Mathematische und statistische Methoden II

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1 Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung Wallstr. 3, 6. Stock, Raum Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike lordsofthebortz.de lordsofthebortz.de/g+ facebook.com/methodenlehre twitter.com/methodenlehre youtube.com/methodenlehre Folie 1 SoSe 2012 Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Inhalte dieser Sitzung Welche Münze soll man werfen? Vergleich von Häufigkeiten über den für 2 unabhängige Stichproben. Hinterher besser als Vorher? Vergleich von Häufigkeiten über den für 2 abhängige Stichproben Was ist typisch? Der ²-Test für zwei unabhängige Merkmale. Folie 2

3 ²-Test Testarten und Skalenniveau Bisher haben wird inferenzstatistische Tests für eine Beobachtung kennen gelernt Beispiele: Binomial- und Poissontest für eine Häufigkeit, z-test für einen Datenwert Oft erhebt man aber in einer oder mehreren Stichproben mehrere Daten- oder Kennwerte Zur Bewertung solcher Werte gibt es verschiedene Tests, abhängig vom Skalenniveau der Messwerte, z.b. 1. Nominalskala (i.e. Häufigkeiten):, ²-Test, McNemar-Test. 2. Ordinalskala: U-Test, Vorzeichenrangtest Folie 3 3. Intervallskala: t-test, F-Test, Zusammenhangstests

4 ²-Test für 2 unabhängige Stichproben Ein Personalpsychologe des Psychologischen Instituts wird beauftragt, die Gleichstellungsbeauftragte der Universität Mainz bei einer statistischen Analyse zu unterstützen. Es soll geprüft werden, ob die Einstellungsquoten zwischen weiblichen und männlichen Bewerbern unterschiedlich sind. Von 300 männlichen Bewerbern wurden 50 eingestellt, von 170 weiblichen Bewerbern wurden 40 eingestellt. Gibt es hinsichtlich der Einstellungsquoten Handlungsbedarf für die Gleichstellungsbeauftragte? Folie 4

5 für 2 unabhängige Stichproben ²-Test Ziel: Prüfung, ob die in zwei unabhängigen Gruppen beobachteten Häufigkeiten einer dichotomen Zufallsvariablen aus derselben Population (mit identischer Wahrscheinlichkeitsverteilung) stammen können. Definition: Stichproben gelten als unabhängig, wenn unterschiedliche Personen in ihnen vorhanden sind. Weitere Beispiele: Ist die Wahrscheinlichkeit für ein Todesurteil bei farbigen und weißen Angeklagten unterschiedlich? Sind Heilungsquoten bei massierter Konfrontation besser als bei gradueller Konfrontation? Folie 5

6 für 2 unabhängige Stichproben ²-Test Man habe 2 dichotome Zufallsvariablen A und X. Man beobachte nun bei N Merkmalsträgern die Ausprägung beider Variablen und ermittle die absoluten Verbundhäufigkeiten h ij. a 1 a 2 x 1 h 11 h 12 h 1 x 2 h 21 h 22 h 2 h 1 h 2 N Eine der ZV (hier: A) unterscheide 2 Gruppen, die andere repräsentiere das interessierende Merkmal (hier: X) Am Beispiel: A sei das Geschlecht (a 1 = männlich, a 2 = weiblich), X die Einladung zum Vorstellungsgespräch (x 1 = abgelehnt, x 2 = eingeladen) Folie 6

7 für 2 unabhängige Stichproben Die Prüfung solcher Fragen erfordert die Berechnung bedingter Häufigkeiten, nämlich ²-Test f f f( x a ) 1 1 f( x a ) 2 2 z.b. x = Einladung a 1 = männlich a 2 = weiblich Welche der beiden Realisationen von X gewählt wird (z.b. 0 oder 1), spielt dabei keine Rolle Inhaltlich soll nun geprüft werden, ob f 1 und f 2 gleich sein können oder ob sie unterschiedlich sind. Frage: Man hat hier mehrere Zufallsvariablen wie lautet die Verteilungsannahme unter der Nullhypothese? Folie 7

