Bachelor- Grundlagenpraktikum

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1 Bachelor- Grundlagenpraktikum Elektrotechnik und Informationstechnik Versuchsunterlagen

2 Bachelor-Grundlagenpraktikum Elektrotechnik und Informationstechnik Inhalt Einführung Versuchsanleitungen zu neun elektrotechnisch/informationstechnischen Versuchen Versuch M: Elektrische Messgeräte Versuch E1: Strom- und Spannungsmessungen Versuch E2: Elektrisches Feld und Strömungsfeld Versuch E3: Magnetisches Feld und Induktion Versuch E4: Transformator Versuch I1: RLC-Netzwerke Versuch I2: Elektrische Filter Versuch I3: Abtastung und Quantisierung Versuch I4: Nachrichtenübertragung und Codierung Versuchsanleitungen zu drei physikalischen Versuchen Versuch A6: Kreisel Versuch C14: Beugung am Spalt, Doppelspalt und Gitter Versuch C20: Lichtelektrischer Effekt Einige allgemeine Lernziele Im Team arbeiten. Sicherheitsvorschriften kennenlernen und anwenden. Grundlegende elektrische Messgeräte kennenlernen. Schaltungen aufbauen und Messfehler systematisch eliminieren. Messtechnische Arbeiten protokollieren und Versuchsberichte anfertigen. 1

3 Einführung Sicherheitshinweise für elektrische Laboratorien Die Praktikumsversuche finden in einem elektrischen Laboratorium statt, in dem die Sicherheitsvorschriften nach VDE 0100 für Elektrische Betriebsräume eingehalten werden müssen. Arbeiten unter Laborbedingungen bedeutet, dass die außerhalb elektrischer Laboratorien geforderten Sicherheitsvorschriften wegen der durchzuführenden Aufgaben nicht eingehalten werden können. Es wird vorausgesetzt, dass Sie hinsichtlich der Arbeitsbedingungen unterwiesen wurden, also insbesondere die möglichen Gefahren kennen. Bei Ihrem ersten Praktikumsversuch müssen Sie unterschreiben, dass Sie die folgenden Sicherheitshinweise zur Kenntnis genommen haben. Einen gefährlichen elektrischen Schlag kann man bereits ab einer Spannung von 42 V bekommen ( Schutzkleinspannung ). Niemals mit beiden Händen gleichzeitig leitende Teile anfassen! Der Sternpunktleiter des Drehstromnetzes ist geerdet. Da viele der in Laboratorien befindlichen Metallgegenstände (Metallteile der Labortische, Heizkörper, Fensterrahmen, Wasserleitung) mit Erde in Verbindung stehen, kann sogar bereits das Berühren nur eines unter Spannung stehenden Metallteils zu einem elektrischen Schlag führen. Bei Fehlern in Versuchsschaltungen können Gegenstände auch unerwartet Spannung annehmen, z. B. Gehäuse und metallene Konstruktionsteile. Also Berührungen metallischer Teile grundsätzlich soweit wie möglich vermeiden! Aufbau und Änderung der Verkabelung einer Messschaltung nur im spannungsfreien Zustand! Informieren Sie sich vor Beginn über die Bedienung des Notausschalters, mit dem der gesamte Labortisch elektrisch abgeschaltet werden kann. Der Weg zu diesem Hauptschalter darf auf keinen Fall zugestellt werden! Bei einem Unfall oder dem Verdacht auf eine Störung sofort alle Spannungen mit Hilfe des Notausschalters abschalten und danach einen Betreuer verständigen. Organisatorische Hinweise Allgemeines Die folgenden Versuchsanleitungen beschreiben neun elektrotechnische Versuche. Das Praktikum umfasst zusätzlich drei physikalische Versuche, die von der Fakultät für Physik und Astronomie angeboten werden. Zur Anerkennung des Praktikums benötigen Sie insgesamt 11 Testate. Ihre individuellen Versuchstermine hängen von Ihrer Gruppennummer ab. Die Gruppeneinteilung finden Sie im Schaukasten gegenüber Raum ID 2/201. Dort und im Internet stehen auch die Versuchstermine Ihrer Gruppe. Für einen erfolgreich abgeschlossenen Versuch erhalten Sie ein Testat. Testatkarte bitte zu jedem Versuchstermin mitbringen! Nach Testierung aller Versuche (auch der physikalischen) benötigen Sie einen Stempelaufdruck, den Sie im Sekretariat ID 2/231 erhalten. 2

4 Versuchsvorbereitung und -durchführung Die Versuchsanleitungen sind vor Beginn der jeweiligen Versuche durchzuarbeiten. Zusätzlich ist es sinnvoll, entsprechende Kapitel aus den Unterlagen zu den Vorlesungen Grundlagen der Elektrotechnik und Grundlagen der Informationstechnik zur Vorbereitung heranzuziehen. Jeder Versuchstermin beginnt mit einem Gespräch über Theorie und Praxis des Versuchs. Unvorbereitete Versuchsteilnehmer werden vom Versuch ausgeschlossen. Bitte einen Taschenrechner mitbringen! Vor Einschalten eines Versuchsaufbaues (auch nach jeder Änderung!) muss dem Betreuer Gelegenheit gegeben werden, die Messschaltung zu kontrollieren. Also nicht ohne Rückfrage selbst einschalten! Während der Messungen ist ein Protokoll zu führen. Bei der Aufnahme von Kurvenverläufen sollten diese sofort in ein Diagramm eingetragen werden, um Fehler zu erkennen. Die Anzahl der Messpunkte muss zur Interpolation ausreichen. Die Protokolle müssen den Ablauf Ihrer Versuchsdurchführung dokumentieren. Sie beinhalten eine Liste der verwendeten Geräte, Skizzen aller Messschaltungen und Ihre Messergebnisse in Form von Tabellen und Diagrammen. Lassen Sie sich am Ende der Versuchsdurchführung auf dem Deckblatt für den Versuchsbericht ein Vortestat geben. Damit wird festgehalten, dass Sie an der Versuchsdurchführung erfolgreich teilgenommen haben. Versuchsberichte und Testate Jeder Versuchsteilnehmer muss einen eigenen Versuchsbericht anfertigen. Geben Sie ihren Versuchsbericht (ohne die Testatkarte) an Ihrem nächsten Versuchstag (also in der Regel eine Woche später) ab, und zwar bevor Sie mit dem neuen Versuch beginnen. Zur Ab- und Rückgabe der elektrotechnischen/informationstechnischen Versuchsberichte dient ein Regal, das sich im Eingangsbereich von Raum ICN 02/603 befindet. In der Regel werden Ihre Versuchsberichte während der Praktikumszeit überprüft, so dass Sie nach Beendigung eines Versuches den Bericht über den vorangegangenen Versuch bereits zurückbekommen. Lassen Sie sich ein erteiltes Endtestat vom Betreuer des Versuchs so bald wie möglich auf die Testatkarte übertragen. Am Semesterende wird ein Testiertermin angeboten, bei dem Sie eventuell noch fehlende Testate erhalten können. Abfassung der Versuchsberichte Der Versuchsbericht beginnt mit Ihrem (vollständig ausgefüllten und unterschriebenen) Deckblatt mit dem darauf eingetragenen Vortestat. Eine Wiederholung des Inhaltes der Versuchsanleitungen ist nicht erforderlich. Zu Ihrem Bericht gehören insbesondere folgende Erläuterungen: DieGeräteliste enthält die Typenbezeichnungen aller verwendeten kommerziellen Geräte bzw. eine technische Kurzbeschreibung sonstiger Geräte. 3

5 Kurze Darstellung der einzelnen Messaufgaben und der tatsächlich verwendeten Messverfahren. Im Zweifelsfall fragen Sie Ihren Betreuer, welche Gesichtspunkte im Versuchsbericht abgehandelt werden sollen. Messergebnisse (Messprotokolle, Tabellen, Diagramme): Zu Diagrammen und Messtabellen gehören erklärende Unterschriften, etwa Ausgangsspannung U A als Funktion der Frequenz f bei konstanter Eingangsspannung U E =20mV. Achten Sie auf eindeutige Angabe der dargestellten Größen und der Skalierung. Auswertung: Erklären und interpretieren Sie Ihre Messergebnisse. Versuchen Sie insbesondere, Abweichungen von erwartetem Verhalten zu erklären. Wenn Sie Widersprüche in Ihren Messdaten entdecken, verfälschen Sie diese nicht, sondern weisen Sie darauf hin, evtl. unter Angabe vermuteter Ursachen. Farbkennzeichnung von Widerständen Den Farben sind Ziffern wie folgt zugeordnet: schwarz (0), braun (1), rot (2), orange (3), gelb (4), grün (5), blau (6), violett (7), grau (8), weiß (9). Die ersten beiden Farbringe bedeuten die ersten beiden Ziffern des Widerstandswertes. Der dritte Ring gibt die Zehnerpotenz an, mit der die Zahl aus den ersten beiden Ziffern multipliziert werden muss. Der vierte Ring gibt die zulässige Toleranz an.... ein paar Gedanken zur Durchführung des Praktikums Wir wollen aus den Vorbesprechungen zu den einzelnen Versuchen keine Prüfung machen. Andererseits macht die Durchführung eines Versuchs keinen Sinn, wenn Sie mehr oder weniger unvorbereitet erscheinen. Also geben Sie uns bitte keinen Anlass, Sie wegen mangelnder Kenntnisse über den Versuch nach Hause schicken zu müssen. Alle Teilnehmer wirken - positiv oder negativ - an der Atmosphäre mit, die im Praktikum herrscht! Wir erwarten, dass Sie nach dem Durcharbeiten der Versuchsanleitung - und nach Klärung der verbleibenden Fragen in der Vorbesprechung - die Versuche weitgehend selbstständig zusammen mit Ihrem Versuchspartner durchführen. Selbstverständlich dürfen und sollen Sie nach Herzenslust fragen, wenn Sie etwas nicht verstehen oder mit der Versuchsdurchführung nicht klar kommen. Fragen nach Dingen, die in der Versuchsanleitung ausführlich erklärt wurden, kommen natürlich nicht so gut an! 4

