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1 Übungen Zur Einübung und Vertiefung der in diesem Buch vermittelten Grundkenntnisse zur Berechnung elektromagnetischer Felder werden in diesem Kapitel Aufgaben aus den Gebieten A Vektor-Analysis E Elektrostatische Felder S Stationäres Strömungsfeld M Magnetostatische Felder Q Langsam veränderliche (Quasistationäre) Felder W Beliebig zeitveränderliche Felder (Wellen) gestellt. Ausführliche Lösungen zu den Übungen können auf der WWW-Seite eingesehen werden. Wo immer sich eine numerische Auswertung der Ergebnisse anbot, wurde diese mit Hilfe des Computeralgebra-Paketes MuPAD realisiert, welches den Vorteil einer gleichzeitigen Visualisierung der Resultate bietet. Die entsprechenden Eingabedateien für MuPAD können ebenfalls auf der oben genannten WWW-Seite heruntergeladen und nach eigenen Vorstellungen modifiziert werden. Ein entsprechender Hinweis darauf, ob eine derartige Datei existiert, ist der jeweiligen Aufgabe durch den Zusatz (----t MuPAD) hinzugefügt worden. Die zur Zeit des Erscheinens dieses Buches aktuellen Versionen MuPAD 2.0 für das Betriebssystem Linux (bzw. MuPAD Light 2.0 für Windows) können auf der Web-Site der Firma SciFace kostenfrei heruntergeladen und registriert werden. 5 Die URLs der Einstiegsseiten für MuPAD lauten: Darüber hinaus sei auf die Vollversion von MuPAD für Windows, nämlich MuPAD Pro hingewiesen. 5 Voraussetzung zur kostenfreien Nutzung ist: 1) Der Nutzer ist Schüler, Student oder wissenschaftlicher Mitarbeiter einer nicht-kommerziellen Bildungs- bzw. Forschungseinrichtung. 2) Nicht-gewerbliche Nutzung der Software.

2 338 Übungen Vektoranalysis Al Geradengleichung Gesucht ist die vektorielle, koordinatenunabhängige Gleichung einer Geraden, die zwei Punkte A und B im Raum verbindet. Die Punkte A und B sind durch die Ortsvektoren a und b bestimmt. A2 Geradengleichung Der Koordinatenursprung in Aufgabe Al sei Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Wie lautet nun die skalare, koordinatenabhängige Darstellung der Geraden? A3 Vektorfelder Skizziere die Vektorfelder A(x,y) = xex + yey B(x,y) = yex - xey, C(x,y) = xex +yey Jx2 +y2 A4 Vektorfelder, Zylinderkoordinaten Transformiere die Vektorfelder der Aufgabe A3 auf Zylinderkoordinaten. A5 Nablaoperator Man bilde die Rotation des Kreuzproduktes zweier vektorieller Ortsfunktionen A und B, so daß im Ergebnis jeweils nur eines der beiden Vektorfelder differenziert wird. A6 Totales Differential, Gradient Aus der Definition des totalen Differentials ist ein Ausdruck für den Gradienten einer skalaren Ortsfunktion in Kugelkoordinaten herzuleiten. A 7 Gradient des reziproken Abstandes Es sei r(x, y, z) der Ortsvektor in kartesischen Koordinaten, r sein Betrag und cjj(r) = l/r eine skalare Ortsfunktion, die nur vom Betrag des Ortsvektors abhängt. Berechne den Gradienten von cjj( r) sowohl in kartesischen Koordinaten als auch in Kugelkoordinaten.

3 Übungen 339 A8 Rotation in Zylinderkoor-dinaten Aus der allgemeinen, koordinatenunabhängigen Definition der Rotation ist ein Ausdruck für den Rotationsoperator in Zylinderkoordinaten herzuleiten. Ag Umlaufintegrale Berechne die Umlaufintegrale f A l,2 ds der Vektorfelder und über eine quadratische Kontur (siehe Bild). y )n tegrationsweg 2a x : AIO Umlaufintegrale r sei der Ortsvektor und r = Irl sein Betrag. Berechne das vektorielle Wegintegral I = r A x ds mit A = :. Js entlang des Weges S, der einen Halbkreisbogen in der Ebene z = 0 ausgehend vom Koordinatenursprung darstellt. r y a a Integrationsweg 2a x Dabei soll der Halbkreis zunächst durch einen Streckenzug mit NEcken angenähert werden und das Integral mittels Summation bestimmt werden. Danach ist es durch den Grenzübergang N exakt zu lösen. All Satz von GAUSS Für das Vektorfeld A = e [J a/ (! + ezz/ L sind beide Seiten des GAussschen Satzes auszuwerten, wobei das Integrationsvolumen a) ein Vollzylinder vom Radius a und der Länge L und b) ein Hohlzylinder mit dem Innenradius ro, dem Außenradius a und der Länge L sein soll. Begründe, warum sich der Satz von GAUSS im Fall a) nicht verifizieren läßt. x z L y A12 Satz von STOKES Die bei den Parabeln y2 = x und y = x 2 begrenzen im Bereich 0 :S x, y :S 1 das Gebiet F. Man bestätige den STOKEsschen Satz für das Vektorfeld 2 2 A = (2x -:r: ) e x + (x + y ) e y auf der Fläche F mit der Berandung r l und r2....,' '--- - x o 1

4 340 Übungen Elektrostatik EI Punktladungen Bestimme die Gleichgewichtslage zwischen zwei punktförmig anzunehmenden Ladungen Q und q, wobei die Ladung Q fest im Raum angebracht ist, und die Ladung q mit einer starren Verbindung der Länge b beweglich um den Ursprung gelagert sein soll (siehe Skizze). Auf die Ladung q wirke die Gewichtskraft G, die gleich sein soll der Coulombschen Anziehungskraft zwischen zwei Ladungen Q und q im gegenseitigen Abstand a. Q a b c q G E2 Punkt- und Raumladungen Welche Kraft wirkt auf eine Punktladung Q am Ort (x,y,z) = (O,a, O), wenn auf der x-achse a) zwei gleichnamige, homogene, kugelförmige a/2 Raumladungen der Dichte qv oder b) zwei ungleichnamige, homogene, kugelförmige Raumladungen der Dichte ±qv in den Punkten x = ±a angeordnet sind. Der Radius der Raumladungen sei a/2. E3 Linienladungen Zwei unendlich lange, gerade, homogene Linienladungen qll und ql2 stehen sich in allgemeiner Lage gegenüber. Ihre kürzeste Entfernung voneinander sei h und die beiden Ladungen seien um den Winkel (X =1= 0 aus einer parallelen Ausrichtung heraus verdreht. Bestimme die Kraft zwischen den Ladungen. y a 2a Q x E4 Flächenladung Im kartesischen Koordinatensystem sei die Fläche x 2 + y2 :::; a 2 der Ebene z = 0 homogen mit der Gesamtladung Q belegt. Zu bestimmen ist die Kraft auf eine Punktladung Q, die im Abstand c von der Flächenladung auf der z-achse angeordnet ist. z y E5 Unendlich lange zylindrische Raumladung Berechne das elektrische Feld eines unendlich langen homogen mit der Gesamtladung Q geladenen kreisförmigen Hohlzylinders, mit dem Innenradius a und dem Außenradius b.

