Die Inzidenzalgebra, die Möbiusfunktion und -inversion und ihre Anwendung beim PIE

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1 Die Inzidenzalgebra, die Möbiusfunktion und -inversion und ihre Anwendung beim PIE Stefan Güttel 25. Juni 2003 Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 2 2 Die Inzidenzalgebra Beispiele Die Kronecker-Funktion Die Riemannsche Zetafunktion Die Nullinzidenz Algebraische Struktur Wie erhält man f 1? Die Möbiusfunktion Definition Der Produktsatz Möbiusfunktion spezieller Ordnungen Die Möbiusfunktion einer Kette Die Möbiusfunktion im BOOLEschen Verband Die Möbiusfunktion im Teilerverband Möbiusinversion und ihre Anwendung Die Möbiusinversion Das Prinzip der Inklusion-Exklusion Literatur. Tittmann, Peter: Einführung in die Kombinatorik, Spektrum Akad. Verlag, Berlin/Heidelberg,

2 1 Grundbegriffe In diesem Abschnitt sollen einige Definitionen aus dem 1. Semester Algebravorlesung wiederholt werden. Für uns interessant ist dabei die Thematik der Ordnungsrelationen. Definition. Sei P Menge und ( ) P P eine binäre Relation in P. Statt (x, y) ( ) schreibt man auch x y. (P, ) heißt (reflexive) Halbordnung, wenn gilt 1. x P : x x, 2. x, y, z P : x y y z x z, 3. x, y P : x y y x x = y. Hinweis. Im Folgenden werden reflexive Halbordnungen der Kürze wegen mit Ordnung bezeichnet. Definition. Das Produkt P Q zweier Ordnungen (P, P ) und (Q, Q ) ist die Menge aller geordneten Paare (x, y) mit x P, y Q und der Ordnungsrelation (s, t) (x, y) s P x und t Q y. Definition. Zwei Ordnungen (P, P ) und (Q, Q ) sind isomorph, wenn eine Bijektion f existiert mit x P y f(x) Q f(y). Definition. Sei (P, ) beliebige Ordnung, a, b P, a b. Dann heißt [a, b] := {x P a x b} Intervall in P. 2

3 2 Die Inzidenzalgebra In diesem Abschnitt geht es um sogenannte Inzidenzfunktionen, die auf einer Ordnung (P, ) definiert werden und charakteristische Eigenschaften haben. Definition. Sei P eine endliche Ordnung. Eine Funktion f : P P K mit x, y P : x y f(x, y) = 0 (1) heißt Inzidenzfunktion. K ist ein beliebiger Körper (meist R oder C). 2.1 Beispiele Es folgen einige Beispiele für Inzidenzfunktionen Die Kronecker-Funktion Definition. Die Kronecker-Funktion ist durch definiert (x, y P ). { 1, falls x = y; δ(x, y) = Wie wir später nachweisen werden, besitzt die Menge der Inzidenzfunktionen eine algebraische Struktur, in der die Kronecker-Inzidenz das Einselement darstellt Die Riemannsche Zetafunktion Definition. Sei (P, ) eine endliche Ordnung. Dann ist ζ : P P {0, 1} vermöge { 1, falls x y; ζ(x, y) = die Riemannsche Zetafunktion. Bemerkungen. Die Riemannsche Zetafunktion charakterisiert die Ordnungstruktur von P vollständig. Nummeriert man die Elemente von P mittels einer Bijektion n : {1, 2,...} P (Endlichkeit von P sichert deren Existenz), so kann ζ in Matrixform geschrieben werden: ζ i,j := ζ(n(i), n(j)), 1 i, j P. 3

