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1 Kanton St. Gallen Bildungsdepartement St.Gallische Kantonsschulen Gymnasium Aufnahmeprüfung 2017 Mathematik 1 (ohne Taschenrechner) Dauer: 90 Minuten Kandidatennummer: Geburtsdatum: Korrigiert von: Punktzahl/Note: Aufgabe Total Mögliche Punkte Erreichte Punkte Erreichte Punktzahl: Schlussnote:

2 Löse die Aufgaben auf diesen Blättern. Der Lösungsweg muss aus der Darstellung klar ersichtlich sein. Aufgabe 1 Berechne die folgenden Terme und vereinfache soweit wie möglich. a) b) 2 5 : c) Punkte

3 Aufgabe 2 Berechne und fülle die Lücken korrekt aus. a) 15% von 250 Gramm sind... Gramm. b) 20 Franken sind...% von 125 Franken. c) 36 Sekunden sind...% mehr als 24 Sekunden. 3 Punkte

4 Aufgabe 3 a) Löse die folgenden Gleichungen nach x auf: 2x 5 x+2 3x= x 16 =4 x b) Vereinfache die folgenden Terme soweit wie möglich und notiere die Ergebnisse in das Feld nebenan. 2a + + 2a b a+2b ab 5x 12x 8y :4 3y 4x 3y 3 + 3(2x y) 4 5 Punkte

5 Aufgabe 4 Bestimme jeweils den Wert für x. a) x = x = b) ; =0.78 x = c) 0.3 < 10 < =x x = d) ; = x = e) 0.3 ; =0.027 x = 5 Punkte

6 Aufgabe 5 a) Im Viereck ABCD sind die Seiten AD und BC gleich lang (Abbildung nicht massstabsgetreu). Berechne den Winkel β. b) CD ist die Winkelhalbierende des Winkels bei C (Abbildung nicht massstabsgetreu). Berechne den Winkel α. 4 Punkte

7 Aufgabe 6 Ein Gleitschirmflugschüler erhält von seinem Instruktor folgende Anweisungen für den kommenden Flug: Auf dem ganzen Flug darf der Abstand zur Hochspannungsleitung AB nie 100 Meter unterschreiten. Das Dreieck ABS darf während des Fluges nie verlassen werden. Der Landeplatz soll näher beim Startplatz S als beim Hochspannungsleitungsmast A sein. Der Abstand des Landeplatzes zu BS soll mindestens so gross sein wie der Abstand des Landeplatzes zu AS. Konstruiere und schraffiere das mögliche Landegebiet in der untenstehenden Skizze. Massstab: 50 m 3 Punkte

8 Aufgabe 7 Die in den Würfelnetzen eingezeichneten Pfeile entsprechen den auf den Würfeln von aussen sichtbaren Pfeilen. a) Markiere die punktierte Fläche im Würfelnetz. b) Markiere die punktierte Fläche im Würfelnetz. c) Markiere die punktierte Fläche im Würfel. 3 Punkte

9 Aufgabe 8 Die erste Figur besteht aus 10 Zündhölzern: 1. Figur 2. Figur 3. Figur a) Zeichne die 4. Figur. b) Mit welchem Term berechnest du die Anzahl Zündhölzer in der x-ten Figur? c) Wie viele Zündhölzer brauchst du für die 36. Figur? d) Für welche Figur benötigst du 778 Zündhölzer? 4 Punkte

10 Aufgabe 9 Konstruiere in der Figur die folgenden Punkte. a) Umkreismittelpunkt U vom Dreieck ABC b) Höhenschnittpunkt H vom Dreieck BCD c) Schwerpunkt S vom Dreieck ACE d) Inkreismittelpunkt I vom Dreieck ABF 4 Punkte

11 Aufgabe 10 In der folgenden (nicht massstabgetreuen) Figur sind die Flächeninhalte A 1 und A 2 gleich gross. Berechne die Länge der Strecke x. 3 Punkte

12 Aufgabe 11 In den Zahlentrichtern berechnet sich jedes Feld als die Summe aus dem Inhalt des Feldes direkt oberhalb links und dem Doppelten des Feldes direkt oberhalb rechts. Beispiel: a) b) c) 6 Punkte

