Schulbezogene Geometrie vom höheren Standpunkt

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1 Schulbezogene Geometrie vom höheren Standpunkt Vorlesungen für die Lehramtsstudiengänge Prof. Dr. Knut Smoczyk Leibniz Universität Hannover Stand: 25. Juni 2014 Alle Rechte beim Autor

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Inzidenzaxiome Anordnungsaxiome Sätze über Strecken und Geraden Konvexe Mengen Strahlen und Winkel Polygonzüge, n-ecke Kongruenzaxiome Kongruenzsätze Existenz einer Parallelen Vollständigkeitsaxiome Parallelenaxiom Das kartesische Modell der euklidischen Ebene Sätze über Dreiecke Strahlensätze Sätze über Kreise Literaturverzeichnis 79 Namens- und Sachverzeichnis 81 i

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6 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Die Geometrie gehört zu den ältesten mathematischen Disziplinen überhaupt. Viele Wurzeln der Geometrie lassen sich bei den alten Hochkulturen finden. Insbesondere die Griechen trugen zur Blüte der Geometrie bei. Intuitiv scheint uns klar zu sein, was Punkte, Geraden und Ebenen sind, jedoch haben auch schon die Griechen erkannt, dass selbst offensichtliche Sachverhalte mathematisch exakt formuliert, postuliert und bewiesen werden müssen. So versuchte etwa Euklid, die ebene Geometrie durch eine Reihe von Definitionen, Postulaten und Axiomen auf ein mathematisches Fundament zu stellen und in seinen Elementen leitete er sämtliche damals bekannten Lehrsätze aus diesen Postulaten und Annahmen her. Aus heutiger Sicht genügen Euklids Betrachtungen jedoch nicht unserer Auffassung mathematischer Präzision. Ziel dieses Kapitels wird es sein, einen strengen axiomatischen Aufbau der ebenen euklidischen Geometrie vorzustellen. Hierbei folgen wir im Wesentlichen der axiomatischen Begründung, die durch Hilbert in [Hil62] gegeben wurde. Anders als bei Hilbert werden wir aber von Anfang an auf den allgemeinen Begriff der Inzidenz zwischen Punkten und Geraden verzichten und stattdessen die Inzidenzen durch Mengenrelationen ausdrücken. So werden wir z.b. nicht sagen, dass zwei verschiedene Punkte A, B stets mit genau einer Geraden g inzidieren, sondern, dass zu je zwei verschiedenen Punkten A, B genau eine Gerade g existiert mit A, B g. Diese Vorgehensweise stellt im Grunde keine Einschränkung dar, da einerseits die bei Hilbert vorgestellte Axiomatisierung die euklidische Geometrie eindeutig beschreibt und es andererseits in der Praxis wesentlich einfacher ist, mit einem weniger abstrakten Modell der euklidischen Ebene, nämlich mit dem kartesischen Modell, zu arbeiten und in diesem kartesischen Modell die Inzidenzen tatsächlich duch Mengenrelationen ausgedrückt werden. Zudem bietet das kartesische Modell noch den Vorzug, dass sich viele geometrische Sachverhalte mithilfe der algebraischen Strukturen des R 2 nicht nur einfacher ausdrücken, sondern auch vielfach eleganter beweisen lassen. Beim Aufbau unseres Axiomensystems werden wir jedoch, wie auch schon bei der Einführung reeller Zahlen, zunächst mit abstrakten Mengen und mit sowohl auf als auch zwischen ihnen gegebenen Relationen arbeiten, um schließlich ein abstraktes 5

7 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Mengengebilde zu erhalten, welches wir euklidische Ebene nennen. Das kartesische Modell der euklidischen Ebene wird uns dann zeigen, dass das von uns angegebene Axiomensystem, welches wiederum aus fünf Gruppen von Axiomen besteht, in sich widerspruchsfrei ist. Diese fünf Axiomengruppen gliedern sich auf in: - Inzidenzaxiome - Anordnungsaxiome - Kongruenzaxiome - Vollständigkeitsaxiome - Parallelenaxiom. In den nächsten Abschnitten werden wir diese Axiomengruppen nacheinander vorstellen. 1.1 Inzidenzaxiome Wir beginnen mit der ersten Gruppe von Axiomen. Es sei hierzu eine beliebige Menge E gegeben und P (E) := {U : U E} bezeichne die Potenzmenge von E, d.h. die Menge aller Teilmengen von E Definition (Inzidenzstruktur) Eine Inzidenzstruktur ist ein Paar (E, G), bestehend aus einer Menge E und einem nicht leeren System von Teilmengen G P (E) von E, welches folgenden Axiomen genügt: (I1) Für alle A,B E mit A B existiert genau ein g G mit A,B g. (I2) Für alle g G existieren A,B g mit A B. (I3) Es existieren A,B,C E, so dass gilt: Es existiert kein g G mit A,B,C g. Die Elemente A,B,C E nennen wir Punkte und die Elemente g G nennen wir Geraden. Sind ferner A, B E zwei verschiedene Punkte, so bezeichnen wir die durch (I1) eindeutig bestimmte Gerade g G mit A, B g in Zukunft einfach mit AB. Ist ein Punkt Element einer Geraden, so sagen wir auch er liegt auf dieser Geraden. Liegen mehrere Punkte auf derselben Geraden, so bezeichnen wir sie als kollinear. Damit besagen die oben angeführten Inzidenzaxiome, dass durch je zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade verläuft, dass jede Gerade wenigstens zwei voneinander verschiedene Punkte enthält und dass es mindestens drei Punkte gibt, die nicht sämtlich auf einer Geraden liegen. Das letzte Axiom bedeutet also anschaulich, dass die durch die Inzidenzstruktur definierte Geometrie wenigstens zwei-dimensional 6

8 1.1 Inzidenzaxiome ist. Die Bezeichnung Gerade stammt ursprünglich aus der euklidischen Geometrie, d.h. sie entspringt der Geometrie unserer Anschauung. Dabei kann in einer Inzidenzstruktur eine Gerade durchaus etwas ganz anderes sein. Ist z.b. E eine endliche Menge mit n 3 Elementen und definiert man G als das System der zweielementigen Teilmengen von E, so wird (E, G) hierdurch zu einer Inzidenzstruktur (siehe Abb. 1.1a)). a) b) Abbildung 1.1: a) Eine Inzidenzstruktur existiert bereits auf Mengen E mit nur drei Elementen A,B,C. b) Die Sphäre E = S 2 mit den Großkreisen als Geraden bildet keine Inzidenzstruktur, da durch zwei diametral gegenüberliegende Punkte jeweils unendlich viele verschiedene Großkreise laufen Beispiel (Standardmodelle, Teil 1) Wir wollen an dieser Stelle verschiedene Modelle für Inzidenzgeometrien einführen, die wir im weiteren Verlauf Stück für Stück weiterentwickeln werden. Von besonderem Interesse wird für uns natürlich das kartesische Modell der euklidischen Geometrie sein, denn die euklidische Geometrie ist die Geometrie unserer Anschauung. Sie ist der wesentliche Gegenstand der Schulgeometrie. Zusätzlich werden wir oft zum Vergleich und zum besseren Verständnis das Poincarésche Modell der hyperbolischen Ebene heranziehen, welches wir an dieser Stelle bereits kurz einführen möchten. a) Das kartesische Modell der euklidischen Ebene. Es sei E = R 2. Der R 2 besitzt eine natürliche Vektorraumstruktur. Für A,B R 2,A B sei AB := {P R 2 : s R mit P = A + s(b A)}. Wir setzen G := {g R 2 : A,B R 2,A B, so dass g = AB}. Dann erfüllt (E, G) die Inzidenzaxiome. Wir bezeichnen dieses Modell (E, G) in Zukunft mit E 2 und nennen es das kartesische Modell der euklidischen Ebene. 7

