DARSTELLENDE GEOMETRIE

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1 DARSTELLENDE GEOMETRIE Bildungs- und Lehraufgabe: Der Unterricht in Darstellender Geometrie soll zum Erreichen der folgenden Ziele beitragen, die sowohl fachspezifische als auch fachübergreifende Aspekte enthalten. Fachspezifische Ziele: Die Schüler sollen befähigt werden zum - Erfassen, Analysieren und sprachlich angemessenen Beschreiben geometrischer Formen und Strukturen, insbesondere der für technische Anwendungen wichtigen Kurven und Flächen; - Lösen räumlicher Probleme unter Verwendung einer Konstruktionszeichnung; - Erfassen der benützten geometrischen Begriffsbildungen; - Anfertigen von Handskizzen räumlicher Objekte; - Erkennen, welche Abmessungen ein Objekt bestimmen; - Herstellen von Entwürfen; - zeichnerischen Darstellen räumlicher Objekte durch geeignete Abbildungsverfahren; - Lesen zeichnerischer Darstellungen räumlicher Gebilde; - Beherrschen von Zeichentechniken. Fachübergreifende Ziele: Die Schüler sollen befähigt werden zum - Denken in räumlicher Anordnung (Raumvorstellung); - Verwenden der Konstruktionszeichnung als ein in technischen Belangen der Sprache überlegenes Kommunikationsmittel; - gewissenhaften, genauen und sauberen Arbeiten, selbstkritischen logischen Denken und präzisen sprachlichen Formulieren; - Erkennen von Querverbindungen zur Mathematik, zur Informatik, zu den Naturwissenschaften, zur Technik und zur Bildenden Kunst; - Weiterentwickeln ihrer graphischen Fähigkeiten. Lehrstoff: Die bei den einzelnen Lernzielen und Lerninhalten angeführten Tätigkeiten beschreiben jene speziellen Lernziele und Lerninhalte, welche zum Erreichen der in der Bildungs- und Lehraufgabe formulierten allgemeineren Ziele erforderlich sind. Mit,,allenfalls'' sind jene Stoffgebiete bezeichnet, die weggelassen werden können, ohne den weiteren Aufbau des Faches zu beeinträchtigen. Die Reihenfolge der angeführten Stoffgebiete ist eine Empfehlung und stellt keine Unterrichtsvorschrift dar. Allerdings ist auf den aufbauenden Charakter des Unterrichtsgegenstandes Darstellende Geometrie zu achten. Querverbindungen zu den Unterrichtsgegenständen Mathematik und Bildnerische Erziehung bieten sich bei fast allen Stoffgebieten an. Spezielle Querverbindungen zu anderen Unterrichtsgegenständen sind an der betreffenden Stelle angegeben.

2 7. Klasse (2 Wochenstunden): Lernziele und Lerninhalte: Grundbegriffe: Anschauliches Vertrautmachen mit den Grundbegriffen der räumlichen Geometrie und der Projektion als Abbildung. Kennenlernen und Beherrschen der Eigenschaften der Parallelprojektion. Erfassen räumlicher Objekte mit Hilfe eines kartesischen Rechtssystems. Axonometrische Risse, Normalrisse in den Koordinatenebenen: Herstellen axonometrischer Risse durch koordinatenmäßiges Aufbauen von ebenflächig begrenzten Körpern, insbesondere technischen Objekten in einfacher Lage zu den Koordinatenebenen. Diskutieren axonometrischer Angaben unter Hinweis auf den Satz von Pohlke. Konstruieren von frontalaxonometrischen Rissen (Kavalierrissen) und horizontalaxonometrischen Rissen (Militärrissen). Herleiten von Grund-, Auf- und Kreuzriß (Hauptrisse) als Normalrisse. Anordnen der Hauptrisse in der Zeichenebene. Konstruieren axonometrischer Risse aus gegebenen Hauptrissen und umgekehrt. Herstellen von Querverbindungen