Suchbäume balancieren

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1 Suchbäume balancieren Perfekte Balance: schwer aufrechtzuerhalten Flexible Höhe O(log n): balancierte binäre Suchbäume. Nicht hier (Variantenzoo). Flexibler Knotengrad: (a,b)-bäume. Grad zwischen a und b. Höhe log a n 270

2 (a, b)-bäume 17 r l 00 Blätter: Listenelemente (wie gehabt). Alle mit gleicher Tiefe! Innere Knoten: Grad a..b Wurzel: Grad 2..b, (Grad1fürhi) 271

3 Items Class ABHandle : Pointer to ABItem or Item Class ABItem(splitters : Sequence of Key, children : Sequence of ABHandle) d= children : 1..b // outdegree s=splitters : Array [1..b 1] of Key c=children : Array [1..b] of Handle Invariante: e über c[i] erreichbar ) s[i 1] < key(e) apple s[i] mit s[0]=, s[d]=s[d + 1]=

4 Initialisierung Class ABTree(a 2 : N, b 2a 1 : N) of Element `=hi : List of Element r : ABItem(hi, h`.headi) height=1 : N // // Locate the smallest Item with key k 0 k Function locate(k : Key) : Handle return r.locaterec(k, height) 00 l r 273

5 Locate Function ABItem::locateLocally(k : Key) : N return min{i 2 1..d : k apple s[i]} Function ABItem::locateRec(k : Key, h : N) : Handle i:= locatelocally(k) if h = 1 then if c[i]! e k Then return c[i] else return c[i]! next h=1 else 13 return c[i]!locaterec(k, h 1) // i k=12 Invariante: im Wesentlichen analog zu binären Suchbäumen h>

6 Locate Laufzeit O(b height) Übung: b! log b? n + 1 Lemma: height = h apple 1 + log a 2 Beweis: Fall n = 1: height = 1. Fall n > 1: Wurzel hat Grad 2und Innere Knoten haben Grad a. ) 2a h 1 Blätter. Es gibt n + 1Blätter. Also n + 1 2a h 1 n + 1 ) h apple 1 + log a 2 Rundung folgt, weil h eine ganze Zahl ist. 27

7 Einfügen Algorithmenskizze Procedure insert(e) Finde Pfad Wurzel nächstes Element e 0 `.insertbefore(e,e 0 ) füge key(e) als neuen Splitter in Vorgänger u if u.d = b + 1 then spalte u in 2 Knoten mit Graden b(b + 1)/2c, d(b + 1)/2e Weiter oben einfügen, spalten... ggf. neue Wurzel. x<b b. b/2.. x+1 b/2+. b b/2 b/2+ 276

8 Einfügen Beispiel

9 Einfügen Beispiel

10 Einfügen Beispiel

11 Einfügen Beispiel

12 Einfügen Beispiel r 2 3 k=3, t= r r

13 Einfügen Korrektheit 2 3 b 2 3 b+1 split Nach dem Spalten müssen zulässige Items entstehen: Weil (2a 1)+1 2 b + 1! a, b 2a 1 2 = 2a = a 2 282

14 Einfügen Implementierungsdetails I Spalten pflanzt sich von unten nach oben fort. Aber wir speichern nur Zeiger nach unten. Lösung: Rekursionsstapel speichert Pfad. I Einheitlicher Itemdatentyp mit Kapazität für b Nachfolger. einfacher, schneller, Speicherverwaltung! I Baue nie explizit temporäre Knoten mit b + 1 Nachfolgern. 283

15 Einfügen Pseudocode // `: the list // r: root // height (of tree) Procedure ABTree::insert(e : Element) (k, t):= r.insertrec(e, height,`) if t 6= null then r:= allocate ABItem(hki, hr, ti) height++ 284

16 Function ABItem::insertRec(e : Element, h : N, ` : List of Element) : Key ABHandle i:= locatelocally(e) if h = 1 then (k, t):= (key(e),`.insertbefore(e, c[i])) // base else (k, t):= c[i]! insertrec(e, h 1,`) // recurse if t = null then return (?,null ) s 0 := hs[1],...,s[i 1],k,s[i],...,s[d 1]i // new splitter c 0 := hc[1],...,c[i 1],t,c[i],...,c[d]i // new child if d < b then (s,c,d):= (s 0,c 0,d + 1); return (?,null ) else // split this node d:= b(b + 1)/2c s:= s 0 [b + 2 d..b] c:= c 0 [b + 2 d..b + 1] return (s 0 [b + 1 d], allocate ABItem(s 0 [1..b d],c 0 [1..b + 1 d])) 28

17 Entfernen Algorithmenskizze Procedure remove(e) Finde Pfad Wurzel! e `.remove(e) entferne key(e) in Vorgänger u if u.d = a 1 then finde Nachbarn u 0 if u 0.d + a 1 apple b then fuse(u 0,u) Weiter oben splitter entfernen... ggf. Wurzel entfernen else balance(u 0,u) v c1 v k1 k c1 c2 c3 fuse balance k2 v c2 c3 c4 k c1 k2 k1 c1 c2 c2 c3 c3 c4 286

