Skript zur Vorlesung. Mathematik 2. für Studierende der Bachelorstudiengänge Chemie und Biophysik. Dr. Caroline Löbhard

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1 Skript zur Vorlesung Mathematik 2 für Studierende der Bachelorstudiengänge Chemie und Biophysik Dr. Caroline Löbhard 27. Juni 2016

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Differentialgleichungen II Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Exakte Differentialgleichungen Vektorraum, Basis und Dimension Grundlegende Definitionen Lineare Hülle und Erzeugendensystem Basis und Dimension Skalarprodukt und Orthogonalität Skalarprodukt und Norm Orthogonalität Orthogonales Komplement und orthogonale Projektion Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen Isomorphismen Matrizen Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Lineare Gleichungssysteme Der Gauß-Algorithmus Determinanten Determinanten und lineare Gleichungssysteme Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Basiswechsel und Diagonalisierbarkeit Definitheit von Matrizen Anwendungen der Linearen Algebra Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

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5 1 Differentialgleichungen II 1.1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Definition 1.1. Gegeben sind n N, ein Intervall I R, Koeffizientenfunktionen a 0 (t), a 1 (t), a 2 (t),..., a n (t), wobei a n (t) 0 für (mindestens) ein t I, und eine Störfunktion h(t), die jeweils für t I definiert sind. Eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung hat die Form a n (t)y (n) (t) + a n 1 (t)y (n 1) (t) + + a 1 (t)y (t) + a 0 (t)y(t) = h(t). Die Differentialgleichung heißt inhomogen, falls für (mindestens) ein t I gilt: h(t) 0, homogen, falls für alle t I gilt: h(t) = 0, explizit, falls für alle t I gilt: a n (t) 0, implizit, falls t 1, t 2 I existieren mit a n (t 1 ) 0 und a n (t 2 ) = 0, mit konstanten Koeffizienten, falls die Koeffizientenfunktionen alle konstant sind. Bemerkung 1.2. In der Schreibweise aus MaI, Def. 10.1, ist F (t, x 0, x 1,..., x n ) = a n (t)x n + a n 1 (t)x n a 1 (t)x 1 + a 0 (t)x 0 h(t), und falls die Differentialgleichung explizit ist, so ist in MaI, Def.10.3 g(t, x 0, x 1,..., x n 1 ) = 1 a n (t) (h(t) a n 1(t)x n 1 a n 2 (t)x n 2 a 1 (t)x 1 a 0 (t)x 0 ). Beispiel 1.3. ( ) 5

6 1 Differentialgleichungen II Satz 1.4 (Existenz und Eindeutigkeit der Lösung). Ist die Differentialgleichung (S) in Definition 1.1 explizit, und sind alle Koeffizientenfunktionen und die Störfunktion stetig, so besitzt das Anfangswertproblem y (n) (t) = g(t, y(t), y (t),..., y (n 1) (t)), mit g aus Bemerkung 1.2 genau eine Lösung. Beweis. y(t 0 ) = y 0, y (t 0 ) = y 1,..., y (n 1) (t 0 ) = y n 1 Satz 1.5. (i) Genauso wie in Ma.I Satz 10.20(ii) ist die allgemeine Lösung y c einer expliziten linearen Differentialgleichung die Summe aus einer partikulären Lösung y p der inhomogenen Gleichung (mit einem beliebigen Anfangswert) und der allgemeinen Lösung y h,c der zugehörigen homogenen Gleichung, d.h. y c (t) = y h,c (t) + y p (t). (ii) Es sei κ R ein Konstante, y 1 eine Lösung der Gleichung (S) mit der rechten Seite h 1, und y 2 sei eine Lösung der Gleichung (S) mit der rechten Seite h 2. Dann löst y = y 1 + κy 2 die Gleichung (S) mit der rechten Seite h 1 + κh 2. Beweis. (i) (ii) siehe Übung. 6

7 1.1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Wir befassen uns jetzt mit der Struktur der Lösungsmenge y h,c von linearen homogenen Differentialgleichungen n-ter Ordnung. Satz 1.6. Die allgemeine Lösung einer expliziten linear homogenen Differentialgleichung besitzt die Form y h,c (t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) + + c n y n (t), wobei c 1, c 2,..., c n R, und y 1, y 2,..., y n n verschiedene, linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung sind. Linear unabhängig bedeuted hier: Wenn für alle t I gilt k 1 y 1 (t) + k 2 y 2 (t) + + k n y n (t) = 0, so folgt, dass alle Konstanten k 1 = k 2 = = k n = 0 Null sein müssen. Um ein Anfangswertproblem zu lösen, setzt man die allgemeine Lösung in die Anfangsbedingungen ein und ermittelt aus diesen Gleichungen c 1, c 2,..., c n. Beispiel 1.7. In den folgenden Abschnitten betrachten wir lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten a 0, a 1,...,a n a n y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) + + a 1 y (t) + a 0 y(t) = 0 (LHK) und die lineare inhomogene Differentialgleichungen mit der Störfunktion h a n y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) + + a 1 y (t) + a 0 y(t) = h(t). (LIK) 7

8 1 Differentialgleichungen II 1.2 Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Bemerkung 1.8 (Anleitung zum Finden der allgemeinen Lösung von (LHK)). 1. Man macht den Ansatz: y(t) = e λt. 2. Einsetzen in (LHK) liefert 0 =a n y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) + + a 1 y (t) + a 0 y(t) =a n λ n e λt + a n 1 λ n 1 e λt + + a 1 λe λt + a 0 e λt. Weil e λt 0 ist, bekommt man die Gleichung a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = Man muss also die Nullstellen λ 1, λ 2,..., λ s C des obigen Polynoms mit den Vielfachheiten k 1, k 2,..., k 3 bestimmen das heißt, man berechnet die Faktorisierung a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = (λ λ 1 ) k 1 (λ λ 2 ) k2 (λ λ s ) ks. 4. Man bekommt die folgenden linear unabhängigen Lösungen: a) falls λ l R: e λ lt, te λ lt,..., t k l 1 e λ lt, b) falls λ l C \ R, λ l = a + bi: e at cos(bt), te at cos(bt),..., t k l 1 e at cos(bt), e at sin(bt), te at sin(bt),..., t k l 1 e at sin(bt). 5. In Schritt 4 bekommt man genau n linear unabhängige Lösungen. Die allgemeine Lösung ist dann Definition 1.9. Das Polynom y h,c (t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) + + c n y n (t). P (λ) = a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 heißt charakteristisches Polynom der Differentialgleichung (LHK) bzw. (LIK), die Gleichung P (λ) = 0 heißt charakteristisches Gleichung von (LHK) bzw. von (LIK). 8

9 1.3 Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Beispiel Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten In diesem Abschnitt werden zwei Lösungsverfahren für lineare inhomogene Differentialgleichungen (LIK) mit konstanten Koeffizienten a 0, a 1,...,a n und der Störfunktion h(t) behandelt. Falls die Störfunktion h eine spezielle Form hat (Summe/Produkt von Polynom, Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion), so kann man die Struktur der Lösung erraten und muss dann nur noch einige Parameter durch Einsetzen in die Differentialgleichung bestimmen. Die Ansatzfunktion hängt ab von den Nullstellen des charakteristischen Polynoms P der Differentialgleichung, der Störfunktion h. 9

