R-WORKSHOP II. Inferenzstatistik. Johannes Pfeffer

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1 R-WORKSHOP II Inferenzstatistik Johannes Pfeffer Dresden,

2 01 Outline Lösung der Übungsaufgabe Selbstdefinierte Funktionen Inferenzstatistik t-test Kruskal-Wallis Test Übungsaufgabe TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 2 von 26

3 02 Bartwuchs Lösung der Übungsaufgabe aus Workshop I Gerd Glatzel, der ein existenzielles Problem mit seinem Haarwuchs hat (den üppigsten Teil seiner Kopfbedeckung stellen die Augenbrauen dar), stößt bei der Lektüre seiner Lieblingszeitschrift Mann vorm Spiegel auf das folgende Inserat der Rapunzel AG: Doppel-Haar, das erfolgreichste Haarwuchsmittel, das es je gab! 50% der Anwender hatten einen monatlichen Haarwuchs von 0,8 cm oder mehr - innerhalb eines Monats durchschnittlich 1,4 cm längeres Haar. Die Lösung seines Problems erhoffend, greift Glatzel sofort zu. Einen Monat später hat er auch noch die spärlichen Reste seiner Kopfbedeckung verloren. Erbost sucht er die Rapunzel AG auf (die Blöße mit einem Hut bedeckend), um seinem Ärger Luft zu machen. Dort erhält er eine Tabelle mit Haarwuchsergebnissen von Testpersonen des Mittels Doppel-Haar (Haarwuchs innerhalb eines Monats in cm; negative Werte stehen für Haarausfall). 2. Überprüfe die Herstellerangaben indem du den durchschnittlichen Haarwuchs sowie den Median, die Varianz und die Standardabweichung des Haarwuchses berechnest. 3. Zeichne ein Boxplot des Haarwuchses. 4. Zeichne ein Histogramm des Haarwuchses. 5. Schätze mittels eines QQ-Plots ein, ob eine Normalverteilung vorliegt.

4 02 Bartwuchs Lösung der Übungsaufgabe aus Workshop I 2. Überprüfe die Herstellerangaben indem du den durchschnittlichen Haarwuchs sowie den Median, die Varianz und die Standardabweichung des Haarwuchses berechnest. > haar <- read. csv ( file =" haarwuchs. csv ",head =TRUE, sep ="; ") > install. packages (" pastecs ") > library ( pastecs ) > stat. desc ( haar ) Haarwuchs (...) min max range sum median // <- "50% der Anwender..." mean // <- "Durchschnittlich..." (...) var // <- Varianz std.dev // <- Standardabweichung coef.var

5 02 Bartwuchs Lösung der Übungsaufgabe aus Workshop I 3. Zeichne ein Boxplot des Haarwuchses. > boxplot ( haar ) Es wird sichtbar, dass ein extremer Ausreißer die Werbeaussage verzerrt.

6 02 Bartwuchs Lösung der Übungsaufgabe aus Workshop I 4. Zeichne ein Histogramm des Haarwuchses. > hist ( haar Histogram $ of haar$haarwuchs ) Frequency haar$haarwuchs Die Werte um den Nullpunkt weisen die höchste Häufigkeit auf. Der Ausreißer ist deutlich sichtbar. Negative Werte (Haarausfall) haben eine nicht zu vernachlässigende Häufigkeit.

7 02 Bartwuchs Lösung der Übungsaufgabe aus Workshop I 4. Schätze mittels eines QQ-Plots ein, ob eine Normalverteilung vorliegt. > qqnorm ( haar $ Haarwuchs ) > qqline ( haar $ Haarwuchs ) Normal Q Q Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles Eine Normalverteilung der Daten ist wahrscheinlich. Aufgrund der Abweichungen von der Diagonalen im Anfangs- und Endbereich sollten zusätzlich weitere (inferenzstatistische) Tests auf Normalverteilung durchgeführt werden.

8 03 Selbstdefinierte Funktionen Weiterführende R-Syntax Übung Syntax Funktionsname <- function ( Argumente )\{ R- Befehle \} Die Funktion kann beliebig viele Befehle enthalten. Als letztes in jeder Funktion steht immer der Wert oder auch eine Liste von Werten, die ausgegeben werden soll. Schreibe eine Funktion sumnm, die 1 bis n und 1 bis m aufaddiert sumnm(n, m) = n + m i=1 j=1 TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 8 von 26

9 03 Selbstdefinierte Funktionen kleiner Hinweis > sumnm <- function (n,m){ + x <-1:n +... TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 9 von 26

10 03 Selbstdefinierte Funktionen Lösung > sumnm <- function (n,m){ + x <-1:n + y <-1:m + z <-sum (x)+ sum (y) + z + } > sumnm (5,10) [1] 70 TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 10 von 26

11 04 Inferenzstatistik Abgrenzung der schließenden Statistik TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 11 von 26

