Über das Beweisen. Stefan Geschke. 19. Mai 2010

Transkript

1 19. Mai 2010

2 Mathematik und Physik seit der Antike Wir vergleichen kurz die Geschichte von Mathematik und Physik seit der Antike. Die Physik steht dabei stellvertretend für andere Naturwissenschaften.

3 Mathematik und Physik seit der Antike Einsteins Relativita tstheorie Aristoteles (384 v. Chr. bis 322 v. Chr.), einer der einflussreichsten Philosophen der Geschichte U ber das Beweisen

4 Die Bewegungslehre des Aristoteles Für Aristoteles gab es zwei Sorten von Bewegungen: Natürliche Bewegungen (leichte Dinge streben nach oben, wie zum Beispiel Luftblasen im Wasser, schwere Dinge streben nach unten, Himmelskörper bewegen sich auf Kreisbahnen) und erzwungene Bewegungen (Laufen, Wurf) Erzwungene Bewegungen bedürfen der ununterbrochenen Einwirkung von Kraft.

5 Nach Aristoteles sind erzwungene Bewegungen im Vakuum unmöglich. Er begründete damit die Absurdität desselben. gründet auf der Geometrie und war die vorherrschende Lehrmeinung bis über das Mittelalter hinaus. Sie geriet jedoch zunehmend in Kritik (13. und 14. Jahrhundert), weil sie die beobachteten Flugbahnen von geworfenden Gegenständen nicht erklären konnte.

6 Flugbahn eines Geschosses nach Avicenna (11. Jahrhundert)

7 Flugbahn eines Geschosses nach Albert von Rickmersdorf (14. Jahrhundert)

8 Isaac Newton (1643 bis 1727), englischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Alchemist, Philosoph und Verwaltungsbeamter

9 Galilei (1564 bis 1642) diskutiert Bewegungen unter idealen Bedingungen, d.h., ohne Reibung, und formuliert einen Trägheitssatz. Isaac Newton begründet die klassische Mechanik, formuliert das Gravitationsgesetz und erfindet die Differentialrechnung, auf deren Grundlage sich Bewegungen von Massepunkten unter Einfluss von Kräften beschreiben lassen. Gemäß der Newtonschen Mechanik bewegen sich Massepunkte um ein Massezentrum auf Kegelschnitten (Parabeln, Hyperbeln und Ellipsen). Newton löst damit insbesondere das Problem der elliptischen Planetenbahnen.

10 Albert Einstein (1879 bis 1955), theoretischer Physiker, Begründer der Relativitätstheorie

11 Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelte Albert Einstein die spezielle Relativitätstheorie (1905) und die allgemeine Relativitätstheorie (1915). Die Grundlage der speziellen Relativitätstheorie ist die Gleichberechtigung sämtlicher gleichförmig bewegter Bezugssysteme sowie die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in diesen Systemen. Es ergibt sich, dass sich keine zwei Teilchen mit einer Geschwindigkeit aufeinander zu oder voneinander weg bewegen können, die oberhalb der Lichtgeschwindigkeit liegt. Ein Körper, dessen Geschwindigkeit sich der Lichtgeschwindigkeit annähert, nimmt an Masse zu.

12 Eine der wichtigsten Folgerungen der speziellen Relativitätstheorie ist die Äquivalenz von Masse und Energie gemäß der Formel E = mc 2. Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie ist zusätzlich die Gleichberechtigung aller beschleunigten Bezugssysteme. Die allgemeine Relativitätstheorie kann als Theorie der Gravitation interpretiert werden. Nach ihr bestimmt die Masseverteilung im Weltall die Geometrie der vierdimensionalen Raumzeit. Für makroskopische Körper liefert die Newtonsche Mechanik im Bereich irdischer Geschwindigkeiten Vorhersagen, die sehr nahe an denen der Relativitätstheorie liegen.

13 Euklid von Alexandria (geb. vermutlich um 360 v. Chr.)

14 Euklid wurde berühmt durch 13 Lehrbücher, die Elemente, in denen er das damalige Wissen zur Mathematik zusammenfasste. Die Elemente enthalten Kapitel über Geometrie und Zahlentheorie. die Bücher waren teilweise bis ins 20. Jahrhundert hinein Grundlage des Geometrieunterrichts. Euklid erfand den Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen und zeigte, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

15 Die Elemente beginnen mit Definitionen der betrachteten Objekte. Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Eine Linie ist eine breitenlose Länge. Eine Gerade ist eine Linie, die bezüglich der Punkte auf ihr stets gleich liegt. Weitere Definitionen von Begriffen wie Ebene, Winkel und so weiter.

16 Nach den Definitionen folgen fünf Postulate. Es wird gefordert, dass man von jedem Punkt zu jedem Punkt eine Strecke ziehen könne, dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern könne, dass man mit jedem Mittelpunkt und jedem Radius einen Kreis zeichnen könne, dass alle rechten Winkel zueinander gleich seien, dass zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb dieser Geraden genau eine Gerade durch den Punkt existieren dürfte, die parallel zur ersten Gerade ist (Parallelenpostulat).