10 1 Differentialgleichungen II Satz Gegeben ist eine lineare inhomogene Differentialgleichung der Form (LIK) mit den Koeffizienten a 0, a 1,..., a n R. Wir definieren Typen von Störfunktionen h(t) und zughörige Ansatzfunktionen y p (t) wie folgt: Typ I h(t) = p(t)e λt, P (t) = (t λ) k q(t) und q(λ) 0, wobei p ein Polynom vom Grad m, und λ eine k-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. k = 0 bedeuted, dass λ keine Nullstelle von P ist. Ansatz: y p (t) = r(t)t k e λt, wobei r ein Polynom vom Grad m ist. Typ II h(t) = p(t)e λ 1t cos(λ 2 t) + q(t)e λ 1t sin(λ 2 t), P (t) = (t (λ 1 + λ 2 i)) k q(t) und q(λ 1 + λ 2 i) 0, wobei p und q Polynome vom Grad m sind, und λ = λ 1 +λ 2 i eine k-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Ansatz: y p (t) = r(t)t k e λ1t cos(λ 2 t) + s(t)t k e λ1t sin(λ 2 t), wobei r und s Polynome vom Grad m sind. Falls h vom Typ I bzw. II ist, so löst eine Funktion y p der im jeweiligen Ansatz gegebenen Form die Differentialgleichung (LIK). Beispiel

11 1.3 Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Bemerkung 1.13 (Ansatzmethode zum Lösen von (LIK)). 1. Prüfe, ob h vom Typ I oder II aus Satz 1.11 ist. Falls ja, dann kann man die Gleichung mit der Ansatzmethode lösen. Falls nicht, so muss man ein anderes Lösungsverfahren wählen. 2. Bestimme die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung. 3. Klassifiziere h nach den Kriterien aus Satz 1.11 und wähle den passenden Ansatz, z.b. y p (t) = (p 0 + p 1 t + p 2 t p m t m )e λt. 4. Setze den Ansatz in die Differentialgleichung (LIK) ein. Dazu müssen die Ableitungen y p, y p,...,y p (n) berechnet werden. 5. Aus der Gleichung aus Schritt 4 kann man die Koeffizienten r 0, r 1,...,r m von r und evtl. die Koeffizienten s 0, s 1,...,s m von s berechnen. 6. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist y c = y h,c + y p. Falls ein Anfangswertproblem gelöst werden soll, so können die Konstanten c aus y h,c in y c aus den Anfangswerten bestimmt werden. Beispiel

12 1 Differentialgleichungen II Satz Es sei y h,c (t) = c 1 y 1 (t)+c 2 y 2 (t)+ +c n y n (t) = n k=1 c ky k (t) die allgemeine Lösung der zu (LIK) gehörenden homogenen Gleichung. Außerdem seien C 1 (t), C 2 (t),..., C n (t) differenzierbare Funktionen, die das folgende Gleichungssystem erfüllen, n i=1 n i=1 n C i(t)y i (t) = 0, i=1 n C i(t)y i(t) = 0, i=1... C i(t)y (n 2) i (t) = 0, C i(t)y (n 1) i (t) = h(t). a n Dann löst y p (t) = n i=1 C i(t)y i (t) die lineare inhomogene Differentialgleichung (LIK). Beweis. Bemerkung Mit den Mitteln der linearen Algebra kann man nachweisen, dass das Gleichungssystem aus Satz 1.15 lösbar ist. Außerdem gibt es eine Formel, wie die gesuchten Funktionen C 1(t), C 2(t),..., C n(t) berechnet werden können. Um die partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu bestimmen, muss man deren Stammfunktionen C 1 (t), C 2 (t),..., C n (t) bestimmen. Beispiel

13 1.4 Exakte Differentialgleichungen 1.4 Exakte Differentialgleichungen Es seien Funktionen P, Q : I M R, mit Intervallen I, M R gegeben. Wir betrachten hier Differentialgleichungen der Form F (t, y(t), y (t)) = 0, mit F (t, x 0, x 1 ) = P (t, x 0 ) + Q(t, x 0 )x 1. (#) Definition Die Differentialgleichung (#) heißt exakte Differentialgleichung, falls das Vektorfeld N(t, x 0 ) = (P (t, x 0 ), Q(t, x 0 )) exakt ist (vgl. MaI Def.3.27). Satz 3.28 aus MaI besagt, dass N genau dann exakt ist, wenn für alle t I, x M gilt dp (t, x) dq(t, x) =. dx dt Satz Ist ϕ ein Potential von N(t, x 0 ) aus Definition 1.18, so ist die Lösung der Gleichung (#) implizit gegeben durch die Auflösung der Gleichung nach y(t). Beweis. ϕ(t, y(t)) = c 13

14 1 Differentialgleichungen II Bemerkung 1.20 (Zur Bestimmung des Potentials ϕ). 1. Der Ansatz dϕ(t,x) dt = P (t, x) liefert ϕ(t, x) = P (t, x) dt + C(x). 2. Durch Einsetzen ergibt sich dϕ(t, x) Q(t, x) = = d ( dx dx ) P (t, x) dt + C(x) = d dx P (t, x) dt + C (x). Man bestimmt C(x) also durch Integration von ( ) d C(x) = Q(t, x) P (t, x) dt dx Beispiel dx. Definition Es sei N = (P, Q) : I M R 2 ein beliebiges Vektorfeld, wobei I, M Intervalle in R sind. Eine stetig differenzierbare Funktion µ : I M R heißt integrierender Faktor zu N, falls für alle t I und alle x M gilt: µ(t, x) 0, und falls das Vektorfeld µn = (µp, µq) exakt ist. 14

15 1.4 Exakte Differentialgleichungen Satz Es seien Funktionen P, Q : I M R, mit Intervallen I, M R gegeben und µ sei ein integrierender Faktor des Vektorfelds N = (P, Q). Eine Funktion y löst die Differentialgleichung (#), genau dann, wenn sie die exakte Differentialgleichung löst. Beweis. µ(t, y(t))p (t, y(t)) + µ(t, y(t))q(t, y(t))y (t) = 0 Bemerkung 1.24 (Zur Bestimmung eines integrierenden Faktors). Im Allgemeinen ist die Bestimmung eines integrierenden Faktors genauso schwer, wie das direkte Lösen der Differentialgleichung. Aus dem Kriterium aus MaI.3.28 bekommt man die Bedingung µ x (t, x)p (t, x) + µ(t, x)p x (t, x) = µ t (t, x)q(t, x) + µ(t, x)q y (t, x). Im speziellen Fall, dass µ nur von t abhängt ist µ x (t, x) = 0 und die Bedingung lautet µ(t, x)p x (t, x) = µ t (t, x)q(t, x) + µ(t, x)q y (t, x), µ t (t, x) = P x(t, x) Q t (t, x) µ(t, x). Q(t, x) d.h. Das ist (für jedes t) eine lineare homogene Differentialgleichung erster Ordnung für µ diese kann evtl. mit den Mitteln aus MaI Kap.10 gelöst werden. Analog kann man vereinfachte Differentialgleichungen herleiten, wenn µ nur von x, oder beispielsweise nur von t + x abhängt. Beispiel