13 Kanton St.Gallen Bildungsdepartement St.Gallische Kantonsschulen Gymnasium Aufnahmeprüfung 2017 Mathematik 2 (mit Taschenrechner) Dauer: 90 Minuten Kandidatennummer: Geburtsdatum: Korrigiert von: Punktzahl/Note: Aufgabe Total Mögliche Punkte Erreichte Punkte Erreichte Punktzahl: Schlussnote:

14 Löse die Aufgaben auf diesen Blättern. Der Lösungsweg muss aus der Darstellung klar ersichtlich sein. Aufgabe 1 Gegeben sind drei Terme: A = 0.25x & B = x C = 5x x + Berechne den Wert für den Term,-. 0, wenn für x = 0.4 eingesetzt wird. / 2 Punkte Aufgabe 2 Finde je eine Zahl mit folgenden Eigenschaften: a) Zwei Siebtel einer Zahl ist um 44 kleiner als drei Fünftel der Zahl. b) Multipliziert man eine Zahl mit 7, so liegt sie so viel unter 400 wie die Zahl selber unter 178 liegt. 4 Punkte

15 Aufgabe 3 Aus einem massiven Holzwürfel werden von jeder Seitenfläche aus zentrale Löcher mit einem quadratischen Querschnitt durch den ganzen Würfel hindurch gestanzt. Der gestanzte Holzwürfel wird dann in Farbe getaucht. Wie gross ist die farbige Fläche? 3 Punkte Aufgabe 4 Auf einer Kantonsstrasse werden die Leit- und Sicherheitslinien durchgehend mit weisser Farbe gemalt. Eine Linie ist 20 cm breit und 2 mm dick. Wie viele Kessel weisser Farbe à 20 Liter werden für ein 800 m langes Teilstück benötigt? Sicherheitslinie Leitlinien 3 Punkte

16 Aufgabe 5 Cheeseburger mit Speck Menge für einen Burger Einkaufskosten pro Packung 120 g Hackfleisch 300 g-packung Hackfleisch 6.20 Fr. 20 g Käse 100 g-packung Käse 2.45 Fr. 4 Speckstreifen Packung mit 10 Speckstreifen 3.10 Fr 1 Hamburgerbrötchen Packung mit 6 Brötchen 2.40 Fr. Stelle die Kosten für unterschiedliche Anzahlen Cheeseburger in der Tabelle zusammen. Rechne mit ganzen Packungen. Anzahl Burger Hackfleisch Käse Speck Brötchen Kosten total Kosten pro Burger Punkte Aufgabe 6 Die folgende Figur ist zusammengesetzt aus einem Dreieck und einem Rechteck. Bestimme h so, dass die Gesamtfläche der Figur 75 cm 2 beträgt. Runde auf ganze mm. 19 cm 2 Punkte

17 Aufgabe 7 Der Mond ist etwa km von der Erde entfernt. Der erste bemannte Flug mit der Raumfähre Apollo 8 um den Mond und wieder zurück dauerte insgesamt 6 Tage. a) Wie viele Kilometer legte die Raumfähre durchschnittlich in einer Stunde zurück? b) Der Stern Sirius A ist von der Erde etwa 8.6 Lichtjahre entfernt. Ein Lichtjahr beträgt km. Wie viele Jahre würde die Reise mit der Apollo 8 zum Stern Sirius A dauern? Rechne mit 365 Tagen pro Jahr. c) Zeichne den Graphen für die Reise der Apollo 8 zum Mond und wieder zurück. Annahme: Die Raumsonde bewegte sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Distanz zur Erde (in 1000 km) 3 Punkte

