Spieltheorie in der Ökonomie

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1 Spieltheorie in der Ökonomie Seminararbeit in Finanz- und Versicherungsmathematik Kevin Klein 8. Februar 013

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Allgemeines Gliederung Spiele in Normalform 4.1 Allgemeine Begriffe Strategien und Strategiemengen Rationalität und Präferenz Auszahlungsfunktion Informationsstand Darstellung von Spielen in Normalform Lösungskonzepte Strenge und schwache Dominanz Nash - Gleichgewicht Beispiel zum Nash - Gleichgewicht Statische Spiele Cornout Oligopol Spiele mit unvollständiger Information Typen und Erwartungen Auszahlung Bayes Nash - Gleichgewicht Anwendungen für Spiele mit unvollständige Information Cornout Oligopol Einfache Auktion

3 Kapitel 1 Einleitung 1.1 Allgemeines Die Spieltheorie ist ein Teilgebiet der Wirtschaftsmathematik, welches sich der Modellierung und der Lösung sozialer Konfliktsituationen widmet. Die Spieltheorie ist eine junges Spezialgebiet der Wirtschaftsmathematik, dass ab Beginn des 0. Jahrhunderts bis heute hin immer weiter an Bedeutung gewonnen hat. Beispiele für die Anwendung der Spieltheorie sind u.a. Zwei Länder wollen die Handelsschranken abbauen, da die beiden Länder wirtschaftlich davon profitieren würden, jedoch kommt es nicht zu diesem Abbau, da das eine Land bei einem einseitigen Abbau der Beschränkungen des anderen Landes noch mehr profitieren würde. Zwei Anbieter A und B stellen das selbe Produkt her. Die Nachfrage nach dem Produkt steigt und die Anbieter überlegen sich zu investieren und die Produktkapazität zu steigern. Jedoch drohen dann Überkapazitäten, welche Gewinneinbüßen nach sich ziehen würden. Die Frage ist ob investiert werden soll oder nicht. Im Gegensatz zur Entscheidungstheorie, in der die Entscheidung nur von der eigenen Entscheidung abhängig ist, hängt bei der Spieltheorie die Strategie auch von der Entscheidung der anderen Spieler ab. Die Spieltheorie kann damit in gewisser Weise als Verallgemeinerung der Entscheidungstheorie angesehen werden. 1. Gliederung Durch die Vielfalt der zu modellierenden Situationen (=Spiele), hat sich in der Spieltheorie eine Vielzahl von Gliederungen ergeben, welche die Einteilung der zu modellierenden Situationen um ein Vielfaches vereinfacht. Die wichtigste Gliederung ist die Gliederung nach der Darstellungsform der zu modellierenden Situation Normalform Extensivform

4 Die Spiele können jedoch auch in die Art der Spiele gegliedert werden, man unterscheidet grob zwischen Statische Spiele Dynamische Spiele. Während bei statischen Spielen die Spieler ihre Entscheidungen simultan treffen, gibt es bei dynamischen Spielen einen gewissen Entscheidungsablauf. Darüber hinaus gibt es noch die Einteilung in Spiele mit vollständiger bzw. unvollständiger Information und zwischen Spielen mit perfekter bzw. imperfekter Information. In dieser Arbeit wird die Normalform als Darstellungsform näher betrachtet. Zudem werden die statischen Spiele aufgegriffen, sowie die Spiele mit unvollständiger Information. 3

5 Kapitel Spiele in Normalform.1 Allgemeine Begriffe Bevor die Spiele in Normalform näher beschrieben werden können, müssen einige grundlgegende Begriffe der Spieltheorie in Normalform näher erläutert werden. Im weiteren Verlauf des Kapitels wird angenommen, dass es i = 1... n Spieler gibt. Spiele in Normalform werden im Allgemeinen zur Modellierung statischer Spiele verwendet..1.1 Strategien und Strategiemengen Die Strategiemenge S i eines Spielers i kann sowohl diskret als auch stetig sein, sie enthält alle denkbaren Entscheidungen, welche der Spieler in dem zugrundeliegendem Spiel wählen kann. Aus dieser Strategiemenge kann der Spieler i nun einzelne Elemente (Strategien) s i S i auswählen, welche dann auch für das gesamte Spiel seine Strategie bleibt. Um nun den Ausgang in einem Spiel zu beschreiben, benötigt man die Strategien aller Spieler die folgendermaßen charakterisiert werden kann. S = S 1 S... S n s = (s 1, s,..., s n ) S Um die Arbeit später zu erleichtert, führt man noch eine andere Menge ein S i = S 1 S... S i 1 S i+1... S n s i = (s 1,..., s i 1, s i+1,..., s n ) S i Der Vektor s i ist der Strategievektor der Spieler ausgenommen dem Spieler i. Durch diese Schreibweise wird in weiterer Folge die Übersichtlichkeit verbessert. 4

