Vorbetrachtungen zum Mobilfunkkanal

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1 Vorbetrachtungen zum Mobilfunkkanal Übungsaufgabe 3 Walter Tiessen( ) Studiengang: Master-Elektrotechnik Modul: Modellierung und Simulation1 Eingereicht bei: Prof. Dr. rer. nat. Henrik Schulze Datum:

2 Inhalt 1 Aufgabenstellung Leistungsperzentile im Mobilfunkkanal (Kap. 2.3, S.11) Rayleigh-Verteilung (Kap. 2.5, S.16) Doppler Spektrum (Kap. 2.5, S.17) Lösung Leistungsperzentile im Mobilfunkkanal MATLAB Code Ausgabe Rayleigh-Verteilung MATLAB Code Histogramm Distribution Fitter Berechnung Doppler Specktrum MATLAB Code Histogramm Berechnung Literaturverzeichnis

3 1 Aufgabenstellung 1.1 Leistungsperzentile im Mobilfunkkanal (Kap. 2.3, S.11) Unter bestimmten Voraussetzungen können die Perzentile für die Empfangsleistung eines Signals im Mobilfunkkanal in guter Näherung durch die Exponentialverteilung beschrieben werden. Wenn man die mittlere Empfangsleistung auf Eins normiert, gilt also für die Leistung x 0: p(x) = e x bzw. P (x) = 1 e x Erzeugen Sie sehr viele (z.b. N = 10 5 ) exponentiell verteilte Zufallszahlen und tragen Sie deren empirisch ermittelte Verteilungsfunktion logarithmisch in Abhängigkeit vom Empfangspegel (in Dezibel) auf (insgesamt ist das also ein doppelt logarithmischer Plot). 1.2 Rayleigh-Verteilung (Kap. 2.5, S.16) Betrachte Zufallsvariable X nach der Exponentialverteilung und ziehe daraus die Wurzel: Y = X. Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Y aus? Gehen Sie erst einmal empirisch vor, indem Sie ein Histogramm erstellen! 1.3 Doppler Spektrum (Kap. 2.5, S.17) Ein Fahrzeug fährt mit der Geschwindigkeit v durch den Wald und empfängt ein Funksignal der Frequenz f0 nur über die Reflexionen von den Bäumen. Wir interessieren uns für die Dopplerverschiebungen des Signals, die gegeben sind durch ν(α) = νmax cos α, wobei α der Einfallswinkel ist und νmax = (v/c) f0 die maximale Dopplerfrequenz. Wir nehmen an, dass aus allen Richtungen gleich viel Signal kommt (d.h. α ist gleichverteilt über [0, 2π]). Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsverteilung für ν aus? Gehen Sie erst einmal empirisch vor, indem Sie ein Histogramm erstellen! 2

4 2 Lösung 2.1 Leistungsperzentile im Mobilfunkkanal MATLAB Code % Experimentelle Ermittlung der Perzentile für die % Empfangsleistung eines Mobilfunkkanals (Näherung: Exponentialverteilung) close all; clear; clc; %-----Deklaration N=1e5; %-----Berechnung x=exprnd(1,n,1); p=(1:n)/n; x=sort(x); %N Zufallszahlen zwischen 0 und 1 exponentialverteilt %Datenfeld mit N Werte zwischen 0 und 1 in 1/N Stufen % Sortieren anstelle einer kommulierten Summe %-----Ausgabe semilogy(10*log10(x),p); %plotten mit logarithmischer y-achse grid on; ylabel('perzentil'); xlabel('empfangspegel [db]'); title('perzentile der Empfangsleistung'); Ausgabe Abbildung 1: Perzentile der Empfangsleistung 3

