Vorlesung: Simulation Mechanischer Verfahrenstechnik Seminar - Siebkinetik

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1 Vorlesung: Simulation Mechanischer Verfahrenstechnik Seminar - Siebkinetik Aufgabe 1: Siebkinetik mit Monte Carlo Methode Ein Sandhaufen (Sandkörner als sphärisch approximiert) mit der Feststoffdichte ρ = 1450 kk m3 wird gesiebt. Die Maschenweite der Sieböffnungen ist gleichverteilt und streut um den Mittelwert w = 100 µm mit einer Standardabweichung von σ w = 0,08 w. Die Partikelgröße streut (normalverteilt) ebenfalls um den Wert d = 100 µm mit einer Standardabweichung von σ d = 0,2 d. Berechnen Sie den Trennkorndurchmesser d T, die Trennschärfe κ nach 50 Siebdurchgängen (Zeit) und stellen Sie die Partikelgrößenverteilung Q 3 (d), die Partikelgrößenverteilungsdichte q 3 (d), die Trennfunktion T i sowie den zeitlichen Verlauf der Massenbilanz zwischen Grob- und Feingut dar. Nehmen Sie dazu an, dass Partikel durch Sieböffnungen gesiebt werden sollen. Teilen Sie die Partikel in 30 Partikelgrößenklassen ein. Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 1

2 Wiederholung: (siehe Seminar Trennfunktion, Vorlesung MVT) Gesamtmassenbilanz m A = m G + m F (1) Komponentenbilanz m A μ A,i = m G μ G,i + m F μ F,i (2) m A Massenstrom des Aufgabegutes m G Massenstrom des Grobgutes m F Massenstrom des Feingutes μ A,i Massenanteil der Klasse i im Aufgabengut μ G,i Massenanteil der Klasse i im Grobgut μ F,i Massenanteil der Klasse i im Feingut Massenausbringen ( Prozesswirkungsgrad) R m,g + R m,f = 1 (3) R m,g = m G m A (4) R m,g Masseausbringen des Grobgutes R m,f Masseausbringen des Feingutes Trennfunktion (auf Grobgut bezogen) T i = R m,g μ G,i μ A,i = 1 R m,f μ F,i μ A,i (5) Trennschärfe κ = d 25(T i ) d 75 (T i ) (6) Bewertung der Trennschärfe 0,8 < κ < 0,9 sehr gut 0,6 < κ < 0,8 gut 0,3 < κ < 0,6 befriedig Partikelgrößenverteilung n Q 3,j (d) = μ j,i i=1 (7) Partikelgrößenverteilungsdichte q 3,j (d) = dq 3,j(d) d(d) μ j,i d i (8) Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 2

3 Lösung Die Bearbeitung der Aufgabe erfolgt vollständig mittels MATLAB. Sowohl für die Partikel als auch für die Maschenweite wird die Monte Carlo Methode angewandt, um Normalverteilungen zu erhalten. In Abb. 1 ist die Änderung der Masse des Grob- sowie des Feinguts über 50 Zeitschritte zu erkennen. Zunächst gibt es einen linearen Verlauf, da es zu Beginn mehr Partikel als Sieböffnungen gibt. Somit kommen einige Partikel erst in einem späteren Zeitschritt mit einer Sieböffnung in Kontakt. Währ eines Zeitschritts wird ermittelt, ob das zufällig ausgewählte Partikel die zufällig ausgewählte Sieböffnung passieren kann (d < w), oder auf dem Sieb liegen bleibt (d > w). Bei einem folgen Zeitschritt werden die Partikel und die Sieböffnungen wieder durchmischt. Dieser Vorgang ist mit einer Vibration des Siebes vergleichbar. Abb. 1: Massenänderung über 100 Zeitschritte In Abb. 2 sind die Partikelgrößenverteilungen der einzelnen Fraktionen dargestellt. Das Grobgut sich nach 100 Zeitschritten auf dem Sieb, währ das Feingut die Sieböffnung passieren konnte. In Kontrast dazu sind in Abb. 3 die Partikelgrößenverteilungsdichten dargestellt. Die Linien des Grob- bzw. Feinguts wurden mit dem jeweiligen Prozesswirkungsgrad (R m,g, R m,f ) multipliziert. Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 3

4 Abb. 2: Partikelgrößenverteilungen Abb. 3: Partikelgrößenverteilungsdichten; Grob- und Feingut sind mit dem jeweiligen Masseausbringen multipliziert Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 4