8 für 2 unabhängige Stichproben Die Trefferhäufigkeiten f 1 und f 2 sind nichts anderes als die Realisationen von transformierten Zufallsvariablen aus einem Bernoulli-Experiment ²-Test F i X n i i mit X i = Absolute Trefferhäufigkeit in Gruppe i n i = Anzahl der Trials in Gruppe i F i = Relative Trefferhäufigkeit in Gruppe i Die Nullhypothese kann also formuliert werden als: Die absoluten Trefferhäufigkeiten x 1 und x 2, die zu den relativen Trefferhäufigkeiten f 1 und f 2 geführt haben, stammen aus derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung Folie 8 Die Alternativhypothese ist wie üblich das genaue Gegenteil

9 ²-Test für 2 unabhängige Stichproben Wären die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsvariablen X i (absolute Trefferhäufigkeiten) in beiden Gruppen bekannt, könnten diese unmittelbar auch für die Zufallsvariablen F i (relative Trefferhäufigkeiten) zugrunde gelegt werden Vererbung Probleme: Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind nicht bekannt. Zudem erwartet die Nullhypothese eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, nicht zwei. Solche Probleme löst die Statistik oft über die Transformation der vorhanden Zufallsvariablen in eine neue Zufallsvariable. Folie 9

10 ²-Test für 2 unabhängige Stichproben Ansatz: Die zwei Zufallsvariablen F 1 und F 2 werden zu einer einzigen neuen Zufallsvariablen verknüpft, indem man einfach die Differenz aus beiden berechnet F F 1 2 Für einen Hypothesentest ist nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung von unter der Nullhypothese zu bestimmen Es lässt sich zeigen, dass normalverteilt ist, wenn jede der absoluten Häufigkeiten in der Kreuztabelle A X mindestens 5 ist (alle n ij > 5) Folie 10 Frage: Wie lauten und für die Normalverteilung des Wertes unter Annahme der Nullhypothese?

11 ²-Test für 2 unabhängige Stichproben Für die Erwartungswerte der beiden F i gilt gemäß unserer Transformationsregeln F i X n i Die Rechenregeln für Erwartungswerte besagen, dass bei F F 1 2 Folie 11 unmittelbar gilt F F 1 2

12 ²-Test für 2 unabhängige Stichproben Idee: Wenn die beobachteten Treffer X in beiden Gruppen aus derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung stammen, müssen sie denselben Erwartungswert haben X X F F F Damit ergibt sich für die soeben aufgestellte Beziehung F F F F Der Erwartungswert der Normalverteilung des ist also 0 Folie 12

13 ²-Test für 2 unabhängige Stichproben Die Herleitung der Standardabweichung des ist etwas aufwändiger: für zwei Gruppen der Umfänge n 1 und n 2 und des Gesamtumfangs N = n 1 +n 2 zeigt sich, dass f (1 f ) (1 n 1 n ) mit n n f f f N N Damit liegt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Differenz der beiden F i unter der Nullhypothese fest und der statistische Test kann durchgeführt werden. Folie 13

14 ²-Test Folie 14 für 2 unabhängige Stichproben Der folgt exakt der bereits kennen gelernten Logik des Hypothesentestens, allerdings mit einem weiteren Zwischenschritt 1. Voraussetzungen prüfen 2. Verteilungsannahme treffen: Normalverteilt mit den berechneten und 3. Hypothesenrichtung festlegen und statistische Hypothesen formulieren 4. Signifikanzniveau festlegen 5. Prüfgröße z bestimmen (diese ist eine Realisation der neuen Zufallsvariablen Z) 6. Wahrscheinlichkeit für die berechnete Prüfgröße bestimmen und mit dem Signifkanzniveau vergleichen

15 ²-Test für 2 unabhängige Stichproben Prüfgröße bei zwei unabhängigen Stichproben der Umfänge n 1 und n 2 und des Gesamtumfangs N = n 1 +n 2 z d f1 f2 f (1 f ) (1 n 1 n ) mit n n f f f N N Unter der Nullhypothese ist die Prüfgröße standardnormalverteilt, wenn in der 2 2 Kreuztabelle der beobachteten absoluten Häufigkeiten alle n ij > 5 sind. Folie 15 Der wird also zu einem einfachen z-test

16 für 2 unabhängige Stichproben Beim sind wie beim z-test potentiell alle drei möglichen Hypothesenrichtungen von Interesse. H0 : f1 f2 Verwerfen der Verteilungsannahme ²-Test H1: f1 f2 bei einer zu positiven Differenz H0 : f1 f2 Verwerfen der Verteilungsannahme H1: f1 f2 bei einer zu negativen Differenz Einseitige oder gerichtete Hypothese H0 : f1 f2 Verwerfen der Verteilungsannahme H1: f1 f2; f1 f2) bei einer zu extremen Differenz Zweiseitige oder ungerichtete Hypothese Folie 16

