Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

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1 Einführng in die Meeorologie me - Teil IV: Dnamik der Amosphäre Clemens Simmer

2 IV Dnamik der Amosphäre Dnamische Meeorologie is die Lehre on der Nar nd den Ursachen der Bewegng in der Amosphäre. Sie eil sich af in Kinemaik nd Dnamik im engeren Sinne. Kinemaik Diergen nd Roaion Massenerhalng Sromlinien nd Trajekorien. Die Bewegngsgleichng Newonsche Aiome nd wirksame Kräfe Naier-Sokes-Gleichng Skalenanalse 3. Zweidimensionale Windsseme naürliches Koordinaenssem Gradienwind nd andere Reibngseinflss af das Verikalprofil des Windes

3 IV. Kinemaik Die Kinemaik befass sich mi der Analse nd Srkr on Windfeldern ner Berücksichigng der Massenerhalng ohne Berachng der Ursachen Kräfe. Windfelder lassen sich charakerisieren drch ihre Diergen Volmeninhal wächs oder schrmpf Roaion Volmeninhal konsan ändern der Asrichng Deformaion Volmeninhal konsan Asrichng konsan Volmen sei konsan? 3

4 IV. Kinemaik. Diergen Definiionen Massenerhalng nd Koniniäsgleichng. Roaion nd Zirklaion Definiionen Naürliches Koordinaenssem Zsammenhang mi Diergen über Vorici 3. Sromlinien nd Trajekorien Definiionen Beispiele 4

5 IV.. Diergen der Windgeschwindigkei Die Diergen eines Windfeldes qanifiier das Zsammen- Konergen negaie Diergen oder Aseinandersrömen Diergen der Lf. w di di H H Bei Beschränkng af die horionalen Windkomponenen wird der Zsammenhang wischen Srömngsfeld nd Diergen nmielbar delich. < > < 5

6 6 Beispiele r Diergen s ms ms ms ms ms ms 3 s ms ms ms L L L L cos sin sin L sin L/ L L/4 L/

7 Diergen nd Massenerhalng M i V m m/v M Neomassenflss as dem Volmen V fes [M] kg/s m ρv ρ M V mi m Masse nd ρ Diche Massenflss drch eine beliebige Randfläche i M i i i > kg/s m/s m² kg/m³ wenn lss as V heras Ein Neomassenflss M drch die fesen Volmenberandngen führ einer Massen- nd dami Dicheänderng innerhalb des Volmens. 7

8 8 Diergen nd Massenerhalng r Ein Würfel sei asgeriche parallel den Koordinaenachsen w w V M M M M M M M M M M M M M ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ m enralen Pnk - Enwicklng Talor Neomassenflss Die erse Approimaion geh daon as dass.b. sich über die lächen M wenig änder.

9 9 Diergen nd Massenerhalng 3 r analog für die wei anderen Richngen also insgesam: V w M V M V M ρ ρ ρ V V w V w M M M V M ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Koniniäsgleichng Massenerhalng

10 Elersche nd Lagrangesche Koniniäsgleichng dρ ρ Adekionsgleichng für : ρ d ρ Elersche Kon gleichng: ρ dρ ρ ρ d dρ ρ ρ d ρ ρ Umrechnng: Lagrangesche Kon gleichng ρ { } ρ Prodkregel dρ ρ d

11 Sonderfall: Inkompressibles Medim Is ein Medim inkompressibel so kann man es weder sammenpressen noch aseinander iehen.b. Wasser. Dabei kann es drchas seine orm erändern oder im Inneren inhomogen sein eränderliche Diche.B. Wasser-Öl-Mischng Ach Lf kann für besimme Berachngen in ger Näherng als inkompressibel angenommen werden. Dann gib es.b. keine Asdehnng beim Afseigen keine Schallwellen Vereinfachng der Nmerik Man mach daher die Annahme der Inkompressibiliä of bei der Beschreibng der Srömngsproesse bei relai geringen Verikalaslenkngen.B. Srömngen in der Grenschich. Es gil dann offensichlich: beache aber: ρ!!! dρ d dünn dich

