Vorgaben für die Abiturprüfung

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1 Vorgaben für die Abiturprüfung in den Bildungsgängen des Berufskollegs Anlage D 1 D 28 im Jahr 2014 Weiterer Leistungskurs Fach Mathematik Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 1 von 14

2 1 Gültigkeitsbereich Die Vorgaben für die Abiturprüfung im Fach Mathematik gelten für folgende Bildungsgänge: Kaufmännische Assistentin / AHR Kaufmännischer Assistent / AHR Technische Assistentin für Betriebsinformatik / AHR Technischer Assistent für Betriebsinformatik / AHR Allgemeine Hochschulreife Betriebswirtschaftslehre mit Rechnungswesen APO-BK Anlage D 12 APO-BK Anlage D 13 APO-BK Anlage D 27 Die Bildungsgänge sind dem Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung zugeordnet. 2 Vorgaben für die schriftliche Abiturprüfung Grundlage für die Vorgaben der zentral gestellten schriftlichen Aufgaben der Abiturprüfung in allen Fächern der (mindestens) dreijährigen AHR-Bildungsgänge des Beruflichen Gymnasiums (APO-BK, Anlagen D 1 - D 28) sind die verbindlichen Vorgaben der Bildungspläne zur Erprobung (RdErl. d. Ministeriums für vom ): Teil I: Pädagogische Leitideen Teil II: Didaktische Organisation der Bildungsgänge im Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung Teil III: Fachlehrplan Mathematik Durch die Vorgaben werden inhaltliche Schwerpunkte festgelegt. Diese inhaltlichen Schwerpunkte sind Konkretisierungen der in den Fachlehrplänen beschriebenen Fachinhalte, deren Behandlung im Unterricht als Vorbereitung auf die schriftliche Abiturprüfung vorausgesetzt wird. Durch diese Schwerpunktsetzungen soll sichergestellt werden, dass alle Schülerinnen und Schüler, die im Jahr 2014 das Abitur in den o. a. Bildungsgängen des Beruflichen Gymnasiums ablegen, über die Voraussetzungen zur Bearbeitung der zentral gestellten Aufgaben verfügen. Die folgenden fachspezifischen Schwerpunktsetzungen gelten für das Jahr Sie stellen keine dauerhaften Festlegungen dar. mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 2 von 14

3 3 Verbindliche Unterrichtsinhalte im Fach Mathematik im Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung für das Abitur Inhaltliche Schwerpunkte Bei allen Aufgaben sind innermathematische und anwendungsbezogene Fragestellungen möglich. Für die Abiturprüfung 2014 müssen die drei Sachgebiete Analysis, Lineare Algebra/Analytische Geometrie und Stochastik zur Verfügung stehen. Dabei beziehen sich die Anforderungen zu mindestens einem Drittel auf Analysis. Achtung! Bitte beachten Sie die bereits ab Abitur 2013 veränderte Operatorenliste unter Punkt 3.4. Analysis Ganzrationale Funktionen Exponentialfunktionen o Herleitung von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Bedingungen o Extrem- und Wendepunkte o Extremwertaufgaben o Integralrechnung o Kurvenscharen mit Fallunterscheidung q( x) o Funktionen vom Typ f ( x) = p( x) e mit p, q ganzrationale Funktionen, auch mit Parametern o Asymptotisches Verhalten o Extrem- und Wendepunkte o Kurvenscharen mit Fallunterscheidung Ökonomische Anwendungen Ergänzungen für CAS o Marktpreistheorie / Produzenten- / Konsumentenrente o Modell der vollständigen Konkurrenz o Absatz-/Umsatzentwicklung o Optimierungsprobleme (Extremwertaufgaben) o Differenzierbarkeit und Stetigkeit o Stückweise definierte Funktionen o Integralrechnung bei Exponentialfunktionen mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 3 von 14