6 Versuch M: Elektrische Messgeräte Inhaltsverzeichnis 1 Messgeräte für elektrische Ströme und Spannungen 2 2 Messung von Wechselgrößen mit und ohne Gleichanteil 7 3 Messung von Phasenverschiebungen 9 4 Aufnahme von Kennlinien 11 5 Vorbereitende Aufgaben 12 6 Messaufgaben Gleichspannungen und Gleichströme Wechselspannungen und Wechselströme mit und ohne Gleichanteil Phasenverschiebungen Kennlinie einer Zenerdiode Literatur 15 Lernziele Drehspulinstrumente, analoge und digitale Multimeter und Oszilloskope verstehen. Gleich- und Wechselgrößen mit analogen und digitalen Multimetern und Oszilloskopen messen. Messmöglichkeiten von Oszilloskopen (inklusive der x-y-ablenkung) verstehen und beherrschen. Effektivwerte bei sinusförmigen und nicht sinusförmigen Sig-nalen mit und ohne Gleichanteil berechnen und messen. Echte Effektivwertbildung (TRMS) und die bei analogen Multimetern verwendete Effektivwertbildung verstehen. Phasenverschiebungen mit einem Oszilloskop und durch Auswertung von Effektivwertmessungen bestimmen. Maßstäbliche Zeigerbilder konstruieren. Eintor-Kennlinien mit einem Oszilloskop aufnehmen. Mit nicht potenzialfreien Geräten arbeiten. M - 1

7 1 Messgeräte für elektrische Ströme und Spannungen Zur Messung elektrischer Spannungen und Ströme können sehr unterschiedliche Messgeräte verwendet werden. Ausführliche Darstellungen findet man in der Literatur (siehe Angaben am Ende dieser Versuchsanleitung). Hier werden nur einige im Praktikum häufig benutzte Messgeräte kurz beschrieben: Drehspulinstrumente, analoge und digitale Multimeter und Oszilloskope. Generell wird bei analogen Geräten ein Messwert durch ein veränderliches Anzeigeelement wie etwa durch einen beweglichen Zeiger dargestellt. Bei digitalen Messgeräten wird die Messgröße durch einen Zahlenwert auf einem Display angegeben. Selbstverständlich ist bei digitalen geräten normalerweise nicht nur die Anzeige, sondern auch die Auswertung digital, d. h. die analogen Eingangsgrößen werden digital verarbeitet. a) Drehspulinstrumente Abb. 1: Drehspulmesswerk. Das wichtigste analoge Messgerät ist das Drehspulinstrument (Abb. 1). Bei diesem Instrument ist eine Spule mit vielen Windungen drehbar in einem Magnetfeld angeordnet, das von einem Permanentmagneten erzeugt wird. Durch die Polschuhe und das Weicheisenelement, an dem die Spule befestigt ist, wird das Magnetfeld so geführt, dass die Feldlinien im Luftspalt senkrecht auf den Begrenzungsflächen stehen. Ein durch die Spule fließender Strom verläuft im Luftspalt wiederum senkrecht zu den magnetischen Feldlinien, und zwar auf beiden Seiten der Spule in entgegen gesetzter Richtung. Die dadurch erzeugten Kräfte addieren sich in ihrer Wirkung (warum?) und bilden ein Drehmoment, das die Spule zusammen mit dem Zeiger bewegt. Um den Ausschlag zu begrenzen, muss ein Gegenmoment erzeugt werden, so dass sich ein Gleichgewichtszustand einstellen kann. Zu diesem Zweck ist die Achse, die die Drehspule trägt, durch Drehfedern gelagert (nicht abgebildet). Fließt ein Gleichstrom I durch die Spule, stellt sich ein fester Gleichgewichtszustand ein, so dass man einen dem Strom proportionalen Wert ablesen kann, wenn der Zeiger entlang einer Skala geführt wird. b) Analoge Multimeter Herzstück eines analogen Multimeters ist das gerade besprochene Drehspulinstrument. Hinzu kommen eine Reihe von Zusatzeinrichtungen, die es erlauben, neben Gleichströmen auch andere Messgrößen erfassen zu können. Auch zur Strommessung werden i. A. zusätzliche Widerstände benötigt. Ein empfindliches Drehspulinstrument erzeugt ja bereits bei kleinen Strömen einen großen Zeigerausschlag. Um auch größere Ströme messen zu können, muss man einen definierten Anteil des zu M - 2

8 messenden Stroms durch Zusatzwiderstände abführen (wie müssen solche Widerstände mit der Drehspule verschaltet werden?). Durch Verwendung verschiedener Widerstände schafft man verschiedene Messbereiche für Ströme unterschiedlicher Größenordnung. Mit dem Drehspulinstrument lässt sich auch eine Gleichspannung U messen, weil sich eine Spannung durch einen bekannten Widerstand R aufgrund der Beziehung U = RI auf einen Messstrom I zurückführen lässt. Da der Innenwiderstand des Drehspulmesswerks recht klein ist, würden bei Anlegen von üblichen Messspannungen so große Ströme durch das Messwerk fließen, dass es zerstört würde. Zur Messungen von Spannungen müssen also in Multimetern Zusatzwiderstände so angebracht werden, dass der Strom durch das Messwerk auf eine messbare Größenordnung reduziert wird (wie müssen diese Widerstände mit der Drehspule verschaltet werden?). Bei Multimetern lassen sich damit auch verschiedene Messbereiche für Gleichspannungen wählen. Abb. 2: Messschaltung zum Messen von Spannung und Strom an einem bzw. durch einen Widerstand. Eine Schaltung zur gleichzeitigen Messung von Strom und Spannung an einem Widerstand mit zwei Multimetern zeigt Abb. 2. Daraus geht hervor, dass ein ideales Strommessgerät einen verschwindend kleinen Innenwiderstand, ein ideales Spannungsmessgerät einen unendlich großen Innenwiderstand haben muss (warum?). Gleichströme und -spannungen werden in den DC-Bereichen ( direct current ) gemessen, oft unterteilt nach DCA und DCV für Ströme (Ampere) bzw. Spannungen (Volt). Die Art der Messung wird entweder nur durch den Bereichswahlschalter eingestellt oder durch getrennte Anschlussbuchsen für A und V realisiert. Um eine Überlastung des Messwerks zu vermeiden, muss sich das Messgerät vor Inbetriebnahme der Schaltung in der unempfindlichsten Stellung der richtigen Messgröße (größter Skalenendwert von Strom bzw. Spannung) befinden. Nach Inbetriebnahme schaltet man das Instrument stufenweise empfindlicher, bis ein hinreichend großer Zeigerausschlag abzulesen ist. Was geschieht, wenn man die Messbereiche für Ströme und Spannungen verwechselt? Also aufpassen! Die Richtung des Zeigerauschlags zeigt die Richtung des Gleichstroms an. Bei machen Geräten befindet sich die Nullanzeige mitten auf der Skala, so dass positive und negative Ströme angezeigt werden können. Bei den meisten Instrumenten liegt die Nullstellung des Zeigers jedoch ganz links, so dass der Zeiger nur nach rechts ausschlagen kann. Solche Messgeräte müssen stets so in den Stromkreis geschaltet werden, dass ein positiver Strom vom positiven Anschluss + bzw. A zum Gegenanschluss - bzw. COM ( common ) fließt. Bei der Spannungsmessung muss das höhere Potenzial an Klemme + bzw. V, das niedrigere an Klemme COM angeschlossen werden. Schaltet man das Instrument falsch in den Stromkreis, besteht die Gefahr einer Zerstörung des Messwerks! M - 3