9 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie a) b) Abbildung 1.2: a) So wie in der euklidischen Ebene E 2 stellt man sich i.a. die Geraden zwischen Punkten vor. b) Das Poincarésche Modell für die hyperbolische Ebene H 2. b) Das Poincarésche Modell der hyperbolischen Ebene. Es sei E = D := {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 < 1} die offene Einheitskreisscheibe. Wir definieren die Menge G der Geraden wie folgt. Sind A,B D zwei verschiedene Punkte und sind A,B als Vektoren im R 2 linear abhängig, so sei die Gerade AB gegeben durch den Durchmesser von D, der durch die Punkte A,B läuft. Sind die Punkte A,B hingegen linear unabhängig, so sei AB = D K AB, wobei K AB der eindeutig bestimmte Kreis durch die Punkte A,B ist, welcher den Rand der Kreisscheibe D senkrecht trifft (siehe Abb. 1.2b)). Wir nennen derartige Kreisbögen und auch die Durchmesser Orthokreise. Die Menge D mit diesem Geradensystem G heißt hyperbolische Ebene und wird mit H 2 bezeichnet. Wir weisen darauf hin, dass diese Modelle zum jetzigen Zeitpunkt noch keine vollständigen Modelle der euklidischen Ebene bzw. der hyperbolischen Ebene darstellen, da uns noch wichtige Konstruktionen in diesen Geometrien fehlen wie z.b. Strecken, Strahlen, Winkel und Kongruenzen. Diese Bestandteile werden wir in den nächsten Abschnitten nach und nach hinzufügen Bemerkung An dieser Stelle wollen wir noch kurz erläutern, woher die Bezeichnung Inzidenzaxiom stammt. In der ursprünglich von Hilbert [Hil62] gegebenen Axiomatik der euklidischen Geometrie waren die oben angeführten Axiome anders formuliert. Z.B. wurde bei (I1) gefordert, dass zu je zwei verschiedenen Punkten A,B stets eine Gerade g existiert, die mit jedem der beiden Punkte A, B zusammengehört. Es wurde also nicht gefordert, dass die Punkte Elemente der Geraden sind, sondern dass sie in irgendeiner nicht näher beschriebenen Form mit dieser inzidieren. Mathematisch bedeutet dies, dass eine zweistellige Relation I E G mit folgenden Eigenschaften 8

10 1.1 Inzidenzaxiome Abbildung 1.3: Bei allgemeinen Inzidenzstrukturen müssen die Punkte (hier Brücken) nicht Elemente der Geraden (hier Flüsse) sein. gegeben ist: (I1 ) Für alle A,B E mit A B existiert genau ein g G mit (A,g) I,(B,g) I. (I2 ) Für alle g G existieren A,B E mit A B und (A,g),(B,g) I. (I3 ) Es existieren A,B,C E mit: Es existiert kein g G mit (A,g),(B,g),(C,g) I. Die Elemente aus E nennt man dann wieder Punkte und die Elemente aus G Geraden. Dabei ist es unwichtig, um welche Art von Mengen es sich handelt. Ist (A,g) I, so sagt man, dass der Punkt A mit der Geraden g inzidiert und drückt dies durch die Infixschreibweise A g aus. Sind z.b. drei verschiedene Flüsse g 1,g 2,g 3 und drei Brücken A 1,...,A 3 gegeben, von denen jeweils genau zwei einen der drei Flüsse überspannen, so wird durch E = {A 1,...,A 3 } und G = {g 1,g 2,g 3 } mit der Inzidenz A g : A überspannt den Fluss g eine Inzidenzstruktur festgelegt (siehe Abb. 1.3). Im Gegensatz zu der bei Hilbert gegebenen allgemeineren Fassung der Axiome (I1)- (I3) inzidiert bei uns in der durch Definition beschriebenen Inzidenzstruktur ein Punkt A also genau dann mit einer Geraden g, wenn er Element dieser ist, d.h. A g A g. Da wir für die Schulgeometrie aber lediglich an der Beschreibung der euklidischen Geometrie interessiert sind, ist dies letztendlich keine Einschränkung, da sich - wie wir sehen werden - die euklidische Geometrie durch das nach René Descartes benannte kartesische Modell beschreiben lässt und in diesem Modell ein Punkt genau dann mit einer Geraden inzidiert, wenn er auf ihr liegt. 9

11 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie 1.2 Anordnungsaxiome Natürlich stellt man sich unter einer Geometrie anschaulich etwas anderes vor, als drei Punkte, und Geraden sollten auch mehr als nur zwei Punkte enthalten. Z.B. erwarten wir, dass bei zwei gegebenen Punkten A,C g auch alle Punkte B zur Geraden g gehören, die zwischen A und C liegen. Was aber heißt B liegt zwischen A und C? Mathematisch lässt sich das leicht durch eine weitere Relation ausdrücken. Dies führt uns zur zweiten Gruppe von Axiomen, den Anordnungsaxiomen Definition (Angeordnete Inzidenzebene) Eine angeordnete Inzidenzebene ist ein Tripel (E, G, Z), bestehend aus einer Inzidenzstruktur (E,G) und einer dreistelligen Relation Z E E E, für die die folgenden vier Anordnungsaxiome gelten: (A1) Es ist (A,B,C) Z (C,B,A) Z. Ferner folgt aus (A,B,C) Z, dass A,B,C paarweise verschieden sind und dass B Element der Geraden AC ist. (A2) Sind A,C zwei verschiedene Punkte, so existieren Punkte B,D mit (A,B,C) Z und (A,C,D) Z. (A3) Sind A,B,C g paarweise verschieden, so gilt genau eine der drei Aussagen (A,B,C) Z,(B,C,A) Z,(C,A,B) Z. Statt (A,B,C) Z benutzen wir auch die Infixschreibweise A B C und sagen: Der Punkt B liegt zwischen den Punkten A und C. Bevor wir das vierte Axiom formulieren können, müssen wir noch den Begriff der Strecke zwischen zwei verschiedenen Punkten A,B einführen. Unter der Strecke AB zwischen verschiedenen Punkten A, B verstehen wir die Menge AB := {A,B} {S AB : A S B}. Damit liest sich dann das vierte Anordnungsaxiom wie folgt. (A4) Es seien A,B,C drei verschiedene Punkte mit C AB. Ferner sei g G eine Gerade mit g {A,B,C} =. Falls dann g AB, so gilt entweder auch g BC oder g AC. Das letzte Axiom heißt auch das Axiom von Pasch Definition (Dreiecke) Sind A,B,C drei nicht kollineare Punkte, so ist das Dreieck ABC die Menge ABC = AB BC CA. 10

12 1.2 Anordnungsaxiome a) b) c) d) Abbildung 1.4: a) A B C C B A und A B C A C und B AC. b) Zwischen zwei verschiedenen Punkten A, C einer Geraden liegt stets ein weiterer Punkt B und die Strecke AC lässt sich zu einer Strecke AD verlängern. c) Von drei verschiedenen Punkten auf einer Geraden liegt genau einer zwischen den beiden anderen. Daher sind geschlossene Geraden ausgeschlossen. d) Eine Gerade, die durch eine Seite ins Innere eines Dreiecks eintritt, muss auch wieder durch eine andere Seite des Dreiecks heraustreten. Die Punkte A,B,C eines Dreiecks ABC heißen Ecken und die Strecken AB,BC,CA nennt man die Seiten oder auch Kanten des Dreiecks ABC Bemerkung Anschaulich gesprochen bedeuten die Anordnungsaxiome das Folgende: (A1) Ein Punkt B liegt genau dann zwischen den Punkten A und C, wenn er zwischen den Punkten C und A liegt. Liegt ein Punkt B zwischen den Punkten A und C, so sind A, B, C paarweise verschieden und sie liegen sämtlich auf einer gemeinsamen Geraden (siehe Abb. 1.4a)). 11