zur Chemie und Physik (zb Handskizzen von Versuchsanordnungen) und zur Biologie und Umweltkunde (zb Kristallformen). Allenfalls: Gewinnen der Abbildungsgleichungen zur Herstellung von axonometrischen Rissen und Parallelrissen. Lösung stereometrischer Aufgaben in zugeordneten Normalrissen: Angittern in einer Ebene und Lösen von Schnittaufgaben und Maßaufgaben unter Verwendung zugeordneter Normalrisse. Einsetzen von Seitenrissen vornehmlich als Konstruktionsprinzip. Herstellen zugeordneter Normalrisse von ebenflächig begrenzten Körpern in allgemeiner Lage zu den Bildebenen. Allenfalls: Konstruieren der Netze von Objekten, die aus Prismen oder Pyramiden bestehen. Allenfalls: Ermitteln von Parallelschatten an ebenflächig begrenzten Körpern. Schnitte von Prismen- und Zylinderflächen: Herstellen axonometrischer Risse und zugeordneter Normalrisse von Prismenflächen mit ebenen Schnitten. Punkt- und tangentenweises Ermitteln ebener Schnitte von Zylinderflächen. Erarbeiten der durch die parallelen Erzeugenden vermittelten Zuordnung zweier Schnittebenen (Parallelperspektivität) und der perspektiven Affinität. Anwenden auf Schnittaufgaben. Allenfalls: Konstruieren der Verschneidung von Objekten, die aus Prismen oder Pyramiden bestehen.

3 Normalrisse von Kreisen und Kugelflächen: Ermitteln des Normalrisses von Kreisen. Konstruieren einer Ellipse aus den Hauptscheiteln und einem Punkt. Herstellen des Zusammenhangs mit der Brennpunktdefinition einer Ellipse. Arbeiten mit der perspektiven Affinität einer Ellipse zu den Scheitelkreisen. Herstellen der Normalrisse von durch ihren Leitkreis festgelegten Drehzylinderflächen. Ermitteln des Normalrisses von Kugelflächen und ihrer ebenen Schnitte. Erarbeiten der Begriffe Tangentialebene, Kontur (wahrer Umriß) und Umriß (scheinbarer Umriß) krummer Flächen. Herstellen von Querverbindungen zur Geographie und Wirtschaftskunde (Erdkugel) und Physik. Schriftliche Arbeiten: Regelmäßig Hausübungen; ein Programm pro Semester (Ausführung als Bleistiftund Tuschearbeit). Drei zweistündige Schularbeiten, davon eine im ersten Semester (diese kann in Form von zwei einstündigen Schularbeiten abgehalten werden). Didaktische Hinweise zur 7. Klasse: Zu,,Grundbegriffe'': Geraden und Ebenen sind als Punktmengen unter Verzicht auf Axiomatik zu behandeln. Diskutieren von paralleler und normaler Lage. Gegenüberstellen der Begriffe Strecke und Gerade, ebene Figur und Ebene, Körper und Fläche. Anschauliches Entwickeln der grundlegenden Eigenschaften der Parallelprojektion: Parallelentreue, Teilverhältnistreue, insbesondere Mittelpunktstreue. Projizierende Lage und Hauptlage von Geraden und Ebenen. Es genügt ein kurzer Hinweis auf die Zentralprojektion; die Begriffe Fernpunkt und Ferngerade bleiben zweckmäßigerweise der 8. Klasse vorbehalten. Zu,,Axonometrische Risse, Normalrisse in den Koordinatenebenen'': Axonometrische Risse und Hauptrisse sollen parallel zueinander unter konsequenter Verwendung eines räumlichen kartesischen Rechtssystems eingeführt werden. Entsprechend der Herleitung der Hauptrisse in Zusammenhang mit axonometrischen Rissen ist es zweckmäßig, auf die Verwendung von Rißachsen weitgehend zu verzichten und nicht unbedingt die Zeichenebene mit einer Bildebene zu identifizieren. Es sind nicht nur Schrägrisse in Koordinatenebenen zu verwenden. Die normale