Neutrinooszillationen

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1 Neutrinooszillationen Kai Zapp Johannes Gutenberg-Universität Mainz Neutrinooszillationen sind ein deutlicher Hinweis auf die Unvollständigkeit des Standardmodells der Teilchenphysik. Sie treten auf, falls Neutrinos massiv sind und untereinander mischen analog zur Mischung auf dem Quarksektor. Innerhalb des Standardmodells gibt es jedoch keine Neutrinomassenterme. Insofern gehen Neutrinoozillationen über das Standardmodell hinaus. Im Folgenden werden die Mechanismen, die zu Neutrinooszillationen führen, und die Herleitung der Oszillationswahrscheinlichkeit innerhalb der Quantenmechanik formuliert und diskutiert. 1

2 1 Einleitung Neutrinos gehören mit Abstand zu den häufigsten Teilchen im Universum. Als elektrische neutrale Leptonen nehmen sie jedoch nur an der schwachen Wechselwirkung und der Gravitation teil. Trotz ihrer Häufigkeit ist es daher sehr schwer ihre Eigenschaften zu studieren. Nach jetztigem Stand können jedoch alle ihre bekannten Wechselwirkungen durch das Standardmodell der Teilchenphysik beschrieben werden. Es werden drei bekannte Arten (Flavors) von Neutrinos 1 unterschieden. Dabei können Elektron-Neutrinos ν e, Myon-Neutrinos ν µ oder Tauon-Neutrinos ν τ über den leptonischen Zweikörper-Zerfall des W + -Bosons definiert werden. Dieser Zerfall produziert ein geladenes Anti-Lepton, also entweder ein Positron e +, ein positives Myon µ + oder ein Tauon τ + und zusätzlich ein Neutrino, das nach Defintion denselben Flavor trägt: W + e + + ν e W + µ + + ν µ W + τ + + ν τ In der Tat sind Neutrinos nur indirekt über das zugehörige geladene Lepton nachweisbar. Es ist ein experimenteller Befund, dass ein Neutrino mit festem Flavor, welches nach seiner Entstehung sofort nachgewiesen wird, bei der Wechselwirkung im Detektor nur ein Lepton des gleichen Flavors erzeugen kann. Elektron-Neutrinos erzeugen also nur Elektronen, Myon-Neutrinos nur Myonen und Tauon-Neutrinos nur Tauonen. Abbildung 1: Ein W + zerfällt leptonisch in ein µ + und sein zugehöriges Neutrino ν µ. Weist man dieses Neutrino nach einer kurzen Flugstrecke nach, so zeigt die experimentelle Erfahrung, dass bei der Detektion nur Myonen entstehen können. Eine andere Situation kann sich jedoch ergeben, falls ein Neutrino mit festem Flavor vor seiner Detektion lange Flugstrecken zurücklegt.2 Man betrachte zum Beispiel atmosphärische Myon-Neutrinos, die aus Pionzerfällen stammen: π + W + µ + + ν µ. 1 Im Folgenden wird der Einfachheit halber immer von Neutrinos ausgegangen. Die Behandlung von Anti-Neutrinos ist vollkommen analog. 2 Die Unterscheidung in kurze und lange Flugstrecken ist hier noch zunächst unpräzise. 2

3 Angenommen ein solches Neutrino wechselwirkt in einem Detektor auf der anderen Seite der Erde und dabei entsteht ein geladenes Lepton, dann muss dieses geladene Lepton kein Myon sein. Es könnte zum Beispiel auch ein Tauon sein. Da aber nur Tauon-Neutrinos durch ihre Wechselwirkung Tauonen produzieren können, würde das Erscheinen des Tauons eine Flavoränderung des Neutrinos von einem Myon-Neutrino zu einem Tauon-Neutrino implizieren. In den letzten 15 Jahren wurden solche Neutrinooszillationen in zahlreichen Experimenten nachgewiesen (siehe z.b.[9]). Abbildung 2: Über lange Flugstrecken hinweg kann ein Neutrino seinen Flavor ändern. Dieses Phänomen wird auch Neutrinooszillation genannt. Theoretisch lassen sich Neutrinooszillationen erklären, wenn man annimmt, dass Neutrinos zum einen Masse besitzen und zum anderen untereinander mischen. 2 Neutrinooszillationen in der Quantenmechanik Im folgenden Abschnitt wird die Theorie der Neutrinooszillationen innerhalb der Quantenmechanik behandelt. 2.1 Flavorzustände/Flavorbasis Erzeugung und Detektion eines Neutrinos sind Prozesse der schwachen Wechselwirkung. Beschrieben wird ein solches Neutrino durch Eigenzustände der schwachen Wechselwirkung. Das sind Zustände mit festem Flavor α ν α mit α = e, µ, τ. (1) Diese sogenannten Flavorzustände bilden die Flavorbasis { ν α }. 2.2 Massenzustände/Massenbasis Nimmt man an, dass Neutrinos massiv sind, dann gibt es außerdem ein Spektrum aus Masseneigenzuständen. Das sind Zustände fester Masse, das heißt M ν i = m i ν i, i = 1, 2, 3 wobei M der Massenoperator ist. Sie bilden die Massenbasis { ν i }. Die Masseneigenzustände beschreiben also die massiven physikalischen Neutrinos, die sich mit bestimmten wohldefinierten kinematischen Eigenschaften in Raum und Zeit bewegen. Sie sind daher Eigenzustände des freien Hamiltonoperators H 0 und des Impulsoperators P. 3 3 Die Masseneigenzustände sind keine Zustände der schwachen Wechselwirkung, sonst würden sie die Flavorquantenzahl erhalten. 3