6 .1. Rationalität und Präferenz Die Handlung der Spieler hängt von ihren Erwartungen bzw. ihrem Nutzen ab. Daraus folgt, dass die Spieler bei der Wahl ihrer Strategien versuchen werden ihre eigenen Interessen bestmöglich zu wahren und versuchen ihren Erfolg zu maximieren. Dieses Verhalten spiegelt die Rationalität der Spieler wieder. In einem Spiel führt die Wahl des Spielers i auf die Strategie s i gemäß der Strategie der anderen Spieler s i natürlich zu unterschiedlichen Ergebnissen, die im folgenden X (=X(s i, s i )),Y,Z bezeichnet werden. Gemäß der Interessen bzw. der Erwartungen des Spielers i, wird dieser (je nachdem welche Strategien die anderen Spieler gewählt haben) jeden Spielausgang anders bewerten. Dasselbe trifft natürlich auch auf die anderen Spieler zu. Demnach wird der Spieler i gewisse Ergebnisse präferieren und es liegt nahe folgende Relation zu definieren. Definition.1. Ein Spieler präferiert X gegenüber Y X Y Klarerweise wird durch diese Relation eine Halbordnung definiert, da sie sowohl reflexiv, transitiv als auch antisymmetrisch ist. Die oben definierte Präferenzordnung wird in weiterer Folge für die Auszahlungsfunktion eine wichtige Rolle spielen..1.3 Auszahlungsfunktion Durch die Präferenzen des Spielers i wird jedem Spielausgang ein anderes subjektives Ergebnis zugeordnet. Dies kann durch eine Funktion konkretisiert werden. Definition.. genannt. Die Funktion u i : S R wird Auszahlungsfunktion des Spielers i Jeder Strategievektor s S führt zu einem Ergebnis, welches nach den Präferenzen des Spielers bewertet wird, d.h. X Y u(x) u(y ). Im Folgenden wird für die Auszahlungsfunktion die Schreibweise u i (s i, s i ) verwendet..1.4 Informationsstand Bei einem Spiel in Normalform muss im Hinblick auf die Analysemethoden vor einem Spiel festgesetzt werden, ob es sich bei diesem Spiel um ein Spiel mit vollständiger bzw. unvollständiger Information ist. Ein Spiel mit vollständiger Information ist ein Spiel, in welchem alle für das Spiel wichtigen Informationen (Auszahlungsfunktionen, Strategiemengen) gemeinsames Wissen ist, d.h. jeder Spieler kennt alle Informationen. Spiele mit vollständiger Information sind u.a. 5

7 statische Spiele. Konkret heißt ein Modell ein Spiel mit vollständiger Information wenn, {S 1,..., S n, u 1 ( ),..., u n ( )} gemeinsames Wissen ist. Von unvollständiger Information spricht man, wenn mindestens eine für des Normalformspiel wichtige Information nicht gemeinsames Wissen, d.h. privates Wissen ist. Auch wenn in der Praxis Spiele mit vollständiger Information in der Praxis so gut wie gar nicht vorkommen, haben diese Spiele für die Spieltheorie eine zentrale theoretische Bedeutung, da in diesen Spielen die Theorie am besten eingesetzt werden kann um auf brauchbare Lösungen zu kommen. Diese zentrale Rolle äußert sich vor allem dadurch, dass Spiele mit unvollständiger Information (die in der Praxis wesentlich öfter vorkommen) durch Hinzunehmen von spieltheoretischen Werkzeugen zu Spielen mit vollständiger Information ergänzt werden können, die dann zu den ursprünglichen Problemen aus spieltheoretischer Sicht äquivalent sind. Dies wird später in dieser Arbeit näher erläutert werden.. Darstellung von Spielen in Normalform Die kompakteste Darstellungsform für Spiele in Normalform ist die Matrixform, die vor allem für die Darstellung von statischen Spielen verwendet wird. Spieler A a 1 a b 1 (u B (b 1, a 1 ), (u A (b 1, a 1 )) (u B (b 1, a ), (u A (b 1, a )) Spieler B b (u B (b, a 1 ), (u A (b, a 1 )) (u B (b, a ), (u A (b, a )) Durch diese Matrix wird ein Spiel mit vollständiger Information definiert. Die Strategiemenge von A ist {a 1, a } und von B {b 1, b }. Die Auszahlungsfunktionen sind (je nach gewählter Strategie) u A für A bzw. u B für B. 6

