Drehen und Rollen. Roter Faden Physik. 3. Auflage. Mit Aufgaben und Lösungen. Dr. Ortwin Fromm. Evangelische Schule Frohnau, Berlin

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1 ote Faden Physik Dehen und ollen 3 uflage it ufgaben und Lösungen on D Otwin Fo Eangelische chule Fohnau, elin Copyight, Otwin Fo fo@e-fohnaude

2 ) De stae Köpe und seine ewegungsöglichkeiten ) De stae Köpe In de klassisch-echanischen odellostellung denkt an sich jeden ealen Köpe zusaengesetzt aus assepunkten (Ps) In defoiebaen festen Köpen, wie auch in Flüssigkeiten und Gasen, sind die assepunkte gegeneinande beweglich ei staen Köpe sind die elatien Lagen seine N assepunkte gegenseitig fixiet De stae Köpe stellt eine Idealisieung da ) Feiheitsgade de ewegung eines fei i aue beweglichen staen Köpes Ein feie assepunkt kann sich in den dei unabhängigen auichtungen x, y, z bewegen Deshalb scheibt an ih f =3 Feiheitsgade zu Ein yste aus N fei beweglichen assepunkten hat soit f = N 3 Feiheitsgade etzt weden die Ps unteeinande sta ekoppelt: Das liefet iele Nebenbedingungen (Ns), welche f inden Zunächst eint an, alle gegenseitigen Vekopplungen abzählen zu üssen Das wäen ( N ) + ( N ) = ( N ) N / Ns ei z N = 0 Ps hätte an 45 Ns, sodass die nzahl de ebleibenden Feiheitsgade f = = 5 negati wäe, was Unsinn ist Die Ns üssen also andes abgezählt weden: Zunächst ekoppelt an dei nicht auf eine Geade liegende Ps und ebindet diese zu eine staen Deieck Die eitenlängen dieses Gunddeieckes liefen 3 Ns etzt weden die übigen N-3 Ps chitt fü chitt an das Gunddeieck ontiet, inde jeweils dei tangen zu den Ecken dieses Deieckes gesetzt weden Duch dei tangen sitzt jede weiteen P fest a Gunddeieck Das liefet weitee ( N 3) 3 Ns Zusaen hat an also 3 + ( N 3) 3 = N 3 6 Ns oit besitzt jede stae Köpe, unabhängig on de nzahl N seine Ps stets genau f = N 3 ( N 3 6) = 6 Feiheitsgade Diese sechs ebleibenden Feiheitsgade lassen sich in zwei Guppen zu je deien zusaenfassen 3) innolle Guppieung de ebleibenden sechs Feiheitsgade ä ä eien F, F, die äußeen Käfte, welche auf die Ps wiken und F i, k die inneen Käfte, welche zwischen den Ps wiken etachte nun die N Newton schen Gleichungen fü sätliche Ps, addiee sie und guppiee die uanden u: ä a = F = F + F + F + F + + F, Ges,,3,4, N a = F = F + F + F + F + + F ä, Ges,,3,4, N ä N an = FN, Ges = FN + FN, + FN, + FN,3 + + FN, N a + a + + a = F + F + + F + ( F + F ) + ( F + F ) + ( F + F ) + ä ä ä N N N,,,3 3,,4 4, Die inneen Käfte heben sich abe paaweise auf, denn wegen des 3 Newton schen xios (actio = eactio) gilt z F, = F, usw Desweiteen gilt ai = ɺ i = ɺɺ xi ; i, so als ( x + x + + x ) dass a a N an N N ii geschieben weden kann ä ä ä ä ii ä it F + F + + FN = FGes folgt dahe ( x + x + + N xn ) = FGes Nun kennen wi die chwepunktkoodinate ( ) Einsetzen egibt ɺɺ x = F ä Ges Ges x = x + x + + N xn / Ges (chwepunktsatz) De chwepunkt eines feien staen Köpes bewegt sich wie ein einzelne assepunkt eine Tanslationsbewegung nit soit dei Feiheitsgade auf Dait sind nu noch dei ebleibende Feiheitsgade physikalisch zu deuten ie entpuppen sich otation- Feiheitsgade alle Ps u eine chwepunktachse Tanslation des chwepunktes

