Entwicklung des Untermoduls: Teil 1: Einblicke in das Modellieren An vorgegebenen Problemen arbeiten Über ihre Merkmale nachdenken Gemeinsames Reflekt

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1 Modellieren: Einleitung Dieses Untermodul besteht aus zwei Teilen. Teil 1: Einblicke in das Modellieren Im ersten Teil besteht das Hauptziel darin, mit verschiedenen realitätsbezogenen Aufgaben zu arbeiten, um einen Einblick zu bekommen, wie eine Modellierungsaufgabe aussehen kann. Dieser Teil ist in zwei verschiedene Übungen aufgeteilt: Übung 1: Die Teilnehmer arbeiten in Gruppen mit den vorgegebenen Situationen (Material M.1.1, Modelling_What is Modelling_Resources_Final_DE.doc). Übung 2: Die Teilnehmer denken in Gruppen über einige Merkmale der Situationen nach (Materialien M.1.2 & M.1.3, (Modelling_What is Modelling_Resources_Final_DE.doc). Nach den Übungen versammeln sich alle Teilnehmer im Plenum: Zwischen der Übung 2 und dem Plenum wird vorgeschlagen, dass jede Gruppe ihre Überlegungen auf Karten festhält (Material M.1.2, (Modelling_What is Modelling_Resources_Final_DE.doc). die Karten aufgehängt werden, wobei alle Karten, die sich auf dieselbe Aufgabe beziehen, zusammen hängen sollen. diese erste visuelle Zusammenfassung als Ansatzpunkt für eine Diskussion verwendet wird. Sie können die Hauptideen, die während der Diskussion aufkommen, an einer Tafel oder einem Flipchart zusammenfassen. Teil 2: Beschreibung des Modellierungsprozesses In diesem zweiten Teil ist das Hauptziel, über die Problemlöseprozesse nachzudenken, die im vorherigen Teil durchgeführt wurden. Die Teilnehmer werden gebeten, ein Schema zu erstellen, das ihre Denkprozesse beim Problemlösen zusammenfasst. Zum Schluss wird eine Beschreibung des Modellierungskreislaufes vorgestellt, der das Vorgehen beim Lösen von Modellierungsaufgaben zusammenfasst. Dieser zweite Teil ist in zwei Übungen und einer Erläuterung Ihrerseits gegliedert: Übung 1: Die Teilnehmer arbeiten in Gruppen, verwenden wieder die Aufgaben, die sie im ersten Teil gelöst haben und fassen ihre Denkschritte beim Problemlösen in einem gemeinsamen Schema zusammen. Übung 2: Plenum und Reflexion. Erläuterung: Sie erklären den Modellierungskreislauf, wie er in der PISA Rahmenkonzeption 1 (2003) beschrieben ist. 1 Wir empfehlen, dass Sie die Beschreibung des Modellierungskreislaufes aus der PISA Rahmenkonzeption verwenden, da diese Beschreibung den Materialien der Lehrerfortbildung zu Grunde liegt. MODELLIEREN Seite 1

2 Entwicklung des Untermoduls: Teil 1: Einblicke in das Modellieren An vorgegebenen Problemen arbeiten Über ihre Merkmale nachdenken Gemeinsames Reflektieren Kriterien entwickeln Teil 2: Beschreibung des Modellierungsprozesses Über die Denkprozesse beim Problemlösen nachdenken Gemeinsames Reflektieren Erläuterung des PISA Modellierungskreislaufes Materialien für die Teilnehmer Material M.1.1 Aufgaben (Modelling_What is Modelling_Resources_Final_DE.doc) Material M.1.2 Karten zum Aufschreiben der Überlegungen zu den Aufgaben (Modelling_What is Modelling_Resources_Final_DE.doc) Material M.1.3 Leitfaden zur Reflexion (optional) (Modelling_What is Modelling_Resources_Final_DE.doc) Seiten für das Lehrertagebuch zu diesem Untermodul (Modelling_What is Modelling_Teacher Diary_Final_DE.doc) Materialien, die Sie benötigen Teil 1: Teil 2: PowerPoint-Präsentation: Modellieren_Was ist Modellieren.ppt (Modelling_What is Modelling_Powerpoint_Final_DE.ppt) Tafel oder einen großen Bogen Papier, auf dem Sie die Überlegungen der Gruppen festhalten können (eine Schablone hierfür in M.1.4, Modelling_What is Modelling_Resources_Final_DE.doc) Klebeband PowerPoint-Präsentation: Modellieren_Was ist Modellieren.ppt (Modelling_What is Modelling_Powerpoint_Final_DE.ppt) verschiedenfarbige Karten (drei Farben) und Filzstifte MODELLIEREN Seite 2