4 Beispiel. Betrachten folgende geordnete Menge P : d b c Dann nimmt die Riemannsche Zetafunktion ζ P folgende Werte an: ζ P = a (2) Die Nummerierung der Zeilen und Spalten erfolgte in der Reihenfolge a, b, c, d Die Nullinzidenz Auch die Abbildung ν(x, y) = 0 für x, y P ist eine Inzidenzfunktion auf (P, ). Dies zeigt, dass Inzidenzfunktionen zwar auf einer Ordnung definiert sind, diese aber im Allgemeinen nur schwach charakterisieren. 2.2 Algebraische Struktur Satz 2.1 Die Menge aller Inzidenzfunktionen F(P ) über einer Ordnung (P, ) bildet eine Algebra mit den Operationen (f, g F(P ), α K) (αf)(x, y) = αf(x, y) (f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y) { (f g)(x, y) = x z y f(x, z)g(z, y), falls x y; 0 sonst, (3) die skalare Multiplikation, Addition und Produkt (Konvolution, Faltung) heißen. 4

5 Bemerkungen. (3) ist gleichbedeutend zu { (z) f(x, z)g(z, y), falls x y; (f g)(x, y) = Damit ist eine Identifikation mit dem gewohnten Matrizenprodukt möglich. Wie wir im Beweis sehen werden, ist die Bedingung 0 sonst in (3) bzw. (4) redundant, sie steht nur der Übersicht halber. Die Nullinzidenz ν ist das Nullelement (der Addition) in F(P ), die Kronecker-Funktion δ das Einselement bezüglich dem Produkt. f F(P ) heißt also invertierbar, wenn f 1 F(P ) existiert, so dass gilt f 1 f = f f 1 = δ. Beweis. Es genügt zu zeigen, dass (1) bei den Operationen gültig bleibt. Skalare Multiplikation und Addition erfüllen diese Bedingung offensichtlich. Seien weiter A, B F(P ), x y und C = A B. Angenommen z : A(x, z)b(z, y) 0, dann gilt x z z y, also auch x y (Widerspruch). Folglich ist C(x, y) = (z) A(x, z)b(z, y) = 0. (4) ( ) ( ) (x,x) (x,y) (x,y) (x,y) ( ) 0 * = (y,y) 0 { { { A B C Obige Abbildung zeigt das Schema zur Berechnung des Faltungsproduktes C zweier Inzidenzfunktionen A und B in Matrixdarstellung, wobei es sich bei dieser Ordnung um eine Kette handelt und die Nummerierung der Zeilen und Spalten der Größe der Elemente nach erfolgte (im allgemeinen Fall sieht die Partitionierung der Matrizen weit komplizierter aus). Um C x,y (x y) zu berechnen, denkt man sich die in der Abbildung grau dargestellten Vektoren a i = A x,i bzw. b i = A i,y (i = x,..., y). Dann gilt C x,y = a b (Skalarprodukt). Da A und B obere -Matrizen sind, ist auch C eine obere -Matrix. 5

6 2.3 Wie erhält man f 1? Aus f 1 (x, x)f(x, x) = δ(x, x) = 1 folgt f 1 (x, x) = 1 f(x, x). (5) Deshalb existiert die Inverse zu f nur, wenn f(x, x) 0 für x. Für x < y folgt mit (f 1 f)(x, y) = x z y f 1 (x, z)f(z, y) = δ(x, y) = 0 (6) die rekursive Formel (Abspalten des letzten Summanden) f 1 (x, y) = 1 f(y, y) x z<y f 1 (x, z)f(z, y). (7) Bemerkung. Natürlich könnte man die Ordnungen einfach in Matrixform darstellen und dann invertieren. Das ist aber umständlich, da man sich so nicht die besondere Struktur von Inzidenzfunktionen zu Nutze macht und auf Nulleinträgen operiert. 3 Die Möbiusfunktion 3.1 Definition Definition. Die Möbiusfunktion µ ist die Inverse zur Riemannschen Zetafunktion ζ, d.h. µ ζ = ζ µ = δ. Da ζ durch die Ordnung P eindeutig bestimmt ist, ist auch µ eindeutig bestimmt (wenn existent). Aus den Gleichungen (5) - (7) erhält man leicht 1, falls x = y; µ(x, y) = x z<y µ(x, z), falls x < y; (8) Beispiel. Die Möbiusfunktion zu (2) ist µ P =