3 4) otation, Zusaenfassung, ussicht Die feie ewegung eines staen Köpes ist die Übelageung eine z ω Tanslation des chwepunktes (3FG) und eine otation u eine chwepunktachse Die äuliche Oientieung de Dehachse efodet zwei Winkelangaben, eine weitee ngabe wid fü die Dehgeschwindigkeit gebaucht Die Dehbewegung bindet also auch 3FG s ϑ Zwangsbedingungen eöglichen auch Dehungen u andee chsen y ei schlupffeien ollen sind otation und Tanslation fest ekoppelt ϕ x ) otation u eine aufeste chse Die aufeste chse sei z, die Dehbewegung alle Ps efolgt dann zu x y - Ebene ) Die escheibungsgößen de Dehbewegung entspechen denen de lineaen ewegung Lin ewegung Ot x Geschw = xɺ eschleunigung a =ɺɺ x Dehbewegung Winkel ϕ Winkelgeschw ω = ɺ ϕ Winkelbeschleunigung α =ɺɺ ϕ Ein P de asse dehe sich it staen bstand u den chwepunkt Die Dehbewegung wid duch den eändelichen Winkel ϕ( t) beschieben ϕ wid i ogenaß (D) geessen Die Winkelgeschwindigkeit ω ist dann die este bleitung on ϕ bzgl t ω =ɺ ϕ Wähend de Dehung legt de P das ogenstück s = ϕ zuück Dahe folgt = sɺ = ɺ ϕ bzw = ω ei konstante Winkelgeschwindigkeit gilt ω = π /T bzw ω = π f Ändet sich die Winkelgeschw, so ist die Winkelbeschleunigung α =ɺɺ ϕ ungleich null ) Tägheits- und ewegungsgesetz de Dehbewegung, Dehoent F ei de lineaen ewegung ebleibt ein P i Zustand seine ewegung, dh e bleibt in uhe ode behält seine Ge- F schwindigkeit bei, wenn die esultieende Kaft null ist nalog fagt an sich, unte welchen edingungen otieende Ps ihe Winkelposition beibehalten, bzw it konstante Winkelgeschwindigkeit weite otieen Die ntwot liefet das Hebelgesetz : Falls Kafta Kaft + Kafta Kaft = 0, efolgt keine Winkelbeschleunigung Das Podukt = Kafta Kaft heißt Dehoent: = F Das Tägheitsgesetz de Dehbewegung lautet dahe: Ein Köpe ebleibt i Zustand seine otation, dh, e behält seinen Winkel bei, bzw otiet it konstante Winkelgeschwindigkeit weite, wenn das esultieende Dehoent null ist 3) Dehoent, Dehipuls L und Tägheitsoent De usduck fü das Dehoent = F wid nun ittels F = a ugeschieben: = F = a = ɺ = ( ω) = ɺ ω = α i Eine nalogiebetachtung zeigt, dass de de usduck ( ) de asse entspicht Kaft ( F) = asse( ) eschleunigung a = ɺɺ x α = ɺɺ ϕ Dehoent ( ) = ( ) Winkelbeschleunigung De usduck bekot einen eigenen Naen: Tägheitsoent: = Fü einen staen Köpe it ielen otieende Ps gilt = ( t ) ϕ ( t) N N s x nalog zu F = ɺɺ x lautet das Dehoentgesetz soit = ɺɺ ϕ 3