17 für 2 unabhängige Stichproben Formuliert man die H 0 /H 1 bezogen auf die Prüfgröße mit ihrem Erwartungswert =0, ist dies gleichbedeutend zu ²-Test H H H H : 0 Verwerfen der Verteilungsannahme : 0 bei einer zu positiven Differenz : 0 Verwerfen der Verteilungsannahme : 0 bei einer zu negativen Differenz Einseitige oder gerichtete Hypothese H H 0 1 : 0 Verwerfen der Verteilungsannahme : 0, 0) bei einer zu extremen Differenz Zweiseitige oder ungerichtete Hypothese Folie 17

18 für 2 unabhängige Stichproben ²-Test Folie 18 Man ermittelt nun die Auftretenswahrscheinlichkeit p(z H 0 ) unter der Annahme, dass die angenommene Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt. Dazu berechnet man p Z z für die H : f f p Z z für die H : f f p Z p Z z z für die H : f f und vergleicht p mit dem Signifikanzniveau Das p( ) wird aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung berechnet Verwerfen der H 0 bei einer zu positiven Differenz Verwerfen der H 0 bei einer zu negativen Differenz Verwerfen der H 0 bei einer zu extremen Differenz

19 ²-Test Folie 19 für 2 unabhängige Stichproben Wichtig: In die Prüfung der Hypothese, ob f 1 = f 2 gehen ausschließlich empirisch gemessene Werte aus der Stichprobe ein. Eigentlich möchte man aber im Rahmen der prüfen, ob sich (theoretische) Populationen unterscheiden. Hier behilft man sich mit dem inferenzstatistischen Schluss: Dieser besagt, dass die gemessenen Werte erwartungstreue (sprich: gute) Schätzungen für die wahren Werte sind Lies: f dach empirisch f i fˆ i theoretisch geschätzt

20 ²-Test für 2 unabhängige Stichproben Beobachtung im Experiment: f 1 und f 2 Frage: Können die Stichproben aus einer Population stammen? Geht die Unterschiedlichkeit der Häufigkeiten auf einen Stichprobenfehler zurück? (1) Bestimmung der Verteilung der Zufallsvariablen Z Folie 20 (2) Festlegung d. Signifikanzniveaus α (3) Berechnung der Prüfgröße z (4) Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für dieses z unter Annahme der H 0, z. B. p(z z) (5) Vergleich von p mit α und Treffen der Signifikanzaussage Achtung: Vorher immer Prüfung der Voraussetzungen! Aber: Bei dieser Aussage irrt man sich mit einer Wahrscheinlichkeit von α 100%

21 für 2 unabhängige Stichproben ²-Test Voraussetzung 1: Die Messungen müssen unabhängig sein. Voraussetzung 2: Die Zufallsvariablen müssen dichotom sein Voraussetzung 3: In der Kreuztabelle der beobachteten absoluten Häufigkeiten müssen alle n ij > 5 sein Folie 21

22 ²-Test für 2 abhängige Stichproben Eine Sexualpsychologin untersucht die sexuelle Aktivität von Paaren. Sie befragt hierzu Paare mit dem Fragebogen zur sexuellen Zufriedenheit (FSZ, Christmann & Hoyndorf, 1988) einen Monat nach dem Beginn der Beziehung sowie noch einmal zwölf Monate nach dem Beginn. Sie wertet zunächst nur eines der Items aus, in dem gefragt wird, ob die Paare in der vergangenen Woche intime Kontakte miteinander hatten. Sie ermittelt, dass von 70 Paaren nach einem Monat 15 keine intimen Kontakte angeben, nach zwölf Monaten 27. Nur 7 Paare geben zu beiden Zeitpunkten keine Intimkontakte an. Folie 22 Die Psychologin möchte ermitteln, ob sich das Sexualverhalten der Personen über die Beziehungszeit verändert hat.

