Gravimetrische Untersuchungen und Einflussmodellierung "Stuttgart 21"

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1 Universität Stuttgart Geodätisches Institut Gravimetrische Untersuchungen und Einflussmodellierung "Stuttgart 21" Diplomarbeit im Studiengang Geodäsie und Geoinformatik an der Universität Stuttgart Benjamin Efinger Stuttgart, August 2014 Betreuer: Prüfer: Dipl.-Ing.(FH) Ron Schlesinger Universität Stuttgart Prof. Dr.-Ing. Nico Sneeuw Universität Stuttgart

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3 Erklärung der Urheberschaft Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Arbeit ohne Hilfe Dritter und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe; die aus fremden Quellen direkt oder indirekt übernommenen Gedanken sind als solche kenntlich gemacht. Die Arbeit wurde bisher in gleicher oder ähnlicher Form in keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegt und auch noch nicht veröffentlicht. Ort, Datum Unterschrift III

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5 Zusammenfassung Durch das geplante Großbauprojekt Stuttgart 21 und den damit notwendigen Tunnelbauarbeiten entsteht nach deren Fertigstellung im Untergrund eine Massenveränderung. Diese Massenveränderung führt zu einer veränderten Schwerkraft, die mithilfe von gravimetrischen Untersuchungen beobachtet werden kann. Da sich die Tunnelbauarbeiten noch im Anfangsstadium ihrer Durchführung befinden, können diese Veränderungen bisher nur modelliert werden. Dazu stehen verschiedene Modelle zur Verfügung, die eine Massenveränderung im Untergrund mit unterschiedlichen geometrischen Formen beschreiben. Diese werden auf Grundlage einer Beispielgeometrie miteinander verglichen und bewertet, um anschließend mit den geeigneten Modellen und der geplanten Tunnelgeometrien den Einfluss der Tunnel zu modellieren. Um abschließend den modellierten Einfluss nach Tunnelfertigstellung mit den dann beobachteten Schwerewerten vergleichen zu können, wurde vor dem Beginn der Tunnelarbeiten mit gravimetrischen Beobachtungen begonnen. Dazu wurde ein geeignetes Profil gewählt, das die Tunnelröhren kreuzt, um so eine generelle Aussage über den Einfluss der Massenveränderung treffen zu können. Wichtig ist hierbei unter anderem die Frage, ob es mit dem vorliegenden Instrument, einem Relativgravimeter, möglich ist, aus den beobachteten Schwerewerten einen Einfluss zu beobachten. Zusätzlich werden die Einflüsse auf den Schweregradienten modelliert und analysiert. Da diese jedoch in einem nicht mehr messbaren Bereich liegen, werden dazu nur Messungen in einem Testumfeld durchgeführt und ausgewertet. Dabei ist interessant, ob sich das Messprinzip für zukünftige Untersuchungen eignet. V

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7 Abstract The planned project Stuttgart 21 and the necessary tunneling works creates a mass change in the subsurface after their completion. This mass change results in altered gravity, which can be observed using gravimetric analyzes. The tunnel construction is at a preliminary stage of his implementation. Therefore, changes can currently only be modeled. There are various models available that describe a mass change in the subsurface with different geometric shapes. They are compared on the basis of a simple geometry and evaluated with each other in order to model the influence of the tunnel with the appropriate models and the planned tunnel geometry. To compare the modeled influence after tunnel completion with the future observed gravity values it was started before the beginning of the tunnel work with gravimetric observations. For this purpose a suitable profile was selected that crosses the tunnels so to make a general statement about the impact of the change in mass. An important aspects is the question if it is possible to observe an influence in the future from the observed gravity values with the present instrument. In addition, the effects on the vertical gradient are modeled and analyzed. They are no longer in a measurable range, so the measurements are carried out and evaluated in a test environment. It is interesting if the measurement principle is usable for future studies. VII

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9 IX Inhaltsverzeichnis Zusammenfassung Abstract V V 1 Einleitung 1 2 Physikalische Grundlagen 3 3 Vergleichsrechnungen Elliptische Integrale Rechtwinkliges Prisma Bouguerplatte Zylindermodellierung nach Damiata Vergleich der Ergebnisse Einflussmodellierung Modellierung mit Zylinder Einfluss auf Schwerewerte Einfluss auf Gradienten Modellierung mit einem rechtwinkligen Prisma Vergleich und Beurteilung der Ergebnisse Gravimetrische Untersuchungen Profilmessung Messdurchführung Auswertung Ergebnisse Gradientenmessung Fazit 49 A Matlab-Programme XVII B Ablaufdiagramme XIX C Pläne XXV

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11 1 Kapitel 1 Einleitung Das Projekt Stuttgart 21 ist ein Verkehrs- und Städtebauprojekt zur Neuordnung des Eisenbahnknotens Stuttgart. Der bisherige Kopfbahnhof soll durch einen unterirdischen Durchgangsbahnhof, das Kernstück des Projektes, ersetzt werden. Die Zubringergleise werden in einen Tunnel verlegt, sodass große Flächen für eine zukünftige Stadtentwicklung zur Verfügung gestellt werden können. Zusätzlich entstehen ein neuer Fernbahnhof am Flughafen Stuttgart, der sogenannte Filderbahnhof, eine neue S-Bahn-Station an der Mittnachtstraße und ein neuer Bahnhof in Stuttgart-Untertürkheim. Der Streckenabschnitt vom neuen Hauptbahnhof zum Flughafen ist dabei Teil der Neubaustrecke Stuttgart-Wendlingen-Ulm, daher wird das Projekt offiziell auch als Bahnprojekt Stuttgart-Ulm 1 bezeichnet. Abbildung 1.1: Übersicht über Stuttgart 21 und das Profil in Wangen (Bahnprojekt Stuttgart-Ulm, 2014) Ein Hauptaugenmerk des Projektes liegt auf den Tunnelbauarbeiten, für den Tunnel vom Stuttgarter Flughafen zum neuen Hauptbahnhof wird dazu eine große Tunnelbohrmaschine eingesetzt. Von Relevanz ist im Folgenden allerdings ausschließlich der geplante Tunnelbau von Untertürkheim zum Hauptbahnhof, welcher bergmännisch voran getrieben wird und unter Stuttgart-Wangen verläuft. Für die folgenden Untersuchungen wurde daher ein Profil entlang der Nähterstraße gewählt, skizziert mit einer roten Linie in Abbildung 1.1. Im Zuge von Tunnelbauarbeiten gibt es eine Massenveränderung im Erdreich, dadurch verändert sich die Schwerkraft, was mithilfe von gravimetrischen Messungen beobachtet werden 1 Für weitere Informationen siehe

12 2 Kapitel 1 Einleitung kann. Dazu sind Messungen vor und nach dem Tunnelbau notwendig, um aus den Ergebnissen einen Vergleich schließen zu können. Aufgrund dessen ist ein Vergleich der Messwerte erst in einigen Jahren nach der Fertigstellung der Tunnel möglich, der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher auf der Modellierung möglicher Einflüsse der geplanten Tunnelröhren. Zur Modellierung und Analyse der Einflüsse, welche in Kapitel 4 zu finden sind, werden zwei Berechnungsmethoden nach Tsoulis (1999) angewendet, die in den Kapiteln 3.1 und 3.2 genauer beschrieben werden. Zur Vereinfachung der Modellierung werden dazu die Tunnelröhren als zylinder- bzw. prismenförmig angenommen, daher ist im Folgenden immer wieder von Zylindern bzw. Prismen die Rede. Um die Berechnungsmethoden auf ihre Richtigkeit zu überprüfen, werden die zwei Berechnungsmethoden vor der Anwendung mit anderen Methoden verglichen, mit denen ebenfalls eine, teils spezielle Massenänderung im Untergrund modelliert werden kann. Zu finden sind die mathematischen Beschreibungen aller Methoden und der Vergleich im Kapitel 3. Auf dem gewählten Profil entlang der Nähterstraße in Stuttgart-Wangen fanden bereits mehrere Messungen an verschiedenen Tagen statt. Zum einen um nach Abschluss der Tunnelbauarbeiten Referenzwerte bereit stellen zu können, zum anderen, um die allgemeine Wiederholbarkeit und die erreichbare Genauigkeit von Schweremessungen entlang dieses Profils zu testen. Das für die erforderlichen Messungen zur Verfügung stehende Messinstrument ist ein CG-5 AUTOGRAV Gravimeter der Firma Scintrex, welches sich in Besitz des Geodätischen Institutes der Universität Stuttgart befindet. Es ist ein Relativgravimeter und funktioniert nach dem Prinzip der allgemeinen Hebelfederwaage, siehe dazu Kapitel 2. Die Durchführung sowie die daraus gewonnenen Resultate werden in Kapitel 5 beschrieben und analysiert.

