Rückwärtsfehleranalyse und Langzeitenergieerhaltung

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1 Rückwärtsfehleranalyse und Langzeitenergieerhaltung Henrike Köpke 9. Dezember 010 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 Rückwärtsfehleranalyse 4.1 Idee der Vorwärts- und der Rückwärtsfehleranalyse Anwendung der Fehlermethoden Modifizierte Gleichungen Langzeitenergieerhaltung Energieerhaltung Modifizierte Hamiltonsysteme Langzeitenergieerhaltung Takahashi-Imada Methode Literaturhinweis 16

3 1 Einleitung Dieser Vortrag ist in zwei Abschnitte gegliedert. Als erstes werde ich zunächst auf die Rückwärtsfehleranalyse eingehen. In der numerischen linearen Algebra hat diese eine bedeutende Anwendung. Allerdings hat sie auch in den letzten Jahren im Gebiet der gewöhnlichen Differentialgleichungen immer mehr an Popularität gewonnen. Im Gegensatz zur Vorwärtsfehleranalyse, welche einen Einblick über die Genauigkeit der Lösung gibt, ermöglicht sie qualitative Aussagen (mithilfe von modifizierten Gleichungen) über das angewendete numerische Verfahren. Diese modifizierten Gleichungen sind von folgender Gestalt: ỹ = f (ỹ) + h f (ỹ) + h f 3 (ỹ) +..., wobei deren Koeffizienten f i mit i explizit konstruiert werden können. Als eine Anwendung der Rückwärtsfehleranalyse handelt sich es im zweiten Abschnitt um die Langzeitenergieerhaltung. Diese besagt, dass symplektische Integratoren Energie über lange Zeiträume erhalten können. Zunächst werden allerdings modifizierte Hamiltongleichungen betrachtet, um danach anschließend den Energiefehler des modifizierten Hamilton zu untersuchen. Am Ende werde ich auch auf die Takahasi-Imada Methode eingehen, welche ebenfalls ein symplektisches Verfahren ist und bei geeigneter Wahl einer Variablen von Konsistenzordnung 4 ist. Somit ist diese exakter als das Störmer-Verlet Verfahren. 3

4 Rückwärtsfehleranalyse.1 Idee der Vorwärts- und der Rückwärtsfehleranalyse Gegeben sei eine Differentialgleichung der Form ẏ = f (y) und deren exakter Fluss ϕ t (y). Ein numerisches Verfahren erzeuge die approximative Lösung y n+1 = Φ h (y n ). Außerdem sei ỹ = f h (ỹ) eine modifizierte Differentialgleichung der Form: ỹ = f (ỹ) + h f (ỹ) + h f 3 (ỹ) +... (1) Die Vorwärtsfehleranalyse untersucht die Differenz zwischen approximativer und exakter Lösung. Für den globalen Fehler bedeutet dies: y n ϕ nh (y 0 ). Bei Anwendung der Rückwärtsfehleranalyse hingegen analysiert man die Differenz zwischen den Vektorfeldern der gegebenen und der modifizierten Differentialgleichung. Abbildung 1: Schema: Vorwärts- und Rückwärtsfehleranalyse. Anwendung der Fehlermethoden Die Vorwärtsfehleranalyse ist eine gängige Methode zur Anwendung bei gewöhnlichen Differentialgleichungen, um das Fehlerverhalten der Lösung zu untersuchen. Rückwärtsfehleranalysen hingegen werden hauptsächlich in der numerischen linearen Algebra angewendet. Anhand des Gaußalgorithmus kann man dies verdeutlichen. Gegeben sei eine reguläre Matrix A IR n n und ein Vektor b IR n. Gesucht sei ein x IR n, sodass folgende Gleichung: erfüllt ist. Ax = b Wenden wir hierzu die Vorwärtsfehleranalyse an. Bei Berechnung der approximativen Lösung x treten Rundungsfehler auf. Wenn man x mit der exakten Lösung x vergleicht, stellt man fest, dass sich der Fehler zwischen den verschiedene Komponenten vergrößert, was auf die Operationen des Algorithmus zurückzuführen ist. Bei Anwendung der Rückwärtsfehleranalyse betrachten wir zu dem gegebenen Problem eine gestörte Matrix und einen gestörten Vektor A bzw. b, sodass: (A + A) x = (b + b) 4