Axonometrie bleibt der 8. Klasse vorbehalten. Im Hinblick auf Anwendungen in der Technik erscheint es zweckmäßig, auch mit gepaarten Normalrissen in nicht geordneter Lage zu arbeiten. Falls die Abbildungsgleichungen behandelt wurden und Programmierkenntnisse der Schüler dies ermöglichen, kann auf die Herstellung axonometrischer Risse ebenflächig begrenzter Körper mit Hilfe eines PC hingewiesen werden. Zu,,Lösung stereometrischer Aufgaben in zugeordneten Normalrissen'': Es ist zweckmäßig, bei der konstruktiven Behandlung von Ebenen auf die Verwendung von Spuren zu verzichten. Das Messen von Abständen und Winkeln ist

4 zuerst im Raum zu erklären und dann zu zeigen, daß die konstruktive Behandlung der Maßaufgaben auf die Ermittlung der Länge einer Strecke, auf die Ermittlung der Abmessungen einer ebenen Figur durch Drehen der Ebene in eine Hauptebene und auf die aus dem Satz vom rechten Winkel folgende Bedingung für die orthogonale Lage einer Geraden und einer Ebene zurückgeführt werden kann. Zugeordnete Normalrisse von ebenflächig begrenzten Körpern in allgemeiner Lage sollen nur exemplarisch zur Einübung der Grundaufgaben und zur Schulung des räumlichen Denkens eingesetzt werden. Besonders an dieser Stelle sollen axonometrische Handskizzen zur Erarbeitung des Konstruktionsganges benützt werden. Aufgaben sind zu vermeiden, die nur durch besondere geometrische,,tricks'' lösbar sind. Schatten sollen die räumliche Gliederung von Objekten in der Zeichnung betonen, sodaß sich vor allem ihre Konstruktion in axonometrischen Rissen anbietet. Bei zugeordneten Normalrissen sollen gebrochene Schatten auf verschiedene Bildebenen vermieden werden. Zu,,Schnitte von Prismen- und Zylinderflächen'': Es ist zweckmäßig, Prismen- und Zylinderflächen durch Bewegung einer Geraden zu erzeugen. Die in diesem Stoffgebiet genannten Abbildungen können schon früher erarbeitet werden. Die perspektive Affinität ist auch anhand planimetrischer Aufgaben einzuüben; auf aus dem Mathematikunterricht bekannte Sonderfälle der perspektiven Affinität ist hinzuweisen. Zu,,Normalrisse von Kreisen und Kugelflächen'': Für Ellipsenkonstruktionen im Rahmen der Darstellenden Geometrie empfiehlt sich die Verwendung eines perspektiv affinen Kreises. Konjugierte Durchmesser der Ellipse sind der 8. Klasse vorbehalten. Die Begriffe Tangentialebene, Kontur und Umriß sollen allgemein erläutert werden. Auf die Ermittlung der Konturpunkte von Flächenkurven ist Wert zu legen. Wie bei jeder Flächenklasse sollte auch bei Kugelflächen zuerst die bereits bei den Ebenen behandelte Vervollständigungsaufgabe gelöst werden. Praxisnahe Aufgaben über Kugelflächen sind vorzuziehen. 8. Klasse (2 Wochenstunden): Lernziele und Lerninhalte: Parallelrisse von Ellipsen, von Drehzylinder- und Drehkegelflächen: Ermitteln des Parallelrisses von Ellipsen, insbesondere von Kreisen. Arbeiten mit konjugierten Durchmessern, der Rytzschen Achsenkonstruktion und der perspektiven Affinität einer Ellipse zu einem Kreis. Herstellen axonometrischer Risse und zugeordneter Normalrisse von Drehzylinder- und Drehkegelflächen sowie von Drehzylinderflächen mit ebenen Schnitten. Allenfalls: Konstruieren zugeordneter Normalrisse von Verschneidungen bisher behandelter Flächen vornehmlich mit Drehzylinderflächen, deren Erzeugenden in einem Riß projizierend sind.

