Einführung in die Theoretische Informatik Tutorium VIII 1/2

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1 Einführung in die Theoretische Informatik Tutorium VIII 1/2 Michael R. Jung

2 1 Umwandlung eines PDAs in eine Grammatik 2 DPDA für das Komplement einer Sprache in DCFL 3 Kontextsensitive Sprachen 4 Algorithmen aus der Vorlesung 2

3 Aufgabe Aufgabe 1 Wandeln sie den folgenden PDA M mit dem Verfahren aus der VL in eine Grammatik G um. M: p bb, ε ε#, ε q a#, A# ba, ε ab, AB bb, ε εa, BA ε#, ε Geben Sie eine Rechung von M und eine Linksableitung in G für aabbbb an. 4

4 Lösung: Grammatik V := {S, X p#p, X p#q, X pap, X paq, X pbp, X pbq, Σ := {a, b} X q#p, X q#q, X qap, X qaq, X qbp, X qbq } P := {S X p#p X p#q, Start (1, 2) X p#p a X pap X p#p a X paq X q#p, pa# pa# (3, 4) }{{}}{{} (p,p) (q,p) X p#q a X pap X p#q a X paq X q#q, pa# pa# (5, 6) }{{}}{{} (p,q) (q,q) X pbp ax pap X pbp ax paq X qbp, pab pab (7, 8) X pbq ax pap X pbq ax paq X qbq, pab pab (9, 10) 5

5 Lösung: Grammatik X pap X pbp X pap X pbq X qap, pεa pba (11, 12) X paq X pbp X paq X pbq X qaq, pεa pba (13, 14) X pbq b pbb q (15) X p#q ε pε# q (16) X qbq b qbb q (17) X qaq b qba q (18) X q#q ε qε# q (19) } Somit ist G = (V, Σ, P, S). 6

6 Lösung: Rechnung und Ableitung Rechnung von M: (p, aabbbb, #) (p, abbbb, A#) (p, abbbb, BA#) (p, bbbb, ABA#) (p, bbbb, BABA#) (q, bbb, ABA#) (q, bb, BA#) (q, b, A#) (q, ε, #) (q, ε, ε) Ableitung in G: S (2) X p#q (4) ax paq X q#q (14) ax pbq X qaq X q#q (10) aax paq X qbq X qaq X q#q (14) aax pbq X qaq X qbq X qaq X q#q (15) aabx qaq X qbq X qaq X q#q (18) aabbx qbq X qaq X q#q (17) aabbbx qaq X q#q (18) aabbbbx q#q (19) aabbbb 7

7 Verfahren Welche Schritte sind zu tun, wenn ich einen gegebenen DPDA M zu einem DPDA für das Komplement von L(M) umbauen will? 1 Zunächst benötigen wir einen Automaten, der alle Eingaben zu Ende liest (Vorlesungsfolie) und 2 nach Lesen eines Wortes nicht durch ε-übergänge noch Endzustände und Nicht-Endzustände besucht. 3 Dann können wir einen DPDA für das Komplement angeben. Vorlesungsfolie 9

8 Bis zum Ende lesen Aufgabe 2 Konstruieren Sie aus dem folgenden DPDA M einen Automaten M mit L(M ) = L, der alle Eingaben zu Ende liest. M : ε#, # 1 2 a#, A# aa, AA b#, ε ba, ε 3 εa, A εb, B ε#, # εb, B 4 ε#, # ε#, # 5 ba, ε aa, B 10

9 Bis zum Ende lesen Seien hier z Σ und K Γ beliebig. M : a#, A# s aa, AA b#, ε εa, A εb, B ε#, # ε#, # 1 ε#, # 2 ba, ε 3 4 εb, B z, z, za, A zb, B z, ε#, # ε#, # zb, B εb, B ε#, # r ε#, # z, za, A zb, B 5 z, εb, B ε#, # zk, K t ε#, # EThI - Tutorium VIII 2 1 ba, ε aa, B 11