12 Konergen nd Verikalgeschwindigkei Nehmen wir Inkompressibiliä an so folg as dem Zsammensrömen on Lf in der Horionalen horionale Konergen dass die Lf in erikaler Richng asweichen mss. Erfolg bei Inkompressibiliä die horionale Konergen am Boden so mss die Lf drch Afseigen nach oben asweichen. Bodennahe horionale Konergen erwing Afseigen darüber. Bodennahe horionale Diergen erwing Abseigen darüber. w w Gehen wir weier on saionären Verhälnissen as / nd dass w sich nr erikal eränder d so kann man die Gleichng inegrieren. h h h w h dw d d h h w h H H h h höhen-gemiele horionale Diergen Am Boden is die Verikalgeschwindigkei dann nimm sie mi der Höhe. h

13 Konergen nd Verikalgeschwindigkei Beispiel: Afseigen in Tiefs nd Abseigen in Hochs H T In Hochdrckgebieen is der Windekor leich as dem Hoch heras geriche. As Koniniäsgründen mss Lf im Hoch absinken In Tiefdrckgebieen is der Windekor leich in das Tief hinein geriche As Koniniäsgründen mss Lf im Tief afseigen. 3

14 Konergen nd Verikalgeschwindigkei 3 Horionale Diergen nd Drckenden p/ dp ρgd p g p p g g g ρ d g H ρ H H a d ρ g ρ ρ ρd mi p d ρw d H H b d gρw c b a p c Eine Drcknahme in der Höhe kann errsach werden drch: a Adekion on dicherer Lf in der Lf darüber b horionale Konergen in der Lf darüber c Afseigen on Lf drch die Höhe 4

15 Konergen nd Konflen Von Nll erschiedene Konergen läss ein Srömngsolmen wachsen oder schrmpfen die Diche nimm dabei ab bw.. Bei weidimensionaler Konergen gil der Zsammenhang mi Dicheänderngen nich nbeding da wir nich wissen was in der erikalen Dimension passier. Konflen nd Difflen ach Richngskonergen bw. diergen beeichnen das Konergieren oder Diergieren der Srömngsrichngen nabhängig on der Srömngsgeschwindigkei. Konflene oder difflene Srömngen können konergen oder diergen sein! D-Srömng mi Konflen nd Difflen aber erschwindender Diergen angedee drch gleichbleibendes Volmen 5

16 Einschb: Koniniäsgleichng im p-koordinaenssem Bei großskaligen Bewegngen bei denen die saische Grndgleichng annähernd gil wird als Verikalkoordinae ansa der -Koordinae of der Drck p genommen. Neben offensichlichen Nacheilen ha das p-ssem den rechenechnischen Voreil dass die Koniniäsgleichng einfacher assieh. Zr Ableing berache man die Änderng eines Volmens V je nich sarr drch die Lfbewegng: p V ρg ür die Massenänderng gil nmielbar: dm d d p ρv d d d g d p d p d p / V g d g d g d g d d d p d d dp d d p d d d p d ϖ dp mi ϖ nd schließlich bei Grenwerbildng : p d ϖ p p p Dann gil der formale Zsammenhang on leer Seie ohne Annahme der Inkompressibiliä! 6

17 lächenmiel der horionalen Diergen nd der Inegralsa on Gass Bei Messngen wie bei Modellen sind die elder der meeorologischen Größen nich überall bekann sondern enweder an den Messpnken oder den Gierpnken des Modells. Die Berechnng der Diergen benöig aber formal ein koninierliches eld da der Nabla-Operaor ein differenieller Operaor is. Tasächlich ineressier as erschiedenen Gründen meis of nr die rämlich gemiele Diergen eines Windfeldes. Der Inegralsa on Gass hier nr in Dimensionen für die horionale Diergen erbinde die differenielle ormlierng mi einer inegralen ormlierng ds. H n n n H D : Sa on Gass H H H nds dd H n H ds dd 7

18 lächenmiel der horionalen Diergen nd der Inegralsa on Gass a b d c Anmerkng: Grenwerbildng bei D hiner dem leen Gleichheiseichen führ mi wieder r Definiion der Diergen womi ach der Sa on Gass bewiesen is. Die seien Saionsposiionen an denen der Wind gemessen wird. Man denk sich ein Recheck gesrichel das die Saionen erbinde. D mi { } c a a a d a a a b a b b d d d c b c c über a d d gemiele - Komponene d d d 8