4 Lineare Algebra/Analytische Geometrie Gauß-Algorithmus Matrizenverknüpfungen und Matrizengleichungen Homogene und inhomogene Gleichungssysteme Ökonomische Anwendungen o Volkwirtschaftliche Anwendung im Leontief Modell - Modell mit höchstens drei Sektoren erstellen - situationsbezogene Berechnungen von Produktions- und Konsummengen durch Umformungen von Matrizengleichungen - Leontiefinverse - Produktions- oder Konsumvektor - vorgegebene Stückzahlverhältnisse o Betriebswirtschaftliche Anwendungen auf innerbetriebliche Verflechtungen - zweistufige Produktionsprozesse Der gesamte Themenbereich Lineare Algebra/Analytische Geometrie kann auch die Verwendung von Parametern enthalten. Stochastik Erwartungswert von Zufallsvariablen Binomialverteilung o Bernoulli-Versuch und Binomialverteilungen o Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung o Summenfunktion der Binomialverteilung Näherungsformel von Moivre-Laplace Einseitige Hypothesentests Ökonomische Anwendungen o Kostenabwägungen, Qualitätsprüfungen, Prüfen von Produktionsprozessen 3.2 Medien/Materialien Siehe Hilfsmittel, Punkt Formale Hinweise Die mathematische Notation in den Abituraufgaben erfolgt gemäß der Formelsammlung, ISBN , Schroedel-Verlag. mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 4 von 14

5 3.4 Hinweise zu den Aufgabenstellungen Die Aufgaben in den zentral gestellten Prüfungen werden mit Hilfe von Operatoren formuliert. In der folgenden Tabelle werden die Operatoren definiert, durch Beispiele dokumentiert und den Anforderungsbereichen (AFB I, II und III) zugeordnet. Die konkrete Zuordnung erfolgt immer im Kontext der Aufgabenstellung, wobei eine eindeutige Trennung der Anforderungsbereiche nicht immer möglich ist. Spätestens in der Qualifikationsphase sollen die Operatoren in den Klausuren und schriftlichen Übungen verwendet werden, um die Schülerinnen und Schüler auf die Abiturprüfung vorzubereiten. Hinweis: Bitte beachten Sie die bereits ab Abitur 2013 veränderte Operatorenliste. Operator AFB Erläuterung Beispiel analysieren II - III Sachverhalte, Probleme, Fragestellungen genauer untersuchen und strukturieren angeben nennen I - II Objekte, Sachverhalte, Begriffe, Daten ohne nähere Erläuterungen, Begründungen und ohne Darstellung von Lösungsansätzen oder Lösungswegen aufzählen anwenden I II Einen bekannten Sachverhalt, eine bekannte Methode auf eine neue Problemstellung beziehen aufstellen bilden I - II Daten nutzen, um sie in einem mathematischen Modell darzustellen Analysieren Sie für a = 0,5 die folgende Entscheidung der Unternehmensleitung. Nennen Sie die verwendete Ableitungsregel. Wenden Sie das Newtonverfahren zur Bestimmung der Gewinnschwelle an. Stellen Sie aus den gegebenen Daten eine Matrix auf. mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 5 von 14

6 Operator AFB Erläuterung Beispiel begründen II III Sachverhalte auf Gesetzmäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge zurückführen hierbei sind Regeln und mathematische Beziehungen zu nutzen berechnen I II Ergebnisse von einem Ansatz ausgehend durch Rechenoperationen gewinnen beschreiben I II Strukturen, Sachverhalte, Verfahren unter Verwendung der Fachsprache angemessen wiedergeben bestätigen I II Aussagen oder Sachverhalte mathematisch verifizieren Begründen Sie, dass die zweite Ableitung als Maß für die Krümmung eines Graphen nicht ausreichend ist. Berechnen Sie die Produktionsmenge, bei der der maximale Gewinn erzielt wird. Beschreiben Sie das Verfahren des Gauß- Algorithmus. Bestätigen Sie, dass das Marktgleichgewicht bei 4 ME erreicht ist. bestimmen ermitteln beurteilen Stellung nehmen bewerten deuten II - III II III I - II Zusammenhänge bzw. Lösungswege finden und die Ergebnisse formulieren Zu einem Sachverhalt ein eigenständiges Urteil unter Verwendung von Fachwissen und Fachmethoden formulieren und begründen Die Ergebnisse einer mathematischen Überlegung rückübersetzen auf das ursprüngliche Problem. Umdeuten in eine andere Sichtweise Bestimmen Sie die Koordinaten des Marktgleichgewichts. Ermitteln Sie die Nachfrage- und Angebotselastizität im Marktgleichgewicht. Beurteilen Sie die Qualität des vorgeschlagenen Testverfahrens. Bewerten Sie die Ergebnisse aus Sicht des Unternehmens und der Kunden. Deuten Sie das Ergebnis ökonomisch. mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 6 von 14

