Modul: Abgeleitete Windgrößen (Divergenz, Vorticity)

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Jutta Hummel
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1 Lernziel: Ableitung und Verständnis der für die großskalige synoptische Dynamik wichtigen räumlichen abgeleiteten Größen des Windfeldes wie Divergenz, Vorticity und Deformation sowie deren kinematische Beziehungen zum JacobiOperator. Keywords: Kinematische Größen Vorticity Divergenz Deformationen JacobiOperator 1

2 Wellen und Wirbel in der Atmosphäre

3 Anschauliche Ableitung der kinematischen Größen vx vy x y = Divergenz D h= h v h= = Streckungsdeformation vx vy D ef Str = x y = Scherungsdeformation D ef Sch= = Vorticity =k h v h= vy vx x y vy vx x y 3

4 Vorticity Vorticity in kartesischen Koordinaten: Vorticity ist flächen und formtreu, beschreibt Drehung: vy vx = x y 0 : zyklonale Rotation 0 : antizyklonale Rotation im Gegenuhrzeigersinn Vorticity in natürlichen Koordinaten: vh n vh R Krümmungsvorticity antizyklonal Verhältnisse auf der NHK Scherungsvorticity Scherungsvorticity zyklonal Krümmungsvorticity = im Uhrzeigersinn 4

5 Vorticity Scherungsvorticity positive und negative Scherungsvorticity nördlich und südlich eines Strahlstroms (auf NHK) Zyklone Trog (westerlies) Trog (easterlies) Antizyklone Keil (westerlies) Keil (easterlies) Krümmungsvorticity (Bezeichnungen für NHK) 5

6 Divergenz Divergenz in kartesischen Koordinaten: Divergenz : Flächenzuwachs, formtreu Konvergenz : Flächenverringerung, formtreu D h 0 D h 0 vx vy D h= x y D h 0 : Divergenz D h 0 : Konvergenz Divergenz in natürlichen Koordinaten: D h= vh s Geschwindigkeitsdivergenz n vh Änderung des Betrags, nicht der Richtung Geschwindigkeitsdivergenz Geschwindigkeitskonvergenz Richtungsdivergenz nur Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors Richtungsdivergenz Richtungskonvergenz 6

7 Deformationen Streckungsdeformation (a) in Translationsbewegung eingebettet Steckung entlang der Strömung Stauchung normal zur Strömung (b) ohne Translation Scherungsdeformation (a) in Translationsbewegung eingebettet Steckung unter 45 Winkel links der Strömung Stauchung unter 45 Winkel rechts der Strömung (b) ohne Translation 7

8 JacobiOperator Welche Invarianten bestimmen den horizontalen Windvektorgradienten? Eine kinematische Invariante des horizontalen Windvektorgradienten ist die Jacobi'sche Funktionaldeterminante J(vx,vy): J v x, v y = 1 D D ef h z 4 vx x h v h= vx y vy x vy y JacobiOperator mit D ef z =D ef Str D ef Sch J(vx,vy) als nichtlineare kinematische Invariante vermittelt zwischen den invarianten kinematischen Größen Divergenz, Vorticity und zusammengesetzter Deformation. J(vx,vy), DefZ : nichtlineare Invarianten ς, Dh : lineare Invarianten Ergebnis: Der horizontale Windvektorgradient wird durch 3 Invarianten bestimmt. Zwischen den 4 Invarianten ς,dh,j(vx,vy),defz besteht eine nichtlineare Beziehung. 8

9 JacobiOperator Im synoptischen Scale ist die Vorticity um eine Größenordnung größer als die Divergenz: ς/dh =10 Da D²h << ς² kann die Divergenz vernachlässigt werden. Es gilt also folgende Approximation: J v x, v y = 1 D ef z 4 Diskussion: J > 0 : wenn D ef z, d.h. wenn die Wirbeleigenschaften überwiegen J < 0 : wenn D ef z, d.h. wenn die Deformationen überwiegen Beispiele: in den folgenden Beispielen abgeschlossene Hoch und Tiefdruckgebiete, Frontalzone und Planetare Welle wird die synoptische Approximation des JacobiOperators verwendet. 9

Krümmungen und Rotationen überwiegen in den Zentren der

10 JacobiOperator Abgeschlossene Hoch und Tiefdruckgebiete H T J>0: Wirbelbewegungen bzw. Krümmungen und Rotationen überwiegen in den Zentren der Hoch und Tiefdruckgebiete. J<0: Deformationen überwiegen in den Randbereichen H 10

J<0: Deformationen überwiegen im Einzugsgebiet und Delta einer

11 JacobiOperator Frontalzone T J>0: Wirbelbewegungen überwiegen im Zentrum von Hochdruckkeil und Tiefdrucktrog. J<0: Deformationen überwiegen im Einzugsgebiet und Delta einer Frontalzone. Im Delta einer Frontalzone gibt es die stärksten zyklogenetischen Entwicklungen. H 11

12 JacobiOperator Planetarische Welle T H H J>0: Wirbelbewegungen mit Rotationen überwiegen in den Zentren der stärksten Krümmungen, d.h. in den Hochdruckkeilen und Tiefdrucktrögen. J<0: Deformationen überwiegen im Randbereich. 1

13 Übungen zum Modul vx vy v y vx diese im Modul angegebene Form x y x y 1 des JacobiOperators her J v x, v y = D h D ef z 4 Leite aus J v x, v y = Hinweis: Benutze die Definitionen für Divergenz, Vorticity, Streckungs und Dehnungsdeformation. Auf dem Satellitenbild entdeckst du den Amboss einer Gewitterwolke. Einige Zeit später hat sich der Amboss vergrößert. Berechne die horizontale Divergenz unter der Annahme der Schirm ist flach und liegt in derselben Höhe. 100km 50km 015 UTC 030 UTC 13

14 Zusammenfassung / Merksätze Der horizontale Windvektorgradient hat 4 Invarianten, davon sind 3 unabhängig: die Divergenz, die Vorticity und die zusammengesetzte Deformation. Die 4. Invariante ist die Jacobi'sche Funktionaldeterminante. Sie ist funktional abhängig von den anderen 3. Im synoptischen Scale gibt das Vorzeichen des JacobiOperators Auskunft über Rotations und Deformationseigenschaften der Strömung J>0 : überwiegend Rotationseigenschaft J<0 : überwiegend Deformationseigenschaft 14

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