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1 Kreis Grundsätzliche Überlegungen In dieser Lernumgebung sollten nicht allein Berechnungen von Umfang und Flächeninhalt im Vordergrund stehen. Kreise sollen als besondere geometrische Form erfahren und Grössenvorstellungen von Längen und Flächeninhalten gefestigt werden. Lernende haben oft Mühe mit dem Begriff Flächeninhalt. Sie verwechseln die Begriffe Länge bzw. Umfang und Flächeninhalt. Das hat verschiedene Gründe. Im Gegensatz zu fast allen anderen Grössen bringen Lernende nur wenige Vorerfahrungen im Umgang mit Flächen grössen aus dem täglichen Leben mit. Es ist daher wichtig, dass Standardrepräsentanten bereitgestellt und verankert werden. Nur so sind Lernende in der Lage, sinnvolle Schätzungen abzugeben. Flächenstücke werden in den Mathematikaufgaben oft nur als Linienfiguren präsentiert bzw. wahrgenommen. Das verleitet zur Verwechslung mit dem Umfang. Es empfiehlt sich, die Kreisflächen auch flächig zu präsentieren, indem die Flächenstücke farbig angemalt oder schraffiert werden oder die Kreise aus farbigem Papier ausgeschnitten werden. Im täglichen Leben werden Flächeninhalte so gut wie nie direkt gemessen, sondern fast immer aus gemessenen Längen berechnet. Um den Flächeninhaltsbegriff tragfähig zu vermitteln, müssen die Lernenden mit einem Messgerät einfache Flächengrössen direkt ausmessen können. Als Messgeräte eigenen sich Rasterfolien mit cmoder mm Quadraten. Durch Auszählen von Messquadraten festigen die Lernenden den Grössenbegriff der Fläche. Was sie mit diesem Messgerät messen, ist der Flächeninhalt etwa im Unterschied zum Umfang, für den man ein Längenmass benötigt. Die Flächenmessung kann auch durch Auslegen der Fläche mit Einheitsquadraten erfolgen. Die Lernenden müssen die folgenden Begriffe unterscheiden können: Ein Kreis ist eine geometrische Figur ( Punktmenge, Flächenstück). Der Umfang ist die Länge der Kreislinie (Randlinie der Kreisfläche). Der Flächeninhalt ist die Grösse (der Platz) der Kreisfläche. Ein weiteres Problem stellt die fehlende begriffliche Unterscheidung zwischen Figur und Grösse dar. Der Begriff «Fläche» wird sowohl für die Figur (also den Repräsentanten Flächenstück) als auch für seine Grösseneigenschaft «Flächeninhalt» verwendet. Beispielsweise sagen wir: Wie gross ist die Fläche des Kreises? Hier steht «Fläche» für den Grössenbegriff, also eigentlich für «Flächeninhalt». Sorgfältig müsste man formulieren: Wie gross ist der Flächeninhalt der Kreisfläche? Während stärkere Lernende die Bedeutung des Begriffs problemlos erkennen, ge lingt dies schwächeren Lernenden kaum. Es ist daher darauf zu achten, konsequent sprachlich präzis zu formulieren. Die Kreiszahl π soll experimentell ermittelt werden, indem die Lernenden von vielen kreisrunden Gegenständen den Umfang und den Durchmesser möglichst genau (eine praktische Herausforderung!) messen und den Quotienten u bestimmen. Die zweite experimentelle Art, die Kreiszahl π zu ermitteln, führt über den Flächeninhalt d mittels Auszählen von Zentimeterquadraten und Bestimmen des Quotienten A Voraussetzungen nmit dem Zirkel arbeiten können n n Proportionale Zuordnungen erkennen Längen und Flächenmasseinheiten kennen und eine Grössenvorstellung haben nkommaschreibweise kennen Zur Aufarbeitung nsachrechnen im Kopf 5/6 (Karteikarten) t r 2. Vernetzung Davor Schweizer Zahlenbuch 5 nzirkel und Geodreieck Schweizer Zahlenbuch 6 nornamente nfläche nkreismuster Kreisornamente mathbuch 1 nlu 1 Fünfer und Zehner nlu 4 So klein so gross! nlu 9 Flächen und Volumen nlu 20 Symmetrien und Winkel mathbuch 2 nlu 2 Terme für Umfang und Fläche t Danach mathbuch 2 nlu 19 Grundfläche Höhe

2 32 36 Kreis Mögliche Standortbestimmung Zur Heterogenität Auswahl von Schwerpunkten KV Kreis: Umfang und Flächeninhalt Aufgabe Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des Quadrates. -B Schätze die Länge des Kreisumfangs (rote Linie) und des Kreisflächeninhalts (gelbe Fläche). Erkläre, wie du vorgegangen bist. Mögliche Lösungen Der Umfang des Quadrates wird richtig bestimmt. Der Flächeninhalt des Quadrates wird richtig bestimmt. Die Grössenordnung der Kreisfläche stimmt (kleiner als 36 cm 2, grösser als 16 cm 2 ). Die Grössenordnung des Kreisumfangs stimmt (kleiner als 24 cm, grösser als 12 cm) Ich kann njemandem die Zahl π als Verhältniszahl erklären. nden Wert der Zahl π auf zwei Stellen nach dem Komma angeben. nden Umfang und die Fläche eines Kreises bei gegebenem Radius oder Durchmesser berechnen.

