Messunsicherheit. Prof. Dr. Ing. Klaus Dieter Sommer. 1 Einleitung

Transkript

1 Messunsicherheit Prof. Dr. Ing. Klaus Dieter Sommer 1 Einleitung Messergebnisse, darauf basierende Entscheidungen und Bewertungen sind aus unserem Leben, aus dem globalen Handel, aus Forschung und Industrie, aus Energieerzeugung und nutzung und vielen anderen Bereichen nicht wegzudenken. Wir wollen uns auf die Richtigkeit von Messergebnissen verlassen und auf die Plausibilität der in der Folge getroffenen Entscheidungen. Was letztlich benötigt wird, ist ein nach einem harmonisierten Verfahren ermittelter Güteparameter für Messergebnisse, um diese trotz ihres in der Regel unterschiedlichen Ursprungs sowohl bezüglich des Labors, des Messverfahrens, der Qualifikation des Personals etc. vergleich und (in jeder Hinsicht) bewertbar zu machen. Messverfahren sind jedoch fast so vielfältig wie die reale Welt. Quantitative Bewertungen von Messungen müssen jedoch so einfach wie möglich gehalten werden. Daher kann ein einheitliches Verfahren zur Bewertung von Messungen und Messergebnissen immer nur ein Modell sein, das die relevanten Unvollkommenheiten einer Messung und unsere unvollständigen Kenntnisse darüber erfasst. Fehlerrechnung und Messunsicherheitsansatz Im Modell der Fehlerrechnung [1] bildet die Abweichung vom sog. wahren Wert die zentrale Idee. Als wahrer Wert der Messgröße wird der unbekannte fiktive, sowie einzige und konstante Wert betrachtet, den man unter idealisierten Bedingungen (theoretisch) messen könnte. In der Realität ist dieser Wert aber nicht zugänglich. Die klassische Fehlerrechnung geht nun davon aus, dass Messverfahren im Wesentlichen zufällige und damit in der Summe sich weitgehend kompensierende Abweichungen generiert, die mit den Methoden der Stichprobenanalyse beschreib und beherrschbar sind. Systematische Abweichungen werden hingegen als erfassbar und damit letztlich korrigierbar angesehen. Die Fehlerrechnung ermöglicht eine einfache Beschreibung und Bewertung der Leistungsfähigkeit von Messsystemen auf der Grundlage wiederholter Beobachtungen derselben Messgröße. Dieser Ansatz hat daher in der Praxis und in der Ausbildung weite Verbreitung gefunden. Er gestattet aber nicht, die Unvollständigkeit unserer Kenntnisse über die an einer Messung beteiligten Größen auch dann ausreichend zu berücksichtigen, wenn diese unscharfen Kenntnisse nicht statistischen Ursprungs sind. In den 60er und 70er Jahren des letzten Jahrhunderts vollzog die Messtechnik mit der Entwicklung und schnellen Verbreitung der digitalen Messtechnik für elektrische (Mess )Größen einen Technologiesprung. Analog Digital Umsetzer wurden zur industriellen Anwendungsreife gebracht und Messwerte konnten mit zunehmender Kapazität elektronisch gespeichert werden. Hinzu kam die Entwicklung der Informationstheorie. Insbesondere bot die neue Technologie die Möglichkeit, den Einfluss zufälliger Messabweichungen durch automatische Mittelungen stark zu reduzieren. Da auch die Halbleitertechnologie die technologischen Voraussetzungen schuf, immer bessere und reproduzierbarere Messeinrichtungen zu realisieren, verloren die zufälligen Messabweichungen an Relevanz und systematische Effekte, die zu sog. unbekannten systematischen Messabweichungen führen, traten in den Vordergrund. Qualitativ können sie als nur vage bekannter, unsicherer Anteil 1