3 Teil 1: Einblicke in das Modellieren Dauer ca. 2 Stunden Modellieren Aufgaben Unterricht Diagnose Reflexion Modellieren Was ist Modellieren? Dies ist das erste Untermodul der Lehrerfortbildung. Die Kernideen zum mathematischen Modellieren werden eingeführt. 2 Teil 1 Einblicke in das Modellieren 3 Ziele Es ist wichtig, dass Sie mit einem Überblick über die Ziele dieses ersten Teils des Untermoduls beginnen. Sie werden mit verschiedenen realitätsbezogenen Aufgaben arbeiten. über die Merkmale der Aufgaben nachdenken. sich Kriterien überlegen, anhand deren man Modellierungsaufgaben von anderen realitätsbezogenen Aufgaben unterscheiden kann. 4 Sie können hinzufügen, dass dieser Teil dem Erkunden dient, was Modellieren ist, und dass er mit Teil 2 in Verbindung steht. In Teil 2 werden die Teilnehmer an einer Beschreibung des Modellierungsprozesses arbeiten. Sie können hier auch schon erwähnen, dass sich die Teilnehmer später im Modul Aufgaben mit Klassifizierungen verschiedener Aufgabentypen beschäftigen werden. MODELLIEREN Seite 3

4 Ergebnisse Kriterien zum Erkennen von Modellierungsaufgaben Überblick über den Modellierungsprozess Informieren Sie die Teilnehmer über die erwarteten Ergebnisse: Sie sollen die Hauptmerkmale von Modellierungs- und realitätsbezogenen Aufgaben beschreiben können. Betonen Sie hier, dass die Teilnehmer in Teil 2 an einer detaillierteren Beschreibung des Modellierungsprozesses arbeiten werden. Als weiteres Ergebnis soll das Untermodul die Teilnehmer darin unterstützen, ihre Problemlösefähigkeiten bei der Bearbeitung von Modellierungs- und realitätsbezogenen Aufgaben zu verbessern. Sie können auch die Problemlösekompetenzen der Teilnehmer beobachten, um die Aufgaben, die Sie in der Fortbildung verwenden werden, anzupassen. Aufbau Teil 1 Übung 1 Mit den vorgegebenen Situationen arbeiten Übung 2 Über die Merkmale der vorgegebenen Situationen nachdenken Übung 3 Gemeinsames Reflektieren [in kleinen Gruppen] [in kleinen Gruppen] [ganze Gruppe] Übung 4 Kriterien entwickeln [ganze Gruppe] Dieses Schaubild soll Ihnen helfen, den Aufbau dieses Teils zu veranschaulichen. Teilen Sie die Gruppen jetzt in kleinere Arbeitsgruppen ein (3-4 Teilnehmer), bevor Sie Übung 1 vorstellen (nächste Folie). 6 Aktivitäten des Untermoduls Übung 1 Verteilen Sie die Aufgaben (Material M.1.1). Fordern Sie die Teilnehmer auf, alle Aufgaben in Gruppen zu bearbeiten. Lösen einiger Aufgaben 7 Es ist wichtig, dass Sie den Lehrern vermitteln, dass diese Aufgaben hier nicht ausgewählt wurden, um sie im Unterricht zu verwenden. Es geht vielmehr darum, dass die Teilnehmer sich selbst mit Modellierungen beschäftigen. Aber natürlich können die Aufgaben in den ent- MODELLIEREN Seite 4

