Kompetenzen ermitteln. Mathematik Didaktisches Material

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1 Kompetenzen ermitteln Mathematik Didaktisches Material

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3 Liebe Lehrerinnen und Lehrer, die vorliegende Veröffentlichung enthält die Aufgabenstellungen, Lösungen und didaktischen Kommentierungen der KERMIT 3 Mathematik (2016) 1, die vom Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen der Humboldt-Universität zu Berlin (IQB) erstellt wurden. Die didaktischen Materialien sollen nicht nur ganz konkret über die Bildungsstandards Mathematik und einen entsprechenden kompetenzorientierten Unterricht informieren, sondern sie sollen vor allem Sie als Lehrkraft in Ihrem täglichen Bemühen um einen solchen Unterricht unterstützen. Aus diesem Grund werden in dieser Handreichung allgemeine Informationen zu den beiden getesteten Leitideen Muster und Strukturen sowie Zahlen und Operationen gegeben. Anschließend werden die bei KERMIT 3 (2016) eingesetzten Aufgaben mitsamt ihren jeweiligen Lösungen und didaktischen Kommentierungen wiedergegeben. Wir möchten Sie darauf hinweisen, dass die vorliegende Veröffentlichung keine Testergebnisse Hamburger Schülerinnen und Schüler enthält; die Rückmeldung der Testergebnisse Ihrer Schülerinnen und Schüler erhalten Sie über Ihre Schulleitung direkt vom Institut für Bildungsmonitoring und Qualitätsentwicklung. Sie können das didaktische Material für Ihre persönlichen (Unterrichts-) Zwecke in gewohnter Weise vervielfältigen und weitergeben. Die Aufgaben enthalten teilweise urheberrechtlich geschütztes Material (Fotografien, Grafiken, Texte etc.). Das IQB hat für die Länder bzw. deren Behörden, Schulen, Lehrkräfte, Schülerinnen und Schüler, sowie Eltern für Juni 2016 bis April 2021 die nicht-kommerziellen, räumlich und medial unbeschränkten Nutzungsrechte erworben. 2 Ab Mai 2021 dürfen die Aufgaben der Testhefte 2016 nicht mehr für den allgemeinen Gebrauch vervielfältigt oder elektronisch verteilt werden. 3 Wir freuen uns über Ihre Kommentare und Anregungen zu der vorliegenden Veröffentlichung. Sie helfen uns damit, Ihre Erwartungen zukünftig noch besser erfüllen zu können. Ihr KERMIT-Team am Institut für Bildungsmonitoring und Qualitätsentwicklung Beltgens Garten Hamburg Mail: kermit@ifbq.hamburg.de 1 Die Bezeichnung für diese länderübergreifende Erhebung ist nicht überall gleich. In einigen Bundesländern werden sie als Vergleichsarbeiten (VERA) bezeichnet, in anderen werden sie Lernstandserhebungen genannt. 2 Trotz intensiver Bemühungen war es leider nicht für alle Materialquellen möglich, die Rechteinhaber ausfindig zu machen und zu kontaktieren, um erforderliche Veröffentlichungsrechte einzuholen. 3 Eine kommerzielle Verwendung der Aufgaben etwa im Rahmen von Verlagspublikationen muss bei den Rechteinhabern gesondert vereinbart werden.

4 Inhaltsverzeichnis 1. Allgemeine Erläuterungen zum Fach Mathematik Kompetenzorientierung und Bezug zu den Bildungsstandards Beschreibung der zu testenden Kompetenzbereiche Aufgaben aus dem Kompetenzbereich Muster und Strukturen...14 Aufgabe 1: 7 x Aufgabe 2: Zweierreihe...17 Aufgabe 3: Reihe vervollständigen...20 Aufgabe 4: Holzwürfel...22 Aufgabe 5: Schal...25 Aufgabe 6: Aufgaben ergänzen...27 Aufgabe 7: Quaderreihe...29 Aufgabe 8: falsche Zahlenfolge...34 Aufgabe 9: Brötchen...37 Aufgabe 10: Bastelbögen...39 Aufgabe 11: Knetkugeln...42 Aufgabe 12: Hundertertafel Aufgaben aus dem Kompetenzbereich Zahlen und Operationen...46 Aufgabe 13: Malfolge Sieben...46 Aufgabe 14: Zahlengröße...48 Aufgabe 15: Rechnung finden...51 Aufgabe 16: Dreimal dividieren...54 Aufgabe 17: Zwei kleckse...57 Aufgabe 18: Größer als Aufgabe 19: Minus ergänzen...63 Aufgabe 20: Sechsmal so alt...65 Aufgabe 21: Zeichen einsetzen...69 Aufgabe 22: Stellentafel...71 Aufgabe 23: Gleiche Teilbarkeit...73 Aufgabe 24: Aufgaben finden...77 Aufgabe 25: Subtraktion...80 Aufgabe 26: Rechenweg...83 Aufgabe 27: Gerade Summe...87 Aufgabe 28: Dreimal multiplizieren Literaturverzeichnis...93

5 1. Allgemeine Erläuterungen zum Fach Mathematik Im Folgenden werden wesentliche Komponenten der Bildungsstandards Mathematik für den Primarbereich sowie die hierzu empirisch konstruierten Kompetenzstufen kurz dargestellt. Ferner werden die mathematischen Kompetenzbereiche Zahlen und Operationen, sowie Muster und Strukturen erläutert und an konkreten Aufgabenbeispielen illustriert. Schließlich werden einige allgemeine Überlegungen zu einem Mathematikunterricht skizziert, der gute Voraussetzungen für das Erreichen der durch die Standards vorgegebenen Ziele bietet. Dabei wird auf die beiden Domänen Zahlen und Operationen und Muster und Strukturen kurz eingegangen. Detailliertere unterrichtliche Anregungen sowie spezifische Übungen sind in den aufgabenspezifischen didaktischen Kommentaren zu finden. 1.1 Kompetenzorientierung und Bezug zu den Bildungsstandards Die Bildungsstandards Mathematik Die Bildungsstandards Mathematik für den Primarbereich beschreiben die fachbezogenen Kompetenzen, die Schülerinnen und Schüler bis zum Ende der vierten Jahrgangsstufe erworben haben sollen. Kompetenzen sind kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten, die in aktiver Auseinandersetzung mit substantiellen Fachinhalten erworben werden können. Dabei wird zwischen allgemeinen und inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen unterschieden. Das wesentliche Ziel der Bildungsstandards ist es, die Qualität des Unterrichts zu steigern und dadurch die Leistungen und fachbezogenen Einstellungen aller Schülerinnen und Schüler zu verbessern. Entsprechend sollen die Standards eine Orientierung über verbindliche Zielerwartungen bieten. Verbunden mit den Bildungsstandards in der Primarstufe sind Möglichkeiten zur Überprüfung, inwieweit diese Ziele am Ende der Klassenstufe 4 erreicht worden sind. Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen umfassen fachliche Fähigkeiten, die in allen Inhaltsbereichen der Mathematik bedeutsam sind. Im Einzelnen sind dies: Technische Grundfertigkeiten, 4 Problemlösen, Kommunizieren, Argumentieren, Darstellen, Modellieren. 4 In den Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich der Kultusministerkonferenz vom ( ist die allgemeine mathematische Kompetenz Technische Grundfertigkeiten noch nicht enthalten. Eine inhaltlich ähnlich beschriebene allgemeine mathematische Kompetenz findet sich allerdings bereits bei den Bildungsstandards für den Sekundarbereich ( Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen ). Mittlerweile wurden im Zuge der Entwicklung von Kompetenzstufenmodellen in Mathematik auch für den Primarbereich die allgemeinen mathematischen Kompetenzen durch die sechste Dimension der Technischen Grundfertigkeiten ergänzt, weil diese Dimension in den anderen allgemeinen mathematischen Kompetenzen nicht hinreichend abgedeckt schien (vgl. Winkelmann/Robitzsch 2009). Ferner hat sich gezeigt, dass diese Dimension vor allem zur differenzierten Beschreibung der Aufgaben im unteren Leistungsbereich hilfreich ist. Die Ergänzung findet sich auf Seite 5 des Kompetenzstufenmodells zu den Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4) in der Fassung vom unter 5

