 + 8) : (15 4) = d) (36 12) : = e) (49 8) = f) (36 : ) 9 = 27. Aufgabe Ein Auszubildender schneidet an einer Hebelschere Werkstücke aus Bandstahl mit folgenden Längen zu: 2 Stück zu je 340 mm, 10 Stück zu je 575 mm, 1 Stück zu 610 mm und 6 Stück zu je 250 mm. Wie viele Meter Bandstahl werden gebraucht? 28. Aufgabe Der Heizungsbauer braucht für einen Neubau elf Thermostatventile (Stückpreis 11,80 EUR) und elf Thermostatköpfe (Stückpreis 18,20 EUR). Wie viel kosten diese Teile insgesamt? 29. Aufgabe Sie haben Fußbodenleisten an der Kreissäge abzuschneiden. 3 Stück mit 2,20 m Länge, 3 Stück mit 3,80 m Länge, 2 Stück mit 2,90 m Länge und 4 Stück mit 3,10 m Länge. Berechnen Sie die Gesamtmenge der abgeschnittenen Fußbodenleisten. Bildungsverlag EINS GmbH 11

11 2 Grundrechenarten 30. Aufgabe Von einem Rohr mit 3600 mm Länge werden 2 Stück mit je 340 mm, 2 Stück mit je 430 mm und 1 Stück mit 750 mm Länge abgesägt. Der Schnitt ist jeweils 2 mm breit. Wie viele Meter Rohr bleiben übrig? 31. Aufgabe Sie sollen für eine Gastwirtschaft eine Garderobenleiste aus Holz mit elf Kleiderhaken herstellen (siehe Zeichnung). Auf welche Länge in Metern müssen Sie die Holzleiste abschneiden? 12 Bildungsverlag EINS GmbH

12 Rechnen mit dem Taschenrechner 3 Der Taschenrechner dient in der Fachmathematik dazu, Aufgaben schnell zu lösen. Die Facharbeiterprüfungen sind so ausgerichtet, dass die Rechenaufgaben in der vorgegebenen Zeit nur mit dem Taschenrechner gelöst werden können. 3.1 Funktionen des Taschenrechners Beachten Sie: Wer den Rechenweg nicht kennt, der kann mit dem elektronischen Taschenrechner nichts anfangen. Sollte die aktuelle Anzeige bei Neueingaben von Zahlen verschwinden, ist es nicht möglich, vorausgegangene Eingabefehler festzustellen. Daher ist es immer notwendig, eine Überschlagsrechnung vorzunehmen und somit das Ergebnis abzuschätzen. Für nachfolgende Aufgaben genügt ein einfacher Taschenrechner, wie er unten abgebildet ist. Studieren Sie die Bedienungsanleitung Ihres Taschenrechners. Anzeigefeld Speicheraddition Speichersubtraktion Prozent Division Quadratwurzel Multiplikation Subtraktion Addition Einschalten 3.2 Grundrechenarten 1. Aufgabe a) = b) = c) 65,3 + 97,6 32,8 = d) = e) = f) 9,83 2,7 = g) 18 : 2,5 = h) 13,7 : 0,8 = i) 0,7 : 3,5 = Bildungsverlag EINS GmbH 13

13 3 Rechnen mit dem Taschenrechner Bedenken Sie, dass einfache Taschenrechner die Regel Punkt vor Strich meist nicht beachten. Beispiel: = = Sie müssen beim Eintippen die richtige Reihenfolge beachten. Beispiel: ( ) : ( ) = : + = Sie müssen wie beim schriftlichen Rechnen zuerst den Wert der Klammer berechen, dann die Punktrechnungen erledigen und zum Schluss die Strichrechnungen durchführen. Bei Rechnern, die Klammertasten besitzen und die Regel Punkt vor Strich beachten, kann in der angegebenen Reihenfolge gerechnet werden. 3.3 Übungsaufgaben 2. Aufgabe a) : 8 = b) : = c) 42 : : = d) 12 4 (28 + 7) : = e) 144 : (5 + 7) + ( 25 13) = f) 6 (3 +12) : 3 (27 19) = 3. Aufgabe Ein Auszubildender erhält vom Meister für die Besorgung von Kleinmaterial 100 EUR. An der Kasse des Baumarktes werden folgende Beträge gebucht: 1,75 EUR; 23,15 EUR; 12,36 EUR; 8,99 EUR; 27,98 EUR. Welchen Betrag hat er beim Meister wieder abzuliefern? 4. Aufgabe Eine Aushilfskraft verdient bei einem Stundenlohn von 9,80 EUR am ersten Tag 73,50 EUR, am zweiten Tag 39,20 EUR und am dritten Tag 58,80 EUR. Wie viele Stunden hat sie täglich bzw. an allen drei Tagen gearbeitet? 1. Tag: 2. Tag: 3. Tag: gesamt: 5. Aufgabe Drei Tischler verdienen im Jahr zusammen ,00 EUR. Ermitteln Sie den durchschnittlichen Stundenlohn eines Gesellen, wenn 48 Wochen im Jahr und 38,5 Stunden in der Woche gearbeitet werden. 6. Aufgabe In einem Gemüsegeschäft wurden folgende Mengen an Karotten verkauft: 0,65 kg, 0,40 kg, 1,25 kg, 1,50 kg, 0,80 kg. Für 1 kg wurden 1,25 EUR berechnet. Ermitteln Sie die gesamten Einnahmen. 14 Bildungsverlag EINS GmbH

14 Rechnen mit Brüchen 4 Durchmesser 15 (= 15 Zoll), das sind cm = 37,5 cm 4.1 Arten von Brüchen Zerlegt man ein Ganzes in mehrere gleich große Teile, so führt das zu einer Bruchzahl. 1 ganze Zahl 1 : 4 = 1 4 Zähler Nenner Bruchstrich Ein Bruch besteht aus dem Zähler (oberhalb des Bruchstriches) und dem Nenner (unterhalb des Bruchstriches). Der Nenner gibt an, in wie viele Teile das Ganze zerlegt worden ist. Der Zähler bezeichnet die Anzahl dieser Teilstücke. Man unterscheidet folgende Arten von Brüchen: ; ; 6 5 ; ; Brüche Zähler als Nenner Brüche Zähler als Nenner ; ; 5 6 Brüche Nenner sind ; ; 4 7 Brüche Nenner sind 8 10 ; Nenner mit ; Zahlen Bildungsverlag EINS GmbH 15