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17 2 Vektorraum, Basis und Dimension 2.1 Grundlegende Definitionen Definition 2.1. Es sei K = R oder K = C. Ein K-Vektorraum ist eine Menge V mit einer Vektoraddition : V V V, einer skalaren Multiplikation : K V V und einem Nullvektor 0 V, so dass die folgenden Rechenregeln gelten: V1 (u v) w = u (v w) (Assoziativität) V2 u v = v u (Kommutativität) V3 v 0 = v (Neutrales Element) V4 v V v V mit v v = 0 (inverse Elemente v = v) V5 (λ + µ) v = λ v µ v (Distributivgesetz I) V6 λ (v w) = λ v λ w (Distributivgesetz II) V7 (λ µ) v = λ (µ v) V8 1 v = v Beispiel

18 2 Vektorraum, Basis und Dimension Satz 2.3. (i) In jedem Vektorraum gibt es genau einen Nullvektor. (ii) Für jeden Vektor v V ist 0 v = 0. (iii) Für jeden Vektor v V ist ( 1) v = v. (iv) Zu jedem Element v des Vektorraums gibt es genau ein inverses Element v = v. Beweis. Definition 2.4. Eine Teilmenge U V eines Vektorraums V, die selbst ein Vektorraum ist, heißt Untervektorraum von V. Beispiel 2.5. Bemerkung 2.6. (i) Anstatt und schreibt man meistens + und. Die Unterscheidung zu Addition und Multiplikation in K ergibt sich dann aus dem Zusammenhang. (ii) Achtung: Vektoren kann man im Allgemeinen nicht multiplizieren und dividieren! 18

19 2.2 Lineare Hülle und Erzeugendensystem 2.2 Lineare Hülle und Erzeugendensystem Definition 2.7. Es sei V ein Vektorraum, r N, und für i = 1, 2,..., r seien Vektoren v i V und Zahlen λ i K gegeben. Die endliche Summe r λ i v i = λ 1 v 1 + λ 2 v λ r v r i=1 heißt Linearkombination der Vektoren v i. Die Menge { n } L ({v 1, v 2,..., v r }) = λ i v i λ i K heißt lineare Hülle von {v 1, v 2,..., v r }. Für eine (evtl. unendlich große) Teilmenge M V ist die Lineare Hülle L(M) die Menge aller endlichen Linearkombinationen aus Vektoren in M. Beispiel 2.8. i=1 Satz 2.9. (i) Eine Teilmenge U V ist ein Untervektorraum von V genau dann, wenn U1 U, U2 für alle u, v U auch deren Summe in U liegt, u + v U und U3 wenn sie zu jedem v U auch beliebige Vielfache λ v (λ K) enthält. (ii) Für jede Teilmenge M V ist L(M) ein Untervektorraum von V. 19

20 2 Vektorraum, Basis und Dimension Beweis. Definition Eine Teilmenge U V heißt Erzeugendensystem von V, wenn Beispiel L(U) = V. 2.3 Basis und Dimension Definition Eine Menge B V heißt linear unabhängig wenn für jede Linearkombination von Vektoren b 1, b 2,..., b r aus B gilt: Ist λ 1 b 1 + λ 2 b λ r b r = 0, so müssen alle λ 1 = λ 2 = = λ r = 0 Null sein. Äquivalent dazu darf kein Vektor in B die Linearkombination der restlichen Vektoren sein. Eine Menge von Vektoren heißt linear abhängig, wenn sie nicht linear unabhängig ist. Beispiel

21 2.3 Basis und Dimension Definition Eine Menge B V heißt Basis von V wenn B linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von V ist. Beispiel Satz Ist B = (b 1, b 2,..., b n ) eine geordnete Basis von V, so gibt es für jeden Vektor v V genau einen Tupel (λ 1, λ 2,..., λ n ) K n von Zahlen in K, so dass v = λ 1 b 1 + λ 2 b λ n v n. Die Zahlen λ i heißen Koordinaten von v in der Basis B und man schreibt Beispiel v B = (λ 1, λ 2,..., λ n ). Satz Es sei B = {b 1, b 2,..., b n } eine Basis eines Vektorraums V. (i) Man kann ein Basiselement b j B austauschen durch eine Linearkombination c = λ 1 b 1 + λ 2 b λ n b n, wobei λ j 0 sein muss. Die Menge B = {b 1, b 2,..., b j 1, c, b j+1,..., b n } ist dann wieder eine Basis von V. (ii) Ist C = {c 1, c 2,..., c m } eine weitere Basis von V, so gilt n = m (die Anzahl der Basiselemente ist immer die gleiche). 21

22 2 Vektorraum, Basis und Dimension Beispiel Definition Falls V eine endliche Basis besitzt, so ist die Zahl n an Basiselementen aus Satz 2.18(ii) die Dimension von V. Ansonsten ist die Dimension von V unendlich. Man schreibt dim(v ) = n bzw. dim(v ) =. Beispiel

23 3 Skalarprodukt und Orthogonalität 3.1 Skalarprodukt und Norm Definition 3.1. Es sei V ein K-Vektorraum (K = R oder K = C). (i) Eine Verknüpfung, mit v, w K heißt Skalarprodukt auf V, falls für u, v, w V und λ K die folgenden Regeln gelten: SP1 v, w = w, v (Symmetrie) SP2 λv, w = λ v, w (Homogenität) SP3 u + v, w = u, w + v, w (Linearität) SP4 v, v 0 für alle v V, v 0 v, v 0 (positive Definitheit) (ii) Eine Abbildung : V R heißt Norm auf V, falls für u, v V und λ K die folgenden Regeln gelten: Beispiel 3.2. N1 v 0 und v = 0 v = 0 (positive Definitheit) N2 λv = λ v (Homogenität) N3 u + v u + v (Dreiecksungleichung) 23

24 3 Skalarprodukt und Orthogonalität Satz 3.3 (Cauchy-Schwarz sche Ungleichung). Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt, und v = v, v (vgl. Satz 3.4). Dann gilt für alle v, w V dass v, w v w und es gilt die Gleichheit v, w = v w genau dann, wenn die Menge {v, w} linear abhängig ist. Satz 3.4. Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt,. Dann wird durch v = v, v eine Norm auf V definiert. Beweis. Beispiel

25 3.2 Orthogonalität 3.2 Orthogonalität Definition 3.6. Für Vektoren v, w V \ {0} ist die Zahl α [0, π[ mit cos(α) = v, w v w [ 1, 1] der Winkel zwischen v und w. Vektoren v, w V mit v, w = 0 heißen zueinander orthogonal und man schreibt v w. Die Zahl v R ist die Länge von v. Beispiel 3.7. Satz 3.8. Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt, und B V \ {0} sei eine Teilmenge von V mit paarweise orthogonalen Vektoren ungleich Null, d.h. für beliebige v, w B mit v w gilt v, w = 0. Dann ist B linear unabhängig. Definition 3.9. Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt, und B V \ {0} sei eine Teilmenge von V wie in Satz 3.8. Eine solche Menge heißt Orthogonalsystem. Besitzen alle Vektoren v B die Norm 1, d.h. v = v, v = 1, so heißt B Orthonormalsystem. Ist B eine Basis von V, so spricht man von einer Orthogonal- bzw. Orthnormalbasis (ONB). Beispiel