2 der bekannten systematischen Messabweichungen aufgefasst werden. Die Zielsetzung, diese konsistent, einheitlich und leicht verständlich behandeln zu können, führte bereits Mitte der siebziger Jahre zu den ersten internationalen Arbeiten am späteren Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM) [], die 1995 zu einem vorläufigen Abschluss kamen. In Deutschland wurde der GUM 1999 veröffentlicht als sog. Vornorm DIN V ENV Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen [3]. 3 Konzept der Messunsicherheitsbestimmung nach dem GUM Das Standard GUM Verfahren [], auch ISO GUM Verfahren genannt, ist in der deutschsprachigen Literatur mehrfach beschrieben worden [4 8]. Dem GUM [3] liegen die wahrscheinlichkeitstheoretischen Ideen von Bayes und Laplace [9] zugrunde, wonach eine messbare Größe (oder Variable) niemals nur durch einen einzelnen Wert charakterisiert werden kann. Die Beschreibung unvollständiger Kenntnisse über Größen und über Unvollkommenheiten eines Messprozesses erfolgt vielmehr einheitlich probabilistisch. Damit wird eine einheitliche Behandlung zufälliger und unbekannter systematischer Effekte möglich. Die Vorteile des Standard GUM Verfahrens können wie folgt charakterisiert werden: Das Verfahren beruht auf einer einheitlichen probabilistischen Beschreibung von Kenntnissen über die Messung und die relevanten Einflussgrößen. Es schließt die systematische und konsistente Behandlung von nichtstatistischer Information ein. Es verwendet ein deterministisches mathematisches Modell der Auswertung (auch Messgleichung genannt), um die am Messprozess beteiligten Größen einschließlich der Ergebnisgröße zu verknüpfen. Es ermöglicht ein konsistentes, schrittweises Verfahren zur Bewertung und Angabe der Messunsicherheit. Es eröffnet die Möglichkeit zu einer rel. einfachen computergestützten Messunsicherheitsberechnung. Vom Standpunkt der klassischen Fehlerrechnung betrachtet, kommt das GUM Verfahren einem Paradigmenwechsel gleich: Es wird nicht versucht, Abweichungen zu identifizieren, sondern vorhandene Kenntnisse werden probabilistisch, nach vorgegebenen Regeln bewertet. Es ist das Ziel, einen (einzigen!) einheitlichen Parameter, die Messunsicherheit zu ermitteln, der Qualität und Verlässlichkeit des Messergebnisses beschreibt. Die entscheidenden Teilaufgaben der der Messunsicherheitsbestimmung, die die Expertenwissen und erfahrung erfordern, sind: Systematisches Zusammentragen von Kenntnissen über die durchzuführende Messung einschließlich der beteiligten (Einfluss )Größen Modellieren der Messung durch Aufstellen des mathematischen Zusammenhangs zwischen der Messgröße, den relevanten Einflussgrößen und der Ausgabegröße (Anzeige oder Ausgangssignal am Ende der Messkette) Einschätzen der relevanten Einflussgrößen und der Ausgabegröße mithilfe von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

3 Wichtig ist, dass die Messunsicherheitsermittlung stets auf die Messgröße zielt, um dieser im Ergebnis einen besten Schätzwert und den Güteparameter Messunsicherheit zuzuordnen. Es ist also immer ein sog. inverses Problem, das zu lösen ist. 3 Definition der Messunsicherheit Mit dem Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement GUM [, 3] gab es erstmals eine in sich geschlossene Definition der Messunsicherheit, die sich nicht letztlich auf irgendeinen niemals bekannt sein könnenden Wahren Wert bezieht, sondern in sich vollständig ist. Sie trägt