17 An die Postulate schließen sich mehrere logische Axiome an, zum Beispiel folgende: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich. Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, so sind die Ganzen gleich. Wenn Gleichem Gleiches weggenommen wird, so sind die Reste gleich.

18 Hierauf aufbauend behandelt Euklid nun Probleme, wie zum Beispiel Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck errichten, und Theoreme, wie zum Beispiel Wenn in einem Dreieck zwei Winkel zueinander gleich sind, müssen auch die den Winkeln gegenüber liegenden Seiten einander gleich sein. Die Lösungen der Probleme und die Theoreme werden dabei aus den Postulaten und Axiomen abgeleitet. Die Schlüsse verwenden jedoch notgedrungen einige unausgesprochene Annahmen, da das Axiomensystem unvollständig ist.

19 Beispiel eines Theorems in n ist der bekannte Satz des Pythagoras. Satz (Pythagoras) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Längen der Katheten gleich dem Quadrat der Länge der Hypothenuse. Wir führen einen geometrischen Beweis des Satzes, der dem ersten von Euklid angegebenen Beweis recht ähnlich ist.

20 Es sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten BC und CA sowie der Hypothenuse AB gegeben.

21 Wir scheren nun das Quadrat über der Kathete CA entlag der Geraden durch die Punkte B und C bis auf die Hypothenuse AB.

22 Dann drehen wir das entstandene Parallelogramm um den Punkt A und

23 scheren es bis auf die Basis des Hypothenusenquadrats

24 Analog verfahren wir mit dem Quadrat über der Kathete BC.

25

26 Die beiden entstandenen Rechtecke schneiden sich nicht und füllen zusammen genau das Quadrat über der Hypothenuse aus.

27 Die Euklidische Geometrie hat bis in die heutige Zeit wenig an Bedeutung eingebüßt und wird immer noch als korrekt anerkannt. Es war lange Zeit unklar, ob das Parallelenpostulat aus den anderen Postulaten folgt. Anfang des 19. Jahrhunderts fanden man Beipiele sogenannter nichteuklidischer Geometrien, in denen das Parallelenpostulat nicht gilt. Newton entwickelte im Rahmen seiner Mechanik auch die Differentialrechnung. Eine Kombination von Geometrie und Differentialrechnung, die Differentialgeometrie spielt eine wesentliche Rolle in der allgemeinen Relativitätstheorie.

28 Eine physikalische Theorie ist typischer Weise eine mathematische Modellierung der wirklichen Welt. Eine solche Theorie sollte Vorhersagen machen, die sich überprüfen lassen. Sie lässt sich dann experimentell bestätigen oder widerlegen, nicht aber im eigentlichen Sinne beweisen.

29 Eine mathematische Theorie besteht aus gewissen grundlegenden Annahmen, den Axiomen (bzw. den Postulaten bei Euklid) und Folgerungen aus diesen Axiomen. Diese Folgerungen lassen sich im Rahmen des jeweiligen Axiomensystems beweisen. Eine korrekt bewiesene Folgerung wird sich niemals als falsch herausstellen. Es ist aber möglich, dass sich ein Axiomensystem als unsinnig, also zum Beispiel als widersprüchlich, herausstellt.

30 Der Cantorsche Mengenbegriff Die Grundlagenkrise Wege aus der Krise

31 Der Cantorsche Mengenbegriff Die Grundlagenkrise Wege aus der Krise Georg Cantor ( ) deutscher Mathematiker, Begründer der Mengenlehre.

32 Der Cantorsche Mengenbegriff Die Grundlagenkrise Wege aus der Krise Der Cantorsche Mengenbegriff Cantor führte den folgenden Mengenbegriff ein: Eine Menge ist die Zusammenfassung von Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens Die in der Mathematik betrachteten abstrakten Objekte lassen sich, bei geeigneter Definition, alle als Mengen in diesem Sinne auffassen. Heute nennt man die Cantorschen Mengen Klassen und hebt sich den Begriff Menge für spezielle Klassen auf. Frege lieferte eine Axiomatisierung von Cantors Mengenlehre.

33 Der Cantorsche Mengenbegriff Die Grundlagenkrise Wege aus der Krise Bertrand Russell ( ), britischer Logiker, Philosoph, Schriftsteller und Pazifist.

34 Der Cantorsche Mengenbegriff Die Grundlagenkrise Wege aus der Krise Die Grundlagenkrise Satz (Russellsche Antinomie) Der Cantorsche Mengenbegriff (bzw. Freges Axiomatisierung der Mengenlehre) führt zu einem Widerspruch. Beweis. Im Cantorschen Sinne ist die Klasse V aller Mengen eine Menge. Betrachte die nun Menge R = {x V : x x}. Ist R R, so folgt R R, und umgekehrt. Ein Widerspruch.