5 Übungen 341 E6 Endlich lange zylindrische Raumladung (--7 MuPAD) Berechne das elektrische Feld auf der Rotationsachse außer halb eines homogen mit der Gesamtladung Q geladenen kreisförmigen Hohlzylinders mit der Länge l, dem Innenradius a und dem Außenradius b. E7 Elektrisches Dipolmoment Gegeben sind drei homogene, kugelförmige Raumladungen, die durch Punktladungen Q, bzw. -2Q in ihren Mittelpunkten ersetzt werden können. Die Ladungen Q haben jeweils den Abstand a zur Ladung - 2Q und die beiden Achsen zwischen den positiven Ladungen und der negativen Ladung bilden wie im Bild angegeben den Winkel 0'. Bestimme das äquivalente Dipolmoment der Anordnung. Q y x E8 Elektrischer Dipol im äußeren Feld Welche Kraft und welches Drehmoment wirkt auf einen elektrischen Dipol, wenn er einem inhomogenen elektrischen Feld ausgesetzt wird? Man berechne ferner die potentielle Energie des Dipols im äußeren elektrischen Feld. E9 Elektrischer Liniendipol Bestimme das Potential eines sogenannten Liniendipol8, bestehend aus zwei unendlich langen Linienladungen ±ql, die sich im sehr kleinen Abstand 88 parallel gegenüberstehen. Das Produkt ql 88 mit ql und definiert dabei das Dipolmoment des Liniendipols. EI0 Lineare Dipolverteilung Berechne die elektrische Feldstärke einer auf der z-achse im Bereich Iz l ::; a homogen mit der Dichte PL = PLez verteilten Dipolanordnung. Wie kann man das Ergebnis deuten? E 11 Flächenhafte Dipolverteilung In der Höhe h über der Erdoberfläche befinde sich eine langgestreckte Gewitterwolke der Breite 2a. Als Modell nehme man am Ort der Wolke Dipole an, die senkrecht zur Oberfläche mit der Flächendichte PF homogen verteilt sind. Berechne das elektrische Feld auf der Erdoberfläche für den Fall, daß die Länge der Gewitterwolke sehr viel größer als die Breite 2a ist (ebenes Problem). y 2a (--7 MuPAD) x

6 342 Übungen EI2 Erdseil (-+ MuPAD) Freileitungen werden im besonderen Maße den hohen elektrischen Feldern vorbeiziehender Gewitter ausgesetzt. Sie müssen also vor Überspannungen geschützt werden. Dies wird erreicht, indem an den Mastspitzen ein allseits gut geerdeter Draht, das sogenannte Erdseil, aufgehängt wird. a) Wie läßt sich qualitativ die feldreduzierende Wirkung eines geerdeten Leiters erklären? b) Berechne anhand eines idealisierten Modells den Feldverlauf zwischen Gewitterwolke und Erdboden. Das elektrische Feld wird dabei als homogen angenommen und das Erdseil durch einen unendlich langen, geraden, dünnen Leiter mit dem Radius a approximiert. EI3 Äquipotentialfiächen h a Erdboden x ---- Im ansonsten homogenen Gesamtraum befinden sich zwei unendlich lange, homogene Linienladungen ±ql im Abstand 2a parallel zueinander. Zeige, daß die Äquipotentialflächen der vorgegebenen Anordnung kreiszylindrische Flächen sind und gib deren Radien und Mittelpunktslagen an. EI4 Kapazität zwischen zylindrischen Leitern Berechne unter Verwendung des Ergebnisses in Aufgabe E13 den Kapazitätsbelag einer Doppelleitung bestehend aus kreiszylindrischen Leitern der Radien R 1 und R2 im Abstand h > R 1 + R2 sowie den Kapazitätsbelag eines exzentrischen Koaxialkabels. I - (-+ MuPAD)., EI5 Polariserter Stab Gegeben ist ein homogen polarisierter, zylindrischer Stab mit der Länge L und Radius a. a) Berechne die elektrische Feldstärke auf der z Achse durch Volumenintegration ausgehend vom Potential eines Elementardipols. b) Bestimme die äquivalenten Polarisationsladungen der Anordnung. c) Berechne die elektrische Feldstärke auf der z-achse durch Integration über die Polarisationsladungen. d) Wie lautet die elektrische Flußdichte auf der Rotationsachse? e) Skizziere die elektrischen Feldlinien sowie die dielektrischen Verschiebungslinien und begründe den Verlauf physikalisch. z I ""t p -t-_i- Ḻ.y_ 2a

7 Übungen 343 EI6 Dielektrischer Zylinder Ein in z-richtung unendlich ausgedehnter dielektrischer Kreiszlinder mit Radius a wird einem ebenen, d.h. nur von den Koordinaten (} und r.p abhängigen, elektrischen Feld mit dem Potential1Ye = 1Ye((}, r.p) ausgesetzt. Für das Potential innerhalb bzw. außerhalb des Zylinders läßt sich dann schreiben (}>a (} < a. Wie muß die Konstante k gewählt werden, damit die Stetigkeitsbedingungen auf der Zylinderoberfiäche exakt erfüll t werden? EI7 Spiegelung am dielektrischen Zylinder (-> MuPAD) Berechne die Kraft auf den Zylinder in Aufgabe E16, wenn sich im Mittelpunktsabstand c > a eine unendlich lange Linienladung ql parallel vor dem Zylinder befindet. Hinweis: Bestimme zunächst aus dem allgemeinen Potentialansatz äquivalente Spiegelladungen im Innern des Zylinders. EI8 Spiegelung am dielektrischen Halbraum Gib eine Ersatzanordnung für das Feld einer unendlich langen Linienladung ql parallel vor einem dielektrischen Halbraum an. Dabei soll der Halbraum als Zylinder mit unendlichem Radius angesehen werden, so daß die Ergebnisse der Aufgaben E16 und E17 verwendet werden können. EI9 Kapazität zwischen zwei Kugeln Gegeben sei eine sehr kleine metallische Kugel Tl mit Radius rl und eine große mit Radius r2 in +Q einem gegenseitigen Abstand d. Die Kugeln tragen entgegengesetzt gleiche Ladungen ±Q. Man bestimme die Kapazität der Anordnung. d E20 Energie im Kondensator Ein Kugelleiter (Radius a, Ladung Qa) werde konzentrisch von einer leitenden Hohlkugel (Radius b, Ladung Qb) umschlossen. Der Bereich a :::; r :::; b, 0 :::; r.p :::; 27r und 0 :::; {} :::; a ist mit Dielektrikum gefüllt. Berechne die Energieänderung des elektrischen Feldes.:1 We, wenn beide Elektroden leitend miteinander verbunden werden. z

8 344 Übungen E21 Energie, Kapazität Wie läßt sich mit dem Ergebnis aus Aufgabe E20 die Kapazität zwischen den Elektroden berechnen? E22 Teilkapazitäten Über dem Erdboden befinden sich in der Höhe h l bzw. h2 zwei unendlich lange, parallele Leiter mit der gegenseitigen Entfernung a. Die Radien rl bzw. r2 der Leiter seien sehr viel kleiner als die übrigen Abmessungen des Systems. Zu bestimmen sind die Teilkapazitäten der elektrostatischen Anordnung. Welche Betriebskapazität stellt sich ferner ein, wenn beide Leiter den gleichen Radius und die gleiche Höhe über der Erde aufweisen und im Gegentakt betrieben werden (entgegengesetzt gleiche Leiterpotentiale )?,p =o E23 Energie im elektrostatischen Feld Berechne die elektrostatische Feldenergie einer homogenen, kugelförmigen Raumladungswolke der Dichte qvo und mit dem Radius a a) mit Hilfe der elektrischen Feldstärke und b) mit Hilfe des Potentials. E24 Ladungsschwerpunkt Gegeben ist eine halbkugelförmige, homogene Raumladung mit dem Radius a und der Gesamtladung Q. a) Wo liegt der Ladungsschwerpunkt der Anordnung? b) Berechne die elektrische Feldstärke auf der Rotationsachse. c) Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe der Feldstärke einer vollen Raumladungskugel. d) Zeige, daß in großen Entfernungen z» a die Raumladung durch eine Punktladung im Ladungsschwerpunkt ersetzt werden darf. E25 Kräfte an dielektrischen Grenzflächen Gegeben ist ein idealer Plattenkondensator mit geschichtetem Dielektrikum. Die Elektroden tragen dabei entweder die konstant gehaltenen Ladungen ±Q oder aber die Spannung U zwischen den Platten wird konstant gehalten. Mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verrückung ist der mechanische Spannungsvektor in der Trennfläche zwischen den bei den Dielektrika Cl und C2 zu bestimmen und durch die Feldstärken EI und E 2 in den Teilbereichen auszudrücken. ci... _""""-""""!-!""'i