5 sprechenden Jahrgangstufen auch im Unterricht eingesetzt werden. Die nächsten Folien enthalten Details zu den Aufgaben und jeweils Anmerkungen für Sie. Schauen Sie sich die Anmerkungen gut an, denn sie bereiten Sie auf die Diskussion vor. Weisen Sie die Teilnehmer daraufhin, ihre Lösungen in ihrem Ordner aufzubewahren sie werden sie später noch brauchen. Aufgabe 1: Unterschriften sammeln gegen ein neues Gesetz Erst vor kurzem, am 2. April 2006, hat die spanische Opposition dem Kongress Unterschriften gegen ein neues Gesetz vorgelegt, das von der Regierung unterstützt wurde. Alle Zeitungen in Spanien veröffentlichten Fotos der großen Kisten und der 10 Kleinlastwagen, die für den Transport der Unterschriften zum Kongress nötig waren. Glaubst du, es steckte eine politische Absicht hinter diesem Aufgebot oder waren all diese Kisten wirklich notwendig, um die Unterschriften zu befördern? Zurück zur Folie 23 8 Dies ist eine offene Modellierungsaufgabe. Die Situation ist realistisch und authentisch. Hypothesen über die Anzahl der Unterschriften auf jedem Blatt Papier müssen aufgestellt werden. Einfache arithmetische Berechnungen führen zu einem Volumen, das mit dem zulässigen maximalen Ladevolumen und Gewicht eines Kleinlastwagens verglichen werden muss (die Angaben können geschätzt oder im Internet recherchiert werden). Um zu einer endgültigen Lösung zu gelangen, muss man belegen, ob all diese Kleinlastwagen für den Transport der Unterschriften wirklich notwendig waren. Aufgabe 2: Herzschlag Aus gesundheitlichen Gründen sollte man bei körperlichen Anstrengungen - zum Beispiel beim Sport - vermeiden, eine bestimmte Herzfrequenz zu überschreiten. Jahrelang wurde der Zusammenhang zwischen der für eine Person empfohlenen maximalen Herzfrequenz und dem Alter der Person durch die folgende Formel beschrieben: Empfohlene maximale Herzfrequenz = 220 Alter Jüngste Untersuchungen haben gezeigt, dass diese Formel etwas verändert werden muss. Die neue Formel lautet nun folgendermaßen: Empfohlene maximale Herzfrequenz = 208 (0,7 x Alter) In einem Zeitungsartikel wurde behauptet: Wenn die neue Formel anstelle der alten verwendet wird, verringert sich die Anzahl der empfohlenen maximalen Herzschläge pro Minute für jüngere Leute leicht, während sich die Anzahl der empfohlenen maximalen Herzschläge pro Minute für ältere Menschen leicht erhöht. Ab welchem Alter erhöht sich die empfohlene maximale Herzfrequenz, wenn man die neue Formel anwendet? Veranschauliche deinen Lösungsweg. siehe Zurück zur Folie 23 9 Diese Aufgabe wurde als Beispiel für eine realitätsbezogene Aufgabe ausgewählt (da das Modell hier schon vorgegeben ist, handelt es sich hier nicht um eine Modellierungsaufgabe). Die Situation erscheint realistisch und authentisch. Zwei lineare Modelle zur Herzfrequenz sind gegeben. Nach einigen mathematischen Berechnungen kommt man zu einem Wert, den man hinsichtlich der Herzfrequenz und des Verhaltens beider Modelle interpretieren muss. MODELLIEREN Seite

6 Aufgabe 3: Musikfestival Das Glastonbury Festival of Contemporary Performing Arts ist das größte Open-Air-Musik-und-Künstler- Festival der Welt. 200 war die Nutzungsfläche über 900 Morgen (3,6 km²) groß und es gab mehr als 38 Live-Auftritte. Viele Festivalbesucher bringen ihr Zelt mit, um auf dem Festivalgelände zu übernachten. Bild: Veröffentlicht bei Wikimedia Commons, Dank an Logan1138 Die Organisatoren müssen die Anzahl der Eintrittskarten und die Anzahl der Zelte begrenzen, um für alle Teilnehmer die nötige Sicherheit garantieren zu können. Was würdest du ihnen raten? Zurück zur Folie Dies ist eine weitere Modellierungsaufgabe über einer realistischen und authentischen Situation (die realistischen Daten kommen aus dem Internet; das Festival findet fast jedes Jahr in Glastonbury, Vereinigtes Königsreich statt). Unterschiedliche Hypothesen sind notwendig, um abschätzen zu können, wie viele Tickets verkauft und wie viele Zelte erlaubt werden sollen. Je nach Annahmen und Lösungen kann es nötig sein, das Modell zu überarbeiten. Aufgabe 4: Erdgas Die weltweiten Erdgasreserven wurden 1993 auf ungefähr 141,8 Billionen Kubikmeter geschätzt. Seitdem betrug die Fördermenge durchschnittlich 2, Billionen Kubikmeter pro Jahr. Berechne modellhaft unter verschiedenen Annahmen, wann die Erdgasreserven aufgebraucht sein werden. Erkläre und begründe dein gesamtes Vorgehen ausführlich. Dies ist eine realistische und authentische Modellierungsaufgabe. Unterschiedliche Annahmen zum Gasverbrauch führen zu unterschiedlichen Modellen (Funktionen). Soziale und / oder ökologische Gesichtspunkte können in Betracht gezogen werden, um zu unterschiedlichen Lösungen zu gelangen. Bild: Veröffentlicht bei Wikimedia Commons, Dank an Stan Shebs Aufgabe: 2007 Cornelsen Verlag Scriptor Mathematisches Modellieren Zurück zur Folie Danielle hat 23 Eier gefunden. Sie lächelt über das ganze Gesicht, da sie neun Eier mehr gefunden hat als Chris. Jennie lächelte sogar noch mehr. Sie hat genau so viele Eier gefunden wie Chris und Danielle zusammen. Wie viele Eier hat Jennie gefunden? Aufgabe : Ostereier Dies ist eine klassische eingekleidete Textaufgabe. Der Sachkontext dient nur als Vorwand, um einige arithmetische Berechnungen durchzuführen. Zurück zur Folie MODELLIEREN Seite 6

