Verein Polybau (Hrsg.) Fachrechnen für Berufe der Gebäudehülle
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- Jens Pfeiffer
- vor 7 Jahren
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1 Verein Polybau (Hrsg.) Fachrechnen für Berufe der Gebäudehülle
2 Vorwort Vorwort 5 Das vorliegende Lehrmittel Fachrechnen für Berufe der Gebäudehülle basiert auf dem Lehrmittel Fachrechnen für Maurer von Bernhard Witschi und ist mit Aufgaben für Spezialistinnen und Spezialisten der Gebäudehülle ergänzt worden. Kapitel 10 soll mit weiteren Aufgaben im Bereich Kalkulation durch die Fachlehrerschaft ergänzt werden, um den Kalkulations-Grundlagen der verschiedenen Berufsverbände gerecht zu werden. Die Aufmachung ermöglicht die Ablage in einem Ordner und kann einfach mit weiteren Aufgaben ergänzt werden. So kann das Lehrmittel wachsen und sich weiterentwickeln. Die Lösungen der Aufgaben sind als PDF erhältlich. Beat Hanselmann, Leiter Bildung / Verein Polybau
3 Inhaltsverzeichnis 7 1 Grundlagen für die Berechnung Grundrechenarten Allgemeine Hinweise Grundoperationen Klammerregeln Bruchrechnen Dezimalrechnen Gleichungen Proportion Dreisatz Rechnen mit Grössen Grössen und ihre Einheiten Vielfache und Teile von Grössen und Einheiten Grössengleichung und Einheitengleichung Dichte Gewichtskraft Spannung Längenberechnungen Allgemeines Geometrische Begriffe Längenmasse Bestimmen von Abmessungen Massketten Höhenkoten Mauerlängen Mauerhöhen Bestimmen von speziellen Längen Quadrat Lehrsatz von Pythagoras Kreis Ellipse Massstäbe Allgemeines Verhältniszahl Wirkliche Länge Zeichnungslänge Steigung und Gefälle Allgemeines Zahlenverhältnis Prozentsatz Proportion Treppen Steigungsverhältnis Lauflänge Kopfhöhe
4 Inhaltsverzeichnis 3 Flächenberechnungen Allgemeines Geometrische Begriffe Flächenberechnung Flächenmasse Vierecke Viereck-Arten Quadrat Rechteck Parallelogramm Trapez Dreiecke Dreieck-Arten Ungleichseitiges Dreieck Gleichseitiges Dreieck Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck Vielecke Begriff Regelmässige Vielecke Unregelmässige Vielecke Kreis Kreisfläche Kreisausschnitt Kreisabschnitt Kreisring Ellipse Trigonometrie Winkelfunktionen Volumenberechnungen Allgemeines Geometrischer Begriff Körperberechnungen Körpermasse Körperarten Gerade Körper Würfel Prisma Gerade Drehkörper Zylinder Hohlzylinder
5 Inhaltsverzeichnis Spitze Körper Pyramide Kegel Stumpfe Körper Pyramidenstumpf Kegelstumpf Dichte Kräfte, Hebel, Rollen Thermische Längenänderung Materialberechnungen Allgemeines Dosierung Bindemittel und Kies/Sand Betonmischungen Der Wasserzementwert Baustoffbedarf Mauerwerk Schalungsarbeiten Beton- und Stahlbetonarbeiten Verschiedene Maurerarbeiten Verputzarbeiten Rauminhalte Erdarbeiten Verschiedene Maurerarbeiten Massen Verschiedene Maurerarbeiten Kalkulation Einführung und Informationen Anhang Formeln Längenberechnungen Flächenberechnungen Volumenberechnungen
6 Bemerkungen, Ergänzungen