4 2.3 Neutrinomischung Neutrinomischung bedeutet dann, dass die Flavorzustände nicht mit den Masseneigenzuständen übereinstimmen, sondern eine quantenmechanische Superposition aus diesen sind ν α = i U αi ν i. (2) Die Koeffizienten U αi können dabei als Komponenten einer Matrix U aufgefasst werden, die den Basiswechsel zwischen der Flavorbasis und der Massenbasis beschreibt. Diese Matrix ist unitär U U = 1 α U αiu αj = δ ij. (3) Somit gilt auch: ν i = α U αi ν α (4) Damit sind alle Mechanismen, die zu Neutrinooszillationen führen formalisiert und die Oszillationswahrscheinlichkeit kann daraus abgeleitet werden. 2.4 Herleitung der Oszillationswahrscheinlichkeit Bei der Herleitung hilft es Abbildung 3 vor Augen zu haben. Angenommen ein Neutrino ν wird bei (t i, x i ) = (0, 0) zusammen mit einem Anti-Lepton vom Flavor α produziert. Bei der Entstehung besitzt es damit selbst den Flavor α. Was ist dann die Wahrscheinlchkeit dafür, dass dieses Neutrino nach der Propagation zum Detektor bei (t f, x f ) = (t, L) durch Wechselwirkung mit diesem ein (Anti-)Lepton vom Flavor β erzeugt und damit seinen Flavor von α zu β geändert hat? Abbildung 3: Neutrinooszillation eines Neutrinos mit Flavor α in ein Neutrino mit Flavor β. In der Sprache der Quantenmechanik lautet die Frage: P (ν α ν β ) = ν β ν α, t, L 2 =? (5) Zur Beantwortung wird zunächst der Ket-Vektor der Übergangsamplitude ν β ν α, t, L, der die Propagation des bei (t i, x i ) = (0, 0) erzeugten Flavorzustand ν α zum Detektor beschreibt, berechnet: ν α, t, L = exp ( ih 0 t + ipl) ν α. (6) Die Zeitentwicklung des Anfangszustands ν α wird durch den freien Hamiltonoperator H 0 bestimmt und die Propagation im Raum durch den Impulsoperator P als Generator von räumlichen Translationen. Durch den Wechsel zur Massenbasis mit Hilfe von Gleichung 4 ergibt sich: ν α, t, L = j U αj exp ( iet + ip j L) ν j (7) 4