9 Übungen 345 E26 Kräfte an metallischen Oberflächen Eine leitende, dünnwandige Kugelschale mit Radius a bestehend aus zwei sich berührenden Hemisphären befinde sich in einem ursprünglich homogenen elektrischen Feld der Stärke Eo, welches senkrecht auf der Trennebene der beiden Hälften steht. Bestimme die erforderliche Kraft, um die Hemisphären zusammenzuhalten. E27 Linienladung vor dielektrischem Halbraum Bestimme die Kraft auf eine unendlich lange Linienladung ql, die sich in der Höhe h über einem dielektrischen Halbraum befindet mit Hilfe der Beziehung für die mechanischen Spannungen an dielektrischen Grenzflächen. E28 Quadrantenelektrometer Gegeben ist ein sogenanntes Quadrantenelektrometer (entwickelt 1855 von W.Thomson), ei nige 100 V das sich für empfindliche Spannungs- und Ladungsmessungen eignet. Man denke sich die vier an isolierenden Füßen befestigten Quadrantenelektroden E 1 bis E 4 aus einer flachen zylindrischen Dose mit dem Radius R und der Höhe h herausgeschnitten, wobei gegenüberliegende Elektroden auf gleichem Potential liegen. Die Potentialdifferenz zwischen den beiden Quadrantenpaaren sei die Meßspannung Ux. An einem dünnen metallischen Faden hängt mittig zwischen den Elektroden eine aus Aluminiumblech geschnittene Nadel N (Kreissektoren mit Öffnungswinkel 90 0 und Radius r); Ihre Symmetrielinien decken sich in Ruhelage mit den oben erwähnten Schnittlinien. Die Nadel wird auf ein höheres Potential qyn angehoben. Gesucht ist das Drehmoment, das der Nadel infolge der angelegten Meßspannung erteilt wird. Dabei soll näherungsweise von einem homogenen Feld im Überlappungsbereich von Nadel und Quadrant sowie vom Prinzip der virtuellen Verrückung ausgegangen werden. E29 MAXWELLscher Spannungstensor Gegeben ist eine homogene, kugelförmige Raumladung mit der Gesamtladung Q und Radius R. Zu bestimmen ist die resultierende Kraft auf die nördliche Halbkugel. Die Kraftberechnung soll mit Hilfe des MAxwELLschen Spannungstensors erfolgen.

10 346 Übungen E30 Plasmaschwingungen Unter einem Plasma versteht man eine Ansammlung von Ionen, Elektronen sowie neutralen Atomen oder Molekülen. Es wird im allgemeinen als quasi-neutral angesehen, d.h. im zeitlichen Mittel befinden sich in einem Volumenelement gleichviel positive wie negative Ladungen. Diese Quasineutralität wird durch elektrostatische Kräfte herbeigeführt. Ändert sich nämlich in einem gewissen Raumteil z.b. nur die Dichte der Elektronen, so wird das elektrische Feld der positiven Ionen dafür sorgen, daß die Elektronen in ihren ursprünglichen Zustand zurückkehren. Die ihnen zugeführte kinetische Energie läßt sie dabei "über das Ziel hinausschießen" und es wird sich eine Schwingung ausbilden. Ziel der Übungsaufgabe soll es sein, die charakteristische Frequenz dieser Oszillation, die sogenannte Plasmafrequenz zu ermitteln. Dabei ist folgendermaßen vorzugehen: a) Zeige zunächst mit Hilfe der MAxwELLschen Gleichungen, daß die Summe aus Verschiebungsstromdichte und Konvektionsstromdichte örtlich und zeitlich konstant ist, wenn das elektrische Feld quasistatisch angesehen wird (d.h. wirbelfrei ist) und nur eine von x abhängige x-komponente aufweist. b) Aus der NEWTONschen Bewegungsgleichung und den MAXWELLschen Gleichungen ist unter Verwendung des Ergebnisses aus a) eine inhomogene Schwingungsdifferentialgleichung der Elektronengeschwindigkeit herzuleiten und daraus die Plasmafrequenz abzulesen d 2 v(t) 2 ~ + wpv(t) = const. w p: Plasmafrequenz. Hinweise: Es kann angenommen werden, daß sich nur die Elektronen bewegen, die Ionen hingegen aufgrund ihrer höheren Masse in Ruhe verharren. Auch soll die thermische Bewegung vernachlässigt werden. Die gesamte Rechnung soll eindimensional erfolgen, d.h. die Elektronen bewegen sich nur in x-richtung, und alle Feldgrößen mögen nur von dieser Koordinate abhängen, E31 Elektronenströmung in Vakuumröhren Ein in x- und y-richtung weit ausgedehntes Ladungspaket der Dicke a und mit der homogenen Raumladungsdichte qvo bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit v = e z vo. Dabei durchdringt es auf seinem Wege zwei ebenfalls weit ausgedehnte, im Abstand L zueinander angeordnete, perforierte Elektroden. Beide Elektroden sind über ein Amperemeter mit verschwindendem Innenwiderstand miteinander verbunden und geerdet. Bestimme den durch die bewegte Ladung im äußeren Stromkreis induzierten Strom. o o o o Q Hinweise: Randeffekte an den Raumladungs- und Elektrodenenden sowie se- qv L 'V D ß D ß ~

11 Übungen 347 kundäre Feldverzerrungen infolge der Perforation der Elektroden sollen unberücksichtigt bleiben. Ferner ist das durch die Konvektionsstromdichte hervorgerufene Magnetfeld zu vernachlässigen. E32 Oszilloskop An die Elektroden einer Ablenkeinheit in einem Oszilloskop wird eine Wechselspannung angelegt. Es bilde sich dann zwischen den Platten ein annähernd homogenes elektrisches Feld der Stärke E(t) = Eo cos (wt - 'l/j) mit der Phasenlage 'l/j zum Zeitpunkt t = 0 aus. In diesem Feld wird ein Kathodenstrahl abgelenkt. y (--. MuPAD) q v e_ +++t-----f+--- x a) Berechne den Auf treffpunkt Ys eines aus dem Strahl herausgegriffenen Teilchens der Ladung q und der Masse m auf dem Schirm S, der sich an der Stelle x = a + b befindet. Zum Zeitpunkt t = 0 tauche das Teilchen in das homogene Feld ein. b) Bestimme das Amplitudenverhältnis der auf dem Schirm angezeigten Wechselspannung zur statischen Anzeige (w --. 0). b s E33 Randwertproblem in kartesischen Koordinaten Im kartesischen Koordinatensystem sind die Ebenen x = 0, x = a und y = 0 als leitende geerdete Beläge ausgeführt, während in der Ebene y = b Potentiale in der Form a) <P = <Po cos 7rX / a und b) <P = <Po sin 7rx/a vorgegeben sind. Zu bestimmen ist das elektrostatische Potential sowie der Verlauf der elektrischen Feldlinien im Innenraum des Rechteckzylinders..f y (--. MuPAD) / 4>(x, b) b a x E34 Elektrostatische Linse Koaxiale Strukturen, bestehend aus leitenden Zylindern gleicher Radien, die auf unterschiedliche Potentiale angehoben wurden, treten in der Praxis bei Teilchenbeschleunigern und Fokussierungseinrichtungen auf. Gegeben ist eine periodische Anordnung solcher Zylinder, an die alternierend die Potentiale ±<fio angelegt sind. Der Radius aller Zylinder sei a, ihre Höhe h und der gegenseitige Abstand d «a, h. Bestimme das Potential im Raum (} < a unter der Annahme, daß das Potential sich im Spalt zwischen den Zylindern in erster Näherung linear mit der Koordinate z ändert. h H z

12 348 Übungen E35 Elektrostatische Linse Die Berechnung ist nun für den aperiodischen Fall, d.h. für zwei auf die Potentiale +c/jo bzw. -c/jo angehobene und einseitig ins Unendliche laufende, leitende Zylinder durchzuführen. Dabei darf der Abstand d diesmal als vernachlässigbar klein angesehen werden. (-> MuPAD) z E36 Elektrostatische Linse Leite aus dem Resultat der Aufgabe E34 durch einen Grenzübergang das in E35 gesuchte Potentialfeld her. E37 Sternvierer Zu bestimmen ist die Betriebskapazität eines geschirmten Sternvierers, dessen Innenleiter parallelgeschaltet sind. Der Sternvierer besteht aus vier sehr dünnen, langen und auf einem Kreis mit dem Radius c angeordneten Leitern der Radien b «c. Ein leitender geerdeter Zylindermantel mit dem Innendurchmesser 2a > 2c diene als Abschirmung. Die Innenleiter dürfen durch Linienladungen in ihrem Mittelpunkt ersetzt werden. (-> MuPAD) E38 Randwertproblem in Kugelkoordinaten In der Höhe h über dem leitenden Halbraum z < 0 befinde sich eine kreisringförmige Linienladung ql mit dem Radius b und dem Mittelpunkt auf der z Achse. Ferner sei der halbkugelförmige Bereich r :::; a, 0 :::; '13 :::; 7r /2 mit homogener, dielektrischer Materie gefüllt. Zu bestimmen ist das elektrostatische Potential im gesamten Raum. h z 2b (-> MuPAD) E39 Randwertproblem in Kugelkoordinaten Betrachtet wird ein Kondensator, dessen Elektroden aus konzentrischen Kegelstümpfen mit den Öffnungswinkeln '13 1 und '13 2 bestehen. Man berechne die Kapazität der Anordnung bei Vernachlässigung der Feldverzerrung an den Rändern.