8 Kapitel 3 Lösungskonzepte Nun da die Spiele in Normalform charakterisiert wurden, kann die eigentliche Problemstellung der Spieltheorie aufgegriffen werden. Die Aufgabe ist nun Lösungen zu finden, welche für alle Spieler annehmbar sind. Optimal wäre eine Lösung die für alle Spieler annehmbar ist, d.h. eine Strategie s S für welche es keine einseitig bessere Strategie gibt. Dies führt dann in weiterer Folge zum Konzept des Nash-Gleichgewichtes. Zuerst wird aber auf allgemeinere Lösungskonzepte eingegangen. 3.1 Strenge und schwache Dominanz Definition 3.1. Gegeben seien s i, s i S i. Eine Strategie s i heißt streng dominiert von s i wenn gilt: u i (s i, s i ) > u i (s i, s i ) s i S i Da eine streng dominierte Strategie für alle Strategien der Gegenspieler immer die schlechtere Lösung ist, wird sie niemals gewählt werden. Diesen Sachverhalt kennen aufgrund der vollständigen Information alle anderen Spieler, womit die streng dominierte Strategie eliminiert werden kann. Damit kann das Eliminationsverfahren verwendet werden um auf eine eindeutige Lösung zu kommen. Anschaulich bedeutet dies, dass in der Matrix die Zeile bzw. Spalte aus der Matrix entfernt wird und die verkleinerte Matrix auf streng dominierte Lösungen untersucht wird usw.. Dieses Verfahren muss aber im Allgemeinen nicht zu einer eindeutigen Lösung führen. Definition 3.. Gegeben seien s i, s i S i. Eine Strategie s i heißt schwach dominiert von s i wenn gilt: u i (s i, s i ) u i (s i, s i ) s i S i und u i (s i, s i ) > u i (s i, s i ) für mindestens eins i S i 7

9 3. Nash - Gleichgewicht Durch die schon oben erwähnte Rationalität wird jeder Spieler versuchen seine Auszahlung zu maximieren. Jedoch muss der Spieler i auch bedenken, dass auch die anderen Spieler rational sind und ihrerseits versuchen werden ihre Gewinne zu maximieren. Das bedeutet, dass ein rationaler Spieler i versuchen wird die Strategie s i zu wählen, welche gemäß seiner Erwartungen bezüglich der Strategiewahl s i der anderen Spieler seine Auszahlung maximiert. Diese Überlegungen können mathematisch umgesetzt werden: Definition 3.3. Die Funktion f i wird Beste Antwort-Abbildung genannt. Sie ordnet jedem Verhalten der anderen Spieler s i eine auszahlungsmaximierende Antwort s i zu. Durch diese Definition kann das Verhalten aller beteiligten Spieler eines Spiels folgendermaßen konkretisiert werden. s i = s i arg max si S i u i (s i, s i ) i Dies bedeutet, dass alle Spieler rational handeln. s i = s i i Jeder Spieler erwartet, dass die anderen Spieler auch rational handeln und versuchen werden ihren Gewinn zu maximieren. Mit diesen Überlegungen können wir nun das wichtigste Lösungskonzept definieren Definition 3.4 (Nash-Gleichgewicht). Eine Strategie (s i, s i), welche obige Eigenschaft erfüllt wird Nash - Gleichgewicht genannt. Mathematisch gesehen heißt das u i (s i, s i) u i (s i, s i) s i S i Die besondere Bedeutung des Nash - Gleichgewichts ergibt sich aus der besonderen Eigenschaft des Nash - Gleichgewichts. Das Nash - Gleichgewicht ist pareto-effizient, d.h. eine einseitige Abweichung vom Stratiegevektor kann nicht zu einer Verbesserung der Auszahlung führen. Diese Definition dient jedoch weniger der praktischen Anwendung. Deshalb wurde ein Algorithmus gefunden, welcher anhand eines Beispiels erläutert wird. Der Algorithmus sieht folgendermaßen aus: Zuerst optmiert man die Entscheidung des Spielers i bei fixierten Strategien der anderen Spieler, indem die unter diesen Umständen höchste Auszahlung für den Spieler i markiert wird. Dies wird dann für alle möglichen Strategien der anderen Spieler wiederholt. Der erste Schritt wird für alle anderen Spieler durchgeführt. Wenn dann eine Strategie s = (s i, s i ) markiert ist, wird sie Nash- Gleichgewicht genannt. 8