10 Bis zum Ende lesen M = ({1, 2, 3, 4, 5, r, s, t}, {a, b}, {#, A, B, }, δ, s, #, {1, 5, t}) K {, A, B} δ s# sk 1# 1K 2# 2A 2B 2 3# 3A 3B 3 ε s# 2# t# 4A rb a rk 2A# 2AA rb r r b rk 2 3 rb r r t# tk r# rk 4# 4A 4B 4 5# 5A 5B 5 ε r# t# rb t# a r# rk 4B r ra rb r b r# rk 4 r ra rb r 12

11 DPDA für das Komplement Aufgabe 3 Wandeln Sie den gegebenen DPDA M, der alle Eingaben zu Ende liest in eine DPDA M für L(M) um. M : a#, A# aa, AA ba, B p εb, B q bb, ε ba, B b#, # r aa, # ab, # ε#, # a#, # b#, # 13

12 DPDA für das Komplement M = ({p, q, r} {1, 2, 3}, {a, b}, {#, A, B}, δ, (p, 1), #, {(q, 3), (p, 3), (r, 3)}) δ (p, 1)# (p, 1)A (p, 1)B (p, 2/3)# (p, 2/3)A (p, 2)B (p, 3)B ε (p, 3)# (p, 3)A (q, 2)B (q, 2)B a (p, 1)A# (p, 1)AA b (r, 1)# (p, 1)B (q, 1)# (q, 1)A (q, 1)B (q, 2)# (q, 3)# (q, 2/3)A (q, 2/3)B ε (r, 1)# (q, 3)A (q, 3)B (r, 2)# a (r, 1)# (r, 1)# b (q, 2)B (q, 2) (r, 1)# (r, 1)A (r, 1)B (r, 2/3)# (r, 2/3)A (r, 2/3)B ε (r, 3)# a (r, 1)# b (r, 1)# 14

13 Grammatik Aufgabe 4 Sei Σ = {a}. Geben Sie eine Grammatik G für L = {a n2 n 1} an. Lösung: G = ({S, H, A, V, E}, Σ, P, S) mit P = { S VH a (1, 2) AL LAaa (7) H AH E (3, 4) VL Vaa (8) VE aaaa (5) AE LEaaa (6) aa Aa (9) ae Ea (10) } 16

14 LBA Aufgabe 5 Geben Sie einen LBA M an, der {a 2n n 0} akzeptiert. Lösung: M = ({0, 1, 2, 3, z, e}, {a, â}, {a, â, A, a, â}, δ, 0, {e}) mit δ : 0â eân 2 a 2 ar 3a 2 ar 0a 1AR 2 â z âl 3â z âl 1a 2 ar 2a 3aR z a z al 1 a 1 ar 2â 2âN za zal 1â z âl 3 a 3 ar za 1AR 1 â e ân 3 â 3 ân 17

15 Bottom-Up-Parser für eine Grammatik Aufgabe 6 Geben Sie einen LBA M an, der L(G) mit G = ({S}, {a, b}, {S }{{} asb }{{} ab }, S) akzeptiert. (1) (2) Siehe Folien vom 14. Dezember, Folie

16 Bottom-Up-Parser für eine Grammatik Lösung: M = (Z, ˆΣ := {a, â, b, ˆb}, Γ := {A, #, ˆ#, S, S }, δ, q 0, {e}) mit Sei x {a, b, â, ˆb, S} und y (ˆΣ Γ) \ {#, ˆ#}. Z = {q 0, q 0, q 1, q 1, q 1, q 2, q 2, q <, q >, q?, e} {q < x, q x x {a, b, â, ˆb, S}} und δ : q 0â q 0âN q 1a q 1SR q >ˆb q< ˆb # q2b q2br q 0b q 0bN q 1S q 1 #R q >S q < S q 2S q 2SR q 0a q 0AN q 1 b q >#R q > ˆ# q < ˆ# q 2a q 2SR q 0A q 1AN q 1 q < ˆ#L q< x# q < x#l q 2A q 2S R q 0A q 2AN q <# q <#L q < xy q xyr q 2b q >#R q 1A q 1AR q <b q <bl q x# q >xr q 1S q 1SR q 1a q 1aR q <a q <al q 1A q 1S R q 1b q 1bR q <A q 0AN q <S q? S R q 1â q 1âN q ># q >#R q? # q? #R q 1ˆb q1ˆbn q>a q < a# q? ˆ# e ˆ#N q 1# q 1#N q >b q < b # q 2A q 2AR q 1 ˆ# q 1 ˆ#N q >â q < â # q 2a q 2aR 19

