St.Gallische Kantonsschulen Aufnahmeprüfung 2008 Gymnasium. Kandidatennummer: Geburtsdatum: Note:

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1 St.Gallische Kantonsschulen Aufnahmeprüfung 2008 Gymnasium Mathematik 1 ohne Taschenrechner Dauer: 90 Minuten Kandidatennummer: Summe: Geburtsdatum: Note: Aufgabe Punkte Löse die Aufgaben auf diesen Blättern. Der Lösungsweg muss aus der Darstellung klar ersichtlich sein. Aufgabe 1. Notiere 1 das Ergebnis als gekürzten Bruch. Berechne und ( runde das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Dezimalpunkt. 1 (a) 1 : 1.8! ! 2 : 3 4) = = 3.98" (! 1.01) 1 Punkt Aufgabe 2 Zeichne die am Punkt Z gespiegelte Figur von Hand ein. (b) ( ) ( 2 4 ) = 5 1 Punkt 2 Punkte Aufgabe 3 Beantworte die Fragen anhand dieser beiden Grafiken.

2 2. Vereinfache den Term so weit wie möglich. ( ) x 2 ( ) ( ) x x = 2 Punkte 3. Löse die Gleichung nach x auf. x 7x 4 5 = 3x Punkte 4. Gib die Zahl, die genau in der Mitte von 10 5 und 10 9 liegt, in wissenschaftlicher Schreibweise an. 1 Punkt

3 5. Die Länge eines Quaders misst dreimal so viel wie seine Höhe, und seine Höhe misst halb so viel wie die Breite. Die Oberfläche des Quaders beträgt 1078 dm 2. Berechne die Höhe des Quaders. 2 Punkte 6. Im Wald wird hart gearbeitet. 5 Waldarbeiter fällen 15 Bäume in 2 Stunden. (a) Wie viele Bäume können 2 Waldarbeiter in 4 Stunden fällen? (b) Wie lange brauchen 6 Waldarbeiter, um 30 Bäume zu fällen? 3 Punkte

4 7. Du kennst sicher den Werbeslogan 3 für 2 bei Verkaufsaktionen. Dieser Slogan bedeutet, dass du beim Kauf von drei Artikeln einen davon gratis als Rabatt erhältst. (a) In einer Boutique gilt beim Kauf von T-Shirts die Aktion 4 für 3. Berechne den Rabatt in Prozenten. (b) Wie müsste der Werbeslogan lauten, wenn 40% Rabatt gewährt werden sollten? Berechne und vervollständige. Der Werbeslogan lautet: für Punkte 8. Berechne die Winkel α und β.!+32 "#14 "! 2 Punkte

5 9. (a) Konstruiere den Mittelpunkt M des grossen Kreises (des Kopfes). (b) Drehe die dreieckige Zipfelmütze um den Punkt M, bis die Spitze der Mütze auf dem kleinen Kreis (dem Zottel) liegt. 3 Punkte

6 10. Die Flächeninhalte der beiden Trapeze A 1 und A 2 sind gleich gross. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks A. 6 cm A 1 4 cm A 5 cm A 2 10 cm 2 Punkte

7 11. Die folgenden Figuren bestehen aus lauter gleich langen Hölzchen. Figur 1 Figur 2 Figur 3... Figur x Anzahl Hölzchen 9 (a) Notiere in der Tabelle die Anzahl Hölzchen der Figuren 2 bis 5. (b) Notiere in der Tabelle einen Term für die Anzahl Hölzchen der Figur x. (c) Welche Figur besteht aus 765 Hölzchen? 3 Punkte 12. Suche einen Term, der für x = 5 den Wert 30 und für x = 12 den Wert 79 hat. 2 Punkte

8 13. Konstruiere in der gegebenen Schaufigur die Parallele zur Diagonalen DB durch den Punkt C. Diese Parallele schneidet die Gerade AB im Punkt P. Schaufigur: D C A B Konstruiere nun nach dieser Hilfestellung ein Trapez ABCD mit AB = 83 mm, AC = 64 mm, BD = 78 mm und CD = 35 mm. 3 Punkte

9 St.Gallische Kantonsschulen Aufnahmeprüfung 2008 Gymnasium Mathematik 2 mit Taschenrechner Dauer: 90 Minuten Kandidatennummer: Summe: Geburtsdatum: Note: Aufgabe Punkte Löse die Aufgaben auf diesen Blättern. Der Lösungsweg muss aus der Darstellung klar ersichtlich sein. Aufgabe 1 Berechne und runde das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Dezimalpunkt ( 1.01) = 1 Punkt Aufgabe 2 Zeichne die am Punkt Z gespiegelte Figur von Hand ein. 1 Punkt

