Lösungsvorschlag zum Übungsblatt Nr.1

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1 Lösungsvorschlag um Übungsblatt Nr.1 Aufgabe 1 Ist dω integrabel, gibt es ein otential h, mit dh = d + d = dω, 1 und aus der Integrabilitätsbedingung folgt darüber hinaus, dass für h, der charsche at gilt, dass also die beiden partiellen Ableitungen beüglich und vertauschen: =. 2 Die letten beiden Gleichungen sind sehr ichtig in der phänomenologischen Thermodnamik, folgen aus ihnen nämlich ahlreiche Beiehungen ischen thermodnamischen Größen Maell-Relationen. Hinter dω steckt im rinip nichts anderes als folgender Ausdruck: dω = fr dr = f, g, d d. 3 Eine Integration über und ist nichts anderes als die Wegintegration über ein ektorfeld fr, die ir schon aus Theorie A kennen: fr dr = frt ṙt dt, 4 C obei t der entsprechende arameter der Kurve C ist. Die Integrabilitätsbedingung aus der Aufgabe ist nichts anderes als die notendige Bedingung v = verschindende Rotation eines ektorfeldes v für die Eisten eines skalaren otentials. Da ir in ei Dimensionen rechnen, handelt es sich nur um die dritte Komponente des Kreuprodukts v = v v v v =. 5 v v Ist dω integrabel und eistiert damit ein otential h,, so beeichnet man ω auch als Zustandsfunktion. Werte von Zustandsfunktionen hängen nicht vom geählten Integrationseg ab, sondern nur von Anfangsund Endpunkt des Weges. Zustandsfunktionen in der Thermodnamik sind beispielseise die innere Energie U oder die Entropie. Keine Zustandsfunktionen sind die Wärmemenge δq oder die geleistete Arbeit δ; diese hängen nämlich vom Weg ab siehe Carnotscher Kreisproess. a. Wir erten uerst die Integrabilitätsbedingung aus: g = 2 2, = 2 2, 6 omit also egen = g, 7 dω integrabel ist. Weiterhin gilt nun: = f, = h, = C. 8

2 Durch Integration beüglich ergibt sich eine usätliche Integrationskonstante, die jedoch von abhängen kann. Diese Integrationskonstante ist esentlich für die Bestimmung von h,. Berechnen ir nun die Ableitung nach : = C =! g, = C = 2 C = C, 9 also erhalten ir: h, = C. 1 Es gibt auch noch eine Alternative ur Bestimmung des otentials h. Da die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, issen ir, dass ω eine Zustandsfunktion ist. Das otential erhält man dann über Integration entlang eines beliebigen Weges, obei man den Weg geschicktereise einfach ählt. Wir entscheiden uns für die Wahl rt = t, ṙt = t, t [, 1]. 11 Berechnet ird dann, obei die Rechnung als Übung nachvollogen erden kann ;- h, = f t, t g t, t dt = [f t, t +g t, t ] dt = C. 12 Man kommt somit auf dasselbe Ergebnis. Die Wegunabhängigkeit bei der Integration erkennt man an folgendem Beispiel. Wir integrieren entlang der eitenlinien eines Quadrats von, bis 1, 1. Dau ählen ir: Weg 1: on, nach 1, entlang der -Achse, von 1, nach 1,1 entlang der -Achse Weg 2: on, nach,1 entlang der -Achse, von,1 nach 1,1 entlang der -Achse Die Berechnungen können erneut als Übung durchgeführt erden :- Zuerst um Weg 1: I 1 = f, d + Und nun um Weg 2: I 2 = g, d + g1, d = f, 1 d = Man erhält also dasselbe Ergebnis. iel einfacher gestaltet sich die Rechnung, sofern man das otential h, ausnutt: I = h1, 1 h, = 2 3, 15 völlig ohne Integration. Man erkennt also den orteil von Zustandsfunktionen! b. Auch hier überprüfen ir uerst die Integrabilitätsbedingung: g = 1, = 1, also ist egen g,