17 DPDA der alle Eingaben zu Ende liest DPDAs, die ihre Eingabe zu Ende lesen Beweis (Schluss) Zusammenfassend transformieren wir M ˆZ, Σ, Γ, δ, q 0, #, E in den DPDA M œ ˆZ 8 r, s, t, Σ, Γ œ, δ œ, s, #, E 8 t mit Γ œ Γ 8 j, wobei δ œ folgende Anweisungen enthält: (a) sε# q 0 #j, (b) qaa ra, für alle ˆq, a, A > Z Σ Γ œ mit A j oder δˆq, a, A δˆq, ε, A g, (c) raa ra, für alle a > Σ und A > Γ œ, (d) qεa ra, für alle q > Z und A > Γ, so dass ausgehend von der Konfiguration ˆq, ε, A unendlich viele ε-übergänge ausgeführt werden, ohne dass dabei ein Endzustand besucht wird. (e) qεa ta tεa ra, (f) 233 für alle q > Z und A > Γ, so dass ausgehend von der Konfiguration ˆq, ε, A unendlich viele ε-übergänge ausgeführt und dabei auch Endzustände besucht werden, alle Anweisungen aus δ, soweit sie nicht durch Anweisungen vom Typ ˆc oder ˆe überschrieben wurden. j 21

18 DPDA für das Komplement Komplementabschluss von DCFL 237 Beweis (Schluss) L Konkret sei M ˆZ 1, 2, 3, Σ, Γ, δ œ, s, #, Z 3 mit s ˆq 0, 1, q 0 ~> E, ˆq 0, 2, sonst, wobei δ œ für jede Anweisung qεa M pγ die Anweisungen ˆq, 1 εa ˆp, 1 γ, falls p ~> E, ˆq, 1 εa ˆp, 2 γ, falls p > E und ˆq, 2 εa ˆp, 2 γ, sowie für jede Anweisung qaa M pγ folgende Anweisungen enthält: ˆq, 1 εa ˆq, 3 A, ˆq, 2 aa ˆp, 1 γ, falls p ~> E, ˆq, 2 aa ˆp, 2 γ, falls p > E, ˆq, 3 aa ˆp, 1 γ, falls p ~> E und ˆq, 3 aa ˆp, 2 γ, falls p > E. Man beachte, dass M in einem Endzustand keine ε-übergänge macht. j 22

19 Bottom-Up-Parser für CSL Beweis von CSL b LˆM S M ist ein LBA Sei G von folgendem LBA M akzeptiert (o.b.d.a. sei ε~> LˆG ): ˆV, Σ, P, S eine kontextsensitive Grammatik. Dann wird LˆG Arbeitsweise von M bei Eingabe x x 1... x n1ˆx n mit n A 0: 1 Markiere das erste Eingabezeichen x 1 2 Wähle ( nichtdeterministisch ) eine Regel α β aus P 3 Wähle ein beliebiges Vorkommen von β auf dem Band (falls β nicht vorkommt, halte ohne zu akzeptieren) 4 Ersetze die ersten SαS Zeichen von β durch α 5 Falls das erste (oder letzte ) Zeichen von β markiert war, markiere auch das erste ( letzte ) Zeichen von α 6 Verschiebe die Zeichen rechts von β um SβS SαS Positionen nach links und überschreibe die frei werdenden Bandfelder mit Blanks 7 Enthält das Band außer Blanks nur das ( markierte) Startsymbol, so halte in einem Endzustand 8 Gehe zurück zu Schritt