10 3..1 Beispiel zum Nash - Gleichgewicht Anhand des Gefangendilemmas wird der Algorithmus veranschaulicht. Spieler A schweigen kooperieren schweigen (, ) ( 6, 1) Spieler B kooperieren ( 1, 6) ( 4, 4) i = Spieler A Spieler B nimmt schweigen: Spieler A markiert kooperieren Spieler B nimmt kooperieren: Spieler A markiert kooperieren Spieler A schweigen kooperieren schweigen (, ) ( 6, -1) Spieler B kooperieren ( 1, 6) ( 4, -4) i = Spieler B Spieler A nimmt schweigen: Spieler B markiert kooperieren Spieler A nimmt kooperieren: Spieler B markiert kooperieren Spieler A schweigen kooperieren schweigen (, ) ( 6, -1) Spieler B kooperieren (-1, 6) (-4, -4) Damit ist (kooperieren,kooperieren) das Nash-Gleichgewicht. Das Gefangendilemma genießt in der Spieltheorie insofern eine besondere Stellung, als dass durch die Strategiewahl (schweigen, schweigen) für beide Spieler eine bessere Auszahlung herausspringen würde und das das Nash - Gleichgewicht normalerweise die optimale Lösung garantiert und deshalb kein Anreiz bestehen würde von der Lösung abzuweichen. 9

11 Kapitel 4 Statische Spiele Nun wird das Hauptanwendungsgebiet der Spiele in Normalform betrachtet. Statische Spiele sind Spiele, die durch folgende Eigenschaften charakterisiert werden Vollständige Information: Sowohl die Auszahlungsfunktion als auch die Strategiemengen sind gemeinsames Wissen. Einmaliges Spiel: Es wird nur einmalig gespielt Simultane Strategiewahl: Die Strategie wird nur einmal vor dem Beginn des Spiels von allen Spielern gleichzeitig gewählt 4.1 Cornout Oligopol Diese Anwendung behandelt die Frage, wie die Menge eines gewissen Güters bei gegebener Preis - Absatz Funktion gewählt werden soll um die Auszahlung (in diesem Fall der Gewinn) zu maximieren. Zur Vereinfachung wird die Vorgehensweise für ein Duopol (d.h. zwei Spieler) durchgeführt. Die Anwendung kann aber ohne weiteres auf n Spieler ausgeweitet werden. Das Ganze soll nun mathematisch formalisiert werden, dazu werden allerdings zuerst einige Standardannahmen benötigt. Es gibt zwei Anbieter i = 1,. Es gibt einen einheitlichen Preis. Die Preis - Absatz - Funktion lautet p(x) = a x 1 x. Die Menge x i dient als Strategievariable, also s i = x i u. die Strategiemenge S i = R + 0. Die Kosten sind identisch: K i (x i ) = cx i, i = 1, Diese Informationen sind allesamt gemeinsames Wissen. 10

