Lernumgebung zur Big Idea Modellieren

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1 Lernumgebung zur Big Idea Modellieren Julian Seiter Modellieren ist eine Big Idea (vgl. z.b. Siller, 2008), die ganz offensichtlich inhaltsübergreifend ist, denn man kann sehr viele unterschiedliche mathematische Begriffe nutzen, um mathematische Modelle für Realsituationen aufzustellen. Im Folgenden wird zunächst eine Kurzeinführung in die Idee des Modellierens gegeben und anschließend erläutert, wie in der vorgestellten Lernumgebung nicht nur die Bedeutung des Modellierens für viele verschiedene Situationen und Inhalte deutlich gemacht werden kann, sondern auch, wie anhand dieser Big Idea verschiedene mathematische Inhalte vernetzt werden können. Modellieren und der Modellierungskreislauf Modellieren ist eine mathematikbezogene Aktivität, die von Übersetzungsprozessen gekennzeichnet ist (z.b. Blum, 2007; Kuntze, 2010). Diese Übersetzungsprozesse lassen sich in Kreislaufmodellen beschreiben (Blum & Leiß, 2006), wie sie in den Abbildungen 1 und 2 gezeigt werden. Realmodell 1 Realsituation 5 2 Mathematisches Modell 3 Reales Ergebnis 4 Mathematisches Ergebnis 1. Strukturieren 2. Mathematisieren 3. Verarbeiten 4. Interpretieren 5. Validieren Abbildung 1: Modellierungskreislauf (vereinfacht nach Blum und Leiß, 2006) 149

2 Anwendungskontext validieren Situation mathematisieren Reale Resultate Die folgenden Materialien sind für die achte Klasse einer Real-, Hauptbzw. Werkrealschule vorgesehen, können aber auch problemlos am Gymnasium bearbeitet werden. Es wurde versucht, die Materialien möglichst selbsterklärend zu gestalten, so dass der Einsatz der Lehrperson auf ein Minimum beschränkt werden kann. Die Aufgaben befassen sich alle auf teilweise unterschiedliche Art und Weise mit der Big Idea Modellieren. Innerhalb der einzelnen Aufgaben wurden mathematische Inhalte mit dem Gedanken des Modellierens verknüpft. Im Folgenden werden die einzelnen Aufgaben bzw. Modellierungssituationen sowie der Modellierungsgedanke innerhalb dieser Aufgaben erläutert. Mathematisches Modell interpretieren Mathematische Ergebnisse verarbeiten Mathematik Abbildung 2: Vereinfachter Modellierungskreislauf (aus Kuntze, 2010, S. 6) Eine Folge der Bedeutung von Übersetzungsprozessen ist, dass mathematische Modelle unterschiedlich aussehen können. Oft ist es möglich, mit Hilfe ganz unterschiedlichen mathematischen Inhaltswissens Modellierungen vorzunehmen, was es interessant macht, diese Modellierungen auf die verwendeten mathematischen Ansätze hin zu untersuchen. Dabei können anhand der Aktivität des Modellierens Verknüpfungen zwischen verschiedenen mathematischen Strategien und Inhaltsbereichen aufgebaut werden. Neben der Verdeutlichung der inhaltsübergreifenden Idee des Modellierens soll das Augenmerk dieser Lernumgebung vor allem auch diesen Zusammenhängen gelten. Die Lernumgebung 150