23 ²-Test für 2 abhängige Stichproben Ziel: Prüfung, ob die zu zwei Messzeitpunkten beobachteten Häufigkeiten eines Wertes x aus derselben Population mit identischer Wahrscheinlichkeitsverteilung stammen können. Definition: Stichproben gelten als abhängig, wenn dieselben Personen in beiden Stichproben vorhanden sind. Weitere Beispiele: Steigt das Ausmaß aggressiven Verhaltens nach Erleben entsprechender Verhaltensmodelle? Sinkt die Rückfallwahrscheinlichkeit nach einem Rauchentwöhnungstraining durch die Teilnahme an einem speziellen Rückfallprophylaxeprogramm? Folie 23

24 für 2 abhängige Stichproben ²-Test Man habe für 2 abhängige Stichproben folgende Kontingenztabelle der Zufallsvariable X erhalten: Gibt es systematische Veränderungen zwischen den Stichproben, so müssen die Randhäufigkeiten unterschiedlich sein Messung 2 Messung 1 x 1 x 2 x 1 h 11 h 12 h 1 x 2 h 21 h 22 h 2 h 1 h 2 N Folie 24 Unter der Nullhypothese sollte also gelten h h h h h h h h h h h h

25 ²-Test für 2 abhängige Stichproben Hier haben wir es mit vier Zufallsvariablen zu tun, die H 0 ist noch schwieriger zu formulieren als beim. Ansatz: Die inhaltlichen Hypothesen H : h h, h h H : h h, h h lassen sich kombinieren zu H : h h H : h h Damit liegen ähnlich wie beim zwei absolute Trefferhäufigkeiten h 12 und h 21 vor, die unter der Nullhypothese aus derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung kommen sollen Folie 25

26 ²-Test für 2 abhängige Stichproben Wieder können die zugrunde liegenden zwei Zufallsvariablen H 1 und H 2 per Differenzenbildung zu einer einzigen neuen Zufallsvariablen verknüpft werden H H 1 2 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des ist beim McNemar Test schwieriger zu ermitteln als beim Nach einer weiteren mathematischen Transformation des in eine neue Zufallsvariable ( Chi ) ergibt sich für diese aber eine einfache Wahrscheinlichkeitsverteilung Folie 26 Die neue Zufallsvariable wird deshalb als Prüfgröße verwendet.

27 Exkurs: Die ²-Verteilung 1 f xdf x e 2 df /2( df /2), df /21 x/2 ²-Test Folie 27

28 ²-Test Folie 28 für 2 abhängige Stichproben Der folgt exakt der bereits kennen gelernten Logik des Hypothesentestens, allerdings mit einem weiteren Zwischenschritt 1. Voraussetzungen prüfen 2. Verteilungsannahme treffen: ²-verteilt mit den gegebenen df 3. Hypothesenrichtung festlegen und statistische Hypothesen formulieren 4. Signifikanzniveau festlegen 5. Prüfgröße ² bestimmen (diese ist eine Realisation der neuen Zufallsvariablen ) 6. Wahrscheinlichkeit für die berechnete Prüfgröße bestimmen und mit dem Signifkanzniveau vergleichen

29 für 2 abhängige Stichproben Die Prüfgröße beim wird berechnet als 2 ²-Test h h h h Unter der Nullhypothese ist die Prüfgröße ²-verteilt ist, wenn in der 2 2 Kreuztabelle h 12 + h 21 > 25 gilt Die ²-Verteilung hat einen Parameter, die so genannten Freiheitsgrade df. Für den gilt immer df = 1. Folie 29

30 für 2 abhängige Stichproben Beim können prinzipiell alle drei Hypothesenrichtungen geprüft werden ²-Test H0 : h12 h21 Verwerfen der Verteilungsannahme H1: h12 h21 bei einer zu positiven Differenz H0 : h12 h21 Verwerfen der Verteilungsannahme H1: h12 h21 bei einer zu negativen Differenz Einseitige oder gerichtete Hypothese 0 H : h12 h21 Verwerfen der Verteilungsannahme H1: h12 h21, h12 h21 bei einer zu extremen Differenz Zweiseitige oder ungerichtete Hypothese Folie 30

31 ²-Test für 2 abhängige Stichproben Aufgrund der speziellen Prüfgröße ist beim jedoch nur eine Hypothesenrichtung relevant, da der Zähler immer größer ist als der Nenner H H 2 0 : p( ) Verwerfen der Verteilungsannahme 2 1 : p( ) bei einem noch größeren Wert Einseitige oder gerichtete Hypothese Wichtig: In die Prüfung der Hypothese h 12 = h 21 gehen wieder nur empirisch gemessene Werte ein. Folie 31 Bei der Übertragung auf die Population behilft man sich wieder mit dem inferenzstatistischen Schluss: empirisch h i hˆ i theoretisch geschätzt