13 3 Kapitel 2 Physikalische Grundlagen Das Schwerefeld spielt in der Geodäsie eine wichtige Rolle. Die Figur der Erde hat sich unter dem Einfluss der Schwerkraft entwickelt, daher beziehen sich viele geodätischen Beobachtungen darauf. Grundlegende Größen sind dabei die Gravitation und die Schwerebeschleunigung bzw. die Schwere. Die folgenden physikalischen und mathematischen Ausführungen sind u.a. zu finden in Torge (2003), Sneeuw (2006), Jacoby (2009) und Hergarten (2008). Die Gravitation, die Anziehung zwischen Massen, ist die Wechselwirkung, die im täglichen Leben am stärksten wahrgenommen wird. Das von Newton aufgestellte Gravitationsgesetz besagt, dass die Kraft F einer Masse M (Erdkörper) auf eine andere Masse m ist. Dabei ist l = Abstand der Massen F = G M m l 2 (2.1) G = Gravitationskonstante = m 3 kg s 2 Da Kräfte gerichtete Größen sind, müssen die Gravitationskräfte mehrerer Massen, die sich an verschiedenen Orten befinden, addiert werden. Wenn l der Relativvektor von der Masse M zur Masse m ist, so ist l ein Einheitsvektor in Richtung der Kraft auf die Masse m. l Damit lautet das Gravitationsgesetz F = G M m l 2 l l. (2.2) Am Aufpunkt x wird nun die Einheitsmasse m = 1 eingeführt. Damit wird aus der Gravitationskraft die Gravitationsbeschleunigung am Ort x: b (x) = G M x a 2 x a x a (2.3) b zählt vom Aufpunkt an und ist auf einen Quellpunkt am Ort a mit der Masse M gerichtet. Die Differenz der beiden Ortsvektoren x und a beschreibt den Abstand l der beiden Punktmassen. Die SI-Einheit der Gravitationsbeschleunigung ist m/s 2, in der Geophysik wird die Einheit Gal = 1 cm/s 2 = 10 2 m/s 2 verwendet. 1 Sir Isaac Newton, *4. Januar 1643, 31. März 1727, englischer Naturforscher

14 4 Kapitel 2 Physikalische Grundlagen Wie in der Gleichung 2.3 zu sehen ist, ist die Gravitationsbeschleunigung nur von dem Abstand der beiden Massen abhängig. Daher ist sie von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig. Bei örtlich begrenzten Aufgabenstellungen ist daher ein lokales Koordinatensystem ausreichend, während globale Anwendungen ein geozentrisches Koordinatensystem erfordern (Torge, 2003). Die Erde setzt sich aus einer unendlichen großen Anzahl an differentiellen Massenelementen dm zusammen, daraus ergibt sich die Gravitation in Bezug auf eine Einheitsmasse m am Ort x durch eine Transformation der Gleichung 2.3. x a b = b (x) = G dm (2.4) 3 x a Erde Das Massenelement dm kann auch ausgedrückt werden durch dm = ρ dv (2.5) mit der Volumendichte ρ = ρ (a) (Einheit kgm 3 ) und dem Volumenelement dv. Die Gravitationsbeschleunigung und das Gravitationsfeld b (x) sind vektorwertig und können alternativ durch ein skalares Potential ausgedrückt werden, wodurch sich sämtliche Berechnungen vereinfachen. Das Potential ist die Arbeit, die vom Gravitationsfeld zu verrichten ist, um eine Masse aus dem Unendlichen zum Beobachtungspunkt beziehungsweise zum Aufpunkt b heranzuholen. Wegen der Wirbelfreiheit des Gravitationsfeldes, mathematisch ausgedrückt bedeutet dies rot b = 0, lässt sich b auch als Gradient des Potential V darstellen: Für eine Punktmasse M ergibt ergibt sich V = GM l b = grad V (2.6) mit lim x V = 0 (2.7) Für die Erde mit unendlichen vielen Massenelementen dm erhält man folgendes Potential V = G Erde dm l = G Erde ρ dv mit lim l V = 0 (2.8) x Wegen der Rotation der Erde um ihre Achse tritt im erdfesten System die Zentrifugal- oder Fliehkraft auf. Angenommen wird eine konstante Winkelgeschwindigkeit ω um eine dem Erdkörper unveränderliche Drehachse. Der Beitrag der Zentrifugalbeschleunigung zum Schwerefeld der Erde ist demnach mit z = ω 2 d (2.9) ω = Winkelgeschwindigkeit = rad/s d = Abstand von der Drehachse Unter der Annahme einer kugelförmigen Erde beträgt die Zentrifugalbeschleunigung daher z = ω 2 R cos ϑ 3.39 Gal cos ϑ (2.10)

15 5 Dies ist der Anteil der Zentrifugalbeschleunigung, der in Richtung der Gravitation zeigt und damit zum Betrag der Gesamtschwere beiträgt. Mit z = grad Z kann nun analog zur Gravitationsbeschleunigung für die Zentrifugalbeschleunigung ein Potential eingeführt werden. Das Zentrifugalpotential setzt sich zusammen mit Z = Z (d) = ω2 2 p2 mit lim d 0 = 0. (2.11) Aus den bisher berechneten Gravitation b und Zentrifugalbeschleunigung z ergibt sich die Schwerebeschleunigung bzw. Schwere g: g = b + z (2.12) Durch die Multiplikation der Schwere mit einer angezogenen Masse erhält man die Schwerkraft. Das Schwerepotential W der Erde ergibt sich aus der Summe von Gravitations- und Zentrifugalpotential: W = W (x) = V + Z = G Erde ρ ω2 dv + l 2 d2 (2.13) Auch hier gilt, dass aus dem Gradient des Schwerepotentials die Schwerebeschleunigung folgt, also g = grad W. Aus der zweiten Ableitung des Schwerepotentials ergibt sich der Gradient der Schwere grad g und wird als Schweregradiententensor, auch Eötvös-Tensor, bezeichnet. Er berechnet sich aus: W xx W xy W xz grad g = grad (grad W) = W yx W yy W yz. (2.14) W zx W zy W zz Dabei ist W ij = 2 W i j. Dieser Tensor enthält den Schweregradienten g/ x grad g = g/ y, (2.15) g/ z der die Änderung der Schwere in Horizontal- und Vertikalebene beschreibt. Die Komponenten g/ x und g/ y beschreiben den Horizontalgradienten, der in die Richtung der maximalen horizontalen Zunahme der Schwere zeigt. Der vertikale Schweregradient setzt sich zusammen aus der vertikalen Komponente g/ z und beschreibt die Änderung der Schwere mit der Höhe. Die Bedeutung und Messung dieser Komponente als auch die der Schwere wird im Laufe der Arbeit näher erklärt. Bei der Messung der Schwere, der Gravimetrie, unterscheidet man grundlegend zwischen zwei Prinzipien: der Absolut- und der Relativmessung. Bei der Absolutmessung wird g direkt durch Messungen von Längen und Zeiten bestimmt, zum Beispiel aus der Schwingungsdauer eines Pendels oder der Freifallmethode. Die Pendelmethode basiert auf der Messung der Periode und der Länge des frei schwingenden Pendels. Das mathematische Pendel setzt sich zusammen aus einer punktförmigen Masse m, die von einem gewichtslosen Faden mit der Länge l getragen wird. Ausgehend von diesen Annahmen