5 Dabei wurde verwendet, dass die Masseneigenzustände feste kinematische Eigenschaften haben, d.h. der Hamiltonoperator kann durch den Energieeigenwert und der Impuls-operator durch den Impuls des jeweiligen Zustands ersetzt werden. Es wurde dabei angenommen, dass die Energie E für jeden Zustand gleich ist. Die Impulse p j = E 2 m 2 j sind jedoch verschieden. Um die Projektion auf ν β zu berechnen wechselt man mittels Gleichung 2 wieder auf die Flavorbasis: ν α, t, L = j,γ U αj exp ( iet + ip j L) U γj ν γ (8) Nutzt man die Orthormalität ( ν β ν γ = δ βγ ) bricht die Summe zusammen. Bildet man anschließend das Betragsquadrat der Amplitude, so ergibt sich für die Übergangswahrscheinlichtkeit 2 P (ν α ν β ) = UαjU βj exp ( iet + ip j L) (9) j = j,k U αju βj U αk U βk exp [i (p j p k ) L]. (10) Geht man von ultrarelativistischen Neutrinos aus, vereinfacht sich die Oszillationswahrscheinlichkeit mittels der Näherung p j = E 2 m 2 j E m2 j (11) 2E zu P (ν α ν β ) = ( ) ] m 2 UαjU βj U αk Uβk [ i exp jk L, (12) 2E j,k wobei als neue Größe die Differenz der Massenquadrate eingeführt wurde. m 2 jk = m2 j m 2 k. (13) Anhand von Gleichung 12 sieht man, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Flavoränderung aufgrund der komplexen Exponentialfunktion mit L/E oszilliert. 4 Daher stammt die Bezeichung Neutrinooszillationen. 2.5 Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata-Matrix Die Matrix U, die für den Basiswechsel zuständig ist und damit gleichzeitig auch für die Mischung wird auch als Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata-Matrix oder kürzer PMNS-Matrix bezeichnet. Ihre Standardparametrisierung ist für Dirac-Neutrinos 5 durch c 13 0 s 13 e iδ c 12 s 12 0 U = 0 c 23 s s 12 c 12 0, (14) 0 s 23 c 23 s 13 e iδ 0 c gegeben, wobei c ij = cos θ ij, s ij = sin θ ij mit den Mischungswinkeln θ ij. Der Winkel δ beschreibt eine mögliche CP-Verletzung und im Falle dieser gilt δ / {0, π} 6. Die PMNS-Matrix in der obigen Darstellung hat die gleiche Struktur wie die CKM-Matrix auf dem Quarksektor. Im Fall von Majorana-Neutrinos 7 können noch zwei zusätzliche Majoranaphasen untergebracht werden, die jedoch für Neutrinooszillationen keine Rolle spielen [10]. 4 exp (ix) = cos x + i sin x 5 Für Dirac-Neutrinos würde ν ν gelten. 6 CP-Verletzung heißt bei Neutrinooszillationen P ( ν α ν β ) P (ν α ν β ). Mit dem CPT-Theorem gilt: P ( ν α ν β ) CP = T P (ν β ν α) Gl.12 = P (ν α ν β, U U ). D.h. CP-Verletzung tritt auf wenn U komplex ist, was genau dann der Fall ist wenn δ / {0, π}. 7 Für Majorana- Neutrinos würde ν = ν gelten. 5

6 2.6 Kommentare zur quantenmechanischen Herleitung Bei der Herleitung gingen folgende vier Annahmen ein: 1. Die betrachteten Neutrinos sind ultrarelativistisch (Gl. 11). 2. Ein Neutrino mit festem Flavor ist durch einen Flavorzustand (Gl. 1) beschreibbar. 3. Die Propagation in der Raumzeit erfolgt als ebene Welle (Gl.6). 4. Die Masseneigenzustände haben alle die gleiche Energie (Gl. 7). Die erste Annahme rechtfertigt sich dadurch, dass man aus direkten Messungen und kosmologischen Überlegungen weiß, dass Neutrinomassen im Bereich von wenigen ev liegen. Heutige Experimente können allerdings nur Neutrinos mit Energien größer als 100 kev nachweisen[7]. Die zweite Annahme ist zunächst problematisch, da aus quantenfeldtheoretischen Überlegungen folgt, dass die Flavorzustände zunächst nicht wohldefiniert sind, da sie sowohl vom Produktions- als auch vom Detektionsprozess abhängig sind. Streng genommen muss daher eine Herleitung innerhalb der Quantenfeldtheorie durchgeführt werden. Es kann jedoch gezeigt werden, dass die hier angenommenen Flavorzustände für alle heutigen Neutrinooszillationsexperimente sehr gute Approximationen darstellen [1, 6]. Die dritte Annahme steht im Konflikt mit der Produktion und der Detektion, die im Rahmen ihrer Unsicherheiten lokalisierte Prozesse sind. Ebene Wellen überdecken aber die ganze Raumzeit. Ein verbesserte Herleitung nutzt die formale Beschreibung durch Wellenpakete, die in der Quantenmechanik lokalisierte Teilchen beschreiben [1]. Für die vierte Annahme, die kontrovers betrachtet wird [11], soll an dieser Stelle zumindest ein gutes Argument genannt werden. Es kann gezeigt werden, dass Interferenzeffekte von Neutrinozuständen mit verschiedenen Energien bei der Wechselwirkung des einfallenden Neutrinos mit dem Detektor zerstört würden. Als Folge dessen wären Neutrinooszillationen, die ein Interferenzeffekt sind, aber gar nicht beobachtbar [4]. 2.7 Spezialfall: Zwei-Flavor-Oszillationen Viele Experimente lassen sich analysieren, indem man effektive Modelle annimmt bei denen Oszillationen nur zwischen zwei effektiven Flavors auftreten [1]. Es muss dann nur noch eine Differenz von Massenquadraten m 2 = m 2 2 m2 1 > 0 und ein Mischungswinkel θ betrachtet werden. Mit der Mischungsmatrix ( ) ( ) Uα1 U U = α2 cos θ sin θ = sin θ cos θ U β1 U β2 erhält man aus Gleichung 12 für die Wahrscheinlichkeit der Flavoränderung ( ) m P (ν α ν β α ) = sin 2 (2θ) sin 2 2 L. (15) 4 E Hier überzeugt man sich sehr schnell vom oszillatorischen Charakter der Übergangswahrscheinlichkeit. Außerdem sieht man, dass zumindest eine nicht verschwindende Neutrinomasse und die Neutrinomischung notwendige Bedingungen für eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit sind. In der Praxis sind Quelle und Detektionsprozess mit Unsicherheiten behaftet. Daher muss die Oszillationswahrscheinlichkeit über geeignete Verteilungen des Quelle-Detektor-Abstands L und der Energie E gemittelt werden. Dies führt zu drei Bereichen in der Oszillationswahrscheinlichkeit, die abhängig vom Wert der Oszillationsphase sind: m2 4E L 1: keine Oszillationen beobachtbar P (ν α ν β α ) 0 ( kurze Strecke) m2 4E L 1: Oszillationen beobachtbar ( lange Strecke) 6