5 2.2 Rayleigh-Verteilung MATLAB Code % Experimentelle Ermittlung der Perzentile für die % Empfangsleistung eines Mobilfunkkanals (Näherung: Exponentialverteilung) close all; clear; clc; %-----Deklaration N=1e5; %-----Berechnung x=exprnd(1,n,1); p=(1:n)/n; x=sort(x); y=sqrt(x); %N Zufallszahlen zwischen 0 und 1 exponentialverteilt %Datenfeld mit N Werte zwischen 0 und 1 in 1/N Stufen % Sortieren anstelle einer kommulierten Summe %-----Ausgabe hist(y,90); title('histogramm der Wurzel aus der Summe von exponential verteilten Zufallszahlen'); ylabel('anzahl'); xlabel('wurzel(x)'); %-----Berechnung des Mittelwertes und der Varianz zur Kontrolle mit den %Werten im Distribution Fitter mean= mean(y) variance= var(y) 4

6 2.2.2 Histogramm Abbildung 2: Histogramm Rayleigh Die Abbildung 2 zeigt das Histogramm der Berechnung von Y = X. Der Verlauf lässt eine Rayleigh- Verteilung vermuten. 5

7 2.2.3 Distribution Fitter Um die Vermutung zu überprüfen wird der Distribution Fitter in MATLAB verwendet. Das Ergebnis ist in Abbildung 3 dargestellt. Die Rayleigh-Kurve von dem Distribution-Fitter passt sehr gut mit dem Verlauf des Histogramms überein. Zur Kontrolle werden noch der Mittelwert und die Varianz ermittelt. Diese sind auch annähernd gleich. Abbildung 3: Distribution Fitter Vergleich Rayleigh Abbildung 4: Programmausgabe Mittelwert, Varianz 6

8 2.2.4 Berechnung X exponentialverteilt p x (x) = e x Y = X p x (x)dx = p y (y)dy dy dx = 1 2 X dx dy = 1 = 2 X dy dx p y (y) = p x (x) dx = 2 X e x dy mit X = Y 2 p y (y) = 2y e y2 Rayleighverteilung 7

9 2.3 Doppler Specktrum MATLAB Code % Doppler Spektrum close all; clear; clc; %-----Deklaration N=10e5; c=3*10e8; f_null= 4*10e9; v=3; alpha=2*pi*rand(n,1); %Anzahl der Zufallszahlen %Ausbreitungsgeschwindigkeit [m/s] %Frequenz [Hz] %Geschwindigkeit [m/s] %alpha; gleichverteilt zwischen 0 und 2pi %-----Berechnung v_max=(v/c)*f_null; v_alpha=v_max*cos(alpha); da=0.01; edges=-50:da:50; %bincounts für Histogramm (Skalierung für x-achse) value=histc(v_alpha,edges); %-----Ausgabe bar(edges,value/sum(value)/da, 'histc'); title ('Wahrscheinlichkeitsverteilung (Dopplerspektrum)'); xlabel('v(\alpha)'); ylabel('p(v(\alpha))'); Histogramm Abbildung 5: Wahrscheinlichkeitsverteilung Dopplerspektrum 8

10 2.3.3 Berechnung X gleichverteilt zwischen 0 und 2π (entspricht α) p x (x) = 1 2π 2 p x (x)dx = p y (y)dy Intervall von π bis π Cosinus symmetrisch, daraus folgt: o Es werden nur noch Winkel von 0 bis π betrachtet o p x (x) muss mit 2 multipliziert werden, sodass Winkel nun auch zwischen 0 und π o p y (y) erhält neg. Vorzeichen, da der Cosinus von 0 bis π monoton fallend ist Y = c cos(x) für 0 x π (vgl. v(α)) dy dx = c sin(x) dx dy = 1 c sin (x) 2 p y (y) = p x (x) c sin(x) mit x = arccos ( y c ) p y (y) = 2 2π 1 c sin (arccos ( y c )) = 1 π 1 c 1 ( y c )2 9

11 3 Literaturverzeichnis [1] H. Schulze, Modellierung und Simulation: Seminarunterlagen, Meschede, [2] D. Erhard, Aufgabe 3: Übungsaufgabe: Vorbetrachtungen zum Mobilfunkkanal,