3 Kreis Mögliches Vorgehen Begriffe: Durchmesser, Kreisumfang, (Kreis-)radius, Verhältnis, Durchschnittswert, Näherungswert, Kreiszahl π, Fläche, Flächeninhalt, Figur Räder SB Aufgabe 1 Umfänge runder Gegenstände SB Aufgaben 2 4 KV Umfänge runder Gegenstände -B bm at e ria l Die Lernenden sollen ihre Lebenswelt erkunden und dabei entdecken, wo überall Räder vorkommen. Sie können die Räder oder Fotos von ihnen mitbringen und über die Anwendung bzw. den Nutzen diskutieren. Der Begriff «Durchschnittswert» und wie man ihn berechnet, muss geklärt werden. Es muss thematisiert werden, dass das Verhältnis Umfang zu Durchmesser proportional ist, das heisst: je grösser der Durchmesser, desto grösser der Umfang. durch Termumformung bei bekanntem Radius der Umfang berechnet werden kann. _u_ = π u=π d d der Durchmesser der doppelte Radius ist. Der Umfang kann nun entweder mit u = π d oder u = π 2 r berechnet werden. ie rt es Vo ra Geschwungene Linien AH Aufgabe 1 KV Geschwungene Linien Konstruiere den Mittelpunkt M. Miss den Durchmesser d. Berechne den Umfang u. rig Aufgabe 2 -B U nk or Um den Mittelpunkt eines Kreises zu konstruieren, können die Erkenntnisse aus mb2, LU 11 Dreiecke Vierecke ( KV Abstand zwischen zwei Punkten, B 11 04) nochmals aufgegriffen werden. Aufgabe 3 Die geschwungenen Linien sind aus Halbkreisen zusammengesetzt. Male gleich lange Halbkreislinien mit derselben Farbe an. Überlege, wie die Linien konstruiert sind und berechne ihre Länge. Die Lernenden sollen in den Figuren mit dem Zirkel den Mittelpunkt suchen und die Durch messer mit Bleistift einzeichnen und messen.

4 34 38 Kreis Kreise auf Quadratraster SB Aufgabe 6 -B KV Kreise auf Quadratraster KV Karopapier 1 cm SB Aufgabe 10 Aufgabe 1 Aufgabe 2 Zeichne auf das Quadratzentimeterpapier verschieden grosse Kreise und dazu passende Radiusquadrate wie in der Skizze. Bestimme durch Auszählen der Häuschen die Flächeninhalte der Kreise möglichst genau. Ergänze die Tabelle. Was stellst du fest? Die Tabelle kann auch gemeinsam mit der Klasse erstellt werden, indem die Lernenden unterschiedlich grosse Kreise zeichnen und die Häuschen auszählen. Zur Unterstützung können die Lernenden auch Farben verwenden. Beispielsweise können sie alle ganzen Häuschen mit einer Farbe anmalen, die «angeschnittenen» Häuschen mit einer anderen. Oder sie können für diejenigen angeschnittenen Häuschen, welche zusammen ein ganzes Häuschen ergeben, dieselbe Farbe verwenden. Die Berechnung von Quadratflächen sowie die Masseinheiten von Flächeninhalten müssen hier nochmals aufgegriffen werden. Ebenso soll thematisiert werden, dass r r = r 2 und die Zahlen in der Spalte A Q Quadratzahlen sind. Die in den Skizzen ersichtlichen Flächeninhalte sollen miteinander verglichen und wahre Aussagen formuliert werden: Der Flächeninhalt des Kreises ist π mal so gross wie das Radiusquadrat. Der Flächeninhalt des umschriebenen Quadrats ist viermal so gross wie der Flächeninhalt des Radiusquadrats. Der Flächeninhalt des Kreises ist nicht ganz ein Radiusquadrat kleiner als das umschriebene Quadrat. Der Flächeninhalt der «Reststücke» zwischen dem Kreis und dem umschriebenen Quadrat entspricht nicht ganz dem Flächeninhalt eines Radiusquadrats. Wenn die Skizzen in mehrfacher Ausführung auf unterschiedlich farbigem Papier vorhanden sind, können die einzelnen Flächenteile auch ausgeschnitten und übereinandergelegt werden. Berechne für die verschiedenen Kreise aus Aufgabe 2 den Flächeninhalt