35 Der Cantorsche Mengenbegriff Die Grundlagenkrise Wege aus der Krise Wege aus der Krise Nach dem Bekanntwerden von Widersprüchen wie der Russellschen Antinomie kurz nach 1900 gab es verschiedene Ansätze diese Widersprüche zu vermeiden: Die Russellsche Typentheorie (siehe auch Principia Mathematicae von Russell und Whitehead) Die Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre, die Grundlage der heutigen Mathematik Einige weitere Theorien

36 Ziel des Programmes Formales Beweisen Grenzen des Hilbertschen Programmes

37 Ziel des Programmes Formales Beweisen Grenzen des Hilbertschen Programmes David Hilbert ( ), einer der bedeutendsten deutschen Mathematiker

38 Ziel des Programmes Formales Beweisen Grenzen des Hilbertschen Programmes Ziel des Programmes Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können (Hilbert) Ziel des Hilbertschen Programmes ist es, eine Axiomatisierung der Mathematik zu finden, deren Widerspruchsfreiheit man zeigen kann und in der sich jeder wahre mathematische Satz streng formal beweisen lässt. Als geeignetes Axiomensystem wird heute allgemein die Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre betrachtet.

39 Ziel des Programmes Formales Beweisen Grenzen des Hilbertschen Programmes Formales Beweisen Im Rahmen des Hilbertschen Programmes wurde der Begriff des formalen Beweises geschaffen. Hilbert selbst war daran maßgeblich beteiligt. Ein formaler Beweis einer Aussage ϕ aus einer Menge A von Axiomen ist eine endliche Folge von Formeln, die mit ϕ endet, wobei jede Formel in dieser endlichen Folge entweder ein Axiom ist oder durch Anwendung einer Schlussregel aus den vorher in der endlichen Folge auftretenden Formeln folgt. Formale Beweise lassen sich mit dem Computer überprüfen und typischer Weise auch von Computern finden, wobei letzteres aber im Allgemeinen nicht praktikabel ist, da es einfach zu lange dauert.

40 Ziel des Programmes Formales Beweisen Grenzen des Hilbertschen Programmes Beispiel einer Schlussregel: ϕ ψ ψ ϕ (Modus Ponens) Wenn ψ aus ϕ folgt und ϕ gilt, dann gilt auch ψ. Beispiel eines Axioms: x y(x + y = 0) Dieses Axiom gilt zum Beispiel für die reellen Zahlen: für jede reelle Zahl x existiert eine reelle Zahl y mit x + y = 0. Wähle nämlich y als x.

41 Ziel des Programmes Formales Beweisen Grenzen des Hilbertschen Programmes Die mathematische Logik ist die Disziplin innerhalb der Mathematik, deren Untersuchungsgegenstand (unter anderem) das Beweisen als solches ist. Das wichtigste Resultat der mathematischen Logik, in gewisser Weise der Höhepunkt des Hilbertschen Programmes, ist der 1929 von Gödel bewiesene Vollständigkeitssatz. Satz (Vollständigkeitssatz) Eine Aussage ϕ lässt sich genau dann aus einem Axiomensystems A formal beweisen, wenn ϕ in jeder Struktur gilt, die alle Axiome von A erfüllt.

42 Ziel des Programmes Formales Beweisen Grenzen des Hilbertschen Programmes Kurt Gödel ( ), der bedeutendste Logiker des 20. Jahrhunderts

43 Ziel des Programmes Formales Beweisen Grenzen des Hilbertschen Programmes Grenzen des Hilbertschen Programmes Satz (Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz) Für jedes sinnvolle Axiomensystem einer Theorie, die mindestens so stark ist wie die Arithmetik, gibt es Aussagen, die sich in dem Axiomensystem weder beweisen noch widerlegen lassen. Satz (Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz) Sei A ein sinnvolles Axiomensystem einer Theorie, in der sich zumindest Arithmetik betreiben lässt. Dann lässt sich in dem Axiomensystem A Widerspruchsfreiheit von A ausdrücken, aber nicht beweisen.

44 Das Konzept des Beweises ist es, was die Mathematik sowohl von den Naturwissenschaften als auch von den Geisteswissenschaften unterscheidet. im ursprünglichen Sinne ist wegen der Unvollständigkeitssätze undurchführbar.

45 Heute zweifelt jedoch kaum ein Mathematiker ernsthaft an der Widerspruchsfreiheit der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre. Eine mathematische Aussage wird als korrekt akzeptiert, wenn sie sich in diesem System formal beweisen lässt. Es gibt aber von kompetenten Mathematikern vertretene Strömungen, die verschiedene Aspekte der in der Mathematik üblichen Schlussweisen ablehnen, zum Beispiel Konstruktivismus und Ultrafinitismus (Brouwer, Troelstra, Esenin-Volpin, Zeilberger).