6 Die für die Primarstufe beschriebenen inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen beziehen sich auf fünf mathematische Leitideen: Zahlen und Operationen, Raum und Form, Muster und Strukturen, Größen und Messen, Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Diese Leitideen sollen den Schülerinnen und Schülern helfen, zentrale mathematische Konzepte kennenzulernen und zu verstehen sowie den vernetzten Charakter der Mathematik zu erkunden. Zu den Leitideen werden inhaltsbezogene Kompetenzen unterschiedlichen Abstraktionsgrades formuliert (s. Kultusministerkonferenz 2005). Kompetenzstufen im Fach Mathematik Die oben kurz dargestellte Konzeption der Bildungsstandards Mathematik bildet einen theoretischen Rahmen zur Konzeption guten Mathematikunterrichts. Im Sinne der Output- Orientierung ist von Interesse, was Schülerinnen und Schüler verschiedener Altersstufen und verschiedener Bildungsgänge tatsächlich können. Auf der Grundlage empirischer Daten lassen sich sowohl Aufgaben nach Schwierigkeit, als auch die Schülerinnen und Schüler nach Leistungsfähigkeit verschiedenen Kompetenzstufen zuordnen, was allen für die Unterrichtskonzeption Verantwortlichen hilfreiche Orientierungen geben kann. Mit Hilfe entsprechender Daten wurde ein Kompetenzstufenmodell erarbeitet, das fünf hierarchisch angeordnete Kompetenzstufen enthält, die bei der Beschreibung von mathematischen Basiskompetenzen beginnen und bis zur Identifizierung eines elaborierten und souveränen Umgangs mit Mathematik in der Primarstufe gehen (vgl. Reiss, Roppelt, Haag, Pant & Köller 2012; Reiss & Winkelmann 2008; 2009). Das Modell umfasst alle in den Bildungsstandards ausgewiesenen mathematischen Leitideen. Es ermöglicht auf breiter Basis die Interpretation der mathematischen Kompetenz von Schülerinnen und Schülern am Ende der vierten Jahrgangsstufe.

7 Abbildung 1: Übersicht der Kompetenzstufen aus dem Kompetenzstufenmodell für das Fach Mathematik in der Grundschule Mindeststandard. Als Ausgangswert für die Stufeneinteilungen wurde jeweils das obere Ende von Kompetenzstufe I gewählt, und zwar so, dass alle Aufgaben mit Kennwerten unterhalb dieses Schwellenwerts nur solche Anforderungen stellen, deren einigermaßen sichere Erfüllung von allen Schülerinnen und Schülern des jeweiligen Bildungsgangs erwartet werden muss; man spricht hier vom Mindeststandard des Bildungsgangs. Schülerinnen und Schüler, die zum Ende der vierten Jahrgangsstufe die Kompetenzstufe II nicht erreichen und somit diesen Mindeststandard von 390 Punkten nicht erfüllen, haben einen besonderen Förderbedarf. Regelstandard. Der Regelstandard, den die Schülerinnen und Schüler zum Ende der vierten Jahrgangsstufe zumindest im Durchschnitt erfüllen sollen, ist höher angesetzt. Schülerinnen und Schüler, die mindestens 460 Punkte und damit die Kompetenzstufe III oder eine höhere erreicht haben, erfüllen die in den Bildungsstandards beschriebenen Erwartungen und erreichen den von der KMK festgelegten Regelstandard. Die oberste Stufe des hier vorgestellten Kompetenzmodells ist nach oben offen, d. h. es sind prinzipiell noch schwierigere Items und noch höhere Leistungen möglich, als in der zugrunde liegenden Erhebung vorkamen. Dementsprechend ist die niedrigste Stufe nach unten offen, d. h. es sind noch leichtere Items denkbar, die auch noch von sehr schwachen Schülerinnen und Schülern gelöst werden können. In der folgenden Abbildung sind Beispielaufgaben unterschiedlicher Schwierigkeit den einzelnen Stufen zugeordnet:

8 Abbildung 2: Globales Kompetenzstufenmodell und illustrierende Aufgaben im Fach Mathematik (siehe Seite 14 des Kompetenzstufenmodells zu den Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4) in der Fassung vom unter

9 1.2. Beschreibung der zu testenden Kompetenzbereiche In den KERMIT 3-Tests zur Mathematik werden pro Jahr jeweils zwei der fünf inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche umlaufend geprüft. In diesem Jahr (2016) werden die Bereiche Zahlen und Operationen und Muster und Strukturen getestet. Zu beiden Domänen werden im Folgenden einzelne Aspekte der Kompetenzbereiche differenziert dargestellt und anhand von konkreten Aufgaben aus KERMIT 3 für 2016 näher erläutert. Die Ausführungen stützen sich im Wesentlichen auf die Beschreibungen von Walther et al. (2012). Der Kompetenzbereich Zahlen und Operationen in den Bildungsstandards Der inhaltsbezogene Kompetenzbereich Zahlen und Operationen bildet (zusammen mit Raum und Form) den inhaltlichen Kern des Mathematikunterrichts in der Grundschule. Das explizite Erwähnen der Operationen ist dahingehend zu verstehen, dass diese über Fertigkeiten hinaus als Strategien zu entwickeln sind. Über den Aufbau von Vorstellungen zu den natürlichen Zahlen und den Rechenoperationen hinaus umfasst er das Anwenden der Kompetenzen in verschiedenen Zusammenhängen. Explizit sollen folgende Kompetenzen in diesem Bereich aufgebaut werden: Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen Rechenoperationen verstehen und beherrschen in Kontexten rechnen 5 Zahldarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen Dieser Kompetenzbereich bildet sowohl die Grundlage für die weiteren Bereiche der Kompetenz Zahlen und Operationen als auch für die weiteren Kompetenzbereiche der Bildungsstandards insgesamt. Es ist daher besonders wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler adäquate Vorstellungen zum dekadischen Stellenwertsystem aufbauen und ein Bewusstsein für Analogien im Aufbau von Zehnern, Hundertern usw. entwickeln. Sie sollen verschiedene Darstellungsformen von Zahlen kennen und diese zueinander in Beziehung setzen. Wie die Aufgabe in Abbildung 3 zeigt, gehört zu dieser Kompetenz auch die Orientierung im Zahlenraum sowie das Ordnen und Beschreiben von Zahlen. Ordne die Zahlen nach der Größe. Beginne mit der kleinsten Zahl < < < < Abbildung 3: Aufgabe 14, KERMIT 3 Mathematik 2016 Rechenoperationen verstehen und beherrschen Der Bereich Rechenoperationen verstehen und beherrschen ist relativ komplex und umfasst Kopfrechnen, mündliche und halbschriftliche Strategien sowie schriftliche Verfahren. Durch die Grundkenntnisse zum Aufbau des Stellenwertsystems und automatisierte Wissensbestandteile wie das Einspluseins und Einmaleins können Strategien des Kopfrechnens auf analoge Aufgaben übertragen werden. Flexibles Rechnen ist insbesondere bei mündlichen und halbschriftlichen Verfahren von Vorteil, um Aufgaben effektiv lösen zu können. Voraussetzung hierfür ist ein umfangreiches Wissen über Zahlen und Zahlbeziehungen. Auch 5 siehe Kultusministerkonferenz 2005, S. 9 unter