7 1 Grundlagen für die Berechnung 1.1 Grundrechenarten 11 Allgemeine Hinweise Prüfregeln: Folgende Ratschläge sollen das Rechnen erleichtern: Taschenrechner: Rechnungsweg überlegen und aufschreiben. Bei schwierigen Aufgaben wenn möglich Skizze machen. Ergebnisse abschätzen und Einheiten überprüfen. Das Ergebnis mit einem anderen Lösungsweg kontrollieren. Kommafehler vermeiden: Nach dem Rechnen mit dem Taschenrechner Überschlagsrechnung im Kopf machen. Wer einen Taschenrechner kaufen will, prüfe Folgendes: 1. Sind die Funktionstasten vorhanden, die ich unbedingt brauche? Zum Beispiel: x 2 x p % ( ) 2. Ist der Taschenrechner handlich und einfach zu bedienen? 3. Sind die Tasten gross genug? 4. Ist eine Anleitung für die Handhabung dabei? Runden von Dezimalstellen: Die Zahl 2,6745 ist eine Zahl mit 4 Stellen nach dem Komma, also mit 4 Dezimalstellen. Im Fachrechnen müssen die Zahlen meistens nicht so genau sein, dafür gibt es Rundungsregeln: Ist die massgebende Zahl eine 5 oder grösser, wird die Zahl aufgerundet. Beispiel: 2,6745 runden auf 3 Stellen nach dem Komma = 2,675. Die vierte Dezimalstelle = Ziffer 5, also aufrunden. Beispiel: Ist die massgebende Zahl eine 4 oder kleiner, wird die Zahl abgerundet. 2,674 runden auf 2 Stellen nach dem Komma = 2,67. Die dritte Dezimalstelle = Ziffer 4, also abrunden. Zusammenfassung: Zwischenergebnisse werden nicht gerundet. Längen usw. (m), Flächen (m 2 ), Kosten (CHF usw.) auf die 2. Stelle nach dem Komma runden. Volumen (m 3 ), Massen (t), Längen (km) auf die 3. Stelle nach dem Komma runden. Wenn keine genauen Angaben vorliegen, auf eine Stelle nach dem Komma runden.
8 Bemerkungen, Ergänzungen
9 1 Grundlagen für die Berechnung 1.1 Grundrechenarten 13 Aufgabe: Runden auf 2 oder 3 Stellen nach dem Komma Zahl 2 Stellen 3 Stellen 5, ,8154 8,0052 1, , , , ,0015 Eigene Beispiele:
10 Bemerkungen, Ergänzungen
11 1 Grundlagen für die Berechnung 1.1 Grundrechenarten 15 Grundoperationen Grundoperationen 1. Stufe (Strichrechnungen) Grundoperationen 2. Stufe (Punktrechnungen) Rechenart Addieren (zusammenzählen) plus Subtrahieren (abzählen) minus Multiplizieren (malnehmen) Dividieren (teilen) Beispiele = 10 Summand Summand Summe 8 2 = 6 Minuend Subtrahend Differenz 8 2 = 16 Faktor Faktor Produkt 8 : 2 = 4 Dividend Divisor Quotient Hinweis: Merke: Beispiel: = = 21 Weitere Rechenzeichen = gleich nahezu gleich > grösser als ungleich = entspricht < kleiner als Rechenregeln Bei kombinierten Rechenaufgaben kommen die Operationen der 2. Stufe (mal, geteilt) vor der Operation der 1. Stufe (plus, minus). Innerhalb der gleichen Rechenstufe dürfen die Operationen vertauscht werden. Klammerregeln Merke: Bei Aufgaben mit Klammern sind grundsätzlich zuerst die Klammerwerte auszurechnen. Innerhalb der Klammer gelten die Rechnungsregeln der Grundoperationen (siehe oben). Beispiel: 4 ( ) = 4 (9 4) = 4 5 = 20 4 (3 6 4) = 4 (18 4) = 4 14 = 56 ( ) : 6 7 = 90 : 6 7 = 15 7 = 8 Merke: Hinweis: Sind mehrere Klammern vorhanden, normalerweise ( rund, [ eckig und { geschweift, werden diese von innen nach aussen aufgelöst. Beim Rechnen mit dem Taschenrechner sind die Regeln bezüglich Klammertasten und Rechenzeichen an einem Beispiel zu prüfen. Beispiel: 5 + { [16 : 4 2 (7 12) + 5] 28 : 7} = = 5 + { [4 2 (- 5) + 5] 4} = = 5 + { [ ] 4)} = 5 + { } = = 70
12 Bemerkungen, Ergänzungen