5 exakt gelöst wird, wobei A + A regulär ist. Verglichen mit Ax = b kann der Fehler durch A und b abgeschätzt werden. Die Vorwärtsfehleranalyse wird häufig zur Fehlerabschätzung von gewöhnlichen Differentialgleichungen verwendet. Allerdings können sich die exakten Lösungen mitunter stark von den approximativen Lösungen unterscheiden. Dies ist vor allem der Fall, falls Probleme sensitiv zu ihren Anfangswerten sind. Eine Abhilfe könnte zum Beispiel die Methode des Shadowings verschaffen. Hierbei vergleicht man den numerisch berechneten Orbit mit einem gestörten (exakter Orbit, der mit einer leicht gestörten Anfangsbedingung simuliert wird). Die Ähnlichkeit zur Rückwärtsfehleranalyse scheint evident, wobei hier modifizierte Differentialgleichungen zur Fehlerabschätzung konstruiert werden. Im Bereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen hat diese in den letzten Jahren immer mehr an Bedeutung gewonnen. Ein Vorteil zur Vorwärtsanalyse ist, dass man die exakte Lösung nicht berechnen braucht. In manchen Fällen ist es sehr aufwendig oder nicht möglich, diese zu bestimmen. Daher ist die Fehlerabschätzung anhand modifizierter Gleichungen sehr praktisch..3 Modifizierte Gleichungen Eine entscheidende Rolle in der Theorie der Rückwärtsfehleranalyse spielen modifizierte Gleichungen. Die numerische Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung soll den exakten Fluss der modifizierten Differentialgleichung darstellen. Wir definieren diese wie folgt: Definition 1 (Modifizierte Gleichungen). Sei ẏ = f (y) eine Differentialgleichung, deren approximative Lösung y n+1 = Φ h (y n ) durch ein numerisches Einschrittverfahren erzeugt wurde. Eine modifizierte Differentialgleichung ỹ = f h (ỹ) ist von der Form für deren Lösung ỹ(t) gilt: y n = ỹ(nh). ỹ = f (ỹ) + h f (ỹ) + h f 3 (ỹ) +... Die Koeffizienten f, f 3,... können explizit angegeben werden. Diese erhält man durch Taylorentwicklung der modifizierten Gleichung und deren Koeffizientenvergleich mit der numerischen Lösung der Differentialgleichung. Man setze dazu zunächst y := ỹ(t) für ein fixes t. Durch die Taylorentwicklung der modifizierten Gleichung erhält man: ỹ(t + h) = y + h( f (y) +...) + h! ( ḟ (y) + h ḟ (y) +...)( f (y) + h f (y) +...) +... () = ỹ = ỹ (Anwendung der Kettenregel) Für die numerische Lösung gilt: Φ h (y) = y + h f (y) + h d (y) + h 3 d 3 (y) +..., (3) 5

6 wobei deren Koeffizienten d i gegeben sind. Koeffizientenvergleich von () und (3) liefert wegen ỹ(nh) = y n n: h : f (y) + 1! ḟ (y) = d (y) h 3 : f 3 (y) + 1! ( ḟ (y) f (y) + ḟ (y) f (y)) + 1 3! (( f f f )(y) + ( ḟ ḟ f )(y)) = d 3 (y)... Dies ergibt für die Koeffizienten der modifizierten Gleichung: f (y) = d (y) 1! ḟ (y) f 3 (y) = d 3 (y) 1! ( ḟ (y) f (y) + ḟ (y) f (y)) 1 3! (( f f f )(y) + ( ḟ ḟ f )(y))... Ein numerisches Verfahren der Ordnung p erfüllt für die modifizierten Gleichungen: Satz 1. Sei y n+1 = Φ h (y n ) ein numerisches Verfahren der Ordnung p, das heißt: Φ h (y) = ϕ h (y) + h p+1 δ p+1 (y) + O(h p+ ), wobei ϕ t den exakten Fluss der Differentialgleichung ẏ = f (y) und h p+1 δ p+1 (y) den führenden Term des lokalen Abbruchfehlers bezeichnet. Dann erfüllt die modifizierte Differentialgleichung mit f p+1 (y) = δ p+1 (y). ỹ = f (ỹ) + h p f p+1 (ỹ) + O(h p+1 ), ỹ(0) = y 0 Beweis. Die numerische Lösung sei von der Ordnung p. Φ h (y) ϕ h = O(h p+1 ) f j (y) = 0 für j p Dies folgt aus der Konstruktion der modifizierten Gleichungen, da die Koeffizienten der numerischen Approximation für alle Terme h i für i {1,..., p} wegfallen. Demnach gilt dann für die modifizierte Differentialgleichung: wobei f p+1 (y) = δ p+1 (y). ỹ = f (ỹ) + h p f p+1 (ỹ) + h p+1 f p+ (ỹ) +... Beispiel: Konstruktion der modifizierten Lotka-Volterra Gleichungen (Räuber-Beute Modell) anhand des symplektischen Eulers Lotka-Volterra Gleichungen: q = q(p 1) = a(q, p) (4) ṗ = p( q) = b(q, p). (5) 6