9 Neben Gleichspannungen und -strömen lassen sich mit einem Multimeter auch Gleichstromwiderstände messen. Dazu wird eine interne Batterie benötigt. Wie könnte die innere Verschaltung aussehen, wenn man Messbereiche für verschieden große Widerstände realisieren will? Weiterhin kann man mit einem Multimeter auch Wechselströme und -spannungen messen (AC- Bereiche ( alternating current ), oft unterteilt nach ACA und ACV für Ströme bzw. Spannungen). Dazu braucht man allerdings weitere Zusatzelemente. Lässt man einen sinusförmigen Wechselstrom durch ein Drehspulmesswerk fließen, so sieht man bei niedrigen Frequenzen, dass der Zeiger um den Nullpunkt schwankt. Mit wachsender Frequenz führt die Trägheit des drehbaren Elements aber dazu, dass der Zeiger nicht schnell genug folgen kann. Die Schwankungsbreite wird mit wachsender Frequenz immer kleiner und verschwindet fast ganz, so dass man trotz Stromflusses keine Anzeige mehr erhält. Hier besteht offensichtlich eine große Gefahr, die Drehspule durch zu große Ströme zu überlasten. Man braucht also eine Zusatzmaßnahme, um Wechselgrößen messen zu können. Diese besteht in einer Betragsbildung des Messstroms durch Gleichrichter. Die negativen Halbwellen des sinusförmigen Verlaufs werden dabei nach oben geklappt. Bei analogen Multimetern erfolgt die Gleichrichtung automatisch, wenn man einen Wechselstromoder Wechselspannungs-Messbereich wählt. Da normalerweise die Frequenz der untersuchten Ströme groß genug ist, zeigt das Messinstrument aufgrund der Trägheit des Messwerks einen festen Wert an, nämlich den Mittelwert des durch die Spule fließenden Stroms. Den gemessenen Wert, also den Mittelwert des gleichgerichteten Stroms, bezeichnet man als Gleichrichtwert. Wir werden darauf im folgenden Abschnitt noch einmal zurückkommen. c) Digitale Multimeter Wie bei allen digital arbeitenden Messgeräten, besteht der wesentliche Schritt in der digitalen Erfassung der Messgrößen. Das bedeutet, dass die zu messenden Ströme und Spannungen abgetastet und mit Hilfe eines Analog-Digital-Umsetzers quantisiert werden. Dadurch stehen sie als zeitliche Abfolge von Zahlenwerten zur Verfügung. Das hat den großen Vorteil, dass die Signale mit Prozessoren digital weiter verarbeitet werden können. Damit hat man grundsätzlich viel mehr Möglichkeiten, die Messgrößen in der gewünschten Weise auszuwerten, als bei analogen Geräten. Als Beispiel sei die Messwert-Quadrierung genannt, wie sie zur Ermittlung des Effektivwerts (siehe Abschnitt. 2) benötigt wird. Die analoge Realisierung der Quadrierung erfordert einen nicht unerheblichen Aufwand, wenn sie über einen großen Wertebereich korrekt erfolgen muss. Digital bedeutet die Quadrierung eine einfache Rechenoperation. Das grundsätzliche Blockschaltbild eines digitalen Multimeters für die Messung von Spannungen und Strömen zeigt Abb. 3. In der Eingangsstufe wird durch Impedanzwandler, realisiert durch elektronische Schaltungen mit Operationsverstärkern, dafür gesorgt, dass die Anforderungen an gute Strombzw. Spannungsmessgeräte (sehr niedriger bzw. hoher Eingangswiderstand) gut erfüllt werden. Dies stellt einen weiteren wesentlichen praktischen Vorteil dar, weil die durch die endlichen Eingangswiderstände entstehenden Messfehler meist vernachlässigt werden können (dieser Vorteil hat allerdings nichts mit der Digitalisierung zu tun, Impedanzwandler werden auch bei hochwertigen analogen Messgeräten eingesetzt). Eine weitere Vereinfachung ergibt sich dadurch, dass man auf die Größe der zu messenden Größe bei vielen Geräten, auch bei dem im Praktikum verwendeten Tischmultimeter, nicht achten muss, weil sich die Empfindlichkeit automatisch der Messgröße anpasst. Bei dem verwendeten Tischmultimeter muss man allerdings bereits beim Anschluss zwischen Strom- und Spannungsmessung unterscheiden (so wie dies auch im Blockschaltbild dargestellt ist). M - 4

10 V u(t) Art der Datenauswertung Spannungsfolger u (t) u COM A Analog- Digital- Umsetzer u k Prozessor Anzeige i(t) COM Strom- Spannungs- Wandler u (t) i Abb. 3: Vereinfachtes Blockschaltbild eines digitalen Multimeters zur Messung von Spannungen und Strömen. d) Oszilloskope Abb. 4: Elektronenstrahl-Röhre. Das klassische Oszilloskop, so wie es im Praktikum eingesetzt wird, basiert auf der spannungsgesteuerten Ablenkung eines Elektrodenstrahls in einer evakuierten Glasröhre (Braunsche Röhre, Abb. 4). Durch Anlegen einer Spannung zwischen Anode und einer geheizten Kathode treten an der Kathode Elektronen aus, die zu einem Strahl fokussiert und beschleunigt werden und beim Auftreffen auf einen Leuchtschirm einen hellen Punkt erzeugen. Zwei Paare paralleler Platten, an die Spannungen gelegt werden können, dienen der Ablenkung des Elektronenstrahls in vertikale und horizontale Richtung. M - 5

11 Die meist verwendete Betriebsart eines Oszilloskops besteht darin, den zeitlichen Verlauf eines periodischen Signals darzustellen. Dazu wird dieses Signal in Form einer Spannung an das Plattenpaar für die vertikale Ablenkung gelegt. Ohne horizontale Ablenkung entsteht dabei ein senkrechter Strich auf dem Leuchtschirm, der zwischen Minimal- und Maximalwert der angelegten Spannung pendelt. Damit der zeitliche Verlauf auf dem Schirm erscheint, benötigt man eine horizontale Ablenkung, die innerhalb einer Periode des Signals oder einem Vielfachen davon den Elektronenstrahl vom linken zum rechten Rand des Leuchtschirms führt, also eine linear mit der Zeit ansteigende Spannung. Danach muss der Elektronenstrahl unsichtbar (durch Unterdrückung des Elektronenstrahls) wieder an den Ausgangspunkt geführt werden, also die Spannung schnell wieder auf den Startwert herabgesetzt werden. Die Spannung an den horizontalen Platten hat damit einen Verlauf, den man als Sägezahn bezeichnet (zeichnen Sie solch eine Sägezahnfunktion auf!). Offenbar ist es wichtig, dass der Sägezahn einen zeitlichen Verlauf hat, der zum Signal passt, sonst würden ja willkürlich irgendwelche Signalabschnitte auf den Schirm geschrieben. Wenn dies tatsächlich passiert, ist das Oszilloskop nicht richtig getriggert. Dann erhält man ein wirres, sich ständig veränderndes Bild. Zur richtigen Synchronisierung dient die sogenannte Trigger-Einheit. Machen Sie sich mit der Triggerfunktion des Oszilloskops im Praktikum vertraut! Selbstverständlich kann man an zur Horizontalablenkung auch andere Spannungen verwenden als den Sägezahn, indem man an die horizontal ablenkenden Platte eine externe Spannung legt. Im x-y-modus wird die Spannung an Kanal I als horizontale x-ablenkung, die an Kanal II als vertikale y-ablenkung verwendet. Dies kann man z. B. zur Darstellung einer Kennlinie nutzen: Wenn man mithilfe eines Widerstands den Strom durch ein Bauelement in eine proportionale Spannung umwandelt, so hat man neben der Spannung am Bauelement eine stromproportionale Spannung zur Verfügung. Auf diese Weise kann man die Spannung als Funktion des Stroms u(i(t)) darstellen. Bei sinusförmigen Signalen wird dabei die Kennlinie u(i) in jeder Periode einmal durchlaufen, so dass man ein stehendes Bild erhält. Auch Oszilloskope lassen sich digitalisieren, indem man die darzustellenden Signale mit einem Analog- Digital-Umsetzer in zahlenmäßig gegebene Abtastwerte verwandelt. Diese können gespeichert, weiterverarbeitet und auf einem geeigneten Bildschirm dargestellt werden. Da der wesentliche Unterschied gegenüber dem klassischen Oszilloskop in der Speicherung der Daten liegt, spricht man meist von (digitalen) Speicher-Oszilloskopen. Es muss nicht gesagt werden, dass die Speicherung große Vorteile besitzt. Unverzichtbar bleiben klassische Oszilloskope jedoch im Bereich sehr hoher Frequenzen (GHz) und sehr kurzer Spannungspulse (ps). Damit Sie sich schon vor Beginn des Praktikums etwas mit dem Oszilloskop HAMEG 303 vertraut machen können, werden im Folgenden die wichtigsten Bedienelemente anhand der Abb. 5 erläutert. Die Erläuterung ist sehr kurz gefasst und keineswegs vollständig. Es handelt sich um ein zweikanaliges Gerät mit zwei BNC-Eingängen (28, 32). Der dritte Eingang (36) ist ein externer Triggereingang, der im Praktikum nicht benötigt wird. Neben den beiden Eingängen befinden sich Tasten (29, 33), mit denen sich die Darstellung des Gleichanteils im Signal unterdrücken lässt ( AC ). Jeweils daneben sind zwei weitere Tasten (30, 34, GD, ground ) angeordnet, mit denen sich die Spannung 0 V anzeigen lässt. Dies dient zur Orientierung der vertikalen Ablenkung (einstellbar über die Drehknöpfe 5 und 8, siehe später). Über den beiden Signaleingängen befinden sich Tasten, mit denen die Art der Anzeige beeinflusst werden kann. Taste 15 schaltet zwischen Ka- M - 6

12 Abb. 5: HAMEG 303, Frontpanel. nal I und II um, wenn Taste 16 nicht gedrückt ist. Anderenfalls (im Dual -Betrieb) werden beide Kanäle gleichzeitig ( alternierend ) dargestellt. Mit Taste 17 kann die Summe der Eingangsspannungen angezeigt werden. Durch Invertierung des Kanals II (35) kann auch die Differenz angezeigt werden. Über den gerade besprochenen Tasten liegen die beiden Einstellknöpfe (13, 18) für die Empfindlichkeiten der beiden Kanäle (von 5 mv/cm bis 20 V/cm). Damit die so eingestellten Werte genau stimmen, müssen die beiden Drehknöpfe 14 und 19 ganz nach rechts gedreht sein. Direkt darüber befinden sich die beiden bereits erwähnten Drehknöpfe (5, 8) zur vertikalen Positionierung der angezeigten Kurve in den Kanälen I und II. Rechts neben den Empfindlichkeitsstellern (13, 18) kann man zwischen verschiedenen Triggereinstellungen wählen (AC: Wechselspannung, DC zusätzlich Gleichspannung). Direkt darüber kann man das Vorzeichen der Triggerflanke (9, steigend oder fallend) und den Triggerpegel (10, Größe der Augenblicksspannung, bei der die Triggerung erfolgen soll) einstellen. Rechts neben der Triggereinstellung befindet sich der Drehknopf (24) für die Zeitablenkung (0,2 s/cm bis 0,1µ s/cm). Direkt darunter befindet sich u. A. die Taste zur Umstellung auf x-y-betrieb (Achtung: wegen fehlender Zeitablenkung Einbrenngefahr des Leuchtpunktes bei fehlenden Eingangsspannungen). Über dem Drehknopf für die Zeitablenkung (24) befindet sich ein Drehknopf (11) zur horizontalen Verstellung beider Kanäle. 2 Messung von Wechselgrößen mit und ohne Gleichanteil Wir beschränken uns hier auf Wechselgrößen mit periodischen Zeitverläufen. Zur einfachen Charakterisierung solcher Wechselgrößen x(t) verwendet man verschiedene Kenngrößen wie den Mittelwert und den Effektivwert. Den zeitlichen Mittelwert erhält man durch Integration über eine Periode T. M - 7