13 Übungen 349 E40 Randwertproblem in Polarkoordinaten Gegeben ist ein sehr langer in x-richtung polarisierter Zylinder vorn Radius a. Berechne das Feld im Innen- und Außenraum des Zylinders, wenn die Polarisation die folgende Ortsabhängigkeit aufweist: (--+ MuPAD) a) P(x, y) = Po e x, Stationäres Strömungsfeld SI Kugelerder, Schrittspanuung Um die Riickleitung vom Verbraucher zum Kraftwerk einzusparen, wird der Rückstrom über einen Kugelerder ins Erdreich geleitet. Um Menschen und Tiere an eier Erdoberfläche nicht zu gefährden, darf die Schrittspannung bei einer Schrittweite s einen vorgegebenen Maximalwert nicht überschreiten. Ein sehr kleiner Kugelereler mit dem Radius a ist in der Tiefe T» a im Erdreich vergraben und wird mit dem Strom Kraftwerk I versorgt. Berechne die Schrittspannung am Ort (}m. Gib ferner elen Ort maximaler Schrittspannung für den Fall an, daß die Schrittweite wesentlich kleiner als die Tiefe des vergrabenen Erders ist. Wie groß ist schließlich der Übergangswielerstand, d.h. Kugelerder der Quotient aus dem Potential auf der Oberfläche des Erders und dem Strom I? S2 Luftblase im leitenden Volnmen Gegeben ist ein homogenes Medium der Leitfähigkeit K, mit einer homogenen elektrischen Strömung der Dichte Jo vor. Es wird nun ein kugelförmiges Stück Materie mit dem Radius a aus dem leitenden Volumen herausgeschnitten. Bestimme die Verteilung der Verlustleistungsdichte auf der Oberfläche des isolierenden Einschlusses. (--+ MuPAD) Jo Jo S3 WideTstand einer leitenden Kreisscheibe (--+ MuPAD) Über zwei sich diametral gegenüberstehende Elektroden wird einer Kreisscheibe der Leitfä- ~, ~f " _~ higkeit K, mit Radius a und Dicke d der Gleich- ~ (\a-::: --~ 2bstrom 10 zu- bzw. abgeführt. Zu bestimmen ist ~ 2b der elektrische Widerstand der Kreisscheibe.

14 350 Übungen Hinweis: Es darf vorausgesetzt werden, daß der Strom sich über die Dicke d der Kreisscheibe nicht verändert. Desweiteren soll angenommen werden, daß die Radialkomponente der Stromdichte über die Bereiche f2 = a, l<pl ~ 'Y und f2 = a, 7r - 'Y ~ <p ~ 7r + 'Y der Einspeisung örtlich konstant verläuft. 84 Elektrolytischer Trog (---> MuPAD) Es sei der Feldverlauf einer sehr langen Doppelleitung auszumessen, deren Stränge die gegensei y )r0gwand tige Entfernung 2c und den Radius a «c aufweisen. Zu diesem Zweck werden zwei Metallstif - - 2b te senkrecht auf dem Boden eines tiefen Troges rr a mittig angeordnet. Der Trog habe einen quadratischen Querschnitt mit der Kantenlänge 2b. Be x b 2c lifa stimme die Potentialverteilung im Trog, wenn an die Leitung eine Gleichspannung U angelegt wird Elektrolyt und der Elektrolyt die Leitfähigkeit K besitzt. Hinweise: Randeffekte aufgrund der endlichen Länge der Leitung sind zu vernachlässigen (zweidimensionales Potentialproblem). Desweiteren dürfen die Elektroden als linienförmige Stromquellen aufgefaßt werden. Zur Lösung der Randwertaufgabe ist der Gesamtbereich in Teilgebiete zu unterteilen, deren Trennfläche die Stromquellen enthält. Magnetostatik MI LORENTzkrajt Eine dünne, vom Strom /2 durchflossene Leiterschleife umschließt in der Ebene z = 0 einen z-gerichteten unendlich langen Stromfaden h. Die Leiterschleife besteht, wie im Bild dargestellt, aus geraden Leitersegmenten und einem Halbkreisbogen. Berechne das Drehmoment auf die Leiterschleife, wenn diese drehbar um die y Achse gelagert ist. b 2a y x M2 HELMHoLTzspule Eine HELMHoLTz-Spule ist eine Anordnung zur Erzeugung eines möglichst homogenen und allseits zugänglichen Magnetfeldes. Dazu werden zwei gleichartige, koaxial angeordnete und vom gleichen Strom / durchflossene Spulen im Abstand ihrer Radien parallel zueinander aufgestellt. Um den Mittelpunkt des Systems herum herrscht dann ein praktisch homogenes Feld, das sogenannte HELMHoLTz-Feld. a ~ d I I I I I e: {! (---> MuPAD) d ~ I I I I I ~ Z

15 Übungen 351 a) Berechne das Achsenfeld der zwei im Bild dargestellten Spulen unter der Annahme, daß alle Windungen einer Spule zu einer einzigen effektiven Windung zusammengefaßt werden dürfen. b) Zeige, daß das magnetische Feld in der Umgebung des Mittelpunktes des Systems nach TAYLOR in der Form angenähert werden kann. c) Für welches Abmessungsverhältnis a/d verschwindet der quadratische Term in der TAYLORentwicklung? M3 Permanentmagnet Gegeben ist ein in axialer Richtung homogen magnetisierter zylindrischer Stabmagnet mit dem Radius a und der Höhe 2h. a) Bestimme mit Hilfe der äquivalenten Magnetisierungsströme die magnetische Induktion sowie die magnetische Feldstärke auf der Rotationsachse. b) Ausgehend vom Vektorpotential eines elementaren magnetischen Dipols ist das Feld auf der Achse durch Volumenintegration zu berechnen. c) Diskutiere die Unterschiede zum analogen elektrostatischen Fall eines polarisierten Stabes (Aufgabe EI5). z I.. 2h /" r M Y- 2a M4 Gegeninduktivität zweier Doppelleitungen Zu bestimmen ist die Gegeninduktivität zweier achsparalleler Doppelleitungen in allgemeiner Lage. Die Leiter A und B haben den Abstand 2a und die Leiter C und D den Abstand 2b voneinander. Die Doppelleitung CD habe von der Doppelleitung AB die vektorielle Mittelpunktsentfernung c und sei dieser gegenüber um den Winkel Cl' gedreht. Die Radien rl und r2 der einzelnen Leiter sollen sehr viel kleiner als die übrigen Abmessungen des Systems sein. M5 Gegeninduktivität Berechne die Gegeninduktivität zwischen einem unendlich langen, geraden Leiter und einer gleichschenkligen, dünnen, dreieckförmigen Leiterschleife, die sich gemäß Bild in symmetrischer Lage vor dem geraden Leiter befindet. x

16 352 Übungen M6 Kreiswindung und Doppelleitung In der Ebene y = 0 sind an den Stellen x = 0 und x = c die Stränge einer Doppelleitung AB angeordnet. In der Mittelpunktsentfernung m von der z-achse befindet sich zusätzlich eine Kreiswindung mit Radius a < c - m, deren eingeschlossene Fläche mit der Ebene y = 0 den Winkel 'P bildet. Bestimme die Gegeninduktivität M der beiden Leiterschleifen für die Winkellagen 'P = 0, 'P = 7r und 'P = arccos "Z' M7 Achsenfeld einer Spule Gegeben ist eine rotationssymmetrische Spule der Länge 2h. Die Spule besteht im Bereich a :::; () :::; baus N Windungen und M Windungslagen und wird mit dem Strom I gespeist. Die Wicklungsdichte sei so groß, daß mit einer homogenen 'P-gerichteten Stromdichte gerechnet werden kann. Man berechne die magnetische Induktion auf der z-achse j B x z &0 000 a 000 & && h I::: I ~;~ (] & &00 0 C p <p /' b M8 Selbstinduktivität einer Spule Es ist die Selbstinduktivität der Spule in Aufgabe M7 unter der Voraussetzung 2h» (b + a)/2 (Streufeld vernachlässigbar) zu bestimmen. Mg Innere Selbstinduktivität Berechne die innere Selbstinduktivität pro Längeneinheit eines unendlich langen Leiters mit dem Radius r. MIO Permeabler Halbraum fj, /<;, = 0 (--> MuPAD) Eine aus dünnen Drähten (Radius r «a, Abstand 2a) bestehende Doppelleitung mit dem OHMschen Widerstand R und der Länge l» a ist an einem Ende kurzgeschlossen, während am anderen Ende die konstante Spannung Uo anliegt. Die Leitung befinde sich in der Höhe ho über einem permeablen (J.l i= J.lo), nicht leitenden (/'0, = 0) Halbraum. Als Vorbereitung für die folgenden drei Aufgaben ist anhand von Analogiebetrachtungen zum elektrostatischen Feld einer Linienladung über einem dielektrischen Halbraum eine Ersatzanordnung zur Bestimmung des Vektorpotentials aufzustellen. ho x