5 Allenfalls: Herstellen von Parallelrissen von Kreiszylinder- und Kreiskegelflächen. Allenfalls: Konstruieren von Verebnungen drehzylindrischer und drehkegelförmiger Objekte. Normale Axonometrie: Herstellen normalaxonometrischer Risse von bisher behandelten Kurven und Flächen und deren ebenen Schnitten. Arbeiten mit dem Einschneideverfahren. Allenfalls: Ermitteln normalaxonometrischer Risse von Verschneidungen bisher behandelter Flächen vornehmlich mit Drehzylinderflächen, deren Erzeugenden zu einer Koordinatenachse parallel sind. Allenfalls: Ermitteln der numerischen Bedingungen für eine normalaxonometrische Angabe zur Vorbereitung der Konstruktion normalaxonometrischer Risse mit Hilfe eines PC. Ebene Schnitte von Pyramiden- und Kegelflächen: Herstellen axonometrischer Risse und zugeordneter Normalrisse von Pyramidenflächen mit ebenen Schnitten. Punkt- und tangentenweises Ermitteln ebener Schnitte von Kegelflächen. Einführen der Fernpunkte von Geraden und der Ferngeraden von projektiv abgeschlossenen Ebenen. Erarbeiten der durch die Erzeugenden vermittelten Zuordnung zweier projektiv abgeschlossener Schnittebenen (Perspektivität) und der perspektiven Kollineation. Anwenden auf Schnittaufgaben. Herstellen zugeordneter Normalrisse von ebenen Schnitten einer Drehkegelfläche, deren Achse zu einer Bildebene parallel ist. Ermitteln des Parallelrisses einer Parabel und einer Hyperbel. Herstellen von Querverbindungen zur Physik (zb Bahnen der Himmelskörper). Allenfalls: Arbeiten mit der perspektiv kollinearen Abbildung einer Ellipse, insbesondere eines Kreises. Allenfalls: Herstellen von Parallelrissen ebener Schnitte von Kreiskegelflächen. Allenfalls: Konstruieren der Verebnung eines Drehkegelstumpfes. Zentralprojektion: Anschauliches Vertrautmachen mit der Zentralprojektion als Abbildung sowie mit den Begriffen Verschwindungsebene, Fluchtpunkt und Fluchtgerade. Herstellen von Zentralrissen ebenflächig begrenzter Körper bei horizontaler Blickachse. Diskutieren der Beziehungen zwischen der geometrischen Zentralprojektion und dem Sehvorgang bzw. der Fotografie. Allenfalls: kritisches Auseinandersetzen mit der Perspektive in der Bildenden Kunst. Allenfalls: Ermitteln des Zentralrisses von Kreisen.

6 Allenfalls: Behandeln der numerischen Perspektive als Grundlage zur Herstellung von Zentralrissen mit Hilfe eines PC. Wiederholung und Ausblick: Zusammenfassendes Überblicken, Wiederholen und Vertiefen der in der Darstellenden Geometrie gelernten Methoden zur Analyse geometrischer Formen. Anwenden dieser Methoden auf Vertreter mindestens einer der folgenden Flächenklassen: Drehflächen (insbesondere einschalige Drehhyperboloide, Drehparaboloide und Torusflächen), Schiebflächen und Regelflächen (insbesondere Wendelflächen und HP- Flächen). Allenfalls: Herleiten von Parametrisierungen von Flächen der genannten Art als Grundlage zur Herstellung von axonometrischen Rissen mit Hilfe eines PC. Schriftliche Arbeiten: Regelmäßig Hausübungen; ein Programm pro Semester (Ausführung als Bleistiftoder Tuschearbeit). Drei Schularbeiten, zwei zweistündige im ersten Semester, eine dreistündige im zweiten Semester. Didaktische Hinweise zur 8. Klasse: Zu,,Parallelrisse von Ellipsen, von Drehzylinder- und Drehkegelflächen'': Wenn Sätze der Kegelschnittslehre beweislos angeboten werden, so ist auf diese Lücken hinzuweisen. Die Vervollständigungsaufgabe sowie Tangenten und Tangentialebenen der angeführten Flächen sind zu behandeln. Gegebenenfalls kann man sich auf die Ermittlung von Normalrissen von Drehzylinder- und Drehkegelflächen beschränken. Schnittellipsen sind nicht nur punkt- und tangentenweise zu ermitteln; die in der 7. Klasse behandelten Abbildungen sind zu verwenden. Auf die Ermittlung der Konturpunkte