13 x(t) = 1 T +T/2 x(t)dt. (1) T/2 Zieht man den Mittelwert von der Zeitfunktion ab, so erhält man per Definition ein mittelwertfreies Signal. Diesen Anteil nennt man den Wechselanteil x (t) des Signals x (t) = x(t) x(t) = x(t) X =. (2) Den Mittelwert bezeichnet man dazu passend auch als Gleichanteil X =. Der Wechselanteil ist messtechnisch leicht durch einen Kondensator abzuspalten, da der Kondensator für Gleichstrom undurchlässig ist. Abb. 6: Zerlegung einer allgemeinen und einer sinusförmigen Wechselgröße in Gleich- und Wechselanteil. In Abb. 6 ist die Zerlegung in Gleich- und Wechselanteil für ein allgemeines und ein sinusförmiges Signal dargestellt. Die schraffierten Flächen sind jeweils gleich groß (warum?). Die Differenz zwischen maximalem und minimalem Wert der Wechselgröße bezeichnet man als Spitze-Spitze-Wert X SS. Bei einer sinusförmigen Wechselgröße ist die Amplitude des Wechselanteils gleich dem halben Spitze- Spitze-Wert. Zur Angabe der Stärke einer Wechselgröße wird häufig der Effektivwert berechnet oder gemessen. Er ist definiert als X = 1 +T/2 x 2 (t)dt. (3) T T/2 Durch diese Definition wird erreicht, dass eine Wechselgröße mit einem bestimmten Effektivwert dieselbe elektrische Leistung in einem Widerstand in Wärme umsetzt wie eine Gleichgröße (Strom oder M - 8

14 Spannung) derselben Stärke. Entsprechend der englischen Bezeichnung des Effektivwerts als Root Mean Square findet man häufig die Bezeichnung RMS. Zwischen dem Effektivwert einer Wechselgröße X und dem Effektivwert des Wechselanteils X besteht folgender Zusammenhang (nachrechnen!): X 2 = X 2 = + X 2. (4) Die Messung des Effektivwerts erfordert entsprechend der Definitionsgleichung (3) eine in analoger Technik nur relativ schwer zu realisierende Messvorschrift. Deshalb wird in analogen Geräten statt des Effektivwerts meist ein anderer, leichter messbarer Wert, der Gleichrichtwert gemessen und durch Umskalierung in den Effektivwert überführt. Die Umskalierung erfolgt unter Zugrundelegung einer sinusförmigen Wechselgröße. Dies wird im Folgenden erklärt: Der Gleichrichtwert ist definiert als Mittelwert des Betrags einer Wechselgröße, wobei die Bildung dieser Größe meist nur für den Wechselanteil x (t) sinnvoll ist (dem entspricht das Ausfiltern des Gleichanteils durch einen Kondensator). x = 1 T +T/2 x(t) dt. (5) T/2 Der Betrag einer Zeitfunktion kann mit Gleichrichtern leicht gebildet werden. Für eine konkrete Zeitfunktion lässt sich der Konversionsfaktor F, der sogenannte Formfaktor, berechnen, mit dem der primär gemessene Gleichrichtwert in den zugehörigen Effektivwert umgerechnet werden kann: X = F x. (6) Bei analogen Multimetern wird bei der Anzeige von Effektivwerten grundsätzlich der Konversionsfaktor für sinusförmige Wechselgrößen (ohne Gleichanteil) berücksichtigt (F = 1, 11). Hochwertige digitale Multimeter zeigen hingegen echte Effektivwerte nach der Definitionsgleichung (3) an. Das wird als TRMS (true RMS) bezeichnet. TRMS-Werte können für Wechselgrößen mit und ohne Gleichanteile gebildet werden. Mit steigender Frequenz und steigendem Scheitelfaktor (Verhältnis von Maximalamplitude zu Effektivwert des Wechselanteils) wird die Genauigkeit des TRMS-Wertes allerdings meist schlechter (können Sie sich Gründe dafür vorstellen?). 3 Messung von Phasenverschiebungen Häufig interessiert man sich für die Spannungs-Übertragung vom Eingang zum Ausgang einer linearen elektrischen Schaltung. Lineare Schaltungen entstehen z. B., wenn man ausschließlich Widerstände R, Kondensatoren C und Induktivitäten L verwendet. Als Eingang und Ausgang dient jeweils ein Klemmenpaar, an dem die Eingangsspannung u E (t) bzw. die Ausgangsspannung u A (t) auftritt. Die dazwischen liegende Schaltung wird als Zweitor bezeichnet. Abb. 7 zeigt ein allgemeines Zweitor. Das angedeutete RC-Glied ist nur als einfaches Beispiel für eine spezielle Füllung des Zweitors gemeint. Bei sinusförmiger Speisung des Zweitors tritt auch am Ausgang eine sinusförmige Spannung auf, die dieselbe Frequenz f bzw. Kreisfrequenz ω = 2πf wie die speisende Spannung besitzt. In diesem M - 9

15 Abb. 7: Spannungen an einem Zweitor. Fall beschreibt man die Situation am Besten mit komplexen Amplituden, also mit den komplexen Spannungen Û E und Û A. Der Unterschied zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung lässt sich durch das Verhältnis der Amplitudenbeträge und die Phasenverschiebung ausdrücken. Das Amplitudenverhältnis lässt sich leicht bestimmen, indem man die reellen Amplituden oder die Effektivwerte von Ausgangs- und Eingangsspannung durcheinander dividiert. Dies liefert das Verhältnis V = ÛA Û E = U A U E. (7) Abb. 8: Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen zwei Sinusschwingungen. Die Phasenverschiebung zwischen Eingang und Ausgang kann mit einem zweikanaligen Oszilloskop direkt sichtbar gemacht werden (Abb. 8). Überlegen Sie sich, wie Sie aus den abgelesenen Werten für t und T die Phasenverschiebung berechnen können. Alternativ lässt sie sich auch aus Effektivwerten bestimmen. Dazu muss man neben den Effektivwerten der Eingangs- und Ausgangsspanuung (U E und U A ) auch den Effektivwert der Spannungsdifferenz zwischen Ein- und Ausgang U messen. Das zugehörige Zeigerdiagramm (Abb. 9) repräsentiert den Maschenumlauf Û E = Û + Û A. Aus dem Kosinussatz erhält man } {Û2 ϕ = arccos A + Û E 2 Û { 2 U 2 = arccos A + UE 2 U } 2. (8) 2ÛAÛE 2U A U E M - 10

16 Abb. 9: Zeigerdiagramm, das der Situation in Abb. 8 entspricht. Man kann also durch Messung der drei Spannungen die Phasenverschiebung ϕ bestimmen. Das Amplitudenverhältnis und die Phasenverschiebung kann man zu einer komplexen Übertragungsfunktion zusammenfassen, die die komplexen Ein- und Ausgangsgrößen verbindet. Prüfen Sie dies nach! Û A = H Û E, H = V e jϕ. (9) 4 Aufnahme von Kennlinien Als Kennlinie eines elektrischen Bauelements mit zwei Anschlussklemmen ( Eintor ) bezeichnet man die Darstellung der Gleichspannung an dem Bauelement als Funktion des hindurch fließenden Gleichstroms U = f(i) oder umgekehrt I = f(u). Solche Kennlinien können Punkt für Punkt (U, I) gemessen werden oder mit einem Oszilloskop unter Verwendung von Wechselgrößen niedriger Frequenz dargestellt werden (bei einer Gleichspannungsquelle sähe man auf dem Oszilloskop nur einen einzigen Punkt der Kennlinie). Eine Messschaltung zur Aufnahme der Kennlinie eines Eintors mit dem Oszilloskop zeigt Abb. 10. Abb. 10: Aufnahme der Kennlinie eines Eintors mit einem Oszilloskop unter Verwendung der x-y- Ablenkung. Das Symbol für das Oszilloskop zeigt symbolisch die vier beteiligten Platten zur Ablenkung des Elektronenstrahls. Um die Strom-Spannungs-Kennlinie I x = f(u x ) des unbekannten Eintors aufzunehmen, muss die horizontale x-ablenkung des Oszilloskops, die normalerweise die Zeitachse repräsentiert und intern M - 11