26 3 Skalarprodukt und Orthogonalität Satz Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt, und der dadurch induzierten Norm. (i) Es sei B eine Basis von V. Es gilt v = w b B : v, b = w, b. (ii) Es sei B = {b 1, b 2,..., b n } eine orthonormale Basis von V und v V. Es gilt v = n v, b i b i. i=1 Beweis. 3.3 Orthogonales Komplement und orthogonale Projektion Definition Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt, und U V sei eine Teilmenge von V. Dann ist das orthogonale Komplement von U in V. U = {v V u U : u, v = 0} Satz Für jede Teilmenge U V ist U ein Untervektorraum von V. 26

27 3.3 Orthogonales Komplement und orthogonale Projektion Beispiel Satz Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt,, U V sei ein Untervektorraum von V und v V sei ein Vektor in V. Dann existiert genau ein Vektor u U, so dass der Abstand d(v, U) = min{ v u u U} = v u von v zu U in u minimal ist. Man definiert eine Abbildung P U : V U durch P U (v) = u. P U heißt orthogonale Projektion von V auf U. Beispiel Satz Die Abbildung P U aus Satz 3.15 besitzt die folgenden Eigenschaften: (i) Es gilt P U (v) = 0 genau dann, wenn v U. (ii) Es gilt P U (v) = v genau dann, wenn v U. (iii) Es ist P U P U = P U, d.h. für alle v V ist P U (P U (v)) = P U (v). (iv) Für alle v V ist v P U (v) U. 27

28 3 Skalarprodukt und Orthogonalität Beweis. Satz Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt, und U V sei ein Untervektorraum von V mit einer Orthonormalbasis B = {b 1, b 2,..., b r }. Dann gilt für alle v V r P U (v) = v, b i b i. Beispiel i=1 28

29 3.3 Orthogonales Komplement und orthogonale Projektion Bemerkung 3.20 (Orthonormalisierungverfahren von Schmidt). Es sei V ein K-Vektorraum mit dem Skalarprodukt, und der dadurch induzierten Norm. Außerdem sei A = {a 1, a 2,..., a r } eine endliche linear unabhängige Teilmenge von V. Man kann aus A eine Orthonormalbasis wie folgt konstruieren, 1. k = 1, b 1 = 1 a 1 a 1, 2. k = k + 1, b k = a k k 1 i=1 a k, b i b i, 3. b k = 1 bk, b k 4. falls k = r fertig, und B = {b 1, b 2,..., b r } ist eine Orthonormalbasis von V, ansonsten weitermachen mit Schritt 2. Beispiel

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31 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4.1 Lineare Abbildungen Definition 4.1. Es seien V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, wenn für alle u, v V und λ K gilt Beispiel 4.2. L1 f(u + v) = f(u) + f(v), L2 f(λu) = λf(u). Satz 4.3. Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W wird mit Lin(V, W ) bezeichnet und ist ein Untervektorraum des Vektorraums X = Abb(V, W ) aller Abbildungen von V nach W. Beweis. 31

32 4 Lineare Abbildungen und Matrizen Satz 4.4. (i) Sind f : V W und g : W Z lineare Abbildungen, so ist auch die Verkettung f g : V Z (mit (f g)(v) = f(g(v))) eine lineare Abbildung. (ii) Ist f : V W eine lineare Abbildung und besitzt f eine Umkehrfunktion f 1, so ist auch die Umkehrfunktion linear. Satz 4.5. Es sei V ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt und U ein Untervektorraum von V. Die orthogonale Projektion P U : V U aus 3.15 ist linear. Definition 4.6. Es sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann ist Im(f) = f(v ) = {f(v) v V } das Bild von f, und der Kern von f. Ker(f) = {v V f(v) = 0} Beispiel 4.7. Satz 4.8. Ist f : V W eine lineare Abbildung, so ist Im(f) ein Untervektorraum von W, und Ker(f) ein Untervektorraum von V. Beweis. 32

33 4.2 Isomorphismen 4.2 Isomorphismen Definition 4.9. Besitzt eine lineare Funktion f : V W eine Umkehrfunktion f 1 : W V, so heißt f Isomorphismus. Die Vektorräume V, W heißen zueinander isomorph, falls es einen Isomorphismus f : V W gibt. Beispiel Satz Ist V ein Vektorraum mit der Basis B = {b 1, b 2,..., b n }, so kann man eine lineare Abbildung f definieren, indem man die Bilder der Basisvektoren festlegt. D.h. für f : V W wählt man w 1, w 2,..., w n W, und setzt f(b i ) = w i. Dann ist f definiert durch ( n ) n n f(v) = f λ i b i = λ i f(b i ) = λ i w i. Beispiel i=1 i=1 i=1 Satz Es seien V, W K-Vektorräume, und f : V W sei eine lineare Abbildung. (i) Schränkt man den Bildbereich von f auf f(v ) ein, so ist die Abbildung f : V f(v ) mit f(v) = f(v) invertierbar, genau dann, wenn Ker(f) = {0}. (ii) Es sei B = {b 1, b 2,..., b n } eine Basis von V. f ist ein Isomorphismus, genau dann wenn die Menge {f(b 1 ), f(b 2 ),..., f(b n )} eine Basis von W ist. (iii) Gilt Dim(V ) = Dim(W ), so ist f invertierbar, genau dann wenn Ker(f) = {0}. (iv) Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum, so gilt Dim(V ) = Dim(Im(f)) + Dim(Ker(f)). 33

34 4 Lineare Abbildungen und Matrizen Satz Es sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Dann ist V isomorph zum Vektorraum K n. Beweis. 4.3 Matrizen Es sei V ein Vektorraum mit der geordneten Basis B = (b 1, b 2,..., b n ), W sei ein Vektorraum mit der geordneten Basis C = (c 1, c 2,..., c m ), und f : V W sei eine lineare Abbildung. Denkt man an Satz 4.11, so ist f bereits vollständig gegeben durch die Definition von f(b 1 ) = w 1, f(b 2 ) = w 2,... f(b n ) = w n. Stellt man die Vektoren w i als Linearkombinationen in der Basis C dar (vgl. Satz 2.16), so bekommt man das Schema f(b 1 ) = a 11 c 1 + a 21 c a m1 c m, f(b 2 ) = a 12 c 1 + a 22 c a m2 c m,.. f(b n ) = a 1n c 1 + a 2n c a mn c m. Die lineare Abbildung f ist also durch das Zahlenschema a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =.... a m1 a m2... a mn eindeutig definiert. ( ) 34