16 6 Kapitel 2 Physikalische Grundlagen ist das mathematische Pendel nicht vollständig realisierbar. Es gilt folgende Schwingungsgleichung: ml ϕ + mg sin ϕ = 0 (2.16) mit dem Phasenwinkel ϕ = ϕ (t) und der Winkelbeschleunigung ϕ = 2 ϕ/ t 2. Das physikalische Pendel berücksichtigt Form und Größe der aufgehängten Masse und beschreibt so eher das Verhalten eines realen Pendels. Auch für das physikalische Pendel gilt die Schwingungsgleichung, wenn anstatt der Pendellänge l eine reduzierte Pendellänge verwendet wird. Diese reduzierte Pendellänge berücksichtigt den Trägheitsmoment in Bezug auf die Drehachse am Aufhängungspunkt, die Gesamtmasse und den Abstand der Masse zur Drehachse. Bei einem Reversionspendel werden zwei Drehachsen so angeordnet, dass nach Justierung an beiden Achsen dieselbe Schwingungsdauer gemessen wird. Der Abstand zwischen den beiden Drehachsen entspricht der reduzierten Pendellänge. Die Freifallmethode basiert auf der Bewegungsgleichung eines frei fallenden Körpers der Masse m: m z = mg (z) (2.17) z ist die Lotrichtung und z = 2 z/ t 2 die Beschleunigung. Unter Annahme eines homogenen Schwerefeldes entlang der Fallstrecke ergibt die zweifache Integration der Bewegungsgleichung die Gleichung des freien Falles z = z 0 + ż 0 t + g 2 t2 (2.18) Dabei ist z die Position des Fallkörpers zur Zeit t, voraus die Schwere g bestimmt werden kann. z 0 und ż 0 stellen den Ort und die Geschwindigkeit zur Zeit t = 0 da. Durch Probleme bei der exakten Festlegung der Position und kleine mikroseismische Beschleunigungen weichen diese beiden Größen minimal von Null ab (Torge, 2003). Durch Berücksichtigung des vertikalen Schweregradienten g/ z lässt sich die Änderung der Schwere entlang der Fallstrecke berücksichtigen. In der Regel werden mehr als die notwendige Anzahl an Beobachtungen durchgeführt, sodass die Unbekannten durch eine Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt werden können. Die modernen Freifall-Gravimeter verwenden Laser als Längen- und Atomuhren als Zeit- Standards. Zur Längenmessung dient ein Michelson-Interferometer, weitere Beschreibung sind u.a. in Torge (2003) und Kahmen (2006) beschrieben. Die relative Messung der Schwere liefert entweder Schweredifferenzen zwischen zwei Positionen, dabei werden die Zeitdifferenzen möglichst gering gehalten, oder eine Änderung der Schwere mit der Zeit, hierbei wird auf der identischen Position gemessen. Daher lassen sich relative Schwerebeobachtungen leichter als absolute durchführen. Bei der Pendelmethode werden mit demselben Pendel die Schwingungsperioden auf zwei Punkten gemessen. Genauer sind Relativgravimeter, die auf dem Prinzip der Federwaage basieren. Die Geräte nutzen eine Gegenkraft, in den meisten Fällen ist diese elastisch, um eine Testmasse im Gleichgewicht der Schwerkraft zu halten. Änderungen der Schwerkraft mit der Zeit oder des Ortes werden über eine Veränderung der Gegenkraft beobachtet. Beim elastischen Federgravimeter verändert sich aufgrund einer Änderung der Schwere die Länge der Feder so, dass das Gleichgewicht zwischen Schwerkraft und elastischer Kraft erhalten bleibt. Bei geringen Auslenkungen ist die Dehnung proportional zur Kraftänderung (Hookes Gesetz). Man unterscheidet dabei zwischen zwei Systemen.

17 7 Das Translationssystem beruht auf einer vertikalen Federwaage, eine Masse m ist an einer Feder aufgehängt und zieht mit der Kraft mg in Richtung der Schwerkraft. Die Gleichgewichtsbedingung lautet mg k (l l 0 ) = 0 (2.19) mit der Federkonstanten k und den Längen l und l 0 der belasteten und unbelasteten Feder. Bei einer Schwereänderung g ergibt sich ein linearer Zusammenhang: g = k l (2.20) m Diese Form der vertikalen Federwaage ist jedoch zu ungenau, um hohe Messgenauigkeiten zu erzielen. Um zum Beispiel Schwerebeschleunigungen im mgal-bereich auflösen zu können, sind Messungen der Auslenkungsänderung im µm-bereich nötig. Rotationssysteme nutzen eine Hebelfederwaage, dabei trägt ein Hebel eine Masse m, der um eine Achse drehbar ist. Das Gleichgewicht wird dabei durch eine horizontale Torsionsfeder oder eine vertikal oder schräg ausgerichtete Feder hergestellt. Dieses Messprinzip nutzt auch der LaCoste-Romberg-Gravimeter, siehe Abbildung 2.1. Abbildung 2.1: Messprinzip eines LaCoste-Romberg-Gravimeters (Sneeuw, 2006) Das Gravimeter funktioniert nach dem Prinzip der allgemeinen Hebelfederwaage. Hierbei gelten folgende Drehmomente (Sneeuw, 2006): Schwerkraft: mga sin δ = mga cos β (2.21) Feder: k (l l 0 ) b sin α = k (l l 0 ) b y l cos β (2.22) Die Empfindlichkeit dieses nichtlinearen Systems lässt sich durch die Annäherung der beiden Drehmomente aneinander steigern, man spricht auch von Astasierung (Torge, 2003). Die Gleichgewichtsbedingung lautet: mga cos β = k (l l 0 ) b y l cos β (2.23) k beschreibt die Federkonstante, der Winkel β ist die Auslenkung des Hebels aus der Horizontalen (siehe Abbildung 2.1. Löst man diese Gleichgewichtsbedingung nach der Schwere g auf, so erhält man: g = k ( b 1 l ) 0 y (2.24) m a l