der Schnittellipsen ist Wert zu legen. Von Schnittkurven krummer Flächen sind auch Tangenten zu ermitteln. Bedingungen für das Zerfallen von Schnittkurven sind entweder elementar zu begründen (zb Schnittkurve zweier gleich großer Drehzylinderflächen mit schneidenden Achsen) oder als unbewiesene Sätze anzugeben. Auf den Einsatz algebraischer Methoden unter Verwendung des Ordnungsbegriffs für Raumkurven sollte man verzichten. Auf praxisnahe Beispiele aus dem Bauwesen und aus dem Maschinenbau ist Wert zu legen. Beim Konstruieren von Verebnungen können von den Leitkreisen verschiedene Flächenkurven punkt- und tangentenweise abgewickelt und aufgewickelt werden. Zu,,Normale Axonometrie'': Die normale Axonometrie ist im Anschluß an das Stoffgebiet Axonometrie der 7. Klasse einzuführen; dabei sind die Verzerrungen einer normalaxonometrischen Angabe konstruktiv zu ermitteln. Auf Vorteile hinsichtlich der Kreisdarstellung und der Ermittlung des Kugelumrisses ist hinzuweisen. Bezüglich der Schnittkurven krummer

7 Flächen wird auf die didaktischen Hinweise des vorhergehenden Stoffgebietes verwiesen. Zu,,Ebene Schnitte von Pyramiden- und Kegelflächen'': Es ist zweckmäßig, Pyramiden- und Kegelflächen durch Bewegung einer Geraden zu erzeugen. Auf die Einordnung der perspektiven Affinitäten unter die perspektiven Kollineationen sowie auf weitere aus dem Mathematikunterricht bekannte Sonderfälle der perspektiven Kollineationen ist hinzuweisen. Ebene Schnitte von Drehkegelflächen sind nicht nur punkt- und tangentenweise zu ermitteln. Zum Nachweis von Parabel- und Hyperbeleigenschaften können Hilfsmittel der Analytischen Geometrie herangezogen werden. Wenn Sätze aus der Kegelschnittslehre beweislos angeboten werden, so ist auf diese Lücken hinzuweisen. Gegebenenfalls genügt die Beschränkung auf in einem Riß projizierende Schnittebenen. Auf die Ermittlung der Konturpunkte bei ebenen Schnitten ist Wert zu legen. Beim Konstruieren von Verebnungen können vom Leitkreis verschiedene Flächenkurven punkt- und tangentenweise abgewickelt und aufgewickelt werden. Zu,,Zentralprojektion'': Auf die Behandlung des Doppelverhältnisses kann verzichtet werden. Das Durchschnittsverfahren soll behandelt werden. Es ist zweckmäßig, die aus der 7. Klasse bekannte axonometrische Methode, die auf dem Einmessen von Koordinatenwegen in das Bild des Koordinatensystems beruht, unter Benützung der Meßpunkte der Koordinatenachsen auch zur Konstruktion von Zentralrissen heranzuziehen. Gegebenenfalls kann das Verfahren durch Paralleldrehen von horizontalen oder von lotrechten Ebenen vereinfacht werden. Der Zentralriß eines Kreises kann nach dem Durchschnittsverfahren oder - falls diese Möglichkeit zur Verfügung steht - mit Hilfe der perspektiven Kollineation zum Zentralriß des parallelgedrehten Kreises konstruiert werden. Gegebenenfalls kann man sich auf punkt- und tangentenweises Konstruieren des Zentralrisses eines Kreises beschränken. Bei der Auswahl der Beispiele ist auf Praxisnähe zu achten. Zu,,Wiederholung und Ausblick'': Beim zusammenfassenden Überblick ist die anwendungsorientierte Seite der Darstellenden Geometrie zu betonen. Zu diesem Zweck können Objekte aus der Erfahrungswelt der Schüler behandelt werden; dabei ist auch auf die Ermittlung der zur Festlegung eines Objektes notwendigen Maße zu achten. Aussagen der algebraischen Geometrie sollten im zusammenfassenden Überblick nicht enthalten sein. Die ausgewählten Flächen sollen anhand exemplarischer Beispiele besprochen werden. Dabei bieten sich insbesondere die Vervollständigungsaufgabe, die Festlegung einer Tangentialebene, die Umrißermittlung sowie die punkt- und tangentenweise Konstruktion von Schnittkurven an. Bei der Wahl der Beispiele ist auf Praxisnähe zu achten.