10 schriftlich dargestellte Algorithmen zur Addition, Subtraktion und Multiplikation sollen entsprechend verstanden und ausgeführt werden. Die Aufgabe in Abbildung 4 zeigt, dass neben dem Anwenden geeigneter Verfahren auch das Analysieren und Sprechen über Zahleigenschaften eine Rolle spielt, das hier wiederum auf einem soliden Grundverständnis der Operation aufbaut. Überdies gehört zu diesem Kompetenzbereich auch das Prüfen von Lösungen durch Überschlagsrechnungen oder Umkehroperationen. Max sagt: Die Zahlen, die durch 9 teilbar sind, sind auch immer durch 3 und 6 teilbar. Lea sagt: Das stimmt nicht. Begründe, dass Lea recht hat. Abbildung 4: Aufgabe 23, KERMIT 3 Mathematik 2016 Die Schülerinnen und Schüler sollen in der Lage sein, die Äußerungen anderer zu verstehen, zu erklären und/oder zu korrigieren. In Kontexten rechnen Ein vertieftes Verständnis über die Beziehungen zwischen den vier Grundrechenarten kann besonders durch eine Einbettung in verschiedene Kontexte gefördert werden. Hier bietet sich neben klassischen Sachaufgaben auch die Möglichkeit, einfache kombinatorische Aufgaben zu lösen. Wie die Aufgabe in Abbildung 5 illustriert, sind beim Rechnen in Kontexten nicht nur die Beziehungen zwischen der Sache und den einzelnen Lösungsschritten bedeutsam, sondern auch das Prüfen der Ergebnisse auf Plausibilität.

11 Welche Rechnung passt zur Aufgabe? Verbinde. In der Dose sind 20 Kekse. Anja isst 4 davon Es gibt 20 Tische. An jedem Tisch sitzen 4 Kinder In der Tüte sind 20 Bonbons. 4 Kinder teilen sie gerecht Ole hat 20 Autos. Er bekommt noch 4 Autos geschenkt. 20 : 4 Abbildung 5: Aufgabe 15, KERMIT 3 Mathematik 2016 Der Kompetenzbereich Muster und Strukturen in den Bildungsstandards Der Kompetenzbereich Muster und Strukturen hat höchste praktische Relevanz und eröffnet somit zahlreiche anwendungsbezogene Übungsfelder. Er zeichnet sich durch Vernetzungen mit allen anderen Kompetenzbereichen aus: Es gibt Verbindungen zu Zahlen und Operationen, zu Raum und Form, zu Größen und Messen und zu Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. In der kurzen Darstellung der Bildungsstandards umfasst die Leitidee Muster und Strukturen zwei wesentliche zusammenhängende Aspekte mit zahlreichen mathematischen Bezügen: Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben und darstellen funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen 6 Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben und darstellen Wie die Aufgabe in Abbildung 6 zeigt, umfasst dieser Bereich Aufgaben, die auf den ersten Blick auch dem Bereich Zahlen und Operationen zugeordnet werden könnten. Zunächst geht es um das Beschreiben einer Felddarstellung mithilfe einer Multiplikation. Aber es geht an dieser Stelle um mehr: Gegeben ist ein geometrisches Muster. Dieses soll erkannt und mit dem arithmetischen Muster in Verbindung gesetzt werden. Eine Seite des Rechtecks bleibt gleich, die andere wächst fortlaufend um eine Kästchenlänge. In der Multiplikation zeigt sich dies durch den gleichbleibenden Faktor 2 und den zweiten Faktor, der fortlaufend um eins größer wird. 6 siehe Kultusministerkonferenz 2005, S unter

12 Schreibe die passenden Mal-Aufgaben auf. Achte auf das Muster. 3 2 Abbildung 6: Aufgabe 2, KERMIT 3 Mathematik 2016 Funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen Ein weiterer Aspekt im Bereich Muster und Strukturen betrifft funktionale Beziehungen. Wird einer Zahl oder einer Größe nach einer festen Vorschrift eine zweite Zahl oder Größe zugeordnet, so ergeben sich Zahlenpaare, die oftmals ein Muster erkennen lassen. Ein funktionaler Zusammenhang, der in vielen Sachsituationen beim Modellieren auftritt, ist die Proportionalität. Weniger häufig zeigen sich indirekte Proportionalität, wie in Aufgabe 5 (Abbildung 7): Je mehr Elias an einem Tag strickt, desto schneller wird er fertig. Elias strickt einen Schal. Er strickt jeden Tag ein gleich langes Stück. Wenn er jeden Tag 16 cm strickt, ist der Schal in 10 Tagen fertig. Wie viel müsste er jeden Tag stricken, damit er in 5 Tagen fertig wird? cm Grafik: IQB Abbildung 7: Aufgabe 5, KERMIT 3 Mathematik 2016 Anregungen für den Unterricht Aufgaben wie die in KERMIT 3 können nicht nur zur Feststellung des Leistungsstandes, sondern auch zur unterrichtlichen Förderung von Kompetenzen dienen. Dabei sei betont, dass nicht die Aufgaben per se bei den Schülerinnen und Schülern zur Ausformung, Festigung und Weiterentwicklung der zu ihrer Lösung benötigten Kompetenzen führen, sondern nur eine den Schülerfähigkeiten angepasste Auswahl von Aufgaben und deren adäquate Behandlung im Unterricht. Die Lernenden müssen so belegen viele empirische Untersuchungen ausreichend Gelegenheiten haben, die entsprechenden kompetenzbezogenen Tätigkeiten (wie Argumentieren oder Modellieren) selbst zu vollziehen, mehr noch, über diese Tätigkeiten zu reflektieren, Lösungswege zu begründen, verschiedene Wege zu vergleichen, Ergebnisse kritisch zu diskutieren und vieles andere mehr. Die Ergebnisse von nationalen und internationalen Leistungsvergleichen weisen darauf hin, dass im Mathematikunterricht noch bewusster und noch konsequenter als bislang die umfassende Kompetenzentwicklung der Schülerinnen und Schüler im Mittelpunkt der Arbeit stehen sollte. In einem so verstandenen kompetenzorientierten Unterricht achtet die Lehrkraft noch mehr als bisher auf die individuellen Kompetenzstände der Kinder und macht Aufgabenangebote für verschiedene Leistungsniveaus.