13 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Abbildung 1.5: Dreieck ABC. (A2) Zu zwei verschiedenen Punkten A,C existieren stets Punkte B,D, so dass B zwischen A und C liegt und so dass der Punkt C zwischen A und D liegt (siehe Abb. 1.4b)). (A3) Von drei verschiedenen Punkten auf einer Geraden liegt genau einer zwischen den beiden anderen. (A4) Eine Gerade, die durch eine Seite ins Innere eines Dreiecks eintritt, tritt gewiss auch wieder durch eine Seite des Dreiecks heraus (siehe Abb. 1.4d)). Abbildung 1.6: Im drei-dimensionalen euklidischen Raum ist es möglich, dass eine Gerade ein Dreieck nur in einer Seite schneidet. Dabei sei bemerkt, dass wir an dieser Stelle auch nur anschaulich verstehen, was wir mit dem Inneren eines Dreiecks meinen. Das Axiom von Pasch wurde von diesem 1882 formuliert und hat eine besondere Bedeutung, da es bei Euklid noch nicht vorkam. Es stellte somit einen wichtigen Schritt auf dem Weg zur strengen Axioma- 12

14 1.2 Anordnungsaxiome tisierung der Geometrie dar. Es ist auch der Grund dafür, warum wir ab jetzt von E als einer Ebene sprechen werden, denn das Axiom von Pasch garantiert in gewisser Weise, dass E zwei-dimensional ist. Man überzeugt sich leicht, dass dieses Axiom im drei-dimensionalen euklidischen Raum so keine Gültigkeit mehr besitzt (vergl. mit Abb. 1.6) Beispiel (Standardmodelle, Teil 2) a) Das kartesische Modell der euklidischen Ebene. Für das kartesische Modell E 2 der euklidischen Ebene aus Beispiel 1.1.2a) kann man die Zwischenrelation wie folgt festlegen. Es sei, das Standardskalarprodukt des R 2. Für drei Punkte A,B,C legen wir fest, dass A B C : A,B,C sind kollinear und A B,C B < 0. Wir überprüfen die Gültigkeit der Anordnungsaxiome. (A1) Die Gültigkeit des ersten Anordnungsaxiom folgt direkt aus der Symmetrie des Ausdrucks A B,C B in A,C. (A2) Sind A,C zwei verschiedene Punkte, so folgt (A2) z.b. mit B = A+ 2 1(C A) = 1 2 (A + C) und D = C (C A), denn damit wird 2 A B,C B = A C,D C = 1 2 A C 2 < 0 und die Punkte A,B,C,D sind kollinear. (A3) Wegen A B,C B = B A,C A + B A 2 = B C,A C + B C 2, folgt aus A B,C B < 0, dass sowohl B A,C A > 0 als auch B C,A C > 0. Somit ist Axiom (A3) erfüllt. (A4) Es sei g eine Gerade, die keinen der Eckpunkte A,B,C enthalte und die ferner die Seite AB in einem Punkt S schneide. i) Insbesondere existiert eine reelle Zahl s (0,1) mit S = (1 s)a + sb. Ferner gibt es zu g einen Vektor U R 2 \ {0} mit g = g S,U := {S + tu : t R}. ii) Die Vektoren V = B S und W = C S sind linear unabhängig, da sonst C AB. 13

15 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie iii) Da die Vektoren V,W linear unabhängig sind, existieren Konstanten a,b mit U = av + bw. iv) Es sind a,b 0, da ansonsten entweder C g oder B g wäre. Weil g S,U = g S, U, kann man ohne Einschränkung annehmen, dass b > 0 (sonst ersetze U durch U). v) Nun sind zwei Fälle möglich. (1) a > 0: In diesem Fall sei σ := 1 a+b. Da a + b > 0, ist σ wohldefiniert. Der Punkt P := S + σu ist dann Schnittpunkt von g und BC. In der Tat gilt P = S + 1 a + b U = S + 1 (av + bw) a + b = S + 1 (a(b S) + b(c S)) a + b a b = = a + b B + a + b C ( 1 b ) B + a + b = (1 r)b + rc b a + b C mit r := b a+b (0,1). Somit liegt P auch auf BC. (2) a < 0: Wegen s (0,1),a < 0,b > 0 ist sb (1 s)a > 0. Wir setzen σ := s. Dann ist P := S + σu g AC. Dies sieht man ähnlich wie im sb (1 s)a ersten Fall, denn jetzt gilt wegen auch mit r := B S = 1 s (A S) s P = s S + sb (1 s)a U = s S + (av + bw) sb (1 s)a s = S + (a(b S) + b(c S)) sb (1 s)a ( ) s (1 s)a = S + (A S) + b(c S) sb (1 s)a s = (1 s)a sb (1 s)a A + sb sb (1 s)a C = (1 r)a + rc sb sb (1 s)a (0,1). 14

16 1.2 Anordnungsaxiome Folglich muss jede Gerade, die keinen der Eckpunkte A,B,C enthält und welche die Seite AB schneidet auch eine der beiden anderen Seiten AC,BC schneiden. a) b) Abbildung 1.7: Die Anordnungsaxiome sind sowohl in der euklidischen als auch in der hyperbolischen Ebene erfüllt. b) Das Poincarésche Modell der hyperbolischen Ebene. In der Poincaréschen Kreisscheibe ist es zweckmäßig mit komplexen Zahlen z = x + iy zu arbeiten. Sind z 0 D, λ [0,2π) gegeben, so setzen wir T z0,λ : D D, T z0,λ(z) := e iλ z z 0 1 z 0 z. Die Automorphismengruppe von D ist die Menge Aut(D) := {T z0,λ : z 0 D,λ [0,2π)}. Man kann nun zeigen: Ist g ein Orthokreisbogen durch z 0 D, so ist das Bild von g unter dem Automorphismus T z0,λ, λ [0,2π), jeweils ein Durchmesser von D (der von λ abhängt). Wir definieren die Zwischenrelation dann wie folgt: Sind z 1,z 2,z 3 drei paarweise verschiedene Punkte auf einem Orthokreisbogen g, so sei z 1 z 2 z 3 : T z2,0(z 1 ) 0 T z2,0(z 3 ), wobei wir auf der rechten Seite die übliche euklidische Zwischenrelation für den Durchmesser T z2,0(g) benutzt haben. Man kann zeigen, dass dies tatsächlich wohldefiniert ist, d.h. dass genau eine der drei Relationen T z3,0(z 2 ) 0 T z3,0(z 1 ), T z2,0(z 1 ) 0 T z2,0(z 3 ), T z1,0(z 3 ) 0 T z1,0(z 2 ) erfüllt ist. Wir überlassen dem Leser die Überprüfung der vier Anordnungsaxiome als Übungsaufgabe. 15

17 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Sätze über Strecken und Geraden Wir werden angeordnete Inzidenzebenen (E, G, Z) nun stets in der Infix-Notation (E, G, ) schreiben. Die beiden wichtigsten Konsequenzen aus den Anordungsaxiomen sind erstens die Tatsache, dass Geraden ein Dreieck nicht in allen drei Seiten schneiden können, wenn sie nicht auch durch eine der Ecken gehen (Satz von Pasch) und zweitens, dass eine Gerade die Inzidenzebene stets in zwei Hälften zerteilt. Um diese beiden wichtigen Sätze beweisen zu können, benötigen wir zunächst einige Vorbereitungen Definition (Seiten einer Geraden) (E, G, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene und g G sei eine gegebene Gerade. Wir sagen zwei Punkte A,B liegen auf derselben Seite von g, geschrieben (A,B) g, wenn eine der beiden folgenden Aussagen gilt: i) A = B und A g. ii) A B und AB g = Satz Die Relation (A,B) g ist eine Äquivalenzrelation auf der nach Axiom (I3) nicht leeren Menge E \ g. Abbildung 1.8: Zu drei kollinearen Punkten A, B, C auf derselben Seite einer Geraden g findet man stets einen weiteren Punkt H, der nicht auf der durch A,B,C bestimmten Geraden, aber auf derselben Seite von g liegt. 16