35 4.3 Matrizen Definition Ein Zahlenschema der Form ( ) heißt m n-matrix. Die Menge aller solcher Zahlenschemata wird mit K m n bezeichnet. Man kann zwei m n-matrizen addieren wie folgt, a 11 a a 1n b 11 b b 1n a 11 +b 11 a 12 +b a 1n +b 1n a 21 a a 2n b 21 b b 2n.... = a 21 +b 21 a 22 +b a 2n +b 2n.... a m1 a m2... a mn b m1 b m2... b mn a m1 +b m1 a m2 +b m2... a mn +b mn und mit einer Zahl λ K multiplizieren, a 11 a a 1n λa 11 λa λa 1n a 21 a a 2n λ.... = λa 21 λa λa 2n.... a m1 a m2... a mn λa m1 λa m2... λa mn. Mit diesen Operationen + und ist die Menge K m n ein K-Vektorraum. Definition Es sei A K m n und B K n p. Man kann das Produkt C = A B K m p definieren wie folgt, a 11 a a 1n b 11 b b 1p c 11 c c 1p a 21 a a 2n.... b 21 b b 2p.... = c 21 c c 2p...., a m1 a m2... a mn b n1 b n2... b np c m1 c m2... c mp wobei c kj = n i=1 a kib ij = a k, b j, wobei a k die k-te Zeile von A, und b j die j-te Spalte von B ist ( Zeile mal Spalte ). Das neutrale Element der Matrixmultiplikation in K n n ist die Einheitsmatrix E = E n = Beispiel

36 4 Lineare Abbildungen und Matrizen Satz Es seien Matrizen A, B, C, D gegeben so dass die jeweiligen Rechenoperationen ausführbar sind. Dann gilt (i) E A = A E = A, (ii) (A B) C = A (B C), (iii) A (B + C) = A B + A C und (B + C) D = B D + C D. Im Allgemeinen gilt (iv) A B B A, (v) A B = 0 A = 0 oder B = 0. Zu Beginn dieses Abschnitts haben wir gesehen, dass man lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen als Zahlenmatrix darstellen kann. Der folgende Satz besagt, dass auch umgekehrt durch jede Zahlenmatrix eine lineare Abbildung definiert wird. Satz Durch eine Matrix A K m n wird eine lineare Abbildung f A : K n K m definiert wie folgt: für x K n = K n 1 ist f A (x) = A x. Beweis. Definition Die Anzahl linear unabhängiger Spalten einer Matrix A K m n ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Zeilen der Matrix. Diese Zahl heißt Rang von A und wird mit Rang(A) bezeichnet. Eine quadratische Matrix A K n n heißt regulär, wenn Sie vollen Rang hat, d.h., wenn Rang(A) = n. Ansonsten heißt die Matrix singulär. Beispiel

37 4.3 Matrizen Satz (i) Sind A K m n, B K n l Matrizen und f A : K n K m, f B : K l K n die zugehörigen linearen Abbildungen, so gilt f A f B = f A B, d.h., für x K l ist (f A f B )(x) = f A (f B (x)) = f A (B x) = A (B x) = (A B) x (vgl. Satz 4.18 (ii)). (ii) Eine Matrix A K n n ist regulär, genau dann wenn die durch A induzierte lineare Abbildung f A eine Umkehrfunktion besitzt. Die Matrix A besitzt dann eine Inverse A 1 (die Darstellungsmatrix von f 1 A ) und es gilt A A 1 = A 1 A = E. Beispiel Satz Es seien A, B K n n. (i) Ist A B = E n, so sind A und B regulär und es ist A = B 1 und B = A 1. (ii) Sind A und B regulär, so ist auch das Produkt A B regulär und es gilt (A B) 1 = B 1 A 1. Definition Es sei a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =.... Km n. a m1 a m2... a mn Dann ist a 11 a a n1 A a 12 a a 2n =.... Kn m a 1m a 2m... a nm die zu A transponierte Matrix. 37

38 4 Lineare Abbildungen und Matrizen Beispiel Satz Es seien A, B, C, D Matrizen, so dass die folgenden Operationen durchgeführt werden können. Es gilt (A + B) = A + B, (C D) = D C. Ist F eine quadratische, reguläre Matrix, so ist Beispiel (F 1 ) = (F ) 1. 38

39 5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 5.1 Lineare Gleichungssysteme Definition 5.1. Bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) sind n Unbekannte x 1, x 2,..., x n so zu bestimmen, dass ein System von m linearen Gleichungen erfüllt ist, d.h. für vorgegebene Zahlen a ij, b i (i = 1... m, j = 1... n) soll gelten: Wenn man a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2,.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. a 11 a a 1n b 1 x 1 a 21 a a 2n A =...., b = b 2., x = x 2. a m1 a m2... a mn b m x n setzt, so ist ( ) äquivalent zu A x = b. Ist b = 0, so nennt man ( ) homogen, ansonsten inhomogen. Das Gleichungssystem ( ) kann als erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben werden wie folgt, a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m wenn die rechte Seite b = 0 ist, so kann sie in der Koeffizientenmatrix auch weggelassen werden. Satz 5.2. (i) Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ist der Kern der zur Matrix A gehörenden linearen Abbildung f A, und damit ist die Lösungsmenge nach Satz 4.8 ein Untervektorraum des K n. (ii) Wenn Aˆx = b gilt, so ist die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems Ax = b die Menge.., M = {ˆx + y y K n so, dass Ay = 0} = ˆx + Ker(f A ). ( ) 39

40 5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten (iii) Das lineare Gleichungssystem ( ) ist lösbar genau dann, wenn b Im(f A ). (iv) Es gilt Dim(Im(f A )) = Rang(A) = n Dim(Ker(f A )). Beispiel 5.3. Satz 5.4. Wenn m = n und A eine reguläre Matrix ist, dann ist das Gleichungssystem Ax = b für jedes b K n eindeutig lösbar. Der Lösungsvektor ist x = A 1 b. Beweis. 5.2 Der Gauß-Algorithmus Satz 5.5. Die folgenden Operationen ändern die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems nicht: (i) Vertauschung zweier Zeilen, (ii) Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl λ 0, (iii) Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer gegebenen Zeile. Diese Operationen kann man nutzen, um die Lösung eines linearen Gleichungssystems zu bestimmen. 40

41 5.2 Der Gauß-Algorithmus Bemerkung 5.6 (Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme). Gegeben ist die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems Ax = b. 1. Man fängt mit der ersten Spalte an, und wählt den kleinsten Zeilenindex i, so dass a i1 0 (d.h., falls a 11 0, i = 1, falls a 11 = 0 aber a 21 0, i = 2, etc.). Falls die gesamte erste Spalte gleich Null ist, dann springt man zu Schritt 5 und sucht in der zweiten Spalte, anfangend von der ersten Zeile, einen Eintrag ungleich Null. 2. Diese i-te Zeile teilt man durch a 1i und tauscht sie mit der ersten Zeile (wenn i = 1, dann ist dieser Schritt überflüssig). Im Gleichungssystem steht jetzt links oben eine Im nächsten Schritt nutzt man die 1 links oben im Gleichungssystem, um alle Einträge a 1k zu Null zu machen: Falls a 1k 0, so subtrahiert man von der k-ten Zeile a 1k mal die erste Zeile. 4. Die erste Spalte des Gleichungssystems lautet nun 1, 0,..., Jetzt ignoriert man die erste Zeile und die erste Spalte, und sucht in der zweiten Spalte, ab der zweiten Zeile den obersten Eintrag a i2 0 (i 2). Falls die gesamte zweite Spalte ab der zweiten Zeile abwärts gleich Null ist, dann springt man zu Schritt 8 und sucht in der dritten Spalte weiter, etc. 6. Man teilt diese Zeile wieder durch a i2 und tauscht sie mit der 2-ten Zeile. 7. Nun wird wieder von jeder Zeile k 3 a 2k mal die zweite Zeile subtrahiert und man erhält die zweite Spalte ã 12, 1, 0,...,0. 8. Analog geht man spaltenweise durch das gesamte Gleichungssystem und erhält am Ende so etwas wie 1 ã 12 ã ã 1n b1 0 1 ã ã 2n b bm 9. Durch die Umformungen in Schritt 1 bis 8 ändert sich die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht (vgl. Satz 5.5). Die Lösung kann man durch Rücksubstitution aus der Form in Schritt 8 berechnen. 41