7 Abbildung : Räuber- Beute Modell Der symplektische Euler ist von folgender Gestalt: mit u = a(u,v) und v = b(u,v). u n+1 = u n + ha(u n,v n+1 ) v n+1 = v n + hb(u n,v n+1 ) Angewendet auf die Lotka- Volterra Gleichungen ergibt sich: p n+1 = p n + hp n+1 ( q n ) q n+1 = q n + hq n (p n+1 1). Der symplektische Euler ist ein numerisches Einschrittverfahren 1. Ordnung. Das heißt, nach Satz 1 sollen die modifizierten Gleichungen folgendes erfüllen: ỹ = f (ỹ) + h f (ỹ) + O(h ). (6) Als nächstes betrachten wir p n+1 näher. Durch Umstellen, Ausmultiplizieren und Anwenden der geometrischen Reihe ergibt sich (mit h hinreichend klein): ( ) 1 p n+1 = p n. 1 h( q n ) = j=0 (h( q n)) j Einsetzen in q n+1 ergibt: q n+1 = q n + hq n p n ( j=0 (h( q n )) j ) hq n. Das heißt für die approximative Lösung der Lotka-Volterra Gleichungen erhalten wir: ( ) ( pn+1 p = n (1 + h( q n ) + h ( q n ) ) +...) q n+1 q n + hq n p n (1 + h( q n ) + h ( q n ). (7) +...) hq n 7

8 Im nächsten Schritt werden die Lotka-Volterra Gleichungen mittels Taylor entwickelt um dann durch Koeffizientenvergleich mit der approximativen Lösung die Koeffizienten der modifizierten Gleichungen zu ermitteln. Betrachte zunächst die Taylorentwicklung von p n+1 : p n+1 =p n + h p n + h! =b(q n,p n )+hb (q n,p n ) =p n + hb(q n, p n ) + h b (q n, p n ) + h! + O(h 3 ) p n =ḃ(q n,p n )b(q n,p n ) +O(h 3 ) ( b (q n, p n ) q n + b ) (q n, p n ) p n q n p n Koeffizientenvergleich mit (7) der h -Terme liefert für b (q n, p n ): b (q n, p n ) + 1! ḃ(q n, p n )b(q n, p n ) = b qn (q n,p n )a(q n,p n )+ b pn (q n,p n )b(q n,p n ) = p n ( q n ). (8) =b(q n,p n ) b pn (q n,p n ) Durch Umstellen der Gleichung (8) erhält man für den Koeffizienten der modifizierten Gleichung des p n+1 : b (q n, p n ) = 1 b (q n, p n )b(q n, p n ) b (q n, p n ) a(q n, p n )! p } n q {{} n =p n ( q n ) =q n (p n 1) =( q n ) = p n = 1! p n( q n ) + 1! p nq n (p n 1) = 1 p n(4 5q n + q n + p n q n ). Als nächstes betrachtet man die Taylorentwicklung von q n+1. Dies funktioniert analog wie bei p n+1 : q n+1 =q n + h q n + h! =a(q n,p n )+ha (q n,p n ) =q n + ha(q n, p n ) + h a (q n, p n ) + h! + O(h 3 ) q n =ȧ(q n,p n )a(q n,p n ) +O(h 3 ) ( a (q n, p n ) q n + a ) (q n, p n ) p n q n p n Koeffizientenvergleich der h -Terme der approximativen Lösung von q n+1 und deren Taylorentwicklung liefert: a (q n, p n ) + 1! ȧ(q n, p n )a(q n, p n ) = a qn (q n,p n )a(q n,p n )+ a pn (q n,p n )b(q n,p n ) = q n p n ( q n ) = a pn (q n,p n )b(q n,p n ) (9) 8