18 1.2 Anordnungsaxiome Die Menge E \ g zerfällt also in Äquivalenzklassen [A] g := {B E \ g : (A,B) g }. Jede dieser Äquivalenzklassen nennen wir eine Seite von g. Wir benötigen noch weitere Hilfssätze Lemma Es sei (E,G, ) eine angeordnete Inzidenzebene und A,B,C seien beliebige Punkte auf einer Geraden g mit A B C. Ferner seien a,b,c Geraden mit a g = {A}, b g = {B}, c g = {C}. Dann gilt (B,C) a,(a,c) b,(a,b) c (vergl. mit Abb. 1.9). Abbildung 1.9: A B C (B,C) a,(a,c) b,(a,b) c. 17

19 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Lemma (E, G, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene und für drei beliebige Punkte A, B, C gelte A B C. Dann ist AB BC = {B}. Abbildung 1.10: Ist A B C, so folgt AB BC = {B}. 18

20 1.2 Anordnungsaxiome Lemma (Streckenadditivität) (E, G, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene und für drei beliebige Punkte A, B, C gelte A B C. Dann ist AC = AB BC. Abbildung 1.11: A B C AC = AB BC. 19

21 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Lemma (1. Viererrelation) (E,G, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene und für vier beliebige Punkte A,B,C,D gelte A B C und B C D. Dann gilt auch A B D und A C D. Die Lage der Punkte zueinander ist also wie in Abb. 1.4b). 20

22 1.2 Anordnungsaxiome Lemma (2. Viererrelation) (E,G, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene und für vier beliebige Punkte A,B,C,D gelte A B C und A C D. Dann gilt auch B C D und A B D. Insbesondere gilt AC AD. Die Lage der Punkte zueinander ist also wie in Abb. 1.4b). 21

23 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Satz (Satz von Pasch) Es sei g eine Gerade in einer angeordneten Inzidenzebene und A,B,C seien paarweise verschiedene Punkte von denen keiner auf g liege. Dann schneidet g entweder keine der drei Strecken AB,BC,CA oder genau zwei von ihnen. Abbildung 1.12: In einer angeordneten Inzidenzebene können Geraden Dreiecke nicht in allen Seiten schneiden, wenn wie hier in der Abbildung die Schnittpunkte im Inneren der Seiten liegen. 22

24 1.2 Anordnungsaxiome V O R S I C H T! Der Satz von Pasch bedeutet nicht, dass eine Gerade g ein Dreieck ABC nicht auch in allen Seiten schneiden kann, sondern er besagt, dass dies nur dann möglich ist, wenn wenigstens eine der Ecken A,B,C auf g liegt. Man vergleiche dies mit den beiden in Abbildung 1.13 dargestellten Möglichkeiten. a) b) Abbildung 1.13: Eine Gerade kann ein Dreieck nur dann in allen Seiten schneiden, wenn sie mindestens einen der Eckpunkte enthält Satz (Eine Gerade zerteilt eine Ebene in zwei Hälften) In einer angeordneten Inzidenzebene (E,G, ) besitzt jede Gerade g genau zwei Seiten. Abbildung 1.14: Jede Gerade g zerlegt eine angeordnete Inzidenzebene in genau zwei Hälften. 23

25 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Konvexe Mengen Definition (Konvexe Mengen) Eine Teilmenge C E einer angeordneten Inzidenzebene heißt konvex, wenn für alle A,B C mit A B auch stets AB C Beispiel Eine Strecke AB ist eine konvexe Menge. Ebenso sind Geraden g konvex. a) b) Abbildung 1.15: a) Bei einer konvexen Menge, wie hier dargestellt, sind Verbindungsstrecken von Punkten der Menge stets ganz in der Menge enthalten. b) Die dargestellte Menge ist nicht konvex, da es Verbindungsstrecken von Punkten der Menge gibt, die wiederum nicht ganz in der Menge enthalten sind Satz (E,G, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene, g E sei eine beliebige Gerade und P E ein beliebiger Punkt mit P g. Dann ist [P] g konvex. 24

26 1.2 Anordnungsaxiome Eine Gerade g zerteilt eine angeordnete Inzidenzebene E in zwei nicht leere, disjunkte und konvexe Teilmengen. Diese nennt man auch die durch g erzeugten Halbebenen Strahlen und Winkel Definition (Strahl) Unter dem Strahl AB zweier verschiedener Punkte A, B in einer angeordneten Inzidenzebene E versteht man die Menge AB := AB {P E : A B P}. Man nennt AB auch die Halbgerade von A durch B. Abbildung 1.16: Ein Strahl von A durch B enthält neben der Strecke AB auch jeden Punkt P, für den B zwischen A und P liegt Lemma Wir haben stets AB BA = AB, AB BA = AB. Offensichtlich Satz Aus A S B folgt AB = SA SB und SA SB = {S}. 25

27 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Abbildung 1.17: Veranschaulichung von Satz So wie eine Gerade g eine Ebene E in zwei Hälften zerlegt, zerteilt ein Punkt S AB mit A S B die Gerade AB in die zwei Halbgeraden SA, SB. Ist S g ein beliebiger Punkt auf einer Geraden g, und sind A,B zwei Punkte auf g, die von S verschieden sind, so sagen wir, dass A und B auf derselben Seite von S liegen, wenn SA = SB. Hierdurch wird dann eine Äquivalenzrelation auf g\{s} definiert, welche genau zwei Äquivalenzklassen besitzt Satz Gegeben sei eine Halbgerade AB. Dann gilt für jeden Punkt B AB mit B A auch AB = AB. Abbildung 1.18: Veranschaulichung der Aussage von Satz

28 1.2 Anordnungsaxiome Definition (Winkel) Es seien S, A, B drei nicht kollineare Punkte in einer angeordneten Inzidenzebene E. Unter dem Winkel ASB verstehen wir die Menge ASB := SA SB. Der Punkt S heißt Scheitel des Winkels und die beiden Strahlen SA, SB heißen a) b) Abbildung 1.19: a) Ein Winkel ASB besteht aus den zwei Schenkeln ausgehend vom Scheitel S durch die Punkte A bzw. B. Es kommt hierbei nicht auf die Reihenfolge der Punkte A, B an, d.h. es ist ASB = BSA. b) Das Innere eines Winkels ist stets konvex. Schenkel des Winkels. Unter dem Inneren des Winkels ASB versteht man die Menge Das Äußere des Winkels ist die Menge Int( ASB) := [A] SB [B] SA. Ext( ASB) := E \ (Int( ASB) ASB) Bemerkung Es kommt bei der Definition des Winkels ASB nicht auf die Reihenfolge der Punkte A,B an, d.h. es ist stets ASB = BSA. Außerdem kann man bei der Definition des Winkels die Punkte A, B nach Satz auch durch beliebige von S verschiedene Punkte der jeweiligen Schenkel SA bzw. SB ersetzen. Da Schnitte konvexer Mengen wieder konvex sind, ist das Innere eines Winkels stets eine nicht leere konvexe Teilmenge der Ebene Satz Gegeben sei ein Winkel BAC. Dann haben wir: P Int( BAC) BC B P C. 27

29 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Abbildung 1.20: Veranschaulichung der Aussage von Satz

30 1.2 Anordnungsaxiome Satz Für jeden Winkel BAC gelten die beiden Aussagen i) P Int( BAC) AP \ {A} Int( BAC). ii) P Ext( BAC) AP \ {A} Ext( BAC). Abbildung 1.21: Ein Punkt P liegt genau dann im Inneren (bzw. Äußeren) eines Winkels BAC, wenn auch der Strahl durch den Punkt P ohne den Scheitel im Punkt A im Inneren (bzw. Äußeren) liegt. 29