7 m2 4E L 1: gemittelte Oszillationen ( sehr lange Strecke) ( )) m P (ν α ν β α ) = (sin 2 2 L sin 2 (2θ) = 1 4 E L,E 2 sin2 (2θ) Hieran lässt sich auch die anfangs unpräzise Unterscheidung in kurze und lange Flugstrecken verstehen. Zudem sieht man, dass man streng genommen noch einen dritten Fall, den von sehr langen Flugstrecken, hat. Abbildung 4: Gemittelte Übergangswahrscheinlichkeit für ν α ν β α als Funktion der Oszillationsphase über eine gaußverteilte L/E Verteilung bei maximaler Mischung θ = 45 der Neutrinos. Gestrichelte Kurve: Oszillationswahrscheinlichkeit bei scharfem L und E. 2.8 Folgerungen und weiterführende Fragen Die wichtigste Konsequenz aus dem Nachweis von Neutrinooszillationen ist die Existenz von Neutrinomassen. Dies bedeutet zum einen, dass das Standardmodell unvollständig ist und um Massenterme erweitert werden muss. Zum Anderen wird die Existenz von rechtshändigen Neutrinos theoretisch möglich. Allerdings lernt man aus den Oszillationsexperimenten nichts über die absolute Massenskala und die Massenhierarchie. Spannende und zugleich offene Fragen der Neutrinophysik sind zum Beispiel: CP-Invarianz bei Neutrinooszillationen: P (ν α ν β ) = P ( ν α ν β )? Gibt es mehr als drei Neutrinos? Gibt es sterile Neutrinos? 8 Existieren weitere exotische Neutrino-Wechselwirkungen? Dirac- oder Majorana-Teilchen: ν ν oder ν = ν? Wie groß sind die Massen m i?... 8 Sterile Neutrinos wären Neutrinos, die nicht an der schwachen Wechselwirkung teilnehmen, sondern nur an der Gravitation. 7

8 Abbildung 5: Neutrinooszillationen machen nur Aussagen über Differenzen von Massenquadraten. Hierarchie und absolute Massenskala bleiben unbekannt. Dabei könnten Neutrinooszillationsexperimente Licht auf die ersten drei Fragestellungen werfen. Für die letzten beiden Fragenstellungen kommen Experimente zum neutrinolosen doppelten Betazerfall bzw. Massenmessungen mit Hilfe des Betazerfalls von Tritium in Frage. Literatur [1] Fundamentals of Neutrino Physics and Astrophysics, C. Giunti, C. W. Kim, Oxford University Press, Oxford, UK, 2007 [2] Introduction to the Theory of the Early Universe: Hot Big Bang Theory, D. S. Gorbunov, V. A. Rubakov, World Scientific, 2011 [3] Neutrino Physics, B. Kayser [arxiv:hep-ph/ v1], 2005 [4] Stodolsky s Theorem and Neutrino Oscillation Phases for pedestrians, H. J. Lipkin [arxiv:hep-ph/ v3], 2003 [5] Elektroschwache Wechselwirkung, H. Spiesberger, WS 2007/2008 [6] Neutrino Flavor States and the Quantum Theory of Neutrino Oscillations, C. Giunti, [arxiv:hep-ph/ v2], 2006 [7] Lepton Numbers in the framework of Neutrino Mixing, S.M. Bilenky, C. Giuinti [arxiv:hep-ph/ v1] [8] Particles and Fundamental Interactions, S. Braibant, G.Giacomelli, M. Spurio, Springer, 2012 [9] Neutrino Oscillations Present Status and Future Plans, J. A. Thomas, P. L. Vahle, World Scientific, 2008 [10] No Effect of Majorana Phases in Neutrino Oscillations, C. Giunti, [arxiv:hep-ph/ v2],2010 [11] Oscillations of neutrinos and mesons in quantum field theory, M. Beuthe, [arxiv:hep-ph/ v2],2002 8