9 Durch Umstellen von (9) erhält man: a (q n, p n ) = 1 a (q n, p n ) b(q n, p n ) a (q n, p n ) a(q n,q n )! p } n q {{} n =p n ( q n ) =q n (p n 1) =q n =(p n 1) = 1! q np n ( q n ) 1! q n(p n 1) = 1 q n(4p n p n q n p n 1). Für die modifizierten Gleichungen der Lotka- Volterra Gleichungen erhält man zum Schluss durch Einsetzen in (6): ( ) ( pn+1 pn ( q = n ) + h p n(4 5q n + q n + p n q n ) + O(h ) ) q n (pn 1) + hq n(4p n p n q n p n 1) + O(h. ) q n+1 9

10 3 Langzeitenergieerhaltung 3.1 Energieerhaltung Dieser Abschnitt dient zur kurzen Wiederholung der Hamiltonsysteme und einiger wichtiger Sätze, welche bereits ausführlich im zweiten Vortrag behandelt wurden, da wir in den nächsten Abschnitten auf die Theorie der Hamiltonsysteme zurückgreifen werden. Die Hamilton- Funktion H(p 1,..., p n,q 1,...,q n ) beschreibt die Gesamtenergie von Teilchen, wobei durch p i die Impulskoordinaten und durch q i die Ortskoordinaten definiert werden; n gibt die Anzahl der Freiheitsgrade an. Sie setzt sich aus kinetischer und potentieller Energie zusammen, das heißt: H(p,q) = 1 pt p + U(q) =Potential (10) Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen (Änderung der Energie nach der Zeit) werden definiert durch: ṗ = H q (p,q) q = H p (p,q). Hamiltonsysteme besitzen ein Erstes Integral. Dies kann man leicht zeigen: Ḣ(p,q) = H(p,q) p ṗ = H q (p,q) + H(p,q) q q =H p (p,q) = H p (p,q)h q (p,q) + H q (p,q)h p (p,q) = 0. Das heißt, dass die Energie über einen beliebig langen Zeitraum erhalten bleibt. Hier einige wichtige Sätze aus dem zweiten Vortrag, auf die ich in dem Beweis des folgenden Abschnitts zurückgreifen möchte: Lemma 1 (Lokaler Hamilton). Sei f C 1 (D,IR n ), D f (y) symmetrisch für alle y D. Dann gibt es zu jedem y 0 D eine Umgebung U und H : U IR, so dass für alle y U f (y) = H(y). Satz (Fluss eines Hamiltonsystems). Falls f C 1, dann ist ẏ = f (y) genau dann lokal ein Hamiltonsystem, falls der Fluss der Differentialgleichung symplektisch ist. 3. Modifizierte Hamiltonsysteme Mit Satz und Lemma 1 kann man leicht zeigen, dass die modifizierte Gleichung eines Hamiltonsystems ebenfalls ein Hamiltonsystem ist. 10