31 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie V O R S I C H T! Mit den Axiomen für die angeordneten Inzidenzebenen kann man nicht schließen, dass umgekehrt zu jedem inneren Punkt P eines Winkels BAC auch zwei Punkte B AB,C AC mit B P C existieren. Dies ist zum Beispiel nicht immer richtig, wenn wir die hyperbolische Ebene betrachten, da es hier Punkte P im Inneren eines Winkels gibt, bei denen keine Gerade durch P, die einen der Schenkel schneidet auch den jeweils anderen schneidet. Es existieren sogar Geraden g, die komplett im Inneren eines Winkels verlaufen (siehe Abb. 1.22). Abbildung 1.22: In der hyperbolischen Ebene existieren Geraden g die ganz im Inneren eines Winkels BAC verlaufen Definition A, B, C seien drei nicht kollineare Punkte in einer angeordnenten Inzidenzebene E. Unter den Winkeln des Dreiecks ABC verstehen wir die Winkel α = BAC, β = CBA, γ = ACB. Die Menge Int(ABC) = Int(α) Int(β) Int(γ) heißt das Innere des Dreiecks ABC. Entsprechend nennen wir die Menge Ext(ABC) := E \ (Int(ABC) ABC) das Äußere des Dreiecks. Das Innere eines Dreiecks ist als Schnitt konvexer Mengen wieder konvex Satz Gegeben sei ein Dreieck ABC und ein Punkt P Int(ABC). Dann schneidet die Gerade AP die dem Punkt A gegenüberliegende Strecke BC in einem Punkt X {B,C}. 30

32 1.2 Anordnungsaxiome Abbildung 1.23: Die Winkel eines Dreiecks werden oft entsprechend ihres Scheitels mit einem griechischen Buchstaben bezeichnet. Abbildung 1.24: Eine Gerade, die durch einen inneren Punkt P und durch eine der Ecken verläuft, muss auch die der Ecke gegenüberliegende Seite in einem Punkt X schneiden Polygonzüge, n-ecke In einer angeordneten Inzidenzebene kann man neben den bereits definierten Strecken auch Polygonzüge und Vielecke einführen Definition (Polygonzug) Es seien P 1,...,P n+1, n 1, paarweise verschiedene Punkte. Unter dem Polygonzug oder auch Streckenzug P 1 P n+1 verstehen wir die Menge P 1 P n+1 := P 1 P 2 P n P n+1. Ist P n+1 = P 1, so heißt der Polygonzug geschlossen. Ein geschlossener Polygonzug P 1 P n+1 heißt einfach geschlossen, wenn n 3 und wenn gilt: 31

33 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie a) b) Abbildung 1.25: a) Offener Polygonzug. b) Geschlossener Polygonzug. i) P k P k+1 P k+1 P k+2 = {P k+1 } für k = 1,...n 1, P n P n+1 P 1 P 2 = {P 1 } ii) P k P k+1 P l P l+1 = für alle k,l mit 1 k n 2,k + 2 l n. ( = {Pn+1 } ). Ein geschlossener Polygonzug mit n 3 heißt überschlagen, wenn er nicht einfach geschlossen ist. Ein Vieleck mit n Ecken oder auch ein n-eck P 1 P n ist ein geschlossener Polygonzug P 1 P n+1 mit n 3, so dass zusätzlich für kein k {1,...,n} die Punkte P k 1,P k,p k+1 kollinear sind. Dabei setzen wir P 0 = P n und P n+1 = P 1. Der geschlosa) b) Abbildung 1.26: Einfaches 4-Eck (links) und überschlagenes 5-Eck (rechts). sene Polygonzug in Abbildung 1.25b) ist z.b. kein n-eck, da die Punkte P 7,P 8,P 9 kollinear sind. Ein n-eck heißt einfach, wenn es einfach geschlossen ist, anderenfalls nennen wir es überschlagen. Die Punkte P 1,...,P n eines n-ecks P 1 P n heißen Ecken und die Strecken P 1 P 2,P 2 P 3,...,P n 1 P n,p n P 1 nennt man die Seiten oder auch die Kanten des n-ecks. 32

34 1.3 Kongruenzaxiome 1.3 Kongruenzaxiome Wir kommen nun zu einer weiteren wichtigen Gruppe von Axiomen. Bisher ist es uns nicht möglich, verschiedene Strecken oder Winkel miteinander zu vergleichen. Genauer wollen wir die Längen von Strecken und die Größen von Winkeln miteinander vergleichen. Um dies zu bewerkstelligen, müssten wir die Begriffe Streckenlänge bzw. Winkelgröße allerdings erst einmal einführen. Im täglichen Leben, d.h. in der Geometrie unserer Anschauung (also in der euklidischen Geometrie) sagen wir, dass zwei Strecken gleichlang sind, wenn wir durch Anlegen der einen Strecke an die andere zwei deckungsgleiche Strecken erhalten. Z.B. machen wir genau das, wenn wir ein Lineal anlegen und damit eine vorher festgelegte genormte Strecke mit einer anderen vergleichen. Ähnlich verhält es sich bei Winkeln. Wenn wir durch eine Bewegung den ersten Winkel so an den zweiten anlegen können, dass dabei die Schenkel des ersten Winkels mit den Schenkeln des zweiten Winkels übereinstimmen, so sagen wir, dass sie gleichgroß sind. Allerdings haben wir erstens noch nicht definiert, was wir unter einer Bewegung verstehen und zweitens ist durch einen puren Größenvergleich noch keine echtes Maß erklärt. Statt gleichlang bzw. gleichgroß werden wir jedoch sagen, dass zwei Strecken bzw. zwei Winkel zueinander kongruent sind. Auf die Definition einer Bewegung werden wir zunächst verzichten und stattdessen einfach durch Auswahl festlegen, welche Strecken bzw. Winkel wir als zueinander kongruent ansehen möchten. Sei nun (E, G, ) eine angeordnete Inzidenzebene. Wir führen folgende Notation ein: S := {AB : A,B E,A B}, W := { BAC : A,B,C E,A,B,C sind nicht kollinear}, d.h S bezeichne die Menge aller Strecken in der Ebene E und W bezeichne die Menge aller Winkel in E Definition (Kongruenzrelation) (E,G, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene und durch K (S S) (W W) (S W) (S W) sei eine Relation gegeben. Auch für diese zweistellige Relation werden wir eine Infixnotation verwenden, d.h. wir schreiben AB PQ : ( AB,PQ ) K (S S) ABC PQR : ( ABC, PQR) K (W W). Wir nennen eine Kongruenzrelation auf E, wenn die nachstehenden Kongruenzaxiome gelten: 33

35 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie (K1) Ist A 1 B 1 eine beliebige Strecke und sind A 2,P zwei beliebige Punkte mit A 2 P, so existiert ein Punkt B 2 A 2 P mit A 1 B 1 A 2 B 2. (K2) Gilt für drei Strecken A 1 B 1,A 2 B 2,PQ, dass A 1 B 1 PQ,A 2 B 2 PQ, so ist auch A 1 B 1 A 2 B 2. (K3) Aus A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2, A 1 B 1 A 2 B 2, B 1 C 1 B 2 C 2 folgt stets A 1 C 1 A 2 C 2. a) b) c) Abbildung 1.27: a) Strecken lassen sich an beliebigen Strahlen abtragen. b) Die Streckenkongruenz ist eine transitive Relation. c) Die Kongruenz von Strecken ist mit der Streckenaddition verträglich. (K4) Für jeden Winkel ASB ist ASB ASB. Außerdem gibt es zu einem beliebigen Winkel A 1 S 1 B 1 und zu drei beliebigen paarweise verschiedenen und nicht kollinearen Punkten A,S,B genau einen Winkel A 2 S 2 B 2 mit S 2 A 2 = SA, (B,B2 ) SA und A 1 S 1 B 1 A 2 S 2 B 2. (K5) Aus A 1 S 1 B 1 ASB und A 2 S 2 B 2 ASB folgt A 1 S 1 B 1 A 2 S 2 B 2. 34