13 1 Grundlagen für die Berechnung 1.1 Grundrechenarten 17 Aufgaben: zu Grundoperationen und Klammern = ,68 : 3, ,5 4 = , ,75 5,5 12,4 = 4. 26,72 1,35 3,2 + 18,27 : 6,09 = ,135 18, ,25 = Klammeraufgaben 6. 2 (86 32) + (72 : 8) = (54 3 8) 920 = : (11,5 264,6 2916,9) = ,32 3,14 + (822,68 : 3,14 4,728) = : [64 ( ) + 40] = {17 3 [5 2 6 (4 12) + 14] + 31} = {42 : 7 2 [5 11] + 72 : 9 [8 4] + 6} = Hinweis: Zum Resultat gehört der Lösungsweg. Versuchen Sie, die nachstehenden Aufgaben ohne Taschenrechner zu lösen. Überprüfen Sie die Resultate durch Nachrechnen mit dem Taschenrechner : 3 = (2 + 4) ( ) : = 15. ( ) : = : = ,5 2 0,2 = 18. (9, ) 2 0,3 =
14 Bemerkungen, Ergänzungen
15 1 Grundlagen für die Berechnung 1.1 Grundrechenarten 19 Bruchrechnen Hinweis: Bezeichnung: Merke: Meistens kommen Zahlen nicht als ganze Zahlen vor, z. B. 4, sondern als Dezimalzahlen, z. B. 4,25, oder als Zahlen mit Brüchen, z. B Zähler Bruchstrich Nenner Bei vielen Taschenrechnern können Brüche eingegeben werden, also z. B Grundsätzlich empfiehlt es sich aber, diese Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln (siehe nächsten Abschnitt, Dezimalrechnen). Dezimalrechnen Hinweis: Merke: Das Umwandeln einer Bruchzahl in eine Dezimalzahl geschieht nach einem einfachen Prinzip. Der Bruchstrich hat die gleiche Bedeutung wie das Divisionszeichen. Für die Umwandlung einer Bruchzahl in eine Dezimalzahl wird der Bruchstrich ersetzt durch die entsprechende Division. 1 Beispiele: = = 1: 4 = 025, 4 = 8 1 = 8 + 0, 25 = 825, 4
16 Bemerkungen, Ergänzungen
17 1 Grundlagen für die Berechnung 1.1 Grundrechenarten 21 Aufgaben: Hinweis: Bruchrechnen und Dezimalrechnen Resultat als Dezimalzahlen angeben. Wandeln Sie die Bruchzahlen zuerst in Dezimalzahlen um = = : 5 12 = : = : = = : =
18 Bemerkungen, Ergänzungen
19 1 Grundlagen für die Berechnung 1.1 Grundrechenarten 23 Gleichungen Hinweis: Beispiele: Jede Berechnung soll zu einem Resultat führen. Wo das Gleichheitszeichen eingesetzt wird, entsteht automatisch eine Gleichung = 9, oder allgemein a + b = c Gleichungen können umgeformt werden = 9 5, oder allgemein a = c b 4 5 = 20 oder allgemein a b = c Umgeformt 4 = 20 : 5 oder a = c : b Aufgaben: Formen Sie die bekannten Formeln um: 1. Rechteck Fläche A = a b a =? / b =? 2. Rechteck Umfang U = 2a + 2b a =? / b =? 3. Dreieck Fläche g h A = 2 g =? / h =? 4. Dreieck Umfang U = a + b + c a =? / b =? / c =?
20 Bemerkungen, Ergänzungen
21 1 Grundlagen für die Berechnung 1.1 Grundrechenarten 25 Proportion Hinweis: Proportionen sind Verhältnisse, z. B. 2 : 3. Die Proportionen werden häufig als Gleichung angewandt. Beispiel: 2 : 3 = 4 : 6 oder 1 : 5 = 2 : 10 Die praktische Anwendung dieser Berechnungsart (z. B. für Böschungsberechnungen) wird in Abschnitt 2.5, «Steigung und Gefälle» behandelt. Aufgabe: Bestimmen Sie die fehlenden Zahlen. (Versuchen Sie es mit Kopfrechnen, Kontrolle mit dem Taschenrechner.) 5 : 2 = 4 : 6 : 7 : 8 : Prinzip zur Auflösung von Proportionen: 1. Äussere Teile und innere Teile multiplizieren Dreisatz 2. Gleichung nach unbekannter Grösse auflösen 3. Resultat 5 : 2 = 4 : x 5 : 2 = 4 : x 5x = 8 5x = 8 : 5 x = 1,6 x = unbekannte Grösse Hinweis: Beispiel: Dreisatzberechnungen sind eine spezielle Form von Proportionen, häufig beim Prozentrechnen. Eine Rampe hat 10% Gefälle heisst: 10 m horizontale Distanz = 100% 1 m Höhenunterschied = 10%, oder als Proportion: 10 : 100% =? Lösung 10 : 100 = 1 : 10 Die praktische Anwendung dieser Berechnungsart wird ebenfalls in Abschnitt 2.5 behandelt.
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