7 Aufgabe 6: Nachbarn Was glaubst du, wie viele Leute in diesem Wohnblock wohnen? Dies ist ein realistisches und authentisches Modellierungsproblem. Die Fotos aus Deutschland führen zu einer Aufgabe, für die Annahmen darüber gemacht werden müssen, wie viele Menschen in jeder Wohnung wohnen. Klingeln im Eingangsbereich: Bilder: Cornelsen Verlag Scriptor Mathematikunterricht weiterentwickeln Zurück zur Folie Übung 2 Vergleichen Sie Ihre Lösungen in den Gruppen. Worin bestehen Unterschiede? Wo sind Gemeinsamkeiten? Nachdem die Aufgaben gelöst wurden, sollen die Teilnehmer über die Merkmale der verschiedenen Aufgaben nachdenken. Vermutlich haben die Teilnehmer diese schon während des Lösens der Aufgaben diskutiert. Schreiben Sie Ihre Ideen auf die vorbereiteten Karten. (Benutzen Sie für jede Aufgabe eine neue Karte.) Sachkontext Leitfaden zur Reflexion 14 Ein Leitfaden zur Reflexion wird in der nächsten Folie vorgestellt. Darin werden einige Gebiete genannt, über die die Teilnehmer nachdenken können: Sachkontext der Aufgabe Erwartete Lösungen Nötige mathematische Kenntnisse Erwartete Lösungen Nötige mathematische Kenntnisse Hauptmerkmale der Schüleraktivit leraktivität Schüleraktivität In Material M.1.3 finden Sie eine ausführliche Version dieses Leitfadens (für denn Fall, dass die Teilnehmer weitere Unterstützung benötigen). 1 Verteilen Sie Material M.1.2 und bitten Sie die Teilnehmer, die Überlegungen der Gruppen zu jeder Aufgabe auf einer anderen Karte zusammenzufassen. MODELLIEREN Seite 7

8 Plenum Übung 3: Diskussion Welche Gemeinsamkeiten / Unterschiede können Sie zwischen diesen Aufgaben erkennen? Jetzt werden die Überlegungen zusammengefasst. Die folgende Vorgehensweise wird vorgeschlagen: Kontext Mathematische Kenntnisse Erwartete Lösungen Schüleraktivität Heften Sie die Karten an eine Wand (z.b. eine Pinnwand oder Schautafel). 16 Die Karten, die zur selben Aufgabe gehören, sollten zusammen aufgehängt werden und somit eine visuelle Zusammenfassung bilden. Bitten Sie die Lehrer, die Überlegungen der anderen Gruppen zu kommentieren. Wichtige Anmerkung: Denken Sie daran, dass dies der erste Teil der Fortbildung ist und er der Erkundung dient und nicht dazu da ist, Details zu erörtern. Wahrscheinlich sind schon während der Diskussion viele interessante Ideen aufgekommen: Sie können die Teilnehmer auch daraufhinweisen, wo und wann sie während der Fortbildung mehr zu bestimmten Punkten erfahren werden. Einige Schlussfolgerungen zum Sachkontext der Aufgabe. zu den nötigen mathematischen Kenntnissen. zu den erwarteten Lösungen. zur Schüleraktivität. Einige Schlussfolgerungen, die sich auf den Leitfaden beziehen, werden hier benannt. Sie sind nur Vorschläge. Sie können selbst entscheiden, ob Sie sie verwenden oder nicht, je nach der Entwicklung der vorangegangen Diskussion. Vielleicht ziehen Sie es aber auch vor, eigene Schlussfolgerungen auszuarbeiten. 17 Beachten Sie bitte, dass die Play -Symbole auf dieser Folie Links zu den anderen Folien sind, auf denen die Schlussfolgerungen ausgeführt werden. Mit dem Link Zurück zu den Schlussfolgerungen rechts unten auf diesen Folien kommen Sie wieder zu dieser Folie zurück. MODELLIEREN Seite 8