19 Übng IV.. km a 4 m/s d 8 m/s m/s 9 9 c b 4 m/s 6 5 km. Besimme die milere horionale Diergen D für nebensehende Beobachngen.. Wie ändern sich die Were wenn wegen Messfehler asächlich an der Wesseie die Windsärke m/s höher nd an der Osseie m/s niedriger is? 3. Im Zenrm eines Tiefdrckgebiees sei der Verikalwind in m Höhe mm/s. Wie groß is dor dann die milere horionale Diergen wischen Boden nd m ner Annahme inkompressibler Lf? 4. Im Windfeld on 3. liege bei m die Unerkane einer Wolkenschich. Es herrsche dor eine Temperar on C. Berechne die Niederschlagsmenge in mm/h ner der Annahme dass alles beim Afseigen kondensierende Wasser sofor asfäll der Säigngsdampfdrck on Wasser bei C is hpa; die Gaskonsane on Wasserdampf is 46 J/kg K. 9

20 IV.. Roaion nd Zirklaion ro-operaor absole nd relaie Geschwindigkei Zirklaion als inegrales Maß der Roaion Vorici naürliches Koordinaenssem Zsammenhänge wischen Verikalgeschwindigkei Diergen nd Vorici

21 Roaion eines Vekorfeldes - Vekor-Prodk des Nabla-Operaors mi einem Vekor - ea ea i w w w k j i w ro ζ η ξ Is die Verikalgeschwindigkei w nd hängen nd nr on nd ab keine Änderng mi der Höhe dann gil offensichlich: k k ζ. Offensichlich is die Roaion as der Zeichenebene m Beobacher geriche. Sie wird als klonal Zklone! beeichne. Die Roaion is ein achsialer Vekor. Da die Lfsrömng i.w. horional is ha eine besondere Bedeng in der Meeorologie. k ζ

22 Beispiele w w - - sin L L L cos L/4 L/

23 Absole nd Relaie Geschwindigkei Drch die Erdroaion haben ach af der Erde rhende Gegensände in einem Ssem das.b. in der Sonne eranker is gedaches Inerialssem bereis eine on Nll erschiedene Geschwindigkei. Wir nerscheiden wischen der Geschwindigkei die die Lf relai r Erde ha relaie Geschwindigkei nd der Geschwindigkei die die Lf relai einem Inerialssem ha absole Geschwindigkei a. Diese Unerscheidng is wichig da.b. nr für leeres das. Newonsche Aiom Kraf Masse Beschlenigng gil. Die rhende relai r Erde Lf ha drch die Erddrehng eine Geschwindigkei die wir als Miführngsgeschwindigkei beeichnen. a absole Geschwindigkei relaie Geschwindigkei a a Die Operaoren sind über rämliche Ableingen definier. Offensichlich kann sich ach der Effek des Operaors ändern wenn man on einem Begsssem m anderen geh. 3

24 Miführngsgeschwindigkei der Erde Wir ernachlässigen die Jahresbahn der Erde m die Sonne Erde dreh sich nr m sich selbs. Ein af der Erde rhender Pnk beschreib dann im Absolssem Inerialssem eine Kreisbahn. Eine Kreisbahn is immer eine beschlenige Bewegng da sich sändig die Richng änder. Die Geschwindigkei des Pnkes af der Kreisbahn R is die Miführngsgeschwindigkei; sie is on der Breie abhängig. Ω Rr cos r R R Roaionsekor der Erddrehng: d Ω d rad/s i d R R R dsrd ds d i R i R Ω i r cosϕ Ω i d d r sin ϕ Ω i Ω r Definiion des Vekor Kre-Prodkes 4

25 Roaion der Absolgeschwindigkei ür die Absolgeschwindigkei eines sich af der Erde bewegenden Teilchens gil also : a Ω r ür deren Roaion gil: a Ω r Ω as Ω r Weier gil für die -Komponene der Roaion ζ a k k a mi Ω Ω k Ω ζ nd ϕ geografische Breie Ω r Ω r r Ωr Ω Ωsinϕ ζ a η ζ f mi ζ ζ a absole Vorici relaie Vorici f Ωsinϕ Coriolisparameer 5