18 8 Kapitel 2 Physikalische Grundlagen Mithilfe der differentiellen Form der Gleichung 2.24 kann man nun die Schwereänderung bezüglich der Längenänderung der Feder dg/dl berechnen: dg = k m b y l 0 a l l dl (2.25) Daraus ergibt sich nach Umformung folgende Gleichung, welche für die Berechnung der Sensitivität eine große Rolle spielt: dl = m k a l l dg (2.26) b y l 0 Für die Berechnung der Schwereänderung muss die Position der Prüfmasse abgelesen werden, was mit optischen und/oder elektrischen Ablesesystemen durchgeführt wird. Oft geschieht dies durch den Abgriff der Kapazität, um den Abstand zwischen zwei Kondensatorplatten in eine Spannungsänderung zu überführen. Bei der Anwendung der Nullmethode wird dabei mithilfe einer Kompensatoreinrichtung der Ausschlag in eine vordefinierte Nullposition zurück geführt. Das Messsystem wird zusätzlich noch gegen Änderung der Außentemperatur und des Luftdruckes und gegebenenfalls gegen das Magnetfeld abgeschirmt, Dämpfungseinrichtungen verringern die Auswirkungen von mechanischen Erschütterungen und Vibrationen. Dennoch treten zeitliche Änderungen der Nullpunktsanzeige auf, Sprünge und Gravimetergang bzw. Drift. Der Drift wird verursacht durch langfristige Alterung des Federmaterials und kurzfristigen Anteilen zusammen. Die kurzfristigen Anteile entstehen im Feld durch zum Beispiel kleine Vibrationen und Erschütterungen. Sprünge können durch größere mechanische Schocks entstehen. Durch Wiederholungsmessungen am gleichen Messtag können Drift und Sprünge erfasst werden, der zeitliche Drift wird dann mit den Schweredifferenzen zusammen modelliert. Dazu sind in der Vergangenheit unterschiedliche Verfahren entwickelt worden, siehe Abbildung 2.2 Abbildung 2.2: Verfahren bei relativen Schwerebeobachtungen (Sneeuw, 2006) 1. Profilmethode Bei der Profilmethode wird jeder Punkt zweimal gemessen. Eine Ausnahme bildet der Endpunkt, der nur einmal gemessen wird. Zwischen den jeweiligen Messungen auf jedem Punkt entstehen so jedoch große zeitliche Unterschiede, speziell bei längeren Profilen. Der zeitliche Drift ist jedoch linear. 2. Stepmethode Auch bei der Stepmethode wird jeder Punkt mindestens zweimal gemessen, möglich ist

19 9 auch eine Messung mit bis zu drei Messungen je Standpunkt. Die zeitlichen Unterschiede zwischen den jeweiligen Messungen ist kurz, der Drift allerdings ist nicht linear. 3. Sternmethode Diese Methode wird dazu verwendet, den Drift des Sternmittelpunktes zu bestimmen. Die anderen Punkte haben keine herausragende Bedeutung. Daher findet diese Methode in diesem Fall keine Verwendung. Um Schweremessungen bzw. -beobachtungen interpretieren zu können, sind Korrekturen und Reduktionen der Messwerte notwendig. Das bedeutet, dass alle bekannten Einflüsse heraus korrigiert werden. Erst dann kann versucht werden, zum Beispiel aus den beobachteten Abweichungen Rückschlüsse auf die Massenverteilung oder -veränderung im Erdreich zu ziehen. Ein bekanntes Beispiel ist die Reduktion des Luftdrucks auf Meereshöhe, da bei ca m Höhenunterschied der Luftdruck um etwa 10% abfällt. Durch die Freiluftkorrektur wird die gemessene Schwere auf Meeresniveau reduziert, d.h. pro Meter Höhe wird der Schweregradient, die Änderung der Schwere pro Meter, zur gemessenen Schwerebeschleunigung addiert. Eine weitere wichtige Korrektur ist die Bouguer-Korrektur. Bei einem Gebirge führt die zusätzliche Masse zu einer Erhöhung der Schwere, bei bekannter Form und Dichte kann deren Wirkung berechnet werden. Oft verwendet man aber eine einfache Näherung, welche auf der Form einer unendlich ausgedehnten Platte (siehe Kapitel 3.3) beruht. Besitzt das Messgebiet eine große Ausdehnung in Nord-Süd-Richtung, muss die Breitenabhängigkeit der Schwere berücksichtigt werden. Bei den gravimetrischen Untersuchungen zu Stuttgart 21 im Bereich Stuttgart-Wangen sollen die relativ gemessenen Werte vor den Tunnelbauarbeiten mit Werten nach Abschluss der Bauarbeiten verglichen werden. Somit sind keine Korrekturen bezüglich Geländehöhe notwendig, da keine Veränderung der Höhe zu erwarten ist und sich somit bei einer Differenzbildung herauskürzen. Luftdruck und Gerätehöhe können variieren und werden daher berücksichtigt. Die Korrektur der Gerätehöhe berechnet sich aus mit K H = FA ( h H) (2.27) FA = Freiluftgradient = mgal m h = Differenz Oberkante Gravimeter - Messsystem [m] H = Differenz Oberkante Gravimeter - Standpunkt [m] Die Differenz zwischen Geräteoberkante und Standpunkt wurde für jeden Punkt mit einem Meterstab gemessen, die Differenz h ist bereits bekannt mit einem Wert von Meter. Die atmosphärische Korrektur setzt sich wie folgt zusammen: mit 4 mgal κ = mbar p = mbar K A = (p p) κ (2.28) ( 1 H = Höhe über NN 225 Meter p = gemessener Luftdruck ( ) ) H m

20 10 Kapitel 2 Physikalische Grundlagen Der bereinigte Schwerewert g berechnet sich nun aus den Schwerebeobachtungen g und den Korrekturen K H und K A : g = g + K H + K A (2.29) Mithilfe eines Gravimeters können an der Erdoberfläche auch Näherungswerte für den Schweregradienten (siehe Gleichung 2.15) gemessen werden. Dazu werden eng benachbarte Punkte gemessen. Für den horizontalen Schweregradient, hier ohne Bedeutung, werden Punkte im Abstand von bis zu 100 Metern, die auf einer Höhe liegen, gemessen. Für die näherungsweise Bestimmung des vertikalen Gradienten g/ x werden dazu mehrfach Relativmessungen auf Stativen mit Höhenunterschieden von ca. ein bis zwei Meter durchgeführt. Der Gradient ergibt sich dann aus W zz = f 1 f 2 z (2.30) mit der oberen Schwerebeobachtung f 1 Höhenunterschied z (Torge, 2003). =, der unteren Schwerebeobachtung f 2 und dem

21 11 Kapitel 3 Vergleichsrechnungen Um den Einfluss einer konkreten Geometrie auf die Schwerebeobachtungen zu berechnen, werden die dazu verwendete Methoden mit anderen Methoden verglichen. Damit soll die Korrektheit der verwendeten Formeln überprüft werden. In dem vorliegendem Fall soll der Einfluss der geplanten Tunnelröhren für das Projekt Stuttgart 21 auf die Schweremessungen entlang eines Profils in der Nähterstraße in Stuttgart-Wangen modelliert werden. Dazu werden fünf Varianten beschrieben, mit denen eine Berechnung des Einflusses einer Masse im Untergrund möglich ist und die geeigneten zur anschließenden Modellierung genutzt. Um die Ergebnisse der Berechnungen mithilfe der verschiedenen Methoden vergleichen zu können, wird eine einheitliche Geometrie des Körpers im Erdreich gewählt. Die Kantenlänge bzw. der Radius wird auf Meter gesetzt. Die Dicke beträgt einen Meter. Der Körper befindet sich direkt unterhalb sowie der fiktive Beobachtungspunkt direkt auf der Erdoberfläche, somit ist es zum Fuß des Körpers analog der Dicke ebenfalls einen Meter. Weitere einheitlich verwendete Kennwerte sind der Dichteunterschied ρ = 2670 kg m 3 die Gravitationskonstante G = 6, m3. kg s 2 Nach detaillierter mathematischer Beschreibung der jeweiligen Berechnungen werden diese mit den einheitlich gewählten Kennwerten des Körpers durchgeführt. Die Ergebnisse werden miteinander verglichen um dann die geeigneten Methoden für die Modellierung weiter zu verwenden. und