5 Die Trennfunktion ist in Abb. 4 dargestellt und ausgewertet. Aufgrund der hohen Trennschärfe, kann die Siebung nach 100 Zeitschritten als "sehr gut" bezeichnet werden. Der Trennkorndurchmesser liegt mit d T = 107,04 µm etwas über dem mittleren Partikeldurchmesser. Dies kann daran liegen, dass auch größere Partikel eine Sieböffnung passieren können, da die Maschenweiten durch die Normalverteilung größer ausfallen können. Abb. 4: Trennfunktion nach der Siebung; die Trennschärfe κ beträgt 0,96 und kann damit als sehr gute Trennung klassifiziert werden. Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 5

6 Quelltext: % % Siebklassierung % function main clc close all clear n = 50; % Siebdurchgänge Nw = 10000; % Anzahl Maschenweiten Nd = ; % Anzahl Partikel rho = 1450; % Dichte Sand in kg/m^3 dt = 100*10^-6; % Trennkorndurchmesser in m s_dt = 0.2 * dt; % Standardabweichung Trennkorndurchmesser d(:,1) = randn(nd,1) * s_dt + dt; % Zufälliger Partikeldurchmesser d_hist = d; % Speichern der Durchmesser für das Histogramm d(:,2) = 1; % 1 Partikel im Grobgut, 0 Partikel im Feingut s_w = 0.08 * dt; % Standardabweichung Maschenweite w = (2 * s_w * rand(nw,1)) + (dt - s_w);% Zufällige Maschenweiten (gleichverteilt) % Klasseneinteilung dd = max(d(:,1)); % Durchmesser Bereich nk = 30; % Anzahl der Klassen (class beinhaltet immer d_o) dk = dd / (nk-1); % Klassengröße for i=1:nk if i==1 class(i) = dk; class_m(i) = class(i)/2; else class(i) = class(i-1) + dk; class_m(i) = class_m(i-1) + dk; % Aufgabengut Berechnungen ma = sum(rho * pi * d(:,1).^3 *1/6); [m_class]=klassen(class,d,rho); ma_class(1,:) = m_class; % Masse Aufgabegut in kg % Aufgabengut in Klassen einteilen % Simulation for j=1:n % Siebdurchgänge for i=1:nw % Siebmaschen if d(i,1) <= w(i) d(i,2) = 0; % Wenn d(j) < w(i) dann fällt Partikel ins Feingut vergl=(d(:,2)==0); % Bestimmung der Position, bei der Partikel ins Feingut fällt if j == 1 df = d(vergl); % Überführung von feinen Partikeln ins Feingut df Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 6

7 else df = [df; d(vergl)];% Feingutvektor erweitern d(vergl,:)=[]; % löschen der Feinenpartikel aus dem Grobgut d(:,1) = d(randperm(length(d))); % Mischen der Groben Partikel % Massenbilanzen mg(j) = sum(rho * pi * d(:,1).^3 *1/6); % Grobgut in kg mf(j) = sum(rho * pi * df(:,1).^3 *1/6); % Feingut in kg [m_class]=klassen(class,df,rho); mf_class(j,:) = m_class; [m_class]=klassen(class,d,rho); mg_class(j,:) = m_class; % Auswertung my_ai = ma_class(1,:)./ma; my_gi = mg_class(,:)./mg(); my_fi = mf_class(,:)./mf(); RMG = mg()/ma; Ti = RMG * my_gi./my_ai; for i=1:length(my_ai) Q3_A(i) = sum(my_ai(1:i)); Q3_F(i) = sum(my_fi(1:i)); Q3_G(i) = sum(my_gi(1:i)); % Massenanteile des Aufgabenguts % Massenanteile des Grobguts % Massenanteile des Feinguts % Masseausbringen des Grobguts % Trennfunktion % Partikelgrößenverteilung Aufgabengut % Partikelgrößenverteilung Feingut % Partikelgrößenverteilung Grobgut % Partikelgrößenverteilungsdichte Auf- % Partikelgrößenverteilungsdichte Fein- % Partikelgrößenverteilungsdichte Grob- q3_a(i) = my_ai(i); gabengut q3_f(i) = (1-RMG) * my_fi(i); gut in Bezug zu RMF q3_g(i) = RMG * my_gi(i); gut in Bezug zu RMG % Trennschärfe xx1=[0:s_dt/1000:max(class_m)]; % X-Werte für Interpolation vorgeben T=interp1(class_m,Ti,xx1,'PCHIP'); % interpolieren der Trennfunktion Ti_d(1)=T(find(T>=0.75,1)); % T vom d75 Durchmesser Ti_d(2)=T(find(T>=0.50,1)); % T vom d50 Durchmesser Ti_d(3)=T(find(T>=0.25,1)); % T vom d25 Durchmesser D(1)=xx1(find(T>=0.75,1)); % d75 Durchmesser D(2)=xx1(find(T>=0.50,1)); % d50 Durchmesser D(3)=xx1(find(T>=0.25,1)); % d25 Durchmesser T_d=[D(:) Ti_d(:)]; kappa=d(3)/d(1); if kappa < 0.6 fprintf('schlechte Trennung'); if (kappa >= 0.6) && (kappa < 0.8) fprintf('gute Trennung'); if kappa >= 0.8 fprintf('sehr gute Trennung'); % % Trennschärfe % Bewertung der Trennschärfe Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 7