42 5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Beispiel 5.7. Bemerkung 5.8. (i) Will man ein und dasselbe Gleichungssystem (A b) für mehrere rechte Seiten b, c, d,... lösen, so kann man in der erweiterten Koeffizientenmatrix mehrere rechte Seiten nebeneinander schreiben, (A b c d... ) und dann den Gauß- Algorithmus simultan durchführen. (ii) Will man ein und dasselbe Gleichungssystem mit n Unbestimmten und n Gleichungen für mehr als n verschiedene rechte Seiten lösen, so kann es sich lohnen, die Inverse A 1 von A zu berechnen und dann Satz 5.4 zu benutzen. (iii) Um eine Matrix zu invertieren, kann man auf die rechte Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix eine Einheitsmatrix schreiben, (A E), und dann die Matrix so weit umformen, dass links eine Einheitsmatrix steht. Die Matrix auf der rechten Seite ist dann die Inverse von A (d.h. man formt um zu (E A 1 )). Beispiel

43 5.3 Determinanten 5.3 Determinanten Definition Es sei A K n n eine Matrix mit den Einträgen a i,j in der i-ten Zeile, j-te Spalte. Außerdem sei für i, j {1, 2,..., n} die (n 1) (n 1)-Untermatrix A ij gegeben als die Matrix, welche durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht. Für n 2 ist die Determinante von A definiert durch n det(a) = A = ( 1) k+1 a 1,k det(a 1,k ). k=1 Die Determinanten det(a 1k ) lassen sich rekursiv nach der gleichen Formel berechnen, solange sie mindestens 2 2 Matrizen sind. Für n = 1 ist die Determinante Beispiel det(a) = det(a 11 ) = a 11. Satz 5.12 (Zur Berechnung von Determinanten). (i) Für A K 2 2 ist det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21. (ii) (Regel von Sarrus:) Für A K 3 3 ist det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. (iii) (Laplace scher Entwicklungssatz) Die Determinante einer Matrix A K n n kann nach jeder Zeile oder Spalte von A entwickelt werden: Entwicklung nach der i-ten Zeile (liefert für i = 1 die Definition): n det(a) = ( 1) k+i a i,k det(a i,k ). k=1 Entwicklung nach der k-ten Spalte: n det(a) = ( 1) k+i a i,k det(a i,k ). i=1 43

44 5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Beispiel Satz 5.14 (Eigenschaften der Determinante). (i) Die Determinantenabbildung ist linear in der Zeilen/Spalten der Matrix A, d.h., es gilt z.b. a a 1,j 1 x 1 + λy 1 a 1,j+1... a 1n a a 2,j 1 x 2 + λy 2 a 2,j+1... a 2n det.... a n1... a n,j 1 x n + λy n a n,j+1... a nn a a 1,j 1 x 1 a 1,j+1... a 1n a a 2,j 1 x 2 a 2,j+1... a 2n = det.... a n1... a n,j 1 x n q a n,j+1... a nn a a 1,j 1 y 1 a 1,j+1... a 1n a a 2,j 1 y 2 a 2,j+1... a 2n + λ det.... a n1... a n,j 1 y n a n,j+1... a nn (ii) Das Vertauschen von Zeilen oder Spalten in einer Matrix ändert das Vorzeichen ihrer Determinante. (iii) Addiert man das Vielfache einer Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte, so ändert sich die Determinante der Matrix nicht. (iv) det(a) = det(a T ), det(āt ) = det(a) (v) det(a B) = det(a) det(b), (vi) det(e n ) = 1, det(a 1 ) = (det(a)) 1, 44

45 5.4 Determinanten und lineare Gleichungssysteme 5.4 Determinanten und lineare Gleichungssysteme Satz 5.15 (Determinanten und die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems). Eine Matrix A ist regulär genau dann, wenn det(a) 0. Das lineare Gleichungssystem Ax = b besitzt für jedes b genau eine Lösung, genau dann, wenn A regulär ist, d.h. wenn det(a) 0. Ansonsten besitzt das Gleichungssystem unendlich viele, oder gar keine Lösungen. Beispiel Satz 5.17 (Cramer sche Regel). Es sei A K n n eine reguläre Matrix und b K n sei ein Vektor. Die Matrix A k sei diejenige Matrix, welche durch Ersetzen der k-ten Spalte von A mit dem Vektor b entsteht. Die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b ist gegeben durch x = (x 1, x 2,..., x n ) mit Beispiel x k = det(a k) det(a). Bemerkung Satz 5.17 liefert einen Algorithmus zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Typischerweise ist es jedoch wesentlich weniger Aufwand, den Gauß- Algorithmus aus Bemerkung 5.6 zu verwenden. 45

46

47 6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f, und v heißt Eigenvektor (EV) von f. Spricht man von Eigenwerten bzw. Eigenvektoren einer Matrix A K n n, so meint man die Eigenwerte/Eigenvektoren der durch A induzierten Abbildung f A (v) = Av. Zu einem gegebenen Eigenwert λ heißt U = {v V f(v) = λv} Eigenraum zum Eigenwert λ, und man schreibt U = Eig(f, λ) bzw. U = Eig(A, λ). Beispiel 6.2. Satz 6.3. Der Eigenraum Eig(f, λ) einer linearen Abbildung f : V V zu einem Eigenwert λ K ist ein Untervektorraum von V. Beweis. 47

48 6 Eigenwerte und Eigenvektoren Satz 6.4. (i) Eine Zahl λ ist Eigenwert einer Matrix A, genau dann, wenn det(a λ E n ) = 0. (ii) Der Ausdruck det(a λe n ) ist ein Polynom in λ und heißt charakteristisches Polynom von A und wird mit χ A (λ) = det(a λe n ) bezeichnet. (iii) Es gilt χ A (λ) = ( λ) n +Spur(A)( λ) n 1 + +det(a). Hier bei ist die Spur einer Matrix Spur(A) = n i=1 a ii die Summe ihrer Diagonalelemente. Beweis. Beispiel 6.5. Definition 6.6. In der Zerlegung χ A (λ) = r k=1 (λ λ k) m k des charakteristischen Polynoms in Linearfaktoren (in C, alternativ in lineare und quadratische Faktoren in R) sind λ k die Eigenwerte von A, und m k ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ k. Satz 6.7. Es sei A K n n eine Matrix mit dem Eigenwert λ. (i) Der Eigenraum Eig(A, λ) ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems (A λe n )x = 0. Das heißt, der Eigenraum ist der Kern der Abbildung f A λen. (ii) Die Dimension des Eigenraums Eig(A, λ) ist q = Dim(Eig(A, λ) = n Rang(A λe n ). Die Zahl q heißt geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ. Beweis. 48