4 Das Podukt asse Geschwindigkeit heißt Ipuls p nalog dazu wid auch Tägheitsoent Winkelgeschwindigkeit zu Dehipuls L zusaengefasst nalog zu cheibweise F = pɺ lautet das Dehoentgesetz dait = L ɺ Das Tägheitsgesetz de Dehbewegung eallgeeinet sich soit: Ist das esultieende Dehoent gleich null, so bleibt de Dehipuls L ehalten Ist das Dehoent ungleich null, so ändet sich de Dehipuls entspechend 4) eechnung on Tägheitsoenten spezielle Köpe a) echteck it gleichen assen auf den Ecken Die bstandsquadate o Dehpunkt zu den assen betagen jeweils a / 4 + b / 4 Dait egibt b = 4 a / 4 + b / 4 = a + b a sich ( ) ( ) b) Hoogene Hohlzylinde Die uation wid nun duch Integation ollzogen: I aiablen bstand, it, befindet das Voluen V h π Dieses ist gleichäßig it asse de Dichte ρ belegt Dait otiet die asse ρ h π i bstand u die chse Lies 0 esetzt uation duch Integation: 3 ( ) ( ) = d = ρ h π d = ρ h π d = ρ h π = ρ h π ( ) = 4 4 = ρ h π ( )( + ) Die asse egibt sich aus = ρ Gundfläche Höhe, = ρ ( π π ) h Einsetzen liefet die allgeeine Foel = ( + ) c) Vollzylinde: = ; = 0 = bzw oll = d) Kugel it adius und Dichte ρ : Das Dehoent de Kugel egibt sich aus de ue de Dehoente seine einzelnen Vollzylindescheiben Die uation wid wiede duch Integation ollzogen: x d ρ = d = d ρ dv ( π ) dx = = dx ρπ 4 ρπ ρπ 4 4 = dx ( x ) dx ( x x ) dx = = ρπ ρπ ρπ 6 = x x x = + = Die Kugelasse betägt = ρ V = ρ π Dait folgt Kugel = 3 5 h

5 5) Übeblick: Tägheitsoente ollköpe / eibungsfeies Gleiten ohne Dehung Typ Zylindehaut Halbzylinde Vollzylinde Kugel Gleiten 5 = = = = = k = 5 / 8 = 0,65 / = 0,5 / 5 = 0,4 0 Die Tägheitsoente de untesuchten Köpe haben alle die Fo = k 6) teinesche atz: Veschiebung de Dehachse Einfachheitshalbe betachten wi on eine staen Köpe nu dei Ps Diese otieen zunächst u eine chwepunktachse, bzgl dee das Tägheitsoent = + + lautet Nun wid die,, 3 3, Dehachse duch äußeen Zwang paallel eschoben, sodass sie duch eläuft zgl de neuen chse gilt dann = + +,, 3 3, Den Zusaenhang zwischen und beechnen wi it Hilfe de Vektoechnung Es gilt, =, d,, =, d und 3, = 3, d Dies wid eingesetzt: = (, d ) + (, d ) + 3 ( 3, d ) ( ) ( ) ( =,, d + d +,, d + d + 3 3, 3, d + d ) = + + d d + + (,, 3 3, ) (,, 3 3, ) ( 3 ) Die este Klae ist Die zweite Klae ist null, denn de Te beechnet den chwepunkt o chwepunkt aus In de ditten Klae steht die Gesatasse Egebnis: = + d Dabei ist = k die Gesatasse des Köpes d,, Wichtig wid de teinesche atz bei ollen eines Köpes: ollen ist Dehen u die zu Köpeachse paallele bollachse duch den eühpunkt auf de Untelage (s D) 3 Kinetische Enegie de otationsbewegung lle Ps otieen it degleichen Winkelgeschwindigkeit ω Fü die nebenstehende kizze egibt sich soit Wot = = ( ω ) + ( ω) + 3( 3ω) Wot = + + ω = k k ω = ω bzw ( 3 3 ) Die Klae ist geade das Gesattägheitsoent, also : W 3 3 ot = ω 3 5

6 7) Zusaenfassende Vegleich on Tanslations- und otationsbewegung Tanslation otation tecke x( t ) x = ϕ Winkel ϕ ( t) Geschwindigkeit ( t) =ɺ s( t) = ω Winkelgeschwindigkeit ω( t) =ɺ ϕ( t) eschleunigung a( t) = ɺ ( t) = ɺɺ s( t) a = α Winkelbeschleunigung α( t) = ɺ ω( t) = ɺɺ ϕ( t) asse Tägheitsoent = + Ipuls p = Dehipuls L = ω Kaft F =ɺ p = L Dehoent bzw F = a bzw = α WTans = Kinetische Enegie otationsenegie Wot = ω C) äuliche Dehung (Keiselbewegung) ) Dehipuls als ektoielle Göße Die ichtung des Dehipulsektos egibt sich