17 erzeugt wird, durch eine von außen eingespeiste Spannung gesteuert werden, die der Spannung am Eintor u x entspricht. Dazu ist die Betriebsart x-y-ablenkung des Osziloskops vorgesehen. In vertikaler Richtung soll die Ablenkung dem Strom durch das Eintor entsprechen. Dies gelingt durch Umwandlung des Stroms i x in eine proportionale Spannung mithilfe eines Widerstands R. Der zusätzlich in Abb. 10 vorgesehene Vorwiderstand R V dient einer Strombegrenzung bei eventuellen Verschaltungsfehlern. Zwei der vier Ablenkungsplatten eines Oszilloskops sind miteinander und mit dem Gehäuse elektrisch verbunden (Laborjargon: sie liegen auf Masse ). Dieser Punkt wird bei Anschluss an eine Steckdose geerdet. Der Masseanschluss ist in der Messschaltung in Abb. 10 eingezeichnet. Die beiden Eingänge des Oszilloskops sind also nicht potenzialfrei. Die beiden Eingänge sind mit BNC-Buchsen ausgeführt. Außen liegt der mit dem Gehäuse leitend verbundene Masseanschlus, innen der freie Pol, im Laborjargon auch als heißes Ende bezeichnet. Das Faktum, dass das Oszilloskop nicht potenzialfrei ist, hat Auswirkungen auf die Wahl der die Schaltung speisenden Spannungsquelle u 0. Würde man als Spannungsquelle den in anderen Versuchsteilen benutzten Funktionsgenerator ohne weitere Maßnahmen einsetzen, entstünde ein Problem dadurch, dass auch der Funktionsgenerator über die Steckdose geerdet ist. Bei diesem Gerät ist der Ausgang nicht potenzialfrei: er liegt einseitig auf Masse. Überlegen Sie sich die Folgen einer gleichzeitigen Erdung der Spannungsquelle und des Oszilloskops durch Betrachtung der Messschaltung für diesen Fall. 5 Vorbereitende Aufgaben (a) Bei der Messschaltung nach Abb. 2 entstehen Messfehler aufgrund der endlichen Innenwiderstände der beteiligten Messgeräte. Die Schaltung sei an eine ideale Spannungsquelle U 0 angeschlossen. Berechnen Sie die auftretenden relativen Fehler von Strom und Spannung für die zwei folgenden Messfälle: Messfall I: Innenwiderstand des Strommessgeräts R A = 1Ω, Spannungsmessgerät ideal. Messfall II: Strommessgerät ideal, Innenwiderstand des Spannungsmessgerät R V = 2MΩ. Der zu messende Widerstand beträgt R x = 220 kω. Bestimmen Sie die relativen Fehler für den Bezugsfall, dass die wahren Werte von Strom und Spannung I w und U w auftreten, wenn die Messgeräte entfernt werden. I = I I w und U = U U w (10) I w I w U w U w (b) Berechnen Sie den Effektivwert und den Gleichrichtwert für ein sinusförmiges Signal, ein Rechtecksignal und ein Dreiecksignal, wobei zwecks Allgemeingültigkeit jeweils ein Gleichanteil überlagert sein soll. 6 Messaufgaben Zur Durchführung der Messungen benötigen Sie neben den verschiedenen Messgeräten und Verbindungskabeln das Schaltbrett nach Abb. 11 und für die letzte Messaufgabe 6.4 einen zusätzlichen Übertrager zur Potenzialtrennung. M - 12

18 Abb. 11: Schaltbrett zu diesem Versuch. Die Kreise kennzeichnen Buchsen, die Sie verkabeln können. Die eingezeichneten elektrischen Bauelemente sind bereits fest eingelötet. 6.1 Gleichspannungen und Gleichströme In diesem Versuchsteil wird der denkbar einfachste elektrotechnische Versuch durchgeführt. Sie sollen an einem durch eine Gleichspannungsquelle gespeisten Widerstand R x Strom und Spannung messen. Bei dieser Gelegenheit werden Sie den Umgang mit analogen und digitalen Multmetern lernen. Grundsätzlich wird die Messchaltung nach Abb. 2 verwendet, wobei Sie ein analoges und ein digitales Multimeter zur Verfügung haben. Messungen: Zunächst muss die Überstimmung der beiden Multimeter überprüft werden. Entwerfen Sie zwei Schaltungen, bestehend aus Gleichspannungsquelle, Widerstand und den beiden Multimetern, mit denen Sie mit beiden Multimetern dieselbe Spannung bzw. denselben Strom messen können. Führen Sie die Messungen durch. Trauen Sie den mit den digitalen Multimetern gemessenen Werten und bestimmen Sie die Faktoren für Strom und Spannung, mit denen die analog gewonnenen Werte korrigiert werden müssen. Realisieren Sie nun die Messschaltung nach Abb. 2 und messen Sie zweimal Strom und Spannung wie folgt: Setzen Sie zunächst das analoge Multimeter zur Strom- und das digitale Multimeter zur Spannungsmessung ein (Messfall I). Danach führen Sie die Messung mit vertauschten Rollen der beiden Multimeter durch (Messfall II). Auswertung: Gehen Sie von der Annahme aus, dass sich das digitale Multimeter ideal verhält (was bedeutet das?). Berechen Sie unter dieser Annahme den Wert des benutzten Widerstands R x. Welche Messgröße in welchem Messfall wird besonders fehlerhaft gemessen? Berechnen Sie den relativen Messfehler dieser Größe, bezogen auf den ohne Anwesenheit der Messgeräte am Widerstand R x auftretenden Wert. M - 13

19 Dabei können Sie davon ausgehen, dass auch der Innenwiderstand des analogen Multimeters bei Strommessung klein gegen den Widerstand R x ist. 6.2 Wechselspannungen und Wechselströme mit und ohne Gleichanteil Messungen: Generieren Sie mit dem Funktionsgenerator (a) eine sinusförmige, (b) eine rechteckförmige und (c) eine dreieckförmige Spannung und stellen Sie zusätzlich einen Gleichanteil ein. Verwenden Sie eine Frequenz von etwa 1kHz. Stellen Sie die für alle Signale die Amplitude des Wechselanteils auf 3 V, den Gleichanteil auf 2 V ein. Kontrollieren Sie die Zeitfunktion mit dem Oszilloskop. Messen Sie mit dem Digitalmultimeter, jeweils für alle drei Signale, die Effektivwerte in den beiden Einstellungen V AC (nur Wechselanteil) und V AC+DC (Gleich- und Wechselspannung zusammen). Auswertung: Überprüfen Sie die gemessenen Ergebnisse anhand der Berechnungen zur vorbereitenden Aufgabe (b). 6.3 Phasenverschiebungen Es werden die Phasenverschiebungen an einem speziellen Zweitor gemäß Abschnitt 3 gemessen. Bei dem Zweitor handelt es sich um ein CR-Glied mit variablem Widerstand ( Potenziometer ). Durch Drehen am Potenziometer können verschiedene Phasenverschiebungen eingestellt werden. Achtung: Das Zweitor ist nicht identisch mit dem in Abschnitt 3 (Abb. 7) als Beispiel verwendeten! Sie müssen sich insbesondere das Zeigerbild neu überlegen. Messungen: Stellen Sie durch Variation des Potenziometers zwei deutlich unterschiedliche Phasenlagen ein und messen Sie die Phasendifferenzen zwischen Ein- und Ausgang jeweils gemäß Abschnitt 3 mit dem Oszilloskop und durch Messung von Effektivwerten mit dem Digitalmultimeter. Auswertung: Berechnen Sie für beide Potenziometerstellungen die Phasenverschiebungen zwischen Ein- und Ausgang nach beiden Messmethoden. Zeichen Sie jeweils ein maßstäbliches Zeigerbild der Spannungen. 6.4 Kennlinie einer Zenerdiode Dieser Versuchsteil folgt Abschnitt 4. Als spezielles Eintor wird in diesem Versuch eine Zenerdiode verwendet. Während eine normale Diode in eine Spannungsrichtung leitet und in die andere sperrt, wird die Zenerdiode ab einer bestimmten Spannung auch in Sperrrichtung leitend. M - 14

20 Messungen: Realisieren Sie die Messschaltung nach Abb. 10. Da das Oszilloskop einseitig geerdete Eingänge besitzt, kann der ebenfalls einseitig geerdete Ausgang des Funktionsgenerators nicht direkt benutzt werden, um die Schaltung zu speisen. Aus diesem Grunde wird zur Potenzialtrennung ein Übertrager zwischengeschaltet, dessen Sekundärwicklung potenzialfrei ist. Zeichnen Sie das Schaltbild der Anordnung und kennzeichnen Sie dabei alle geerdeten Pole. Nehmen Sie im x-y-modus die Kennlinie der Zenerdiode bei sinusförmiger Anregung mit einer Frequenz von etwa 300 Hz auf. Skizzieren Sie die Kennlinie in ein Diagramm U R = f(u Z ), indem Sie Wertepaare vom Oszilloskop ablesen. Der Widerstand R zur Messung des Stroms besitzt den Wert 1 kω. Stellen Sie Strom I Z und Spannung U Z der Zenerdiode auch als Zeitfunktionen auf dem Oszilloskop dar. Skizzieren Sie die beiden Zeitfunktionen in einem gemeinsamen Diagramm. Achten Sie dabei auf die korrekte Lage der Nulllinien von Strom und Spannung. Auswertung: Skalieren Sie die Strom-Achse der bereits gezeichneten Kennlinie, so dass Sie die gewünschte Kennlinie I Z = f(u Z ) darstellen. Erklären Sie ferner den Verlauf der gemessenen Zeitfunktionen von Zenerstrom und -spannung. 7 Literatur Schrüfer, Elmar: Elektrische Messtechnik, Hanser Fachbuchverlag 2004, ISBN Becker, W-J., Bonfig, K.W., Höing, K.: Handbuch der elektrischen Messtechnik, Hüthig Verlag Heidelberg, 2000, ISBN X M - 15