18 Entfernen Beispiel 2 r k 00 2 r 3 s c i r s c i s 2 3 r c

19 Entfernen Beispiel balance

20 Entfernen Beispiel balance

21 Entfernen Korrektheit Nach fuse müssen zulässige Items entstehen: a +(a 1)! apple b, b 2a 1 hatten wir schon! v c1 k c2 c3 fuse k c1 c2 c3 k1 balance k2 v k2 v k1 c1 c2 c3 c4 c1 c2 c3 c4 290

22 Einfügen und Entfernen Laufzeit O(b Höhe)=O(b log a n) = O(log n) für {a,b} O(1) 291

23 (a, b)-bäume Implementierungsdetails Etwas kompliziert... Wie merkt man sich das? Gar nicht! Man merkt sich: I Invarianten Höhe, Knotengrade I Grundideen split, balance, fuse Den Rest leitet man sich nach Bedarf neu her. Procedure ABTree::remove(k : Key) r.removerec(k, height,`) if r.d = 1 ^ height > 1 then r 0 := r; r:= r 0.c[1]; dispose r 0 Procedure ABItem::removeRec(k : Key, h : N,` : List of Element) i:= locatelocally(k) if h = 1 then if key(c[i]! e)=k then `.remove(c[i]) removelocally(i) else c[i]! removerec(e, h 1,`) if c[i]! d < a then if i = d then i s 0 := concatenate(c[i]! s,hs[i]i,c[i + 1]! s)) c 0 := concatenate(c[i]! c,c[i + 1]! c) d 0 := c 0 if d 0 apple b then // fuse (c[i + 1]! s,c[i + 1]! c,c[i + 1]! d):= (s 0,c 0,d 0 ) dispose c[i]; removelocally(i) else // balance m:= d 0 /2 (c[i]! s,c[i]! c,c[i]! d):= (s 0 [1..m 1],c 0 [1..m],m) (c[i + 1]! s,c[i + 1]! c, c[i + 1]! d) := (s 0 [m + 1..d 0 1],c 0 [m + 1..d 0 ], d 0 m) s[i]:= s 0 [m] Procedure ABItem::removeLocally(i : N) c[i..d 1]:= c[i + 1..d] s[i..d 2]:= s[i + 1..d 1] d 292

24 Mehr Operationen min, max, rangesearch(a, b): hmin,..., a,..., b,..., maxi hatten wir schon build: Übung! Laufzeit O(n)! (Navigationstruktur für sortierte Liste aufbauen) concat, split: nicht hier. Zeit O(log n) Idee: Ganze Teilbäume umhängen merge(n,m): sein = N applem = M Zeit O n log m n nicht hier. Idee: z. B. Fingersuche 293

25 Amortisierte Analyse von insert und remove nicht hier. Grob gesagt: Abgesehen von der Suche fällt nur konstant viel Arbeit an (summiert über alle Operationsausführungen). 294

26 Erweiterte (augmentierte) Suchbäume Idee: zusätzliche Infos verwalten mehr (schnelle) Operationen. Nachteil: Zeit- und Platzverschwendung, wenn diese Operationen nicht wichtig sind. gold plating 29

27 Elternzeiger Idee (Binärbaum): Knoten speichern Zeiger auf Elternknoten Anwendungen: schnelleres remove, insertbefore, insertafter, falls man ein handle des Elements kennt. Man spart die Suche. Frage: was speichert man bei (a,b)-bäumen? 296

28 Teilbaumgrößen Idee (Binärbaum): speichere, wie viele Blätter von links erreichbar. (Etwas anders als im Buch!) // return k-th Element in subtree rooted at h Function selectrec(h, k) if h! leftsize k then return select(`, k) else return select(r, k leftsize) Zeit: O(log n) Übung: Was ist anders bei (a,b)-bäumen? Übung: Rang eines Elements e bestimmen. Übung: Größe eines Bereichs a..b bestimmen. 297

29 Beispiel select 6th element left subtree size i= > <6 i=4 4+2> i= <6 191 i=

30 Zusammenfassung I Suchbäume erlauben viele effiziente Operationen auf sortierten Folgen. I Oft logarithmische Ausführungszeit I Der schwierige Teil: logarithmische Höhe erzwingen. I Augmentierungen zusätzliche Operationen 299

31 Mehr zu sortierten Folgen I Karteikasten Array mit Löchern I (a, b)-bäume sind wichtig für externe Datenstrukturen I Ganzzahlige Schlüssel aus 1..U Grundoperationen in Zeit O(loglog U) I Verallgemeinerungen: Zeichenketten, mehrdimensionale Daten 300

32 Ein paar Zahlen Time for locate [ns] orig-stree LEDA-STree STL map (2,16)-tree STree n 301

33 Was haben wir noch gelernt? I Invarianten, Invarianten,Invarianten I Komplexe verzeigerte Datenstrukturen I Datenstruktur-Augmentierung I Unterschied Interface$Repräsentation I Tradeoff Array, sortierte Liste, Hash-Tabelle 302

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