aus de Kokenziehe-egel de echten Hand: Vie Finge folgen de Dehbewegung, de Dauen liefet die L -ichtung an ehält die L -ichtung auch ittels des Keuzpodukt de Vektoechnung : L = ) Keuzpodukt de Vektoechnung Die ichtungen i Keuzpodukt c = a b egeben aus de Dei-Finge-egel de echten Hand: Dauen a ; Zeigefinge b De ittelfinge liefet c 3) Dehoent als ektoielle Göße De Dehoentekto egibt sich ebenfalls aus eine Keuzpodukt = F lso: Dauen ; Zeigefinge F ittelfinge In bb ) wikt die Kaft F längs de Keiseldehung Deshalb ist paallel zu L Die ichtung on L bleibt ehalten, nu de etag nit zu Das ad deht sich schnelle, die Dehachse bleibt ehalten In bb ) wikt die Kaft F nach unten Daduch zeigt in Laufichtung nach schäg hinten L zeigt also auch nach schäg hinten, sodass de Dehipuls L entspechend kippt De Keisel weicht also echtwinklig zu wikenden Kaft aus In bb 3) geift die Kaft F an de chse an und wikt nach schäg one zeigt dann echtwinklig dazu nach schäg hinten Daduch eändet sich L ebenfalls in diese ichtung, sodass chse und Dehebene wiede kippen De Keisel weicht also wiede echtwinklig zu wikenden Kaft aus L bb ) L L Tanslationsenegie Dauen ittelfinge L bb ) Zeigefinge L L F F F L bb 3) 6

7 D) chlupffeies ollen us icht ei schlupffeien ollen uht de jeweilige eühpunkt on ω auf de Untegund De chwepunkt bewege sich it de bewegt sich it Geschwindigkeit nach echts us icht on bewegt sich nach links de Punkt dann it de Geschwindigkeit nach links Dahe stien die Dehgeschwindigkeit = ω on und die chwepunktsgeschwindigkeit übeein: = ω Gleitet das ad duch chlupf bei esen ode nfahen, so gilt diese Gleichung nicht Die gesate kinetische Enegie de ollbewegung ehält an ) entwede duch ddition on Tanslations- und otationsenegie W oll ist dann also die ue on zwei kinetischen Enegien: Woll = WTans + Wot Fü die Dehoente de untesuchten ollköpe galt = k, s 5) Daaus folgt W ( ) ( ) oll = + ω = + k ω = + k = + k lso Woll = ( + k ) De usduck ( k ) ) ode it Hilfe des atzes on teine: an kann die ollbewegung auch als einfache Dehung ohne Tanslation intepetieen Die Dehung efolgt dann fü alle Köpepunkte zu jede Zeitpunkt u den jeweiligen eühpunkt Das Tägheitsoent u die chse duch ehält an aus de Tägheitsoent u + heißt ollesatzasse die chse duch it Hilfe des atzes on teine: = + Dieses Tägheitsoent in die Foel de otationsenegie einsetzen: Woll = Wot, = ω = ( + ) ω = ( k + ) ω = ( k + ) ω eide etachtungsweisen liefen also dasselbe Egebnis fü W 3) bollen eines ollköpes auf de schiefen Ebene Es gibt zwei ten, das bollen zu betachten (siehe ufg 4) Hie soll die Dehbewegung u den jeweiligen eühpunkt und de atz on teine ewendet weden De Hebela (Dauen, echte Hand) zeigt o Dehpunkt zu chwepunkt auf de Köpeachse (Dauen in ichtung de -Koponente zu F g halten) In geift die Kaft F g (Zeigefinge) an De ittelfinge liefet dann die ichtung des Dehoentes ; es zeigt in die Papieebene, sodass die echte-kokenziehe-egel den negatien Dehsinn liefet Wähend des bollens bleiben die Dehachse und paallel, sodass die etagsgleichung on = F g = L ɺ eicht: g sin = ɺɺ ϕ Gesucht ist die Tanslationsbeschleunigung a längs de schiefen Ebene Einsetzen on ɺɺ ϕ = a / und teine-atz = + = k + = ( k + ) liefet die konstante Tanslationsbeschleunigung längs de schiefen Ebene oll ω F g g sin a = k + 7