17 Übungen 353 M11 Permeabler Halbraum Berechne die äußere Selbstinduktivität der Leitung in Aufgabe MIO. Die Länge I der Leitung sei wesentlich größer als alle übrigen Systemabmessungen, so daß Randeffekte am Leitungsende unbeachtet bleiben dürfen. M12 Permeabler Halbraum Bestimme den transienten Strom in der Leitung in Aufgabe MIO, wenn diese zum Zeitpunkt t = 0 ruckartig auf die Höhe h 1 i- ho gebracht wird. Die innere Selbstinduktivität der Leitung kann vernachlässigt werden. M13 Permeabler Halbraum Berechne die magnetischen Feldlinien der Anordnung in Aufgabe MIO. M14 BIOT-SAVARTsches Gesetz Berechne die magnetische Induktion im Mittelpunkt einer quadratischen Leiterschleife der Kantenlänge 2b, die vom Strom I durchflossen wird. Zeige dabei zunächst, daß ein einzelnes gerades Leiterstück im Punkt P den Beitrag liefert. M15 Turbogenerator Zur Erzeugung elektrischer Energie verwendet man fast immer Synchronmaschinen. Die Wicklung liegt in offenen Nuten auf der zylindrischen Oberfläche des aus Elektroblechen zusammengeschichteten Ständers. Synchrongeneratoren, die von Dampfturbinen angetrieben werden, erhalten einen Vollpolläufer und werden Turbogeneratoren genannt. In den Läuferzylinder sind Nuten gefräst, in die die mit Gleichstrom gespeiste Erregerwicklung eingelegt ist. Alle zusätzlichen konstruktiven Maßnahmen wie z.b. den obligatorischen Dämpferkäfig lassen wir hier außer Acht. Desweiteren werden wir den Einfluß der Nutung vernachlässigen, d.h. wir tun einfach so, als läge die Wicklung auf der Zylinderoberfläche als Strombelag verteilt vor. Da der Turbogenerator außerdem relativ lang ist, kann von einem ebenen, d.h. von der Koordinate z unabhängigen Problem ausgegangen werden. Die Bereiche (} ::; a und b ::; (} ::; c sind mit hochpermeabler Materie f1. --) 00 gefüllt. Auf den Zylinderflächen (} = a und (} = b fließen die Flächenströme J ~) = e z J~~ cos(ep + 7jJ) J ~) = e z J~6 cos( ep), 2b y 2b I

18 354 Übungen die aus jeweils n dünnen und von den Strömen I a bzw. h durchflossenen Windungen realisiert werden. Bestimme das magnetische Vektorpotential A im Bereich a ::; Q ::; b als Lösung der Laplacegleichung '9 2 A = O. M16 Induktivitäten im Turbogenerator Aus der gespeicherten magnetischen Energie 1 ( 2 2) Wm ="2 LaIa + 2MIah + Lblb sind die Induktivitäten La, Lb und M der Anordnung in Aufgabe M15 zu berechnen. M17 Kurzschluß im Turbogenerator (---+ MuPAD) Die Läuferwicklung in Aufgabe M15 führe nun eine Drehbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit waus. Sie sei dabei an eine konstante Gleichspannungsquelle angeschlossen. Zum Zeitpunkt t = 0 wird die ruhende Ständerwicklung kurzgeschlossen, wobei sich der Läufer mit unverminderter Geschwindigkeit weiterdrehen soll. Wie lauten die Differentialgleichungen für die in beiden Wicklungen durch den Kurzschluß induzierten Wechselströme? Die OHMschen Wicklungswiderstände seien Ra bzw. Rb. Löse die Differentialgleichungen bei Vernachlässigung der OHMschen gegenüber den induktiven Wechselspannungsabfällen für den anfänglichen Zeitverlauf sowie den eingeschwungenen Zustand und gib für beide Fälle die maximale Stromamplitude an. M18 Drehmoment einer elektrischen Maschine (---+ MuPAD) Welches Drehmoment wird auf die Läuferwicklung des Turbogenerators in Aufgabe M15 ausgeübt? M19 Feldlinien im Turbogenerator (---+ MuPAD) Bestimme den Verlauf der magnetischen Feldlinien für die Anordnung in Aufgabe M15 (auch in den hochpermeablen Bereichen). M20 Permeable Hohlkugel Gegeben ist eine permeable Hohlkugel mit dem Innenradius a, dem Außenradius b und der Permeabilität /1. Diese Kugel wird in ein ursprünglich homogenes, magnetostatisches Feld der Stärke Ho eingebracht. Gib für das magnetische Skalarpotential in den einzelnen Teilbereichen Lösungsansätze an und stelle mit Hilfe der Stetigkeitsbedingungen ein lineares Gleichungssystem für die zu bestimmenden Konstanten auf. (---+ MuPAD) ~. lfo / ~. lfo

19 Übungen 355 Langsam veränderliche Felder Ql Unipolarmaschine Die üblicherweise als Gleichstrommaschinen bezeichneten Generatoren erzeugen in Wirklichkeit Wechselspannungen, die erst durch sogenannte Stromwender gleichgerichtet werden. Eine echte Gleichstrommaschine, die zeitlich unveränderliche Spannungen liefert, ist die Unipolarmaschine. Diese trägt ihren Namen deshalb, weil über dem Umfang des Rotors immer der gleiche Magnetpol (im Bild ein Nordpol) vorliegt. Der Aufbau der Unipolarmaschine ist denkbar einfach. Auf dem Umfang des Rotors sind zwei Schleifringe mit einem leitenden Stab verbunden. Auf den Ringen schleifen zwei Bürsten, über welche die induzierte EMK abgegriffen wird. Der Rotor einer Unipolarmaschine mit dem Radius a und dem Abstand l zwischen den Schleifringen rotiere mit der Winkelgeschwindigkeit w in einem radialhomogenen Magnetfeld, welches auf der Rotoroberfläche den konstanten Wert B habe. a) Berechne die induzierte Klemmenspannung Uo mit Hilfe der integralen Form des Induktionsgesetzes von FARADAY. b) Berechne die Klemmenspannung Uo ausgehend von der LORE'NTzkraft auf die Leiterelektronen. Q2 Messung von Induktionsspannungen Gegeben ist eine Anordnung zur Messung konstanter Induktionsspannungen. Auf dem Rand eines dünnen Aluminiumringes vom Radius r schleift mit der Winkelgeschwindigkeit wein auf der Achse des Ringes drehbar befestigter + B Metallbügel, wobei die Fläche des Ringes senkrecht von einem homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeld H durchsetzt wird. An der Ach- A Galvanometer se des Ringes wie an diesem selbst wird zur stromlosen Spannungsmessung ein Galvanometer über eine Kompensationsschaltung nach POGGENDORFF angeschlossen. Als Spannungsteiler dient ein im Querschnitt konstanter Metalldraht, an dessen Enden eine Hilfsspannung U H anliegt. Der Meßkontakt wird nun so lange verschoben, bis der Ausschlag des Galvanometers auf Null geht, Es ergibt sich eine Länge AB = a. Der Meßvorgang wird mit einer geeichten Spannung U N anstelle der Induktionsspannung U i wiederholt, wobei diesmal die Länge AB = b abgelesen wird. a) Wie läßt sich die Induktionsspannung U i aus den Längen a und b sowie der Eichspannung U N ermitteln? b) Berechne die in folge der Rotation des Bügels an den ortsfesten Meßkontakten auftretende induzierte Spannung. c) Wie kann man von der betrachteten Anordnung zur induzierten Spannung einer FARADAYscheibe gelangen?