andererseits der Tatsache Rechnung, dass eine messbare oder auch nur zu beschreibende reale Größe niemals nur durch einen einzigen Wert beschrieben werden kann. Unsere diesbezüglichen Kenntnisse sind niemals vollständig bez. der Reflektion der Realität und unsere Mittel zu ihrer Messung sind stets unvollkommen. Die Definition lautet [, 3, 10] Die Messunsicherheit ist ein nicht negativer Kennwert, der die Streuung der Größenwerte charakterisiert, die der Messgröße beigeordnet werden können, basierend auf den vorhandenen Informationen über die Messung. Die Messunsicherheit charakterisiert damit die Güte eines Messergebnisses und auch die Stringenz seiner Rückführbarkeit auf das SI. Sie wird entscheidend bestimmt durch die verfügbaren Kenntnisse über den Messprozess und die beteiligten Größen. 4 Schrittweises Verfahren zur Messunsicherheitsbestimmung Bild 1 beschreibt und illustriert das ISO GUM Verfahren [, 3, 10] als Verfahren in 6 Schritten [5]. Bild 1: Standard GUM/ISO GUM Verfahren [, 3, 10] in 6 Schritten 4.1 Schritt 1: Darlegen der Kenntnisse über den Messprozess und die beteiligten Größen Wichtige darzulegende Kenntnisse über den Messprozess sind die Messaufgabe, die Messmethode, d. h. die Messstrategie, das zugrunde liegende Messprinzip, d. h. die physikalische Basis der Messung, und, soweit möglich, eine sinnvolle Aufgliederung in funktionale Bestandteile, 3

4 wie z. B. Signalquellen und Einflussgrößen, Übertragungs und Wandler Elemente sowie Anzeigen und Signalausgaben. 4. Schritt : Modellieren der Messung Ziel der Modellbildung ist das Aufstellen der sog. Messgleichung [], [10] oder auch Modell der Auswertung (siehe Gl. (1)) genannt. Diese Modellgleichung soll den mathematisch analytischen Zusammenhang zwischen der Messgröße Y, den relevanten Einflussgrößen und der oder den (physikalischen) Ausgabegrößen, gemeinsam als Eingangsgrößen X i bezeichnet, herstellen Y fm X1 X X n (,,..., ). (1) Der GUM [], [10] selbst fordert zwar diese Modellbildung als eine entscheidende Grundlage der Messunsicherheitsbestimmung, gibt aber keine Anleitung oder wenigstens Hinweise wie diese erfolgen könnte. Die Modellbildung als ohnehin schwierigste Schlüsselaufgabe der Messunsicherheitsbestimmung bekommt daher eine noch zentralere Rolle; sie setzt ein weitgehendes physikalisch technisches Verständnis der Messaufgabe voraus und erfordert qualifiziertes Fachwissen zu ihrer Durchführung. In der Praxis lehnt sich die Modellbildung an die des Anwendungsgebietes für die Messung oder Kalibrierung an, also läuft z. B. über Kräftegleichgewichte im Bereich der mechanischen Messgrößen oder über die Anwendung der Kirchhoff schen Regeln im Rahmen der Schaltungstechnik bei der Netzwerkanalyse. Letztlich ist die Modellbildung so vielfältig wie die Methoden zur mathematischen Modellierung der jeweiligen Anwendungswelt. Aber es gibt auch speziell auf die Messunsicherheitsanalyse zugeschnittene Modellbildungsstrategien [11], [1], die auf den Ursache Wirkungs Zusammenhang einer Messung aufbauen und diesen dann zur Messgleichung invertieren. Für die Zukunft ist vorgesehen, das GUM Rahmenwerk um ein Zusatzdokument zur Modellbildung zu erweitern. 