36 1.3 Kongruenzaxiome (K6) Wenn für zwei Dreiecke A 1 B 1 C 1,A 2 B 2 C 2 die Relationen A 1 B 1 A 2 B 2, A 1 C 1 A 2 C 2, α 1 := B 1 A 1 C 1 α 2 := B 2 A 2 C 2 erfüllt sind, so gilt auch stets die Relation γ 1 := A 1 C 1 B 1 γ 2 := A 2 C 2 B 2. Ist (E, G,, ) eine angeordnete Inzidenzebene mit Kongruenzrelation und gilt AB PQ, so sagen wir, dass die Strecken AB und PQ kongruent zueinander sind. Analog heißen zwei Winkel ABC und PQR kongruent, wenn ABC PQR. a) b) c) Abbildung 1.28: a) Winkel lassen sich so in einem Punkt S einer Geraden abtragen, dass ein Schenkel des Winkels mit einer vorher ausgewählten Halbgeraden zum Punkt S übereinstimmt und der zweite Schenkel auf einer der beiden vorher festgelegten Seiten der Geraden zu liegen kommt. b) Auch die Winkelkongruenz ist eine transitive Relation. c) Das letzte Kongruenzaxiom (K6) ist gleichwertig mit der Gültigkeit des Kongruenzsatzes SWS für Dreiecke (vergl. hierzu auch mit Satz 1.3.6). 35

37 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Lemma Die Kongruenzrelation ist jeweils eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Strecken bzw. auf der Menge aller Winkel. I. Strecken i) Reflexivität: Es sei AB beliebig. Wir zeigen, dass AB zu sich selbst kongruent ist. Nach Axiom (K1) existiert auf der Geraden AB ein Punkt C mit AB AC. Setzt man nun A 1 := A 2 := A und B 1 := B 2 := B, so gilt A 1 B 1 AC und A 2 B 2 AC. Nach Axiom (K2) gilt daher auch A 1 B 1 A 2 B 2, d.h. AB AB. ii) Symmetrie: Es gelte AB CD. Setzt man A 1 := C,B 1 := D und A 2 := A,B 2 := B, so gilt nach Voraussetzung A 2 B 2 CD. Andererseits ist wegen der bereits nachgewiesenen Reflexivität A 1 B 1 CD. Aus Axiom (K2) folgt damit A 1 B 1 A 2 B 2, also CD AB. iii) Transitivität: Es gelte A 1 B 1 AB,AB A 2 B 2. Wir zeigen, dass dann auch A 1 B 1 A 2 B 2. Wegen der Symmetrie folgt aus AB A 2 B 2 nämlich zunächst A 2 B 2 AB und danach mit (K2) das Gewünschte. II. Winkel i) Reflexivität: Dies wird in Axiom (K4) direkt gefordert. ii) Symmetrie: Ist ABC DEF, so folgt DEF ABC aus DEF DEF (Reflexivität) und Axiom (K5) mit A 1 S 1 B 1 := ASB := DEF und A 2 S 2 B 2 := ABC. iii) Transitivität: Dies zeigt man analog wie im Beweis für die Transitivität der Streckenkongruenz Bemerkung Der in Axiom (K1) zu einer Strecke A 1 B 1 und einem Strahl A 2 P geforderte Punkt B 2 A 2 P mit A 2 B 2 A 1 B 1 ist eindeutig bestimmt. 36

38 1.3 Kongruenzaxiome Beispiel (Standardmodelle, Teil 3) a) Das kartesische Modell der euklidischen Ebene. Im kartesischen Modell E 2 der euklidischen Ebene legt man die Kongruenrelation wie folgt fest. Zunächst definieren wir die Länge AB der Strecke AB durch AB := A B und legen fest, dass zwei Strecken genau dann kongruent sein sollen, wenn sie die gleiche Länge besitzen. Analog definieren wir für einen Winkel ABC erst das Winkelmaß ABC als die eindeutig bestimmte Zahl β [0,π) mit cosβ = A B,C B A B C B und nennen anschließend zwei Winkel genau dann kongruent, wenn sie gleiches Winkelmaß besitzen. Wir wollen jetzt die Gültigkeit der Kongruenzaxiome überprüfen. (K1) Es seien A 1 B 1 eine beliebige Strecke und A 2,P zwei beliebige Punkte mit A 2 P. Wir setzen P A B 2 := A 2 + A 1 B 1 2 P A 2. Dann ist B 2 A 2 P und A 2 B 2 = A 1 B 1. (K2) Trivial. (K3) Dies folgt aus der Additivität des Längenmaßes. Gilt nämlich A B C, so existiert eine positive Zahl λ mit A B = λ(b C) und deshalb ist erstens A C = (λ + 1)(B C) und zweitens (K4) Übung. (K5) Trivial. AC = (λ + 1)(B C) = (λ + 1) B C = AB + BC. (K6) Da im euklidischen Modell die Kongruenzen durch Gleichheit der Längenbzw. Winkelmaße gekennzeichnet sind, gilt es nachzuweisen, dass sich das Winkelmaß γ des Winkels ACB eindeutig aus den Längenmaßen der Dreiecksseiten AB,AC und dem Winkelmaß α des Winkels BAC bestimmen lässt. Wegen B C = B A + A C ist aber BC 2 = B A 2 + A C B A,A C = AB 2 + AC 2 2cosα AB AC und auch A C,B C cosγ = AC BC = AC ( 1 cosα AB ), BC AC so dass die Behauptung aus diesen beiden Gleichungen und aus BC > 0 folgt. 37

39 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie b) Das Poincarésche Modell der hyperbolischen Ebene. Auch in der hyperbolischen Ebene legen wir die Kongruenzen durch Gleichheit von Strecken- und Winkelmaße fest, jedoch werden die Maße etwas anders eingeführt. Sind zwei Punkte z 1,z 2 D gegeben, so legen wir den hyperbolischen Abstand d(z 1,z 2 ) wie folgt fest: d(z 1,z 2 ) := log 1 + s(z 1,z 2 ) 1 s(z 1,z 2 ), mit s(z 1,z 2 ) := Tz1,0(z 2 ) = z 2 z 1 1 z 1 z 2. Wie man sofort sieht, ist d(z 1,z 2 ) = d(z 2,z 1 ), d(z,z) = 0 für alle z D und d(z 1,z 2 ) > 0 für alle z 1,z 2 D,z 1 z 2. Mit ein wenig mehr Aufwand lässt sich auch die Dreiecksungleichung überprüfen, so dass d eine Metrik auf D bestimmt. Sind z 1,z 2 D beliebig und ist durch T z0,λ ein beliebiger Automorphismus der Einheitskreisscheibe gegeben (siehe Beispiel 1.2.4b)), so behaupten wir, dass (1.3.1) d(z 1,z 2 ) = d ( T z0,λ(z 1 ),T z0,λ(z 2 ) ). Mit anderen Worten: Die Automorphismen der Einheitskreisscheibe sind Isometrien bzgl. der hyperbolischen Metrik. Um (1.3.1) nachzuweisen, werden wir zeigen, dass s(z 1,z 2 ) = s ( T z0,λ(z 1 ),T z0,λ(z 2 ) ). s ( T z0,λ(z 1 ),T z0,λ(z 2 ) ) = = = = = e iλ z 1 z 0 1 z 0 z 1 e iλ z 2 z 0 1 z 0 z 2 1 e iλ z 1 z 0 1 z 0 z 1 e iλ z 2 z 0 1 z 0 z 2 z 1 z 0 1 z 0 z 1 z 2 z 0 1 z 0 z 2 1 z 1 z 0 1 z 0 z 1 z2 z 0 1 z 0 z 2 (z 2 z 0 )(1 z 0 z 1 ) (z 1 z 0 )(1 z 0 z 2 ) (1 z 0 z 1 )(1 z 0 z 2 ) ( z 1 z 0 )(z 2 z 0 ) 1 z 0 z 1 1 z 0 z 1 z 2 z 1 1 z 0 z 1 1 z 1 z 2 1 z 0 z 1 z 2 z 1 1 z 1 z 2 = Tz1,0(z 2 ) = s(z1,z 2 ). Die hyperbolische Länge einer Strecke AB, A,B D (man verwechsele an dieser Stelle den Balken nicht mit der komplexen Konjugation) ist dann AB := d(a,b) und zwei Strecken AB, CD nennen wir wieder genau dann kongruent, wenn AB = CD. Ist hingegen ASB ein Winkel in D, so sei dass Winkelmaß gegeben durch ASB := T S,0 (A)OT S,0 (B), 38