3 Anmerkungen zu den einzelnen Aufgaben Die Lernumgebung beginnt mit einem allgemeinen Info-Blatt zur Idee des Modellierens. Eine vereinfachte Darstellung des Modellierungskreislaufs (vgl. Abb. 2) soll den Lernenden einen Überblick ermöglichen. Modellierungssituation 1: In der ersten Modellierungssituation soll das Vernetzungspotential des Modellierungsbegriffs deutlich werden. Anhand dreier Schülerlösungen werden unterschiedliche Modellierungsmöglichkeiten verdeutlicht und gleichzeitig auch Beispiele gegeben, wie Modellierungen aussehen können. Die Aufgabe steuert aber vor allem das Vergleichen und Vernetzen von verschiedenen mathematischen Inhalten und Strategien anhand dieses Modellierungsproblems an. Für die nachfolgenden Aufgaben werden bereits einige Unteraspekte des Modellierens wie das Schätzen oder Messen vorbereitet. Modellierungssituation 2: In dieser Aufgabe steht das Treffen von Annahmen und das Schätzen im Mittelpunkt. Die Schüler(innen) sollen hier selbst Modelle entwickeln, in denen wahrscheinlich die Volumenberechnung eine Rolle spielen wird. Mit deren Hilfe sollen sie dann den monatlichen Milchbedarf schätzen. Modellierungssituation 3: Hierbei handelt es sich um eine Fermi-Aufgabe. Der Gedanke des Schätzens und des Treffens von Angaben wird hier fortgeführt. Die eigentliche Modellierung besteht hier in der Verknüpfung der Annahmen und Daten, welche die Schüler(innen) ggf. auch mit Hilfe eines Computers herausfinden sollen. Modellierungssituation 4: Das Abschätzen von Größen und das Messen werden insbesondere vor Modellierungssituation 4 in das Zentrum gerückt. In dieser Aufgabe sollen Größen miteinander in Beziehung gesetzt werden, indem ein mathematisches Größenmodell genutzt wird und Messungen in diesem Modell interpretiert werden. Anhand der Modellierungssituationen 5, 6 und 7 soll verdeutlicht werden, in welch unterschiedlichen Bereichen Modellierungsaktivitäten genutzt werden können. Wieder soll reflektiert werden, welches mathematische Inhaltswissen jeweils zum Einsatz kommen kann: Während bei Modellierungssituation 5 und 7 der Gedanke des Messens eine wichtige Rolle spielt, kann bei Modellierungssituation 6 die Modellierung anhand der Erstellung von Funktionen erfolgen. 151

4 Infoblatt: Was bedeutet Modellieren? Modellieren bedeutet, Mathematik so zu benutzen, dass man mehr über eine Problemsituation (oft außerhalb der Mathematik) herausbekommt. Das Schwierige am Modellieren ist das Übersetzen zwischen Problemsituation und Mathematik. Die Mathematik, die man verwendet, wird das mathematische Modell genannt. Das Modellieren kann als eine Art Kreislauf gesehen werden. Meist startet man bei einer Problemsituation, überlegt sich dann ein mathematisches Modell ( mathematisieren ), bekommt damit ein mathematisches Ergebnis, das man wieder für die Verwendung in der Problemsituation zurückübersetzen muss (interpretieren). Oft durchläuft man den Kreislauf mehrfach, um das mathematische Modell zu verbessern oder zu prüfen. Mathe- matisches Modell Problem- Anwendungskontext situation validieren Situation mathematisieren Reale Resultate interpretieren Mathematische Ergebnisse verarbeiten Mathematik Man kann oft ganz verschiedene Mathematik für das Modellieren von Problemsituationen verwenden. Der Vergleich dieser unterschiedlichen mathematischen Modelle kann Zusammenhänge zwischen verschiedenen mathematischen Inhalten aufdecken. Darum wird es im Folgenden gehen: Wie wird unterschiedliches Mathematikwissen durch das Modellieren verknüpft? 152

5 Lernumgebung zur Big Idea Modellieren Modellierungssituation 1: Im Keller liegen noch zwei Säckchen mit Kartoffeln (siehe Foto). Für wie viele Mittagessen reicht der Vorrat noch (für eine Familie mit zwei Kindern)? Jessi, Joel und Martin haben modelliert und sind jeweils zu einer Lösung gekommen: Jessi: Joel: Martin: Fragen zu den Lösungen von Jessi, Joel und Martin: a) Wie haben Jessi, Joel und Martin die Aufgabe jeweils gelöst? b) Welche unterschiedliche Mathematik wurde jeweils verwendet? c) Gibt es Ähnlichkeiten zwischen den Lösungswegen? Was ist das Gemeinsame an der verwendeten Mathematik? Beantworte diese Fragen in deinem Heft. 153