10 Aufgabe 3 Beantworte die Fragen anhand dieser beiden Grafiken. Stromverbrauch nach Kundengruppen 2005 Veränderung gegenüber Vorjahr (in %) 3.5 Verkehr 8.2% 3.0 Haushalt 30.7% Dienstleistungen 26.3% 1.5 Landwirtschaft 1.8% 1.0 Industrie, verarbeitendes Gewerbe 33.0% Haushalt Landwirtschaft Industrie, Dienstleistungen verarbeitendes Gewerbe Verkehr a) Im Jahr 2005 wurden insgesamt 57'330 Millionen kwh (Kilowattstunden) Strom verbraucht. Wie viele kwh wurden von den Haushalten verbraucht? b) Für welchen Betrag bezog die Kundengruppe Landwirtschaft 2005 Strom, wenn eine kwh durchschnittlich 16 Rp. kostete? c) Wie viele kwh wurden im Jahr 2004 von der Kundengruppe Industrie, verarbeitendes Gewerbe verbraucht? 3 Punkte

11 Aufgabe 4 Ein Metallstück wird gleichmässig erwärmt. Um 5.00 Uhr misst seine Temperatur 27.8 C, um Uhr beträgt sie schon C. Berechne die Temperatur des Metallstückes zum Zeitpunkt 9.40 Uhr. Runde das Ergebnis auf eine Stelle nach dem Dezimalpunkt. Temperatur [ C] ? Zeit [h] 2 Punkte

12 Aufgabe Tages-Anzeiger Online Neuwagen sind zu durstig Der durchschnittliche Treibstoffverbrauch neuer Autos ist 2005 um zwei Prozent auf 7.67 Liter pro 100 km gesunken. Das zwischen dem Departement für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation (UVEK) und Auto-Schweiz vereinbarte Zwischenziel von 7.15 Liter wurde jedoch verfehlt. Ab morgen ist das bleifreie Benzin 2 Rappen pro Liter günstiger. Gemäss Bundesamt für Energie (BfE) ist der Hauptgrund, dass das Zwischenziel eines Verbrauchs von 7.15 Liter pro 100 km im Jahr 2005 nicht erreicht wurde, der Trend zu schwereren Fahrzeugen. Das zunehmende Fahrzeuggewicht fresse die Effizienzgewinne wieder weg. Lag im Jahr 1990 der Verbrauch eines 1000 kg schweren Fahrzeugs noch bei über 7.5 Liter, so benötigt ein vergleichbares Auto gemäss BfE heute nur noch 5.19 Liter. a) Um wie viele Liter Benzin pro 100 km ist 2005 der Treibstoffverbrauch effektiv gesunken? Runde das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Dezimalpunkt. b) Um wie viele Prozente hätte der Verbrauch im Jahr 2005 sinken müssen, damit das Ziel 7.15 Liter pro 100 km tatsächlich erreicht worden wäre? Runde das Ergebnis auf eine Stelle nach dem Dezimalpunkt. c) Wie schwer ist ein Auto, das heute 7.5 Liter Benzin pro 100 km verbraucht, wenn der Benzinverbrauch proportional zum Gewicht steigt? Runde das Ergebnis auf ganze kg. 3 Punkte

13 Aufgabe 6 t: Zeit in Sekunden s: Weg in m In welchen Graphen wird der obige Tabellenausschnitt vollständig dargestellt? Kreuze alle möglichen Graphen an Punkte Aufgabe 7 Herr Schweizer vermietet in einem Mehrfamilienhaus drei 4-Zimmer-Wohnungen und zwei 5-Zimmer-Wohnungen. Der monatliche Mietzins für eine 4-Zimmer-Wohnung beträgt 2'000 Franken. Nun werden die Mietzinsen der 4-Zimmer-Wohnungen um 12.5% erhöht, jene der 5-Zimmer-Wohnungen um 10% angehoben. Monatlich erhöhen sich damit die gesamten Mietzinseinnahmen von Herrn Schweizer um 1'190 Franken. Wie hoch sind die monatlichen Mietkosten für eine 5-Zimmer-Wohnung nach der Erhöhung? 2 Punkte