7 3.2 Der Produktsatz Die besondere Bedeutung der Möbiusfunktion begründet sich hauptsächlich mit der Gültigkeit des Produktsatzes, der besagt, dass sich die Möbiusfunktion einer Produktordnung P Q als Produkt der Möbiusfunktionen der Ausgangsordnungen (P, ) und (Q, ) darstellen lässt, d.h. Satz 3.1 µ P Q ((r, x), (s, y)) = µ P (r, s)µ Q (x, y). Beweis. Literatur. Beispiel. P Q PxQ (d,y) d y (b,y) (d,x) b c x = x (b,x) (a,y) a (a,x) (c,y) (c,x) Die Abbildung zeigt das Produkt der Ordnung P, wie sie schon bei (2) verwendet wurde, mit der Ordnung Q. Wir erhalten (Nummerierung: x, y) So gilt zum Beispiel µ Q = ( ). µ P Q ((a, y), (d, x)) = µ P (a, d)µ Q (y, x) = 1 0 = Möbiusfunktion spezieller Ordnungen Die Möbiusfunktion einer Kette Satz 3.2 Die Möbiusfunktion µ einer Kette x 1 < x 2 <... < x n lautet 1, falls x i = x j ; µ(x i, x j ) = 1, falls x i x j ; 7

8 Beweis. Fälle x i = x j und x i x j ergeben sich aus Definition (8). Für x i x j gilt µ(x i, x j ) = x i z<x j µ(x i, z) = µ(x i, x i ) = 1. Für x i x j und (x i x j ) (x j ist größer als x i, aber kein Nachfolger) ergibt sich µ(x i, x j ) = x i z<x j µ(x i, z) = (1 + ( 1) ) = 0. Bemerkung. In Matrixschreibweise ist µ = tridiag(0, 1, 1). Die geordnete Menge Q = {x, y} aus vorigem Kapitel ist ein Beispiel für eine zweielementige Kette Die Möbiusfunktion im BOOLEschen Verband Satz 3.3 Betrachten A, B P, (P, ) boolesch (z.b. Teilmengenverband). Dann gilt { ( 1) µ(a, B) = B A, A B; Beweis. Ist A B folgt µ(a, B) = 0 laut Defintion (8). Gilt A B dann betrachten wir ein Intervall I = [A, B]. I ist isomorph zu J = [, C := B \ A] (trivial, Isomorphismus f : I X X \ A J). Wir nummerieren die Elemente von C = {c 1, c 2,..., c n }, wobei n = C = B \ A = B A. Wegen { g : J J (b 1, b 2,..., b n ) B n 1, ci J;, b i = 0 sonst, ist J isomorph zu B n = ({0, 1} n, ). Speziell gilt g( ) = (0, 0,..., 0) und g(c) = (1, 1,..., 1). Wir erhalten somit µ(a, B) = µ(, C) = µ((0, 0,..., 0), (1, 1,..., 1)) und mit dem Produktsatz und der Tatsache, dass µ B1 (0, 1) = 1 (vgl. Satz 3.2) folgt letztendlich µ(a, B) = µ(0, 1)µ(0, 1)...µ(0, 1) = ( 1) n. 8

9 Abbildung. Die untenstehende Grafik zeigt zwei isomorphe Ordnungen, nämlich das Intervall [{a}, {a, b, d}] und den B 3. {a,b,c,d} {a,b,c} {a,b,d} {a,c,d}... (1,1,1) {a,b} {a,c} {a,d}... (1,1,0) {a,c} (1,0,1) {a} {b} {c} {d} (1,0,0) Die Möbiusfunktion im Teilerverband Analog zum BOOLEschen Verband kann man die Elemente im Teilerverband T n als Produkte von Ketten der Form (1 < p i < p 2 i <... < p k i i ) (9) darstellen, wobei p i die verschiedenen Primfaktoren (Anzahl m) von n durchlaufen. Die Produktordnung besteht dann aus Vektoren der Form (p d 1 1, pd 2 2,..., pdm (d i N), wobei eine Zahl T n z = p d 1 1 pd pdm m durch das Produkt der Komponenten dargestellt ist. Offensichtlich gilt für die Kette (9) 1, falls j = k; µ K (p j i, pk i ) = 1, falls k = j + 1; Daraus folgt für die Produktordnung, dass sich die Anzahl der Primfaktoren p i zweier Zahlen x, y T n nur um maximal 1 unterscheiden kann, wenn der alternierende Faktor (-1) erhalten bleibt, d.h. dass y x nur einfache Primfaktoren hat. Damit erhalten wir also 1, falls x = y; µ Tn (x, y) = ( 1) k, falls y x Produkt von k versch. Primfaktoren ist; m ) 9