8 figure(1) % Trennfunktion plot(class_m,ti,'-',xx1,t,'--','linewidth',2) hold on plot(d,ti_d,'or','linewidth',2) ylim([0 1]); xlabel('partikeldurchmesser \it d \rm in m') ylabel('trennfunktion \it T_{i} \rm ') leg('trennfunktion','interpolierte Trennfunktion','\it d_{25} d_{50} d_{75} \rm','location','nw'); text(d(2)+d(2)*0.1,0.1,['\it \kappa \rm = ' num2str(sprintf('%.2f',kappa))],'fontname','arial','fontsize',12) text(d(2)-d(2)*0.025,ti_d(2),['\it d_{t} \rm = ' num2str(sprintf('%.2f',d(2)*10^6)) ' in µm \rightarrow'],'horizontalalignment','right','fontname','arial','fontsize',1 2) figure(2) % Massenänderung plot((0:n),[ma mg],(0:n),[0 mf],'linewidth',2) ylabel('masse \it m \rm in g') xlabel('zeitschritt \it t \rm') leg('grobgut','feingut','location','ne') figure(3) % Partikelgrößenverteilung plot([0 class(1:-1)],q3_a,[0 class(1:-1)],q3_g,[0 class(1:- 1)],Q3_F,'linewidth',2) ylabel('partikelgrößenverteilung \it Q_3 \rm ') xlabel('partikeldurchmesser \it d \rm in m') ylim([0 1]); leg('aufgabegut','grobgut','feingut','location','nw') figure(4) % Partikelgrößenverteilungsdichte plot([0 class(1:-1)],q3_a,[0 class(1:-1)],q3_g,[0 class(1:- 1)],q3_F,'linewidth',2) leg('aufgabegut','grobgut','feingut','location','nw') ylabel('partikelgrößenverteilungsdichte \it q_3 \rm in 1/m') xlabel('partikeldurchmesser \it d \rm in m') figure(5) % Histogramm Partikelanzahl über Durchmesser hist(d_hist,30) ylabel('anzahl der Partikel') xlabel('partikeldurchmesser \it d \rm in m') % Speichern der Diagramme File = 'Trennfunktion'; print(1,'-dpng','-r300',strcat(file)); File = 'Masse'; print(2,'-dpng','-r300',strcat(file)); File = 'Partikelgrößenverteilung'; print(3,'-dpng','-r300',strcat(file)); File = 'Partikelgrößenverteilungsdichte'; print(4,'-dpng','-r300',strcat(file)); File = 'Partikelhistogramm'; print(5,'-dpng','-r300',strcat(file)); Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 8

9 function [m_class]=klassen(class,d,rho) n = length(class); % Anzahl der Klassen for i=1:n % Partikel in Klassen einsortieren d_sort =sort(d(:,1)); % Sortieren der Partikelgröße if i == 1 % Nur für die erste Klasse wert_1 = 1; % Position 1. Partikel für Klasse wert_2 = find(d_sort(:)<class(i),1,'last'); % Position letztes Partikel für Klasse else wert_1 = find(d_sort(:)>=class(i-1),1,'first'); % Position 1. Partikel für Klasse wert_2 = find(d_sort(:)<class(i),1,'last'); % Position letztes Partikel für Klasse m_class(i) = sum(rho * pi * d_sort(wert_1:wert_2).^3 *1/6); % Masse der Klasse Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 9