14 Aufgabe 8 Auf der Oberfläche des Vermögensquaders sind drei Bewegungsrichtungen erlaubt: nach rechts, nach hinten und nach oben. Nach rechts und nach hinten verdoppelt, nach oben verfünffacht sich das Vermögen pro Streckenabschnitt. Du beginnst mit einem Franken Vermögen beim Start. a) Wie gross ist dein Vermögen beim Gitterpunkt A? Notiere die Berechnung. b) Wie viel Vermögen kannst du maximal erreichen? Notiere die Berechnung. c) Markiere alle Punkte mit dem Vermögen 1'280 Franken. 3 Punkte

15 Aufgabe 9 Die Fassade eines Hauses wird rundum neu gestrichen. Fenster und Türe haben folgende Masse: Türe: 2.15 m x 0.7 m Fenster: 2.5 m x 1.8 m Dachstockfenster: 0.6 m x 0.6 m Gegenüberliegende Wände sind identisch gebaut. Das Haus hat jedoch nur eine Türe. Auf dem Farbkessel steht, dass man pro m g Farbe braucht m 3.4 m 4.3 m Wie viel Farbe, in kg, wird für den ganzen Anstrich verwendet? Runde auf eine Stelle nach dem Dezimalpunkt. 6.2 m 3 Punkte

16 Aufgabe 10 Das gleichschenklige Dreieck ABC mit dem Winkel γ = 55 soll so im Uhrzeigersinn gedreht werden, dass das Bild des Schenkels b auf den Schenkel a zu liegen kommt. Welche beiden Möglichkeiten gibt es? Gib dabei jeweils das Drehzentrum an und berechne den Drehwinkel. C γ b a A c B 3 Punkte Aufgabe 11 Ein Rhombus hat einen Umfang von 78 cm und eine Fläche von cm 2. Konstruiere den Rhombus im Massstab 1 : 3. 2 Punkte

17 Aufgabe 12 Ein weisses rechtwinkliges Dreieck ABC verdeckt einen Teil des grauen rechtwinkligen Dreiecks ADE. Die sichtbare graue Fläche im rechtwinkligen Dreieck ADE misst 71 cm 2. a) Berechne die Seite x. b) A und C bleiben am Ort und die Ecke B wird um y nach rechts verschoben. Wie gross muss y sein, damit die sichtbare graue Fläche nur noch 50 cm 2 gross ist? 3 Punkte

18 Aufgabe 13 Gegeben sind ein Dreieck ABC und ein Punkt D (siehe Figur). Konstruiere alle möglichen Punkte P, welche die folgenden beiden Bedingungen erfüllen: Die Punkte P und D haben dieselbe Entfernung vom Punkt C. Die Punkte A, B und P bilden ein Dreieck, dessen Flächeninhalt halb so gross ist wie derjenige des Dreiecks ABC. C D A B 2 Punkte

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28 St.Gallische Kantonsschulen Aufnahmeprüfung 2008 Gymnasium Mathematik 2 mit Taschenrechner Dauer: 90 Minuten Kandidatennummer: Summe: Geburtsdatum: Note: Aufgabe Punkte Löse die Aufgaben auf diesen Blättern. Der Lösungsweg muss aus der Darstellung klar ersichtlich sein. Aufgabe 1 Berechne und runde das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Dezimalpunkt ( 1.01) = = Resultat P Bemerkung: Nicht oder falsch gerundetes Resultat ergibt ½ P Abzug. 1 Punkt Aufgabe 2 Zeichne die am Punkt Z gespiegelte Figur von Hand ein. richtige -Häuschen -Windungen Zeichnung 1 P 1 Punkt

29 Aufgabe 3 Beantworte die Fragen anhand dieser beiden Grafiken. Stromverbrauch nach Kundengruppen 2005 Veränderung gegenüber Vorjahr (in %) 3.5 Verkehr 8.2% 3.0 Haushalt 30.7% Dienstleistungen 26.3% 1.5 Landwirtschaft 1.8% 1.0 Industrie, verarbeitendes Gewerbe 33.0% Haushalt Landwirtschaft Industrie, Dienstleistungen verarbeitendes Gewerbe Verkehr a) Im Jahr 2005 wurden insgesamt 57'330 Millionen kwh (Kilowattstunden) Strom verbraucht. Wie viele kwh wurden von den Haushalten verbraucht? '330'000'000 kwh = 17' kwh 17'600 Mio kwh Resultat 1 P b) Für welchen Betrag bezog die Kundengruppe Landwirtschaft 2005 Strom, wenn eine kwh durchschnittlich 16 Rp. kostete? '330' kwh 16 Rp./kWh = Rp. = Fr. Resultat 1 P c) Wie viele kwh wurden im Jahr 2004 von der Kundengruppe Industrie, verarbeitendes Gewerbe verbraucht? Mio kwh % = x x = = '658 Mio kwh Berechnung ½ P Resultat ½ P 3 Punkte