4.3 Schritt 3: Bewerten der Kenntnisse über die Eingangsgrößen Die Einfluss und die (physikalischen) Ausgabegrößen werden im GUM [], [10] unter dem Begriff Eingangsgrößen (in das Modell) zusammengefasst. Über die Mess oder Modellgleichung definieren sie die Messgröße. Im Schritt 3 des GUM Verfahrens werden diese Größen modelliert oder bewertet. Diesem Schritt liegt die Erkenntnis zugrunde, dass die Parameter eines Messprozesses niemals vollständig bekannt sind. Das ist sowohl in der physikalischen Natur der Sache als auch in der Unvollkommenheit der Mittel zur Beobachtung und Beschreibung begründet. Gemäß der Bayes Laplace schen Grundlage [9] des ISO GUM Konzeptes werden die stets unvollständigen Kenntnisse über die möglichen Werte einer Größe mittels Zuweisung einer Wahrscheinlichkeits Dichteverteilung (Probability Density Function, PDF) beschrieben. Über die PDFs als Modelle für die Kenntnis über Größen und Variable werden unvollständige Informationen handhabbar, und die bekannten Werkzeuge der Wahrscheinlichkeitsrechnung können zur Ermittlung des vollständigen Messergebnisses genutzt werden. Mit Blick auf die Praxis, insbesondere in der Industrie, vereinfacht der GUM [], [10] diesen Ansatz weiter, indem er den Erwartungswert der PDF als besten Schätzwert x einer Größe X und 4

5 die Standardabweichung der PDF (Wurzel aus der Varianz) als die dem Erwartungswert beigeordnete sog. Standardunsicherheit u x verwendet. Erwartungswert und Varianz sind wie folgt definiert Erwartungswert einer Größe X: E x X g d () Varianz einer Größe X: Var mit als mögliche Werte der Größe X. X X X (3) u X x g d Mit diesem Ansatz werden die PDFs zu Trägern der Information über die Größen. Automatisch ergibt sich nun die Frage nach der passenden PDF, die vorhandene Kenntnisse am besten widergibt bzw. modelliert. Die Antwort liegt in der Anwendung des sog. Prinzips der maximalen Informationsentropie (PME) [9]. Das PME erlaubt, Vorwissen in Abhängigkeit von seiner Art unter Anwendung der Regeln der Informationstheorie bestimmte A priori Verteilungen zuzuweisen. Der GUM [], [10] verwendet dieses Prinzip bei der sog. Ermittlungsmethode Typ B zur Bewertung bzw. Modellierung nichtstatistischer Kenntnisse über Eingangsgrößen, die den Kern des GUM Konzeptes gegenüber der klassischen Fehlerrechnung darstellt. Die Methode führt z. B. zu einer rechteckförmigen PDF, wenn die Kenntnisse sagen, dass die möglichen Werte der Größe in einem (schmalen) Intervall liegen und Werte außerhalb dieses Intervalls unwahrscheinlich sind (Beispiele: digitale Auflösung, Fehlergrenzen, Toleranzen u. ä.), oder zu einer Gauß schen Normalverteilung, wenn ein bester herausgehobener Schätzwert und eine davon unabhängige beigeordnete Varianz/Unsicherheit bekannt sind (Beispiele: Angabe eines Kalibrierergebnisses, Ergebnis einer statistischen Analyse, s. u.). Sie hat bei Erscheinen des GUM erstmalig einen (normierten) Weg aufgezeigt, sog. unbekannte systematische Messabweichungen zu beschreiben. Für die praktische Anwendung des GUM reicht es völlig aus, die Art der Kenntnisse und einige relevante quantitative Angaben zu kennen, um nach dem PME eine a priori PDF aufstellen zu können. Hinzu kommt, dass dafür auch leistungsfähige Softwareassistenz zur Verfügung steht [13], [14]. Einige häufige Fälle der Modellierung von Kenntnissen über Größen sind in Tabelle 1 widergegeben [], [10]. Mehr Beispiele findet man im GUM Supplement 1 [15]. Aus der bekannten Verteilungen lassen sich dann, hergeleitet aus den Gleichungen () und (3), direkt die Erwartungswerte und die Standardunsicherheiten angeben; diese findet