18 Aufgabe 8 Zwei Roller derselben Kategorie werden verglichen: Elektroroller oder Benzinroller? Marke emco NOVA Piaggio Primavera 50 Betriebsart Elektro Benzin Höchstgeschwindigkeit 45 km/h 45 km/h Motorenleistung 2 kw 3.5 kw oder 4.76 PS Durchschnittliche Reichweite 100 km 240 km Energieverbrauch 4 kwh pro 100 km 2.7 Liter pro 100 km Preis 4990 Fr Fr. Energiekosten 20 Rp. pro kwh 1.40 Fr. pro Liter Benzin a) Wie viel betragen die Energiekosten pro 100 km? Elektro-Roller:. Benzinroller:. b) Die Leistung von technischen Geräten wird in Kilowatt (kw) angegeben. Bei Motorfahrzeugen ist allerdings die veraltete Einheit PS (Pferdestärken) immer noch gebräuchlich. Wie viele kw sind 1 PS? kw c) Wie teuer wird die Anschaffung inkl. Energiekosten für km pro Roller? Elektroroller:. Fr. Benzinroller:.. Fr. d) Wie weit fahren die Roller für 5 Fr. Energiekosten? Elektro:. km Benzin:. km 5 Punkte

19 Aufgabe 9 Gegeben ist folgender Quader aus Holz: 16 cm 30 cm 12 cm a) Wie schwer ist der ganze Quader, wenn 1 cm 3 Holz eine Masse von 690 mg hat? Runde auf 100 g genau. Der Quader wird nun in rote Farbe getaucht und anschliessend in Würfelchen mit 2 cm Kantenlänge zerschnitten. b) Wie viele Holzwürfelchen entstehen? c) Bei wie vielen Würfelchen ist genau eine Seite rot bemalt? 4 Punkte

20 Aufgabe 10 Von einer Schrägseilbrücke sind einige Masse bekannt. (Die Zeichnung ist nicht massstabsgetreu.) a a 24 m 50 m b b A B C s 68 m a) Wie gross ist der Abstand a zwischen den Seilbefestigungen A und B? b) Wie lang ist das Seil s (welches bei C endet)? 3 Punkte

21 Kanton St. Gallen Bildungsdepartement St.Gallische Kantonsschulen Gymnasium Aufnahmeprüfung 2017 Mathematik 1: Korrekturanleitung (ohne Taschenrechner) Die Korrekturanleitung legt die Verteilung der Punkte auf die einzelnen Aufgaben oder Aufgabenteile fest. Die dient als Richtlinie bei der Bewertung von unvollständig oder teilweise falsch gelösten Aufgaben. Ist eine Aufgabe klar und richtig gelöst, so ist die entsprechende Punktzahl unabhängig vom eingeschlagenen Weg zu erteilen. Einige Hinweise: Fehlen die Lösungswege oder sind diese unklar, so sind angemessene Abzüge zu machen. Ausnahmen sind angegeben. Wo nichts anderes angegeben ist, wird als Richtwert pro Fehler 1 Punkt abgezogen. Dies gilt insbesondere für Rechenfehler wie auch für Abschreibfehler. Für kleinere Versehen wird ½ Punkt abgezogen. Fehlerfortpflanzungen führen nur dann zu weiteren Abzügen, wenn sich dadurch die Aufgabe wesentlich vereinfacht oder wenn ein unsinniges Ergebnis entsteht. Überlegungsfehler und grobe Mathematikfehler rechtfertigen auch höhere Abzüge bis zum Totalabzug. Dasselbe gilt für falsch aufgestellte Gleichungen. Das Lösen solcher Gleichungen gibt nicht in jedem Fall Anrecht auf Punkte. Die Anwendung dieser Richtlinien liegt im Ermessen der Korrigierenden. In Zweifelsfällen ist eine abteilungs- oder schulinterne Absprache angezeigt.