8 E) ufgaben ) ) 8 punkt (chwepunkt), die senkecht zu echeckfläche steht b) Die eite a wid nun i Vehältnis 3 : und die eite b i Vehältnis : geteilt, so das an den Punkt ehält c) eechne das Tägheitsoent u eine zu alten chse paallele chse duch estätige duch Vegleich on und = + den atz on teine ( ) Ges 3) Vegleiche den Dehipuls de onne (als hoogene Kugel) it de Gesatdehipuls de neun Planeten (als assepunkte) Entni asse, adius u Eigenulaufzeit de onne, sowie die assen und ahnadien de Planeten den einschlägigen Tabellenweken 4) 5) Die Dehachse eine syetischen Hantel elaufe zunächst senkecht zu Hantelachse duch estätige den atz on teine a eispiel eine paallelen Dehachseneschiebung u d ( iehe bb) n den ie Ecken eines echteckes it a = 40c und b = 5c befindet sich jeweils eine asse on = 300 g a) eechne das Tägheitsoent u eine chse duch den echteckittel- Ein Hohlzylinde hat den ußenadius und den Innenadius x it 0 x < = ½ + x eweise: Fü das Tägheitsoent gilt : Ges ( ) De Hohlzylinde ollt it de Geschwindigkeit auf eine waageechten Tischplatte telle eine Foeln auf fü die a) Tanslationsenegie b) otationsenegie c) gesate kinetische Enegie E kin, oll d) Lässt sich ein Hohlzylinde so foen, dass e bei gleiche asse und gleiche adius das Tägheitsoent de Kugel hat? Ein ollköpe it asse, adius und Tägheitsoent = k (fü die Kugel gilt z k = / 5 ) soll in eine chleifenbahn it de adius ein Looping ollfühen Von welche Höhe h + h uss an den Köpe indestens staten, dait e geade den, die, das Looping schafft? eechne fü = 50 g ; = ; = 35c h h 6) Längs eine schiefen Ebene de Länge und des Neigungswinkels (α ist hie Win- kelbesch) ollt ein ollköpe it asse, adius und Tägheitsoent = k a) telle die Gesatenegie des ollenden Köpes auf und leite den usduck nach de Zeit ab Leite so einen usduck fü die ahnbeschleunigung a he b) Wie entwickeln sich dahe die Geschwindigkeit und de Ot s als Funktion de Zeit t? c) Wann tifft de Köpe a Ende de schiefen Ebene ein? I b II a + d d P - d x ω III -

9 7) Ein axwellsches ad bestehe aus eine scheibenföigen Vollzylinde it adius ch und asse ch Die beiden angeklebten chsteile haben den adius und zusaen die asse cheibe und chse dehen sich zwangsläufig it de selben ω uf den chsen sind Fäden aufgewickelt Es gelte = 8 c; = 60 g ; =,5c ch ch = 4g Nach welche Zeit τ sinkt das ad aus de uhe u H = 0,8? ω 8) Eine Kupplungsscheibe it de Tägheitsoent otiet it de Winkelgeschwindigkeit ω Es wid eine zweite cheibe it de Tägheitsoent angekuppelt, die zuo in uhe wa it welche Winkelgeschwindigkeit otieen die beiden cheiben nach de nkupplung? Nach welche Zeit T sinkt das ad u H = 0,8 9) Ein Vollzylinde deht it de Dehzahl n (aßeinh: Udehungen po ekunde, also: s ) a) Wie goß ist de Dehipuls L? b) Es wike ein konstantes Dehoent Wann edoppelt sich die Dehzahl? c) etze n = 0 s ; = 500 g ; = 5 c ; = 0 N, 0) Das Vodead eines adfahes, hat einen Kippwinkel α = 0 U nicht uzukippen, uss de Fahe eine Kue fahen Welche adius ist efodelich, wenn die Geschwindigkeit = k / h betägt? ) Ein chnellzug duchfäht it = 80 k / h eine Kue o adius = 300 Wie goß uss die Übehöhung Ü (in ) de äußeen chiene (puweite w = 435 ) sein, dait beide chienen gleich stak belastet weden? ) Unte welche Winkel daf eine Ganolle höchstens gezogen weden, u nicht nach hinten zu ollen? (ußenduchesse = 6c, Ganduchesse = 5,8c ) Lösungen ) = + = P = ( + d) + ( d) = ( + d + + teine: = + ( + ) d = + d ) echteck 3) a) b) P a b = a b = d ) ( d b a 3a b d ) = + d b) = = ( 9a + 8b ) a b a b ; + ( ) = = ( 9a + 8b ) , ; 0 ; 7 0 = / 5 π /, 0 / T s kg L T kg s π Planeten: Li = i ωi = i i ; Ti = 4 π / γ Li = i i T L = γ Einsetzen ge Tab: i i i i kg 5 π γ 4π = γ 3 i i i 9 43 Pl Li = 3,5 0 8 i= s L Da die Dichte de onne zu and hin stak abfällt, ist kleine als beechnet Tatsächlich steckt 60 al eh Dehipuls in de Planetenscheibe als in de onneneigendehung L 9

10 4) = ρ h π d = ρ hπ ( x ) ; = ρ h π d = 4 ρ hπ ( + x )( x ) 0 x = ρ h π d = ( + x ) a) x ETans 4 E 3 kin = + + x = + x 4 4 x = b) E ( ) ( ) ot = ω = + x ω = + x c) ( ) ( ) 5) Wenn de Köpe i Punkt II it = 0 gestatet wüde, so hätte e in III wiede die Geschwindigkeit null und wüde dot senkecht unte fallen E bleibt in III nu oben, wenn III sich dot adialkaft F = und chwekaft FG = g aufheben In III ist dahe die Geschwindigkeit = g ( ) efodelich, was de kinetische Enegie on III Ekin = ( + k ) III = ( + k ) g ( ) entspicht Diese Enegie uss zwischen I und II gewonnen weden: Daaus egibt sich die Fodeung g h = ( + k ) g ( ) h = ( + k ) ( ) Dies ins Vehältnis zu Höhe h = ( ) gesetzt egibt ( k ) h h = + Fü die Voll- 4 kugel it k = egibt sich, dass h ein 7 / 0 = 0,35 ( also 35%) on h sein uss 5 6) Fü die kinetische Enegie unsee ollköpe gilt nach 5) Ekin, oll = ( + k) nfangs betägt die potentielle Enegie E pot, tat = g H uf de Höhe h gilt E = g ( H x) = g( H s sin ), pot wobei s die auf de schiefen Ebene zuückgelegte tecke ist Wi haben also E ( ) Ges = + k + g( H s sin ) H x a) Wegen des Enegieehaltungssatzes ist E Ges konstant und die bleitung soit null Die bleitung on s ist gleich de Geschwindigkeit längs de schiefen Ebene: sɺ = eachtet an die Kettenegel de Diff-echnung: f ( x) = [ u( x) ] f ( x) = u u, so folgt hie entspechend, dass f ( t) [ ( t) ] = die bleitung fɺ ( t) = ɺ hat Dait liefet die bleitung on E ( ) Ges = + k + g H g s sin die g sin Gleichung 0 = ( + k ) ɺ g sin Ustellen egibt ɺ = a = + k Das ist ein konstante Wet fü die eschleunigung längs de schiefen Ebene b) ei konstante eschleunigung gelten die Foeln ( t) = a t und s( t) = a t h s

