Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE EDV Übung mit GNU R

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1 Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE EDV Übung mit GNU R Mathias Stephan Panzenböck e Juni 2006 Beispiel 1 library(e1071) library(car) load(' rdata') a) min(bsp1$x) # = max(bsp1$x) # = mean(bsp1$x) # = median(bsp1$x) # = sd(bsp1$x) # = quantile(bsp1$x) 0% 25% 50% 75% 100% summary(bsp1$x) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max b) hist(bsp1$x,main=beispiel 1.b: Histogramm) 1

2 Beispiel 1.b: Histogramm Frequency bsp1$x Abbildung 1: Histogramm c) boxplot(bsp1$x, main="beispiel 1.c: Boxplot") 2

3 Beispiel 1.c: Boxplot Abbildung 2: Boxplot skewness(bsp1$x) # = Frage: Ist die Verteilung linksschief, symetrisch oder rechtsschief? Antwort: Die Schiefe (skewness = ) ist kleiner als 0, d.h. die Verteilung ist linksschief. Frage: Kann man die Schiefe der Verteilung auch anhand der Werte von mean und median erkennen? Falls ja, wie? Antwort: In der Regel, ja. Wenn median = mean, dann ist die Verteilung symetrisch. Wenn median > mean, dann ist die Verteilung rechtsschief. Wenn median < mean, dann ist die Verteilung linksschief. Der Median (median) ist stabiel, das arithmetische Mittel (mean) nicht. Ist eine Verteilung linksschief, so "rutscht" das arithmetische Mittel nach links ab, der 3

4 Median bleibt jedoch auf der Spitze der Verteilung stehn. Jedoch ist diese Methode nur sinvoll/genau wenn das Mittel vom Median signikant unterschiedlich ist. Ansonsten ist diese Methode zu ungenau. Frage: Kann man aufgrund des Boxplots im Allgemeinen erkennen, ob es Ausreiÿer in den Daten gibt? Falls ja, wie? Antwort: Ja. Ausreiser werden im Boxplot als gesonderte Punkte angezeigt. Als Auÿreiser werden all jene Punkte behandelt, die auÿerhalb des 1,5-fachen Interqartilabstand liegen. Frage: Gibt es Ausreiÿer in den Daten von Beispiel 1? Antwort: Nein. Beispiel 2 qq.plot(bsp2$x1,distribution='norm',main="beispiel 2: Normalverteilung") qq.plot(bsp2$x1,distribution='lnorm',main="beispiel 2: Log-Normalverteilung") qq.plot(bsp2$x1,distribution='exp',main="beispiel 2: Exponentialverteilung") 4

5 Beispiel 2: Normalverteilung bsp2$x norm quantiles Abbildung 3: qq-plot Normalverteilung 5

6 Beispiel 2: Log Normalverteilung bsp2$x lnorm quantiles Abbildung 4: qq-plot Log-Normalverteilung 6

7 Beispiel 2: Exponentialverteilung bsp2$x exp quantiles Abbildung 5: qq-plot Exponentialverteilung Da in diesen Fall die Verteilung mit Hilfe des qq-plots nicht genau einzuordnen ist, habe ich ein Histogramm zu der gegebenen Stichprobe erstellt, und mit den Histogrammen von Zufallswerten, deren Verteilung bekannt ist, verglichen. set.seed(sys.time()) hist(bsp2$x1,border=1,main="beispiel 2: Histogramm") hist(rnorm(10000),main="beispiel 2: Normalverteilte Zufallswerte") hist(rlnorm(10000),main="beispiel 2: Log-Normalverteilte Zufallswerte") hist(rexp(10000),main="beispiel 2: Exponentialverteilte Zufallswerte") 7

8 Beispiel 2: Histogramm Frequency bsp2$x1 Abbildung 6: Histogramm der Stichprobe 8

9 Beispiel 2: Normalverteilte Zufallswerte Frequency rnorm(10000) Abbildung 7: Histogramm von Normalverteilten Zufallswerten 9

