a) homogene Strömung in einem zylindrischen Leiter mit sehr gut leitenden Anschlußplatten κ 1 κ 2

Transkript

1 - Grundlagen der Elektrotechnik Ohmsches Gesetz in Differentialform 11/00 Kompliziertere Strukturen: ( ) gilt nur, wenn viel größer ist als die Querschnittsabmessung, und wenn A längs des Leiters konstant ist. st dies nicht der Fall, ist die Widerstandsberechnung komplizierter, da keine homogene Strömung vorliegt. n solchen Fällen macht man häufig nur eine überschlagsmäßige Widerstandsberechnung zum Gewinn eines Anhaltswertes. Den genauen Widerstandswert ermittelt man durch Messung. a) homogene Strömung in einem zylindrischen Leiter mit sehr gut leitenden Anschlußplatten κ 1 Stromlinien κ 2 κ > 2 > κ 1 b) inhomogene Strömung in einem zylindrischen Leiter mit punktförmigen Anschlüssen κ 1 Stromlinien m Bereich der inhomogenen Strömung kann man den Widerstand nicht mehr nach ( ) berechnen. Zur Widerstandsberechnung sind genauere ntersuchungen über den Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldstärke E und der Stromdichte S erforderlich, die zum ohmschen Gesetz in Differentialform führen. Der Widerstand ist größer als der im idealen Fall a) berechnete und strebt im Grenzfall für beliebig kleine Anschlußflächen gegen unendlich.

2 - Grundlagen der Elektrotechnik Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke E und Stromdichte S: Es wird homogene Strömung vorausgesetzt. A Für die elektrische Feldstärke (Spannung pro Länge) gilt E =. ( ) Für die Stromdichte erhält man S =. ( ) A Hieraus: E S = A = A = A κa = 1, κ S= κ E E = ρ S, ( ). ( )

3 - Grundlagen der Elektrotechnik Das ohmsche Gesetz in Differentialform: Gegeben sei ein differentieller Würfel aus leitendem Material, an dem die Spannungen d x, d y und d z auftreten. d y y d z dz dx d y x,y,z dy d x d z κ z d x x Mit Gleichung ( ) läßt sich ein Zusammenhang für die differentiellen Ströme und Spannungen finden: d d d x y z κdydz d x d x = d x Sx = = κ = κ E x, dx dydz dx κdxdz d y d y = d y Sy = = κ = κ E y, dy dxdz dy κdxdy d z d z = d z Sz = = κ = κ E z dz dxdy dz. Hieraus erhält man in vektorieller Darstellung 3 S = κ E, ( ) E =ρs. ( ) 3 Analog zur elektrischen Leistung P läßt sich mit ( ,5) eine Leistung pro Volumen definieren dp dv S E S 2 E 2 dp W = = ρ = κ, dv = 3. m

4 - Grundlagen der Elektrotechnik Gesamtwiderstand eines Körpers mit inhomogener Strömung: 01/01 Gegeben sei ein unregelmäßig geformter Körper mit inhomogener Strömung. 0 x κ 1 s A κ 2 κ > 2 > κ 1 Allgemein gilt = Ú Ed s. ( ) s m obigen Beispiel kann das ntegral zum Beispiel durch = Ú x= 0 E x dx ausgewertet werden. Nach ( ) ergibt sich durch ( ) Ú Ú. = S + S + S cos j da = k E + E + E cos j da A x y z x y z A Somit gilt R ÚEds ÚEds = = s s = SdA k E + E + E cos j da. ( ) Ú A Ú A x y z Aus ( ) erkennt man, daß bei der Widerstandsberechnung für kompliziertere Körper zuerst das elektrische Feld E bzw. die ortsabhängige vektorielle Stromdichte S berechnet werden muß.

5 - Grundlagen der Elektrotechnik Widerstand realer Bauelemente 5/ Temperaturabhängigkeit Der lineare Zusammenhang zwischen Strom und Spannung nach ( ) und ( ) ist bei realen Materialien nur gegeben, wenn die Temperatur des Leiters konstant ist. Wirkung von Temperaturerhöhung: 1) Wärmebewegung der Atome bzw. Moleküle wird größer, daher erschwerter Durchgang für die freien Elektronen. Der Widerstand wird höher. Dies ist bei den meisten Stoffen so. 2) Durch Wärme werden zusätzliche Ladungsträger frei. Der Widerstand wird geringer. Beschreibung der Temperaturabhängigkeit: Der Widerstand ist eine i.a. komplizierte Funktion der Temperatur. Diese Funktion kann man in eine Potenzreihe entwickeln. n erster Näherung ist die Widerstandsänderung proportional zur Temperaturänderung, so daß man schreiben kann α = R 1 + ( ϑ / C 20), ( ) 20 (1 K) R 20 R 20: Widerstand bei 20 C, α 20 : Temperaturbeiwert für 20 C, Einheit 1/K, ϑ : Temperatur, Einheit C. α 20 ist aus Tabellen zu entnehmen. Bei den meisten Metallen ist α 20 0,004 K, d.h. der Widerstand steigt pro 1K Temperaturerhöhung um 0,4 % des Wertes bei 20 C. Gewisse Legierungen haben eine sehr geringe Temperaturabhängigkeit, z.b. Konstantan α 3, = K.