21 Î Ö Ù ½ ËØÖÓѹÙÒ ËÔ ÒÒÙÒ Ñ ÙÒ Ò ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒ Ñ Ú Ö Ö Ò ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ¾ ÖÙÒ Ð Ò ½ÎÓÖ Ñ Ö ÙÒ ¾º½ ÖËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð Öººººººººººººººººººººººººººººººººº ¾º ËÔ ÒÒÙÒ Ñ ÙÒ ÙÖ ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒºººººººººººººººººººººº ¾º¾ Ö ØÞ Ô ÒÒÙÒ ÕÙ ÐÐ ÖÐ Ò Ö Ë ÐØÙÒ Òººººººººººººººººººº ¾ ¾º ËØÖÓÑÑ ÙÒ ÙÖ ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒººººººººººººººººººººººººº Î Ö Ù ÙÖ ÖÙÒ ÎÓÖ Ö Ø Ò Ù Ò º ÁÒÒ ÒÛ Ö Ø Ò Ò ÎÓÐØÑ Ø Ö ºººººººººººººººººººººººººº º¾ ÖËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð ÖÓ Ò ÙÒ Ñ Ø Ð ØÙÒ ººººººººººººººººººº º½ËØÖÓѹËÔ ÒÒÙÒ ¹Ã ÒÒÐ Ò Ò ÖÉÙ ÐÐ ºººººººººººººººººººººº Ä Ø Ö ØÙÖ Ù Û ÖØÙÒ Ä ÖÒÞ Ð Á ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒ Ñ Ú Ö Ö Ò Ú Ö Ø Ò ÈÖ Ø Ö ÖÙÒ Ò Ñ Ù Ù Ð ØÖ ÖË ÐØÙÒ Ò ÑÑ ÐÒ ÖÙÒ ØÞÐ ÖÐ ÙÒ Ò Ñ ÒØÛÙÖ ÚÓÒÅ ÐØÙÒ Ò ÒÒ ÒÐ ÖÒ Ò Þº ºÌÖ Ò¹ Ò Ë ÐØÙÒ ÞÙÖÏ Ö Ø Ò Ñ ÙÒ ÒØÛ Ö ÒÙÒ Ñ Ò ÓÒ Ö Ò ÒÒ Ò ÒÙÒ ÖÅ ÐØÙÒ Ò ÖËØÖÓÑÙÒ ËÔ ÒÒÙÒ µ Ð Ö ÓÖØÔ ÒÞÙÒ ÖÎ ÖÛ Ò ÙÒ ÚÓÒÅ Û ÖØ Ò Ò Ö ÒÙÒ Ò Ö ÒÒ Ò ½¹½

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23 Ð Ù ÑÑ Ò ÐØÙÒ Ò Ù Ð ÒÉÙ ÐÐ ÒÙÒ Ð Ò Ö ÒË ÐØ Ð Ñ ÒØ Ò Þº ºÓ ѹ ÒÏ Ö ØÒ ÒµÚ Ö ÐØ Ò Ð Ò Öº ËØÖÓѹËÔ ÒÒÙÒ ¹Ã ÒÒÐ Ò Ò ÖÐ Ò Ö ÒË Ð¹ ¾º¾ Ö ØÞ Ô ÒÒÙÒ ÕÙ ÐÐ ÖÐ Ò Ö Ë ÐØÙÒ Ò ØÙÒ Ø Ò Ö ºÂ Ð Ò Ö Ë ÐØÙÒ ÒÒ Ð Ó ÙÖ Ò Ö ØÞ Ô ÒÒÙÒ ÕÙ ÐÐ Ö ØÞØ Û Ðغ i ÒØ ÔÖ Ò Û Ö Ò Û Ò º¾ Ö Ø ÐÐØ Ø Û ÒÒÑ Ò Ö Ò Ð Ñ ÒØ u iùò R R i i u u i u i u Ò ÒÄ Ø Ö Ø Ð ËØÖÓѹËÔ ÒÒÙÒ ¹Ã ÒÒÐ Ò Ò Ö º Ò Ø Ú ËØ ÙÒ Ö iº Ò ÚÓÒ Ö Ò ÐÓ ¹ i K i Kº Ð ÙÒ ¾ Ö ØÞ Ô ÒÒÙÒ ÕÙ ÐÐ Ñ Ø Ò Ð Ñ ÒØ u ¾º ËÔ ÒÒÙÒ Ñ ÙÒ ÙÖ ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒ iùò R Ö Ò Ø Ð ÑÁÒÒ ÒÛ Ö Ø Ò R i Ö Ö ØÞ Ô ÒÒÙÒ ÕÙ ÐÐ ÐØR i = u i /i Last i V Å Ó Ø Ð ÙÒ ËÔ ÒÒÙÒ Ñ ÙÒ ÙÖ Ò Ð Ò Ò ÎÓÐØÑ Ø Ö Ö Ø Ò ÃÐ ÑÑ Ò Messobjekt u x Voltmeter mit V Innenwiderstand R Ò Ò ÎÓÐØÑ Ø Ö Ö Ø Ò ÃÐ ÑÑ Ò Å Ó Ø º µº ÐÐ Ö Ò x Ò ÒÃÐ ÑÑ Ò Ò Å Ó Ø Ö ÓÐ ØÑ Ø ÙÖ Ò Ð ¹ V Ñ ÙÒ Ò Ù Òº V Ù Û Ø Ø ÙÖ ÎÓÐØÑ Ø Ö Ö Å ÙÒ ÖËÔ ÒÒÙÒ u Vº ÖËØÖÓÑÛ Ö ÑÅ Ó Ø ÒØÒÓÑÑ ÒÙÒ ÒÒ ËÔ ÒÒÙÒ ¹ Ñ ÙÒ Ú ÖÑ Òº ÞÙ Ö ÓÖ ÖÐ Ë ÐØÙÒ Ø Ò º Ö Ø ÐÐغ Å ÙÒ ÒØÒÓÑÑ Ò ÒÛ Ö ÞÙÆÙÐÐÑ ÒÙÒ Ñ Ø Ò Ñ Ð Ò Ù ÙÒ ÖËÔ ÒÒÙÒ ¹ Å ØÀ Ð Ò ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒ Ñ Ú Ö Ö Ò ÒÒÑ Ò ÒËØÖÓÑi Û Ð Ö ÑÅ Ó Ø ÎÓÐØÑ Ø Ö Ò Ò Ò Ð ÖÓ ÒÁÒÒ ÒÛ Ö Ø Ò R V = u x /R yû Ö ÚÓÒ Ò Ö À Ð ¹µËÔ ÒÒÙÒ ÕÙ ÐÐ y ÚÓÒ ÈÓØ ÒØ Ð Ö ÒÞÞÛ Ò ÒÃÐ ÑÑ Ò ÑÔ Ö Ñ Ø Ö ÚÓÖ Ò Ò Ò ÒËØÖÓÑ ÙÖ yùò Ò Ñ Ò Ø ÐÐ Ö ÒËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð ÖR Ö Ø Ø ÐÐØºÂ Ò ËØ ÐÐÙÒ Ö ÖËÔ ÒÒÙÒ u x ÑÅ Ó Ø Ö ÓÐ Ø ÙÖ Î Ö Ð Ñ Ø Ò ÖËÔ ÒÒÙÒ u Ò ÑÎÓÐØÑ Ø Ö Ñ ÒÙÒ Ò Þ ØÛ Ö ºu y ÐØ ÒÒ ÒÒ Ø Ò u H u Ñ Ò Ø ÐÐ Ö ÒËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð Ö ÒÒu y Ð Ò Ö Ö ÖÓ Ö Ð u ½¹ x Òº ÖËØÖÓÑi ÙÖ ÑÔ Ö Ñ Ø ÖAÚ Ö Û Ò Ø Ò Ù ÒÒ Û ÒÒu x = u

24 A i u Ð ÙÒ ËÔ ÒÒÙÒ Ñ ÙÒ Ñ ØÀ Ð Ò ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒ Ñ Ú Ö Ö Ò º ÙÖ Ò Ø Ð¹ H i V Messobjekt u x V u ÑÔ Ö Ñ Ø ÖØÖ Ò ÒÒØ º Ð ÑÔ Ö Ñ Ø ÖÚ ÖÛ Ò ØÑ Ò ÒÑ Ð Ø ÑÔ Ò Ð ¹ Å Ò ØÖÙÑ ÒØ Û Ð ÓÛÓ ÐÔÓ Ø Ú Û Ù Ò Ø Ú ËØÖ Ñ ÒÞ Ò ÒÒ Ð Ó y yº Ô Ð Û Ò Ö Ò ØÖÙÑ ÒØÑ ØÅ ØØ Ð Ø ÐÐÙÒ Ö Ñ ØÖÓÑÐÓ Ò Ù Ø Ò º ÐÙÒ ËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð Ö RÛ Ö ÖËØÖÓÑiÞÙÆÙÐÐ Ð Ò ÙÒ ÐØu x Ö ÓÐ ØÒÙÒ ÓÐ Ò ÖÑ Ò Å ÒÚ Ö Ø ÒÅ ØØ Ð Ö x = u 0 ÒÞ ØºÆÙÒ ÒÒ ¾º x ÑÎÓÐØÑ Ø ÖV Ð ÒÛ Ö Òº ËØÖÓÑÑ ÙÒ ÙÖ ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒ Å ÙÒ ÖËÔ ÒÒÙÒ u ËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð Ö R ÓÐ Ò ÑÔ Ö Ñ Ø ÖA ÒËØÖÓÑi = u y = u R i x Ð ÙÒ ËØÖÓÑÑ ÙÒ ÙÖ Ò ÐØ Ò Ò ÑÔ Ö Ñ Ø Ö Ò ÒÄ Ø ÖÑ Ø ÑÞÙ Messobjekt u A Amperemeter mit A Innenwiderstand R A ËØÖÓÑÑ ÙÒ Ò Ù Ò ÒÒº Ò ÐØ Ò Ò ËØÖÓÑÑ ÖØ º µº ÐÐ Ö Ò ÑÔ Ö Ñ Ø Ö Ò Ò x Ò Ò ÑÄ Ø Ö Ö ÓÐ ØÑ Ø ÙÖ Ù ØÖ ÒÒ Ò Ä Ø Ö ÙÒ Ñ Ò ÒËØÖÓÑi x A Û Ð Å ÙÒ ËØÖÓÑ i ÁÒÒ ÒÛ Ö Ø Ò R A > 0 Ù Û Ø ÐÐØ Ñ ÑÔ Ö Ñ Ø Ö Ò ËÔ ÒÒÙÒ u i x u H RS R A Messobjekt V u = 0 i x (R S + R A ) u A A ØÚÓÐÐ ØÒ ÙÖ ÑÔ Ö Ñ Ø ÖAº SÛ Ö Ó Ò ¹ Ö ÒÙÒ Ñ Ø Ò Ñ Ð Ò Ù ÙÒ ÖÅ ÙÒ Ú ÖÑ Òº ÞÙ Ö ÓÖ ÖÐ Ð ÙÒ ËØÖÓÑÑ ÙÒ Ñ ØÀ Ð Ò ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒ Ñ Ú Ö Ö Ò ºR Ø ÐÐØ u H = i x (R S + R A ) ÐØ ÙÖ Û Ö ËÔ ÒÒÙÒ uþùæùðð ÙÒ ÖËØÖÓÑi ½¹ A ÓÑÔ Ò ¹ x Å ØÀ Ð Ò ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒ Ñ Ú Ö Ö Ò ÒÒÑ Ò ÒËÔ ÒÒÙÒ ÐÐu