11 Satz 3 (Modifizierte Gleichungen eines Hamiltonsystems). Sei ẏ = f (y) = J 1 H(y) ein Hamiltonsystem mit H C (IR d,ir) und sei y n+1 = Φ h (y n ) das darauf angewendete Einschrittverfahren. Die zugehörige modifizierte Gleichung ist dann ebenfalls ein Hamiltonsystem, das heißt, es existieren glatte Funktionen H j : IR d IR für alle j, sodass Beweis. Per Induktion. Induktionsannahme: Es gelte: f j (y) = J 1 H j (y) für j = {1,...,n}. Induktionsanfang: Für j = 1 ist dies erfüllt, wegen f j (y) = J 1 H j (y). (11) f 1 (y) = f (y) = J 1 H(y) und dies ist laut Voraussetzung ein Hamiltonsystem. Induktionsschritt j j + 1: Wir betrachten uns folgende Differentialgleichung: welche ein Hamiltonsystem: sei. Deren Fluss ϕ r,t (y 0 ) erfülle: ỹ = f (ỹ) + h f (ỹ) h r 1 f r (ỹ), (1) H(y) + hh (y) h r 1 H r (y) Φ h (y 0 ) = ϕ r,h (y 0 ) + h r+1 f r+1 (y 0 ) + O(h r+ ) (13) Φ h (y 0) = ϕ r,h (y 0) + h r+1 f r+1(y 0 ) + O(h r+ ), (14) wobei in (14) die Gleichung in (13) differenziert wurde. Nach Satz gilt, dass Hamiltonsysteme einen symplektischen Fluss besitzen, das heißt, dass die Abbildung ϕ r,h symplektisch ist. Φ h ist nach Voraussetzung ebenfalls symplektisch. Außerdem gilt: Dadurch erhält man wegen (14) und (15): J = Φ h (y 0) T JΦ h (y 0) ϕ r,h (y 0) = I + O(h). (15) = (ϕ r,h (y 0) + h r+1 f r+1(y 0 )) T J(ϕ r,h (y 0) + h r+1 f r+1(y 0 )) + O(h r+ ) = ϕ r,h (y 0) T Jϕ r,h (y 0) +h r+1 ( f r+1(y 0 ) T J + J f r+1(y 0 )) + O(h r+ ). =J 11

12 Demnach muss also gelten: f r+1(y 0 ) T J + J f r+1(y 0 ) = 0, was erfüllt ist, wenn J f r+1 (y 0) symmetrisch ist. Aus Lemma 1 folgt dann, dass J f r+1 (y) lokal als Hamiltonsystem darstellbar ist, also: J f r+1 (y) = H r+1 (y). 3.3 Langzeitenergieerhaltung Wir haben nun gezeigt, dass die modifizierten Gleichungen eines Hamiltonsystems ebenfalls Hamiltonsysteme sind. Man kann nun zeigen, dass symplektische Integratoren die Energie über einen sehr langen Zeitraum erhalten können. Allerdings ist noch eine kleine Vorbemerkung notwendig. Am Anfang des Vortrags habe ich erwähnt, dass die approximative Lösung den exakten Fluss der modifizierten Differentialgleichung darstellt. Leider ist dies in der Praxis nicht ganz möglich, da die modifizierten Differentialgleichungen im Allgemeinen divergieren. In dem Buch zum Seminar 1 wurde eine obere Schranke für die Differenz der numerischen Lösung und dem Fluss der modifizierten Gleichung gefunden, falls Φ h (approximative Lösung) und ϕ N,h (exakter Fluss der modifizierten Gleichung) analytische Abbildungen auf einem kompakten Intervall K IR n seien. Es gelte dann: wobei C eine Konstante darstellt. Φ h (y 0 ) ϕ N,h (y 0 ) Che h h 0, (16) Satz 4 (Langzeitenergieerhaltung). Gegeben sei ein Hamiltonsystem ẏ = f (y) = J 1 H(y), y(0) = y 0, mit H : IR d IR analytisch, auf dem ein symplektisches, numerisches Verfahren y n+1 = Φ h (y n ) der Ordnung p angewendet wird. Falls (y) n K kompakt, gibt es ein h 0 und ein N = N(h), sodass für nh e h 0 h gilt: H(y n ) = H(y 0 ) + O(h h 0 h ). Beweis. Sei ϕ N,t (y 0 ) der Fluss der modifizierten Differentialgleichung. Nach Satz 3 ist H hamiltonisch, das heißt insbesondere auch Fluss erhaltend. Also gilt: H( ϕ N,h (y 0 )) = H(y 0 ) 1 Geometric Numerical Integration von E. Hairer, C. Lubisch, G. Wanner; Seite 365 1