9 Zum Sachkontext der Aufgabe Realistisch und authentisch? Für Schüler interessant? Für Schüler relevant? Aufgabe 1 ja vielleicht ja Aufgabe 2 unsicher vielleicht vielleicht Aufgabe 3 ja vielleicht vielleicht Aufgabe 4 ja vielleicht ja Beachten Sie, dass diese Folie am Ende der Präsentation ist. Sie gelangen hierhin, indem Sie das Play -Symbol auf der Einige Schlussfolgerungen -Folie anklicken. Sie kommen zurück, indem Sie auf Zurück zu den Schlussfolgerungen klicken. Aufgabe nein wahrscheinlich nicht auf keinen Fall Aufgabe 6 ja vielleicht vielleicht Zurück zu den Schlussfolgerungen 29 Zu den nötigen mathematischen Kenntnissen Aufgabe 1 Nur ein einziger, eindeutig bestimmter Lösungsweg? nein Wird das Anwenden verschiedener mathematischer Kenntnisse gefördert? Schätzen, arithmetische Berechnungen, Maße, Geometrie Aufgabe 2 ja lineare Funktionen Aufgabe3 Aufgabe 4 nein nein Schätzen, arithmetische Berechnungen, Maße, Geometrie Schätzen, arithmetische Berechnungen, Maße, Geometrie, Funktionen Beachten Sie, dass diese Folie am Ende der Präsentation ist. Sie gelangen hierhin, indem Sie das Play -Symbol auf der Einige Schlussfolgerungen -Folie anklicken. Sie kommen zurück, indem Sie auf Zurück zu den Schlussfolgerungen klicken. Aufgabe ja Arithmetik Aufgabe 6 nein Schätzen, arithmetische Berechnungen Zurück zu den Schlussfolgerungen 30 Zu den erwarteten Lösungen Aufgabe 1 Eine oder mehrere Lösungen? mehrere Art der erwarteten Lösung? eine Zahl, ein Intervall, eine Aussage Beziehung zwischen der Lösung und dem ursprünglichen Kontext? relevant Aufgabe 2 eine eine Zahl relevant Aufgabe 3 mehrere Maße, Intervalle relevant Aufgabe 4 mehrere Zahlen, Intervalle, Aussagen, Funktionen, Muster relevant Beachten Sie, dass diese Folie am Ende der Präsentation ist. Sie gelangen hierhin, indem Sie das Play -Symbol auf der Einige Schlussfolgerungen -Folie anklicken. Sie kommen zurück, indem Sie auf Zurück zu den Schlussfolgerungen klicken. Aufgabe eine eine Zahl überhaupt nicht relevant Aufgabe 6 mehrere Zahlen, Intervalle relevant Zurück zu den Schlussfolgerungen 31 MODELLIEREN Seite 9

10 Zur Schüleraktivität Gibt es ein optimales und einzig mögliches Vorgehen? Muss man die Aufgabe erkunden, Hypothesen aufstellen, nach verschiedenen Arbeitsweisen suchen, interpretieren und die Lösungen validieren,? Aufgabe 1 nein ja Aufgabe 2 ja nein Aufgabe 3 nein ja Beachten Sie, dass diese Folie am Ende der Präsentation ist. Sie gelangen hierhin, indem Sie das Play -Symbol auf der Einige Schlussfolgerungen -Folie anklicken. Sie kommen zurück, indem Sie auf Zurück zu den Schlussfolgerungen klicken. Aufgabe 4 nein ja Aufgabe ja nein Aufgabe 6 nein ja Zurück zu den Schlussfolgerungen 32 Übung 4: Entwicklung von Kriterien Welche Kriterien muss eine Aufgabe erfüllen, damit sie als Modellierungsaufgabe angesehen werden kann? In Bezug auf Kontext? mathematische Kenntnisse? erwartete Lösungen? Schüler ler- aktivität? t? 18 Um diesen Teil zusammenzufassen, wird eine Diskussion über die Merkmale einer Modellierungsaufgabe vorgeschlagen. Sie können vier Karten an die Wand kleben, eine für jeden Vorschlag des Leitfadens und dann die Teilnehmer bitten, für jede Kategorie Merkmale vorzuschlagen. Post-Its können für die verschiedenen Ideen der Teilnehmer verwendet werden. Sie können die geäußerten Ideen beispielsweise mit Hilfe der Schablone in Material M.1.4 ordnen. MODELLIEREN Seite 10

