Elementare konforme Abbildungen
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- Eike Kurzmann
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1 Elementare konforme Abbildungen Durch w = e z wird der Streifen z : 0 < Im z < γ mit γ 2π auf den Sektor w : 0 < arg w < γ abgebildet. Elementare konforme Abbildungen 1-1
2 Elementare konforme Abbildungen Durch w = e z wird der Streifen mit γ 2π auf den Sektor z : 0 < Im z < γ w : 0 < arg w < γ abgebildet. Insbesondere erhält man für γ = 2π als Bild die geschlitzte Ebene C\R + 0. Elementare konforme Abbildungen 1-2
3 Elementare konforme Abbildungen Durch w = e z wird der Streifen mit γ 2π auf den Sektor z : 0 < Im z < γ w : 0 < arg w < γ abgebildet. Insbesondere erhält man für γ = 2π als Bild die geschlitzte Ebene C\R + 0. Durch Verknüpfung mit einer Potenzfunktion, z w s, kann der Öffnungswinkel des Sektors verändert werden: γ γs. Elementare konforme Abbildungen 1-3
4 Im z Im w γ Re z γ Re w z-ebene w-ebene Elementare konforme Abbildungen 1-4
5 Im z Im w γ Re z γ Re w z-ebene w-ebene Entsprechend kann man mit Hilfe des komplexen Logarithmus Sektoren konform auf Streifen abbilden. Elementare konforme Abbildungen 1-5
6 Beispiel: konforme Abbildung eines Streifens auf eine Kreisscheibe: 0 < Im z < π/2 w < 1 Elementare konforme Abbildungen 2-1
7 Beispiel: konforme Abbildung eines Streifens auf eine Kreisscheibe: 0 < Im z < π/2 w < 1 Zerlegung in elementare Teilabbildungen Elementare konforme Abbildungen 2-2
8 Beispiel: konforme Abbildung eines Streifens auf eine Kreisscheibe: 0 < Im z < π/2 w < 1 Zerlegung in elementare Teilabbildungen Streifen Sektor: Elementare konforme Abbildungen 2-3
9 Beispiel: konforme Abbildung eines Streifens auf eine Kreisscheibe: 0 < Im z < π/2 w < 1 Zerlegung in elementare Teilabbildungen Streifen Sektor: ξ = e z : 0 < arg ξ < π/2 Elementare konforme Abbildungen 2-4
10 Beispiel: konforme Abbildung eines Streifens auf eine Kreisscheibe: 0 < Im z < π/2 w < 1 Zerlegung in elementare Teilabbildungen Streifen Sektor: ξ = e z : 0 < arg ξ < π/2 Sektor Halbebene: Elementare konforme Abbildungen 2-5
11 Beispiel: konforme Abbildung eines Streifens auf eine Kreisscheibe: 0 < Im z < π/2 w < 1 Zerlegung in elementare Teilabbildungen Streifen Sektor: ξ = e z : 0 < arg ξ < π/2 Sektor Halbebene: η = ξ 2 : 0 < Im η Elementare konforme Abbildungen 2-6
12 Beispiel: konforme Abbildung eines Streifens auf eine Kreisscheibe: 0 < Im z < π/2 w < 1 Zerlegung in elementare Teilabbildungen Streifen Sektor: ξ = e z : 0 < arg ξ < π/2 Sektor Halbebene: η = ξ 2 : (iii) Halbebene Kreisscheibe: 0 < Im η Elementare konforme Abbildungen 2-7
13 Beispiel: konforme Abbildung eines Streifens auf eine Kreisscheibe: 0 < Im z < π/2 w < 1 Zerlegung in elementare Teilabbildungen Streifen Sektor: ξ = e z : 0 < arg ξ < π/2 Sektor Halbebene: η = ξ 2 : (iii) Halbebene Kreisscheibe: 0 < Im η w = aη + b cη + d Elementare konforme Abbildungen 2-8