13 für alle t. Wir betrachten nun die Differenz: H(y n ) H(y 0 ) n = H(y j ) H(y j 1 ) j=1 n = H(y j ) H( ϕ N,h (y j 1 )) j=1 n H( y j ) H( ϕ N,h (y j 1 )) j=1 =Φ h (y j ) n j=1 C nh (17) (18) (19) λ Φh (y j ) ϕ N,h (y j 1 ) (0) e h 0 e h h h 0 (1) Ce h h 0, () wobei wir bei (0) die Lipschitzstetigkeit mit Lipschitzkonstante λ und bei (1) die Abschätzung in (16) ausgenutzt haben. 3.4 Takahashi-Imada Methode Wir haben also gezeigt, dass symplektische Integratoren die Energie fast vollständig erhalten für hinreichend kleine Zeitintervalle. Das Störmer-Verlet Verfahren: p n+ 1 = p n + 1 h f (q n) q n+1 = q n + hp n+ 1 p n+1 = p n h f (q n+1) ist ein solches symplektisches Verfahren, allerdings mit Konsistenzordnung zwei. Das bedeutet, dass der Energiefehler von Ordnung O(h 3 ) ist. Ein Verfahren höherer Ordnung könnte die Takahashi-Imada Methode darstellen. Diese erhält man durch Addieren des Terms αh f (q) f (q). Somit ist diese eine Modifikation des Störmer-Verlet Verfahrens: p n+ 1 = p n + 1 h(i + αh f (q n )) f (q n ) q n+1 = q n + hp n+ 1 p n+1 = p n h(i + αh f (q n+1 )) f (q n+1 ). Eigentlich ist diese Methode immer noch ein Verfahren der Ordnung zwei. Mit α= 1 1 erhalten wir jedoch ein symplektisches Verfahren der Konsistenzordnung vier. Der 13

14 Energiefehler würde somit O(h 5 ) betragen. Durch die zusätzlich zu berechnende Ableitung kann die numerische Berechnung mitunter sehr teuer werden. Durch eine vereinfachte Variante des Takahashi-Imada Verfahrens könnte dieses Problem gelöst werden: p n+ 1 = p n + 1 h f (q n + αh f (q n )) q n+1 = q n + hp n+ 1 p n+1 = p n h f (q n+1 + αh f (q n+1 )), wobei wir den Term (1 + αh f (q)) f (q) durch f (q + αh f (q)) ersetzen. Allerdings ist dieses Verfahren nicht unbedingt symplektisch. Das Verfahren hat eine Abbildung der Form (p,q) (p + a(q),q), wobei diese symplektisch ist, genau dann, wenn a (q) symmetrisch ist. Das bedeutet, dass f (q n + αh f (q n )) f (q n ) symmetrisch sein muss. Das Produkt zweier symmetrischer Matrizen ist allerdings im Allgemeinen nicht symmetrisch. Also ist die Vereinfachte Takahashi-Imada Methode nicht symplektisch für mehr als einen Freiheitsgrad. Zum Schluss betrachten wir, zur Veranschaulichung der Verfahren, den harmonischen Oszillator mit Bewegungsgleichungen: q = p ṗ = q und Gesamtenergie H(p,q) = 1 (p +q ). Die durch MATLAB berechnete approximative Lösung ergibt folgendes: Die numerischen Verfahren (Störmer- Verlet, Takahashi-Imada, sowie vereinfachter Takahashi-Imada) sind somit sehr nahe an der exakten Lösung. 14

15 Als nächstes wird der Energiefehler geplottet. Für die modifizierten Hamiltongleichungen des Störmer-Verlet Verfahrens und der Takahashi-Imada Verfahren ergeben sich: H SV = 1 p ( 1 + h 6 H T I = 1 p ( 1 + h 6 ) + 1 ) (1 q h 1 )) (1 h + (1 1 1 q h ) ) (1 h 1 Hierbei sehen wir, dass der Energiefehler bei Anwendung der Takahashi-Imada Methode geringer als bei Anwendung des Störmer-Verlet Verfahrens ist. 15

16 4 Literaturhinweis E. Hairer, C. Lubich, G. Wanner: Geomtric Numerical Integration B. Leimkuhler, S. Reich: Simulating Hamiltonian Dynamics E. Hairer, R. McLachlan, R. Skeel: On Energy Conservation of the simplified Takahashi-Imada Method P. Kloeden, K. Palmer: Chaotic Numerics: An international Workshop on the Approximation and Computation of Complicated Dynamical Behavior 16