12 Die Auszahlungsfunktion ist dann die Gewinnfunktion u i (x i, x j ) = = p(x)x i cx i = (a x i x j )x i cx i = ax i x i x i x j cx i. Die beste Antwort ergibt sich dann durch Maximierung, also durch die Ableitung der Gewinnfunktion Klarerweise ist dann x j = a c x i. u i x i = a c x i x j = 0 x i = a c x j Der Spieler 1 bildet jetzt Erwartungen bezüglich der Strategiewahl des Spielers. Wie weiter oben schon erwähnt, wird Spieler 1 rational handeln, d.h. seinen Gewinn versuchen zu maximieren. Er ist sich aber auch bewusst, dass Spieler rational handelt und damit auch seinen Gewinn maximiert. In diesem konkreten Beispiel bedeutet das, dass erwartetes und ausgeführtes Verhalten übereinstimmen. Durch Auflösen der Beste Antwort Funktion von x 1 nach x und Gleichsetzen wird dann das Nash - Gleichgewicht ermittelt. a c x 1 (= x ) = a c x 1 a c 4x 1 = a c x 1 3x 1 = a c x 1 = a c = x 3 Das Nash - Gleichgewicht ist dann ( a c 3, a c 3 ) 11

13 Kapitel 5 Spiele mit unvollständiger Information 5.1 Typen und Erwartungen Spele mit unvollständiger Information sind Spiele, in denen mindestens eine wichtige Information private Information ist. In der Praxis ist die Auszahlungsfunktion eines Spieler seine private Information. Um die private Information charakterisieren zu können, wird eine Typologisierung durchgeführt, d.h. für die unbekannte Information (z.b. Auszahlungsfunktion) werden verschiedene Ausprägungen festgesetzt, die in weiterer Folge als Typen t 1, t,... bezeichnet werden. Somit ist T i der Typenraum von Spieler i, der sowohl diskret als auch stetig sein kann. Während der Spieler i seinen eigenen Typ kennt, bilden die anderen Spieler Erwartungen bezüglich dem Typ von Spieler i, d.h. sie ordnen den möglichen Typen t i T i subjektive Wahrscheinlichkeiten zu. Für die bessere Charakterisierung der Spiele mit unvollständiger Information bietet sich folgende Notation an, welche das Produkt der Typenräume der Spieler außer i beschreibt. T i = j i T j Diese Notation hilft dabei die Wahrscheinlichkeitserwartung des Spielers i (der vom Typ t i ) bezüglich der Typenkonfiguration t i T i der anderen Spieler. Die Wahrscheinlichkeit p i (t i t i ) ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit des Spielers i, da die Erwartung des Types der anderen Spieler vom eigenen Typ abhängen kann. Für die Definition der Auszahlung bei Spielen mit unvollständiger Information müssen noch Überlegegungen bezüglich der Typen angestellt werden. Die Spieler außer i bilden Vermutungen Erwartungen bezüglich dem Typ von Spieler i und dessen Strategiewahl. Diese hängt wiederum von seinem Typ t i und von seinen Vermutungen bezüglich der Typenkonfiguration t i der anderen Spieler ab. Die anderen Spieler wählen klarerweise 1

14 die selbe Vorgehensweise, d.h. Spieler i muss sich auch Gedanken machen, welche Vermutungen die anderen Spieler über den Typ t i anstellen, da diese Vermutungen sicher in die Strategiewahl der anderen Spieler miteinfließen (die wiederum die Strategiewahl des Spielers i beeinflusst). Das heißt, dass die bedingten Wahrscheinlichkeiten bezüglich aller Typen aus dem Typenraum T i in die Überlegungen des Spielers i mit einbezogen werden müssen. Die Gedankengänge des Spielers i dienen dem Zweck, das Verhalten (Strategiewahl) der andern Spieler besser einschätzen zu können. 5. Auszahlung Die tatsächliche Auszahlung des Spielers i hängt nun von den Strategiewahlen (die wiederrum von den Typen abhängen) und von den tatsächlichen Typen ab. Damit ist die Auszahlung u i = u i (s i (t i ), s i (t i ), t i, t i ) wobei s i (t i ) = (s 1 (t 1 ),..., s i 1 (t i 1 ), s i+1 (t i+1 ),..., s n (t n )). Die tatsächliche Auszahlung kann jedoch nicht bestimmt werden, da Spieler i die Typenkonfiguration t i nicht kennt, aber durch die oben erwähnten Überlegungen kann die erwartete Auszahlung definiert werden Definition 5.1. Die erwartete Auszahlung ist definiert als E[u i (s i (t i ), s i (t i ), t i, t i )] = t i p i (t i t i )u i (s i (t i ), s i (t i ), t i, t i ) Die Annahme ist das ein rationaler Spieler i seine erwarteten Auszahlungen maximieren wird, also die beste Antwort suchen wird. Dies bedeutet allerdings, dass sich der Spieler auch Überlegungen über das Verhalten der anderen Spieler machen muss. Das bedetutet, dass auch wenn Spieler i von einem Typ t i ist, muss er die Aufgabe für alle anderen Typen auch lösen (beste Antwort suchen), da die anderen Spieler mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit annehmen, dass Spieler i von den anderen Typen sein könnte. Mit diesen ganzen Informationen kann der Wissensstand von Spielen mit vollständiger Information festgelegt werden. Die Informationen sind {S 1,..., S n, T 1,..., T n, u 1,..., u n, p 1,..., p n }. Diese Informationen sind dann das gemeinsame Wissen aller Spieler. 13