10 Beispiel 2: Log Normalverteilte Zufallswerte Frequency rlnorm(10000) Abbildung 8: Histogramm von Log-Normalverteilten Zufallswerten 10

11 Beispiel 2: Exponentialverteilte Zufallswerte Frequency rexp(10000) Abbildung 9: Histogramm von Exponentialverteilten Zufallswerten Beim qq-plot fallen die Daten in die Kondenzintervalle für eine Log-Normalverteilung sowie für eine Exponentialverteilung. Im Verglaich zu zufällig generierten lognormalverteilten bzw. exponentialverteilten Zufallswerten wird ersichtlich, dass es sich hier um eine Exponentialverteilung handelt. Eine Log-Normalverteilung wäre etwas spitzer. Beispiel 3 A = bsp3$wert[bsp3$gruppe == 'A'] B = bsp3$wert[bsp3$gruppe == 'B'] a) mean(a) # = sd(a) # = mean(b) # =

12 sd(b) # = b) boxplot(wert ~ Gruppe, data=bsp3, main="beispiel 3: Paralelle Boxplots") Beispiel 3: Paralelle Boxplots A B Abbildung 10: Paralelle Boxplots c) t.test(wert ~ Gruppe, data=bsp3) Welch Two Sample t-test data: Wert by Gruppe t = , df = , p-value =

13 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean in group A mean in group B Da die t-statistik (t = ) meiner Daten im errechneten 95%-Kondenzintervall ( , ) liegt, wird die 0-Hypothese nicht verworfen. Es gibt keinen signikanten Unterschied zwischen den Populationen. Liegt der p-wert unter 0,05 dann ist die 0-Hypothese (Gleichheit der Mittel) abuzulehnen, da der Unterschied höchstwarscheinlich rein durch Zufall entstanden ist. Im gegebenen Fall liegt der p-wert (p-value = ) eindeutig darüber, d.h. die 0-Hypothese wird angenommen. Der Unterschied zwischen den Stichproben ist also nicht Zufällig. Die beiden Populationen unterscheiden sich nicht signikant. Höchstwahrscheinlich stammen sie aus der selben Verteilung. d) var.test(wert ~ Gruppe, data=bsp3) F test to compare two variances data: Wert by Gruppe F = , num df = 49, denom df = 49, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval: sample estimates: ratio of variances Der F-Test prüft die Gleichheit der Varianzen von zwei Stichproben. Da die F-Statistik (F = ) meiner Daten im errechneten 95%-Kondenzintervall ( , ) liegt, wird die 0-Hypothese nicht verworfen. Es gibt keinen signikanten Unterschied zwischen den Varianzen der Stichproben. Der p-wert (p-value = ) liegt im gegebenen Fall eindeutig über den 0.05, d.h. der Unterschied ist höchstwarscheinlich nicht Zufällig, die 0-Hypothese wird angenommen. Die Varianzen der Stichproben unterscheiden sich nicht signikant. Frage: Wie ist der p-wert eines Tests zu interpretieren? Wann ist die 0- Hypothese abzulehnen? Antwort: Der p-wert (auch Überschreitungswahrscheinlichkeit genannt) gibt die Wahrscheinlichkeit für den Fall an, dass die Stichprobe wirklich durch Zufall aus der Verteilung entstanden ist. Also 97% ziemlich sicher wirklich Zufall, 3% vermutlich nicht Zufall. 13

14 Die 0-Hypothese ist abzulehnen, wenn der t-wert bzw. F-Wert nicht in das gewünschte Kondenzintervall fällt. Wenn dies passiert sind die Stichproben signikant unterschiedlich. Die Signikantsniveau wird mit alpha angegeben, also wieviel Prozent der Fläche unter der Verteilungsfunktion das Kondenzintervall ausmachen. 14