13 So ist besonders im Bereich Zahlen und Operationen mit unterschiedlichen Vorerfahrungen bei den Schülerinnen und Schülern zu rechnen. Um diesen unterschiedlichen Kompetenzständen gerecht zu werden, sollten Kompetenzen im Bereich Zahlen und Operationen nicht allein auf der symbolischen Ebene (weiter-)entwickelt werden. Diverses Anschauungsmaterial eignet sich daher, um den Aufbau des Zahlsystems und die Zahlbildung zu verdeutlichen. Darüber hinaus können feste und flexible Mengendarstellungen mit handelnden Aktivitäten verbunden und damit die Vorstellungen der Schülerinnen und Schüler angeregt werden. Unterricht, der auf den Aufbau von Kompetenzen im Bereich Muster und Strukturen abzielt, sollte diese Leitidee in allen anderen Kompetenzbereichen mitdenken. Das Erkennen, Beschreiben und Weiterführen von Mustern sind grundlegende Tätigkeiten in der Mathematik: Muster zeigen sich in der Geometrie (Parkette, Bandornamente, Symmetrien) und in der Kombinatorik beim Strukturieren von Lösungsmöglichkeiten, aber vor allem auch bei strukturierten Päckchen, Aufgabenfolgen oder zahlreichen produktiven Übungsformen, wie Rechendreiecke, Rechenmauern, usw. Viele weitere Vorschläge für kompetenzorientiertes Unterrichten sind z. B. in Bruder/Büchter/Leuders (2008), Blum et al. (2006) oder Walther et al. (2012) enthalten. Die hier stichwortartig genannten Aspekte sind kennzeichnend für Unterrichtsqualität im Fach Mathematik. Etwas systematischer kann man dabei drei Komponenten unterscheiden 7. Eine fachlich gehaltvolle Unterrichtsgestaltung, die den Kindern immer wieder vielfältige Gelegenheiten zu kompetenzbezogenen Tätigkeiten bietet (zum mathematischen Modellieren, zum Argumentieren, zum Kommunizieren usw.) und bei der vielfältige Vernetzungen sowohl innerhalb der Mathematik als auch zwischen Mathematik und Realität hergestellt werden. Eine konsequente kognitive Aktivierung der Lernenden in einem Unterricht, der geistige Schülertätigkeiten herausfordert, selbständiges Lernen und Arbeiten ermöglicht und ermutigt, lernstrategisches Verhalten (heuristische Aktivitäten) fördert und ein stetes Nachdenken über das eigene Lernen und Arbeiten (metakognitive Aktivitäten) stimuliert. Eine effektive und schülerorientierte Unterrichtsführung, bei der verschiedene Formen und Methoden flexibel variiert werden, Stunden klar strukturiert sind, eine störungspräventive und fehleroffene Lernatmosphäre geschaffen wird und Lernen und Beurteilen erkennbar getrennt sind. Es gibt sicher keinen universellen Königsweg zum Unterrichtserfolg. Man weiß aber aus vielen empirischen Untersuchungen, dass Unterricht nur dann positive Effekte haben kann, wenn hinreichend viele dieser Qualitätskriterien erfüllt sind (vgl. u. a. Helmke 2006). Ein naheliegender Weg zur Realisierung eines solchen Unterrichts im Fach Mathematik ist die Verwendung eines breiten Spektrums kompetenzorientierter Aufgaben, darunter auch selbstdifferenzierende (d. h. Aufgaben, die Zugänge auf unterschiedlichen Niveaus ermöglichen und dadurch für stärkere wie schwächere Schülerinnen und Schüler gleichermaßen geeignet sind). Gerade offenere Aufgabenvarianten sind hier besonders gut geeignet, da sie Schülerinnen und Schülern ermöglichen, entsprechend ihrer Fähigkeiten eigene Wege zu gehen und selbständig Lösungen zu finden. Die Lehrkraft kann dabei versuchen, möglichst viele dieser Lösungswege zu beobachten und im Bedarfsfall unterstützend einzugreifen, und sie kann nach der Bearbeitung unterschiedliche Schülerlösungen präsentieren und diskutieren lassen. 7 Man vgl. dazu das einleitende Kapitel in Blum et al. (2006).

14 2. Aufgaben aus dem Kompetenzbereich Muster und Strukturen Aufgabe 1: 7 x 3 Welche Rechnung passt zu diesem Bild? : Auswertung : RICHTIG 7 3

15 Aufgabenmerkmale Anforderungsbereich Kompetenzstufe Allgemeine Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen (Leitideen) Zusammenhänge herstellen (II) I Darstellungen miteinander vergleichen und bewerten (5.3) strukturierte Zahldarstellungen (z.b. Hunderter-Tafel) verstehen und nutzen (3.1.a) Aufgabenbezogener Kommentar Das abgebildete Punktefeld stellt eine Veranschaulichung der Multiplikation als statische Anordnung (räumlich-simultaner Aspekt) dar. Diese bildliche Darstellung von Punkten soll zu den Aufgaben der vier Grundrechenarten in Beziehung gesetzt werden. Mögliche Schwierigkeiten Schülerinnen und Schüler - müssen zum Lösen dieser Aufgabe in der Lage sein, Beziehungen zwischen ikonischen und symbolischen Darstellungen mathematischer Sachverhalte zu erkennen und herzustellen. Anregungen für den Unterricht 1. Eine mögliche Hilfestellung im Unterricht liegt in der Versprachlichung und Beschreibung des Punktefelds. So kann die Antwort auf die Frage: Was siehst du? - Ich sehe siebenmal 3 Punkte. als sprachliche Brücke dienen, die den Bezug zur symbolischen Schreibweise (7 3) herzustellen vermag. Zusätzlich kann dabei die Multiplikation auf die wiederholte Addition zurückgeführt werden, z. B.: = 7 3 = Zur Einführung von Rechenaufgaben wird meist auf enaktive Darstellungsformen (Bildergeschichten, Handlungen, etc.) zurückgegriffen. Als weiterer Schritt sollten anschließend ikonische (z. B. Punktebilder) mit symbolischen Darstellungen (Rechnungen) in Verbindung gebracht werden. Zeitlich sukzessive Handlungen, wie z. B. Ich greife dreimal in den Beutel und hole immer sieben Murmeln heraus, lassen sich in eine räumlichsimultane Darstellung (ein Punktefeld) überführen, indem drei Reihen mit je sieben Steinen gelegt werden. Die Multiplikation ist so als Vereinigung gleichmächtiger Mengen erfahrbar. 3. In Bezug auf die Testaufgabe könnten Kinder aufgefordert werden, Punktebilder zu den übrigen Aufgaben herzustellen bzw. diese zuzuordnen. Welche Rechnung passt zum Bild? Begründe : 3