12 04 t-test Voraussetzungen Merkmal mindestens intervallskaliert - Ausprägungen lassen sich quantitativ mittels Zahlen darstellen. Rangunterschiede und Abstand zwischen Werten können gemessen werden. Beispiele für intervallskalierte Merkmale sind Temperatur auf der Celsius-Skala, Jahreszahlen, Zeitpunkte. Stichproben müssen unabhängig sein - Ist z.b. nicht gegeben, wenn die gleichen Versuchspersonen direkt nacheinander zwei unterschiedliche GUIs bewerten. Annähernde Gaußverteilung der Daten lässt sich aus den Boxplots der Daten ablesen: Der Median sollte mittig in der Box liegen und die beiden Whisker etwa gleich lang sein. Aus der Gauß-Verteilung ergibt sich die Stetigkeit der Daten, z.b. Temperaturen in Kelvin oder Längen in Metern. Varianzhomogenität ist graphisch aus den Boxplots ersichtlich: Die verschiedenen Boxen nebst Whiskern sollten gleich lang sein. Ein statistischer Test kann diese Evaluation ergänzen (F-Test, Levene-Test). TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 12 von 26

13 04 t-test Überprüfung der Voraussetzungen 1/2 > data2.1 <- read. csv2 ( file. choose ()) # " ws2.1. csv " > data2.1 > summary ( data2.2) > boxplot ( Aufgabenerf ~GUI, data2.1, xlab =" GUI ",ylab =" Aufgabenerfuellung ",col =" purple ") > qqnorm ( data2.1$ Aufgabenerf ); qqline ( data2.1$ Aufgabenerf ) Intervallskalliert - OK Unabhängig - OK Annähernde Gaußverteilung Der Median sollte mittig in der Box liegen und die beiden Whisker etwa gleich lang sein. Die Punkte im QQ-Plot sollten ca. auf einer Linie liegen. - OK TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 13 von 26

14 04 t-test Überprüfung der Voraussetzungen 2/2 Varianzhomogenität Levene-Test > library ( car ) > levene. test ( data2.1$ Aufgabenerf, data2.1$gui ) Wenn der p-wert über a = 0.05 liegt, muss die Hypothese gleicher Varianzen beibehalten werden. D.h.: alle Voraussetzungen sind erfüllt. TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 14 von 26

15 04 t-test Anwendung Die Nullhypothese für den t-test lautet: Die mittlere Aufgabenerfüllung ist für beide GUIs gleich. H0: µ1 = µ2. Die Alternativhypothese lautet: Die mittlere Aufgabenerfüllung ist für beide GUIs ungleich. Das Risiko 1. Art wird mit a =0.05 festgelegt. > t. test ( data2.1$ Aufgabenerf ~ data2.1$gui, alternative = " two. sided ", paired = FALSE, var. equal = TRUE, conf. level =0.95) Hier ist es wichtig, die richtige Alternativhypothese und das gewünschte Risiko 1. Art zu wählen. Da es sich um zwei unabhängige Stichproben handelt, ist bei paired der Wert FALSE zu wählen. Je nachdem, ob die Varianzen homogen sind oder nicht, wird var.equal auf TRUE oder auf FALSE gesetzt. Die Tilde bedeutet, dass die Werte für Aufgabenerfüllung nach dem Faktor GUI gruppiert werden. Dies ist notwendig, weil jede Zeile des DataFrames einem eigenen Fall, hier also jeweils einer anderen Versuchsperson entspricht. TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 15 von 26

16 04 t-test Interpretation Two Sample t-test data: data2.1$aufgabenerf by data2.1$gui t = , df = 27, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean in group A mean in group B Der p-wert ( ) liegt unter dem gewählten Risiko 1. Art a = 0.05, daher muss die Hypothese gleicher mittlerer Aufgabenerfüllung bei beiden GUIs verworfen werden. TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 16 von 26

17 04 t-test Interpretation t = , df = 27, p-value = Die Teststatistik t beträgt Dies ist die Testgröße, die normalerweise mit dem Tabellenwert verglichen wird. Ist sie extremer, als der Tabellenwert des Quantils zum entsprechenden Freiheitsgrad (df), gilt der Mittelwertvergleich als signifikant. alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 Die abstrakte Alternativhypothese. 95 percent confidence interval: Angenommen, man würde den Versuch unendlich oft indentisch wiederholen, dann läge die wahre Differenz in 95% der Fälle im jeweiligen Konfidenzintervall. Praktische Anwendung: Wenn in einem Konfidenzintervall die Null eingeschlossen ist, gilt das Testergebnis als nicht signifikant. Im Falle einer Signifikanz stellt der Abstand von Null ein Maß für den Grad der Ablehnung der H0 dar. sample estimates: mean in group A mean in group B Die beiden Mittelwerte werden ausgegeben.