man für die gängigen Verteilungen nicht nur im GUM [3], sondern praktisch auch in allen Stochastik Textbüchern und implementiert in jede gute Messunsicherheits Software. Beispielsweise ergäbe sich für eine Rechteckverteilung zur Beschreibung einer Herstellerangabe von Fehlergrenzen a ein Erwartungswert von E X x 0, nämlich der Mittelwert von oberer und unterer Grenze, sowie eine Standardunsicherheit von u a/ 3 [3]. X Im Falle wiederholter Beobachtungen q k einer gleichen Messgröße X greift der GUM auf das Konzept der Stichprobenanalyse zurück. Mit der sog. Ermittlungsmethode Typ A werden der Mittelwert als bester Schätzwert 5

6 n x E X q q (4) k 1 k und die Standardabweichung des Mittelwertes, n 1 u s s q q (5) x q x k n n 1 k1 als Maß für die Standardunsicherheit berechnet und als Wurzel aus der Varianz einer (Normal ) Verteilung interpretiert. Tabelle 1: Zusammenhang zwischen der Art der vorliegenden Kenntnisse und der nach dem Prinzip der Maximalen Entropie (PME) zuzuordnenden PDF einschließlich der resultierenden Erwartungswerte und Standardunsicherheiten [1] anhand einiger Beispiele Kenntnisse über die Größe zuzuordnende PDF Erwartungswert Standardmessunsicherheit a a ux Mögliche Werte sind in einem a a 3 x Intervall [a, a+] enthalten mit a ( a a) / a x a + gleichverteilt Erwartungswert µ und Standardabweichung σ sind bekannt µ gaußförmig x ux Die Größe lässt sich durch die Funktion X a sin beschreiben; der Phasenwinkel ist unbekannt Die Größe ist Summe oder Differenz zweier Größen X1, X; X1, X sind rechteckförmig verteilt. a a a x a + a a x a + trapezförmig U förmig x 0 x x1 x u X a ux a/ 6 1 mit a a1a a a / a a Schritt 4: Kombinieren der Erwartungswerte und der Unsicherheiten Das ISO GUM Verfahren (Standard GUM Verfahren) [, 10] verwendet den Weg der Gauß schen Unsicherheitsfortpflanzung zur Kombination der den Erwartungswerten x 1, x,,x n der Eingangsgrößen X 1, X,, X n beigeordneten Standardunsicherheiten u X1, u X,,u Xn. Diese Messunsicherheitsfortpflanzung beruht auf den Regeln der klassischen Gauß schen Fehlerfortpflanzung. Die kombinierte Standard Messunsicherheit ergibt sich demnach im Falle nicht korrelierter Eingangsgrößen zu: 6

7 n n n f M y iy i xi xi i1 i1 i1 X i xi (6) u u c u u mit den ersten partiellen Ableitungen der Messgleichung nach den Eingangsgrößen als sog. Sensitivitätskoeffizienten c i, die den jeweiligen Durchgriff der Eingangsgrößen oder umgekehrt gesehen die Empfindlichkeit der Ausgangsgröße bez. der Eingangsgrößen charakterisieren sowie u y kombinierte Standardmessunsicherheit. Im Falle korrelierter Eingangsgrößen muss Gleichung (6) um die erforderlichen Korrelationsterme erweitert werden: n n1 n y iy xixj iy jy i1 i1 jk1, (7) u u r u u mit r xixj als Korrelationskoeffizient zwischen x i und x j, der gleich dem Verhältnis der Kovarianz u xixj zum Produkt der Messunsicherheiten u xi und u xj ist, r xixj uxixj u u xi xj. (8) Es ist ganz wichtig, zu beachten, dass ISO GUM Verfahren aufgrund der Beschränkung auf die linearen Sensivitätskoeffizienten c i, was dem Abbruch einer Taylorreihen Entwicklung nach dem linearen Term entspricht, nur auf lineare und linearisierbare Modelle anwendbar ist. Im Falle nichtlinearer Modelle kann die Verteilungsfortpflanzung mittels Monte Carlo Methoden genutzt werden, siehe GUM Supplement 1 [15]. 