25 Ë ÐØÙÒ Ø Ò º Ö Ø ÐÐغÁÒÊ Ñ Ø Ñ ÑÔ Ö Ñ Ø ÖÛÙÖ Ò Ò À Ð Ô Ò¹ H Ø Ø ÒË Ê ØÙÒ ÖÀ Ð Ô ÒÒÙÒ ÕÙ ÐÐ µº Û Ö Ñ ØÀ Ð Ò SÞÙ ÑÑ Ò Ò Ù Ð ÖËÔ Ò¹ SÛ Ö Ó Ò Ø ÐÐØ ÑÔ Ò Ð Å Ò ØÖÙÑ ÒØ Û Ð ÓÛÓ ÐÔÓ Ø Ú Û Ù Ò Ø Ú ËÔ ÒÒÙÒ Ò ÒÞ Ò ÒÙÒ ÕÙ ÐÐ u HÙÒ Ò Ò Ø ÐÐ Ö ÖÏ Ö Ø Ò R S ÐØ ØºR V ¹ ÖËÔ ÒÒÙÒ ÐÐ Ò ÑÔ Ö Ñ Ø ÖÙÒ Ï Ö Ø Ò R ÒÒ Ð Ó Ô Ð Û Ò Ö Ò ØÖÙÑ ÒØÑ ØÅ ØØ Ð Ø ÐÐÙÒ Ö Ñ Ô ÒÒÙÒ ÐÓ Ñ x Ø ÒÙÒ u Ù Ø Ò º Ù Ò ÑÔ Ò Ð ÑÔ Ö Ñ Ø Ö Ø Ò ØÞ Öº ÚÓÐÐ ØÒ ÙÖ ÑÔ Ö Ñ Ø ÖAº Ð ËÔ ÒÒÙÒ Ñ ÖØÚ ÖÛ Ò ØÑ Ò ÒÑ Ð Ø ËÔ ÒÒÙÒ Ñ ÖØ ÓÒØÖÓÐÐ ÖØ Û Ð ÙÖ Î Ö Ø ÓÒÚÓÒR Sµ Ù ÒÏ ÖØu=0 Ð ÒÛ Ö º ÙÖ Û Ö ÖËØÖÓÑ ÙÖ ËÔ ÒÒÙÒ Ñ ÖØÞÙÆÙÐÐ ÙÒ i ÎÓÖ Ö Ø Ò Ù Ò i (1 α) R R u 0 α R u 2 R ØÖ Ø ØÛ Ö Ö Ò º Ö Ø ÐÐØ Ò Ø ÐÐ Ö ËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð ÖºÁÑÙÒ Ð Ø Ø Ò Ù¹ L Ð Ø Ø Ö Ò Ø ÐÐ Ö ÖËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð Ö L Ð ÙÒ ÙÖ ÒÏ Ö Ø Ò R 2 ËÔ Ò¹ 2,mBº Ø Ò Ð ÓÓ Ò Ò ÐÙ Ä ØÛ Ö Ø Ò R Vº Ù Û Ð ÑÏ ÖØα Ø Ø ÖÅ ØØ Ð Ö ËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð Ö Ï ÖÓ Ø Ö 2,oB Ö Ò ÒË Á Ö ÒØÛÓÖغ L Ø Ù Ò Ô ÒÒÙÒ u ÒÙÒ Ø Ð Ö ÒÏ ÖØu 2,oBº ÙÖ Ò Ò ÐÙ ÚÓÒR LÒ ÖØ Ù ÒÏ ÖØu µá Øu 2,mB Ð Ò ÖÓ Ö Ö Ö Ð u 0 µ Ò Ò ÓÐ Ò Ò Ö Ò u Î Ö Ù ÙÖ ÖÙÒ 0 = 10 V R = 10 kω u 2,oB = 5 V u 2,mB = 4 Ï Ö Ø Ò R L ÒË Ù Ò Ò ÐÐ Ñ Ò Ò Ù ÖÙ ÖR L Ð ÙÒ Ø ÓÒÚÓÒu R u 2,oBÙÒ u 2,mB Òº º½ ËØÖÓѹËÔ ÒÒÙÒ ¹Ã ÒÒÐ Ò Ò ÖÉÙ ÐÐ Û Ö ÒÙÒ Û Ö ÚÓÑÎ Ð Ñ Ò ØÖÙÑ ÒØ Å ØÖ Ü Ñ Û Ð ÑÔ Ò Ð Ø ÒÑ Ð Ò x Ò ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒ Ñ Ú Ö Ö Ò º Ö ÒÅ ÔÙÒ ØÑÙ ÖËØÖÓÑ iñ ØÀ Ð 1Ú Ö ÖØ xµ Ò ÖÉÙ ÐÐ Å Ó Øµ Ù ÒÓÑÑ ÒÛ Ö Òº ÖËØÖÓÑi x Ö ÓÐ ØÑ ØÀ Ð Û Ð Ö ÖÉÙ ÐÐ ÒØÒÓÑÑ ÒÛ Ö ÒÒÑ ØÀ Ð Ú Ö Ø ÐÐ Ö ÒÏ Ö Ø Ò R ½¹ Ö Ò Ò ÒÅ Ö Ò Þ Øº Å ÙÒ ÖËÔ ÒÒÙÒ u Å ØÀ Ð Ö Ò º Ö Ø ÐÐØ ÒÅ ÐØÙÒ ÓÐÐ ÒÌ Ð ÖËØÖÓѹËÔ ÒÒÙÒ ¹Ã ÒÒÐ Ò i x Ò Ò ØÚÓÒu