49 6.2 Basiswechsel und Diagonalisierbarkeit Beispiel 6.8. Satz 6.9. (i) Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwert ist immer kleiner gleich seiner algebraischen Vielfachheit. (ii) Sind λ 1,..., λ r verschiedene Eigenwerte einer Matrix A und v 1,..., v r zugehörige Eigenvektoren, so ist die Menge {v 1,..., v r } linear unabhängig. Beispiel Basiswechsel und Diagonalisierbarkeit Definition Zwei Matrizen A, B K n n Matrix T existiert, so dass heißen ähnlich, wenn einer reguläre AT = T B, bzw. A = T BT 1, bzw. B = T 1 AT. Satz Zueinander ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom, und damit die gleichen Eigenwerte. Beweis. Satz Ist A die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung f : K n K n in der kanonischen Basis E n = (e 1, e 2,..., e n ), so ist die Matrix B 1 AB die Darstellungsmatrix von f in der Basis B = (b 1, b 2,..., b n ). Mit der Schreibweise B = (b 1, b 2,..., b n ) ist einerseits die geordnete Basis mit den Vektoren b 1,..., b n, und andererseits die Matrix mit den Spalten b 1,..., b n gemeint. 49

50 6 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiel Definition Eine Matrix A K n n heißt diagonalisierbar, wenn es eine Matrix B K n n gibt, so dass B 1 AB eine Diagonalmatrix ist, d.h., wenn diese Matrix nur auf der Diagonalen Einträge ungleich Null hat (a ij = 0 für i j). Satz (i) Eine Matrix A ist diagonalisierbar, genau dann, wenn eine Basis des K n aus Eigenvektoren von A existiert. Die Matrix B ist dann die Matrix, die entsteht, wenn man als Spalten die Basisvektoren nimmt (vgl. Satz 6.13). (ii) Es existiert eine Basis aus Eigenvektoren von A, wenn die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts gleich seiner algebraischen Vielfachheit ist. Beispiel Definition Eine Matrix A C n n heißt hermitesch, wenn Ā = A (d.h. a ij = ā ji für i j) ist. Eine Matrix A R n n heißt symmetrisch, wenn A = A ist (d.h. reelle hermitesche Matrizen sind symmetrisch). Satz (i) Hermitesche Matrizen besitzen nur reelle Eigenwerte. (ii) Aus a) folgt, dass das charakteristische Polynom einer reellen symmetrischen Matrix in Linearfaktoren zerlegt werden kann. (iii) Sind λ, µ zwei verschiedene Eigenwerte einer symmetrischen Matrix, so sind die zugehörigen Eigenvektoren zueinander senkrecht. 50

51 6.3 Definitheit von Matrizen Satz Ist A R n n symmetrisch, so existiert eine Orthonormalbasis B, so dass die Darstellungsmatrix BAB 1 der Abbildung f A bezüglich der Basis B eine Diagonalmatrix ist. Ist B eine Orthonormalbasis, so ist B 1 = B. Beispiel Bemerkung 6.22 (Vgl. Aufgaben V 9.3, S 9.6a)). Es sei A K n n eine Matrix, D = diag(d 1, d 2,..., d n ) K n n sei eine Diagonalmatrix, und B K n n sei invertierbar, so dass A = BDB 1 gilt. Für natürliche Zahlen k N ist die k-te Potenz einer Matrix definiert als A k = k i=1 A = A A A, und A0 = E n. Damit kann man Matrizen in Polynome und in Potenzreihen einsetzen. Insbesondere ist exp(a) = 1 k=0 k! Ak. (i) Für jedes k N gilt: A k = BD k B 1. (ii) Für jedes k N gilt: D k = diag(d k 1, d k 2,..., d k n). (iii) Es ist exp(a) = B diag(e d 1, e d 2,..., e dn ) B Definitheit von Matrizen Definition Eine Matrix A K n n heißt positiv semidefinit, wenn für alle Vektoren x K n gilt x Ax 0, positiv definit, wenn für alle Vektoren x K n, x 0 gilt x Ax > 0, negativ semidefinit, wenn für alle Vektoren x K n gilt x Ax 0 (d.h. wenn A positiv semidefinit ist), negativ definit, wenn für alle Vektoren x K n, x 0 gilt x Ax > 0 (d.h. wenn A positiv definit ist). Die obigen Definitionen können jeweils auf eine Teilmenge des K n eingeschränkt werden: Eine Matrix A heißt z.b. positiv definit über einer Menge M R n, wenn die obige Bedingung für alle x M gilt. 51

52 6 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiel Satz Eine reelle symmetrische Matrix ist positiv definit, genau dann, wenn alle ihre Eigenwerte positiv sind, und positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte größer gleich Null sind. Beispiel Satz Eine reelle symmetrische Matrix A R n n ist positiv definit, wenn alle Hauptabschnittsdeterminenten a a 1k D k = det.. > 0 a k1... a kk positiv sind (für alle k {1, 2,..., n}). Beispiel

53 7 Anwendungen der Linearen Algebra 7.1 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Bemerkung 7.1. Wir behandeln das Problem: Gegeben ist eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f : R n R und ein stetig differenzierbares Vektorfeld g : R n R m, wobei m < n. Gesucht sind Maximal-/Minimalstellen x von f, wobei g(x) = 0 (Maximierungs-/Minimierungsproblem mit Nebenbedingungen): Minimiere/Maximiere f(x) wobei g(x) = 0. (O) In MaI, Kap. 8.4 wurden Extremwertaufgaben ohne Nebenbedingungen behandelt. In den Übungen traten auch Ungleichungsnebenbedingungen auf, wenn die Menge, über die man minimiert oder maximiert hat, abgeschlossen war (z.b. Aufgabe 12.2). In diesem Abschnitt sind nur Gleichheitsnebenbedingungen g(x) = 0 erlaubt. In MaI, Satz 8.24 steht die notwendige Bedingung für eine Extremalstelle: Wenn x 0 R n eine lokale Extremalstelle von f ist, dann ist f(x 0 ) = 0 (alle Punkte x mit f(x) = 0 heißen kritische Punkte). In MaI, Satz 8.26 wurden im Fall n = 1 oder n = 2 hinreichende Bedingungen zweiter Ordnung formuliert: Für n = 1 folgt aus f (x 0 ) < 0, dass x 0 eine Maximalstelle ist, und aus f (x 0 ) > 0 folgt, dass x 0 eine Minimalstelle ist. Für n = 2 hatten wir eine Bedingungen für die gemischten zweiten Ableitungen (d.h., für die Einträge der Hesse-Matrix) aufgeschrieben. Das Ziel in diesem Abschnitt ist es (i) Bedingungen erster und zweiter Ordnung für Minimierungs-/Maximierungsprobleme mit Nebenbedingungen zu formulieren. (ii) Die hinreichenden Bedingungen zweiter Ordnung aus Ma1, Satz 8.26 für beliebige n N zu verallgemeinern, 53