32 ²-Test für 2 abhängige Stichproben Beobachtung im Experiment: h 12 und h 21 Frage: Können die Messungen aus einer Population stammen? Geht die Unterschiedlichkeit der Häufigkeiten auf einen Stichprobenfehler zurück? (1) Bestimmung der Verteilung der Zufallsvariablen (2) Festlegung d. Signifikanzniveaus α Achtung: Vorher Folie 32 (3) Berechnung der Prüfgröße ² (4) Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für dieses z unter Annahme der H 0, z. B. p( ²) (5) Vergleich von p mit α und Treffen der Signifikanzaussage immer Prüfung der Voraussetzungen! Aber: Bei dieser Aussage irrt man sich mit einer Wahrscheinlichkeit von α 100%

33 für 2 abhängige Stichproben ²-Test Voraussetzung 1: Die Messungen müssen abhängig sein. Voraussetzung 2: Die Zufallsvariablen müssen dichotom sein Voraussetzung 3: In der Kreuztabelle der beobachteten absoluten Häufigkeiten sollte h 12 + h 21 > 25 sein Folie 33

34 ²-Test χ²-test für k unabhängige Stichproben Eine weit verbreitete Vermutung in der klinischen Psychologie bezieht sich auf den Zusammenhang zwischen der Händigkeit einer Person und der Entwicklung psychischer Störungen. So sollen Linkshändige eher als Rechtshändige zu Persönlichkeitsstörungen (z.b. Schizophrenie) neigen. Eine Forschergruppe möchte diese Annahme überprüfen. Sie stellen bei 1546 Patienten einer psychiatrischen Einrichtung die Variablen Händigkeit und Primärdiagnose fest. Die Forschergruppe möchte herausfinden, ob Händigkeit und psychische Störung tatsächlich zusammenhängen. Folie 34

35 ²-Test χ²-test für k unabhängige Stichproben Ziel: Prüfung, ob die in beliebig vielen unabhängigen Gruppen beobachteten Häufigkeiten einer polytomen Zufallsvariablen aus derselben Population (mit identischer Wahrscheinlichkeitsverteilung) stammen Um zu prüfen, ob die Merkmale unabhängig voneinander sind wird der χ²-test verwendet. Weitere Beispiele: Wählen Frauen Parteien in anderen Häufigkeiten als Männer? Kommen bei endogen Depressiven andere Komorbiditäten vor als bei reaktiv Depressiven? Folie 35

36 ²-Test χ²-test für k unabhängige Stichproben Man habe folgende Kontingenztafel für die beobachteten Zufallsvariablen A und X: a 1 a 2 a k x 1 h 11 h 12 h 1k h 1 x 2 h 21 h 22 h 2 x m h m1 h m2 h mk h m h 1 h 2 h k N Folie 36

37 ²-Test χ²-test für k unabhängige Stichproben Wenn zwei Merkmale A und X unabhängig sind, beeinflusst die Ausprägung in einem Merkmal nicht die Auftretenswahrscheinlichkeiten im anderen Merkmal Unabhängigkeit zweier ZV im ²-Test meint also nichts anderes als stochastische Unabhängigkeit. Für solche Zufallsvariablen gilt der Multiplikationssatz: p( A X) pa ( ) px ( ) Ist N die Gesamtzahl der Beobachtungen, lassen sich daraus auch erwartete absolute Häufigkeiten schätzen Folie 37 ha ( ) hx ( ) ha ˆ( X ) N

38 ²-Test χ²-test für k unabhängige Stichproben Die inhaltlichen Hypothesen sind also 0 ˆ H : h A X h A X für alle Kombinationen von a i und x j 0 ˆ H : h A X h A X für mind. eine Kombination von a i und x j Es ist zu prüfen, ob die einzelnen Verbundhäufigkeiten vereinbar mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind, die bei Unabhängigkeit der Zufallsvariablen erwartet würden. Folie 38

39 ²-Test χ²-test für k unabhängige Stichproben Hier liegen eine Vielzahl von Verteilungen vor, die zur statistischen Prüfung in einer Zufallsvariable integriert werden müssen Wie beim können die zugrunde liegenden Zufallsvariablen H und Ĥ per Differenzenbildung zu einer einzigen neuen Zufallsvariablen verknüpft werden H H ˆ 1 2 Auch hier ergibt eine weitere mathematische Transformation eine neue ²-verteilte Zufallsvariable Folie 39