26 Vorici nd Coriolisparameer ζ a ζ f mi ζ ζ a absole Vorici relaie Vorici f Ωsinϕ Coriolisparameer Pol ϕ Ω ϕ Ω Äqaor k Ω f is der Teil der Roaion m die lokale Verikale der drch die Erddrehng ereg wird NH posii SH negai. Is der Drehsinn der Relaibewegng wie der der Erde nenn man das klonal. Zklonal heiß also: NH: gegen Uhreigersinn posii SH: im Uhreigersinn negai. Die absole Vorici is eine Erhalngsgröße Drehimpls nd besimm die Wirbelsrkr der großrämigen amosphärischen Bewegng. 6

27 Vorici nd Zirklaion So wie die Diergen als differenieller Operaor drch den Gassschen Sa ein inegrales Äqialen in D drch den lss über den Rand eines Gebiees ha so ha ach die Roaion als differenieller Operaor ebenfalls ein inegrales Äqialen nd war in der Zirklaion C drch den Sokesschen Sa: C C L L dl cosαdl dl ro L Sa on Sokes d L dl Zr Berechnng des lächeninegrals der Roaion genüg also der Wind af dem Rand des Gebiees. Dies is schwieriger ersehen als der Gasssche Sa. 7

28 Vorici nd Zirklaion C dl L Sa Sokes on ro d Herrsch im Inneren der läche eine andere Drehrichng Roaion als af dem Rand so wird diese beüglich der Roaion überkompensier drch die mso särkere Scherorici in der Nähe des Randes. 8

29 Vorici nd Zirklaion - horional - C h L h dl ro h d kζ d d k ζd also dc C h h daras folg ζ ζd dc ζd dc h h : ζd Leere Beiehng gib ns eine Vorschrif r Berechnng der Vorici as endlich oneinander enfernen Messngen. 9

30 Vorici bei Kreisbewegng in der Ebene C h L L ωr L dl rdϕ dϕ L Kreis- L bewegng dl d ϖr dl rdϕ ϖ da L r r Kreisfläche dl dϕ rdϕ d ϖ dl dϕ r ω dϕ d C h ζ ϖ dl rdϕ Bei Kreisbewegng in der Ebene is die Vorici idenisch mi der weifachen Winkelgeschwindigkei der Srömng m das Zenrm. 3

31 Naürliches Koordinaenssem Zr Unerschng on Srömngen is es of nülich ansa des sarren nd orsfesen karesischen Koordinaenssems ein Koordinaenssem erwenden das an die Srömng selbs gebnden is. Berache man einen sehr kleinen Asschni as einer beliebigen Srömng so läss sich dieser als ein Teil eines Kreisbogens affassen. n s Ein geeignees Koordinaenssem wird dann fesgeleg drch Einheisekoren in Richng - des Windrichngsekors - des Vekors senkrech da nach links in der n Srömngsebene dieser is dann parallel r Richng des hpoheischen Kreismielpnkes - der Normalen af der Ebene des Kreises. s s n s n k k bilden ein Rechsssem s 3

32 Krümmngs- nd Scherngsorici a R s β Das naürliche Koordinaenssem erlab eine formale Trennng wischen Krümmngs- nd Scherngsorici. V n V Berechnng der Zirklaion nd Vorici über den schraffieren Bereich: C V s s V V n V V n β n s s n s n s s' n ζ lim mi R s n s s β C n s V n V R Krümmngsradis s 3

33 Krümmngs- nd Scherngsorici b a b ζ V n V R s Scherngsorici Krümmngsorici 33

34 Zsammenhang wischen Verikalgeschwindigkei nd Diergen des Horionalwindes über Kon gleichng 5 p* 4 hpa 3 di H in hpa/s di in -6 H s - pischer Verlaf in der Passaregion Beeichnngen: p*p -p *--dp/d~w di ϖ * H ϖ p p * Posiie Diergen om Boden bis ca. 6 hpa om Boden is mi nehmendem Absinken erbnden. Bis 35 hpa herrsch Konergen; das Absinken mss schwächer werden. Darüber herrsch wieder Diergen nd das Abseigen ersärk sich wieder. p p 34