10 4 Möbiusinversion und ihre Anwendung 4.1 Die Möbiusinversion Satz 4.1 Sei (P, ) endliche Ordnung, f, g : P C mit g(x) = y x f(y) x P. (10) Dann und nur dann gilt f(x) = y x g(y)µ(y, x). (11) Diese Beziehung heißt Möbiusinversion (von unten). Bemerkung. Gültigkeit des Satzes bleibt erhalten, wenn man in (10) und (11) und µ(y, x) µ(x, y) austauscht. Diese Beziehung heißt Möbiusinversion von oben. Beweis. f(x) = f(z)δ(z, x) = f(z)ζ(z, y)µ(y, x) z P y x z P = f(z)µ(y, x) = g(y)µ(y, x). y x z y y x 4.2 Das Prinzip der Inklusion-Exklusion Betrachten eine Menge B = {b 1, b 2,..., b n } mit n logischen Aussageformen b i (x) über Elemente x M, M beliebig. Unter Voraussetzung der Gültigkeit einzelner b i wird jeweils eine Teilmenge N M erzeugt. Wir schreiben die Bedingungen so, dass sie einen booleschen 0-1-Verband B n bilden: B n a = (b 1, b 2,..., b n) mit b i = 1, genau dann wenn b i erfüllt ist; sonst b i = 0. (B n, ) ist isomorph zu einem Teilmengenverband (P(M), ). Sei m = (a) die Mächtigkeit der von a erzeugten Teilmenge von M, also die Anzahl der Elemente von M, die genau die Bedingungen a erfüllen und sonst keine. Außerdem bezeichne m (a) bzw. m (a) die Mächtigkeit der Teilmengen von M, deren Elemente mindestens bzw. höchstens die Eigenschaften a erfüllen. Offensichtlich ist dann m (a) = a a m = (a ) bzw. m (a) = a a m = (a ). 10

11 Mit Satz 3.3 und 4.1 folgt (Möbiusinversion von oben): m (a) = a a m = (a ) m = (a) = a a( 1) a a m (a ). (12) a ist dabei die Anzahl der erfüllten Bedingungen in a. Vertauscht man in (12), so erhält man die analoge Beziehung für die Möbiusinversion von unten. Beispiel. Wir wollen das Prinzip der Inklusion-Exklusion an einem konkreten Beispiel nachvollziehen. Gesucht ist die Anzahl der Zahlen zwischen 1 und 1000 (einschließlich), die weder durch 2 noch 3 noch durch 5 teilbar sind. Wir haben es also mit n = 3 Bedingungen b i zu tun: b 1 (x)... 2 x, b 2 (x)... 3 x und b 3 (x)... 5 x. Beachtet man, dass jede zweite Zahl durch 2 teilbar ist, so erhält man leicht m ( 2 x ) = m ((1, 0, 0)) = [ ] = 500. Außerdem ist eine Zahl durch 2 und durch 3 teilbar, wenn sie durch 6 teilbar ist: m ((1, 1, 0)) = [ ] = 166, usw. (1,1,1) 33 (1,1,0) 166 (1,0,1) 100 (0,1,1) 66 (1,0,0) 500 (0,1,0) 333 (0,0,1) 200 (0,0,0) 1000 Mit (12) ergibt sich m = ((0, 0, 0)) = ( 1) a m (a ) a (0,0,0)( 1) a (0,0,0) m (a ) = (a ) = = 266. Wir erhalten also, dass 266 Zahlen zwischen 1 und 1000 weder durch 2 noch 3 noch durch 5 teilbar sind. 11