7 Operator AFB Erläuterung Beispiel beweisen widerlegen nachweisen II III Beweise im mathematischen Sinne unter Verwendung von bekannten mathematischen Sätzen, logischen Schlüssen und Äquivalenzumformungen, ggf. unter Verwendung von Gegenbeispielen und Analogien, führen definieren II - III Kontextabhängige, eigenständige Begriffe bzw. Darstellungen festlegen dokumentieren darstellen I - II Gedankengang bzw. Herleitung der Problemlösung darlegen entscheiden II - III Sich bei Alternativen eindeutig und begründet auf eine Möglichkeit festlegen entwickeln entwerfen II - III Sachverhalte und Methoden zielgerichtet in einen Zusammenhang bringen, also eine Hypothese, eine Skizze oder ein Modell weiterführen und ausbauen ergänzen I II Eine vorgegebene Rechnung, Grafik oder Tabelle vervollständigen erklären I - II Sachverhalte mit Hilfe eigener Kenntnisse verständlich und nachvollziehbar machen und in Zusammenhänge einordnen Beweisen Sie, dass im Betriebsminimum x 0 gilt: K (x 0 ) = k v (x 0 ). Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn f (x 0 ) = 0, dann folgt, x 0 ist eine Extremstelle. Definieren Sie zum Sachverhalt eine geeignete Treppenfunktion. Dokumentieren Sie Ihren Lösungsweg. Entscheiden Sie, ob das Unternehmen mit einem Gewinn von mehr als x Euro rechnen kann. Entwickeln Sie einen Test zur Überprüfung der folgenden Hypothese. Ergänzen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle. Erklären Sie den Unterschied zwischen notweniger und hinreichender Bedingung. mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 7 von 14

8 Operator AFB Erläuterung Beispiel erläutern I II Strukturen und Zusammenhänge erfassen, in Einzelheiten verdeutlichen und durch zusätzliche Informationen verständlich machen erstellen I - II Einen Sachverhalt in übersichtlicher, fachlich angemessener Form ausdrücken herleiten formulieren II III Eine Formel oder einen Zusammenhang aus bekannten Sachverhalten nachvollziehbar entwickeln interpretieren II III Zusammenhänge bzw. Ergebnisse begründet auf gegebene Fragestellungen beziehen klassifizieren II - III Eine Menge von Objekten nach vorgegebenen oder sinnvoll selbstständig zu wählenden Kriterien in Klassen einteilen prüfen überprüfen skizzieren graphisch darstellen II III I II Die Gültigkeit einer Aussage, z. B. einer Hypothese oder einer Modellvorstellung, verifizieren, falsifizieren Wesentliche Eigenschaften von Sachverhalten oder Objekten graphisch darstellen auch Freihandskizzen möglich übertragen II III Einen untersuchten Sachverhalt bzw. allgemeingültige Aussagen auf ähnliche Sachverhalte anwenden Erläutern Sie die Bedeutung des Cournot schen Punktes. Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Funktion f. Leiten Sie die Gleichung der Kostenfunktion her. Formulieren Sie für den Kunden auf der Basis eines Hypothesentests eine Entscheidungsregel. Interpretieren Sie das Integral aus ökonomischer Sicht. Klassifizieren Sie die Graphen der Funktionenschar nach der Anzahl der Nullstellen. Prüfen Sie die Aussage des Produktionsleiters. Skizzieren Sie auf der Basis Ihrer Ergebnisse den Verlauf der Gewinnfunktion. Übertragen Sie den Lösungsansatz auf mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 8 von 14