11 Teil 2: Beschreibung des Modellierungsprozesses Dauer ca. 1 Stunde Teil 2 Beschreibung des Modellierungsprozesses 19 Ziele Es ist wichtig, dass Sie mit einem Überblick über die Ziele dieses zweiten Teils beginnen. Sie werden über die Denkprozesse beim Problemlösen nachdenken, die Sie in Teil 1 angewandt haben. diese Prozesse in einem gemeinsamen Schema darstellen. ein mögliches Schema besprechen, mit dem man den Modellierungsprozess beschreiben kann. den Modellierungsprozess näher kennenlernen. Sie können auch betonen, dass in diesem Teil darüber nachgedacht wird, was in Teil 1 durchgenommen wurde. 20 Ergebnisse Beschreibung des Modellierungsprozesses. 21 Informieren Sie die Teilnehmer über die erwarteten Ergebnisse: Sie sollen eine persönliche Beschreibung dessen erstellen, was sie während des Lösens der Aufgaben in Teil 1 getan haben. Später werden Sie eine Beschreibung des Modellierungsprozesses einführen, die aus der Forschung mathematischer Bildung stammt. Tun Sie dies aber erst nachdem die Teilnehmer über ihre eigenen Prozesse nachgedacht haben. MODELLIEREN Seite 11

12 Aufbau Teil 2 Übung 1 Reflexion über Ihre Problemlöseprozesse [in kleinen Gruppen] Übung 2 Gemeinsames Reflektieren [gesamte Gruppe] Dieses Schaubild soll Ihnen helfen, den Aufbau dieses Teils zu veranschaulichen. Teilen Sie die Gruppe in kleinere Arbeitsgruppen ein (3-4 Teilnehmer pro Gruppe), bevor Sie die Übung 1 vorstellen (nächste Folie). 22 Aktivitäten des Untermoduls Übung 1 Gruppenarbeit: Die Teilnehmer sollen sich auf die Aufgaben des vorherigen Teils beziehen. Sie benötigen auch die Lösungen, die sie in Teil 1 erarbeitet haben. Schauen Sie sich die Aufgaben noch einmal an, die bisher gelöst worden sind. Wie sind Sie vorgegangen, um eine Lösung zu finden? Denken Sie auf einer Meta-Ebene über Ihre Denkprozesse beim Problemlösen nach. Skizzieren Sie ein einziges Schaubild, das all diese Prozesse beinhaltet. [ Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe Aufgabe 6] 23 Es ist hier noch einmal wichtig, dass Sie die Lehrenden daran erinnern, dass obwohl sie die Aufgaben in ihrem Unterricht verwenden könnten, diese hier nicht aus diesem Grund ausgewählt wurden. Das Ziel ist es hier, nicht daran zu denken, wie diese Aufgaben im Unterricht behandelt werden könnten. Betonen Sie das erwartete Ergebnis: Die Teilnehmer sollen ein Diagramm entwickeln, dass darstellt, was sie während des Lösens der Aufgaben getan haben. Das Ziel hier ist nicht festzuhalten, was sie im Detail gemacht haben, sondern ihre Denkschritte allgemein zusammenzufassen. Auch wenn vielleicht ein tatsächlich komplettes Kreislaufschema entsteht, das den ganzen Modellierungskreislauf darstellt, wird dies nicht erwartet. Wahrscheinlich werden viele Lehrer ein mehr oder weniger detailliertes lineares Schema vorschlagen, vermutlich als Liste, die mit einem realistischen Sachkontext beginnt und mit einer Lösung endet. Wenn die Teilnehmer Schwierigkeiten haben, können Sie sie auf die Existenz MODELLIEREN Seite 12

13 zweier verschiedener Welten hinweisen: Der Realen Welt und der Mathematischen Welt und erwähnen, dass jeder Löseprozess eine Art ständigen Wechsel zwischen diesen beiden bewirkt. Die PowerPoint-Folien beinhalten auch Links zu den Aufgaben, falls Sie diese benötigen. Plenum Übung 2: Gemeinsames Reflektieren Vergleichen Sie Ihre Schaubilder. Welche Gemeinsamkeiten / Unterschiede stellen Sie fest? 24 Jetzt werden die Reflexionsideen zusammengefasst und die verschiedenen Diagramme bearbeitet, die erstellt wurden. Die folgende Vorgehensweise wird vorgeschlagen: Jede Gruppe wählt einen Stellvertreter. Abwechselnd erklärt jeder Stellvertreter das Diagramm der jeweiligen Gruppe (vielleicht können sie ihr Diagramm auf einer OHP - Folie zeichnen). Diese erste Zusammenfassung bildet den Ausgangspunt für die Diskussion. MODELLIEREN Seite 13