40 1.3 Kongruenzaxiome wobei wir auf der rechten Seite der Gleichung das euklidische Winkelmaß verwenden. Wir bilden also den Winkel ASB zunächst durch den Automorphismus T S,0 so innerhalb von D ab, dass der Scheitelpunkt S auf den Ursprung O fällt und die Schenkel von ASB zu euklidischen Winkelschenkel werden, die ihren Scheitel im Ursprung besitzen. Man kann sich nun überzeugen, dass das so erhaltene Winkelmaß wohldefiniert ist (d.h. nicht von der Auswahl der Schenkelpunkte A, B abhängt). Auf diese Weise lassen sich nun wiederum die Winkelkongruenzen wie gehabt definieren, d.h. wir sagen zwei Winkel sind kongruent, wenn ihre Winkelmaße übereinstimmen. Die Überprüfung der Kongruenzaxiome überlassen wir dem Leser als Übung Kongruenzsätze Die Kongruenzaxiome erlauben es, in vielen Fällen aus vorhandenen Kongruenzen auf weitere Kongruenzen zu schließen. Wir werden in diesem Abschnitt die wichtigsten Sätze hierzu vorstellen. Zunächst erweitern wir noch den Begriff der Kongruenz wie folgt Definition (E, G,, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene mit Kongruenzrelation. Zwei Dreiecke A 1 B 1 C 1,A 2 B 2 C 2 heißen kongruent, geschrieben A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2, wenn nach eventueller Umbenennung der Eckpunkte A 1,B 1,C 1 gleichzeitig die folgenden Kongruenzen erfüllt sind. A 1 B 1 A 2 B 2, B 1 C 1 B 2 C 2, C 1 A 1 C 2 A 2, B 1 A 1 C 1 B 2 A 2 C 2, C 1 B 1 A 1 C 2 B 2 A 2, A 1 C 1 B 1 A 2 C 2 B 2. Offensichtlich ist die Kongruenz von Dreiecken wieder eine Äquivalenzrelation. Wir werden nun eine Reihe von Kongruenzsätzen für Dreiecke beweisen, die in gewisser Weise aussagen, dass man Dreiecke schon dann eindeutig konstruieren kann, wenn nur wenige Informationen bekannt sind. Wie z.b. der Beweis des nächsten Satzes zeigt, garantiert das Kongruenzaxiom (K6) die Gültigkeit des Kongruenzsatzes Seite-Winkel-Seite (SWS) für Dreiecke. 39

41 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Satz (Erster Kongruenzsatz für Dreiecke (SWS)) (E, G,, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene mit Kongruenzrelation. Gegeben seien zwei Dreiecke A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2 und es gelte A 1 B 1 A 2 B 2, A 1 C 1 A 2 C 2, B 1 A 1 C 1 B 2 A 2 C 2. Dann sind auch C 1 B 1 A 1 C 2 B 2 A 2, A 1 C 1 B 1 A 2 C 2 B 2 und B 1 C 1 B 2 C 2. Abbildung 1.29: Zwei Dreiecke A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2 sind schon dann kongruent, wenn ein Winkel des ersten Dreiecks zusammen mit seinen angrenzenden Seiten kongruent zu einem Winkel des zweiten Dreiecks mit dessen angrenzenden Seiten ist. 40

42 1.3 Kongruenzaxiome Ähnlich folgt der nächste Satz, der Kongruenzsatz Winkel-Seite-Winkel (WSW) Satz (Zweiter Kongruenzsatz für Dreiecke (WSW)) (E, G,, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene mit Kongruenzrelation. Gegeben seien zwei Dreiecke A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2 und es gelte A 1 B 1 A 2 B 2, B 1 A 1 C 1 B 2 A 2 C 2, C 1 B 1 A 1 C 2 B 2 A 2. Dann sind auch B 1 C 1 B 2 C 2, A 1 C 1 A 2 C 2 und A 1 C 1 B 1 A 2 C 2 B 2. Abbildung 1.30: Zwei Dreiecke A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2 sind schon dann kongruent, wenn eine Seite des ersten Dreiecks zusammen mit ihren angrenzenden Winkeln kongruent zu einer Seite des zweiten Dreiecks mit deren angrenzenden Winkeln ist. 41

43 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Definition Gegeben sei eine angeordnete Inzidenzebene (E,G,, ) mit Kongruenzrelation und ein Dreieck ABC E. a) b) Abbildung 1.31: a) Gleichseitiges Dreieck. b) Gleichschenkliges Dreieck. a) ABC heißt gleichseitig, wenn alle Dreiecksseiten zueinander kongruent sind. b) ABC heißt gleichschenklig, wenn wenigstens zwei Dreiecksseiten zueinander kongruent sind. Diese Seiten heißen Schenkel und die dritte Seite die Basis des Dreiecks. Die an die Basis angrenzenden Innenwinkel heißen Basiswinkel und die Ecke, welche der Basis gegenüberliegt, nennt man die Spitze des Dreiecks Satz (E, G,, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene mit Kongruenzrelation. Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks ABC sind zueinander kongruent. 42

44 1.3 Kongruenzaxiome Korollar Die Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks sind sämtlich kongruent zueinander. Gleichseitige Dreiecke sind insbesondere gleichschenklig und jede Dreiecksseite ist Basis. Man wende daher Satz mehrfach an Definition (Neben- und Scheitelwinkel) Gegeben seien ein Winkel ASB und zwei Punkte C,D in einer angeordneten Inzidenzebene (E, G, ), so dass A S C und B S D. Dann heißen die Winkel ASD und a) b) Abbildung 1.32: a) Der Winkel ASB besitzt die beiden Nebenwinkel BSC und DSA. b) Der Winkel ASB besitzt den Gegenwinkel (oder auch Scheitelwinkel) CSD. BSC Nebenwinkel zum Winkel ASB. Der Winkel CSD heißt Gegen- oder auch Scheitelwinkel zum Winkel ASB Satz (Kongruenz von Nebenwinkeln) (E, G,, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene mit Kongruenzrelation. Dann sind die beiden Nebenwinkel eines Winkels zueinander kongruent. Sind zwei Winkel kongruent, so sind auch deren Nebenwinkel kongruent. 43

45 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Korollar (Kongruenz von Gegenwinkeln) (E,G,, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene mit Kongruenzrelation. Dann ist ein Winkel stets zu seinem Gegenwinkel kongruent. Gegeben seien Punkte S,A,B,C,D, die wie in Definition angeordnet seien. Zu zeigen ist, dass die beiden Scheitelwinkel ASB, CSD kongruent sind. Da diese Winkel aber beide Nebenwinkel des Winkel BSC (und auch des Winkel DSA) sind, folgt diese Behauptung direkt aus dem Nebenwinkelsatz Definition (Rechter Winkel) Ein Winkel in einer angeordneten Inzidenzebene (E, G,, ) mit Kongruenzrelation heißt ein rechter Winkel, wenn er zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist. Abbildung 1.33: Ein rechter Winkel ist zu seinen Nebenwinkeln kongruent Bemerkung Es folgt aus Satz und Korollar , dass ein rechter Winkel zu beiden Nebenwinkeln und auch zu seinem Gegenwinkel kongruent ist. Winkel werden in Zeichnungen oft durch Kreisbögen veranschaulicht (siehe Abb. 1.32). Bei rechten Winkeln wird zusätzlich ein Punkt in das Kreissegment gesetzt, z.b. wie in Abb Schneiden sich zwei Geraden g,h in einem Punkt S, so entstehen hierdurch vier Winkel mit Scheitel S von denen jeweils gegenüberliegende Winkel zueinander kongruent sind. Einer der vier Winkel ist ein rechter Winkel genau dann, wenn sämtliche Winkel rechte Winkel sind. In diesem Fall sagen wir, dass sich die Geraden senkrecht (oder auch orthogonal) schneiden und schreiben g h. 44