15 5.3 Bayes Nash - Gleichgewicht Ein Strategievektor (s i (t i ), s i(t i )) heißt Bayes Nash - Gleichge- Definition 5.. wicht, wenn gilt: E[u i (s i (t i ), s i(t i ), t i, t i )] E[u i (s i (t i ), s i(t i ), t i, t i )] s i S i, t i T i, i = 1,..., n Das Bayes Nash - Gleichgewicht liegt also vor, wenn jeder Spieler, von jedem Typ, die beste Antwort wählt, d.h. seinen erwarteten subjektiven Nutzen maximiert. Außerdem zahlt es sich wie beim Nash - Gleichgewicht nicht aus von dieser Strategie abzuweichen, da dieser Schritt sonst eine niedrigere Auszahlung zur Folge hätte. Die Erwartungen der Spielersind subjektiv, d.h. sie werden nach der subjektiven Einschätzung der Spieler bezüglich dem Typ gefällt. Diese Einschätzung müssen aber nicht kompatibel sein, das bedeutet, dass die Zahl der Bayes - Nash Gleichgewichte unter Umständen sehr groß werden kann. 14

16 Kapitel 6 Anwendungen für Spiele mit unvollständige Information 6.1 Cornout Oligopol Um den Unterschied zwischen Spielen mit vollständiger Information und Spielen mit unvollständiger Information besser erkennen zu können, wird hier an das Beispiel aus 4.1 nur diesmal mit unvollständiger Information angeknüpft. In diesem Beispiel wird wieder das Cournout - Duopol betrachtet. Diesmal ist aber die Kostenfunktion von Spieler private Information. Wie schon in 4.1 muss auch das Spiel durch gewisse Annahmen charakterisiert werden, um es mathematisch behandeln zu können. Zwei Spieler i=1, bieten einen Güter mit einheitlichen Preis an p(x) = a x 1 x u. Kosten von Spieler 1 K 1 (x 1 ) = cx 1 Die Strategievariable ist wieder die Menge x i genau wie die Strategiemenge S i = R + 0 Das ist gemeinsames Wissen Kostenfunktion von Spieler ist seine private Information Typologisierung T = {c L, c H }, damit gibt es zwei Typen t L : K L (x ) = c L x t H : K H (x ) = c H x mit c H > c L Erwartungen p(t L ) = q, p(t H ) = 1 q Die Gewinnfunktion von Spieler hängt nun von seinem Typ ab. G L = (a x 1 x )x c L x G H = (a x 1 x )x c H x 15

17 Unabhängig von seinem Typ, muss Spieler die Beste Antwort Funktion für beide Typen bilden, da Spieler 1 Vermutungen über den Typ anstellt und diese in seine Strategiewahl mit einkalkuliert. x (t L ) = a c L x 1 x (t H ) = a c H x 1 (6.1) (6.) Damit kann Spieler 1 seine erwartete Auszahlung bzw. in diesem Fall seinen erwarteten Gewinn berechnen E[G 1 ] = q[ax 1 x 1 x 1 x (t L ) c 1 x 1 ] + (1 q)[ax 1 x 1 x 1 x (t H ) c 1 x 1 ] = ax 1 x 1 c 1 x 1 (qx (t L ) + (1 q)x (t H ))x 1 Um auf die Beste Antwort Funktion zu kommen muss die erwartete Gewinnfunktion noch durch Differenzieren maximieren. E[G 1 ] x 1 = a x 1 c 1 (qx (t L ) + (1 q)x (t H )) = 0 x 1 = a c 1 (qx (t L ) + (1 q)x (t H )) Da wieder die Rationalitätseigenschaft gefordert wird und Spieler 1 davon ausgeht, dass Spieler auch rational handelt, werden seine Erwartungen mit den eingetretenen Entscheidungen von Spieler übereinstimmen. Darum wird er 6.1 und 6. in die vorherige Gleichung einsetzen, um so auf eine konkrete Mengenentscheidung und die optimale Lösung zu kommen. x 1 = a c 1 [q[ a c L x 1 ] + (1 q)[ a c H x 1 ]] x 1 = a c 1 [a x 1 qc L (1 q)c H ] 4 4x 1 = a c 1 + x 1 + qc L + (1 q)c H x 1 = a c 1 + qc L + (1 q)c H 3 16