14 Einführung einer Beschreibung des Modellierungsprozesses Reale Welt Der Modellierungskreislauf (PISA-Studie, 2003) Reales Problem Reale Lösung Mathematisches Problem 4 Mathematische Lösung Mathematische Welt 2 Auf der nächsten Folie wird die Beschreibung des Modellierungsprozesses der PISA-Studie (OECD, 2003) dargestellt. Diese internationale Studie hat u.a. die Schülerkompetenzen im Anwenden von Mathematik in verschiedenen Ländern untersucht. Sie können diese Folie verwenden, um den Teilnehmern den PISA Modellierungsprozess näherzubringen oder auch eigene Folien erstellen oder eine Tafel oder einen Flipchart nutzen. Diese Folien sollten den Lehrern am Ende dieses Teils gegeben werden (einschließlich der erweiterten Beschreibung ). Machen Sie die Lehrer auf die Übergänge zwischen den einzelnen Schritten aufmerksam (Nummer 1 bis ). Denn diese zeigen die Dynamik des Modellierungsprozesses und der dazu nötigen Teilprozesse. Eine detaillierte Beschreibung des Modellierungskreislaufes ist für Sie vorbereitet (als Link am Ende der Folie). Sie können selbst entscheiden, ob Sie sie verwenden möchten. Der Modellierungskreislauf (PISA -Studie, 2003) 1. Man beginnt mit einem realen Problem. Reales Problem Reale Lösung Reale Welt Mathematisches Problem 4 Mathematische Lösung Mathematische Welt 2. 2 Dies ordnet man in mathematische Konzepte ein und sucht die relevanten mathematischen Mittel. 3 4 Die Realität wird durch Prozesse wie Annahmen machen, Verallgemeinern und Formalisieren allmählich ausgeblendet. Diese Prozesse betonen die mathematischen Merkmale der Situation und verwandeln das reale Problem in ein mathematisches Problem, das die Situation sinngemäß wiedergibt. Das mathematische Problem wird gelöst. Das Ergebnis des mathematischen Problems wird im Rahmen des realen Ausgangsproblems interpretiert und validiert. ausführliche Beschreibung Beispiele 26 Der Text Beispiele beinhaltet auch einen Link zu weiteren Folien, wo Aufgabe 1 (als Beispiel für eine Modellierungsaufgabe) und Aufgabe 2 (als Beispiel eine für eine einfache Anwendungsaufgabe) anhand des Schemas entwickelt werden. Sie können sie verwenden, um den Teilnehmern die Ideen zu veranschaulichen, die gerade eingeführt werden (diese Folien zeigen erst den Modellierungskreislauf und mit jedem weiteren Tastendruck erscheinen neue Felder mit Bezug zur Aufgabe). MODELLIEREN Seite 14

15 Wichtige Anmerkungen Der Modellierungskreislauf ist kein Algorithmus. Oft muss man schon vorab an den nächsten oder wieder zurück an einen vorherigen Schritt denken. Es kann sein, dass man den Kreislauf mehrere Male durcharbeiten muss, bevor man zu einer Lösung kommt. Mehrere Lösungen sind möglich. Reales Problem Oft hängt die Lösung von der Person ab, welche die Aufgabe bearbeitet. Reale Lösung Reale Welt Mathematisches Problem 4 Mathematische Lösung Mathematische Welt 27 Diese Folie enthält einige wichtige Anmerkungen. Es ist besonders wichtig zu betonten, dass der Modellierungskreislauf nicht als Algorithmus zum Lösen von Modellierungsaufgaben angesehen werden kann. Tatsächlich ist er nur eine Orientierungshilfe, die eine Vorgehensweise veranschaulicht, mit der man Modellierungsaufgaben lösen kann. Oft müssen Schritte wiederholt werden und die Schüler rückwärts und vorwärts arbeiten, was manchen vielleicht als ein eher verschwommener Prozess erscheinen mag. MODELLIEREN Seite 1