9 Operator AFB Erläuterung Beispiel untersuchen I II Sachverhalte, Probleme, Fragestellungen nach bestimmten, fachlich üblichen bzw. sinnvollen Kriterien bearbeiten Untersuchen Sie das Verhalten des Funktionsgraphen an den Definitionslücken. veranschaulichen verdeutlichen vereinfachen, umformen I II I - II Einen Sachverhalt mit verbalen oder graphischen Erläuterungen versehen Terme, Aussagen, Formeln mittels geeigneter Strategien an den jeweiligen Sachverhalt anpassen vergleichen I II Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Unterschiede ermitteln zeichnen I II Hinreichend exakte graphische Darstellungen von Objekten oder Daten anfertigen zeigen II III Aussagen oder Sachverhalte unter Nutzung von gültigen Schlussregeln, Berechnungen bestätigen Veranschaulichen Sie das Betriebsoptimum graphisch. Vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie möglich. Vergleichen Sie die unterschiedlichen Lösungsansätze zur Bestimmung des Betriebsminimums. Zeichnen Sie den zugehörigen Gozintographen. Zeigen Sie, dass für eine Maschinenzeit der Maschine A von 20 Stunden der Erlös optimiert wird. 4 Bearbeitungszeit für die schriftliche Abiturprüfung Es gelten die Vorgaben der APO-BK 17 Abs. 2. Die schriftliche Abiturprüfung umfasst 255 Minuten. mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 9 von 14

10 5 Hilfsmittel Aufgabensatz 1 (ohne CAS) Für den Aufgabensatz 1 sind in der Abiturprüfung 2014 zugelassen: - gedruckte Formelsammlungen der Schulbuchverlage, die keine Beispielaufgaben enthalten. Die Formelsammlungen sind vor Ausgabe an die Schülerinnen und Schüler zu überprüfen. - tabellierte kumulierte Binomialverteilung und Normalverteilung liegen - falls benötigt - jedem Aufgabensatz bei. Beispiele sind exemplarisch dem Anhang dieses Dokumentes zu entnehmen. - wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Wegen des großen und sich ständig weiter entwickelnden Spektrums der Möglichkeiten der Taschenrechner wird bei dem Hilfsmittel Taschenrechner nicht weiter differenziert. Aufgabenstellungen für die Bearbeitung mit einem Taschenrechner ohne CAS werden für das Abitur 2014 so gestaltet, dass die Benutzung eines grafikfähigen Taschenrechners keine nennenswerten Vorteile ergibt oder bei der Bewertung berücksichtigt wird. Für den Aufgabensatz 1 sind in der Abiturprüfung 2014 nicht zugelassen: - schulinterne eigene Druckwerke, mathematische Fachbücher und mathematische Lexika, - Computeralgebrasysteme (CAS) Aufgabensatz 2 (mit CAS) Für den Aufgabensatz 2 sind in der Abiturprüfung 2014 zugelassen: - gedruckte Formelsammlungen der Schulbuchverlage, die keine Beispielaufgaben enthalten. Die Formelsammlungen sind vor Ausgabe an die Schülerinnen und Schüler zu überprüfen. - wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit), - Computeralgebrasysteme und / oder Tabellenkalkulation. Die verwendeten Hilfsmittel müssen zusammen mindestens über folgende Funktionen verfügen: o algebraische Ausdrücke vereinfachen und vergleichen o Gleichungen symbolisch und numerisch lösen o lineare Gleichungssysteme lösen und Matrizenberechnung durchführen o Funktionen symbolisch und numerisch differenzieren und integrieren o Funktionen und Daten zweidimensional graphisch darstellen o Werte der Binomialverteilung und Normalverteilung bestimmen mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 10 von 14