22 12 Kapitel 3 Vergleichsrechnungen 3.1 Elliptische Integrale Die Methode der elliptischen Integrale (Tsoulis, 1999) basiert auf einem Zylinder, der sowohl als liegend als auch als stehend gewählt werden kann (Abbildung 3.1). Der Einfluss auf die Schwere an einem bestimmten Punkt P (siehe 3.1) lässt sich allgemein als Ableitung V z seines Potentials V berechnen. Das Potential berechnet sich aus V = 2πGρ Die Lösung dieses Integral mithilfe einer Substituierung lautet: [ V =πgρ L 0 ( ) (h P z) 2 + R 2 (h P z) dz (3.1) (h P L) 2 h 2 P (h P L) R 2 + (h P L) 2 ( ) R 2 + (h P L) 2 + h P R 2 + h 2 P R2 ln ( ) ] + R 2 ln h P + R 2 + h 2 P, (3.2) h P L + Daraus lässt sich die erste Ableitung V z bestimmen, die zur Berechnung der Anziehung benötigt wird. V z = V [ ] = 2πGρ L + R h 2 + (h P L) 2 R 2 + h 2 P P Dies gilt für einen Berechnungspunkt P auf der z-achse. Liegt P zudem direkt auf dem Zylinder, vereinfacht sich diese Berechnung weiter, siehe Kapitel 3.3. (3.3) Abbildung 3.1: Einfluss eines Zylinders auf die Schwere nach Tsoulis (1999)

23 3.1 Elliptische Integrale 13 Liegt der Berechnungspunkt P nicht auf der z-achse, wird V z in einen radialen und einen axialen Anteil aufgespalten, siehe Abbildung 3.1. V z = V r z + V a z (3.4) Die verwendeten, geschlossenen Lösungen von Vz r und Vz a basieren auf einer Projektion P des Punktes P auf die Grundplatte des Zylinders. Dadurch können der radiale und axiale Anteil durch die Zylinderfunktionen C y (L, R, a) und C t (L, R, a) ausgedrückt werden, was in (Tsoulis, 1999) wie folgt beschrieben ist. Für die radiale Komponente gilt: mit Vz r = C y (L, R, a) =2Gρ L { 2 a 1 + A2 + } [{1 + 2 R2 + a B 2 L B 2 { 1 + A 2 + R2 + a 2 } } L 2 + (AB) K (k) 1 + B 2 1 { 1 + A } B 2 R 2 + a 2 ( ) 1 E (k) 2 L B 2 Π π, k, k 2 +2A 2 ( ) ] ) B 2 Π π, n, k + I 0 (3.5) 2 A = R + a L, B = R a L I 0 = { πr 2 2a, wenn a R πa 2, wenn a R k = 1 + A2 1 + B A B 2 Die axiale Komponente berechnet sich aus V a z = C t (L, R, a) =2Gρ n = A A 2 k. R2 L 2 a 2 (R + a) 2 + L 2 K (k) (R + a) 2 + L 2 E (k) L 2 [ L2 + a 2 ( ) + R 1 (R + a) 2 + L 2 L2 + a 2 a Π 2 π, n 1, k L2 + a + 2 ( ) ] ) R 1 L2 + a 2 + a Π 2 π, n 2, k + Lπ (3.6)

24 14 Kapitel 3 Vergleichsrechnungen mit k = n 1 = 4aR (R + a) 2 + L 2 2a L2 + a 2 a n 2 = 2a L2 + a 2 + a Die dabei vorkommenden elliptischen Integrale K (k), E (k), Π(π/2, n, k) sind definiert als K (k) = 1 (1 x 2 ) (1 k 2 x 2 ) dx 1 k E (k) = 2 x 2 1 x 2 dx 1 Π (π/2, n, k) = (1 nx 2 ) (1 x 2 ) (1 k 2 x 2 )dx. (3.7) Radialer und axialer Anteil gelten dabei für die Projektion auf die Grundplatte des Zylinders. Für die Berechnung der Anziehung des Zylinders an einem willkürlich gelegenen Punktes unterscheidet man zwischen drei Fällen. Im ersten Fall liegt P auf einer horizontalen Ebene, die sich innerhalb auf der Länge des gesamten Zylinders befindet, d.h. L > l oder in der Ebene der oberen Grenzfläche des Zylinders. Dementsprechend berechnen sich der radiale und axiale Anteil als Vz r = 2Gρ ( C y (l, R, a) + C y (L l, R, a) ) (3.8) Vz a = 2Gρ (C t (l, R, a) C t (L l, R, a)). (3.9) Der zweite Fall beschreibt, dass P in einer Ebene über der oberen Grenzfläche liegt, sodass l > L gilt. Vz r = 2Gρ ( C y (l, R, a) C y (l L, R, a) ) (3.10) Vz a = 2Gρ (C t (l, R, a) C t (l L, R, a)). (3.11) Im dritten Fall befindet sich der Berechnungspunkt P unterhalb der Grundplatte des Zylinders, das bedeutet l < 0. Vz r = 2Gρ ( C y (L + l, R, a) C y ( l, R, a) ) (3.12) Vz a = 2Gρ (C t (L + l, R, a) C t ( l, R, a)). (3.13)

25 3.2 Rechtwinkliges Prisma Rechtwinkliges Prisma Das Potential sowie dessen erste und zweite Ableitung eines rechtwinkligen Prismas wurde bisher von vielen Autoren der mathematischen, geodätischen und geophysikalischen Literatur untersucht, die Beschreibung von Tsoulis (1999) wird hier näher beschrieben. Mit der Annahme, dass das dreidimensionale, rechtwinklige Koordinatensystem seinen Ursprung im Berechnungspunkt P hat, ergibt sich bezüglich des Punktes P nach Tsoulis (1999) für das Potential des Prismas V = Gρ x 2 y 2 z 2 dxdydz x2 + y 2 + z 2, (3.14) x 1 y 1 z 1 Dabei sind x i, y i, z i die Koordinaten der Ecken des Prismas, siehe Abbildung 3.2. Abbildung 3.2: Berechnung des Einflusses einer Masse (Tsoulis, 1999) Werden die Integrale aufgelöst, so gilt für das Potential V V = Gρ xy ln (z + r) + xz ln (y + r) + yz ln (x + r) x2 yz arctan 2 xr y2 xz arctan 2 yr z2 x xy 2 y 2 z 2 arctan 2 zr (3.15) z 1 mit r = x 2 + y 2 + z 2. Daraus werden die ersten Ableitungen berechnet. V x = Gρ yz y ln (z + r) + z ln (y + r) x arctan xr V y = Gρ xz x ln (z + r) + z ln (x + r) y arctan yr V z = Gρ xy x ln (y + r) + y ln (x + r) z arctan zr x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 y 1 z 2 (3.16) z 1 z 2 (3.17) z 1 z 2 (3.18) z 1