54 7 Anwendungen der Linearen Algebra Satz 7.2. (Notwendige Bedingung erster Ordnung) Es seien f : R n R und g : R n R m stetig differenzierbar, und x 0 R n erfülle g(x 0 ) = 0 (Zulässigkeit), Rang( g(x 0 )) = m. Wenn x 0 eine Lösung des Optimierungsproblems (O) ist, dann muss f(x 0 ) L( g(x o )) (K) gelten, d.h. es müssen Zahlen ˆλ 1,..., ˆλ m existieren, so dass f(x 0 ) = m ˆλ k g k (x 0 ). k=1 Beispiel 7.3. Definition 7.4. Die Funktion L : R n+m R, L(x, λ) = L(x 1, x 2,..., x n, λ 1, λ 2,..., λ m ) = f(x) + m λ k g k (x) heißt Lagrange-Funktion zum Optimierungsproblem (O). Punkte x 0 R n, die zulässig sind (d.h. g(x 0 ) = 0) und die Bedingung (K) erfüllen, heißen kritische Punkte, und die zugehörigen Koeffizienten λ 1,... λ m heißen Lagrange-Multiplikatoren von (O) in x 0. Die Zahlen λ k entsprechen jeweils ˆλ k aus Satz 7.2. k=1 54

55 7.1 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Bemerkung 7.5. (i) Die Bedingungen g(x 0 ) = 0, f(x 0 ) + m k=1 λ k g k (x 0 ) bilden ein System von n + m Gleichungen mit n + m Unbestimmten x 0 = (x 0,1,..., x 0,n ), λ = (λ 1,..., λ m ). Diese Gleichungen sind typischerweise nicht linear! (ii) Mit der Lagrangefunktion L(x, λ) aus Def. 7.4 kann man die notwendigen Bedingungen aus Satz 7.2 kompakt schreiben als L(x, λ) = 0 R n+m. (iii) Extremwertaufgaben ohne Nebenbedingungen sind als Spezialfall von O mit m = 0 zu verstehen. Die Bedingung aus Satz 7.2 liefert dann 0 f(x 0 ) = ˆλ k g k (x 0 ) = 0, k=1 und das ist genau die Bedingung aus Ma1 Satz 8.26 (s.o.). Satz 7.6 (Hinreichende Bedingung zweiter Ordnung). Es seien f : R n R und g : R n R m zweimal stetig differenzierbar, und x 0 R n sei ein kritischer Punkt zum Optimierungsproblem (O). Wenn die Hesse-Matrix von L bezüglich x d 2 d L(x dx 2 0, λ 0 ) 2 d 1 dx 1 dx 2 L(x 0, λ 0 )... 2 dx 1 dx n L(x 0, λ 0 ) d 2 d HL(x x 0 ) = dx 2 dx 1 L(x 0, λ 0 ) 2 d L(x dx 2 0, λ 0 ) dx 2 dx n L(x 0, λ 0 )... d 2 d dx ndx 1 L(x 0, λ 0 ) 2 d dx ndx 1 L(x 0, λ 0 )... 2 L(x dx 2 0, λ 0 ) n positiv definit über dem Raum U = Ker( g(x 0 ) ) ist, dann ist x 0 ein striktes lokales Minimum von f, wenn sie negativ definit über U ist, dann ist x 0 ein striktes lokales Maximum von f, und wenn sie indefinit über U ist, dann liegt in x 0 kein Extremum vor. Beispiel 7.7. Bemerkung 7.8. Die Bedingungen aus Satz 7.6 liefern für m = 0 und n = 1 bzw. n = 2 genau die Bedingungen aus MaI Satz

56 7 Anwendungen der Linearen Algebra 7.2 Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Definition 7.9. Gegeben sind n N, ein Zeitintervall I R, eine Matrix mit Koeffizientenfunktionen A(t) = (a ij (t)), und ein Vektorfeld h(t) K n (t I). Ein System linearer Differentialgleichungen erster Ordnung oder lineares Differentialgleichungssystem hat die Form y (t) = A(t)y(t) + h(t), (S) wobei die gesuchte Lösung y(t) = (y 1 (t), y 2 (t),..., y n (t)) ein Vektor mit n Komponenten ist. Das System heißt homogen, falls h(t) = 0 ist, und mit konstanten Koeffizienten, wenn alle Koeffizientenfunktionen konstant in t sind, d.h., A(t) = A hängt nicht von t ab. Beispiel Satz Die Lösungsmenge eines linearen homogenen Differentialgleichungssystems mit n Gleichungen und konstanten Koeffizienten ist ein Vektorraum der Dimension n, und besitzt somit eine Basis B = {b 1 (t), b 2 (t),..., b n (t)}. Eine solche Basis heißt Fundamentalsystem der Differentialgleichung. Satz (i) Ist λ R ein Eigenwert von A und v ein zugehöriger Eigenvektor, so ist b(t) = e λt v eine Lösung von y (t) = Ay(t). (ii) Ist λ = α+βi C ein Eigenwert von A und v = a+bi ein zugehöriger Eigenvektor, dann sind b 1 (t) = e αt (cos(βt)a sin(β)b) und b 2 (t) = e αt (cos(βt)a + sin(β)b) zwei linear unabhängige reelle Lösungen von y (t) = Ay(t). (iii) Ist A diagonalisierbar, so besitzt die Differentialgleichung y (t) = Ay(t) ein Fundamentalsystem aus Lösungen der Form (i) und (ii). Beweis. 56

57 7.2 Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Bemerkung Ist ein homogenes Anfangswertproblem y (t) = Ay(t), y(t 0 ) = y 0 R n zu lösen, so bestimmt man die Koeffizienten c 1, c 2,... c n in der Linearkombination y(t) = n k=1 c kb k (t) durch Lösen des linearen Gleichungssystems n k=1 c kb k (t 0 ) = y 0. Beispiel Bemerkung 7.15 (Variation der Konstanten). Ist eine inhomogene Differentialgleichung y (t) = Ay(t) + h(t) zu lösen, so kann man wie folgt vorgehen, 1. man bestimmt zunächst die allgemeine Lösung y h,c (t) (d.h. ein Fundamentalsystem B = {b 1 (t),..., b n (t)}) der zugehörigen linearen Differentialgleichung y (t) = Ay(t), 2. man setzt den Ansatz y P (t) = n c k (t)b k (t) k=1 in die inhomogene Differentialgleichung ein. Das liefert ein lineares Gleichungssystem für die Funktionen c k (t), 3. dessen Lösung c (t) = (c 1(t), c 2(t),..., c n(t)) man mit der Kramer schen Regel aus Satz 5.17 berechnen kann. 4. Die Funktionen c k (t) bestimmt man durch Integration, damit bekommt man die partikuläre Lösung y p (t) = n k=1 c k(t)b k (t). 5. Die allgemeine Lösung der inomogenen Gleichung ist dann y(t) = y h,c (t) + y P (t). Bemerkung Ist ein inhomogenes Anfangswertproblem y (t) = Ay(t) + h(t), y(t 0 ) = y 0 R n zu lösen, so bestimmt man die Koeffizienten c 1, c 2,... c n in der allgemeinen Lösung y(t) = y P (t) + n k=1 c kb k (t) durch Lösen des linearen Gleichungssystems n k=1 c kb k (t 0 ) = y 0 y P (t 0 ). 57