16 4. Weitere Aufgaben können das In-Beziehung-Setzen der drei Darstellungsebenen (enaktiv ikonisch symbolisch) bezogen auf die Multiplikation fordern und fördern: - Textaufgaben ikonischen Darstellungen zuordnen - Bsp.: Kai, Pia und Ali üben Torschüsse. Jeder schießt 7 Tore. Welche Bilder passen zur Aufgabe? Begründe. - Rechengeschichten zu Punktbildern oder Rechenaufgaben erfinden - Simultane Mengenerfassung mit Hilfe multiplikativer Strukturen: Die Punktbilder werden nur kurz gezeigt und nach der Anzahl der Punkte gefragt: Wie viele Punkte waren es insgesamt? - Muster erkennen und fortführen: Wie geht es weiter? Natürliche Differenzierungsmöglichkeiten, die eine gute Vorbereitung auf das große Einmaleins und die halbschriftliche Multiplikation eröffnen, ergeben sich mithilfe des Hunderterfelds bzw. mithilfe von Hunderterfeldern: - Malaufgaben anzeigen (z. B. mithilfe des Malwinkels/Abdeckwinkels): Welche Malaufgabe siehst du? (z. B. 7 3 oder 12 3) Welche anderen Teilaufgaben findest du in dem Muster? (z. B )

17 Förderung allgemeiner Kompetenzen Die mathematischen prozessbezogenen Kompetenzen, wie das Argumentieren und Kommunizieren, spielen bei dieser Art von Aufgaben eine wichtige Rolle. So liefern sie bei der Beschreibung von bildlichen Darstellungen Einsicht in die Wahrnehmung der Kinder. Sie können gefördert werden, indem das Begründen explizit eingefordert wird: Welche Rechnung passt zum Bild? Warum passt sie/warum passt sie nicht? Aufgabe 2: Zweierreihe Schreibe die passenden Mal-Aufgaben auf. Achte auf das Muster. 3 2 Auswertung RICHTIG Aufgabenmerkmale Die jeweilige Tauschaufgabe wird ebenfalls als richtig gewertet. Anforderungsbereich Kompetenzstufe Allgemeine Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen (Leitideen) Zusammenhänge herstellen (II) I eine Darstellung in eine andere übertragen (5.2) Gesetzmäßigkeiten in geometrischen und arithmetischen Mustern (z. B. in Zahlenfolgen oder strukturierten Aufgabenfolgen) erkennen, beschreiben und fortsetzen (3.1.b) Aufgabenbezogener Kommentar In dieser Aufgabe sollen den bildhaften Darstellungen die passenden Multiplikationssätze zugeordnet werden. Aus dem Beispiel 3 2 lassen sich die Multiplikationssätze für die anderen bildlichen Darstellungen ableiten. Dabei geht es nicht vorrangig um das Erkennen der

18 jeweiligen Multiplikationsaufgabe, sondern es soll bewusst werden, dass sich das bildliche Muster auch durch ein arithmetisches Muster darstellen lässt: Zwei Kästchen mehr zeigt sich darin, dass ein Faktor immer um eins größer wird. Mögliche Schwierigkeiten Die Schülerinnen und Schüler - erkennen das Muster nicht. - können den Zusammenhang zwischen der bildhaften Darstellung und der Multiplikation nicht herstellen. Anregungen für den Unterricht Im Unterricht lässt sich der Zusammenhang zwischen geometrischen und arithmetischen Mustern auf vielfältige Art erarbeiten und darstellen. 1. Aus der Erarbeitung der Multiplikation ist den Schülern neben der bildhaften Darstellung auch die symbolische Darstellung bekannt. Auch die passende Additionsaufgabe kann ergänzt werden. Dabei können wie in der folgenden Abbildung die Zeilen oder auch die Spalten betrachtet werden. Wichtig ist es, die Zusammenhänge zwischen der bildlichen und der arithmetischen Darstellung zu beschreiben und zu erklären: - Wo sieht man 2 4 bzw. 4 2? - Wie könnte das Muster weitergehen? Wie würde die Aufgabe dazu heißen? usw. 2 4 oder oder 4 3 usw

19 2. Auch zu anderen geometrischen Mustern lassen sich arithmetische Muster ergänzen und weiterführen. Anzahl der Dreiecke: Anzahl der grauen Dreiecke: Anzahl der weißen Dreiecke: In der weiterführenden Unterrichtsarbeit kann nach den Rechnungen, z. B. für die 7. O- der 10. Figur, gefragt werden. 3. Eine weitere Möglichkeit ist es, Muster auf Fehler hin zu analysieren. Welches Muster passt nicht in die Reihe? Begründe deine Entscheidung. 4. Die Verknüpfung mehrerer Rechenoperationen stellt ebenfalls eine höhere Schwierigkeit dar. Schreibe die fehlenden Aufgaben auf

20 Förderung allgemeiner Kompetenzen Aufgaben zum Erkennen und Analysieren von Strukturen in geometrischen Mustern bieten einen Anlass zum genauen Betrachten und Beschreiben solcher Muster. Dadurch können die Fähigkeiten zum Kommunizieren mathematischer Sachverhalte und zum Argumentieren verbessert werden. Fragen, die sich im Unterricht anbieten: - Beschreibe deinem Nachbarn, wie genau sich das Muster verändert. - Versuche deinem Nachbarn das Muster so zu beschreiben, dass dieser es zeichnen kann. - Erfinde selbst ein geometrisches Muster und beschreibe, wie genau es sich verändert. - Begründe, welches Muster nicht dazu passt und warum? Welche Eigenschaft unterscheidet das Muster von den anderen? - Finde eine Rechnung zum Muster und erkläre, warum die Rechnung passt. Aufgabe 3: Reihe vervollständigen Welche Zahl fehlt in der Reihe? Trage sie ein Auswertung RICHTIG 16 Aufgabenmerkmale Anforderungsbereich Kompetenzstufe Allgemeine Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen (Leitideen) Zusammenhänge herstellen (II) III mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden (1.1) Gesetzmäßigkeiten in geometrischen und arithmetischen Mustern (z. B. in Zahlenfolgen oder strukturierten Aufgabenfolgen) erkennen, beschreiben und fortsetzen (3.1.b)

21 Aufgabenbezogener Kommentar Um diese Aufgabe lösen zu können, müssen die Schülerinnen und Schüler mit dem Begriff Reihe vertraut sein. Sie müssen zunächst überlegen, wie sich die Zahlen in der Reihe verändern. Dabei können sie auf verschiedenen Wegen zur Lösung gelangen: - Sie erkennen, dass sich die Zahlen jeweils von links nach rechts verdoppeln bzw. von rechts nach links halbieren. - Sie rechnen: = = = 128 und schlussfolgern daraus: = 16 - oder auch 4 2 = = = 128 und schlussfolgern daraus: 8 2 = 16. Mögliche Schwierigkeiten Die Schülerinnen und Schüler - erkennen das Muster der Verdopplung nicht, weil sie vielleicht mit den Verdopplungen größerer Zahlen nicht vertraut sind (64 mal 2 ist 128). - suchen nach einer konstanten additiven Veränderung, z. B = = 12, weil sie das evtl. von Zahlenfolgen her so gewohnt sind. Anregungen für den Unterricht Zahlenfolgen können im Unterricht unterschiedlich eingesetzt werden. - Einfache Zahlenfolgen sind sich konstant verändernde additive Folgen: Immer + 11: 5; 16; 27; Komplexer sind Zahlenfolgen in denen sich dieser Summand stetig verändert Möglich sind auch multiplikative Folgen: Anspruchsvoller wird es, wenn mehrere Rechenoperationen in einer Zahlenfolge Anwendung finden: Wie kann mit Zahlenfolgen gearbeitet werden? 1. Begonnene Zahlenfolgen können nach einer gegebenen Bildungsregel weitergeführt o- der selbst erstellt werden: Erstelle eine Zahlenfolge, die nächste Zahl soll immer um 7 kleiner werden. Beginne bei In Zahlenfolgen sollen Bildungsregeln erkannt werden:

22 Gegeben ist eine Zahlenfolge: 320, 80, 20, 5. Nach welcher Regel wurde die Zahlenfolge gebildet? 3. Es sollen Bildungsregeln erkannt und einzelne Zahlen in den Zahlenfolgen ergänzt werden (wie in der Testaufgabe). Durch das verwendete Zahlenmaterial und die Bildungsregel lassen sich die Aufgaben in ihrem Schwierigkeitsgrad stark differenzieren. Dies ermöglicht Schülerinnen und Schülern auf ihrem individuellen Lernniveau Entdeckungen zu machen. So ist es auch möglich, von den Kindern selbst Zahlenfolgen erstellen zu lassen, die dann von ihren Mitschülerinnen und Mitschülern untersucht werden. Förderung allgemeiner Kompetenzen Zahlenfolgen eignen sich, um Problemlösekompetenzen anzubahnen. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln und nutzen Lösungsstrategien. So kann z. B. die Regel, nach der eine Folge gebildet wird, zunächst eine Vermutung sein, die gegebenenfalls so lange abgewandelt wird, bis die Überprüfung zeigt, dass die Regel stimmt. Zudem müssen in Zahlenfolgen einfache strukturelle Zusammenhänge zuerst erkannt und weiter angewandt bzw. deren Anwendung überprüft werden. Aufgabe 4: Holzwürfel Leo klebt Holzwürfel zu Stäben zusammen und malt diese Stäbe rundum an. Wie viele Quadratflächen muss er jeweils anmalen? Trage ein. Anzahl Würfel Anzahl anzumalender Quadratflächen Auswertung RICHTIG Anzahl Würfel Anzahl anzumalender Quadratflächen

23 Aufgabenmerkmale Anforderungsbereich Kompetenzstufe Allgemeine Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen (Leitideen) Zusammenhänge herstellen (II) II Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen (1.3) Gesetzmäßigkeiten in geometrischen und arithmetischen Mustern (z. B. in Zahlenfolgen oder strukturierten Aufgabenfolgen) erkennen, beschreiben und fortsetzen (3.1.b); funktionale Beziehungen in Tabellen darstellen und untersuchen (3.2.b) Aufgabenbezogener Kommentar Die Aufgabe testet, ob die Kinder in der Lage sind, das geometrische Muster in ein arithmetisches Muster zu übertragen. Zunächst ist dazu räumliches Denken erforderlich. Darüber hinaus muss das Muster erkannt werden, z. B. Ein innenliegender Würfel hat vier anzumalende Flächen, ein Würfel am Rand fünf. oder Jeder Würfel hat vier anzumalende Flächen, und es kommen noch zwei dazu an jedem Außenrand eine.. Dann kann die Anzahl der Flächen, die angemalt werden müssen, berechnet werden. Die Zeichnung der Würfelstäbe, unterstützt dabei das Verstehen der Sachsituation. Es wird vorausgesetzt, dass die Kinder wissen, dass ein Würfel 6 Flächen hat. Ein Abzählen der Flächen ist nicht möglich, da nicht alle Flächen zu sehen sind. Eine weitere Lösungsmöglichkeit wäre eine rechnerische Lösung. Mit Hilfe der Tabelle können die relevanten Zusammenhänge erkannt werden: Ab dem 2. Würfel kommen pro weiterem Würfel je 4 Flächen dazu. Mögliche Schwierigkeiten Die Schülerinnen und Schüler - berechnen nur die sichtbaren Flächen. - haben Probleme, den Ausdruck rundum zu verstehen und vergessen die Außenränder. Anregungen für den Unterricht Bei der Nachbesprechung der Aufgabe können verschiedene Lösungsstrategien erörtert werden. Figur Hölzer Zur Erarbeitung im Unterricht kann zunächst auf ein zweidimensionales Muster zurückgegriffen werden. Dies kann zum Beispiel durch Legen mit Streichhölzern geschehen. Die Strategie des Erschließens mittels Tabelle lässt sich hier gut anwenden. 2. Durch das Hantieren und Bauen mit Würfeln setzen sich Kinder mit den Eigenschaften dieses Körpers auseinander. Es würde sich beispielsweise anbieten, die Würfelstäbe

24 nachzubauen. Dies bahnt ein Verständnis für spätere Aufgabenstellungen bei Würfelbauten an, wenn es zum Beispiel darum geht, die Anzahl der verdeckten, inneren Würfel zu erkennen. 3. Der Umgang mit Würfeln, die verschiedenfarbige Seiten haben oder verdeckt sind, kann anhand weiterer Aufgabenformate behandelt werden: Die Außenflächen eines Würfels werden mit Klebepunkten versehen. - Welche Sorten von kleinen Würfeln gibt es dadurch nach dem Auseinandernehmen? - Die Kinder untersuchen, wie viele Würfel es von jeder Art gibt. Anzahl Klebepunkte keiner Anzahl Würfel - Welche der Würfel werden für einen Würfel gebraucht? Möglichkeiten der Differenzierung: 1. Beim Arbeiten mit Spielwürfeln fällt es den Kindern durch die Bepunktung vielleicht leichter, keine Fläche zu vergessen. Mögliche Aufgabenstellungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades könnten sein: - Drei Würfel werden zu einem Dreierturm übereinander gestellt. Welche Punktbilder sind versteckt? Wie groß ist die Summe aller sichtbaren Augen? Welches ist die größte mögliche Augensumme? 2. Zur Differenzierung lassen sich zweidimensionale Flächentreppen untersuchen: - Wie viele Quadrate sind es jeweils? Was fällt dir auf? Wie verändert sich die Anzahl? Erkennst du ein Muster? 3. Um die Schwierigkeit zu erhöhen, kann die Struktur komplexerer Bauwerke untersucht werden: - Wie viele quadratische Außenflächen ( Anmalflächen ) sind es? - Wie verändert sich die Anzahl, wenn ein weiteres Stockwerk oben ergänzt wird? Förderung allgemeiner Kompetenzen Die allgemeine Kompetenz des Argumentierens lässt sich mit diesen Aufgaben stärken, indem Begründungen für die Veränderungen gesucht werden, z. B.: Warum werden es 4 Flächen mehr? Zusätzlich kann das mathematisch-sprachliche Wissen im Bereich der Lagebeziehungen gefördert werden. Bei diesen Aufgaben geht es nicht nur um mathematische Begriffe wie z. B. Fläche, Ecke oder Quadrat, sondern speziell auch um Lagebeziehungen. Was bedeutet hinter, neben oder über?