6 Lernumgebung zur Big Idea Modellieren Modellierungssituation 2: Eine Milchbar verkauft pro Tag ca. 35 Latte Macchiato (siehe Foto). Wie viel Liter Milch muss bei der wöchentlichen Lieferung dafür bestellt werden? Wie kannst du hier modellieren? Überlege dir zwei verschiedene Modellierungen, die unterschiedliche Mathematik verwenden. Welche Unterschiede und Gemeinsamkeiten gibt es zwischen den Lösungswegen? Beantworte die Fragen in deinem Heft. Das Treffen von Annahmen und das Schätzen sind wichtige Aktivitäten beim Modellieren, wenn man keine präzisen Informationen hat. Welche mathematischen Aktivitäten fallen Dir ein, die du zum Schätzen nutzen kannst? Zähle auf und erkläre. Der Begriff Fermi-Aufgabe steht für einen Problemtyp, bei dem nicht gegebene Größen sinnvoll abgeschätzt und überschlagen werden müssen. Meistens geht es um größere Anzahlen bzw. darum, eine realistische Größenordnung herauszufinden. Die folgende Aufgabe ist eine solche Fermi-Aufgabe. Modellierungssituation 3: Daniel hat einen Traum: Er würde gerne in der Fußballnationalmannschaft spielen. In seiner Mannschaft gehört er immer schon zu den Besten. Sein Trainer meint allerdings, die Konkurrenz sei zu groß und er soll sich keine falschen Hoffnungen machen. Daniel gibt nicht auf. Dazu überlegt er sich, wie viele Kinder in Deutschland überhaupt aktiv Fußball spielen und wie viele davon wohl den Durchbruch schaffen könnten. Hilf Daniel dabei, eine Lösung zu finden. Das Ergebnis soll aus einer möglichst informativen Angabe bestehen, welche Chancen Daniel hat, irgendwann einmal im Trikot der deutschen Nationalmannschaft aufzulaufen. Bei deinen Überlegungen darfst du auch den Computer benutzen. 154

7 Auch bei der nächsten Problemsituation geht es offensichtlich um das Abschätzen, hier von Größen. Dabei kommt aber das Messen ins Spiel. Welches mathematische Wissen fällt dir rund um das Messen ein? Modellierungssituation 4: Für Spielzeugfiguren sind Menschen Riesen. Wie man weiß, messen manche Spielzeugfiguren mit Doppelfußbreiten. Hier ist die Hand eines Riesen, d.h. eines erwachsenen Mannes, zu sehen. Wie groß (in Doppelfußbreiten) ist dieser erwachsene Mann ungefähr? Modelliere und kontrolliere dein Ergebnis mit einer anderen Modellierung, die möglichst andere mathematische Mittel verwendet. Nun hast du mehrere Modellierungen ausprobiert. Suche dir eine(n) Partner(in) im Klassenzimmer und besprich mit ihr/ihm gemeinsam eure Lösungswege. Liegen Unterschiede an unterschiedlichen Annahmen, Schätzungen oder an unterschiedlicher verwendeter Mathematik? Kommentiere in deinem Heft. 155

8 Die drei folgenden Modellierungssituationen sollen zeigen, dass das Modellieren in verschiedenen Bereichen eine Rolle spielt und dass unterschiedliche Mathematik für unterschiedliche Modellierungssituationen notwendig ist. Versuche, in deinem Heft möglichst verschiedene Modellierungslösungen für diese Situationen zu erarbeiten und fasse dann zusammen, warum unterschiedliches Mathematik-Wissen zum Lösen notwendig war. Modellierungssituation 5: Unten ist eine Deutschlandkarte abgebildet. Kannst du damit die Fläche Deutschlands abschätzen? Wie gut ist deine Modellierung? Wie bist du vorgegangen? Beschreibe deinen Lösungsweg. Johannas Onkel sagt: Von Stuttgart nach München sind es ungefähr 200 Kilometer, nach Erfurt sind es ca. 300 Kilometer. Raum für Notizen: 156

9 Modelle dienen auch dazu, Voraussagen über die Zukunft zu machen und längerfristig planen zu können. Im Finanzwesen werden oft Modelle zur Kostenberechnung erstellt. Hier ist ein Planungsbeispiel: Modellierungssituation 6: Versuche, für diese Situation Kostenmodelle zu erstellen: Katrin meint, dass sie neue Filme unbedingt gleich sehen sollte. Sie will ein PAY TV Abo abschließen. Die folgenden Anbieter stehen ihr zur Wahl. Wie soll sich Katrin entscheiden? Hilf Katrin bei ihrer Entscheidung, indem du ihr ein Modell zur Berechnung der Kosten erstellst. Wie viel Geld muss sie insgesamt ausgeben, wenn sie das Abo die nächsten vier Jahre lang aufrecht erhält? Anbieter A: Empfangsgerät: 0,00 HD TV 5,00 (pro Monat) Filmkanal 14,99 (pro Monat) Anbieter B: Empfangsgerät: 179,99 monatliche Kosten: 9,99 157

10 Modellierungssituation 7: In Wohn-/Esszimmer und Flur soll ein Parkett verlegt werden. Wie viel Parkett wird in etwa benötigt? Wohnen /Essen Flur W C Küche 158