4.5 Schritt 5: Berechnen der erweiterten Messunsicherheit In der Praxis wird insbesondere für Entscheidungen auf der Grundlage unsicherheitsbehafteter Messergebnisse ein zuverlässiges (Vertrauens )Intervall für die Messgröße benötigt, worin mit hoher Wahrscheinlichkeit der Wert der Messgröße zu erwarten ist. Das Nachkommen dieser Forderung setzt eigentlich die Kenntnis der PDF der Werte der Ergebnisgröße voraus, welche bei Anwendung der Gauß schen Unsicherheits fortpflanzung (Gl. (7) und (8)) aber nicht berechnet wird. Der ISO GUM behilft sich hier dadurch, dass er mit Bezug auf den sog. Zentralen Grenzwertsatz vermutet, dass sich infolge der Überlagerung von vielfältigen Einflüssen auf das Messergebnis in der überwiegenden Zahl der Messunsicherheitsbestimmungen eine Normalverteilung der Werte der Ergebnisgröße einstellt. In der Praxis hat sich das zwar in vielen Fällen, aber nicht in der überwiegenden Zahl der Fälle als zutreffend erwiesen. Es trifft vor allem dann nicht zu, wenn nur wenige Eingangsgrößen von Dominanz sind. Rein formal berechnet man die erweiterte Messunsicherheit U, die man als Halbweite eines Überdeckungs oder Vertrauensintervalls verstehen kann (siehe Bild 3), unter Anwendung eines sog. Erweiterungsfaktors k P zu U k u (9) p y 7

8 wobei für eine Normalverteilung k P = und für eine dominierende Rechteckverteilung k P = 1,65 anzusetzen wäre. Nach dem GUM [3] sollten erweiterte Messunsicherheiten nur für Überdeckungswahrscheinlichkeiten P 95% angegeben werden. I Y k p u y k p u y u y u y y U y y + U Bild : Illustration der erweiterten Messunsicherheit U kpuyals Halbweite eines k p u y Überdeckungsintervalls I Y 4.6 Schritt 6: Angeben und Bewerten des Messergebnisses Ein (vollständiges) Messergebnis besteht aus dem besten Schätzwert für die Messgröße und der erweiterten Messunsicherheit [10], [16] sowie einer Angabe, welcher Erweiterungsfaktor k P (siehe Gl. (9)) der Berechnung der erweiterten Messunsicherheit zugrunde gelegt ist. Darüber hinaus ist es sinnvoll, die Überdeckungswahrscheinlichkeit für das Intervall IY U anzugeben. Das Ergebnis wird üblicherweise in der Form y U ( kp z) geschrieben [10], wobei beispielsweise für eine Normalverteilung z = zutreffen würde. Der Unschärfe der Messunsicherheit Rechnung tragend, soll sie mit maximal zwei signifikanten Stellen angegeben werden, und die kleinsten signifikanten Stellen von bestem Schätzwert und Messunsicherheit sollten gleichwertig sein. Das Bewerten des Messergebnisses muss anhand der Zielvorgaben der Organisation oder des Labors erfolgen, für die oder das die Messunsicherheit bestimmt wurde. Fachliche Entscheidungen, auf welchem Wege Messunsicherheiten ggfs. verringert werden können oder welches die dominanten Ursachen für die Messunsicherheit sind, können aus der sog. Messunsicherheitsbilanz, die das GUM Verfahren, insbesondere, wenn es rechnergestützt angewendet wird, mehr oder weniger automatisch mitliefert. Die Messunsicherheitsbilanz wird üblicherweise als Tabelle geschrieben, welche spaltenweise mindestens die folgenden Angaben enthält: Bezeichnung der Größen X i, z. B. Umgebungstemperatur Erwartungswerte der Größen, x E[ X ] Beizuordnende Standardunsicherheiten, 1/ i i u xi Var[ X ] Sensitivitätskoeffizienten, ci fm / Xi xi Messunsicherheitsbeiträge zur Ausgangsgröße, uiy ci uxi. Dabei liefern die letztgenannten Messunsicherheitsbeiträge zur Ausgangsgröße die entscheidende Information über eine mögliche Dominanz einer Eingangs /Einflussgröße. i 8