26 16 Kapitel 3 Vergleichsrechnungen Die Integranten der vorhergehenden Gleichungen sind Funktionen von x, y und z. Zum Beispiel kann V z mithilfe der Funktion f z (x, y, z) ausgedrückt werden: V z = Gρ [ f z (x 2, y 2, z 2 ) f z (x 2, y 2, z 1 ) + f z (x 1, y 2, z 1 ) f z (x 1, y 2, z 2 ) + f z (x 2, y 1, z 1 ) f z (x 2, y 1, z 2 ) + f z (x 1, y 1, z 2 ) f z (x 1, y 1, z 1 )] (3.19) Die gleiche Ausdrucksweisen gelten für V x mit f x (x, y, z) und V y mit f y (x, y, z). Entsprechend der Lage des Berechnungspunktes P kann die Berechnung des Einflusses variieren, zum Beispiel wenn P auf einer Koordinatenlinie oder direkt auf einer Ecke des Quaders liegt. Bei bestimmten Positionen von P treten dabei Singularitäten auf, die berücksichtigt werden müssen. Die Tabelle 3.1 zeigt einen Überblick darüber. Position von P (x, y) = (0, 0) (x, z) = (0, 0) (y, z) = (0, 0) (x, y, z) = (0, 0, 0) Singularitäten V, V x, V y, V xx, V yy V, V x, V z, V xx, V zz V, V y, V z, V yy, V zz V, V x, V y, V z, V xx, V yy, V zz, V xy, V yz, V xz Tabelle 3.1: Auftretende Singularitäten bei speziellen Positionen des Berechnungspunktes (Tsoulis, 1999) Für die durchgeführte Vergleichsrechnung und Einflussmodellierung mit dem rechtwinkligen Prisma werden die hier dargestellten Formeln verwendet. Da jedoch bei allen Berechnungen das Prisma immer so gewählt wird, dass die Berechnungspunkte nicht auf einer Koordinatenlinie bzw. einer Ecke des Prismas liegen, sind keine Singularitäten zu erwarten. Die Koordinaten der Ecken, siehe Abb. 3.2, die Grundlage für die Berechnung sind, berechnen sich folgendermaßen: mit x 1 = x x x P x 2 = x + x x P y 1 = y y y P y 2 = y + y y P z 1 = z z z P z 2 = z + z z P (x, y, z) = Zentrum des Prismas ( x, y, z) = Ausdehnung des Prismas und (x P, y P, z P ) = Position des Berechungspunktes P. Die Position des Berechnungspunktes ist gleichbedeutend mit dem Standpunkt des Gravimeters, dies ist entscheidend für die Einflussmodellierung.

27 3.3 Bouguerplatte Bouguerplatte Die Bouguerplatte 1 ist ein Modell der Gravimetrie, um Schweremessungen bzw. - beobachtungen auf ein Referenzniveau zu korrigieren, um unterschiedliche Messungen vergleichen zu können. Zur Vereinfachung wird die Platte flach gewählt und sämtliche topologischen Einflüsse vernachlässigt. Die Wirkung einer endlichen Bouguerplatte auf die Schwerebeobachtung lässt sich mit folgender Formel (Engels, 2009) berechnen: [ ] g = 2πGρ b + (z P b) 2 + a 2 z 2P + a2 (3.20) wobei b die Dicke und a den Radius der Platte beschreiben. Z P beschreibt die Entfernung des Messpunktes zum Fuß der Platte. Wird die Schwerebeobachtung direkt auf der Platte durchgeführt, so ist diese Entfernung analog der Dicke der Platte. Auf Grundlage der Formel 3.20 kann auch der Einfluss einer unendlichen Bouguerplatte berechnet werden. Wählt man a und lässt die Entfernung Z zum Fuß der Platte sowie die Dicke b unverändert, so werden beide Wurzelterme unendlich groß und kürzen sich damit heraus. Ausschlaggebend für den Einfluss der Bouguerplatte ist nun nur noch ihre Dicke. Es ergibt sich daher folgende Formel: g = 2πGρb (3.21) Obwohl der Radius und damit die Masse der Platte unendlich ist, ist der von ihr erzeugte Einfluss endlich. Bemerkenswert ist zudem, dass die Anziehungskraft der unendlichen Bouguerplatte nicht von der Entfernung des Aufhängungspunktes Z P abhängig ist, solange sich dieser außerhalb der Platte befindet. Die unendliche Bouguerplatte wird in der Gravimetrie häufig verwendet, um zum Beispiel Effekte des Grundwassers, anomaler Luftschichten oder topographischer Massen auf gemessene Schwerewerte zu reduzieren. Eine weitere Herleitung zur Berechnung des Einflusses einer unendlichen Bouguer-Platte ist in Tsoulis (1999) aufgeführt. Die Berechnung basiert auf einem flachen Zylinder mit dem Radius R und der Länge L, daraus ergibt sich das Potential V = 2πGρ L 0 ( ) (h P z) 2 + R 2 (h P z) dz (3.22) Wenn P in der Mitte und direkt auf dem Zylinder liegt, so ergibt sich daraus für die erste Ableitung des Potentials (Herleitung siehe Kap. 3.1) V z = 2πGρ (L + R ) R 2 + L 2 (3.23) und mit R V z = 2πGρL (3.24) 1 benannt nach Pierre Bouguer, *16. Februar 1698, 15. August 1758, franz. Physiker und Astronom (GeoLexikon, 2010)

28 18 Kapitel 3 Vergleichsrechnungen 3.4 Zylindermodellierung nach Damiata Abbildung 3.3: Vereinfachte Darstellung zur Bestimmung des Einflusses eines Zylinders nach Damiata Eine alternative Modellierungsmöglichkeit wird in Damiata (2002b) aufgezeigt. Eine vereinfachte Darstellung der Modellierung ist in Abbildung 3.3 dargestellt, für den Einfluss des Zylinders auf die Schwere gilt: a g z (a, z) = 4G 0 K (k t ) K (k b ) (a + r ) 2 + (b z) 2 (a + r ) 2 + (b + L z) 2 ρr dr (3.25) mit 4ar k t = (a + r ) 2 + (b z) 2 4ar k b = (a + r ) 2 + (b + L z) 2 L = Länge b = Tiefe-L a = Radius während K (k ν ) das vollständige elliptische Integral erster Ordnung berechnet. ν beschreibt dabei die vertikalen Variationen für top (ν = t) und bottom (ν = b). Bei der Zylindermodellierung nach Damiata kann mit einem Punkt (1D), einem Profil (2D) oder einer Fläche (3D) gerechnet werden, die allesamt über dem senkrecht stehenden Zylinder liegen bzw. verlaufen.

29 3.5 Vergleich der Ergebnisse Vergleich der Ergebnisse Wie bereits angesprochen, wurde eine einheitliche Größe des jeweiligen Körpers, hier Zylinder, Prisma oder Platte, gewählt, dargestellt in Tabelle 3.2. Mit den entsprechenden Werten wurden die Berechnungen durchgeführt, die Ergebnisse sind ebenfalls in der Tabelle aufgeführt. Berechnungsmethode Daten Ergebnis Zylinder mit Radius R = 10000m mgal elliptischen Integralen Länge L = 1m (Tsoulis, 1999) Entfernung zur Zylinderachse a = 0m Kapitel 3.1 Entfernung zur Grundplatte l = L Rechtwinkliges Prisma Länge = 10000m mgal (Tsoulis, 1999) Breite = 10000m Kapitel 3.2 Höhe = 1m Messpunkt X P = [0, 0, 0] Zentrum Prisma X Z = [0, 0, H/2] Ausdehnung = [L/2, B/2, H/2] endliche Bouguer-Platte Radius a = 10000m mgal (Engels, 2009) Dicke b = 1m Gleichung 3.20 Enfernung zum Fuß der Platte Z = 1m daher Punkt direkt auf Platte endliche Bouguer-Platte Radius R = 10000m mgal (Tsoulis, 1999) Entfernung zum Fuß des Zylinders = 1m Gleichung 3.22 Punkt direkt auf Zylinder unendliche Bouguer-Platte Radius a = mgal u.a. Sneeuw (2006) dadurch z P nicht relevant Gleichungen 3.21 und 3.24 Zylinder nach Tiefe = 1m mgal Damiata (2002b) Radius = 10000m Gleichung 3.25 Länge = 1m Dimension = 1 Tabelle 3.2: Ergebnisse der Vergleichsrechnung Die Ergebnisse der unterschiedlichen Methoden liegen zwischen mgal (Bouguer und Damiata) und mgal (elliptische Integrale nach Tsoulis). Die Unterschiede liegen im Bereich von 10 5 mgal bzw µgal. Dies zeigt, dass für diesen besonderen Fall alle Methoden ein sehr ähnlichen Wert ergeben. Bemerkenswert ist zudem, dass sich bei den unterschiedlichen Berechnungen der endlichen Bouguerplatte von Engels (2009) und Tsoulis (1999) die identischen Ergebnisse ergeben. Dies liegt daran, dass der Messpunkt direkt auf der Platte bzw. dem Zylinder liegt und somit die Höhe, die bei Engels (2009) verwendet wird, keine Rolle spielt. Dadurch ergeben sich die gleichen Formeln und somit das gleiche Ergebnis. Trotz dieser sehr ähnlichen Ergebnisse ist für die weitere Modellierung nicht jede Methode geeignet. Die Berechnung mit der Bouguerplatte basiert auf einer Platte, die flach gewählt ist. Der Beobachtungspunkt liegt dabei oberhalb der Platte. Diese dient im Allgemeinfall dazu, verschiedene Schwerebeobachtungen auf ein Referenzniveau zu korrigieren, um sie damit vergleichbar zu machen. Die Zylindermodellierung nach Damiata legt einen stehenden Zylinder