6 - Grundlagen der Elektrotechnik R R 20 Näherung nach ( ) α > ϑ/ C Heißleiter/NTC-Thermistoren : Stoffe mit betragsmäßig sehr großem negativen Temperaturbeiwert (z.b. α 20 = 004, K) werden Heißleiter genannt. Sie sind bei Raumtemperatur praktisch Nichtleiter, bei einigen hundert C jedoch mäßig gute Leiter (Kupferoxid, randioxid). Der Widerstand des Heißleiters folgt der Beziehung 1 1 B T TN R = R e N, ( ) T N = 293 K, B = 2000 K K. Anwendung findet er zur Kompensation der Widerstandsänderung von Stoffen mit positivem Temperaturbeiwert, zur Einschaltstrombegrenzung und zur Temperaturmessung.

7 - Grundlagen der Elektrotechnik Kaltleiter/PTC-Thermistoren: Stoffe mit betragsmäßig sehr großem positiven Temperaturbeiwert werden Kaltleiter genannt. Eine typische Kaltleiterkennlinie ist im folgenden Bild gezeigt. R KL /Ω T C ϑ/ C T c wird Curietemperatur genannt. Der Kaltleitereffekt entsteht durch ein Zusammenwirken von Halbleitung und Ferroelektrizität in Titankeramik (z.b. BaTiO 3 ). Supraleiter: Bei gewissen Stoffen springt der Widerstand bei Temperaturerniedrigung bis in die Nähe des absoluten Nullpunktes auf unmeßbar niedrige Werte. Bei Blei liegt die typische Sprungtemperatur bei 7,26 K. Johannes Georg Bednorz und Karl Alexander Müller gelang es Anfang der 80er Jahre, Keramiken zu finden, bei denen die Sprungtemperatur bei 75,2 K bis zu 125 K liegen. Solche Temperaturen sind schon durch Kühlung mit flüssigem Stickstoff erreichbar. Für ihre Arbeit erhielten Johannes Georg Bednorz und Karl Alexander Müller 1987 den Nobelpreis für Physik.

8 - Grundlagen der Elektrotechnik R Sprungtemperatur T Temperaturmessung aufgrund thermischer Widerstandsänderung: Anzeige ϑ Auswertung R Widerstandsmessung R, α Flüssigkeit unbekannter Temperatur ϑ Widerstand mit bekannten Größen R 20 und α20 Durch Auflösen von ( ) nach ϑ erhält man 1 R ϑ C = ( ) α C R 20 Die Temperatur ϑ wird dadurch ermittelt, daß man den Widerstand R mißt und diesen zusammen mit den bekannten Größen α 20 und R 20 in ( ) einsetzt. Der Widerstandsmesser kann auch unmittelbar in C kalibriert sein.

9 - Grundlagen der Elektrotechnik Genaueres Berechnen der Temperaturabhängigkeit: 5/99 Die lineare Temperaturabhängigkeit ( ) gilt nur in einem gewissen Temperaturbereich hinreichend exakt ( ϑ 200 C ). Bei höheren Temperaturen ist eine Ergänzung von ( ) erforderlich: α 20 β20 R = R (/ 1 C) (/ 1 C) ( ϑ C 20) + ( 2 ϑ 2 C 20), ( ) R 20: α 20: Widerstand bei 20 C, Temperaturbeiwert für 20 C, Einheit 1/K. β 20: Quadratischer Temperaturbeiwert für 20 C, Einheit (1/K) 2, ϑ : Temperatur, Einheit C. R R 20 a 20 > 0 β 20 > 0 20 ϑ/ C

10 - Grundlagen der Elektrotechnik Nichtlineare Widerstände Hält man die Temperatur z.b. eines Leiters aus Metall oder Kohle konstant, so ergibt sich für ihn ein konstanter Wert für den Widerstand R und für den Leitwert G. Man hat die Proportionalität nach ( ) und ( ), d.h., es liegt ein linearer Widerstand vor. Ein einfaches Beispiel eines nichtlinearen Widerstands ergibt sich aufgrund der stromabhängigen Erwärmung von Widerständen. Durch den Stromfluß entsteht Wärme, und zwar umso mehr, je größer der Strom ist. Führt man diese Wärme nicht vollständig ab, so steigt z.b. bei einem metallischen Leiter mit zunehmendem Strom der Widerstand R, so daß nicht mehr proportional mit wächst. Man hat einen nichtlinearen Widerstand. linearer Widerstand nichtlinearer Widerstand