11 Für den Aufgabensatz 2 sind in der Abiturprüfung 2014 nicht zugelassen: - schulinterne eigene Druckwerke, mathematische Fachbücher und mathematische Lexika 6 Hinweise zur Aufgabenauswahl durch die Lehrkraft / den Prüfling Für die Abiturprüfung 2014 erhält die Schule zwei Aufgabensätze mit je drei Aufgaben: eine Aufgabe zur Analysis, eine Aufgabe zur Linearen Algebra/Analytischen Geometrie und eine Aufgabe zur Stochastik. Die Aufgabensätze unterscheiden sich durch den Einsatz der zugelassenen Hilfsmittel (siehe Punkt 5 Hilfsmittel). Die jeweilige Fachlehrerin / der jeweilige Fachlehrer entscheidet unter Aufsicht der Schulleitung am Downloadtag, ob für alle Prüflinge ihres / seines Kurses der Aufgabensatz 1 (ohne CAS) oder der Aufgabensatz 2 (mit CAS) zur Verfügung gestellt wird. Nach einer Auswahlzeit von drei Zeitstunden teilt die Fachlehrerin / der Fachlehrer der Schulleitung schriftlich die Entscheidung mit. Diese Entscheidung wird zu den Prüfungsakten genommen. Für die Prüflinge besteht keine Aufgabenauswahl. Sie erhalten keine zusätzliche Auswahlzeit. Sollte sich die Fachlehrerin / der Fachlehrer für die Analysis-Aufgabe mit CAS- Einsatz entscheiden, sind folgende Hinweise zu beachten: Für eine hinreichende Anzahl von Ersatzsystemen (PC's bzw. Handhelds) ist zu sorgen. Alle Systeme sind vor der Prüfung in den Urzustand zu versetzen. Zusätzliche Tools bzw. ergänzende Programme sind auf den Systemen nicht zulässig. Die Schule stellt sicher, dass keine Verbindung der Systeme untereinander sowie keine Verbindung der Systeme zum Internet vorhanden ist. Der Lösungsweg ist von den Schülerinnen und Schülern in der Reinschrift textlich so zu dokumentieren, dass der Gedankengang der Problemlösung vollständig nachvollziehbar ist. Die Dokumentation ist integraler Bestandteil der Problemlösung und geht in die Bewertung der Prüfungsleistung ein. Wird der Computer zum Editieren von Aufgabenlösungen benutzt, muss der Prüfling zum Abschluss einen Computerausdruck seines Lösungstextes durch Unterschrift autorisieren. Die Erstellung des Computerausdrucks ist von der Schule innerhalb der Gesamtbearbeitungszeit so zu organisieren, dass beim Abgeben der mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 11 von 14

12 Prüfungsarbeit der unterschriebene Ausdruck vorliegt. Nur der autorisierte Ausdruck ist Bestandteil der Prüfungsarbeit; die elektronische Version (Datei) kann nicht zur Korrektur oder Bewertung herangezogen werden. Die verwendete Technologie muss in den Prüfungsakten von der Fachlehrerin / dem Fachlehrer mit Angabe des verwendeten Computeralgebrasystems bzw. Handheld-Typs mit der Version bzw. Versionsnummer vermerkt werden. mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 12 von 14

13 Anhang: 1. Tabellierte kumulierte Binomialverteilung Für die Schülerinnen und Schüler werden in der Abiturprüfung die erforderlichen Tabellen ergänzt. Hier nur ein Beispiel: n = 50. Hinweis: Für Wahrscheinlichkeiten p > 0,5 lassen sich die untere Zeile und die rechte Spalte verwenden. Dabei gilt: F ; ( k ) = 1 abgelesener Wert. n p n k 0,02 0,03 0,04 0,05 0,1 0,125 1/6 0,2 0,25 0,3 1/3 0,4 0,5 k n n k 0,98 0,97 0,96 0,95 0,9 0,875 5/6 0,8 0,75 0,7 2/3 0,6 0,5 k n mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 13 von 14

14 2. GAUSSsche Integralfunktion ( Φ( z) = 1 - Φ ( z) ) Für die Schülerinnen und Schüler werden in der Abiturprüfung die erforderlichen Tabellen ergänzt. z Φ (z) z Φ (z) z Φ (z) z Φ (z) z Φ (z) z Φ (z) z Φ (z) z Φ (z) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , mathe_wlk_wuv_abiturvorgaben2014 Seite 14 von 14