20 356 Übungen Q3 Induktionsgesetz in ruhenden Systemen Zwei quadratische Leiterschleifen der Kantenlängen a bzw. b stehen sich im Abstand h zentrisch gegenüber. Berechne den induzierten Strom in der Schleife 2, wenn in Schleife 1 ein zeitlich veränderlicher Strom i(t) eingeprägt wird. Schleife 2 habe den Gesamtwiderstand R. Das magnetische Feld innerhalb der Schleife 2 darf als konstant angesehen werden. Außerdem ist das sekundäre Magnetfeld in- a folge des induzierten Stromes zu vernachlässigen. habe den zeitlichen Verlauf i(t)=l~{ o 7r 0 t arctan T o für t < 0 für t2:0. Q4 Induktion durch Rotation In einem homogen magnetisierten und in z- und x-richtung weit ausgedehnten Materialblock befinde sich eine zylindrische d M Bohrung vom Radius a, in der eine achsparallele Doppelleitung drehbar angeordnet ist. a) Bestimme das magnetische Feld des magnetisierten Blockes ohne die Bohrung. b) Durch Superposition eines in negative x-richtung magnetisierten Zylinders vom Radius a ist nun das Feld in der Bohrung zu berechnen. c) Welches Drehmoment wirkt auf die Doppelleitung, wenn diese mit der x Achse den Winkel 0: einschließt und vom Gleichstrom ±I durchflossen wird? d) Berechne die pro Längeneinheit induzierte Spannung, wenn die Doppelleitung mit der Winkelgeschwindigkeit w rotiert. (2) (1) Der Strom in Schleife 1 Q5 Induktion durch Translation In der Ebene x = 0 befinden sich an den y y Orten y = ±2h die Stränge einer unendlich langen vom Strom I durchflossenen I Doppelleitung. Entlang der x-achse wird eine rechteckförmige Leiterschleife (Höhe z 2h, Länge l) mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt. Bestimme den Strom in der bewegten Leiterschleife, wenn diese den I OHMschen Widerstand R hat. Das magnetische Feld infolge des induzierten Stromes ist zu vernachlässigen.

21 Übungen 357 Q6 Levitation (----t MuPAD) Eine Möglichkeit eine Magnetschwebebahn zu 2a realisieren ist die sogenannte EDS-Technik (elek- I r-----i 0 ::: ht v... trodynamisches Schweben). Im Fahrzeug sind _ jd \ zu diesem Zwecke gleichstromdurchflossene Spu- s c::::,. len angebracht. Das Fahrzeug selbst bewegt /J-O, "- sich dann z.b. über einem als leitende Platte ausgeführten Fahrweg. Als Folge der Bewegung werden in diesem Wirbelströme induziert, die aufgrund der LENzschen Regel eine abhebende Kraft aber auch eine Bremskraft verursachen. Die auftretenden Kräfte sollen in dieser Übung anhand eines einfachen Modells analysiert werden. Im Abstand h über einer leitenden Platte der Dicke d «h bewege sich eine unendlich lange Doppelleitung mit der Geschwindigkeit v. Sie besteht aus sehr dünnen, vom Strom I durchflossenen Drähten, deren Abstand 2a voneinander klein gegenüber der Höhe h sein soll. Zu bestimmen ist die abhebende und die abbremsende Kraft auf die Doppelleitung. Q7 Levitation Die auftretenden Kräfte beim elektrodynamischen Schweben (Aufgabe Q6) sollen in dieser Aufgabe für eine periodische Anordnung von Fahrzeugspulen untersucht werden. Im Abstand h über einem leitenden Halbraum bewe- (----t MuPAD) v... 2b J----j 1Sl:::0 O:::1lil ge sich eine periodische Folge von Fahrzeugspulen mit der Geschwindigkeit v. Die jeweils aus einer dünnen Windung bestehenden Spulen seien in z Richtung sehr lang, so daß näherungsweise von einer unendlich langen Doppelleitung ausgegangen werden darf. Die Spulen werden alternierend vom Gleichstrom ±Ia durchflossen. Zu bestimmen ist die abhebende und die abbremsende Kraft auf eine Fahrzeugspule. Q8 Diffusion im dünnwandigen Kreiszylinder Gegeben ist ein dünnwandiger, leitender Hohlzylinder mit dem Radius a und der Wandstärke d «a. Bestimme die magnetische Feldstärke im Inneren des Hohlzylinders (} < a, wenn dieser einem ursprünglich homogenen magnetischen Feld der Stärke { o für t<o H = e y Ha 1 für t;::: 0 (----t MuPAD) ausgesetzt wird. Der gesamte Raum habe die konstante Permeabilität /La. Zur Berechnung verwende man ein magnetisches Vektorpotential A. Gesucht ist außerdem

22 358 Übungen der Verlauf der magnetischen Feldlinien. Q9 Abschirmung durch dünnwandige Kreiszylinder Das erregende magnetische Feld in Aufgabe Q8 sei jetzt zeitharmonisch, H = Ho cos wt. Es ist das resultierende Magnetfeld durch Transformation des Ergebnisses der Aufgabe Q8 (Sprungantwort) zu berechnen. QI0 Abschirmung durch Kugelschalen In der Hochfrequenztechnik werden Spulen von den metallischen Wänden eines Spulentopfes umgeben. Dies hat zweierlei Gründe. Zum einen will man die Spule vor äußeren Feldern schützen und zum anderen soll die übrige Schaltung nicht vom Feld der Spule beeinflußt werden. Die im Spulentopf induzierten Wirbelströme sind in der Lage bei des zu gewährleisten. Die Abschirmung wird in der Regel durch Metallzylinder mit Deckel und Boden realisiert. Dies erschwert allerdings die quantitative Analyse " " --- z "" / 1 /" 1 I N~\ \ \ \ I r \ \ Spu~ k" R.J:. \ / 1 ~ II:, /-LO- r. /1 \ \,, / 1,,"'- " " --- " -/ Spulenkapsel des Effektes. Man kann aber statt dessen auch eine Hohlkugel gleicher Wandstärke betrachten. Es erhebt sich dann die Frage nach dem Radius dieser Kugel. Bedenkt man, daß der Hauptteil der induzierten Wirbelströme in der Mitte des Zylindermantels fließt und damit der Zylinderradius und nicht seine Höhe den entscheidenden geometrischen Einfluß haben wird, so wird klar, daß die Ersatzkugel zweckmäßigerweise den Radius des Zylinders haben sollte. Ziel dieser und der folgenden Übung soll sein, sowohl die Abschirmung von außen einwirkender Magnetfelder zu untersuchen als auch die Abschwächung des Spulenfeldes nach außen hin. Zur Bestimmung der Abschirmung von außen einwirkender Felder sei die Kugel mit Radius Rund Wandstärke d «R einem homogenen Magnetfeld { o für t < O a) H = ezho 1 für t ~ 0 und b) H = ezho coswt ausgesetzt. Der gesamte Raum habe die konstante Permeabilität /LO. Man bestimme die magnetische Feldstärke innerhalb der Kugel. - Qll Abschirmung durch Kugelschalen Eine vom Wechselstrom 10 cos wt durchflossene Luftspule mit N Windungen, mit dem mittleren Wicklungsradius rs und mit der Länge I befinde sich innerhalb einer dünnwandigen leitenden Hohlkugel vom Radius R, mit der Wandstärke d «R sowie der Leitfähigkeit K, (siehe Bild in Aufgabe QIO). Das Außenfeld der Spule darf ersatzweise durch das Feld eines äquivalenten

