Stochastische Prozesse Woche 1. Oliver Dürr. Winterthur, 24 Februar 2016

Transkript

1 Stochastische Prozesse Woche 1 Oliver Dürr Institut für Datenanalyse und Prozessdesign Zürcher Hochschule für Angewandte Wissenschaften oliver.duerr@zhaw.ch Winterthur, 24 Februar

2 Kontakt Oliver Dürr School of Engineering Rosenstrasse Winterthur oliver.duerr@zhaw.ch

3 Vorstellung des IDP Institut für Datenanalyse und Prozessdesign We are quants and focus on: Data Analysis Optimization & Experimental Design Business Analytics 3

4 Kurz zu meiner Person Oliver Dürr Studium in Physik Uni Konstanz Promotion in der theoretischen Physik Uni Konstanz (Diffusionsprozesse) Genedata Basel Softwareentwicklung und Consulting ZHAW IDP Aktuell Machine Learning Deep Learning KI Mutationen in der DNA Genexpressionsanalyse Screening: Daten von 1 Mio Experimenten Analyse von Netzwerken

5 Multitasking senkt Lerneffizienz: Keine Laptops im Theorie-Unterricht! Vorlesungsbesuch ist freiwillig.

6 Organisatorisches Vorlesungsmaterial ist auf Vorlesung 2h (meist Freitags, Donnerstag ist Ausweichtermin) Übungen 2h Donnerstag 14: :35 Freitags 10:00 11:35 Schein (definitiv in der Modulvereinbarung): 1 Zwischenprüfungen (20 %). 1 Endprüfung (mindestens 80 %). Best of all Zwischenprüfung Woche 7, 6 April 2017 Bei Anregungen / Problemen bitte melden

7 Literatur l l l Vorlesungsmaterial: Skript, Folien Internet l Google, Wikipedia, Lehrbuch (optional)

8 Für Heute Einführung in das Thema Wiederholung wichtiger Konzepte aus WaSt2 Wiederholung Lineare Algebra

9 Einführung

10 Gegenstand der Vorlesung Stochastische Prozesse Zeitlich geordneten, zufälligen Vorgängen Mathematische Definition (kommt noch): Folge von Zufallsvariablen X t t ist Zeit Gegenbeispiel: Deterministische Zeitentwicklung

11 Gegenbeispiel Deterministisches Modell Federpendel Allgemeine Lösung Schwingfall System ist bestimmt (deterministisch). Es reicht aus was zu kennen? Deterministisch: Kennt man Ort und Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt, kennt man Ort und Geschwindigkeit zu allen anderen Zeitpunkten. Ort und Geschwindigkeit: Zustand

12 Stochastischer Prozess: Aktien Zustand (Wert) Zeit Es reicht nicht aus, den Wert der Aktie zu kennen, um exakte Vorhersagen für die Zukunft zu treffen. Nicht mal alle Ableitungen. Aber ein bisschen was bringt es schon. Das System entwickelt sich zufällig / stochastisch weiter.

13 Typische Aufgabe Zustand Vergangenheit Zukunft Zeit Wie wahrscheinlich ist es (gegeben der blauen Kurve), dass sich System wie in der roten oder grünen Kurve weiterentwickelt.

14 Stochastisches Prozess: Brown sche Molekularbewegung Aus Wikipedia: Als brownsche Bewegung (oder brownsche Molekularbewegung) wird die vom schottischen Botaniker Robert Brown im Jahr 1827 wiederentdeckte Wärmebewegung von Teilchen in Flüssigkeiten und Gasen bezeichnet

15 Stochastisches Prozess: Brown sche Molekularbewegung Zustand: Ort des grossen (blauen Teilchens) Einer der 3 Geistesblizte Einsteins im Wunderjahr 1905 "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen"

16 Stochastische Prozesse: Warteschlangen Fragestellungen: Zustand (Personen in Schlange) Zeit Wie wahrscheinlich ist es, dass mehr als 10 Personen anstehen. Soll ich jemand neues einstellen? Analog: Serveranfragen Ähnlich: Ticket-routing Planung (first, second, level support).

17 Stochastische Model: DNA Fragestellungen: Zustand (Base) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein A nach GATATATA kommt. «Zeit» (Position in Basenpaare) Die nächste Base G,A,T,C ist nicht mit Sicherheit vorherzusagen. Wir können nur Wahrscheinlichkeiten angeben, dass z. B. nach A ein T folgt. Zeit ist allgemein zu verstehen.

18 Wetter Sonne Fragestellungen: Wie wahrscheinlich ist es, dass es am Wochenende Regnet? Wolkig x x Regen x x x Mo Di Mi Do Fr Ist meine Drosophila der stochastischen Prozesse

19 Einteilung der stochastischen Prozesse Zeit: Diskret / Stetig Zustand: Diskret / Stetig In der Vorlesung nur diskrete Zustände Zustand Diskret Zeit Diskret Tagesproduktion (#Autos) DNA Zustand Stetig Tagesregenmenge Siehe auch Vorlesung: Zeitreihen Zeit stetig Warteschlagen Molekularbewegung Aktien (Wiener/Ito-Prozesse) Fokus

20 Weitere Beispiele

21 Inhalt der Vorlesung 1. Markov-Ketten mit endlichem Zustandsraum Zeit diskret, Zustand diskret (sogar endlich) 2. Punkt- und Zählprozesse Zeit kontinuierlich / 1 Zustand 3. Markov-Prozesse in kontinuierlicher Zeit Zeit kontinuierlich / endlich viele Zustände

22 StoP Kap 2 Kap 3 Kap 4 Zeit: Diskret / N Zustände Zeit: Kontinuierlich / 1 Zustand Zeit: Kontinuierlich / N Zustände Markov-Ketten Poisson Prozesse (Markov) Wartezeiten iid exponential Markov-Prozesse Kurze Zeiten Lange Zeiten (Asymptotik) Erneuerungsprozesse Wartezeiten iid Lebensdauer Langzeitverhalten Kurze Zeiten Lange Zeiten (Asymptotik) Spezielle Markov-Ketten Aperiodisch, irreduzibel Kosten Kap First Passage Time Kosten Grenzwertverhalten Eigenwertanalyse Kosten MCMC Kumulative Prozesse Wartezeiten beliebig Spezielle Markov-Prozesse irreduzibel Kosten Kap Woche 1-8 Woche 9-11 Woche 11-14

23 Voraussetzungen für StoP WaSt2 vor allem Verteilungen Ewartungswerte Simulation von Erwartungswerten Lineare Algebra Einfache Vektor und Matrixenrechnung Eigenwerte und Eigenvektoren

24 Wiederholung WaSt2

25 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion beim Würfel-Modell ZV X x eine Real. der ZV X Diskrete Wahrscheinlikeitsverteilung Verteilungsfunktion P(x)=P(X=x) W keit, dass ZV X den Wert x annimmt.