35 Zsammenhang wischen Verikalgeschwindigkei nd Diergen des Horionalwindes über Kon gleichng wie orher nd der Vorici über die Voricigleichng p 4 di H di H ϖ p hpa 6 dη d f h h in hpa/h di nd in H -6 s- Die Voricigleichng erbinde nehmende Vorici mi Konergen nd abnehmende Vorici mi Diergen Piroeeneffek Tpischer Verlaf in ITCZ 35

36 8 in m 6 4 wachsend oll enwickel ngesör erfallend Gemessene Konergenen des horionalen Windes in den neren 8 m während nerschiedlicher Sadien on ropischen Sörngen in der ITCZ. Diese sind bis af das Zerfallsadim immer mi bodennahen Konergenen erbnden di in s H 36

37 Übngen IV... Schäe die Zirklaion nd die relaie Vorici des Horionalwindes für ein Gebie mi km Süd-Nord nd km Os-Wes-Ersreckng ab bei dem an den enralen Pnken der Wes- Süd- Os- bw. Nordseie folgende Windmessngen orliegen: Oswind mi m/s Nordnordoswind mi 9 m/s Nordoswind mi m/s bw. Osnordoswind mi 9 m/s. Vergleiche den erhalenen Wer für die relaie Vorici mi der Vorici der Erddrehng. Wie ändern sich die Were wenn asächlich an der Wesseie die Windsärke m/s höher nd an der Osseie m/s niedriger is?. Skiiere das Windfeld - w nd berechne seine Diergen nd Roaion. Diskiere die Ergebnisse. 3. Zeige dass die Roaion der Miführngsschwindigkei af der Erde das weifache des Roaionsekors der Erde beräg. 37

38 IV..3 Sromlinien nd Trajekorien Sromlinien sind Momenafnahmen eines Geschwindigkeisfeldes. An jedem Pnk beweg sich diesem Zeipnk die Lf parallel den Sromlinien. Trajekorien repräsenieren den Weg eines Teilchens über eine Zeispanne 38

39 Beispiel für Sromlinien über Wesafrika Eine Sromlinie is eine Kre deren Tangene an jedem Pnk die Richng des Geschwindigkeisekors angib: Bei diergenfreier Srömng is die Diche der Sromlinien proporional m Berag der Geschwindigkei Beispiel: die Isobaren sind die Sromlinien des geosrophischen Windes. ür eine Sromlinie in der --Ebene gil: d d Srom d linie d 39

40 Trajekorienberechnngen für erschiedene Zeien für das Reakornglück bei Tschernobl am Trajekorien erfolgen den Weg eines indiidellen Teilchens mi der Zei also in der läche. Sie berechne man also drch Inegraion der folgenden Gleichngen über die Zei d d d d analog für d d d 4

41 Beispiel: U cons Acos c Sromlinie für.5 '. Trajekorie S S S3 Trajekori e mi '. Die Trajekorie ha hier eine größere Amplide als die Sromlinie da c<u angenommen wrde nd ensprechend ach eine längere Wellenlänge. In der Abbildng wrden nd mi normier nd UA nd c3u gese. 4

42 ' ' S S S3 Trajekorie Beispiel : cos c A cons U cons c U A c U A c U A d c U A d d sin d cos d cos cos linie Srom Sromlinien

43 ' ' S S S3 Trajekorie Beispiel 3: cos c A cons U Trajekorie sin mi cos cos cos on Sbsii U c c U A Ud d U d U c U A U d U c A d c A d U Ud d

44 ' ' S S S3 Trajekorie Beispiel 3: cos c A cons U Trajekorie sin sin sin sin sin sin sin sin cos U c c U A c U U c A c c A c A c c A c c A d c A d U Ud d

45 Übngen IV..3. Gegeben is ein horionales Windfeld mi o o cos /L mi o m/s o 5 m/s nd L km Wellenlänge. a Berechne für dieses eld die Roaion nd die Diergen. b Besimme die Gleichng für die Sromlinie nd Trajekorie die drch führ. 45