23 Übungen 359 magnetischen Dipols ersetzt werden. a) Berechne mit Hilfe des magnetischen Vektorpotentials das durch die leitende Kugel im Außenraum abgeschwächte Feld der Spule. b) Bestimme die durch die leitende Kugelhülle hervorgerufene zusätzliche Spulenimpedanz ZK = RK + jwlk. Q12 Dünnwandiger Rechteckzylinder im homogenen Wechselfeld Gegeben ist ein unendlich langer, dünnwandiger, leitender Hohlzylinder der Kantenlängen a und b und der Wandstärke d «a, b. Bestimme die magnetische Feldstärke innerhalb des Zylinders, wenn dieser einem ursprünglich homogenen quasistationären magnetischen WechselfeId der Stärke Ho = ezho cos wt ausgesetzt dj 11l-.0H '\ /-Lo wird. Der gesamte Raum habe die konstante Permeabilität Jlo. Verschiebungsströme dürfen vernachlässigt werden. Außerdem soll die Skineindringtiefe sehr viel größer als die Leiterdicke sein. 2a Q13 Mehradriges Kabel Gegeben ist ein Bündelleiter bestehend aus 3 parallel auf der x-achse im gegenseitigen Abstand a angeordneten unendlich langen Leitern der Radien r «a. Durch die parallel geschalteten Leiter fließe der Strom i(t) = I o coswt. ~ a a Die unendlich lange Rückleitung am Ort x = b hat den Radius 2r. Bestimme die Ströme in den Strängen des Bündelleiters. Q14 Skineffekt im Rundleiter In einem unendlich langen, geraden Draht mit kreisförmigem Querschnitt fließe der Wechselstrom I o cos wt. Der Radius des Drahtes sei a seine Leitfähigkeit Ii und die Permeabilität Jl. Zu bestimmen ist die Stromdichte im Leiter bei Vernachlässigung des Verschiebungsstromes. Q15 Magnetband (--+ MuPAD) Eine magnetisierte Schicht der Dicke d bewege sich mit der Geschwindigkeit v entlang der z-achse. Die Magnetisierung sei y-gerichtet und in z-richtung periodisch, M = Mo cos ßz e y. Die Ausdehnung der Schicht in x- und z-richtung kann als unendlich angesehen werden. Oberhalb der Schicht befinde sich in

24 360 Übungen der Höhe h eine ortsfeste Lesespule mit N Windungen und rechteckiger Querschnittsfläche w. l. Die Anordnung diene als einfaches Modell für ein Magnetband mit Lesekopf. Es soll die induzierte EMK in der Lesespule unter Verwendung des magnetischen Skalarpotentials 4>m berechnet werden. Q 16 Magnetband (-t MuPAD) Die Aufgabe Q15 ist nocheinmal mit Hilfe des Vektorpotentials A zu lösen. Q17 Elliptischer Zylinder im magnetischen Wechselfeld (-t MuPAD) Gegeben ist ein ideal leitender elliptischer Zylinder mit den Halbachsen a und b. Dieser Y wird in ein homogenes, magnetisches WechselfeId H = Ho cos wt eingebracht, welches auf der Zylinderachse senkrecht steht und mit der Halbachse a den Winkel "( einschließt. Zu bestimmen ist das resultierende magnetische Vektorpotential sowie die induzierte Wirbelstromdichte auf der Oberfläche des elliptischen Zylinders. Ferner ist der Grenzübergang b -t 0 durchzuführen, um den technisch wichtigen Sonderfall eines leitenden Streifens zu erhalten. Die Abmessungen des Zylinders seien klein gegen die Freiraumwellenlänge b «AO = 27rco /w, so daß Verschiebungsströme vernachlässigt werden können und damit quasistationär gerechnet werden darf. Die gegebene Anordnung "paßt" in keines der bisher behandelten Koordinatensysteme (kartesische Koordinaten, Zylinder- und Kugelkoordinaten). Trotzdem ist die Aufgabe mit unserem bisherigen Wissen lösbar. Vorgeschlagener Lösungsweg: a) Zeige daß die Linien u = const. der Koordinatentransformation x = c cosh u cos v, y = c sinh u sin v mit 0 s:; u < ()(), OS:; v s:; 27r konfokale Ellipsen darstellen (siehe Gleichung (6.74)). Welcher Wert ergibt sich für die Koordinate u = Uo auf der Oberfläche des gegebenen elliptischen Zylinders mit den Halbachsen a und b? b) Beweise, daß die LA PLAcEgleichung für ein ebenes, d.h. von der Koordinate z unabhängiges, Problem in den Koordinaten u und v die Gestalt 8 2 4>/8u >/8v 2 = 0 annimmt und gib den allgemeinen Lösungsansatz für 4>( u, v) an. c) Löse nun mit Hilfe des magnetischen Vektorpotentials die Aufgabe in den Koordinaten u und v. Dabei ist zunächst das sogenannte primäre Potential des homogenen Magnetfeldes bei Abwesenheit des elliptischen Zylinders aufzustellen. Diesem ist dann das sekundäre Potential infolge der im Zylinder induzierten Wirbelströme zu überlagern. Dabei sind die Wirbelströme aufgrund der idealen Leitfähigkeit als Flächenstromdichte auf der Oberfläche anzusetzen.

25 Übungen 361 Zeitlich beliebig veränderliche Felder Wl Anpassung von Leitungen Gegeben ist eine Parallelplattenleitung der Breite a und mit dem Plattenabstand b, die an ihrem Ende mit einem x leitfähigen Block der Länge d abgeschlossen wird. Sieht man von der Feldverzerrung an den Plattenrändern y = 0, a einmal ab, so können sich ebene Wellen ent E y lang einer solchen Leitung ausbilden. Der leitende Block soll nun so dimensioniert werden, daß die gesamte Energie einer einfallenden Welle vollständig absorbiert wird (Anpassung). Dabei soll die Eindringtiefe sehr viel größer als die Blockdicke sein, so daß die Feldstärke im Block als homogen angesehen werden darf. W2 Ebene Welle, elliptische Polarisation In der Ebene z = 0 fließen zwei phasenverschobene harmonische Flächenströme z J Fl = JFO coswt e x J F2 = p' JFO cos(wt + J) e y Der Gesamtraum habe die Leitfähigkeit /'i, und ansonsten die Materialeigenschaften von Vakuum (co, MO)' K, /1-0 a) Bestimme die Phasoren des elektrischen und magnetischen Feldes, das sich in Form einer gedämpften ebenen Welle ausbreiten wird. b) Zeige, daß die Spitze des elektrischen Feldvektors in Abhängigkeit von der Zeit für /'i, = 0 auf Ellipsenbahnen umläuft und bestimme die Lage und die Halbachsen dieser Ellipsen. c) Berechne Phasen- und Gruppengeschwindigkeit für K = 0, f = 1 MHz sowie für /'i, = n-1m-1, f = 50 Hz W3 POYNTINGscher Vektor Eine Gleichspannungsquelle speist über ein sehr langes Koaxialkabel (Abmessungen siehe Bild) den Widerstand R. a) Bestimme den POYNTINGSchen Vektor in einer zur Kabelachse senkrechten Ebene sowie den Energiefluß durch diese Ebene bei Annahme eines idealen Innenund Außenleiters. b) Berechne mit Hilfe des POYNTINGschen Vektors die Verlustleistung im Außenleiter, wenn dieser

26 362 Übungen den Widerstand Ra hat. Randeffekte am Kabelende sind zu vernachlässigen. W4 Komplexer POYNTINGscher Vektor Berechne mit Hilfe des komplexen POYNTINGSchen Vektors die Verlust leistung im Innenleiter der Aufgabe W3, wenn in diesem ein Wechselstrom i(t) = 1 0 coswt fließt, der sich aufgrund des Skineffektes ungleichmäßig über den Leiterquerschnitt verteilen wird. Der Innenleiter habe den Gleichstromwiderstand R i. W5 Komplexer Energiesatz Man zeige mit Hilfe des komplexen Energiesatzes, daß in einem verlust freien Hohlraum mit perfekt leitender Bewandung die zeitlichen Mittelwerte der elektrischen bzw. magnetischen Energien einer elektromagnetischen Schwingung gleich sind. W6 Innerer Wechselstromwiderstand eines Leiters Beweise, daß der innere Wechselstromwiderstand eines massiven Leiters aus dem komplexen POYNTINGschen Vektor Sk = ~ (E x H*) in der Form Zi = R i + j W Li = --i-f Sk. do I e!! durch Integration über die Leiteroberfläche berechnet werden kann. W7 HERTzscher Dipol Berechne die horizontale Strahlungscharakteristik für einen z-gerichteten HERTzschen Dipol I o.:1s, der sich am Ort Tl der Ebene z = 0 befindet. Die Ebenen x = 0 und y = 0 seien als perfekt leitende Beläge ausgeführt. (~ MuPAD) ty 10 L1s -x "' W8 Gruppenstrahler (... MuPAD) Gegeben sind drei dünne, lineare Antennen der Länge l, die in gleichem Abstand d parallel zueinander auf einer Linie angeordnet sind. Die Antennen werden in der Mitte mit den harmonischen Strömen il(t) = llocoswt = i3(t) und i2(t) = 120 coswt gespeist. Es kann in guter Näherung davon ausgegangen weri~----d---i~2~~--+-_d--i-3~ den, daß sich der Strom wie eine Sinushalbwelle über die Antenne verteilt,