30 20 Kapitel 3 Vergleichsrechnungen zugrunde, wobei auch hier die Beobachtungspunkte oberhalb des Zylinders liegen. Geeignet sind die Methoden, die in Tsoulis (1999) beschrieben sind, auch wenn sie auf verschiedenen Geometrien der Störkörper beruhen. In beiden Fällen kann der Einfluss an willkürlich gelegenen Punkten modelliert werden, was Voraussetzung für eine Einflussmodellierung entlang eines Profils ist, das zum Großteil abseits der Störgeometrien liegt. Somit werden die elliptischen Integrale und das rechtwinklige Prisma für die folgende Einflussmodellierung verwendet. Wichtig ist dabei, dass bei beiden Fällen der Einfluss eines zusätzlichen Masse den Berechnungen zugrunde liegt. Für die folgenden Analysen geht man allerdings davon aus, dass durch die Tunnelbauarbeiten ein Massenverlust entsteht. Dies bewirkt einen negativen Einfluss, die Schwere nimmt dadurch ab. Im Kapitel 4 sind zur besseren Darstellung die Beträge dieser Einflüsse dargestellt, im Kapitel 5 werden die wahren Einflüsse auf die Messwerte gerechnet.

31 21 Kapitel 4 Einflussmodellierung Nach der genauen Betrachtung der verschiedenen Methoden zur Einflussberechnung und der Entscheidung für zwei davon wird nun untersucht, ob die beiden Tunnelröhren unter der Nähterstraße in Stuttgart-Wangen nach ihrer Fertigstellung einen Einfluss auf die Schwerebeobachtungen haben. Dazu wurde bereits im Oktober 2013 sowie im März/April 2014 vor Beginn der Bauarbeiten ein Profil der Schwere entlang des Straßenzuges gemessen, mehr dazu in Kapitel 5. Die Modellierung wird auf Grundlage der Profilgeometrie, siehe Abbildung 4.1, durchgeführt, der Startpunkt des Profils ist damit auch Startpunkt der Modellierungen. Dies erlaubt eine direkte Verbindung zwischen Modellierungen und Schwerebeobachtungen. Abbildung 4.1: Skizzierung der Lage des Profils (Bahnprojekt Stuttgart-Ulm, 2014) Die Methoden zur Berechnung des Einflusses eines Zylinders, basierend auf der Berechnung mit elliptischen Integralen und eines rechtwinkligen Prismas auf die Schwerebeobachtungen nach Tsoulis (1999), werden dazu mit konkreten Werten angewendet. Aus der vorliegenden Profilgeometrie werden dazu sogenannte Einflusspunkte berechnet. Diese Einflusspunkte repräsentieren den Abstand der Punkte auf der Erdoberfläche zu den jeweiligen Zylinderachsen bzw. Mittelpunkten der rechtwinkligen Prismen. Der daraus berechnete Einfluss wird anschließend auf die vertikale Komponente der Schwere reduziert, um nach Abschluss der Tunnelbauarbeiten die berechneten Werte mit den beobachteten Werten vergleichen zu können. Zur besseren Anschaulichkeit werden im Folgenden die Beträge der Einflüsse gezeigt.

32 22 Kapitel 4 Einflussmodellierung 4.1 Modellierung mit Zylinder Einfluss auf Schwerewerte In einer ersten allgemeinen Analyse mit vereinfachter Profilgeometrie und Einflusspunkten wird untersucht, in welcher Größenordnung eventuelle Einflüsse liegen und in welcher Form sie sich darstellen. Diese vereinfachte Analyse dient als Grundlage für alle weiteren Untersuchungen. Zur Durchführung der Berechnungen werden folgende Annahmen getroffen: Die Profillinie und die Zylinder liegen von oben betrachtet senkrecht zueinander (vereinfachte Annahme). Die Zylinder liegen in einer Tiefe von 31 Meter, nachfolgend als Tiefe T bezeichnet (Bahnprojekt Stuttgart-Ulm, 2014). Die Zylinder haben einen Radius R = 4 Meter und eine Länge L = 1000 Meter, der Abstand zur Zylindergrundplatte ist L/2. Als dritter Zylinder hat der Zwischenangriff einen zusätzlichen Einfluss auf die Schwerebeobachtungen mit R = 11m, L = 37m und l = 37m. Im Gegensatz zu den anderen, liegenden Zylindern steht dieser senkrecht im Erdreich und startet an der Erdoberfläche. Der Dichtekontrast zwischen Erdreich und Zylinder beträgt 2670 kg m 3. Aus diesen Annahmen erstellen sich folgende Einflusspunkte: a = T 2 + P 2 (4.1) mit T = Tiefe des Zylinders und P = Entfernung zum Zylinder auf Erdoberfläche, dargestellt in Abbildung 4.2. Abbildung 4.2: Skizzierung der Berechnungsgrundlage der Einflusspunkte und Z-Komponente Mit diesen Werten wird für jeden Zylinder und jeden Punkt die erste Ableitung des Potentials V z errechnet. Ergebnisse sind die radiale und axiale Komponente von V z, die konkrete Berechnung ist in Kapitel 3.1 beschrieben. Die radialen Kräfte wirken zum Zentrum der Zylinderachse, die axialen parallel zur Zylinderachse. Daher sind hier nur die radialen Kräfte von Bedeutung, da nur diese einen Einfluss auf die Schwerebeobachtungen haben. Zu beachten ist dabei, dass sich V z anhand von Einflusspunkten berechnet, die den kürzesten Abstand zur Zylinderachse repräsentieren. Dieser Abstandsvektor zeigt allerdings nur direkt über den Zylindern senkrecht nach unten, in allen anderen Fällen muss daher der Winkel β