22 Aufgabe 1 Berechne die folgenden Terme und vereinfache soweit wie möglich. a) = Punkt b) 2 5 : 3 5, 1 5 =5 2 1 Punkt c) 4, =5 1 Punkt Resultate nicht vereinfacht: -0.5 Punkte 3 Punkte

23 Aufgabe 2 Berechne und fülle die Lücken korrekt aus. a) 15% von 250 Gramm sind Gramm. 1 Punkt b) 20 Franken sind...16%... von 125 Franken. 1 Punkt c) 36 Sekunden sind 50%... mehr als 24 Sekunden. 1 Punkt Bemerkung: Diese Aufgaben können im Kopf gelöst werden. 3 Punkte

24 Aufgabe 3 a) Löse die folgenden Gleichungen nach x auf: 2x 5 x+2 3x= 19 2x 5x 10 3x= 19 x=1.5 1 Punkt 18 6x 16 =4 x 18 6x=64 16x 1 Punkt x=4.6 b) Vereinfache die folgenden Terme soweit wie möglich und notiere die Ergebnisse in das Feld nebenan. 2a, + 2a b a+2b ab 2ab 2b, 1 Punkt 5x 12x 8y :4 3y 2x y 1 Punkt 4x 3y 3 + 3(2x y) 4 :;<=,>? >, 1 Punkt 5 Punkte

25 Aufgabe 4 Bestimme jeweils den Wert für x. a) x 10 =, = x = b) < =0.78 x = 7 c) 0.3 ; 10 ; =x x =81 d) < = x =5 e) 0.3 < =0.027 x =3 Je 1 Punkt 5 Punkte

26 Aufgabe 5 a) Im Viereck ABCD sind die Seiten AD und BC gleich lang (Abbildung nicht massstabsgetreu). Berechne den Winkel β. i) α=65 (1 Punkt) ii) Aus i) folgt, dass ACD gleichschenklig ist. iii) Somit ist auch ABC gleichschenklig iv) Somit ist β=γ= >EF =GF =55, (1 Punkt) b) CD ist die Winkelhalbierende des Winkels bei C (Abbildung nicht massstabsgetreu). Berechne den Winkel α. i) β=α (1 Punkt) ii) Aussenwinkelsatz: 4α=90 +α iii) Somit ist α=30 (1 Punkt) 4 Punkte

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29 Aufgabe 8 Die erste Figur besteht aus 10 Zündhölzern: 1. Figur 2. Figur 3. Figur a) Zeichne die 4. Figur. (1 Punkt) b) Mit welchem Term berechnest du die Anzahl Zündhölzer in der x-ten Figur? 3x+7 (1 Punkt) c) Wie viele Zündhölzer brauchst du für die 36. Figur? 115 (1 Punkt) d) Für welche Figur benötigst du 778 Zündhölzer? 3x+7=778 x=257 D.h. für die 257. Figur. (1 Punkt) 4 Punkte

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31 Aufgabe 10 In der folgenden (nicht massstabgetreuen) Figur sind die Flächeninhalte A 1 und A 2 gleich gross. Berechne die Länge der Strecke x. 22 cm Mittellinie des Trapezes = 58 cm x=58x x=6 cm (1 Punkt) (1 Punkt) (1 Punkt) oder 8 x =58x x=6 cm 3 Punkte

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33 Kanton St.Gallen Bildungsdepartement St.Gallische Kantonsschulen Gymnasium Aufnahmeprüfung 2017 Mathematik 2: Korrekturanleitung (mit Taschenrechner) Die Korrekturanleitung legt die Verteilung der Punkte auf die einzelnen Aufgaben oder Aufgabenteile fest. Die dient als Richtlinie bei der Bewertung von unvollständig oder teilweise falsch gelösten Aufgaben. Ist eine Aufgabe klar und richtig gelöst, so ist die entsprechende Punktzahl unabhängig vom eingeschlagenen Weg zu erteilen. Einige Hinweise: Fehlen die Lösungswege oder sind diese unklar, so sind angemessene Abzüge zu machen. Ausnahmen sind angegeben. Wo nichts anderes angegeben ist, wird als Richtwert pro Fehler 1 Punkt abgezogen. Dies gilt insbesondere für Rechenfehler wie auch für Abschreibfehler. Für kleinere Versehen wird ½ Punkt abgezogen. Fehlerfortpflanzungen führen nur dann zu weiteren Abzügen, wenn sich dadurch die Aufgabe wesentlich vereinfacht oder wenn ein unsinniges Ergebnis entsteht. Überlegungsfehler und grobe Mathematikfehler rechtfertigen auch höhere Abzüge bis zum Totalabzug. Dasselbe gilt für falsch aufgestellte Gleichungen. Das Lösen solcher Gleichungen gibt nicht in jedem Fall Anrecht auf Punkte. Die Anwendung dieser Richtlinien liegt im Ermessen der Korrigierenden. In Zweifelsfällen ist eine abteilungs- oder schulinterne Absprache angezeigt.