3 die Integrabilität nicht geährleistet. Es eistiert jedoch ein integrierender Faktor α,, so dass α, dω integrierbar ist. Wir machen für α, den Ansat α, = A + B mit u bestimmenden Konstanten A und B. Damit muss nun gelten: = α, f, = A + B3 + = 3A 2 + A + 3B + B 2, 18 also h, = A A + 3B2 + B 2 + C. 19 Weiterhin gilt dann: = 1 2 A + 3B2 + 2B + C =! α, g, = A + B 3 = = A 2 3A + B 3B 2. 2 Wir lösen die lette Gleichung nach C auf: C = 3 2 A + B2 3A + B 3B C darf natürlich nur von, aber nicht von abhängen. Aus dieser Tatsache ergibt sich die Bedingung A = B. Eine eitere Bedingung gibt es nicht und damit kann eine der beiden Konstanten frei geählt erden. Wir seten der Einfachheit halber A = 1 und somit ist der integrierende Faktor gegeben durch α, =. Damit gilt eiter C = B 3 + C = 3 + C und somit: h, = C. 22 Aufgabe 2 a. Wir gehen aus von der Funktion U, obei entlang der -Achse und U entlang der -Achse aufgetragen ird. Die Tangente an einem unkt, U soll betrachtet erden. Deren teigung ist gegeben durch T = U/, odurch also eine Funktion T definiert ird. Dies bedeutet nichts anderes als dass die teigung von abhängt. Diese Funktion T lässt sich umkehren und es folgt hieraus die Funktion T. Damit hängt der unkt, in dem ir die Tangente betrachten, selbst von T ab und lautet T, UT. Die unkt- teigungsform liefert die ugehörige Geradengleichung: U = du T + UT = T T + UT. 23 d Der U-Achsenabschnitt F folgt mit = und gibt uns die freie Energie: F T = UT T T. 24 Bilden ir das totale Differential von F T beüglich T : also df = U dt dt T dt = T dt dt T dt = dt, 25 df T = T dt. 26 b. Wir betrachten unächst das totale Differential von U = U, : du = U d + U d = T, d, d, 27 3

4 mit den angegebenen Definitionen U, T, U, =. 28 hänomenologisch sind beide Terme ie folgt u begründen. Nach dem ersten Hauptsat der Thermodnamik sett sich die Änderung der inneren Energie U aus der Änderung der Wärmemenge δq und der geleisteten Arbeit δ usammen: du = δq + δ. 29 q und sind nicht integrabel siehe Aufgabe 1, daher keine Zustandsfunktionen und hängen vom jeeiligen Weg ab. Deshalb besiten sie kein totales Differential und man beeichnet kleine Änderungen mit dem Buchstaben δ. Die Entropie als Maß der Unordnung ist definiert über: d = δq T. 3 Diese Definition ist phänomenologisch sinnvoll, eil die Änderung der Unordnung eines thermodnamischen stems also der Entropieänderung d beispielseise eine Gases mit der u- oder abgeführten Wärmemenge δq u- oder abnimmt und dies umso stärker, je niedriger die Temperatur ist. Deshalb besteht eine umgekehrte roportionalität ischen der Entropieänderung d und der Temperatur T. omit lässt sich der erste Anteil von du schreiben als δq = T d. Mit steigendem nimmt auch die innere Energie U u und umgekehrt, deshalb das positive oreichen vor dem Term. Der eite Anteil δ entspricht der geleisteten Arbeit, beispielseise enn sich das olumen eines Gas bei einem bestimmten Druck infinitesimal ändert. Diese Änderung ist δ = d olumenarbeit. Im Gegensat um ersten Term nimmt die innere Energie ab, enn das Gas Arbeit leistet und sein olumen vergrößert. Dies ist phänomenologisch der Grund, eshalb man den eiten Term mit einem Minuseichen schreibt. Es sei unächst konstant. Dann können ir die Legendretransformation einfach aus Aufgabenteil a abschreiben, obei nur eine usätliche -Abhängigkeit bei den Funktionen u berücksichtigen ist: F T, = UT,, T, T, 31 und das totale Differential lautet: df = F dt + F d = U T {{ T + dt =T { U dt + {{ T = + U T {{ = d T d = T, dt T,, d. 32 T Wir betrachten unächst Aufgabenteil a mit der Funktion U = U. Die teigung definieren ir über = U /. Damit gilt für den Achsenabschnitt H in diesem Falle: H = H = U Das unterschiedliche oreichen beim eiten Term kommt vom usätlichen oreichen, das ir in die Definition der Ableitung gebracht haben. Übertragen ir dies nun auf die eidimensionale Funktion in Aufgabenteil b, so muss noch eine usätliche -Abhängigkeit berücksichtigt erden: H, = U,, +,. 34 Nun um vollständigen Differential: dh = H d + H { U d = + U {{ {{ =T = + { d + + Zur hänomenologie der definierten Größen: d + U {{ = d d = T,, d +, d. 35 4