46 1.3 Kongruenzaxiome Definition Gegeben sei eine angeordnete Inzidenzebene (E,G,, ) mit Kongruenzrelation und ein Dreieck ABC E. ABC heißt rechtwinklig, wenn wenigstens einer seiner Innenwinkel ein rechter Winkel ist. Eine Dreiecksseite, die einem rechten Winkel gegen- Abbildung 1.34: Ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Hypotenuse AB und Katheten AC, BC. überliegt, heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Dreiecksseiten nennt man dann die hierzu gehörenden Katheten Bemerkung A priori ist nicht klar, ob es Dreiecke mit mehr als einem rechten Winkel gibt. Auf der Sphäre (mit der natürlichen sphärischen Geometrie) existieren z.b. Dreiecke, bei denen sämtliche Innenwinkel rechte Winkel sind (siehe Abb. 1.35). Allerdings gelten Abbildung 1.35: Auf der Sphäre existieren Dreiecke mit drei rechten Winkeln. in der sphärischen Geometrie auch andere Axiome. 45

47 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Satz (Addition von Winkeln) Gegeben seien zwei Winkel A 1 S 1 C 1, A 2 S 2 C 2 sowie zwei Punkte B 1 Int A 1 S 1 C 1, B 2 Int A 2 S 2 C 2. Ist A 1 S 1 B 1 A 2 S 2 B 2 und B 1 S 1 C 1 B 2 S 2 C 2, so gilt auch A 1 S 1 C 1 A 2 S 2 C 2. Abbildung 1.36: Die Winkeladdition ist mit der Winkelkongruenz verträglich. 46

48 1.3 Kongruenzaxiome Satz (Winkelteilung) Gegeben seien zwei kongruente Winkel A 1 S 1 C 1, A 2 S 2 C 2 sowie ein Punkt B 1 im Inneren des Winkels A 1 S 1 C 1. Dann existiert genau ein Strahl S 2 B 2 im Inneren von A 2 S 2 C 2, so dass A 1 S 1 B 1 A 2 S 2 B 2 und B 1 S 1 C 1 B 2 S 2 C 2. Abbildung 1.37: Skizze zur Winkelteilung. 47

49 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Satz (Vergleich von Winkeln) gegeben seien vier paarweise verschiedene Punkte A,B,C 1,C 2, so dass C 1,C 2 auf verschiedenen Seiten der Geraden AB liegen. Falls dann AC 1 AC 2 und BC 1 BC 2, so folgt auch ABC 1 ABC 2. Abbildung 1.38: Skizze zu Satz

50 1.3 Kongruenzaxiome Satz (Dritter Kongruenzsatz für Dreiecke (SSS)) (E, G,, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene mit Kongruenzrelation. Gegeben seien zwei Dreiecke A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2 und es gelte Dann gilt zusätzlich A 1 B 1 A 2 B 2, B 1 C 1 B 2 C 2, C 1 A 1 C 2 A 2. B 1 A 1 C 1 B 2 A 2 C 2, C 1 B 1 A 1 C 2 B 2 A 2, A 1 C 1 B 1 A 2 C 2 B 2. Abbildung 1.39: Veranschaulichung des Kongruenzsatzes SSS. 49

51 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Wir werden im nächsten Kapitel noch den Kongruenzsatz SsW für Dreiecke beweisen. Dieser unterscheidet sich von den vorhergehenden Sätzen dadurch, dass wir zusätzlich noch einen Größenvergleich der Dreiecksseiten benötigen. Der Satz lässt sich wesentlich einfacher im kartesischen Modell der euklidischen Geometrie beweisen, so dass wir ihn und seinen Beweis ins nächste Kapitel verschieben Existenz einer Parallelen Wir werden in diesem Abschnitt insbesondere zeigen, dass in angeordneten Inzidenzebenen mit Kongruenzrelationen schon Parallelen existieren. Zudem beantworten wir die Frage, ob es möglich ist, dass ein Dreieck zwei rechte Winkel enthält Definition (Parallele) Es sei g eine Gerade. Eine Gerade h mit g h = nennen wir eine Parallele von g. In diesem Fall sagen wir auch g,h sind parallel und schreiben g h. Abbildung 1.40: Eine Parallele h zur Geraden g durch den Punkt P. 50

52 1.3 Kongruenzaxiome Satz (E, G,, ) sei eine angeordnete Inzidenzebene mit Kongruenzrelation und ABC ein Dreieck. Dann ist kein Innenwinkel zum Nebenwinkel eines anderen Innenwinkels kongruent. 51

53 1 Axiome der ebenen euklidischen Geometrie Korollar Es sei ABC ein Dreieck in einer angeordneten Inzidenzebene mit Kongruenzrelation. Dann ist höchstens einer der Innenwinkel ein rechter. Nach Definition eines rechten Winkels ist dieser zu seinem Nebenwinkel kongruent Korollar (Existenz einer Parallelen) Es seien g eine Gerade und P g ein Punkt in einer angeordneten Inzidenzebene mit Kongruenzrelation. Dann existiert eine Gerade h mit P h und g h =. 52

54 1.4 Vollständigkeitsaxiome Bemerkung Das letzte Korollar sagt also, dass es zu jedem nicht auf g liegenden Punkt P wenigstens eine Parallele von g durch P geben muss, sofern die Axiome einer angeordneten Inzidenzebene mit Kongruenzrelation erfüllt sind. Die Frage, ob es höchstens eine solche Parallele durch P geben kann, hat die Geometer über viele Jahrhunderte beschäftigt und führte schließlich zur Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie. Wir werden darauf weiter unten noch einmal eingehen, wenn wir das Parallelenaxiom vorstellen. 1.4 Vollständigkeitsaxiome Wir wollen zu Beginn dieses Abschnitts ein weiteres Modell für eine angeordnete Inzidenzebene vorstellen, das dem Standardmodell der euklidischen Ebene sehr ähnlich ist, sich jedoch von diesem noch in einem weiteren wichtigen Detail unterscheidet, nämlich in der fehlenden Vollständigkeit Beispiel Das kartesische Modell der rationalen euklidischen Ebene. Es sei E 0 = Q 2. Auch Q 2 besitzt eine natürliche Vektorraumstruktur. Für A,B Q 2,A B sei AB := {P Q 2 : s Q mit P = A + s(b A)}. Wir setzen G 0 := {g Q 2 : A,B Q 2,A B, so dass g = AB}. Dann erfüllt (E 0,G 0 ) die Inzidenzaxiome und lässt sich ähnlich wie beim kartesischen Modell der euklidischen Ebene zu einer angeordneten Inzidenzebene erweitern. Geraden in diesem Modell sind also Schnitte von gewöhnlichen euklidischen Geraden mit Q 2. Das vorstehende rationale Modell unterscheidet sich vom Standardmodell der euklidischen ( ) Geometrie insbesondere dadurch, dass es löchrig ist, d.h. ist z.b. eine Folge Ak B k von Strecken mit k N A k+1 B k+1 A k B k, k N gegeben, so existiert nicht unbedingt immer ein Punkt P mit P A k B k für alle k N, so wie das im Standardmodell der Fall ist. Zwar sind in diesem Modell auch die naheliegenden Kongruenzaxiome nicht alle erfüllt (so kann man z.b. nicht beliebige Strecken abtragen), jedoch ist dies nicht der wahre Grund dafür, dass wir weitere Axiome benötigen, um das Standarmodell von dieser rationalen Variante unterscheiden zu können. 53