Untersuchung von Ausgleichsvorgängen am Personalcomputer

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1 Untersuchung von Ausgleichsvorgängen am Personalcomputer Ein Beitrag von Ingmar Rubin Zusammenfassung Ausgleichsvorgänge finden in den verschiedensten Gebieten von Natur und Technik statt. Das gesamte Wettergeschehen, die Entstehung von Luftbewegungen oder der Antrieb zahlreicher Meeresströmungen hat seine Ursachen im Temperaturausgleich zwischen kalten und warmen Luftschichten - bzw. Wassermassen. Der Abkühlungsvorgang von einem Glas mit heißen Wasser ist Gegenstand im Physikunterricht. Zu Beginn ist die Temperaturdifferenz zwischen dem Wasserglas und der Raumtemperatur groß - entsprechend schnell findet der Temperaturausgleich (Abkühlungsvorgang) statt. Mit zunehmender Zeit sinkt die Abkühlungsgeschwindigkeit. Am Ende ist die Temperaturdifferenz sehr klein. Der Ausgleichsvorgang schreitet äußerst langsam voran - es handelt sich um eine abklingende Exponentialfunktion. Für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen, ist die Kenntnis von Differentialgleichungen notwendig. In einigen Leistungskursen an Gymnasien werden sie behandelt. Das von W. Hupfeld entwickelte Programm DYNASIS gestattet es beliebige Ausgleichsvorgänge am PC zu simulieren. Es wurde für mathematisch interessierte Schüler geschaffen und setzt die Kenntnis über Differentialgleichungen noch nicht voraus. Das Programm dürfte inzwischen an vielen Schulen mit Internetzugang im Einsatz sein. DYNASIS kann von der Homepage des Programmauthors als zunächst kostenfreies Sharewareprogramm geladen werden: An Hoschschulen und Universitäten hat sich das Programm MATLAB mit der Toolbox SIMULINK durchgesetzt. Aufder Homepage von Scientific Computers sind Beispiele aufgezeigt: Als kostenfreie Alternative zur Simulation von Differentialgleichungssystemen eignet sich auch das Programm SCILAB: Zur Lösung des folgenden Problems sollte man unbedingt eines der aufgeführten PC- Programme benutzen - insbesondere die graphische Ausgabe der Lösungskurven dürfte anders kaum möglich sein.

2 AUFGABENSTELLUNG Aufgabenstellung M eerwasser c =.5 kg/l v = l/min Behälter B l Wasser + kg Salz v = l/m in Behälter B v = l/min Behälter B v = l/min Abbildung.: Kaskade aus den drei Flüssigkeitsbehältern Gegeben ist eine Kaskade aus drei Flüssigkeitsbehältern mit je Liter Fassungsvermögen (Bild.). Zum Zeitpunkt t = befinden sich im Behälter B = l Wasser in dem kg Kochsalz gelöst sind. In den Behältern B und B befinden sich je Liter reines Leitungswasser. In den Behälter B fließt pro Minute Liter Meerwasser der Salzkonzentration c =.5 kg/l ein. Ebenso viel Wasser fließt je Minute vom Behälter B in den Behälter B und von dort in den Behälter B. Der Abfluß vom Behälter B wird in ein Sammelbecken geleitet. Durch den überlaufvom Behälter B gelangt salzhaltiges Wasser in die nachfolgenden Behälter. Ein Rührwerk sorgt in jedem Behälter für eine gleichmäßige Konzentrationsverteilung.. Gesucht ist für alle drei Behälter die gelöste Salzmenge als Funktion über der Zeit!. Bestimme den Zeitpunkt t max an dem die Salzkonzentration im Behälter B maximal wird! Wie groß ist die Salzmenge in diesem Moment im Behälter B?. Bestimme den Zeitpunkt t max an dem die Salzkonzentration im Behälter B maximal wird! Wie groß ist die Salzmenge zu diesem Zeitpunkt im Behälter B? 4. Untersuchen Sie den Ausgleichsvorgang für den Fall, das in den Behälter B kein Meerwasser sondernd Leitungswasser mit der Salzkonzentration c =kg/l einfließt! Punktezahl:

3 Lösung mit DYNASIS. Simulation für Behälter B Wir führen folgende Abkürzungen ein: Vol,Vol,Vol : konstantes Volumen der Behälter B,B,B, m,m,m : Salzmenge in den Behältern B,B,B Startbedingung: m () =, m () =, m () =, c : Salzkonzentration vom zufließenden Meerwasser c =.5kg/l c,c,c : Salzkonzentrationen in den Behältern B,B,B, v,v,v : konstante Abflußgeschwindigkeit aus den Behälten v =l/min delta_m m delta_m c Vol_ v v Abbildung.: DYNASIS Modell für die Salzmenge m im Behälter B Für die Ableitung der Modellgleichungen denkt man sich die Salzmengen in den Behältern für einen kurzen Zeitmoment t als konstant. Wir beginnen mit dem Behälter B. über das Zulaufventil links vom Behälter gelangt im Zeitintervall [t, t + t] ein bestimmtes Volumen V vom Meerwasser in den Behälter. Mit Hilfe der Konzentration c des Meerwassers kann aus dem Volumenelement V die zufließende Salzmenge m berechnet werden: V = v t m = V c = v t c (.) Mit einem Doppelklick aufdas Ventil delta m öffnet sich das Formeleingabefenster. In DYNASIS wird der Faktor t vom Programm intern automatisch eingefügt, weshalb wir die Gleichung ohne t eingeben: delta m = v c (.)

4 4 LÖSUNG MIT DYNASIS m in kg Abbildung.: Salzmenge m (t) imbehälter B Aufder rechte Seite fließt Salzwasser über das Ablaufventil der Menge V aus dem Behälter ab. Damit geht dem Behälter fortlaufend Salz der Menge m verloren. V = v t m = V c (.) Die aktuelle Salzkonzentration c im Behälter B ergibt sich aus: c = m Vol (.4) Für das Abflußventil gilt die Gleichung: m = v c = v m Vol (.5) Nach soviel Theorie wollen wir jetzt DYNASIS starten, um den Verlaufder Salzmenge m (t) zu berechnen. Zunächst geben wir das Modell so wie im Bild. dargestellt ein. Durch ein Doppelklick aufdas entsprechende Symbol können wir den richtigen Bezeichner eintragen. Allen Variablen und Konstanten muß ein numerischer Wert zugewiesen werden. In den Ventilen delta m und delta m müssen die oben abgeleiteten Formeln eingetragen werden. Im Menüpunkt Ausgabe wählen wir das Zeitdiagramm (F5). Nun müssen die Plotvariablen bestimmt werden - wir wählen m aus. Mit F starten wir die Simulation. Wenige Sekunden später erhalten wir die folgende Graphik. Die Salzmenge m (t) nimmt nach einer Exponentialfunktion ab. Für t beträgt m = c Vol =.5 kg, d.h. die Konzentration im Behälter B hat sich dem des Meerwassers angeglichen.

5 . Behälter B und B 5. Behälter B und B delta_m m delta_m m delta_m c Vol_ Vol_ v v v Abbildung.: DYNASIS Modell für die Simulation mit zwei Behältern Jetzt können wir das Modell erweitern aufbehälter B und Behälter B.Für das Ventil delta m und delta m gelten die Gleichungen () und (5). Die Betrachtung für das Ventil delta m sind analog wie bei delta m. Je Zeiteinheit t fließt das Volumenelement V ab. In dem Volumenelement ist die Salzmenge m enthalten. V = v t m = V c = v t m Vol (.6) m delta m = v Vol (.7) Als Startwert für m muß Null eingegeben werden, da der Behälter zu Beginn mit Leitungswasser gefüllt ist. Bei der Simulation lassen wir uns die Kurven für m und m ausgeben. Die Salzmenge m nimmt zunächst zu, da konzentriertes Salzwasser aus dem Behälter B einfließt. Nach t max =5min ist das Maximum erreicht. In dem Behälter befinden sich dann.8 kg Salz. Danach gleicht sich die Konzentration im Behälter B dem des Meerwassers an - ähnlich wie bei dem Behälter B. Um das Maximum der Funktion m (t) besser ablesen zu können, wählen wir über F4 das Menü Numerik. Wir reduzieren die Endzeit der Simulation auf5min. Anschließend lassen wir nur m als Plotvariable zu (Taste F5) und starten die Simulation mit F erneut.

6 6 LÖSUNG MIT DYNASIS m, m in kg Abbildung.4: Salzmenge m (t) und m (t) m in kg Abbildung.5: Das Maximum im Behälter B ist nach 5 min erreicht

7 . Simulation für alle drei Behälter 7. Simulation für alle drei Behälter Zum Abschluß erweitern wir das Modell aufalle drei Behälter. delta_m m m m delta_m delta_m delta_m c Vol_ Vol_ Vol_ v v v v Abbildung.6: DYNASIS Modell für die Kaskade aus den drei Behältern m, m, m in kg Abbildung.7: Verlaufder Salzmenge im Behälter B...B über der Zeit Für das Ventil delta m gilt: V = v t m = V c = v t m Vol (.8) m delta m = v Vol (.9) Das Maximum im Behälter B stellt sich nach t max =7min ein. Die maximale Menge beträgt zu diesem Zeitpunkt m max =.88 kg.