25 Aufgabe 5: Schal Elias strickt einen Schal. Er strickt jeden Tag ein gleich langes Stück. Wenn er jeden Tag 16 cm strickt, ist der Schal in 10 Tagen fertig. Wie viel müsste er jeden Tag stricken, damit er in 5 Tagen fertig wird? cm Grafik: IQB Auswertung RICHTIG 32 Aufgabenmerkmale Anforderungsbereich Kompetenzstufe Allgemeine Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen (Leitideen) Zusammenhänge herstellen (II) IV Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen (4.1) einfache Sachaufgaben zur Proportionalität lösen (3.2.c) Aufgabenbezogener Kommentar In dieser Aufgabenstellung wird überprüft, ob das Kind die Sachsituation erfasst und in die Sprache der Mathematik übersetzen kann. Das Zahlenmaterial ist klein, die Rechnungen sollten keine Schwierigkeiten bereiten. Die entscheidende Herausforderung bei dieser Aufgabe ist, dass die Kinder die umgekehrt proportionale Zuordnung erfassen. Mögliche Schwierigkeiten - Den Kindern begegnen in ihrem Lebensumfeld häufiger proportionale Zuordnungen. - Wenn sie eine proportionale Zuordnung zu Grunde legen, kommen sie zu der fehlerhaften Lösung von 8 cm. Anregungen für den Unterricht Als Hilfen zum Erschließen solcher Sachsituationen bieten sich an: - das Zeichnen einer Skizze - das Nachstellen mit Anschauungsmitteln, in diesem Fall z. B. ein Stück Faden - das Übertragen der bekannten Werte in eine Tabelle 1. Bei der Nachbesprechung der Aufgabe im Unterricht kann die Fehlerlösung 8 cm aufgegriffen und das Ergebnis auf Plausibilität überprüft werden. Kann das stimmen? Wenn Elias 5 Tage lang jeden Tag 8 cm strickt, ist das genauso viel, wie wenn er 10 Tage jeweils 16 cm strickt?

26 2. Eine Skizze kann den Sachverhalt verdeutlichen. 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 1. Tag 2. Tag 3. Tag 4. Tag 5. Tag 6. Tag 7. Tag 8. Tag 9. Tag 10. Tag 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 16 cm 1. Tag 2. Tag 3. Tag 4. Tag 5. Tag 3. Antiproportionale Zuordnungen sind im Alltag der Kinder selten oft handelt es sich dabei nur um Gedankenmodelle. Aus diesem Grund sollten sowohl Aufgaben zur proportionalen als auch zur antiproportionalen Zuordnung thematisiert werden. Beispiele für proportionale Zuordnungsaufgaben: - Im Stall sind 10 Kühe. Sie haben Beine. - 2 Pakete Nudeln kosten 2,80. Ein Paket kostet Kekse reichen für 6 Kinder. Wie viele Kekse braucht man für 2 Kinder? Beispiele für antiproportionale Zuordnungen - 2 Kinder brauchen 10 Minuten, um alle Bilder aufzuhängen. Dann können 4 Kinder das in min schaffen. - Die Hunde bekommen jeden Tag eine gleiche Menge an Trockenfutter. Für 2 Hunde reicht ein Sack Trockenfutter 30 Tage. Für 1 Hund reicht der Sack für Tage. - Ein Tretboot zu mieten kostet 12 für eine Stunde. Berechne den Preis für jede Person, wenn sich 2 Personen das Boot teilen oder wenn 4 Personen mitfahren. Das Anspruchsniveau wird gesenkt, wenn eine den Kindern bereits bekannte Sachsituation nur mit anderem Zahlenmaterial versehen wird. Anspruchsvoller wird es, wenn die Kinder selbst ähnliche Aufgaben erfinden und präsentieren. Förderung allgemeiner Kompetenzen Zur Vertiefung der allgemeinen Kompetenz des Argumentierens ist es hilfreich, den Kindern Sprachmuster anzubieten. - Wenn... dann - Je mehr... desto... - Je weniger... umso... - Verändert sich, bleibt gleich,...

27 Aufgabe 6: Aufgaben ergänzen Die Aufgabenfolge wurde nach einer Regel gebildet = = = = = Warum wird das Ergebnis immer um 9 größer? Begründe. Auswertung RICHTIG FALSCH Die Begründung muss sinngemäß enthalten, dass der erste Summand (erste Zahl) um 10 größer wird, der zweite Summand (die zweite Zahl) jedoch um 1 kleiner. alle anderen Antworten, auch Antworten, die nur das Muster beschreiben, z.b. sinngemäß: Weil die erste Ziffer immer um 1 größer wird und die vierte Ziffer um 1 kleiner. Aufgabenmerkmale Anforderungsbereich Kompetenzstufe Allgemeine Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen (Leitideen) Verallgemeinern und Reflektieren (III) V mathematische Zusammenhänge erkennen und Vermutungen entwickeln (3.2) Gesetzmäßigkeiten in geometrischen und arithmetischen Mustern (z. B. in Zahlenfolgen oder strukturierten Aufgabenfolgen) erkennen, beschreiben und fortsetzen (3.1.b) Aufgabenbezogener Kommentar In dieser Aufgabe sind die Schüler aufgefordert, mathematisch zu argumentieren. Für die erfolgreiche Bearbeitung müssen sie den Zusammenhang zwischen den einzelnen Summanden und der Summe erkennen. Nur wenn sie erkannt haben, wie sich die beiden Summanden (1. Summand + 10, 2. Summand - 1) verändern und dies in Beziehung zur

28 Summe (immer + 9 ) setzen, können sie eine Begründung formulieren, die folgenden Zusammenhang aufzeigt: Wenn ich einen Summanden um 10 vergrößere und den anderen um 1 verkleinere, ergibt sich die Differenz 9, um die sich das Ergebnis verändert. Mögliche Schwierigkeiten Die Schülerinnen und Schüler - erkennen zwar, wie sich die Summanden jeweils verändern, stellen aber den Bezug zur Veränderung beim Ergebnis nicht her. - haben Schwierigkeiten beim Formulieren einer vollständigen Begründung. Dies zeigt sich z. B. in Formulierungen, bei denen der Bezug zu den Summanden nicht hergestellt wird: Weil von 108 zu 117 sind 9 und immer so weiter. Anregungen für den Unterricht Im Unterricht lassen sich Aufgabenfolgen vielfältig einsetzen. Das Beschreiben und Begründen kann dabei auf unterschiedliche Weise praktiziert werden. 1. Lösen und Fortsetzen von Aufgabenfolgen: A B C D = = = = = = = = = = = = = = = = Wie verändern sich die Ergebnisse? Begründe, warum das so ist. 2. Beschreibungen zuordnen: Zu welcher Aufgabenfolge passen folgende Beschreibungen? - Der erste Summand wird immer um 5 kleiner. Der zweite Summand wird immer um 1 größer. Die Summe wird immer um 4 kleiner. - Der erste Summand wird immer um 2 größer. Der zweite Summand wird immer um 2 kleiner. Die Summe. 3. Beschreibungen formulieren: Wähle dir eine andere Aufgabenfolge aus und beschreibe sie. 4. Kontrollieren der Ergebnisse und Entdecken von Fehlern: = = = = = 136 Ein Ergebnis ist falsch. Woran kannst du das erkennen? Erkläre. Hinweis: Du brauchst nicht alle Aufgaben zu rechnen.