11 - Grundlagen der Elektrotechnik Halbleiterdiode: 11/00 Eine Halbleiterdiode besteht aus einer p-dotierten und einer n-dotierten Halbleiterschicht, siehe p-halbleiter n-halbleiter Wird die p-dotierte Schicht an den Pluspol, die n-dotierte Schicht an den Minuspol einer Spannungsquelle angeschlossen, so fließt durch die Diode ein Strom. m umgekehrten Fall werden aus der Grenzschicht zwischen p- und n-halbleiter die Ladungsträger abgezogen. Es entsteht eine Sperrschicht, so daß praktisch kein Strom fließen kann. Bei sehr hoher Spannung in Sperrichtung kommt es aufgrund des Zenereffekts wieder zu einem starken Stromanstieg. Aus umfangreichen theoretischen Betrachtungen folgt für die ideale Kennlinie einer Halbleiterdiode im Durchlaßbereich ( 0 ) Ê =RS 1-e Á Ë T ˆ, ( ) RS : Sperrsättigungsstrom, RS < 0, kt = : Temperaturspannung, T e k=1, Ws / K : Boltzmannkonstante. m Sperrbereich ( < 0 ) bestimmen verschiedene Durchbruchmechanismen die Kennlinie einer Halbleiterdiode. 1. Zenereffekt: Erzeugung von freien Ladungsträgern in starken elektrischen Feldern, Feld- emission bei mittlerer Dotierung 2. Lawineneffekt: Ladungsträger nehmen soviel Energie auf, daß sie bei einem Stoß mit gebundenen Ladungsträgern neue freie Ladungsträger erzeugen können, schwache Dotierung Beide Effekte werden in Zener- bzw. Lawinendioden ausgenutzt. Für Durchbruchspannungen z <5 V dominiert der Zenereffekt, ansonsten der Lawineneffekt.

12 - Grundlagen der Elektrotechnik Lawinendiode Zenerdiode z Rückwärtsdiode Mit Hilfe von Zenerdioden läßt sich z.b.. eine Spannungsstabilisierung realisieren. R v G 0 = V R Last Last = 5 V = const z = - 5 V Die Spannung an der Last bleibt trotz instabiler Quelle ( 0 = V ) konstant. Bei sehr hoher Dotierung zeigt die Halbleiterdiode ein spezielles Verhalten im Durchlaßbereich. Man erhält eine Tunneldiode, deren Kennlinie im folgenden Bild skizziert ist. Tunneldioden kommen beispielsweise zum Entdämpfen von Schwingkreisen zum Einsatz.

13 - Grundlagen der Elektrotechnik Allgemeine Definition des Widerstands und des differentiellen Widerstands Nichtlineare Strom-Spannungskennlinien werden allgemein beschrieben durch nichtlineare Funktionen = f( ) oder = f (). Wie schon beim Zweipol (Gebilde mit zwei Anschlüssen) ist der Widerstand definiert als R = /, wobei im nichtlinearen Fall R=R() oder R=R() ist. Allgemeine Definition des Widerstandes (Leitwertes): 1 R = = G. ( ) Der differentielle Widerstand r ist die Steigung der Strom-Spannungskennlinie. Man definiert für den differentiellen Widerstand: r = 1 d = d d d. ( ) R und r hängen vom Arbeitspunkt ab. 1 d d 1

14 - Grundlagen der Elektrotechnik =1 : R 1 1 =. (Widerstand) 1 d r 1 =. (differentieller Widerstand) d = Steuerbare Widerstände Bei steuerbaren Widerständen ändert sich der Widerstand in Abhängigkeit von einer Steuerspannung st und/oder einem Steuerstrom st. Bei leistungsloser Spannungssteuerung oder leistungsloser Stromsteuerung wird der steuernden Quelle keine Leistung entnommen. st st steuerbarer Widerstand Für leistungslose Spannungssteuerung gilt R = = f ( st ), st = 0. Entsprechend erhält man für leistungslose Stromsteuerung R = = f ( st ), st = 0. Erst durch Bauelemente mit steuerbarem Widerstand wurde der heutige Stand der Elektrotechnik, speziell der Hochfrequenz- und Nachrichtentechnik ermöglicht (Aufbau von Verstärkern und Oszillatoren). Die wichtigsten Vertreter solcher Bauelemente sind Hochvakuumröhren und Transistoren. Die technische Bedeutung derartiger Bauelemente beruht darauf, daß man praktisch ohne Leistung erhebliche Wirkungen erzielen kann.