8 8 LÖSUNG MIT DYNASIS.5 m in kg Abbildung.8: Im Behälter B wird nach t =7min die maximale Salzmenge erreicht.4 Lösung bei Zufluß von Leitungswasser m, m, m in kg Abbildung.9: Salzkonzentration bei Zufluß von Leitungswasser Um einen weiteren Einblick in den Ausgleichsvorgang zu gewinnen, könnenandemmodell nacheinander verschiedene Werte geändert werden. Wird z.b. c = gesetzt, erhalten wir die Antwort aufdie 4. Frage der Eingangs gestellten Aufgabe. Bei Zufluß von Leitungswasser gleicht sich die Salzkonzentration nach 6 Stunden in allen drei Behältern dem Wert Null an.

9 9 Matlab und Simulink Um den Ausgleichsvorgang der drei Salzbehälter in MatLab zu simulieren ruft man Simulink von der Kommandozeile auf. Anschließend erstellt man das Blockschaltbild nach Abbildung. über den Menüpunkt Simulation / Parameter gibt man Startzeit t = und Endzeit t = 5 ein. Im Menüpunkt Simulation /Start wird die Berechnung aktiviert. Nach Ende der Simulation kann man sich die Vektoren m (t)...m (t) wie folgt anzeigen lassen. Eingabe im MatLab Kommandofenster: plot(t,m,t,m,t,m) Innerhalb des Graphikfensters können mit Hilfe der Maus beliebige Abschnitte vergrößert werden.. m*v / V s Behälter_m m m(t) co v delta_m. m*v/ V. m*v/v delta_m s Behälter_m m m(t). m * v/v. m * v/v delta_m s Behälter_m m m(t) t Clock time Abbildung.: Blockschaltnild in Matlab/Simulink

10 4 ANALYTISCHE LÖSUNG 4 Analytische Lösung 4. Differentialgleichungssystem Aus den vorangegangen überlegungen können jetzt die Differentialgleichungen für die änderungsgeschwindigkeiten der Salzmengen dm /dt, dm /dt und dm /dt aufgestellt werden. Die Massenänderung in den Behältern B...B ergibt sich aus der Differenz der zufließenden und abfließenden Salzmenge im Zeitmoment t. Durch Grenzübergang werden aus dem endlich großen Delta-Werten unendlich kleine Differentiale. Da die Geschwindigkeiten v...v gleich groß sind, schreiben wir einheitlich v in den Differentialgleichungen. Ebenso notieren wir für die Volumina Vol...Vol einheitlich V. Damit vereinfachen sich die Lösungen für m (t)...m (t) erheblich. Das System aus drei linearen Differentialgleichungen. Ordnung muß mit den folgenden Anfangsbedingungen gelöst werden: dm dt dm dt dm dt = v c v m V, m () = (4.) = v m V = v m V v m V m () = (4.) v m V, m () = (4.) Das Computer-Algebra-System Mathematica liefert folgende Lösung: m [t] =e t v V (m c V + c e t v V V ) m [t] = t v e V ( c V + c e tv V V + t v (m c V )) V m [t] = t v e V ( c t v V c V + c e tv V V + t v (m c V )) V Die Funktionen m (t),m (t) und m (t)können mit einem Funktionsplotter wie GNUplot oder einem Mathematikprogramm wie DERIVE, MathCAD oder MAPLE V dargestellt werden.

11 4. Extremwertbestimmung 4. Extremwertbestimmung Wir bilden die. Ableitungen der Funktionen m (t) und m (t) nach der Zeit t und bestimmen deren Nullstellen. dm dt = e t v V v (c t v V + m ( t v + V )) V dm dt = e t v V t v ( m t v + m V + c t v V ) V Die Nullstelle der Funktion m [t] lautet: t = m V v (m c V ) =5.877 s Die Nullstelle der Funktion m [t] lautet: t = m V v (m c V ) =7.754 Interessant ist, daß das Maximum der Funktion m (t) genau nach der doppelten Zeit des Maximums von m (t) erreicht wird. Für die numerischen Werte der Maxima erhalten wir: m m [t ]=c V + e m +c V (m c V )=.8567 kg m m [t ]=c V + e m +c V ( m c V )=.8757 kg