33 4.1 Modellierung mit Zylinder 23 berücksichtigt werden. Der Winkel β zwischen V berechnet und V erwartet, siehe Abbildung 4.2, berechnet sich aus dem Verhältnis der Entfernung zur Zylinderachse und der Tiefe der Zylinder. Eine Berücksichtigung des Winkels ist wichtig, da nur so ein Vergleich mit gravimetrischen Untersuchungen möglich ist. Bei diesen wird nur die vertikale Komponente beobachtet. V erwartet = V berechnet T a (4.2) mit a und H siehe Formel 4.1. Verwendet man die vereinfachte Zylindergeometrie und berücksichtigt den Winkel zur Vertikalkomponente, so berechnen sich für jeden Zylinder die Einflusswerte, aus deren Summe der Gesamteinfluss resultiert. Dieser Gesamteinfluss modelliert letztendlich die Auswirkungen der Tunnelröhren auf die Schwerewerte. Das Ergebnis ist in Abbildung 4.3 grafisch dargestellt. Auf der x-achse ist die Profillänge aufgetragen, auf der y-achse die Einflusswerte in µgal. Die Abbildung 4.3: Einfluss der Zylinder auf die Schwerewerte mit vereinfachter Geometrie blaue Linie zeigt den berechneten Gesamteinfluss aller drei Zylinder. Die einzelnen Einflüsse der Tunnelröhren sind in grün und rot, der Einfluss des Zwischenangriffes in türkis dargestellt. Der Gesamteinfluss, die Summe aus allen Einzeleinflüssen, hat jeweils über den beiden Zylindern ein Maximum von ca. 75 µgal, in der Mitte befindet sich ein lokales Minimum bei etwa 72 µgal. Mit steigender Entfernung zu den Zylindern nimmt der Gesamteinfluss deutlich ab. Der dritte Zylinder, der den Zwischenangriff modelliert, hat keine nennenswerte Auswirkungen auf das Gesamtergebnis, der maximale Einfluss liegt unter 5 µgal. Für die vereinfachte Berechnung ist man von einer Entfernung zum Zylinder ausgegangen, die sich aus der Tiefe und Entfernung auf der Erdoberfläche entlang des Profils berechnet. Da die beiden Zylinder und das Profil jedoch nicht, wie bisher angenommen, senkrecht zueinander stehen, berechnet sich die kürzeste Entfernung der Punkte zu dem jeweiligen Zylinder etwas umständlicher. Für die weiteren Einflussmodellierungen muss dazu der Winkel zwischen Zylinder und Profil in die Berechnungen der Einflusspunkte miteinbezogen werden, der sich aus der wahren Entfernung der beiden Zylinder (ca. 30 Meter) und der Entfernung entlang des Profils (ca. 45 Meter) berechnet. Diese beiden Strecken wurden aus den vorliegenden Plänen (Bahnprojekt Stuttgart-Ulm, 2014) geschätzt. In der Abbildung 4.4 ist der zu bestimmende Win-

34 24 Kapitel 4 Einflussmodellierung Abbildung 4.4: Skizzierung der wahren Lage der Zylinder kel α vereinfacht im zweidimensionalen Fall veranschaulicht, der sich wie folgt berechnet: [ ] 30m α = arcsin sin (90) 45m Mit sin(90 ) = 1 und sin (arcsin (x)) = x berechnet sich der wahre Abstand aus dem Abstand über dem Profil: s wahr = sin (α) sin (90) s Pro f il s wahr = 30m 45m s Pro f il Da der Verlauf der Tunnelröhren in der näheren Umgebung des Profils kaum eine Krümmung aufweisen, kann dieser Faktor auf alle bisher angenommenen Punktentfernung übertragen werden. Abbildung 4.5: Punktentfernungen zur Einflussmodellierung unter verschiedenen Annahmen

35 4.1 Modellierung mit Zylinder 25 Die Abbildung 4.5 zeigt verschiedene Kurven der Punktentfernungen, die Grundlage für die Einflussmodellierung ist. In der Grafik ist der Unterschied zwischen der vereinfachten Annahme entlang des Profils (gepunktete Linien) und der direkten Entfernung (durchgezogene Linien) veranschaulicht. Für die direkte, also die wahre Entfernung wurde der Winkel zwischen Profil und Zylinder (siehe Abbildung 4.4) berücksichtigt. Die verschiedenen Farben kennzeichnen die verschiedenen Zylinder. Für den Zwischenangriff, gekennzeichnet mit rot, ergeben sich trotz verschiedener Annahmen keine unterschiedlichen Einflussentfernungen. Es ist gut zu erkennen, dass es einen deutlichen Unterschied zwischen vereinfachter und wahrer Lage gibt. Abbildung 4.6: Einfluss der Zylinder unter Berücksichtigung des kürzesten Abstandes Das Ergebnis der Einflussmodellierung unter Berücksichtigung der wahren Lage ist in Abbildung 4.6 graphisch dargestellt, sowohl die Einflüsse der einzelnen Zylinders wie auch der daraus resultierende Gesamteinfluss. Dieser Gesamteinfluss ist entscheidend für die Schwerebeobachtungen nach Fertigstellung der beiden Tunnelröhren. Mit einem Wert von über 90 µgal ist in der Mitte der beiden Tunnelröhren der höchste Einfluss zu erwarten, ein Rückschluss auf die einzelnen Zylinder ist aus dem Gesamteinfluss nicht möglich. Der Zwischenangriff spielt mit einem maximalen Einfluss von unter 5 µgal weiterhin keine bedeutende Rolle. Auch hier nimmt der Einfluss mit steigender Entfernung zu den Zylindern schnell und deutlich ab. Eine Analyse der Ergebnisse folgt in Kapitel 4.3.

36 26 Kapitel 4 Einflussmodellierung Einfluss auf Gradienten Bisher wurde für die Einflussmodellierung die erste Ableitung des Potentials benötigt, die den Einfluss auf die Schwerewerte darstellt. Der Einfluss auf den Gradienten wird über die zweite Ableitung des Potentials berechnet. Da es allerdings zu aufwendig ist, die hier verwendete Formel für V r z analytisch abzuleiten, um V zz zu erhalten, wird eine numerische Ableitung verwendet. Die numerische Ableitung kann angenähert werden durch den Differenzenquotient f (x) f (x + h) f (x) h für h > 0, aber h 0. Für die Berechnung von V r z gilt ganz allgemein oder f (x + h) f (x h) 2h (4.3) V r z = V r z (L, R, a) mit a = a (H, P) Die Berechnung von a ist in der Formel 4.1 dargestellt, die Berechnung von V r z ist im vorherigen Kapitel ausführlich beschrieben. Daraus ergibt sich V r z = V r z (L, R, H, P) Der vertikale Gradient der Schwere beschreibt im Allgemeinen die Änderung der Schwere mit der Höhe. Daher gilt für die numerische Ableitung in diesem konkreten Beispiel mit dem einstufigen Verfahren V r z (L, R, H, P) H oder mit dem zweistufigen Verfahren V r z (L, R, H, P) H Vr z (L, R, H + h, P) V r z (L, R, H, P) h Vr z (L, R, H + h, P) V r z (L, R, H h, P) 2h Die Einheit des Schweregradienten ist Gal/m, für eine übersichtlichere Ergebnisdarstellung wird im folgenden µgal/m verwendet. Die erste Ableitung des Potential setzt sich jedoch zusammen aus radialer und axialer Komponente, da die Berechnungspunkte nicht auf der Zylinderachse liegen. Von Bedeutung ist hier nur die Ableitung der radialen Komponente, die zur Zylinderachse zeigt. Sie beschreibt somit den vertikalen Gradienten. Eine Ableitung der axialen Komponente Vz a = Vz a (L, R, a) beschreibt den horizontalen Gradienten, der hier ohne Bedeutung ist. Für die konkrete Anwendung der numerischen Ableitung wurde in einem ersten Schritt die vorhergehende Einflussmodellierung mit verschiedenen Höhen durchgeführt. Dafür wurde die bisherige Höhe H = 31 Meter um ± 1 bzw. ±2 Meter variiert und mit den neuen Höhen H±1 bzw. H±2. Der Unterschied der vier neu modellierten Einflüsse zur bisherigen Modellierung ist in Abbildung 4.7 in der oberen Grafik dargestellt. Man erkennt, dass sich eine Höhenvariation hauptsächlich über den einzelnen Zylindern bemerkbar macht, dargestellt ist dabei nur der Gesamteinfluss. Die Anwendung der numerischen Differentiation liefert für die verschieden stufigen Verfahren und unterschiedlichen Schrittweiten fast identische Ergebnisse, graphisch dargestellt ebenfalls in Abbildung 4.7. Die so durchgeführte Einflussmodellierung zeigt eine maximale Veränderung des Schweregradienten von circa 2 µgal/m. (4.4) (4.5)