34 Aufgabe 1 Gegeben sind drei Terme: A = 0.25x 4 B = x C = 5x x 7 Berechne den Wert für den Term 89: <, wenn für x = 0.4 eingesetzt wird. Lösung: (2P) ; Falls zuerst die Werte für A, B und C korrekt berechnet und alle irgendwo aufgeschrieben wurden, gibt es einen Punkt: 2 Punkte A = 0.04 B = C = (1P) Aufgabe 2 Finde je eine Zahl mit folgenden Eigenschaften: a) Zwei Siebtel einer Zahl ist um 44 kleiner als drei Fünftel der Zahl. 2 7 x+44=3 x 35 5 (1P für den Lösungsweg) 10x+1540=21x 10x 1540=11x 11 x=140 (1P) b) Multipliziert man eine Zahl mit 7, so liegt sie so viel unter 400 wie die Zahl selber unter 178 liegt x=178 x +7x 400=178+6x 178 (1P für den Lösungsweg) 222=6x 6 x=37 (1P) 4 Punkte

35 Aufgabe 3 Aus einem massiven Holzwürfel werden von jeder Seitenfläche aus zentrale Löcher mit einem quadratischen Querschnitt durch den ganzen Würfel hindurch gestanzt. Der gestanzte Holzwürfel wird dann in Farbe getaucht. Wie gross ist die farbige Fläche? Eine Seitenfläche: =92.48 cm 4 (1P) Eine «Lochwand»: =46.24 cm 4 (1P) 6 x (Seitenfläche + «Lochwand»): 6 ( )= cm 2 (1P) 3 Punkte Aufgabe 4 Auf einer Kantonsstrasse werden die Leit- und Sicherheitslinien durchgehend mit weisser Farbe gemalt. Eine Linie ist 20 cm breit und 2 mm dick. Wie viele Kessel weisser Farbe à 20 Liter werden für ein 800 m langes Teilstück benötigt? Sicherheitslinie Leitlinien Zu bemalende Fläche: m 800 m=480 m 4 Volumen an Farbe: 480 m m=0.96 m 7 (1P) (1P) Anzahl Kessel à 20 Liter: 0.96 m 7 =960 dm 7 =960 l 48 Kessel (1P) 3 Punkte

36 Aufgabe 5 Cheeseburger mit Speck Menge für einen Burger Einkaufskosten pro Packung 120 g Hackfleisch 300 g-packung Hackfleisch 6.20 Fr. 20 g Käse 100 g-packung Käse 2.45 Fr. 4 Speckstreifen Packung mit 10 Speckstreifen 3.10 Fr 1 Hamburgerbrötchen Packung mit 6 Brötchen 2.40 Fr. Stelle die Kosten für unterschiedliche Anzahlen Cheeseburger in der Tabelle zusammen. Rechne mit ganzen Packungen. Anzahl Burger Hackfleisch Käse Speck Brötchen Kosten total Kosten pro Burger Punkte Pro Fehler oder fehlendem Wert werden 0.5 P abgezogen. Folgefehler beachten. Aufgabe 6 Die folgende Figur ist zusammengesetzt aus einem Dreieck und einem Rechteck. Bestimme h so, dass die Gesamtfläche der Figur 75 cm 2 beträgt. Runde auf ganze mm. 19 h h = (1P) 38h+57h=450 :95 h 4.7 cm oder 47 mm (1P) 19 cm Nicht oder falsch gerundet: 0.5P 2 Punkte