14 bestimme die Koeffizienten der Möbius-Transformation η w durch Wahl geeigneter Bildpunkte mit konsistenter Reihenfolge (Gebiet liegt links ) η = 0, 1, w = 1, i, 1 Elementare konforme Abbildungen 2-9
15 bestimme die Koeffizienten der Möbius-Transformation η w durch Wahl geeigneter Bildpunkte mit konsistenter Reihenfolge (Gebiet liegt links ) 0 1 = d = b η = 0, 1, w = 1, i, 1 Elementare konforme Abbildungen 2-10
16 bestimme die Koeffizienten der Möbius-Transformation η w durch Wahl geeigneter Bildpunkte mit konsistenter Reihenfolge (Gebiet liegt links ) η = 0, 1, w = 1, i, = d = b 1 = c = a (o.b.d.a. a = 1) Elementare konforme Abbildungen 2-11
17 bestimme die Koeffizienten der Möbius-Transformation η w durch Wahl geeigneter Bildpunkte mit konsistenter Reihenfolge (Gebiet liegt links ) η = 0, 1, w = 1, i, = d = b 1 = c = a (o.b.d.a. a = 1) 1 i = 1 + b 1 + b = i b = i Elementare konforme Abbildungen 2-12
18 bestimme die Koeffizienten der Möbius-Transformation η w durch Wahl geeigneter Bildpunkte mit konsistenter Reihenfolge (Gebiet liegt links ) η = 0, 1, w = 1, i, = d = b 1 = c = a (o.b.d.a. a = 1) 1 i = 1 + b 1 + b = i b = i zusammengesetzte Transformation w = η i η i = ξ2 i ξ 2 i = e2z i e 2z i Elementare konforme Abbildungen 2-13
19 Beispiel: Konstruktion der Joukowski-Abbildung z w = 1 ( z + 1 ), K : z < 1 D = C\[ 1, 1] 2 z Elementare konforme Abbildungen 3-1
20 Beispiel: Konstruktion der Joukowski-Abbildung z w = 1 ( z + 1 ), K : z < 1 D = C\[ 1, 1] 2 z Möbius-Transformation: K Halbebene H : Re z > 0 ξ = 1 + z, 1, i, 1, i, 0 1 z Elementare konforme Abbildungen 3-2
21 Beispiel: Konstruktion der Joukowski-Abbildung z w = 1 ( z + 1 ), K : z < 1 D = C\[ 1, 1] 2 z Möbius-Transformation: K Halbebene H : Re z > 0 ξ = 1 + z, 1, i, 1, i, 0 1 z Quadrieren: H geschlitzte Ebene E = C\R 0 η = ξ 2, arg ξ < π 2 arg η < π Elementare konforme Abbildungen 3-3
22 Beispiel: Konstruktion der Joukowski-Abbildung z w = 1 ( z + 1 ), K : z < 1 D = C\[ 1, 1] 2 z Möbius-Transformation: K Halbebene H : Re z > 0 ξ = 1 + z, 1, i, 1, i, 0 1 z Quadrieren: H geschlitzte Ebene E = C\R 0 η = ξ 2, arg ξ < π 2 arg η < π Möbius-Transformation: w = η + 1 η 1, E D, 1, 0 1, 0, 1 korrekte Abbildung des Komplements: (, 0) ( 1, 1) Elementare konforme Abbildungen 3-4
23 Gesamtabbildung w = ( ) 1 + z z ( ) 1 + z z = = 1 2 ( z + 1 ) z Elementare konforme Abbildungen 3-5
24 Gesamtabbildung w = ( ) 1 + z z ( ) 1 + z z = = 1 2 ( z + 1 ) z Bild des orthogonalen Gitters r = z = const, ϕ = arg(z) = const Elementare konforme Abbildungen 3-6
25 Gesamtabbildung w = ( ) 1 + z z ( ) 1 + z z = = 1 2 ( z + 1 ) z Bild des orthogonalen Gitters r = z = const, ϕ = arg(z) = const z-ebene w-ebene Elementare konforme Abbildungen 3-7
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