5 1. Die innere Energie U eines thermodnamischen stems sett sich aus der ugeführten Wärmemenge und der geleisteten Arbeit usammen. Unter der inneren Energie eines Gases kann man sich anschaulich die Energie der Atome b. Moleküle vorstellen, die auf den kinetischen Anteil, Rotationsanteil und chinungsanteil verteilt ist. Die Beschreibung eines stems durch dessen innere Energie ist insbesonders bei konstantem olumen sinnvoll. Dann entspricht nämlich die Änderung der inneren Energie der ugeführten Wärmemenge. Man kann eine Wärmekapaität bei konstantem olumen definieren über: C = U. Die Wärmekapaität sagt aus, ie sich die innere Energie bei Temperaturänderung verhält. 2. Die Enthalpie H ist eine Größe, die man sinnvollereise bei konstantem Druck verendet. Dann ist die Enthalpieänderung eines stems ein Maß für die ugeführte Wärmemenge. Man kann damit eine Wärmekapaität bei konstantem Druck definieren: C = H. 3. F nennt man auch freie Energie Helmholt-Energie. Die freie Energie benötigt man ur Untersuchung von Zustandsänderungen. Eine Zustandsänderung bei konstanter Temperatur und konstantem olumen verläuft dann freiillig, enn sich die freie Energie dabei verringert. Zustandsänderung, die eine Erhöhung der Entropie mit sich bringen, laufen bevorugt ab. 4. Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung in einem thermodnamischen stem. Die Entropie eines Gases unter seinem Gefrierpunkt ist beispielseise geringer als die bei hohen Temperaturen, eil die Atome oder Moleküle dann auf einem geordneten Gitter siten. Die Entropie ird sicher nicht verschinden, da sich beim Abkühlen immer Fehlstellen im Gitter einschleichen. Die Entropie eines perfekten Gitters, das sich über den ganen Raum erstreckt, ist gleich Null. Aufgabe 3 a. iehe Musterlösung :- b. Die erste Beiehung folgt aus dem at der lokalen Umkehrbarbeit von Funktionen. Für die eite Beiehung betrachten ir das totale Differential für φ: dφ = φ d + φ d. 38 Leiten ir nun diesen Ausdruck nach ab bei konstantem φ, so gilt egen dφ = : = φ + φ φ = φ φ φ c. Wir lösen F,, nach auf und betrachten also, als unabhängige ariablen. Wir schreiben das totale Differential von =, auf: d = d + d. 4 Das totale Differential für =, lautet: d = d + d. 41 5

6 Wir seten in, die Funktion =, ein. Dies führt dau, dass nun indirekt von abhängt. omit gilt für das totale Differential: { d = + d + d = d + d. 42 Durch direkten ergleich von beiden eiten der letten Gleichung 42 ergibt sich: = Wir benötigen eine eitere solche Gleichung. Dau lösen ir F,, = nach auf, betrachten also die ariablen und als voneinander unabhängig. Das totale Differential von =, lautet: d = d + d. 44 Kommen ir um totalen Differential von =,, : { d = + d + d = d + d. 45 Durch ergleich der linken mit der rechten eite von 45 gilt: = +. Lösen ir 46 nach / auf =, und seten dies in 43 ein: = + = +, 48 also erhalten ir die erste der beiden u eigenden Gleichungen: =. Wir lösen nun die Funktion =, nach auf und betrachten =, : d = d + d Lösen ir F,, = nach auf, so können ir in Abhängigkeit von =, und betrachten und somit lautet das totale Differential: d = d + d. 51 eten ir 51 in 5 ein, so gilt: d = d + d = d + { d + d = = d + d + d. 52 =