mit π. Vergleiche sie mit den Flächeninhalten, welche du durch Auszählen der Häuschen erhalten hast. Die Formel zur Berechnung der Kreisfläche muss gemeinsam erarbeitet werden. Die Tabelle kann zur Repetition von Dezimalzahlen und zum Argumentieren genutzt werden. Beispielsweise können folgende Fragen erörtert werden: Bei welchem Wert ist die Differenz am kleinsten, wo am grössten? Was passiert, wenn man für die Zahl π unterschiedlich genaue Werte einsetzt? Bei welcher Kreisfläche wirkt sich das am meisten aus, bei welcher am wenigsten? Warum? Zur Geschichte der Kreiszahl π e Diese Aufgabe muss nicht von allen Lernenden bearbeitet werden. Die Bedeutung von 2 und der Begriff Näherungswert müssen geklärt werden. In Aufgabe 10 können die Näherungswerte mit dem Taschenrechner berechnet werden. In Aufgabe 10 B muss die Sprechweise und Bedeutung des «hoch 2» geklärt werden: ( 16 9 )2 = ( 16 ) ( 16 ) = (16 : 9) (16 : 9) = 16 : 9 16 : In Aufgabe 10 E soll die Wurzel als Umkehroperation des Quadrierens erläutert werden: Gesucht ist eine Zahl, welche mit sich selber multipliziert 10 ergibt. Durch Schätzen werden die Lernenden darauf kommen, dass die Zahl etwas grösser als 3 sein muss. Nach Berechnung mit dem Taschenrechner kann das Ergebnis zur Kontrolle quadriert werden.

5 Kreis SB Aufgabe 11 AH Aufgaben 6 und 7 Kreisberechnungen mit π KV Kreisberechnungen mit π -B Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Bestimme den Durchmesser und den Radius einiger kreisförmiger Figuren möglichst genau. Runde die Werte dann auf ganze Zahlen. Berechne den Umfang u und den Flächeninhalt A mit π = 3, π = 3,14 und dem π-wert deines Rechners. Schätzen und Überschlagsrechnen dienen zur Überprüfung der mit dem Taschenrechner berechneten Werte bzw. dem raschen Abschätzen von Längen und Flächeninhalten. Schwächere Lernende haben Mühe mit Grössenvorstellungen. Sie merken oft nicht, wenn die Grössendimension eines mit dem Taschenrechner berechneten Ergebnisses völlig unrealistisch ist. Es sollen daher in dieser Aufgabe kreisförmige Figuren aus dem Alltag beigezogen werden, damit die Lernenden Grössenvorstellungen von Umfangslängen und Flächeninhalten von Kreisen entwickeln bzw. festigen können. Denn Schätzen heisst vergleichen mit Bekanntem. Der Ausdruck «auf ganze Zahlen runden» muss geklärt werden. «Runden auf» kann auch abrunden bedeuten. Die Rundungsregeln müssen eventuell nochmals repetiert werden. Berechne mit dem TR zu den Kreisen die fehlenden Grössen in der Tabelle. Bevor die Lernenden die Ergebnisse mit dem Taschenrechner rechnen, sollen sie in Worten beschreiben, wie sie vorgehen. Beispielsweise: Radius mal 2 ergibt den Durchmesser. Durchmesser mal π ergibt den Umfang. Radius mal Radius mal π ergibt den Flächeninhalt. Durchmesser geteilt durch 2 ergibt den Radius. Umfang geteilt durch π ergibt den Durchmesser. Es muss besprochen werden, in welcher Reihenfolge vorgegangen werden muss, um die fehlenden Werte in der Tabelle zu finden. Die sprachlich formulierten Aussagen können dann auch symbolisch (mit Variablen) dargestellt werden. 2 r = d r r π = A d : 2 = r oder d = r 2 u : π = d oder u π = d Sind die Werte berechnet und die Tabelle ausgefüllt, soll die Frage erörtert werden, ob das stimmen kann, indem Zusammenhänge erklärt und/oder Vergleiche zwischen den Ergebnissen aufgestellt werden. Schätze und berechne den Anteil der blauen Fläche an der Gesamtfläche. Es muss vorgängig die Strategie besprochen werden.