40 ²-Test χ²-test für k unabhängige Stichproben Der ² Test folgt exakt der bereits beim kennen gelernten Logik des Hypothesentestens 1. Voraussetzungen prüfen 2. Verteilungsannahme treffen: ²-verteilt mit den gegebenen df 3. Hypothesenrichtung festlegen und statistische Hypothesen formulieren 4. Signifikanzniveau festlegen 5. Prüfgröße ² bestimmen (diese ist eine Realisation der neuen Zufallsvariablen ) 6. Wahrscheinlichkeit für die berechnete Prüfgröße bestimmen und mit dem Signifkanzniveau vergleichen Folie 40

41 χ²-test für k unabhängige Stichproben Die Prüfgröße wird aus der km Kontingenztabelle wie folgt berechnet. ²-Test 2 m k h ˆ 2 ij hij hˆ i1 j1 ij mit h h ˆ i j ij h N Die einzelnen Terme der Prüfgröße sind also immer aufgebaut als beobachtet erwartet 2 erwartet Folie 41

42 χ²-test für k unabhängige Stichproben Die Prüfgröße wird aus der km Kontingenztabelle wie folgt berechnet. ²-Test 2 m k h ˆ 2 ij hij hˆ i1 j1 ij mit h h ˆ i j ij h N Die Prüfgröße ist χ²-verteilt, wenn in der Kontingenztabelle der beobachteten absoluten Häufigkeiten alle h ij 5 sind. Die ²-Verteilung hat df=(k-1) (m-1) Freiheitsgrade Folie 42

43 ²-Test χ²-test für k unabhängige Stichproben Beim ² Test ist wie bereits beim nur eine Hypothesenrichtung von Interesse H ˆ 0 : hij hij für alle Kombinationen i, j H : h hˆ, h hˆ für mind. eine Kombination i, j 1 ij ij ij ij Verwerfen der Verteilungsannahme bei einer zu extremen Differenz Zweiseitige oder ungerichtete Hypothese Die Hypothese umfasst also die Vergleich aller unter Unabhängigkeit geschätzten mit allen beobachteten Häufigkeiten Folie 43

44 ²-Test χ²-test für k unabhängige Stichproben Durch die spezielle Berechnung der Prüfgröße im ² Test wird daraus die Prüfung der Hypothese H H 2 0 : p( ) Verwerfen der Verteilungsannahme 2 1 : p( ) bei einem noch größeren Wert Einseitige oder gerichtete Hypothese Wichtig: In die Prüfung der Hypothese gehen erneut nur empirisch an einer Stichprobe gemessene Werte ein. Bei der Übertragung auf die Population behilft man sich wieder mit dem inferenzstatistischen Schluss: empirisch h hˆ theoretisch geschätzt Folie 44

45 ²-Test χ²-test für k unabhängige Stichproben Beobachtung im Experiment: diverse h ij Frage: Sind die Merkmale unabhängig voneinander? Gehen die Schwankungen der Häufigkeiten auf einen Stichprobenfehler zurück? (1) Bestimmung der Verteilung der Zufallsvariablen (2) Festlegung d. Signifikanzniveaus α Achtung: Vorher Folie 45 (3) Berechnung der Prüfgröße ² (4) Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für dieses z unter Annahme der H 0, z. B. p( ²) (5) Vergleich von p mit α und Treffen der Signifikanzaussage immer Prüfung der Voraussetzungen! Aber: Bei dieser Aussage irrt man sich mit einer Wahrscheinlichkeit von α 100%

46 χ²-test für k unabhängige Stichproben ²-Test Voraussetzung 1: Die Messungen müssen unabhängig sein. Voraussetzung 2: Die Zufallsvariablen müssen polytom sein Voraussetzung 3: In der Kreuztabelle der erwarteten absoluten Häufigkeiten müssen alle n ij > 5 sein Folie 46

47 Tests für k abhängige Stichproben ²-Test Sollen multinomiale Merkmale oder mehr als 2 abhängige Stichproben auf Unterschiedlichkeit geprüft werden, müssen andere Tests verwendet werden Diese Tests (u.a. Cochran-Test, Stuart-Maxwell-Test, Bhapkar-Test) haben z.t. sehr spezifische Anwendungsbereiche, sind mathematisch aufwändiger und werden daher hier nicht behandelt. Folie 47

48 Relevante Excel Funktionen CHIQU.VERT() ABS() Folie 48