37 Aufgabe 7 Der Mond ist etwa km von der Erde entfernt. Der erste bemannte Flug mit der Raumfähre Apollo 8 um den Mond und wieder zurück dauerte insgesamt 6 Tage. a) Wie viele Kilometer legte die Raumfähre durchschnittlich in einer Stunde zurück? X (1P) Kein Abzug, wenn eine Einheit steht b) Der Stern Sirius A ist von der Erde etwa 8.6 Lichtjahre entfernt. Ein Lichtjahr beträgt km. Wie viele Jahre würde die Reise mit der Apollo 8 zum Stern Sirius A dauern? Rechne mit 365 Tagen pro Jahr. Distanz: 8.6 ( [4 )= [7 km (0.5 P) [7 km 5556 ]^_ = [` h 1.7 Millionen Jahre (1 P) c) Zeichne den Graphen für die Reise der Apollo 8 zum Mond und wieder zurück. Annahme: Die Raumsonde bewegte sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Distanz zur Erde (in 1000 km) Da «gleichbleibende Geschwindigkeit» angenommen wird, müssen die Linien gerade sein. Eine Abflachung bei der Spitze oder beim Start und Ende geht aber in Ordnung. (0.5 P) 3 Punkte

38 Aufgabe 8 Zwei Roller derselben Kategorie werden verglichen: Elektroroller oder Benzinroller? Marke emco NOVA Piaggio Primavera 50 Betriebsart Elektro Benzin Höchstgeschwindigkeit 45 km/h 45 km/h Motorenleistung 2 kw 3.5 kw oder 4.76 PS Durchschnittliche Reichweite 100 km 240 km Energieverbrauch 4 kwh pro 100 km 2.7 Liter pro 100 km Preis 4990 Fr Fr. Energiekosten 20 Rp. pro kwh 1.40 Fr. pro Liter Benzin a) Wie viel betragen die Energiekosten pro 100 km? Elektro-Roller: 80 Rp. Benzinroller: 3.78 Fr. (je 0.5P) b) Die Leistung von technischen Geräten wird in Kilowatt (kw) angegeben. Bei Motorfahrzeugen ist allerdings die veraltete Einheit PS (Pferdestärken) immer noch gebräuchlich. Wie viele kw sind 1 PS? kw (1 P) c) Wie teuer wird die Anschaffung inkl. Energiekosten für km pro Roller? Elektroroller: 5070 Fr. Benzinroller: 4173 Fr. (je 1P) Anschaffung: 4990 Fr. Energiekosten: Fr.= 80 Fr. Anschaffung: 3795 Fr. Energiekosten: Fr.= 378 Fr. d) Wie weit fahren die Roller für 5 Fr. Energiekosten? Elektro: 625 km Benzin: km (je 0.5 P) 5 Fr kl. ]^ 5 Fr kl. ]^ 5 Punkte

39 Aufgabe 9 Gegeben ist folgender Quader aus Holz: 16 cm 30 cm 12 cm a) Wie schwer ist der ganze Quader, wenn 1 cm 3 Holz eine Masse von 690 mg hat? Runde auf 100 g genau. 30 cm 12 cm 16 cm 690 st us v = mg 4000 g oder 4.0 kg Nicht oder falsch gerundet: 0.5 P Abzug (1P) Der Quader wird nun in rote Farbe getaucht und anschliessend in Würfelchen mit 2 cm Kantenlänge zerschnitten. b) Wie viele Holzwürfelchen entstehen? = 720 Würfelchen (1P) c) Bei wie vielen Würfelchen ist genau eine Seite rot bemalt? Vorne und hinten: je 13 6=78 Flächen Oben und unten: je 13 4=52 Flächen Links und rechts: je 6 4=24 Flächen Total: =308 Würfelchen (je 0.5 P) (0.5 P) 4 Punkte

40 Aufgabe 10 Von einer Schrägseilbrücke sind einige Masse bekannt. (Die Zeichnung ist nicht massstabsgetreu.) a a 24 m 50 m b b A B C s 68 m a) Wie gross ist der Abstand a zwischen den Seilbefestigungen A und B? (2a+24) =112 4 (0.5 P) (2a+24) 4 =7920 2a :2 a 32.5 m (1P) b) Wie lang ist das Seil s (welches bei C endet)? (2b+50) =183 4 (2b+50) 4 = b :2 b m (0.5 P) s= (50+b) 4 = m (1P) 3 Punkte