30 Aufgabe 4 Ein Metallstück wird gleichmässig erwärmt. Um 5.00 Uhr misst seine Temperatur 27.8 C, um Uhr beträgt sie schon C. Berechne die Temperatur des Metallstückes zum Zeitpunkt 9.40 Uhr. Runde das Ergebnis auf eine Stelle nach dem Dezimalpunkt. Temperatur [ C] ? Zeit [h] min C Uhr Uhr 280 x x = = Temperatur um Uhr: C C = C Proportion 1 P Resultat 1 P 2 Punkte

31 Aufgabe Tages-Anzeiger Online Neuwagen sind zu durstig Der durchschnittliche Treibstoffverbrauch neuer Autos ist 2005 um zwei Prozent auf 7.67 Liter pro 100 km gesunken. Das zwischen dem Departement für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation (UVEK) und Auto-Schweiz vereinbarte Zwischenziel von 7.15 Liter wurde jedoch verfehlt. Ab morgen ist das bleifreie Benzin 2 Rappen pro Liter günstiger. Gemäss Bundesamt für Energie (BfE) ist der Hauptgrund, dass das Zwischenziel eines Verbrauchs von 7.15 Liter pro 100 km im Jahr 2005 nicht erreicht wurde, der Trend zu schwereren Fahrzeugen. Das zunehmende Fahrzeuggewicht fresse die Effizienzgewinne wieder weg. Lag im Jahr 1990 der Verbrauch eines 1000 kg schweren Fahrzeugs noch bei über 7.5 Liter, so benötigt ein vergleichbares Auto gemäss BfE heute nur noch 5.19 Liter. a) Um wie viele Liter Benzin pro 100 km ist 2005 der Treibstoffverbrauch effektiv gesunken? Runde das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Dezimalpunkt. 1. Lösungsweg 2. Lösungsweg Liter/100 km % Liter/100 km % Differenz x 2 y x = = y = = Resultat Reduktion: 0.16 Liter/100 km = 0.16 [l/100 km] 1 P b) Um wie viele Prozente hätte der Verbrauch im Jahr 2005 sinken müssen, damit das Ziel 7.15 Liter pro 100 km tatsächlich erreicht worden wäre? Runde das Ergebnis auf eine Stelle nach dem Dezimalpunkt. 1. Lösungsweg 2. Lösungsweg Liter/100 km % Liter/100 km % Ziel 7.15 x 0.52 y x = = x = = Resultat Reduktion 100% % = 8.6% 6.6% + 2% = 8.6% 1 P c) Wie schwer ist ein Auto, das heute 7.5 Liter Benzin pro 100 km verbraucht, wenn der Benzinverbrauch proportional zum Gewicht steigt? Runde das Ergebnis auf ganze kg. Liter/100 km kg heute x x = = Resultat Gewicht heute: 1445 kg 1 P 3 Punkte

32 Aufgabe 6 t: Zeit in Sekunden s: Weg in m In welchen Graphen wird der obige Tabellenausschnitt vollständig dargestellt? Kreuze alle möglichen Graphen an. x x x pro Fehlentscheid 1 Punkt Abzug 2 Punkte Aufgabe 7 Herr Schweizer vermietet in einem Mehrfamilienhaus drei 4-Zimmer-Wohnungen und zwei 5-Zimmer-Wohnungen. Der monatliche Mietzins für eine 4-Zimmer-Wohnung beträgt 2'000 Franken. Nun werden die Mietzinsen der 4-Zimmer-Wohnungen um 12.5% erhöht, jene der 5-Zimmer-Wohnungen um 10% angehoben. Monatlich erhöhen sich damit die gesamten Mietzinseinnahmen von Herrn Schweizer um 1'190 Franken. Wie hoch sind die monatlichen Mietkosten für eine 5-Zimmer-Wohnung nach der Erhöhung? Fr. 3 4-Zi-Wohn. Zinsdifferenz: = 750 Differenz total Zi-Wohn. Zinsdifferenz beide Wohn.: = Zi-Wohn. Zinsdifferenz pro Wohn.: 440 : 2 = Zi-Wohn. Fr. % alter Zins x x = = neuer Zins: 2200 Fr Fr. = 2420 Fr. Berechnung 5-Zi-Wohnung 1 P Resultat 1 P 2 Punkte