27 Übungen 363 deren Länge gerade der halben Freiraumwellenlänge l = >"/ 2, >.. = 27rco/w entsprechen soll (>"/2-Dipole). Das Maximum liegt dabei am Speisepunkt, während an den Antennenenden Stromknoten auftreten. Bestimme für den Fall d = >"/ 2 das horizontale Strahlungsdiagramm des Gruppenstrahlers. W9 Reflexion am geschichteten Medium Eine aus dem Vakuum (Raum 1) einfallende ebene Welle treffe in z-richtung senkrecht auf ein System aus mehreren Schichten (siehe Bild). Dieses besteht aus einer leitenden Schicht der Dicke d 2 (Raum 2), einer isolierenden Schicht der Dicke d3 (Raum 3) sowie einem ideal leitenden Belag auf der Rückseite des Systems. Berechne den Reflexionsfaktor K R 12 an der Trennfläche zwischen Vakuum und dem Mehrschichtensystem. WIO Unterdrückung von Radarecho8 Unter der Annahme, daß die Dicke des Raumes 3 in Aufgabe W9 gerade einem Viertel der Wellenlänge in diesem Medium entspricht und daß die Eindringtiefe im Raum 2 groß gegenüber den Abmessungen ist, dimensioniere man die Anordnung so, daß der Reflexionsfaktor R 12 verschwindet. WH Verl1lste in der Parallelplattenleitung Für den Fall, daß sich eine senkrecht polarisierte Welle in einer Parallelplattenleitung ausbreitet, berechne man die Verluste pro Flächeneinheit, die in der Bewandung mit endlicher Leitfähigkeit K entstehen. Hinweis: Die Verlust berechnung soll mit der sogenannten Power-Loss Methode durchgeführt werden. Dabei werden zunächst bei Annahme perfekter Leitfähigkeit der Bewandung die verlust freien Felder der Parallelplattenleitung bestimmt. Aus diesen sind die induzierten Wandströme zu ermitteln. Dabei wird vorausgesetzt, daß der Wandstrom mit konstanter Dichte über die Eindringtiefe 68 verteilt ist und danach sprungartig auf Null absinkt. W12 Parallelplattenleitung mit Dielektrikum (----7 MuPAD) Eine verlustfreie Parallelplattenleitung sei für z > 0 mit Dielektrikum der relativen Dielektrizitätskonstanten Er gefüllt. Bestimme Reflexion und Transmission bei Einfall einer senkrecht polarisierten Welle. d y x i z ---

28 364 Übungen W13 Rechteckhohlleiter mit Anregung In einem ideal leitenden Rechteckhohlleiter, der an der Stelle z = 0 abgeschlossen ist, befindet sich an der Stelle x = c, z = h ein vom y-gerichteten Strom 1 0 cos wt durchflossener dünner Leiter. Bestimme das elektromagnetische Feld der Anordnung. (-+ MuPAD) y a~r ~ I I ~ ) ~h - I T -- -b / z W14 Wellen im Koaxkabel Gegeben ist ein unendlich langes Koaxialkabel. Der perfekt leitende Innenleiter habe den Radius a, der ebenfalls perfekt leitende Außenleiter den Radius b. Das Medium zwischen den Leitern sei verlustfrei und habe die Dielektrizitätskonstante co und die Permeabilität {.La. Auf der Leitung können sich sowohl TEM-Wellen als auch Hohlleiterwellen ausbreiten, wobei letztere in der Regel unerwünscht sind. a) Berechne die Felder der magnetisch transversalen Wellenmoden (E-Wellen) und stelle eine Gleichung zur Berechnung der Ausbreitungskonstanten kz auf. b) Für welches kz ergibt sich ein elektrisch und magnetisch transversales Feld (TEM-Welle)? Man bestimme für diesen Fall die Felder mit der zusätzlichen Randbedingung, daß in der Ebene z = 0 eine Wechselspannung Uo cos wt zwischen Innen- und Außenleiter anliegt. c) Für den in b) betrachteten Sonderfall einer TEM-Welle verifiziere man die bekannte Beziehung L'. C' = CO{.Lo = l/cö, wobei unter L' die Induktivität und unter C' die Kapazität der Leitung pro Längeneinheit zu verstehen ist. Hinweis: Berechne aus den in b) ermittelten Feldern zunächst Ladungs- und Strombelag auf den Leiteroberflächen und bestimme daraus L' und C'. W15 Rundhohlleiter mit Dielektrikum Gegeben ist ein Rundhohlleiter vom Radius a. Auf der Innenseite der Bewandung ist eine dielektrische Schicht der Dicke a - b aufgetragen. a) Wie lautet die Gleichung zur Bestimmung der Ausbreitungskonstanten für rotationssymmetrische H-Wellen? b) Was ändert sich im Falle von E-Wellen? W16 Rechteckresonator mit Anregung (-+ MuPAD) Der Hohlleiter in Aufgabe W12 wird nun in der Ebene z = 2h mit einer perfekt leitenden Platte kurzgeschlossen und zusätzlich mit Teflon gefüllt. Dieses Material hat eine komplexe Dielektrizitätskonstante Ck = CrCO (1 - j tan 0), Cr = 2.3, tan b = Für den Fall c = a/2 ist das elektrische Feld in der Ebene x = c in Abhängigkeit von der erregenden Frequenz zu bestimmen. Wie kann man das Ergebnis in der Umgebung einer Resonanzfrequenz des gegebenen Rechteckresonators vereinfachen?

29 Übungen 365 W17 Pillbox Die Flächen (} = a und z = 0, h bilden die perfekt leitende Bewandung eines kreiszylindrischen Hohlraumresonators. Bei welcher Frequenz ist ohne äußere Anregung im Innern des Resonators ein rotationssymmetrisches, elektromagnetisches Wechselfeld existenzfähig, welches von der Koordinate z unabhängig ist und dessen elektrischer Feldvektor nur in z-richtung weist? W18 Ersatzschaltkreis eines Hohlraumresonators Gegeben ist ein kreiszylindrischer Resonator mit dem Radius a und der Höhe h. In ihm existiere eine freie elektromagnetische Schwingung wie in Aufgabe W17. a) Für den Fall einer perfekt leitenden Bewandung ist der zeitliche Mittelwert der gespeicherten Energie zu berechnen. b) Bestimme die in der leitenden Bewandung entstehende Verlustleistung, wenn z Resonator R 1~~ 1 ~ c u- Schaltkreis die Leitfähigkeit endliche Werte annimmt. Dabei soll davon ausgegangen werden, daß die Wandströme bis zur Eindringtiefe mit konstanter Dichte fließen und dann sprungartig auf Null absinken. Außerdem soll der Wandst rombelag aus den ungestörten Resonatorfeldern best immt werden, was bei hoher Leitfähigkeit eine gute Näherung darstellt. c) Bestimme aus dem Energieerhaltungssatz die Zeitkonstante T, mit der das elektromagnetische Schwingungsfeld aufgrund der Verluste exponentiell abklingt, sowie den sogenannten Gütewert Qo = WOT /2 im Falle einer Bewandung aus Kupfer mit der Leitfähigkeit K = n - 1m- 1 und den Abmessungen a = h = 10 cm. d) Gib den Wert für die sogenannte Shuntimpedanz 1 2 h 1 R s = 10 E(g = 0) dz / Pv an, wobei P v der zeitliche Mittelwert der Verlustleistung sein soll. e) Aus den Werten Wo, Qo und R s ist ein äquivalenter Schaltkreis mit den Netzwerkelementen R, L und C zu dimensionieren. Dabei ist die Kondensatorspannung U c mit dem Feldstärkeintegral unter Punkt d) zu identifizieren. W19 Dielektrischer Resonator Innerhalb einer verlustfreien Parallelplattenleitung mit dem Plattenabstand d sei der Bereich Izl ::; a mit Dielektrikum (er i= 1) gefüllt. Bei welchen Frequenzen existiert eine Resonanz für ein p polarisiertes elektromagnetisches Feld innerhalb des Dielektrikums? d K~OO K, ~ 00 Y 2a (-+ MuPAD) CD 100 z