18 Dasselbe Prozedere wird angewendet um auf die optimale Lösung für Spieler zu kommen, dafür setzen wir die Beste Antwort Funktion von Spieler 1 in 6.1 ein. x (t L ) = a c L [ a c 1 qx (t L) (1 q)x (t H) ] = a c L + c 1 + qx (t L ) + (1 q)x (t H ) 4 4x (t L ) qx (t L ) = a c L + c 1 + (1 q)x (t H ) 3x (t L ) + (1 q)(x (t L ) = a c L + c 1 + (1 q)x (t H ) 3x (t L ) + (1 q)[ a c L x 1 x (t L ) = a c L + c 1 3 Analog kommt man bei Typ t H auf die Lösung ] = a c L + c 1 + (1 q)[ a c L x 1 ] (1 q) (c H c L ) 6 x (t H ) = a c H + c 1 3 q 6 (c L c H ) 6. Einfache Auktion Als zweite Anwend der unvollständigen Information, wird eine einfache Auktion betracht. Der Einfachheit halber beschränkt man sich wieder auf zwei Spieler. Eine einfach Auktion ist eine Auktion, bei der auf beiden Seiten jeweils nur ein Spieler mitbieten kann. Außerdem wird vorrausgesetzt, dass die Gebote von beiden Spielern gleichzeitig abgegeben werden (sealed bid) und dass der Höchstbietende das auktionierte Gut zum Höchstpreis erwirbt (first price). Damit kann die einfache Auktion nun charakterisiert werden. Zwei Spieler i = 1, Wertschätzung v i des auktionierten Gutes ist private Information der Spieler Typologisierung t i = v i [0, 1] = T i Erwartungen bezüglich dem Typ: v i U[0, 1] (stetige Gleichverteilung auf [0,1]) Strategievariable ist das Gebot für das auktionierte Gut b i Aufgrund der Rationalität gilt b i v i Die Auszahlung ist in diesem Fall die Differenz zwischen dem was der Spieler für das Gut bereit gewesen wäre zu zahlen und dem was er tatsächlich bezahlt hat. Daraus ergibt sich die Auszahlungsfunktion v i b i, wenn b i > b j u i (b i, b j ) = v i b i, wenn b i = b j 0, sonst 17

19 Die erwartete Auszahlung von Spieler i ist dann: E[u i ] = (v i b i )P (b i > b j ) + ( v i b i )P (b i = b j ) + 0P (b i < b j ) Da hier eine stetige Zufallsvariable betrachtet wird verschwinden alle Punktwahrscheinlichkeiten, also P (b i = b j ) = 0. Damit kommt man schließlich zur erwarteten Auszahlung von Spieler i: E[u i ] = (v i b i )P (b i > b j ) Diese erwartete Auszahlung muss noch vereinfacht werden um eine sinnvolle Preisentscheidung zu erhalten. Da die Rationalitätsannahme gilt, ist b j < v j damit α (0, 1) mit: α v j = b j. Daraus folgt P (b i > b j ) = P (b i > α v j ) = P (v j < b i α ) und da v j gleichverteilt im Einheitsintervall ist, folgt damit: P (v j < b i ) = b i. Damit ist α α die erwartete Auszahlung jetzt E[u i ] = (v i b i ) b i α Durch Maximierung bekommt man dann die Beste Antwort E[u i ] b i b i = v i = v i α b i α = 0 Dadurch wurde das optimale Gebot gefunden. für i = 1, 18

20 Literaturverzeichnis [1] Dr. M. Pasche Spieltheorie, Friedrich-Schiller - Universität Jena []