33 Aufgabe 8 Auf der Oberfläche des Vermögensquaders sind drei Bewegungsrichtungen erlaubt: nach rechts, nach hinten und nach oben. Nach rechts und nach hinten verdoppelt, nach oben verfünffacht sich das Vermögen pro Streckenabschnitt. Du beginnst mit einem Franken Vermögen beim Start. a) Wie gross ist dein Vermögen beim Gitterpunkt A? Notiere die Berechnung. 1 Fr = 8000 Fr. Resultat 1 P b) Wie viel Vermögen kannst du maximal erreichen? Notiere die Berechnung. 1 Fr = 64'000 Fr. Resultat 1 P c) Markiere alle Punkte mit dem Vermögen 1'280 Franken Fr. = Fr. Pro Markierung ½ P 3 Punkte

34 Aufgabe 9 Die Fassade eines Hauses wird rundum neu gestrichen. Fenster und Türe haben folgende Masse: Türe: 2.15 m x 0.7 m Fenster: 2.5 m x 1.8 m Dachstockfenster: 0.6 m x 0.6 m Gegenüberliegende Wände sind identisch gebaut. Das Haus hat jedoch nur eine Türe. Auf dem Farbkessel steht, dass man pro m g Farbe braucht m 3.4 m 4.3 m Wie viel Farbe, in kg, wird für den ganzen Anstrich verwendet? Runde auf eine Stelle nach dem Dezimalpunkt. 6.2 m Fassaden m 2 hinten, vorne 2( : 2) links, rechts Öffnungen 6 Fenster Dachstockfenster Türe Malfläche Berechnung 2 P (pro Fehler 1 P Abzug) Farbe kg = kg 54.3 kg Farbe Resultat 1 P 3 Punkte

35 Aufgabe 10 Das gleichschenklige Dreieck ABC mit dem Winkel γ = 55 soll so im Uhrzeigersinn gedreht werden, dass das Bild des Schenkels b auf den Schenkel a zu liegen kommt. Welche beiden Möglichkeiten gibt es? Gib dabei jeweils das Drehzentrum an und berechne den Drehwinkel. C γ Möglichkeit 2. Möglichkeit Abbildung Drehung um C Drehung um den Umkreismittelpunkt Drehzentrum C Umkreismittelpunkt Drehwinkel = = 125 M b 125 U M a Drehzentrum und Drehwinkel 1 P Drehzentrum 1 P Drehwinkel 1 P A c B 3 Punkte Aufgabe 11 Ein Rhombus hat einen Umfang von 78 cm und eine Fläche von cm 2. Konstruiere den Rhombus im Massstab 1 : 3. Rhombus Massstab Seitenlänge: s = u : 4 = 78 cm : 4 = 19.5 cm Höhe: h = A : s = cm 2 : 19.5 cm = 14.4 cm Seitenlänge: 19.5 cm : 3 = 6.5 cm Höhe: 14.4 cm : 3 = 4.8 cm D C Berechnung 1 P Konstruktion 1 P A B 2 Punkte

36 Aufgabe 12 Ein weisses rechtwinkliges Dreieck ABC verdeckt einen Teil des grauen rechtwinkligen Dreiecks ADE. Die sichtbare graue Fläche im rechtwinkligen Dreieck ADE misst 71 cm 2. a) Berechne die Seite x. A ABC = 10 cm 5 cm : 2 = 25 cm 2 A ADE = 25 cm cm 2 = 96 cm 2 x = 2 96 cm 2 : 12 cm = 16 cm Resultat 1 ½ P B b) A und C bleiben am Ort und die Ecke B wird um y nach rechts verschoben. Wie gross muss y sein, damit die sichtbare graue Fläche nur noch 50 cm 2 gross ist? A CBB = 21 cm 2 y = 2 21 cm 2 : 5 cm = 8.4 cm Resultat 1 ½ P 3 Punkte

37 Aufgabe 13 Gegeben sind ein Dreieck ABC und ein Punkt D (siehe Figur). Konstruiere alle möglichen Punkte P, welche die folgenden beiden Bedingungen erfüllen: Die Punkte P und D haben dieselbe Entfernung vom Punkt C. Die Punkte A, B und P bilden ein Dreieck, dessen Flächeninhalt halb so gross ist wie derjenige des Dreiecks ABC. 1. g.o.f.p: Kreis um C mit Radius CD ½ P 2. g.o.f.p: Parallele zu AB in der halben Höhe h c ½ P Zwei Lösungspunkte P 1 und P 2 je ½ P 2 Punkte