29 5. Erstellen eigener Aufgabenfolgen: Erstelle eine eigene Aufgabenfolge. Das Ergebnis soll immer gleich bleiben. Formuliere einen Tipp, wie man das ganz schnell machen kann. Wenn die Kinder die Zusammenhänge erkennen, die zu einem konstanten Ergebnis führen (gegensinniges Verändern bei der Addition, gleichsinniges Verändern bei der Subtraktion), können sie die Erkenntnisse auch beim vorteilhaften Rechnen anwenden. 6. Zur Vereinfachung kann den Kindern auch eine leichtere Einstiegsaufgabe angeboten werden, z. B Kindern, denen es schwer fällt, solche Aufgabenfolgen zu erstellen, können die Zusammenhänge auch mit Plättchen veranschaulicht werden: Förderung allgemeiner Kompetenzen Das Erkennen von Mustern in Aufgabenfolgen und die Suche nach Verallgemeinerungen kann ein erster Schritt zu einfachen Schlussfolgerungen sein. Die Schülerinnen und Schüler lernen dabei, dass gute Begründungen nach Formulierungen, wie z. B. wenn..., dann... oder weil..., deshalb ist... verlangen und eine Unterscheidung zwischen einer notwendigen Voraussetzung und der entsprechenden Schlussfolgerung getroffen werden muss. Aufgabe 7: Quaderreihe = = 5 + = + = Die Bauwerke verändern sich nach einer bestimmten Regel. Das 4. Bauwerk besteht aus Würfeln. Auswertung RICHTIG 16 ODER 4 4

30 Aufgabenmerkmale Anforderungsbereich Kompetenzstufe Allgemeine Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen (Leitideen) Zusammenhänge herstellen (II) III Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen (1.3) Gesetzmäßigkeiten in geometrischen und arithmetischen Mustern (z. B. in Zahlenfolgen oder strukturierten Aufgabenfolgen) erkennen, beschreiben und fortsetzen (3.1.b) Aufgabenbezogener Kommentar Die Anzahl der Würfel ändert sich nach einer bestimmten Regel. Die Kinder müssen die Beziehungen zwischen den einzelnen Bauwerken erfassen, um berechnen zu können, aus wie vielen Würfeln das Bauwerk im 4. Feld besteht. Bei dieser Aufgabe geht es darum, ein geometrisches Muster (Quader mit quadratischer Seitenfläche, die immer nach derselben Regel größer werden) mit einem arithmetischen Muster in Verbindung zu bringen (1 1, 2 2, 3 3,...). Das Leerfeld in der Aufgabe ermöglicht das Einzeichnen, so dass die Lösung auch mit Unterstützung durch die zeichnerische Lösung gefunden werden kann. Da es gerade um die Verbindung von arithmetischem und geometrischem Muster geht, ist es erforderlich, dass die Kinder auch die richtige Lösungszahl unter der Grafik eintragen. Mögliche Schwierigkeiten Die Schülerinnen und Schüler - haben Schwierigkeiten, das Schrägbild zu erfassen und die Bauwerke dreidimensional zu sehen. Gerade die in der Schrägbilddarstellung zu sehenden Seitenränder können verwirren. Werden sie mitgezählt, ist es schwierig, die Regel zu erkennen. Anregungen für den Unterricht Um das Erfassen der Beziehung zwischen den Bauwerken zu unterstützen, ist das Arbeiten auf handelnder Ebene hilfreich. Beim Nachbauen kann deutlich werden, dass von Bauwerk zu Bauwerk jeweils eine Würfelreihe in der Höhe und Breite hinzukommen. Unterstützende Fragestellungen: - Welchen Unterschied gibt es zwischen dem 1. und dem 2. Bauwerk (dem 2. und dem 3.)? - Wie viele Würfel hat jedes Bauwerk (Breite/Höhe)? - An welcher Stelle kommen Würfel hinzu? - Wie viele Würfel kommen dazu? Das Einzeichnen der Veränderungen (Ankreuzen oder mit farbigem Stift) von einem Bauwerk zum benachbarten Bauwerk veranschaulicht die Beziehung zwischen den Bauwerken ebenfalls.

31 ? Gerade bei Schwierigkeiten mit der Schrägbilddarstellung können als Lösungshilfe die Vorderansichten der Würfelgebäude gezeichnet und die Anzahl der entstandenen Quadrate miteinander verglichen werden. Ein Aufeinanderlegen der Quadrate oder eine Skizze, die die Veränderungen abbildet, können die Beziehung deutlich werden lassen.?? 1 2 3? 5

32 Möglichkeiten der Differenzierung: 1. Die Kinder wählen aus vorgegebenen Lösungsvorschlägen aus, welches Bauwerk fehlt und ermitteln dann die Anzahl der Würfel: 2. Die Kinder versuchen eine allgemeine Regel für die Bildung der Bauwerke zu finden. Dann kann die Anzahl der Würfel für die Würfelgebäude bestimmt werden, ohne dass diese nachgebaut werden müssen, z. B.: - Aus wie vielen Würfeln besteht das 20. (25.) Bauwerk? Dazu kann losgelöst vom Material der Einsatz einer Tabelle hilfreich sein: Breite Anzahl Die Kinder müssen erfassen, dass die Anzahl der Würfel in den Bauwerken in der Breite und Höhe gleich sind und dass die Gesamtanzahl der Würfel im jeweiligen Würfelgebäude die Quadratzahl der jeweiligen Stelle des Bauwerks in einer Reihe ist. 3. Bauwerk 3 Würfel breit, 3 Würfel hoch Anzahl der Würfel: 9 5. Bauwerk 5 Würfel breit, 5 Würfel hoch Anzahl der Würfel Bauwerk 7 Würfel breit, 3. Die Anzahl der Würfel verändert sich von Bauwerk zu Bauwerk nur in eine Richtung (Höhe oder Breite): - Zeichne das fehlende Bauwerk./Wie viele Würfel hat das fehlende Bauwerk?/Kannst du eine Regel erkennen?? 4. Die Anzahl der Würfel verändert sich von Bauwerk zu Bauwerk in mehrere Richtungen (Höhe, Breite, Tiefe):?

33 - Kannst du das fehlende Bauwerk zeichnen? Wie viele Würfel hat das fehlende Bauwerk? Kannst du eine Regel erkennen?? Förderung allgemeiner Kompetenzen Hier bieten sich vielfältige Möglichkeiten an. Problemlösen - Aus wie vielen Würfeln besteht das Bauwerk, wenn es eine Seitenlänge von 9 Würfeln besitzt? - Wie viele Würfel braucht man noch, um aus genau diesen 5 Bauwerken (der Ursprungsaufgabe) einen vollständigen Würfel zu bauen? Kommunizieren - Beschreibe, wie sich die Würfelgebäude verändern. - Erkläre, warum das 4. Bauwerk aus 16 Würfeln besteht. - Wie entsteht das 2. Bauwerk aus dem 1.? - Wie entsteht das 3. Bauwerk aus dem 2.? - Wie entsteht das 4. Bauwerk aus dem 3.? Argumentieren - Gibt es ein Würfelgebäude mit 66 Würfeln, das nach diesem Muster gebaut ist? Begründe. - Max sagt: Aus den Würfeln aller fünf Würfelbauwerke kann ich zwei 3 3 Würfel bauen. Hat Max Recht? Darstellen - Zeichne ein Muster aus Rechtecken mit der gleichen Regel wie bei diesen Würfelbauwerken.