9 5 Zusammenfassung Die Messunsicherheitsbestimmung nach dem GUM [, 10] kann aufgrund ihrer Darstellung von Größen und Variablen als Wahrscheinlichkeitsverteilung als Bayes sche Interpretation der Unschärfe, Unsicherheit oder des Zweifels an Werten über eine Messgröße angesehen werden. Sie reduziert sich auf einen einzigen Parameter, der die Güte eines Messergebnisses charakterisiert und (in Reflektion der Realität) die Beschreibung der unbekannten systematischen Effekte in den Vordergrund stellt. Die Defizite der klassischen Fehleranalyse werden überwunden. Das Verfahren kann als schrittweises, leicht verständliches Prozedere mit Rechnerunterstützung angewandt werden. Das GUM Verfahren hat sich in den letzten beiden Dekaden zum internationalen Standardverfahren zur Bewertung von Messergebnissen entwickelt. 7 Literaturverzeichnis [1] DIN (1968): Grundlagen der Messtechnik Teil 3: Auswertung von Messungen einer einzelnen Messgröße, Messunsicherheit. Beuth Verlag, Berlin 1968 [] GUM 1995: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. International Organization for Standardization (ISO), Geneva 1995, ISBN [3] DIN V ENV 13005: : Leitfaden zur Ermittlung der der Unsicherheit beim Messen. Beuth Verlag, Berlin 1999 [4] Siebert, B.R.L.; Sommer, K. D.: Uncertainty. In: Kochsiek, M. and Glaeser, M. (Ed.): Handbook of Metrology (010), WILEY VCH Verlag, Weinheim, , ISBN [5] Sommer, K. D.; Siebert, B.R.L.: Praxisgerechtes Bestimmen der Messunsicherheit nach GUM. tm Technisches Messen 71 (004), 5 66, Oldenbourg Munich, 004, ISSN [6] Adunka, F.: Messunsicherheiten: Theorie und Praxis. 3. Aufl. Vulkan Verlag GmbH 007 [7] Krystek, M.: Berechnung der Messunsicherheit Grundlagen und Anleitung für die praktische Anwendung. Beuth Verlag, Berlin 01 [8] Kacker, R., Sommer, K. D.; Kessel, R.: Evolution of modern approaches to express uncertainty in measurement. Metrologia 44 (007), [9] Jaynes, E.T.: Information theory and statistical mechanics. Phys. Rev. 106 (1957), [10] BIPM et al.: JCGM 100:008 (GUM 1995 with minor corrections): Evaluation of measurement data Guide to the expression of uncertainty in measurement. First ed. Sept. 008, 9

10 [11] Sommer, K. D.; Siebert, B.R.L.: Systematic approach to the modelling of measurements for uncertainty evaluation. Metrologia 43 (006), 00 10, IOP [1] Heidenblut, S., Kessel, R., Sommer, K. D., Weckenmann, A.: Ein Modellbildungskonzept für die praxisgerechte Bestimmung der der Messunsicherheit. tm Technisches Messen. 74 (007) 01, , Oldenbourg, Munich [13] Mieke, S.; Wiedenhöfer, T.; Wübbeler, G.: Software zur Bestimmung der Messunsicherheit. VDI Ber. (008), , ISBN [14] Weckenmann, A.; Wiedenhöfer, T.: Software zur Unterstützung bei der Ermittlung der Messunsicherheit. Produktinformation. tm Technisches Messen. 7 (005) 5, [15] BIPM et al.: JCGM 101:008: evaluation of measurement data Supplement 1 to the Guide to the expression of uncertainty in measurement Propagation of distributions using a Monte Carlo method. First ed. 008, [16] BIPM: JCGM 00:01: International vocabulary of metrology Basic and general concepts and associated terms (VIM), 3rd edition. 008 version with minor corrections. Quellenangabe: Sommer, Klaus Dieter: Messunsicherheit. In: R. Lerch: Elektrische Messtechnik Analoge, digitale und computergestützte Verfahren. 7. Aufl. Springer Vieweg 016. (ebook) ISBN