11 c) uflösen de letzten Gleichung nach t liefet etzt an jetzt fü s die Gesatstecke ein, so folgt s s ( + k ) t = = a g sin t( ) = ( + k ) g sin 7) Fü das Tägheitsoent u die ittelachse gilt = + Die Doppelbewegung Dehung u die ittelachse + Tanslation lässt sich als eine Dehung u den bollpunkt (= eühpunkt des Fadens) auf de chsenand intepetieen Nach teine gilt = + + ( + ) Die Kaft geift nach wie o a chwepunkt an, sodass FG = + g und Hebela senkecht aufeinande stehen us Kaft ( ) und a = ɺɺ ϕ wid dann ( ) ( ) = ɺɺ ϕ + g a = = = FG ½ + + ( + ) Einsetzen egibt die konstante eschleunigung a = 0,54 / s us H = aτ folgt dann τ = H / a = 3, s Ugekeht kann an aus H, τ, Ges, und auf schließen 8) Es gilt de Dehipulsehaltungssatz: Lohe = Lnachhe it Lohe = ω + 0 s und Lnachhe = ωnachhe + ωnachhe Daaus folgt ωnachhe = ω + 9) Es gilt ω = π n und dait L = ω = π n Das konstante Dehoent egößet den Dehipuls linea, so wie eine konstante Kaft den Ipuls p = ( bzw die Geschwindigkeit linea egößet ) Dahe gilt = ei Vedoppelung ist L = L, t L L π woaus t = = n folgt G 0) F Z chwepunktbewegung Fahichtung D Z α F G Eine Dehbewegung bestit sich aus de wiksaen Dehoent

12 Ein Dehoent ist eine ektoielle Göße, es egibt sich aus de Keuzpodukt on und F zu = F ufgund dessen steht senkecht auf und F, sein etag egibt sich aus = F sinα und seine ichtung ehält an aus de Dei-Finge- egel de echten Hand: Dauen, F Zeigefinge, ittelfinge Wi betachten die Kuenfaht zu eine eingefoenen Zeitpunkt Die Dehung efolgt u den uflagepunkt des ades U diesen Punkt deht sich de geeinsae chwepunkt on ad und Fahe entwede nach innen ode außen De Hebela zeigt on nach, es gilt also = Punkte geifen zwei Käfte an, ) die chwekaft F G = g und ) die Zentifugalkaft F = / Dait egeben sich die beiden Dehoente G und Z Z it de Dei-Finge-egel acht an sich kla, dass G tangential in Fahichtung und Z tangential gegen die Fahichtung zeigt Die beiden Dehoente üssen sich aufheben, dait de chwepunkt wede zu oden stüzt, noch aus de Kue fliegt Fü die etäge gilt = g sinα und Z = sin (90 α) = cosα Gleichsetzen egibt = g tanα Nu wenn diese Zusaenhang zwischen Geschwindigkeit, Kuenadius und Neigungswinkel α efüllt ist, fäht das ad siche duch die Kue echnung = 6, 4 G ) Fü adialkaft und chwekaft gilt F = und FG = g Da F auf de Untelage sein uss, egibt sich tan α = F / F N = /( g) Wi gewinnen hie also auf einfache Weise dasselbe Egebnis wie bei ufgabe 8) Uechnung de Geschwindigkeit: = 50 / s ; α = 4,55 ; Ü = 4 G F F F α N G α Ü ) Die Dehung efolgt u F den uflagepunkt In de ω ω linken bb zeigt = F ins latt, sodass echtsdehung efolgt und de Zug ein Gan F Gan Wegollen bewikt De Faden wickelt sich dabei ab In de echten bb weist = F aus de latt heaus, sodass eine Linksdehung efolgt und de Zug a Faden ein Hinollen zu Ziehenden bewikt De Faden wickelt sich totz des Zuges auf De Uschlagwinkel in de Zugsteilheit titt ein, wenn die Velängeung de Kaftlinien duch den Dehpunkt läuft Dann liegt ein echtwinkliges Deieck o it Hypotenuse und de Kathete zu ittelpunkt Fü den Genzwinkel gilt = accos( / ) = 4,8