16 Teil 2: Zusätzliche Folien Der Modellierungkreislauf (PISA, 2003) Vom Problem in der realen Welt zum mathematischen Problem (1, 2, 3) (Horizontale Mathematisierung, De Lange, 1987) erkennen der benötigten Mathematik hinsichtlich eines Problems in der Realität; darstellen des Problems auf eine andere Art und Weise, es gemäß der mathematischen Begriffe einordnen und geeignete Annahmen machen; verstehen der Beziehung zwischen der Sprache, in der das Problems formuliert ist, und der symbolischen und formalen Sprache, die nötig ist, um das Problem mathematisch zu verstehen; finden von Regelmäßigkeiten, Verhältnissen und Mustern; wieder erkennen von Aspekten, die bekannten Problemen gleichen; übersetzen des Problems in die Mathematik, d.h. in ein mathematisches Modell. Modellierungsprozess (Mathematisierung) PISA Rahmenkonzeption 2003 S Ausführliche Beschreibung (drei Folien) des Modellierungskreislaufes aus der PISA Rahmenkonzeption (2003). Sie gelangen zu diesen Folien, indem Sie den Link Ausführliche Beschreibung auf Folie Nummer 26 anklicken. Auf der letzten Folie unten ist ein Link, mit dem Sie wieder zur Hauptpräsentation (Folie 26, Beschreibung des Modellierungskreislaufes) zurück kommen. Der Modellierungskreislauf (PISA, 2003) In der mathematischen Welt arbeiten (4) (Vertikale Mathematisierung, De Lange, 1987) anwenden und wechseln zwischen verschiedenen Darstellungsformen; verwenden von symbolischer, formaler und technischer Sprache und Operationen; verbessern und anpassen der mathematischen Modelle; verbinden und interpretieren von Modellen; argumentieren; verallgemeinern. Modellierungsprozess (Mathematisierung) PISA Rahmenkonzeption 2003 S Der Modellierungskreislauf (PISA, 2003) Zurück zur Situation in der realen Welt () (Interpretation und Validierung der Lösung und des Modells) verstehen der Bedeutung und Grenzen mathematischer Konzepte; nachdenken über mathematische Argumente sowie Ergebnisse erklären und rechtfertigen; reden über den Lösungsprozess und die Lösung; kritisieren des Modells und seinen Grenzen. Modellierungsprozess (Mathematisierung) PISA Rahmenkonzeption 2003 S. 39 Zurück zur Präsentation 36 MODELLIEREN Seite 16

17 Beispiele Aufgabe 1: Unterschriften sammeln gegen ein neues Gesetz Aufgabe 2: Herzschlag Hier finden Sie als Beispiele die Beschreibung des Lösungsprozesses von Aufgabe 1 und Aufgabe 2 mit Modellierungskreislauf. Sie gelangen hierhin, indem Sie auf Folie 26 den Link Beispiele anklicken. Jede Textzeile auf dieser Folie ist ein Link zur jeweiligen Aufgabe. 37 Beispiel 1: Unterschriften sammeln gegen Unterschriften Collecting signatures sammeln How Wie viele may Blätter sheets Papier? of paper? Carrying Transport them zum Real-world to the Kongress Congress 1 2 What Wie groß is Mathematical ist volume das Volumen occupied der Werden Are wirklich 11 vans 10 Kleinlastwagen really problem needed? benötigt? 3 by nnblätter? Problem sheets of paper? Volumina Comparing vergleichen volumes (n sheets Blätter gegenüber of paper 10 Real vs. Kleinlastwagen) 11 solution vans) Arguing Situation about erörtern the situation 4 Arithmetische Arithmetic Mathematical calculations Berechnungen Berechnung Calculating solution eines a volume Volumens Real Reale world Welt Mathematische Mathematical world Welt Aufgabe Tasks 1 1 Modelling Modellierungsaufgabe task (all the (der cycle ganze Kreislauf and steps und alle have to Schritte müssen beachtet werden) be considered) Aufgabentext Zurück zur Präsentation 38 Beispiel 2: Herzschlag Zwei mathematische Two math. models Modelle (linear) and und a eine qualitative qualitative Aussage statement sind gegeben. are given. Which age onwards Real-world does the new Von welchem model Alter increase an übersteigt the recommended frequency given problem die by the old one? berechnete Frequenz im neuen Modell die des alten Modells? Interpretation Interpreting dieser this inequality Ungleichung Real solution in terms bzgl. Alter of age und and recommended empfohlener max. Herzfrequenz heart rate Comparison Vergleich Mathematical zweier of two Funktionen: functions: x / 220 Problem x < 208 0,7x? 4 Mathematical Lösen Solving einer a linearen inequality: Ungleichung solution x > 40 Reale Real world Welt Mathematische Mathematical world Welt Aufgabe 2 Realitätsbezogene Aufgabe (Schritte 2 und 3 müssen nicht bearbeitet werden: Das mathematische Modell wird vorgegeben.) Aufgabentext Zurück zur Präsentation 39 MODELLIEREN Seite 17