18 04 Daten aus Workshop I Eigenschaften der Daten 1/2 > data2.2 <- read. csv2 ( file. choose ()) # " ws2.2. csv " > data2.2 > summary ( data2.2) > boxplot (MW~GUI, data2.2, xlab =" GUI ",ylab =" Aufgabenerfuellung ",col =" orange ") > qqnorm ( data2.2$mw); qqline ( data2.2$mw) Intervallskalliert - OK Unabhängig - OK Mehr als 2 Gruppen Annähernde Gaußverteilung Der Median sollte mittig in der Box liegen und die beiden Whisker etwa gleich lang sein. Die Punkte im QQ-Plot sollten ca. auf einer Linie liegen. - NICHT OK für t-test TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 18 von 26

19 04 Daten aus Workshop I Eigenschaften der Daten 2/2 Varianzhomogenität Levene-Test > levene. test ( data2.2$mw, data2.2$gui ) Wenn der p-wert über a = 0.05 liegt, muss die Hypothese gleicher Varianzen beibehalten werden. - OK TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 19 von 26

20 04 Kruskal-Wallis Test Voraussetzungen Was tun, wenn Voraussetzungen für t-test o.ä. nicht erfüllt sind? Es muss auf ein nichtparametrisches Testverfahren ausgewichen werden. Diese Testverfahren haben großzügigere Voraussetzungen - aber in der Regel eine geringere Teststärke (d.h. größeren Beta-Fehler). Als Beta-Fehler oder Fehler 2. Art wird beim statistischen Testen der Fehler bezeichnet, den man begeht, wenn man die Nullhypothese beibehält, obwohl die Alternativhypothese gilt. Typische Voraussetzungen für nichtparametrische Tests: Varianzhomogenität - OK Mindestens ordinale Skalierung - OK Unabhängige Daten - OK TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 20 von 26

21 04 Kruskal-Wallis Test Anwendung Die Nullhypothese (H0) lautet: Die unterschiedlichen Benutzeroberflächen haben keinen Einfluss auf den Mittelwert der Klassifizierungsgenauigkeit (MW). Die Nullhypothese wird mittels des Kruskal-Wallis Tests überprüft. Dieser nichtparametrische Test eignet sich für kleine Stichproben in Gruppen unterschiedlicher Größe, bei denen keine Normalverteilung nachgewiesen werden kann. > kruskal. test (MW~GUI, data2.2) Wenn der p-wert über a = 0.05 liegt, kann H0 nicht verworfen werden. Die Benutzeroberfläche hat dann also keine nachweisbare Auswirkung auf den Mittelwert der Klassifizierungsgenauigkeit. TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 21 von 26

22 05 Übungsaufgabe Dateneingabe 20 Studenten wurden einem Stresstest unterzogen. Dabei wurden Paare gebildet die sich in ihren bisherigen Prüfungsergebnissen möglichst ähnlich waren. Eine Gruppe wurde vor dem Test starkem Stress ausgesetzt die andere diente als Kontrollgruppe. Ihre Ergebnisse auf einer Skala von 0-15 Punkten (15 = bestes Ergebnis), sehen Sie in folgender Tabelle (fiktive Daten). Geben Sie die Daten mittels des folgenden Befehls in R ein. > stress <- data. frame (); fix ( stress ) TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 22 von 26

23 05 Übungsaufgabe Auftrag Führen Sie einen geeigneten t-test durch. Hinweise: Formulieren Sie eine sinnvoll gerichtete unspezifische Hypothese Achtung - es geht um die Differenzen der Paare Überprüfen Sie die Voraussetzungen für den t-test Annähernde Gaußverteilung der Paardifferenzen, es wird Robustheit des Tests gegenüber dem schief in der Box liegenden Median angenommen Schlagen Sie in der R-Hilfe die notwendigen Parameter für den t-test nach Gepaarte Daten, da Studentenpaare gebildet wurden, die sich möglichst ähnlich sein sollten. Art der Alternativhypothese...? TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 23 von 26

24 05 Übungsaufgabe Lösung = Gepaarter einseitiger t-test (die eine Studentengruppe wurde einem Stressprogramm ausgesetzt, was schlechtere Testergebnisse erwarten lässt). H0: µ Stress >= µ Normal - Die Stressbehandlung verschlechtert das Abschneiden der Probanden nicht. H1: µ Stress < µ Normal - Das Abschneiden der Probanden ist nach der Stressbehandlung schlechter. > unterschiede <- stress $ Stress - stress $ Normal > boxplot ( unterschiede ) # schief liegender Median > t. test ( stress $ Stress, stress $ Normal, paired = TRUE, alternative = " less ") # Achtung - Reihenfolge ist entscheidend, da einseitiger Test Der p-wert ( ) ist kleiner als 0.05, deshalb ist das Ergebnis signifkant. Die Stressbehandlung bewirkt ein verschlechtertes Abschneiden im Test. (Achtung: für die Übung wurden fiktive Daten verwendet)

25 05 Übungsaufgabe Zusatzaufgabe Warum können Sie ihre Hypothese nicht direkt mit einem Kruskal-Wallis-Test überpüfen? Wie müssen Sie sie dazu verändern? Führen Sie den Kruskal-Wallis Test durch. TU Dresden, R-Workshop: Inferenzstatistik Folie 25 von 26

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