26 rot i +/ 250 µa grün i x R 2 = 0, 5 / 5 ma Ω Quelle 12 V u x 5 V Ð ÙÒ Å ÐØÙÒ ÞÙÖ Ø ÑÑÙÒ ÖËØÖÓѹËÔ ÒÒÙÒ ¹Ã ÒÒÐ Ò Ò ÖÉÙ ÐÐ (Messobjekt) R 1 = Ω Å Ó Øµ u y grün 400 mv schwarz Ä ØÙÒ ÒÓ ÖËØ ÓÒØ Ø ÒÚ ÖÙÖ Ò ÒÒ Û Ð ËÔ ÒÒÙÒ Ñ ÙÒ Ú Ö Ð Ò x ÐØÙÒ ÒÒØ Òº x ÑÎÓÐØÑ Ø Ö Ð ÒÛ Ö Ò ÒÒº ÑØ Å ÐØÙÒ Ø Ó Ù ÙØ x Ò Ò Ñ Ò Ò ËØÖÓÑÔ ØÙÒ ÙÖ Ò ËÔ ÒÒÙÒ ÐÐ Ò Ò Ø ÐÐ Ö ÒËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð Ö R Ö Ò Å ÐØÙÒ Ø Ò Ø Ò Ö Ø ÒÌ Ð ÖËØÓѹËÔ ÒÒÙÒ ¹Ã ÒÒÐ Ò 2ÞÙÆÙÐÐ Ð ÒÛ Ö Ò Ó ÒÒu y = u ÓÑ Øu ÖÉÙ ÐÐ Ù ÞÙÑ Òº Ò Ð Ò Î ÖÒ ÖÙÒ ØÒÓØÛ Ò ÙÑ ÒÄ ÖÐ Ù ÖÉÙ ÐÐ ÖËØÖÓÑi À Ö Ù Ò Ñ Ò Î Ð Ñ Ò ØÖÙÑ ÒØ º Î ÐÐ ÙÒ Ò Ø Ø Ë ÐØÙÒ Ó ÞÙÖÅ ÙÒ ÃÙÖÞ ÐÙ ØÖÓÑ ÖÉÙ ÐÐ º Ö 0µÞÙ Ö Ò ØÒÓØÛ Ò ÒËØÖÓÑÔ ÞÙÙÒØ Ö Ö Ò Ô Ð Û ÙÖ ËØÖÓÑÔ Û Ø ÑÑ Ö Ò Ò Ò Ð ÖÓ ÒÏ Ö Ø Ò Ù Ñ Ò Ñ Ð ÒÁÒÒ ÒÛ Ö Ø Ò º ºi x = 0 Ð ÑÔ Ö Ñ Ø ÖÚ ÖÛ Ò Ø ÒÎ Ð Ñ Ò ØÖÙÑ ÒØ º Ö Ø ÑÑ Ö Ò ËÔ ÒÒÙÒ u x > 0 Ö ÓÖ ÖÐ ÙÑËØÖÓÑ ÙÖ ÒËØÖÓÑÔ ÞÙØÖ ÒºÁÑÃÙÖÞ ÐÙ ÐÐ Ø Ó u x = rot i x 5 ma grün R 1 = i Ω Quelle 12 V u x (Messobjekt) +/ 250 µa 5 V ÍÑ ÒÃÙÖÞ ÐÙ ØÖÓÑ ÖÉÙ ÐÐ ÞÙÑ Ò ÓÐÐ Ë ÐØÙÒ Ù º Ú ÖÛ Ò Ø Ð ÙÒ Å ÐØÙÒ ÞÙÖ Ø ÑÑÙÒ ÃÙÖÞ ÐÙ ØÖÓÑ Ò ÖÉÙ ÐÐ grün schwarz Ð Ñ Ù Ø ÒÃÙÖÞ ÐÙ ØÖÓÑÙÒ ÒÒ ÑÎ Ð Ñ Ò ØÖÙÑ ÒØ Å Ö 1ÞÙ maµ Ð ÒÛ Ö Òº x ÖÉÙ ÐÐ Ø 0 Û Ö Òº ÖËØÖÓÑ iñù ÙÖ Ò Ø Ò Ø ÐÐ Ò Ú Ö Ø ÐÐ Ö ÒÏ Ö Ø Ò R ÆÙÐÐ Ð ÒÛ Ö Ò Ò Ñ ÐÐ ÐØ Ù Ö Ù Ò Ô ÒÒÙÒ ÖÉÙ ÐÐ u x = º º Ð Ø Ö ÖÛ Ò Ø ÃÙÖÞ ÐÙ ÖÉÙ ÐÐ ÚÓÖº Ö Ù Ò ØÖÓÑi 0,5 ½¹

27 º¾ ÖËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð ÖÓ Ò ÙÒ Ñ Ø Ð ØÙÒ R 1 = Ω (mit Skala) i +/ 250 µa R 2 = Ω 12 V 15 V 15 V Ö Ø ÙÖ ÎÓÐØÑ Ø Ö Ñ Òº Ð ÙÒ ½¼ Ë ÐØÙÒ ÞÙÖÅ ÙÒ Ö Ù Ò Ô ÒÒÙÒ Ò Ò Ø ÐÐ Ö ÒËÔ ÒÒÙÒ Ø ¹ zweipoliger Umschalter 1Û Ö Ò º½¼ Ö Ø ÐÐØ Ë ÐØÙÒ ÓÐÐÞÙÖÅ ÙÒ Ö Ù Ò Ô ÒÒÙÒ Ò Ò Ø Ðй Ò ËØ ÐÐÙÒ ÞÛ ÔÓÐ ÒÍÑ ÐØ Ö Ñ ØÀ Ð ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒ Ñ Ú Ö Ö Ò Ó Ö Ö ÒËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð Ö Ú ÖÛ Ò ØÛ Ö Òº Ù Ò Ô ÒÒÙÒ Û Ö Ò Ö Ò Þ Ò Ø Ò ËØ ÐÐÙÒ ÞÛ ÔÓÐ ÒÍÑ ÐØ Ö Ñ ØÀ Ð ÃÓÑÔ Ò Ø ÓÒ Ñ Ú Ö Ö Ò Ñ Òº Ð Ö R 1 Ò Ò ØÚÓÒ ÖËØ ÐÐÙÒ Å ØØ Ð Ö º Ù Ò Ô ÒÒÙÒ ÚÓÒR 0Û Ö ÖËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð ÖÒ Ø Ð Ø Øº Ö Ð ËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð Ö ÐØ Ø ÛÓ ÙÖ ÒÒ Ö ÙÖ ÎÓÐØÑ Ø Ö Ò ËØÖÓÑ ÒËÔ Ò¹ ÑÙ Ö ÒÅ ÔÙÒ ØÒ ÙÚÓÖ ÒÓÑÑ ÒÛ Ö Ò µ ÒÙÒ Ø Ð Ö Ð Ø Øº Ñ Ò ËÔ ÒÒÙÒ Û Ö Ò ËØ ÐÐÙÒ Å ØØ Ð Ö ËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð Ö Ú Ö Ò Ø Ö ÚÓÑÙÒ Ð Ø Ø Ò ÐÐ Û Òº ÙÖ ÍÑ ÐØ Ò ÖË ÐØ ÓÒØ Ø Û Ö ÎÓÐØÑ Ø Ö Ö Ø Ò ÒÅ ØØ Ð Ö Ï Ò Ð Ù i = Ð Ö Ò Û Ð ÒËØ ÐÐÙÒ Ò ÞÛ ÔÓÐ ÒÍÑ ÐØ Ö Ù ÞÙÒ Ñ Ò α=0 0,05 ÁÑÎ Ö Ù Ø Ù Ò Ô ÒÒÙÒ ËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð Ö Ö ÓÐ Ò ËØ ÐÐÙÒ Ò Å ØØ ¹ 0,1 0,2 0,3 ººº0,9 0,95 1º º Ù ÒË ÙÒØ ÖÎ ÖÛ Ò ÙÒ Ö ÑÎ Ö Ù ÚÓÖ Ò Ò ÒÅ ÖØ Ò Ñ Ð Ø Ò Å ÐØÙÒ ÞÙÖ Ø ÑÑÙÒ ÁÒÒ ÒÛ Ö Ø Ò Ò º¾Ú ÖÛ Ò Ø ÒÎÓÐØÑ Ø Ö Ù ÁÒÒ ÒÛ Ö Ø Ò Ò ÎÓÐØÑ Ø Ö ÙÒ Ö ÒË ÒØ ÔÖ Ò Å ÙÒ ÙÖ º Ù º½ Ù Û ÖØÙÒ Ò ÒË ËØÖÓѹËÔ ÒÒÙÒ ÒÒÐ Ò ÖÚ ÖÑ Ò ÒÉÙ ÐÐ º Ù º¾ÙÒ º Ö Ò ÒË Ð Ñ ÒØ ÖÞÙ Ö Ò Ö ØÞ Ô ÒÒÙÒ ÕÙ ÐÐ º ½¹

28 Ò ÒË Ù ÒÓÑÑ Ò Òà ÒÒÐ Ò Ò ËÔ ÒÒÙÒ Ø Ð Ö Ó Ò ÙÒ Ñ Ø Ð ØÙÒ Ö Ò ÒË Û Ð Ù ÒÅ Û ÖØ ÒÞÙÑ Ö Ö ÒËØ ÐÐÙÒ Ò Å ØØ Ð Ö Ï ÖØ Ò Ò ÒÞ Ö ÑÑ Òº Ö ÒÁÒÒ ÒÛ Ö Ø Ò Ú ÖÛ Ò Ø ÒÎÓÐØÑ Ø Ö ºÎ Ö Ð ÒË Ï ÖØ Ñ Ø Ö Ä Ø Ö ØÙÖ ÙÒØ Ö º Ö Ø ÖÑ ØØ ÐØ Ò Ö ÁÒÒ ÒÛ Ö Ø Ò º ÈÖ Ð Ê ÖÙÒ Ð Ò Ö Ð ØÖÓØ Ò À Ø Î ÖÐ À Ð Ö Ð Åº ÖÙÒ Ð Ò Ö Ð ØÖÓØ Ò ½ È Ö ÓÒËØÙ ÙÑ ½¹

29 Î Ö Ù ¾ Ð ØÖ Ð ÙÒ ËØÖ ÑÙÒ Ð ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ¾ ÖÙÒ Ð Ò ½ÎÓÖ Ñ Ö ÙÒ ¾º½ Ð Ö Ö Ô Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ Ð ÖÒºººººººººººººººººº ¾º Ð Ð Ò Ò Ð Ö Ø Ø ÓÒÖ ÒËØÖ ÑÙÒ Ð ºººººººººººººººººº ¾º¾ Ð ØÖ Ð ÈÓØ ÒØ ÐÙÒ ËØÖ ÑÙÒ Ð Ñ Ø Ø ÓÒÖ Ò Ù Ø Ò ººººº ¾ Î Ö Ù ÙÖ ÖÙÒ ÎÓÖ Ö Ø Ò Ù Ò Ä Ø Ö ØÙÖ Ù Û ÖØÙÒ Ä ÖÒÞ Ð ÍÒØ Ö ÞÛ Ò Ò Ñ Ð Ö Ò Ð ÙÒ Ò ÑÎ ØÓÖ Ð Ö ÐÖ Ò ÒÒ Ò Ù ÑÑ Ò Ò ÞÛ Ò Ð Ø Ñ Ð ÈÓØ ÒØ ÐÙÒ ËØÖ ÑÙÒ Ð ÒÒ Ò ÕÙ ÔÓØ ÒØ Ð¹ÙÒ Ð Ð Ò Ò Ò ËØÖÓÑ Ø Ð Ò Ò Ð ØÖÓ Ò ÒÓÖ ÒÙÒ¹ Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÒÒ Ò ¾¹½