8 Didaktische Grundsätze: Die Grundbegriffe sollen möglichst von bekannten räumlichen Objekten ausgehend erarbeitet werden, damit der Schritt von unmittelbarer Objektbetrachtung zu selbständiger Raumvorstellung erleichtert wird. Das räumliche Vorstellungsvermögen wird vor allem geschult, wenn die Lösungsstrategien anhand der räumlichen Gegebenheiten - nach Möglichkeit am Originalobjekt oder an einem Modellentwickelt und in der Konstruktionszeichnung nachvollzogen werden. Die zunehmende Bedeutung des computerunterstützten Konstruierens legt die konsequente Verwendung eines Koordinatensystems nahe. Das Herstellen von Bildschirm- und Plotterzeichnungen ist nicht Ziel des Unterrichtsgegenstandes Darstellende Geometrie; jedoch können interessierten und vorgebildeten Schülern Hilfestellungen zur Selbsttätigkeit auf diesem Gebiet geboten werden. Zur Stützung der Raumanschauung empfiehlt es sich, axonometrische Risse und Handskizzen durchgehend zu verwenden. Nur im Prinzip richtige Zeichnungen entsprechen nicht dem Lernziel. Färbiges Hervorheben wichtiger Konstruktionsteile ist gegebenenfalls zweckmäßig. Eine saubere und gefällige Ausführung der Arbeiten ist anzustreben. Die Schüler sind zur Verwendung verschiedener Linienbreiten und Linienarten sowie zur sauberen und sinnvollen Beschriftung anzuhalten und sollen zur laufenden Kontrolle der Zeichengenauigkeit gebracht werden. Der Darstellung von Objekten ist der Vorzug gegenüber theoretischen Aufgaben zu geben, und der problemlösende Aspekt der Darstellenden Geometrie ist zu betonen. Bei technischen Objekten ist darauf zu achten, daß einerseits die auftretenden geometrischen Formen nicht zu kompliziert sind und andererseits zu häufige Wiederholungen gleichartiger Konstruktionen vermieden werden. Es sollen auch das ästhetische Empfinden geschult und die Freude an der Form gefördert werden. Bei Programmentwürfen ist auf die Kreativität besonderer Wert zu legen. Bei schriftlichen Arbeiten soll das Format A 3 nicht überschritten werden. Aus der Mathematik vertraute Begriffe sind auch im Unterricht der Darstellenden Geometrie zu verwenden (zb: Abbildungsbegriff, Symbole aus der Mengenlehre, Tangentenbegriff). Zwar ist bei Beweisführungen die konstruktive Denkweise zu bevorzugen, es können jedoch zur Zeitersparnis Kenntnisse aus der Analytischen Geometrie herangezogen werden. Spezielle didaktische Hinweise befinden sich im Anschluß an die Auflistung der Stoffgebiete der jeweiligen Klasse.