15 - Grundlagen der Elektrotechnik Bipolare Transistoren: Bei den bipolaren Transistoren, bei denen sowohl Löcher als auch Elektronen zum Strom beitragen, unterscheidet man den npn- und den pnp-typ. Die folgenden Betrachtungen sollen für den npn-transistor durchgeführt werden. Beim pnp-transistor gelten diese Betrachtungen analog mit vertauschten Vorzeichen bei Spannungen und Strömen, sowie vertauschten Ladungsträgern und Dotierungen. Der npn-transistor besteht aus zwei n-dotierten Halbleiterschichten und einer dazwischenliegenden p-halbleiterschicht. Kollektor (C) C Basis (B) n-halbleiter p-halbleiter (dünne Schicht) n-halbleiter B B BE C CE Emitter (E) E Die Basis-Emitterstrecke wird in Durchlaßrichtung gepolt, die Basis-Kollektorstrecke in Sperrichtung. Bei hinreichend dünner Basis-Kollektorstrecke können Elektronen vom Emitter durch die Basis zum Kollektor diffundieren. Deshalb fließt ein Kollektorstrom C, der sich vom Durchlaßstrom des unteren np-übergangs steuern läßt. Die in die Basisschicht eindiffundierenden Elektronen heißen Minoritätsträger. C /ma B /µa 10 8 BE = 150 mv CE =1 V BE = 125 mv BE = 100 mv CE /V BE /mv Ausgangskennlinienfeld Eingangskennlinienfeld

16 - Grundlagen der Elektrotechnik Sperrschicht-Feldeffekttransistor (J-FET): Das folgende Bild zeigt den schematischen Aufbau eines Sperrschicht-FETs mit n-kanal. Gate (G) Source (S) p Drain (D) n p > 0 D GS < 0 E A Raumladungszone, an Majoritätsträgern verarmt > 0 DS Bei GS < 0 ist der pn-übergang in Sperrichtung gepolt und es bildet sich eine an Majoritätsträgern verarmte Zone aus (Raumladungszone). Diese Zone behindert den Stromfluß von Drain zu Source. Je größer GS, desto größer wird die Raumladungszone und desto kleiner D bei DS =const. Der pn-übergang wird in Sperrichtung betrieben. Daher ist der Gatestrom G vernachlässigbar klein. m folgenden Bild ist eine typische Ausgangskennlinie für einen Sperrschicht-Feldeffekttransistor aufgezeichnet. D /ma GS = 0 V GS = -1 V D D 15 G 10 GS = -2 V G DS 5 GS = - 4 V GS S 5 10 DS /V

17 - Grundlagen der Elektrotechnik Leistung und Energie Leistung Die Zeichnung zeigt einen einfachen elektrischen Stromkreis, bestehend aus einer Spannungsquelle und einem Gebilde mit dem Widerstand R. thermische, chemische, elektromagnetische oder elektrische Leistung G R= 1 G Die Klemmenspannung der Quelle und die Spannung am Verbraucher sind gleich, weil die Zuleitung als verlustlos angenommen werden. Die von der Spannungsquelle abgegebene Leistung ist gleich der vom Verbraucher aufgenommenen Leistung. Nach ( ) gilt P =. (Definition der Spannung) Mit ( ) entsteht aus ( ) P G R 2 2 = = = = R G 2 2. (3.5.1) Energie, Arbeit Für die im Zeitintervall t t 1 t 2 erzeugte Energie gilt allgemein t W= Pdt. (3.5.2) t 2 1 Für den Fall P=const entsteht aus (3.5.2) W = P ( t 2 t 1 ). (3.5.3) Energie ist eine Definitionsgrößenart. Die Definitionseinheit der Energie ist 2 kg m s= Ws= J (Joule). (3.5.4) 3 s

18 - Grundlagen der Elektrotechnik mwandlung der elektrischen Energie Die vom Verbraucher aufgenommene Energie wird von diesem in thermische Energie (Wärme) umgesetzt, falls der Verbraucher lediglich aus einem widerstandsbehafteten Leiter nach Abschnitt besteht. Es gibt jedoch auch andere Möglichkeiten der Energieumwandlung, z.b.: Verbraucher Elektrische Energie wird umgewandelt in widerstandsbehafteter Leiter Wärme Glühlampe Licht (+ Wärme) Elektromotor Mechanische Energie (+ Wärme) Elektrolyt chem. Energie (z.b. 2H 2 O 2H 2 + O 2 + Wärme ).