6 40 36 Kreis Schwierigkeiten Einige Lernende haben Schwierigkeiten, mit dem Zirkel umzugehen. haben Schwierigkeiten, sich Fachbegriffe (Radius, Durchmesser, Umfang, Flächeninhalt) zu merken oder diese zu unterscheiden. verwechseln Längen mit Flächeninhalten. haben keine Grössenvorstellung von Längen und Flächenmassen. haben Schwierigkeiten mit den Termumformungen. vergessen Formeln oder verwechseln sie. Förderhinweise Kreisflächen farbig anmalen oder ausschneiden. Massbezeichnungen mm, cm, dm, m bzw. mm 2, cm 2, dm 2, m 2 besprechen. Kreisförmige Figuren im Alltag suchen. Länge des Umfangs mittels Schnur oder Schneidermessband ermitteln. Quadratzentimeterpapier auf Transparentfolie kopieren und über die Kreisflächen legen oder bei grösseren Figuren Kreisfläche mit Dezimeterquadraten auslegen. Grössenvorstellungen von Flächeninhalten festigen: verschieden grosse Flächeninhalte schätzen und miteinander vergleichen. Flächeninhalte von Kreisen mittels umschriebenem Quadrat schätzen. d Die Kreisfläche beträgt etwa 3 vom Durchmesserquadrat oder A d2 das Dreifache vom Radiusquadrat: A 3 r² Für den Umfang (= Länge der Kreislinie) durch Betrachtung und Abschätzung möglicher Wege eine erste grobe Abschätzung gewinnen: F Y E A M Weg 1: Von A über M bis D und wieder auf gleichem Weg zurück (schwarz). Weg 2: Von A über B, X, C, D, E, Y, F entlang dem Aussenquadrat wieder zurück zu A (blau). B X C Weg 3: Von A über X, D, Y entlang der Kreislinie einmal rund herum wieder zurück bis A (rot). Der Umfang des Kreises (Weg 3) ist länger als 2 d (Weg 1) aber kürzer als 4 d (Weg 2), also etwa 3 d. Der Umfang eines Kreises beträgt etwa das Dreifache vom Durchmesser bzw. u 3 d. Zu gegebenen Radien oder Durchmessern den Umfang und den Flächeninhalt zuerst mit diesen Faustformeln im Überschlag berechnen und eventuell anschliessend mit dem Taschenrechner genau berechnen. Eine Übersicht erstellen, in der die Zusammenhänge beim Kreis noch einmal in Kurzform dargestellt sind. Mithilfe dieser Übersicht ist es leicht möglich, zu gegebener Kreisfläche z. B. den Kreisumfang zu ermitteln. D Zusammenhänge am Kreis u d r A r² u π 2 x 2 π d r r 2 A : π

7 Kreis Mögliche Lernsicherung Aufgabe Rechentraining Rechentraining online zum mathbuch 2 nweitere Aufgaben: Grundanforderungen (B317 01) Wie lang sind ungefähr die Umfänge der beiden Kreise? Rechne ohne Taschenrechner. Erkläre, wie du vorgegangen bist. Schätze die Flächeninhalte der beiden Kreise. Erkläre, wie du vorgegangen bist. Berechne die Umfänge und die Flächeninhalte der beiden Kreise nun mit dem Taschenrechner. Mögliche Anforderungen Die Masseinheiten sind korrekt. Die Umfänge der beiden Kreise werden richtig angegeben. Kreis 1: u 3 2 cm = 6 cm Kreis 2 : u 3 4 cm = 8 cm Die Flächeninhalte der Kreise werden richtig geschätzt. A Kreis1 3 (1 cm) 2 = 3 cm 2 A Kreis2 3 (2 cm) 2 = 12 cm 2 Umfänge und Flächeninhalte werden korrekt mit dem TR berechnet.